Newtonov - Leibnizov vzorec
Hlavná veta analýzy alebo Newtonov-Leibnizov vzorec dáva vzťah medzi dvoma operáciami: zobratím určitého integrálu a výpočtom primitívnej derivácie
Znenie
Zvážte integrál funkcie r = f(X) v rozmedzí od konštantné číslo a až po číslo X, ktorú budeme považovať za premennú. Integrál zapíšeme v nasledujúcom tvare:
Tento typ integrálu sa nazýva integrál s premenlivou hornou hranicou. Pomocou vety o strednom neurčitom integráli je ľahké to ukázať danú funkciu kontinuálne a diferencovateľné. A tiež derivácia tejto funkcie v bode x sa rovná samotnej integrovateľnej funkcii. Z toho vyplýva, že akékoľvek nepretržitá funkcia má primitívum v tvare kvadratúry: . A keďže trieda primitívnych derivátov funkcie f sa líši o konštantu, je ľahké ukázať, že: určitý integrál funkcie f sa rovná rozdielu medzi hodnotami primitív v bodoch b a a
Nadácia Wikimedia. 2010.
- Vzorec úplnej pravdepodobnosti
- Vzorec Rayleigh-Jeans
Pozrite sa, čo je "Newtonov-Leibnizov vzorec" v iných slovníkoch:
Newtonov-Leibnizov vzorec- Hlavná teoréma analýzy alebo vzorec Newtona Leibniza dáva vzťah medzi dvoma operáciami: prijatie určitého integrálu a výpočet primitívnej formulácie Uvažujme integrál funkcie y \u003d f (x) v rozsahu od konštantného čísla a do ... . .. Wikipedia
Vzorec konečného prírastku- Tento výraz má iné významy, pozri Lagrangeovu vetu. Vzorec konečného prírastku alebo Lagrangeova veta o strednej hodnote hovorí, že ak je funkcia spojitá na segmente a ... Wikipedia
Stokesov vzorec- Stokesova veta je jednou zo základných teorém diferenciálnej geometrie a matematická analýza o integrácii diferenciálnych foriem, ktorá zovšeobecňuje niekoľko teorém analýzy. Pomenovaný po J. G. Stokesovi. Obsah 1 Všeobecné znenie 2 ... ... Wikipedia
NEWTON - LEIBNIZ FORMULA- vzorec vyjadrujúci hodnotu určitého integrálu danej funkcie f nad úsečkou ako rozdiel hodnôt na koncoch úsečky ľubovoľnej primitívnej funkcie F tejto funkcie. Pomenovaný podľa I. Newtona a G. Leibniza, pretože pravidlo…… Matematická encyklopédia
NEWTON-LEIBNIZOV FORMULA- základný vzorec integrálneho počtu. Vyjadruje vzťah medzi určitým integrálom funkcie f (x) a ktorejkoľvek z jej primitív F (x) ... Veľký encyklopedický slovník
Leibnizov vzorec- Tento výraz má iné významy, pozri Zoznam objektov pomenovaných po Leibnizovi. Tento výraz má iné významy, pozri Leibnizov vzorec (významy). Leibnizov vzorec v integrálnom počte je pravidlom ... ... Wikipedia
Newtonov-Leibnizov vzorec- Newton Leibnizov vzorec, základný vzorec integrálneho počtu. Vyjadruje vzťah medzi určitým integrálom funkcie f(x) a ktorejkoľvek z jej primitív F(x). . * * * NEWTON LEIBNIZ FORMULA NEWTON LEIBNIZ FORMULA, základný vzorec ... ... encyklopedický slovník
Vzorec obdĺžnika
Lichobežníkový vzorec - Určitý integrál ako oblasť čísla Numerická integrácia ( historický názov: kvadratúra) výpočet hodnoty určitého integrálu (zvyčajne približný), na základe skutočnosti, že hodnota integrálu sa číselne rovná ploche ... ... Wikipedia
Newtonova veta- Vzorec Newtona Leibniza alebo hlavná veta analýzy dáva vzťah medzi dvoma operáciami: prijatím určitého integrálu a výpočtom primitívnej derivácie. Ak je spojitý na segmente a jeho priradená k tomuto segmentu, potom má ... Wikipedia
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Integrálne. Newtonov-Leibnizov vzorec. zostavovateľ: učiteľ matematiky GOUNPO PU č.27 p.Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna
Cieľ hodiny: Oboznámiť s pojmom integrál a jeho výpočet pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca s využitím znalosti primitívnej derivácie a pravidiel jej výpočtu; Ilustrujte praktickú aplikáciu integrálu na príkladoch nájdenia oblasti krivočiareho lichobežníka; Posilnite to, čo ste sa naučili prostredníctvom cvičení.
