Sekcie: Matematika
Ciele lekcie: zovšeobecnenie a zlepšenie vedomostí o tejto téme.
Úlohy:
- Vzdelávacie:
- organizácia komunikácie na hodine (učiteľ - žiak, žiak - učiteľ);
- implementácia diferencovaného prístupu k učeniu;
- zabezpečiť zopakovanie základných pojmov.
- Vzdelávacie:
- rozvíjať schopnosť zdôrazniť hlavnú vec;
- logicky vyjadrovať myšlienky.
- Vzdelávacie:
- formovanie kultúry vzdelávacie aktivity a informačná kultúra;
- rozvíjanie schopnosti prekonávať ťažkosti.
Náčrt lekcie.
Počas sledovania prezentácie študenti odpovedajú na nasledujúce otázky:
- Čo je to zakrivený lichobežník?
- Aká je plocha zakriveného lichobežníka?
- Uveďte definíciu integrálu.
Trieda je rozdelená na 2 podskupiny. Prvá podskupina je silnejšia ako druhá, preto podskupina 2 najskôr spolupracuje s učiteľom (opakuje pravidlá pre výpočet integrálov – test sa robí pri tabuli) a potom pracuje pri počítači a robí samostatnú prácu. Druhá podskupina s priemernými schopnosťami pracuje samostatne. IN didaktická hra„Integral“ potrebuje rozlúštiť výrok: „Čisté svedomie je ten najjemnejší vankúš.“ Zadaná domáca úloha je kreatívna – vyberte 5 originálnych príkladov hľadania oblastí ploché postavy s kresbami.
Možnosť 1.
Inštrukcie
2. Vykresľovanie grafov:
A) Grafy – Pridať graf… - v teréne Vzorec zadajte vzorec funkcie - vyberte hrúbku čiary - OK.
.
Upraviť - Pridať štítok...
Zobraziť – zoznamy grafov.
Cvičenie
A) ________________
b) ________________
4. Vypočítajte plochu obrázku obmedzenú grafmi týchto funkcií:
A) _________________________
________________________
________________________b) ___________________________________
________________________
________________________
Samostatná práca „Výpočet plochy rovinných útvarov pomocou určitého integrálu“
Žiaci____11. ročník, skupiny _____________________________
Možnosť 2
Inštrukcie
1. Otvorte rozšírený grafový plotter z pracovnej plochy.
2. Vykresľovanie grafov:
A) Grafy – Pridať graf…
b) Na označenie stupňov použite znak ^ (napríklad )
c) Na nastavenie goniometrických funkcií použite diagram: Grafy – Sada vlastností – Trigonometrická sada. Ďalej podľa obvyklej schémy, ale musíte zväčšiť mierku.
3. Podpíšte názov funkcie: Upraviť - Pridať štítok...
4. Vypnite zobrazenie všetkých grafov na paneli: Zobraziť – zoznamy grafov
Cvičenie
1. Pomocou priložených pokynov vytvorte grafy funkcií:
2. Nájdite priesečníky týchto grafov
A) _______________________________
b) _______________________________
3. Určite integračný interval
A) ________________
b) ________________
A) _________________________
________________________
________________________
b) __________________________________
________________________
________________________
Samostatná práca „Výpočet plochy rovinných útvarov pomocou určitého integrálu“
Žiaci____11. ročník, skupiny _____________________________
Možnosť 3.
Inštrukcie
1. Otvorte rozšírený grafový plotter z pracovnej plochy.
2. Vykresľovanie grafov:
A) Grafy – Pridať graf…– do poľa Vzorec zadajte vzorec funkcie – vyberte hrúbku čiary – OK.
b) Na označenie stupňov použite znak ^ (napríklad )
c) Na nastavenie goniometrických funkcií použite diagram: Grafy – Súbor vlastností – Trigonometrický súbor.Ďalej podľa obvyklej schémy, ale musíte zväčšiť mierku.
3. Podpíšte názov funkcie: Upraviť - Pridať štítok...
4. Vypnite zobrazenie všetkých grafov na paneli: Zobraziť – zoznamy grafov
Cvičenie
1. Pomocou priložených pokynov vytvorte grafy funkcií:
A)
2. Nájdite priesečníky týchto grafov
A) _______________________________
b) _______________________________
3. Určite integračný interval
A) ___________________
b) ___________________
4. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú grafmi týchto funkcií.
