Videokurz „Získať A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky v rozsahu 60 - 65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 z Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie základnej skúšky z matematiky. Ak chcete úspešne absolvovať skúšku za 90 - 100 bodov, musíte vyriešiť 1. časť za 30 minút a bez chýb!

Prípravný kurz na skúšku pre 10. - 11. ročník, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometria). A to je na skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani stobodový študent, ani študent humanitných vied.

Potrebná všetka teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Boli analyzované všetky príslušné úlohy časti 1 z úloh banky FIPI. Kurz plne spĺňa požiadavky Unified State Exam-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je podaná úplne od začiatku, jednoduchá a jasná.

Stovky zadaní skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh USE. Stereometria. Zložité riešenia, užitočné podvádzacie listy, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly po problém 13. Pochopenie namiesto vtesnania. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Korene, stupne a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Stredné všeobecné vzdelanie

Línia UMK G. K. Muravin. Algebra a začiatky matematickej analýzy (10-11) (do hĺbky)

Linka UMK Merzlyak. Algebra a začiatky analýzy (10-11) (U)

Matematika

Príprava na skúšku z matematiky (profilová úroveň): úlohy, riešenia a vysvetlenia

Analyzujeme úlohy a riešime príklady s učiteľom

Skúšobné práce na úrovni profilu trvajú 3 hodiny 55 minút (235 minút).

Minimálna prahová hodnota - 27 bodov.

Skúšobná práca pozostáva z dvoch častí, ktoré sa líšia obsahom, zložitosťou a počtom úloh.

Definujúcou črtou každej časti práce je forma úloh:

časť 1 obsahuje 8 úloh (úlohy 1-8) s krátkou odpoveďou vo forme celého čísla alebo konečnej desatinnej čiarky;
Časť 2 obsahuje 4 úlohy (úlohy 9 - 12) s krátkou odpoveďou vo forme celého čísla alebo poslednú desatinnú zlomok a 7 úloh (úlohy 13 - 19) s podrobnou odpoveďou (úplný záznam rozhodnutia s odôvodnením vykonaných opatrení).

Panova Svetlana Anatolyevna, učiteľ matematiky najvyššej kategórie školy, prax 20 rokov:

„Absolvent, ktorý získa školské vysvedčenie, musí absolvovať dve povinné skúšky vo forme zjednotenej štátnej skúšky, z ktorých jedna je matematika. V súlade s Koncepciou rozvoja matematického vzdelávania v Ruskej federácii je jednotná štátna skúška z matematiky rozdelená do dvoch úrovní: základnej a odbornej. Dnes zvážime možnosti pre úroveň profilu. ““

Úloha číslo 1 - testuje schopnosť účastníkov USE aplikovať zručnosti získané v priebehu 5-9 ročníkov základnej matematiky v praktických činnostiach. Účastník musí mať výpočtové zručnosti, musí byť schopný pracovať s racionálnymi číslami, musí byť schopný zaokrúhliť desatinné zlomky, musí byť schopný previesť jednu jednotku merania na inú.

Príklad 1. V byte, kde Peter žije, bol nainštalovaný vodomer (meter) na studenú vodu. 1. mája ukazovateľ vykázal spotrebu 172 metrov kubických. m vody, a 1. júna - 177 metrov kubických. m. Aká suma by mala Peter zaplatiť za studenú vodu za máj, ak je cena 1 cu. m studenej vody je 34 rubľov 17 kopecks? Odpovedzte v rubľoch.

rozhodnutie:

1) Nájdite množstvo spotrebovanej vody za mesiac:

177 - 172 \u003d 5 (metrov kubických)

2) Zistime, koľko peňazí sa zaplatí za vynaloženú vodu:

34,17 5 \u003d 170,85 (trieť)

odpoveď: 170,85.