Definícia: Nech je daná kladná funkcia f(x), definovaná na konečnom segmente [ a;b ] . Integrál funkcie f(x) na [a;b] je plocha jej krivočiareho lichobežníka. y=f(x) b a 0 x y
Označenie: „integrál od a do b ef od x de x“
Odkaz na históriu: Leibniz odvodil označenie integrálu od prvého písmena slova „Summa“ (Summa). Newton vo svojich dielach neponúkol alternatívnu symboliku integrálu, hoci sa o to snažil rôzne možnosti. Termín integrál zaviedol Jacob Bernoulli. Summa Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli
Označenie neurčitého integrálu zaviedol Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler Fourier vynašiel formuláciu určitého integrálu v podobe, na ktorú sme zvyknutí.
Newtonov - Leibnizov vzorec
Príklad 1. Vypočítajte určitý integrál: = Riešenie:
Príklad 2. Vypočítajte určité integrály: 5 9 1
Príklad 3. S y x Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami a osou x. Najprv nájdime priesečníky osi x s grafom funkcie. Aby sme to dosiahli, vyriešime rovnicu. = Riešenie: S =
y x S A B D C Príklad 4 . Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami a nájdite priesečníky (úsečky) týchto priamok vyriešením rovnice S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4,5 = 4,5
PRAVIDLÁ SINQWINE 1 riadok - téma syncwine 1 slovo 2 riadok - 2 prídavné mená popisujúce vlastnosti a vlastnosti témy 3 riadok - 3 slovesá opisujúce povahu akcie 4 riadok - krátka veta o 4 slovách ukazujúca váš osobný postoj k téma 5 riadok - 1 slovo, synonymum alebo vaša asociácia s témou predmetu .
Integrál 2. Určitý, kladný Spočítať, sčítať, vynásobiť 4. Vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca 5. Plocha
Zoznam použitej literatúry: učebnica Kolmagorov A.N. a iné Algebra a začiatok analýzy 10 - 11 buniek.
Ďakujem za tvoju pozornosť! Ľudová múdrosť „TALENT je 99 % práce a 1 % schopností“.
Príklad 1. Vypočítajte určitý integrál: = Riešenie: príklad 4
Náhľad:
Predmet: matematika (algebra a začiatok rozboru), ročník: 11. ročník.
Téma lekcie: "Integrálne. Formula Newton-Leibniz.
Typ lekcie: Učenie sa nového materiálu.
Trvanie lekcie: 45 minút.
Ciele lekcie: predstaviť pojem integrálu a jeho výpočet pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca s využitím znalosti primitívnej derivácie a pravidiel jej výpočtu; ilustrovať praktickú aplikáciu integrálu na príkladoch nájdenia oblasti krivočiareho lichobežníka; posilnite to, čo ste sa naučili počas cvičení.
Ciele lekcie:
Vzdelávacie:
- tvoria pojem integrálu;
- formovanie zručností na výpočet určitého integrálu;
- formovanie zručností praktické uplatnenie integrál na nájdenie oblasti krivočiareho lichobežníka.
vyvíja sa:
- rozvoj kognitívneho záujmu žiakov, rozvíjať matematickú reč, schopnosť pozorovať, porovnávať, vyvodzovať závery;
- rozvíjať záujem o predmet pomocou IKT.
Vzdelávacie:
- zintenzívniť záujem o získavanie nových poznatkov, formovanie presnosti a presnosti pri výpočte integrálu a vyhotovení výkresov.
Vybavenie: PC, operačný systém Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; multimediálny projektor, plátno.
Literatúra: učebnica Kolmagorová A.N. a iné Algebra a začiatok analýzy 10-11 buniek.