A) _________________________
________________________
________________________
b) __________________________________
________________________
________________________
Ústna práca 1. Pomocou integrálu vyjadrite plochy obrázkov znázornených na obrázkoch:
2. Vypočítajte integrály:
Nájdite oblasť obrázku:
5) 1/3; ln2 ;√2
Trochu histórie
"Integrál" vynájdený Jacob Bernoulli(1690)
„obnoviť“ z latinského integro
„celé“ z latinského celého čísla
"Primitívna funkcia"
z latinčiny
primitivus- počiatočné,
Joseph Louis Lagrange
Neoddeliteľná v staroveku
Prvá známa metóda na výpočet integrálov je Metóda vyčerpania Eudoxus (približne 370 pred Kr BC), ktorí sa pokúsili nájsť oblasti a objemy tak, že ich rozdelili na nekonečné množstvo častí, pre ktoré už bola oblasť alebo objem známy.
Táto metóda bola vyzdvihnutá a vyvinutá Archimedes a bol použitý na výpočet plôch parabol a aproximáciu plochy kruhu.
Eudoxus z Knidu
Isaac Newton (1643-1727)
Najkompletnejšia prezentácia diferenciálneho a integrálneho počtu je obsiahnutá v
Premenné - plynulé (antiderivačný alebo neurčitý integrál)
Rýchlosť zmeny plynutia - toku (derivát)
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716)
- prvýkrát použil Leibniz v závere
Symbol bol vytvorený z písmena
S - slovné skratky
summa(súčet)
Vzorce na výpočet plôch tieňovaných obrázkov na výkresoch
Algoritmus na výpočet plochy rovinného útvaru :
- Podľa podmienok úlohy urobte schematický nákres.
- Prezentujte požadovanú funkciu ako súčet alebo rozdiel plôch krivočiary lichobežník, vyberte príslušný vzorec.
- Nájdite hranice integrácie (a a b) z podmienok problému alebo výkresu, ak nie sú určené.
- Vypočítajte plochu každého zakriveného lichobežníka a plochu požadovaného obrázku.
ÚLOHA
Pred budovou školy bolo rozhodnuté vysadiť záhon. Ale tvar záhonu by nemal byť okrúhly, štvorcový alebo obdĺžnikový. Mal by obsahovať rovné a zakrivené čiary. Nech je to plochá postava ohraničená čiarami
Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.
Vypočítajme plochu výsledného obrázku pomocou vzorca:
Kde f(x)= 6 , A g(x)=4/x +2
Keďže pre každého meter štvorcový Zaplatí sa 50 rubľov, potom budú zárobky:
6,4 * 50 = 320 (rubľov).
Domáca úloha:
Téma lekcie: „Výpočet plôch pomocou integrálov“
Účel lekcie :
kultivovať vôľu a vytrvalosť dosiahnuť konečné výsledky pri hľadaní oblasti krivočiareho lichobežníka pomocou vzorca Newton-Leibniz naučte, ako nájsť oblasť figúr pomocou predtým študovanej teórie. Rozvíjajte schopnosti sebaovládania, kompetentne konštruujte výkresy a použite ich na ilustráciu riešenia. Zhrnúť a systematizovať teoretický materiál na danú tému. Precvičte si zručnosti počítať primitívne funkcie. Precvičte si výpočtové schopnosti určitý integrál podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
Vybavenie: interaktívna tabuľa, písomky.
Štruktúra lekcie:
1. Org. Moment
2. Skontrolujte domáca úloha. Aktualizácia základných vedomostí a zručností
3. Nový materiál
4. Konsolidácia (práca v skupinách) diferencovaná kontrola
5. Domov. zadok (diferencovaný)
Metódy : výkladovo-ilustračný, čiastočne rešeršný, praktický.
Typ tréningu: integrovaná lekcia
Formy práce : čelný, skupinový.