Úloha číslo 2- je jednou z najjednoduchších úloh skúšky. Väčšina absolventov sa s ňou úspešne vysporiadala, čo naznačuje, že zvládli definíciu pojmu funkcia. Druh úlohy číslo 2 podľa kodifikátora požiadaviek je úloha pre využitie získaných poznatkov a zručností v praktických činnostiach a každodennom živote. Úloha číslo 2 pozostáva z opisu pomocou funkcií rôznych reálnych vzťahov medzi veličinami a interpretácie ich grafov. Úloha číslo 2 testuje schopnosť extrahovať informácie uvedené v tabuľkách, diagramoch, grafoch. Absolventi musia byť schopní určiť hodnotu funkcie na základe argumentu rôznymi spôsobmi definovania funkcie a opísať správanie a vlastnosti funkcie pomocou jej grafu. Je tiež potrebné dokázať nájsť najvyššiu alebo najnižšiu hodnotu v grafe funkcie a vykresliť grafy študovaných funkcií. Vyskytnuté chyby sú náhodné pri čítaní problému, pri čítaní schémy.

# ADVERTISING_INSERT #

Príklad 2. Obrázok ukazuje zmenu trhovej hodnoty jednej akcie ťažobnej spoločnosti v prvej polovici apríla 2017. Dňa 7. apríla získal podnikateľ 1 000 akcií tejto spoločnosti. 10. apríla predal tri štvrtiny nakúpených akcií a 13. apríla predal všetky ostatné. Koľko stratil podnikateľ v dôsledku týchto operácií?

rozhodnutie:

2) 1 000 3/4 \u003d 750 (akcie) - tvoria 3/4 všetkých nakúpených akcií.

6) 247500 + 77500 \u003d 325000 (rubľov) - podnikateľ dostal po predaji 1 000 akcií.

7) 340 000 - 325 000 \u003d 15 000 (rubľov) - podnikateľ stratil v dôsledku všetkých operácií.

odpoveď: 15000.

Úloha číslo 3- je zadanie základnej úrovne prvej časti, preveruje schopnosť vykonávať činnosti s geometrickými tvarmi podľa obsahu kurzu „Planimetria“. V úlohe 3 sa testuje schopnosť vypočítať plochu figúry na kockovanom papieri, schopnosť vypočítať mierkové miery uhlov, vypočítať obvody atď.

Príklad 3. Nájdite plochu obdĺžnika znázorneného na kockovanom papieri s veľkosťou bunky 1 cm x 1 cm (pozri obrázok). Odpovedzte v centimetroch štvorcových.

rozhodnutie: Ak chcete vypočítať plochu daného tvaru, môžete použiť vzorec Vybrať:

Na výpočet plochy tohto obdĺžnika použijeme vzorec Pick:

S \u003d B +	D
	2

kde B \u003d 10, G \u003d 6, teda

S = 18 +	6
	2

odpoveď: 20.

Pozri tiež: Zjednotená štátna skúška z fyziky: Riešenie problémov s osciláciami

Úloha číslo 4 - úloha predmetu „Teória pravdepodobnosti a štatistika“. Testuje sa schopnosť vypočítať pravdepodobnosť udalosti v najjednoduchšej situácii.

Príklad 4. Na kruhu je vyznačených 5 červených a 1 modrý bod. Určte, ktorých polygónov je viac: polygóny so všetkými vrcholmi sú červené alebo polygóny s jedným z vrcholov modré. Vo svojej odpovedi uveďte, koľko z nich je viac ako iných.

rozhodnutie: 1) Vzorec použijeme na počet kombinácií od n prvky podľa k:

v ktorom sú všetky vrcholy červené.

3) Jeden päťuholník so všetkými vrcholmi červenými.

4) 10 + 5 + 1 \u003d 16 polygónov so všetkými vrcholmi červenými.

ktorých vrcholy sú červené alebo s jedným modrým vrcholom.

8) Jeden šesťuholník, s červenými vrcholmi a jedným modrým vrcholom.

9) 20 + 15 + 6 + 1 \u003d 42 mnohouholníkov, v ktorých sú všetky vrcholy červené alebo s jedným modrým vrcholom.

10) 42 - 16 \u003d 26 polygónov pomocou modrého bodu.

11) 26 - 16 \u003d 10 mnohouholníkov - koľko mnohouholníkov s jedným z vrcholov - modrý bod, viac ako mnohouholníkov so všetkými vrcholmi iba červenými.

odpoveď: 10.