Technológie: IKT, individuálne učenie.
POČAS VYUČOVANIA
Fáza lekcie | Činnosť učiteľa | Študentské aktivity | Čas |
|
Úvod | ||||
Organizovanie času | Pozdravuje, kontroluje pripravenosť žiakov na hodinu, organizuje pozornosť. Poskytuje súhrn. | Počúvaj, zapíš si dátum. | 3 min |
|
Správa o téme a cieľoch lekcie | Aktualizácia základných vedomostí a subjektívnych skúseností s prístupom k cieľom vyučovacej hodiny. | Počúvajte, zapíšte si tému hodiny do zošita.Aktívne sa podieľa na duševnej činnosti. Analyzujte, porovnávajte, vyvodzujte závery s prístupom k cieľom lekcie. | Prezentácia IKT 3 min |
|
Hlavná časť lekcie Prezentácia nového materiálu s absolvovaním testu vedomostí z minulých tém. | ||||
Definícia integrálu (snímka 3) | Dáva definíciu. IKT Čo je to krivočiary lichobežník? | Útvar ohraničený grafom funkcie, úsečkou a priamkami x=a a x=b. | 10 minút |
|
Integrálny zápis (snímka 4) | Predstavuje zápis integrálu a spôsob jeho čítania. | Počúvajte, píšte. | ||
História integrálu (snímky 5 a 6) | Rozpráva históriu pojmu „integrál“. | Počúvajte, robte si poznámky. | ||
Newtonov-Leibnizov vzorec (snímka 7) | Dáva Newtonov-Leibnizov vzorec. Čo znamená F vo vzorci? | Počúvajte, robte si poznámky, odpovedajte na otázky učiteľa. Primitívne. | ||
Záverečná časť lekcie. | ||||
Upevnenie materiálu. Riešenie príkladov s využitím preberaného materiálu | ||||
Príklad 1 (snímka 8) | Analyzuje riešenie príkladu a kladie otázky o hľadaní primitívnych derivátov pre integrandy. | Počúvajte, zapisujte, ukážte znalosť tabuľky priradení. | 20 minút |
|
Príklad 2 (snímka 9). Príklady pre nezávislé rozhodnutieštudentov. | Ovláda riešenie príkladov. | Postupne vykonajte úlohu a komentujte (technológia individuálneho učenia), počúvajte sa navzájom, zapisujte si, ukážte znalosti minulých tém. | ||
Príklad 3 (snímka 10) | Analyzuje riešenie príkladu. Ako nájsť priesečníky osi x s grafom funkcie? | Počúvajte, odpovedajte na otázky, ukážte znalosti minulých tém, píšte. Prirovnajte integrand k 0 a vyriešte rovnicu. | ||
Príklad 4 (snímka 11) | Analyzuje riešenie príkladu. Ako nájsť priesečníky (úsečky) funkčných grafov? Určte typ trojuholníka ABC. Aká je plocha pravouhlého trojuholníka? | Počúvajte, odpovedajte na otázky. Porovnajte funkcie navzájom a vyriešte výslednú rovnicu. Obdĺžnikový. kde a a b sú nohy pravouhlého trojuholníka. | ||
Zhrnutie lekcie (snímky 12 a 13) | Organizuje prácu na kompilácii syncwine. | Zúčastnite sa zostavovania syncwine. Analyzujte, porovnávajte, vyvodzujte závery k téme. | 5 minút. |
|
Domáca úloha podľa úrovne obtiažnosti. | Dáva domácu úlohu a vysvetľuje. | Počúvajte, píšte. | 1 minúta. |
|
Hodnotenie práce žiakov na vyučovacej hodine. | Hodnotí prácu žiakov na hodine, analyzuje. | Počúvaj. | 1 minúta |
Náhľad:
Referenčný abstrakt na tému „Integr. Formula Newton-Leibniz.