Počas vyučovania:
jaOrg. Moment
IIKontrola domu. zadok:. Zopakujte si pojem primitívne, základné vzorce. (teoretický materiál)
Pamätajte na konštrukčný algoritmus kvadratickej funkcie(predný rozhovor)
Programované ovládanie
Cvičenie | Odpoveď |
||||
možnosť 1 | Možnosť 2 | ||||
Nájdite všeobecný tvar primitívnej funkcie pre funkciu. |
|||||
Vypočítať: |
|||||
Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami: |
|||||
y = x2, y = 0, x = 2 | y = x3, y = 0, x = 2 |
Každý kadet má túto samostatnú prácu na svojom stole, čo umožňuje kontrolovať splnenie úlohy. otrok. Správna odpoveď sa zakrúžkuje a odošle na overenie.
IIITeoretický materiál
Problém 1: Nájdite oblasť zakriveného lichobežníka ohraničeného osou OX, čiarami x=a, x=b a grafom funkcie y=f(x)
y(x)=9-x2, x=-1, x=2
Jeden kadet je povolaný k tabuli a pomocou programu Advanced Grapher postaví zakrivený lichobežník a výsledok zobrazí na interaktívnej tabuli. Zvyšok pracujte v zošitoch a potom skontrolujte pomocou tabule
Na doske sa zatieni zakrivený lichobežník a nakreslí sa riešenie.
https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">
Pri frontálnom rozhovore zatienime postavu, ktorej oblasť potrebujeme nájsť
Kadetom sa kladie otázka: „Je výsledná postava zakrivený lichobežník? Ako môžete vypočítať plochu daného obrazca na základe predtým získaných vedomostí?
Ako nájsť hranice integrácie pre každý zakrivený lichobežník?
Poďme nájsť priesečníky týchto dvoch funkcií:
X2 =2 X- X2 (študentská odpoveď)
Záver: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (na tabuli je zobrazená iba odpoveď). Poradcovia pracujú pre slabších.
· Vytvárame grafy funkcií
Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image017_20.jpg" width="512" height="260 src=">Pomocou toho istého výkresu vypočítajte plochu tieňovaného obrázku:
Kadet na tabuli približuje kresbu pre lepšiu prehľadnosť.
Ako nájsť oblasť daného čísla?
Študenti dospeli k záveru, že tento obrazec pozostáva z dvoch zakrivených lichobežníkov.
Napíšeme výsledok všeobecný pohľad(kadeti robia svoje vlastné závery, učiteľ hrá len vedúcu úlohu)
· Vytvárame grafy funkcií
· Nájdite úsečku priesečníkov grafov funkcií f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫(g(x)-f(x))dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Kadeti uzatvárajú:
 |
IV Konsolidácia (rozdielna práca v skupinách)
Skupina 1: Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
Skupina 2: Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
Skupina 3: Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
Tlačidlo autotestu je zobrazené na doske:
III skupina |
||
Zhrnutie:
· Ako sa vypočíta plocha zakriveného lichobežníka?
· Ktoré z vytieňovaných obrázkov (pozri nákresy v zošite) sú zakrivené lichobežníky?
· Prečo sa iné obrazce nedajú nazvať krivočiarymi lichobežníkmi? Aká je ich oblasť?
V Dif. dom. Job
Skupina 1: č. 000, č. 000(2), č. 000(1)
Skupina 2: č. 000(2), č. 1, č. 000(4)
Praktická práca na tému: „Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu“
Cieľ práce: ovládať schopnosť riešiť problémy týkajúce sa výpočtu plochy krivkovej roviny pomocou určitého integrálu.
Vybavenie: inštruktážna karta, tabuľka integrálov, prednáškový materiál na tému: „Určitý integrál. Geometrický význam určitý integrál“.
Pokyny:
1) Preštudujte si materiály z prednášky: „Určitý integrál. Geometrický význam určitého integrálu."
Stručné teoretické informácie
Určitý integrál funkcie na segmente - to je limit, do
ku ktorému smeruje integrálny súčet, keďže dĺžka najväčšieho čiastkového segmentu smeruje k nule.
Dolná hranica integrácie je horná hranica integrácie.
Na výpočet určitého integrálu použite Newtonov vzorec -
Leibniz:
Geometrický význam určitého integrálu. Ak je integrovateľný na
segment, funkcia je nezáporná, potom sa číselne rovná ploche krivočiareho lichobežníka:
Krivočiary lichobežník - obrazec ohraničený grafom funkcie
Os x a priame čiary, .