Úloha číslo 5 - základná úroveň prvej časti testuje schopnosť riešiť najjednoduchšie rovnice (iracionálne, exponenciálne, trigonometrické, logaritmické).

Príklad 5. Vyriešte rovnicu 2 3 + x \u003d 0,4 5 3+ x .

Rozhodnutie. Vydeľte obe strany tejto rovnice o 5 3+ x ≠ 0, máme

2 3 + x	\u003d 0,4 alebo		2		3 + x	=	2	,
5 3 + x			5				5

z čoho vyplýva, že 3+ x = 1, x = –2.

odpoveď: –2.

Úloha číslo 6 o planimetrii na zisťovanie geometrických veličín (dĺžky, uhly, plochy), modelovanie reálnych situácií v jazyku geometrie. Výskum zostavených modelov pomocou geometrických konceptov a viet. Zdrojom ťažkostí je spravidla nevedomosť alebo nesprávne použitie potrebných viet o planimetrii.

Plocha trojuholníka ABC sa rovná 129. DE - stredná čiara rovnobežná s bočnou stranou AB... Nájdite oblasť lichobežníka POSTEĽ.

Rozhodnutie. Trojuholník CDE ako trojuholník TAXÍK v dvoch rohoch, pretože vrcholový uhol C všeobecne, uhol CDE rovný uhlu TAXÍK ako zodpovedajúce uhly v DE || AB Sekans AC... ako DE - stredná čiara trojuholníka podľa podmienky, potom podľa vlastnosti stredovej čiary | DE = (1/2)AB... To znamená, že koeficient podobnosti je 0,5. Plochy týchto čísel preto súvisia ako druhá mocnina koeficientu podobnosti

Z toho dôvodu, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Úloha číslo 7- kontroluje použitie derivátu na štúdium funkcie. Pre úspešnú implementáciu sa vyžaduje zmysluplná, neformálna znalosť konceptu derivátu.

Príklad 7. Prejdite na funkčný graf y = f(x) v bode s úsečkou x 0 sa nakreslí dotyčnica, ktorá je kolmá na priamku prechádzajúcu bodmi (4; 3) a (3; –1) tohto grafu. Nájsť f′( x 0).

Rozhodnutie. 1) Použime rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi a nájdime rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (4; 3) a (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x - 13, kde k 1 = 4.

2) Nájdite sklon dotyčnice k 2, ktorý je kolmý na priamku y = 4x - 13, kde k 1 \u003d 4, podľa vzorca:

3) Sklon dotyčnice je deriváciou funkcie v bode dotyčnice. Z toho dôvodu, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

odpoveď: –0,25.

Úloha číslo 8- preveruje vedomosti účastníkov skúšky o základnej stereometrii, schopnosti aplikovať vzorce na zisťovanie plôch plôch a objemov obrazcov, pôdorysných uhlov, porovnávať objemy podobných obrazcov, vedieť vykonávať akcie s geometrickými obrazcami, súradnicami a vektormi atď.

Objem kocky opísanej okolo gule je 216. Nájdite polomer gule.

Rozhodnutie. 1) V kocka \u003d 3 (kde a Je teda dĺžka okraja kocky)

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Pretože je guľa vpísaná do kocky, znamená to, že dĺžka priemeru gule sa rovná dĺžke okraja kocky, preto d = , d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Úloha číslo 9 - vyžaduje od absolventa zručnosti prevádzania a zjednodušovania algebraických výrazov. Úloha číslo 9 so zvýšenou úrovňou náročnosti s krátkou odpoveďou. Úlohy zo časti „Výpočty a transformácie“ v skúške sú rozdelené do niekoľkých typov:

prevod numerických racionálnych výrazov;

transformácie algebraických výrazov a zlomkov;

prevod numerických / abecedných iracionálnych výrazov;

akcie s diplomami;

transformácia logaritmických výrazov;

prevod numerických / abecedných trigonometrických výrazov.

Príklad 9. Vypočítajte tgα, ak je známe, že cos2α \u003d 0,6 a

3π	< α < π.
4

Rozhodnutie. 1) Použijeme vzorec dvojitého argumentu: cos2α \u003d 2 cos 2 α - 1 a nájdeme

tg 2 α \u003d	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 a		0,8		8		4		4		4

Preto tg2a \u003d ± 0,5.