Definícia: Nech je daná pozitívna funkcia f(x) , definovaný na konečnom segmente .Integrál funkcie f(x) naje oblasť jeho krivočiareho lichobežníka. | ||
Označenie: Číta: "integrál od a do b ef od x de x" | ||
Newtonov - Leibnizov vzorec | ||
Príklad 1 Vypočítajte určitý integrál: rozhodnutie: | ||
Príklad 3. a os x. rozhodnutie: | ||
Príklad 3 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a . |
určitý integrál z nepretržitej funkcie f(X) na konečnom intervale [ a, b] (kde ) je prírastok niektorých jeho priradených derivátov v tomto segmente. (Vo všeobecnosti bude porozumenie výrazne jednoduchšie, ak si zopakujete tému neurčitého integrálu) V tomto prípade je zápis
Ako je možné vidieť na grafoch nižšie (prírastok priraďovacej funkcie je označený ), Určitý integrál môže byť kladný alebo záporný.(Vypočíta sa ako rozdiel medzi hodnotou priradenej látky v hornej hranici a jej hodnotou v dolnej hranici, t.j. ako F(b) - F(a)).
čísla a a b sa nazývajú dolná a horná hranica integrácie a interval [ a, b] je segment integrácie.
Teda ak F(X) je nejaká priraďovacia funkcia pre f(X), potom podľa definície
(38)
Rovnosť (38) sa nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec . Rozdiel F(b) – F(a) sa stručne píše takto:
Preto bude Newtonov-Leibnizov vzorec napísaný takto:
(39)
Dokážme, že určitý integrál nezávisí od toho, ktorá primitívna derivácia integrandu sa použije pri jeho výpočte. Nechaj F(X) a F( X) sú ľubovoľné primitívne deriváty integrandu. Keďže ide o primitívne deriváty tej istej funkcie, líšia sa konštantným členom: Ф( X) = F(X) + C. preto
Zistilo sa teda, že na segmente [ a, b] prírastky všetkých primitívnych prvkov funkcie f(X) zhodovať sa.
Na výpočet určitého integrálu je teda potrebné nájsť akúkoľvek primitívnu deriváciu integrandu, t.j. Najprv musíte nájsť neurčitý integrál. Neustále OD vylúčené z následných výpočtov. Potom sa použije Newtonov-Leibnizov vzorec: hodnota hornej hranice sa dosadí do primitívnej funkcie b , ďalej - hodnota dolnej hranice a a vypočítajte rozdiel F(b) – F(a) . Výsledné číslo bude určitým integrálom..
O a = b akceptované podľa definície
Príklad 1
rozhodnutie. Najprv nájdime neurčitý integrál:
Aplikácia Newtonovho-Leibnizovho vzorca na primitívny derivát
(at OD= 0), dostaneme
Pri výpočte určitého integrálu je však lepšie nehľadať primitívnu deriváciu samostatne, ale integrál hneď zapísať do tvaru (39).
Príklad 2 Vypočítajte určitý integrál
rozhodnutie. Pomocou vzorca
Vlastnosti určitého integrálu
Veta 2.Hodnota určitého integrálu nezávisí od označenia integračnej premennej, t.j.
(40)
Nechaj F(X) je primitívne pre f(X). Pre f(t) primitívna funkcia má rovnakú funkciu F(t), v ktorom je nezávislá premenná označená inak. v dôsledku toho
Na základe vzorca (39) posledná rovnosť znamená rovnosť integrálov
Veta 3.Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka určitého integrálu, t.j.
(41)
Veta 4.Určitý integrál algebraického súčtu konečného počtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu určitých integrálov týchto funkcií, t.j.
(42)
Veta 5.Ak je segment integrácie rozdelený na časti, potom určitý integrál cez celý segment sa rovná súčtu určitých integrálov nad jeho časťami, t.j. ak
(43)
Veta 6.Pri prestavovaní hraníc integrácie sa nemení absolútna hodnota určitého integrálu, ale mení sa len jeho znamienko, t.j.
(44)
Veta 7(teorém o strednej hodnote). Určitý integrál sa rovná súčinu dĺžky integračného segmentu a hodnoty integrandu v určitom bode v ňom, t.j.
(45)
Veta 8.Ak je horná hranica integrácie väčšia ako dolná a integrand je nezáporný (kladný), potom je aj určitý integrál nezáporný (kladný), t.j. ak
Veta 9.Ak je horná hranica integrácie väčšia ako dolná hranica a funkcie a sú spojité, potom nerovnosť
môžu byť integrované termín po termíne, t.j.