Rôzne prípady usporiadania plochých postáv v súradnicová rovina:
Ak je pod krivkou ohraničený zakrivený lichobežník so základňou , potom z úvah o symetrii je zrejmé, že plocha obrázku sa rovná alebo.
Ak je údaj ohraničený krivkou, ktorá nadobúda kladné aj záporné hodnoty . V tomto prípade, aby ste mohli vypočítať plochu požadovaného obrázku, je potrebné ho rozdeliť na časti
Ak je rovinný obrazec ohraničený dvoma krivkami a , potom jeho plochu možno nájsť pomocou plôch dvoch krivočiarych lichobežníkov: i.B v tomto prípade Plochu požadovaného čísla je možné vypočítať pomocou vzorca:
Príklad. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami:
Riešenie. 1) Zostrojte parabolu a priamku v rovine súradníc (nákres k problému).
2) Vyberte (odtieňujte) obrázok ohraničený týmito čiarami.
Kreslenie pre problém
3) Nájdite úsečku priesečníkov paraboly a priamky. Pre toto sa rozhodneme
systém v porovnaní:
Plochu obrázku nájdeme ako rozdiel medzi plochami krivočiarych lichobežníkov,
ohraničené parabolou a priamkou.
5) Odpoveď.
Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného danými čiarami:
Zostrojte dané čiary v jednej súradnicovej rovine.
Vytieňujte postavu ohraničenú týmito čiarami.
Určte hranice integrácie (nájdite úsečku priesečníkov kriviek).
Vypočítajte plochu obrázku výberom požadovaného vzorca.
Zapíšte si odpoveď.
2) Urobte nasledovné úloha podľa jednej z možností:
Cvičenie. Vypočítajte plochu obrázkov ohraničenú čiarami (použite algoritmus na vyriešenie problému výpočtu plochy obrázku):
1125 Výpočet plôch rovinných obrazcov pomocou integrálnych pokynov na implementáciu samostatná práca z matematiky pre študentov 1. ročníka Fakulty otvoreného stredného vzdelávania Zostavil S.L. Rybina, N.V. Fedotova 0 Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho vzdelávania "Voronežská štátna univerzita architektúry a stavebníctva" Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou integrálnych pokynov na vykonávanie samostatnej práce v matematike pre Študenti 1. ročníka fakulty SPO Zostavil S.L. Rybina, N.V. Fedotova Voronezh 2015 1 MDT 51:373(07) BBK 22.1ya721 Zostavili: Rybina S.L., Fedotova N.V. Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou integrálu: pokyny na vykonávanie samostatnej práce z matematiky pre študentov 1. ročníka stredného odborného vzdelávania/Voronežská štátna vysoká škola stavebná; komp.: S.L. Rybina, N.V. Fedotovej. – Voronež, 2015. – s. Uvádzajú sa teoretické informácie o výpočte plôch rovinných útvarov pomocou integrálu, uvádzajú sa príklady riešenia úloh a úlohy na samostatnú prácu. Môže byť použitý na prípravu individuálnych projektov. Určené pre študentov 1. ročníka Fakulty otvoreného stredného vzdelávania. Il. 18. Bibliografia: 5 titulov. UDC 51:373(07) BBK 22.1я721 Uverejnené rozhodnutím vzdelávacej a metodickej rady Voronežskej štátnej agrárnej univerzity recenzent – Glazková Maria Yurievna, Ph.D. fyzika a matematika vied, docent, učiteľ katedry vyššia matematika Voronežská štátna agrárna univerzita 2 Úvod Táto príručka je určená pre študentov 1. ročníka Fakulty stredného odborného vzdelávania všetkých odborov. Odsek 1 poskytuje teoretické informácie o výpočte plôch rovinných útvarov pomocou integrálu, odsek 2 uvádza príklady riešenia úloh a odsek 3 ponúka úlohy na samostatnú prácu. Všeobecné ustanovenia Samostatnou prácou žiakov je práca, ktorú vykonávajú na pokyn učiteľa bez jeho priamej účasti (avšak pod jeho vedením) v čase na to osobitne určenom. Ciele a zámery samostatnej práce: systematizácia a upevnenie získaných vedomostí a praktických zručností žiakov; prehlbovanie a rozširovanie teoretických a praktických vedomostí; rozvíjanie schopnosti používať špeciálnu referenčnú literatúru a internet; rozvoj kognitívnych schopností a aktivity žiakov, tvorivej iniciatívy, samostatnosti, zodpovednosti a organizácie; formovanie samostatného myslenia, schopností sebarozvoja, sebazdokonaľovania a sebarealizácie; rozvoj výskumných poznatkov. poskytovanie vedomostnej základne pre odbornú prípravu absolventov v súlade s federálnym štátnym vzdelávacím štandardom pre stredné odborné vzdelávanie; formovanie a rozvoj všeobecných kompetencií definovaných vo federálnom štátnom vzdelávacom štandarde pre stredné odborné vzdelávanie; príprava na formovanie a rozvoj odborných kompetencií zodpovedajúcich hlavným druhom odbornej činnosti. systematizácia, upevňovanie, prehlbovanie a rozširovanie získaných teoretických vedomostí a praktických zručností žiakov; rozvoj kognitívnych schopností a aktivity žiakov: tvorivá iniciatíva, samostatnosť, zodpovednosť a organizácia; formovanie samostatného myslenia: schopnosť sebarozvoja, sebazdokonaľovania a sebarealizácie; osvojenie si praktických zručností pri využívaní informačných a komunikačných technológií v odborných činnostiach; rozvoj výskumných zručností. Kritériá hodnotenia výsledkov mimoškolskej samostatnej práce študenta sú: úroveň zvládnutia vzdelávacieho materiálu študenta; 3 schopnosť študenta využívať teoretické vedomosti pri riešení problémov; platnosť a jasnosť odpovede; návrh materiálu v súlade s požiadavkami federálneho štátneho vzdelávacieho štandardu. 4 1. Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou integrálu 1. Referenčný materiál. 1.1. Zakrivený lichobežník je obrazec ohraničený zhora grafom spojitej a nezápornej funkcie y=f(x), zdola úsečkou osi Ox a zo strán úsečkami x=a, x= b (obr. 1) Obr. 1 Plochu zakriveného lichobežníka možno vypočítať pomocou určitého integrálu: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1,2. Nech je funkcia y=f(x) spojitá na intervale a prevezme tento interval kladné hodnoty(obr. 2). Potom musíte segment rozdeliť na časti, potom pomocou vzorca (1) vypočítať oblasti zodpovedajúce týmto častiam a pridať výsledné oblasti. S = S1 + S2 c S b f x dx f x dx a (2) c Obr. 2 1.3. V prípade, keď nepretržitá funkcia f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)>g(x) v celom intervale (a; b). V tomto prípade sa plocha obrázku vypočíta podľa vzorca y b S = (f (x) g (x)) dx y = f (x) (4) a 1 a -1 O -1 b 1 y =g(x) x Obr. 4 1.5. Problémy výpočtu plôch plochých figúrok je možné riešiť podľa nasledujúceho plánu: 1) podľa podmienok úlohy urobte schematický výkres; 2) predstavujú požadované číslo ako súčet alebo rozdiel plôch krivočiarych lichobežníkov. Z podmienok úlohy a výkresu sú určené hranice integrácie pre každý komponent krivočiareho lichobežníka; 3) napíšte každú funkciu v tvare f x ; 4) vypočítajte plochu každého krivočiareho lichobežníka a požadovaný údaj. 6 2. Príklady riešenia úloh 1. Vypočítajte plochu zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami y = x + 3, y = 0, x = 1 a x = 3. Riešenie: Nakreslite priamky dané rovnicami a zatieniť zakrivený lichobežník, ktorého oblasť nájdeme. SАВД= Odpoveď: 10. 2. Útvar ohraničený priamkami y = -2x + 8, x = -1, y = 0 rozdelíme priamkou y = x2 – 4x + 5 na dve časti. Nájdite oblasť každej časti. Riešenie: Uvažujme funkciu y = x2 – 4x +5. y = x2 – 4x +5 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 5 = (x – 2)2 + 1, t.j. Grafom tejto funkcie je parabola s vrcholom K(2; 1). SABC= . 7 SABCME = S1 = SABCME + SEMC, S1 = S2 = SABC – S1, S2 = Odpoveď: a = . . 