(46)
Vlastnosti určitého integrálu nám umožňujú zjednodušiť priamy výpočet integrálov.
Príklad 5 Vypočítajte určitý integrál
Pomocou viet 4 a 3 a pri hľadaní primitív – tabuľkových integrálov (7) a (6) dostaneme
Určitý integrál s premennou hornou hranicou
Nechaj f(X) je spojitý na intervale [ a, b] funkciu a F(X) je jeho prototyp. Zvážte určitý integrál
(47)
a cez t premenná integrácie sa uvádza, aby nedošlo k zámene s Horná hranica. Keď sa to zmení X mení sa aj určitý integrál (47), t.j. je funkciou hornej hranice integrácie X, ktoré označujeme F(X), t.j.
(48)
Dokážme, že funkcia F(X) je primitívne pre f(X) = f(t). Naozaj, rozlišovanie F(X), dostaneme
ako F(X) je primitívne pre f(X), a F(a) je konštantná hodnota.
Funkcia F(X) je jednou z nekonečnej množiny primitívnych derivátov pre f(X), a to ten, ktorý X = a ide na nulu. Toto tvrdenie získame, ak do rovnosti (48) dáme X = a a použite vetu 1 z predchádzajúcej časti.
Výpočet určitých integrálov metódou integrácie po častiach a metódou zmeny premennej
kde podľa definície F(X) je primitívne pre f(X). Ak v integrande vykonáme zmenu premennej
potom v súlade so vzorcom (16) môžeme písať
V tomto výraze
priraďovacia funkcia pre
Vskutku, jeho derivát, podľa pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie, rovná sa
Nech α a β sú hodnoty premennej t, pre ktorú funkciu
preberá príslušné hodnoty a a b, t.j.
Ale podľa vzorca Newton-Leibniz je rozdiel F(b) – F(a) jesť
Nech je daná nejaká spojitá funkcia f na niektorom segmente osi Ox. Predpokladáme, že táto funkcia nemení svoje znamienko na celom intervale.
Ak f je spojitá a nezáporná funkcia na určitom segmente a F sú niektoré z jej primitívnych prvkov na tomto segmente, potom sa plocha krivočiareho lichobežníka S rovná prírastku primitívnej funkcie na tomto segmente.
Táto veta môže byť napísaná v nasledujúcom vzorci:
S = F(b) - F(a)
Integrál funkcie f(x) od a do b sa bude rovnať S. Tu a nižšie na označenie určitého integrálu nejakej funkcie f(x), s integračnými limitami od a do b, použijeme nasledujúci zápis (a;b)∫f(x). Nižšie je uvedený príklad, ako by to vyzeralo.
Newtonov-Leibnizov vzorec
Takže tieto dva výsledky môžeme porovnávať. Dostaneme: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), za predpokladu, že F je primitívne derivácia funkcie f na . Tento vzorec sa nazýva Newtonove-Leibnizove vzorce. Bude to platiť pre akúkoľvek spojitú funkciu f na intervale.
Na výpočet integrálov sa používa Newtonov-Leibnizov vzorec. Pozrime sa na niekoľko príkladov:
Príklad 1: výpočet integrálu. Nájdite primitívnu vlastnosť pre integrand x 2 . Jednou z primitív bude funkcia (x 3)/3.
Teraz použijeme Newtonov-Leibnizov vzorec:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Odpoveď: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Príklad 2: vypočítajte integrál (0;pi)∫sin(x)dx.
Nájdite primitívnu deriváciu pre integrand sin(x). Jednou z primitív bude funkcia -cos(x). Použime vzorec Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Odpoveď: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Niekedy sa pre jednoduchosť a pohodlie zápisu prírastok funkcie F na segmente (F(b)-F(a)) zapisuje takto:
Pomocou tohto zápisu pre prírastok možno Newtonov-Leibnizov vzorec prepísať takto:
Ako bolo uvedené vyššie, toto je len skratka pre jednoduchosť nahrávania, nič iné táto nahrávka neovplyvňuje. Tento zápis a vzorec (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) budú ekvivalentné.