3. Zadania na samostatnú prácu Ústna skúška 1. Aký obrazec sa nazýva zakrivený lichobežník? 2. Ktoré z obrázkov sú zakrivené lichobežníky: 3. Ako nájsť oblasť zakriveného lichobežníka? 4. Nájdite plochu vytieňovaného obrazca: 8 5. Pomenujte vzorec na výpočet plochy zobrazených obrazcov: Písomný test 1. Ktorý obrazec zobrazuje obrazec, ktorý nie je zakrivený lichobežník? 2. Pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca vypočítajte: A. Primát funkcie ; B. Oblasť zakriveného lichobežníka; V. Integrál; D. Derivát. 3. Nájdite oblasť vytieňovaného obrázku: 9 A. 0; B. –2; IN 1; D. 2. 4. Nájdite plochu obrazca ohraničenú osou Ox a parabolou y = 9 – x2 A. 18; B. 36; V. 72; D. Nedá sa vypočítať. 5. Nájdite plochu obrazca ohraničenú grafom funkcie y = sin x, priamkami x = 0, x = 2 a osou x. A. 0; B. 2; AT 4; D. Nedá sa vypočítať. Možnosť 1 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: a) y x2, b) y x2 c) y cos x, d) y 1, x3 y 0, x y 0; x, y 0, 0, 4; x x 1, x 0, x 6; 2. 10 Možnosť 2 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: b) y 1 2 x, y 2 x2 2 x, c) y sin x, d) y 1, x2 a) y y 0, x y 0 ; 0, x 0, x 3; 3 2, ; x 1. Možnosť 3 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: a) y = 2 – x3, y = 1, x = -1, x = 1; b) y = 5 – x2, y = 2x2 + 1, x = 0, x = 1; c) y = 2 sin x, x = 0, x = p, y = 0; d) y = 2x – 2, y = 0, x = 3, x = 4. Možnosť 4 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: a) y = x2+1, y = 0, x = - 1, x = 2; b) y = 4 – x2 a y = x + 2; c) y = x2 + 2, y = 0, x = -1, x = 2; d) y = 4 – x2 a y = 2 – x. Možnosť 5 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: a) y 7 x, x=3, x=5, y=0; b) y c) y d) y8, x = - 8, x = - 4, y = 0; x 0,5 x 2 4 x 10, y x 2; x 2, y x 6, x=-6 a súradnicové osi. 11 Možnosť 6 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami a) y 4 x 2, y = 0; b) y cos x, x, x c) y x 28 x 18, y d) y x, y2, y=0; 2 x 18; 1, x = 4. x Možnosť 7 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami a) y x 2 6 x, x = -1, x = 3, y = 0; b) y = -3x, x = 1, x = 2, y = 0; c) y x 2 10 x 16, y = x + 2; d) y 3 x, y = -x +4 a súradnicové osi. Možnosť 8 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami a) y sin x, x 3, x, y = 0; b) y x 24, x = -1, x = 2, y = 0; c) y x 2 2 x 3, y 3 x 1; d) y x 2, y x 4 2, y = 0, Možnosť 1 1. Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: a) y = x2, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = - Ï Ï, x= ; 2 2 c) y = 2x2, y = 2x. 2. (voliteľné) Nájdite plochu obrazca ohraničenú grafom funkcie y = x2 – 2x + 3, dotyčnicu ku grafu v jeho bode s osou 2 a priamkou x = -1. 12 Možnosť 2 1. Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: a) y = x3, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = 0, x = Ï; 2 c) y = 0,5 x 2, y = x. 2. (voliteľné) Nájdite plochu obrazca ohraničenú grafom funkcie y = 3 + 2x - x2, dotyčnicu ku grafu v jeho bode s osou 3 a priamkou x = 0. Možnosť 3 1. Vypočítajte plocha obrázku ohraničená čiarami: a) y = x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï 3Ï, x=; 2 2 c) y = x2, y = -x2 + 2. 2. (voliteľné) Nájdite plochu obrazca ohraničenú grafom funkcie y = 2x - x2, dotyčnicu ku grafu v jeho bode s osou 2 a osou. Možnosť 4 1. Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami: a) y = 0,5 x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï Ï , x= ; 4 2 c) y = 9 - x2, y = 2x + 6. 2. (voliteľné) Nájdite plochu obrazca ohraničenú grafom funkcie y = x2+ 2x, dotýkajúcu sa grafu v jeho bode s osou -2 a ordinačná os. Úlohy pre prácu vo dvojiciach: 1. Vypočítajte plochu tieňovaného obrázku 2. Vypočítajte plochu tieňovaného obrázku 13 3. Vypočítajte plochu tieňovaného obrázku 4. Vypočítajte plochu tieňovaného obrázku obrázok 14 5. Vypočítajte plochu vytieňovaného obrázku 6. Uveďte plochu vytieňovaného obrázku ako súčet alebo rozdiel plôch krivočiarych lichobežníkov ohraničených grafmi čiar, ktoré poznáte. 7. Predstavte si plochu tieňovaného obrázku ako súčet alebo rozdiel plôch krivočiarych lichobežníkov ohraničených grafmi čiar, ktoré poznáte. 15 Bibliografia 1. Sharygin, I. F. Matematika: algebra a princípy matematickej analýzy, geometria. Geometria. Základná úroveň. 10. - 11. ročník: učebnica / I.F. Sharygin. - 2. vyd., vymazané. – Moskva: Drop, 2015. – 238 s. 2. Muravin G.K. Matematika: algebra a princípy matematickej analýzy, geometria. Základná úroveň. 11. ročník: učebnica / G.K.Muravin, O.V.Muravin - 2.vyd., vymazané. - Moskva: Drop, 2015. - 189 s. 3. Muravin G.K. Matematika: algebra a princípy matematickej analýzy, geometria. Základná úroveň. 10. ročník: učebnica / G.K.Muravin, O.V.Muravina. - 2. vyd., vymazané. - Moskva: drop, 2013 – 285 s. 4. Štúdium geometrie v ročníkoch 10-11: Metóda. odporúčania pre štúdium: Kniha. pre učiteľa/S. M. Sahakyan, V. F. Butuzov. – 2. vyd. – M.: Vzdelávanie, 2014. – 222 s.: chor. 5. Štúdium algebry a začiatky analýzy v ročníkoch 10-11: Kniha. pre učiteľa / N. E. Fedorova, M. V. Tkacheva. – 2. vyd. – M.: Vzdelávanie, 2014. – 205 s.: chor. 6. Algebra a začiatky analýzy. 10-11 ročníkov: V dvoch častiach. 1. časť: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / Mordkovich A.G. – 5. vyd. – M.: Mnemosyne, 2014. – 375 s.: chorý. Internetové zdroje: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Užitočné odkazy na matematické a vzdelávacie stránky: Vzdelávacie materiály, testy 2. http://www.fxyz.ru/ - Interaktívna referenčná kniha vzorcov a informácií o algebre, trigonometrii, geometrii, fyzike. 3. http://maths.yfa1.ru - Referenčná kniha obsahuje materiál o matematike (aritmetika, algebra, geometria, trigonometria). 4. allmatematika.ru - Základné vzorce v algebre a geometrii: transformácie identity, progresie, derivácie, stereometria atď. 5. http://mathsun.ru/ – História matematiky. Životopisy veľkých matematikov. 16 Obsah Úvod . ...................................................... ...................................................... ............................................ 3 Výpočet plochy rovinných útvarov s použitím integrálu .................................................. .. 5 1. Referenčný materiál....................................................... ...................................................................... ...................... 5 2. Príklady riešenia problémov....................... ................................................................. ................................................. .. ....... 7 3. Úlohy na samostatnú prácu................................... ...................................................... ......... 8 Bibliografia ...................................... ................................................................... ................. 16 Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou integrálu Metodický návod na vykonávanie samostatnej práce z matematiky pre študentov 1. ročníka Fakulty otvoreného stredného vzdelávania Spracoval: Rybina Svetlana Leonidovna Fedotova Natalya Viktorovna Podpísané pre tlač __.__. 2015. Formát 60x84 1/16. Akademické vyd. l. 1.1.Podmienená rúra. l. 1.2. 394006, Voronež, ul. 20. výročie októbra, 84 17