Riešenie aplikovaných úloh sa redukuje na výpočet integrálu, ale nie vždy je možné to urobiť presne. Niekedy je potrebné poznať hodnotu určitého integrálu s určitým stupňom presnosti, napríklad na tisícinu.
Sú úlohy, kedy by bolo potrebné nájsť približnú hodnotu určitého integrálu s požadovanou presnosťou, potom sa používa numerická integrácia ako Simposnova metóda, lichobežníky, obdĺžniky. Nie všetky prípady nám umožňujú vypočítať ho s určitou presnosťou.
Tento článok sa zaoberá aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. To je potrebné pre presný výpočet určitého integrálu. Bude dané podrobné príklady, uvažujeme o zmene premennej v určitom integráli a zistíme hodnoty určitého integrálu pri integrácii po častiach.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Newtonov-Leibnizov vzorec
Definícia 1Keď je funkcia y = y (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] a F (x) je potom jedným z primitívnych derivátov funkcie tohto segmentu Newtonov-Leibnizov vzorec považované za spravodlivé. Napíšme to takto ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Tento vzorec sa zvažuje základný vzorec integrálneho počtu.
Na preukázanie tohto vzorca je potrebné použiť koncept integrálu s dostupným horným limitom premennej.
Keď je funkcia y = f (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom hodnotu argumentu x ∈ a ; b , a integrál má tvar ∫ a x f (t) d t a považuje sa za funkciu hornej hranice. Je potrebné akceptovať, že zápis funkcie bude mať tvar ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , je spojitý a nerovnosť tvaru ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = platí preň f (x).
Zafixujeme, že prírastok funkcie Φ (x) zodpovedá prírastku argumentu ∆ x , je potrebné použiť piatu hlavnú vlastnosť určitého integrálu a získať
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
kde hodnota c ∈ x ; x + ∆x .
Rovnosť zafixujeme v tvare Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Definíciou derivácie funkcie je potrebné prejsť do limity ako ∆ x → 0, potom dostaneme vzorec v tvare umiestnenom na [ a ; b ] V opačnom prípade možno výraz zapísať
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , kde hodnota C je konštantná.
Vypočítajme F (a) pomocou prvej vlastnosti určitého integrálu. Potom to dostaneme
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, teda C = F (a) . Výsledok je použiteľný pri výpočte F (b) a dostaneme:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , inými slovami, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Rovnosť dokazuje Newtonov-Leibnizov vzorec ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Prírastok funkcie sa berie ako F x a b = F (b) - F (a) . Pomocou notácie sa z Newtonovho-Leibnizovho vzorca stane ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Pre aplikáciu vzorca je potrebné poznať jednu z primitív y = F (x) integrandu y = f (x) zo segmentu [ a ; b ] , vypočítajte prírastok primitívneho derivátu z tohto segmentu. Zvážte niekoľko príkladov výpočtov pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
Príklad 1
Vypočítajte určitý integrál ∫ 1 3 x 2 d x pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
rozhodnutie
Uvažujme, že integrand tvaru y = x 2 je spojitý z intervalu [ 1 ; 3 ] , potom a je integrovateľné na tomto intervale. Podľa tabuľky neurčité integrály vidíme, že funkcia y \u003d x 2 má množinu primitívnych derivátov pre všetky reálne hodnoty x, čo znamená, že x ∈ 1; 3 sa zapíše ako F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Je potrebné vziať antiderivát s C \u003d 0, potom dostaneme F (x) \u003d x 3 3.
Použime Newtonov-Leibnizov vzorec a získame, že výpočet určitého integrálu bude mať tvar ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
odpoveď:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Príklad 2
Vypočítajte určitý integrál ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x pomocou Newton-Leibnizovho vzorca.
rozhodnutie
Daná funkcia je spojitá od segmentu [-1; 2 ], čo znamená, že je naň integrovateľný. Je potrebné nájsť hodnotu neurčitého integrálu ∫ x e x 2 + 1 d x metódou sčítania pod diferenciálnym znamienkom, potom dostaneme ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 12 e x 2 + 1 + C.
Máme teda množinu primitív funkcie y = x · e x 2 + 1 , ktoré platia pre všetky x , x ∈ - 1 ; 2.
Je potrebné zobrať primitívny prvok pri C = 0 a použiť Newtonov-Leibnizov vzorec. Potom dostaneme vyjadrenie formy
∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 – 1)
odpoveď:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Príklad 3
Vypočítajte integrály ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x a ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
rozhodnutie
Segment - 4; - 1 2 hovorí, že funkcia pod znakom integrálu je spojitá, čo znamená, že je integrovateľná. Odtiaľto nájdeme množinu primitívnych funkcií funkcie y = 4 x 3 + 2 x 2 . Chápeme to
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Je potrebné vziať antideriváciu F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, potom pomocou vzorca Newton-Leibniz získame integrál, ktorý vypočítame:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Prejdeme k výpočtu druhého integrálu.
Zo segmentu [-1; 1 ] máme, že integrand sa považuje za neohraničený, pretože lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , potom z toho vyplýva, že nevyhnutná podmienka integrovateľnosť zo segmentu. Potom F (x) = 2 x 2 - 2 x nie je primitívna derivácia pre y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1 ] , keďže bod O patrí do segmentu, ale nie je zahrnutý v doméne definície. To znamená, že existuje určitý Riemannov a Newton-Leibnizov integrál pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1].
Odpoveď: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, existuje určitý integrál Riemanna a Newtona-Leibniza pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1].
Pred použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca musíte presne vedieť o existencii určitého integrálu.
Zmena premennej v určitom integráli
Keď je funkcia y = f (x) definovaná a spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom existujúca množina [ a ; b ] sa považuje rozsah funkcie x = g (z) definovaný na intervale α ; β s existujúcou spojitou deriváciou, kde g (α) = a a g β = b , teda dostaneme, že ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g “ (z) d z .
Tento vzorec sa používa, keď je potrebné vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x , kde neurčitý integrál má tvar ∫ f (x) d x , vypočítame substitučnou metódou.
Príklad 4
Vypočítajte určitý integrál v tvare ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
rozhodnutie
Integrand sa považuje za spojitý na integračnom intervale, čo znamená, že určitý integrál existuje. Uveďme zápis, že 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Hodnota x \u003d 9 znamená, že z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 a pre x \u003d 18 dostaneme, že z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 α 3, potom g . u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18. Dosadením získaných hodnôt do vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z dostaneme, že
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 + 3 2 z 2 9 d z
Podľa tabuľky neurčitých integrálov máme, že jedna z primitív funkcie 2 z 2 + 9 nadobúda hodnotu 2 3 a r c t g z 3 . Potom získame pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a π r c = g 3 - a π r c t = g 3 π r c t
Zistenie by sa dalo urobiť bez použitia vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Ak náhradná metóda používa integrál v tvare ∫ 1 x 2 x - 9 d x , potom môžeme dospieť k výsledku ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Odtiaľto vykonáme výpočty pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca a vypočítame určitý integrál. Chápeme to
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c r c t 3 - a 4 \u003d π 18
Výsledky sa zhodovali.
Odpoveď: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Integrácia po častiach pri výpočte určitého integrálu
Ak je na segmente [ a ; b ] funkcie u (x) a v (x) sú definované a spojité, potom ich derivácie prvého rádu v " (x) u (x) sú integrovateľné, teda z tohto intervalu pre integrovateľnú funkciu u " (x) v ( x) platí rovnosť ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x.
Potom je možné použiť vzorec, je potrebné vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x a ∫ f (x) d x ho bolo potrebné nájsť integráciou po častiach.
Príklad 5
Vypočítajte určitý integrál ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
rozhodnutie
Funkcia x sin x 3 + π 6 je integrovateľná na segmente - π 2; 3 π 2 , teda je spojitá.
Nech u (x) \u003d x, potom d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x a d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x a v (x) = - 3 cos π3 + π6. Zo vzorca ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x dostaneme, že
∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + \ π 6 d x \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 2 - 3 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Riešenie príkladu je možné vykonať aj iným spôsobom.
Nájdite množinu primitívnych derivátov funkcie x sin x 3 + π 6 pomocou integrácie po častiach pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca:
∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Odpoveď: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