3) Podľa stavu

3π	< α < π,
4

α je teda uhol štvrtiny II a tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

odpoveď: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Úloha číslo 10- testuje schopnosť študentov využívať skoro nadobudnuté vedomosti a zručnosti v praxi a každodennom živote. Môžeme povedať, že ide o problémy fyziky, a nie matematiky, ale všetky potrebné vzorce a veličiny sú uvedené v podmienke. Úlohy sa redukujú na riešenie lineárnej alebo kvadratickej rovnice alebo lineárnej alebo kvadratickej nerovnosti. Preto je potrebné vedieť takéto rovnice a nerovnosti vyriešiť a určiť odpoveď. Odpoveď by mala byť celé číslo alebo konečná desatinná čiarka.

Dve telá vážiace m \u003d Každý 2 kg a pohybuje sa rovnakou rýchlosťou proti \u003d 10 m / s vo vzájomnom uhle 2α. Energia (v jouloch) uvoľnená počas ich absolútne nepružnej kolízie je určená výrazom Q = mv 2 hriech 2 α. Aký je najmenší uhol 2α (v stupňoch), ktorý by mali telesá pohnúť, aby v dôsledku zrážky uvoľnili najmenej 50 joulov?
Rozhodnutie. Na vyriešenie úlohy musíme vyriešiť nerovnosť Q ≥ 50, na intervale 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Pretože α ∈ (0 °; 90 °), budeme iba riešiť

Poďme graficky znázorniť riešenie nerovnosti:

Pretože pod podmienkou α ∈ (0 °; 90 °), znamená to 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Číslo úlohy 11 - je typický, ale ukazuje sa, že je pre študentov ťažký. Hlavným zdrojom ťažkostí je zostavenie matematického modelu (písanie rovníc). Úloha číslo 11 testuje schopnosť riešiť slovné úlohy.

Príklad 11. Počas jarných prázdnin musel 11-ročný žiak Vasya vyriešiť 560 tréningových problémov, aby sa mohol pripraviť na zjednotenú štátnu skúšku. 18. marca, v posledný školský deň, Vasya vyriešila 5 problémov. Potom každý deň riešil rovnaký počet úloh ako predošlý deň. Určte, koľko problémov vyriešila Vasya 2. apríla v posledný deň dovolenky.

rozhodnutie: Označujeme 1 \u003d 5 - počet úloh, ktoré Vasya vyriešil 18. marca, d - denný počet úloh vyriešených Vasyou, n \u003d 16 - počet dní od 18. marca do 2. apríla vrátane, S 16 \u003d 560 - celkový počet úloh, 16 - počet problémov, ktoré Vaša vyriešil 2. apríla. Keď viete, že Vasya každý deň riešil rovnaký počet problémov viac ako v predchádzajúci deň, môžete použiť vzorce na nájdenie súčtu aritmetickej postupnosti:

560 = (5 + 16) 8,

5 + 16 = 560: 8,

5 + 16 = 70,

16 = 70 – 5

16 = 65.

odpoveď: 65.

Číslo úlohy 12- testovať schopnosť študentov vykonávať činnosti s funkciami, vedieť aplikovať deriváciu na štúdium funkcie.

Nájdite maximálny bod funkcie y \u003d 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

rozhodnutie: 1) Nájdite doménu funkcie: x + 9 > 0, x \u003e –9, to znamená x ∈ (–9; ∞).

2) Nájdite deriváciu funkcie:

4) Nájdený bod patrí do intervalu (–9; ∞). Určme znaky derivácie funkcie a zobrazme správanie funkcie na obrázku:

Hľadám maximálny bod x = –8.

Stiahnite si zadarmo pracovný program z matematiky pre rad vyučovacích metód G.K. Muravina, K.S. Muravina, O. V. Muravina 10.-11 Stiahnite si bezplatné učebné pomôcky o algebre

Číslo úlohy 13-zvýšená úroveň náročnosti s podrobnou odpoveďou, ktorá preveruje schopnosť riešiť rovnice, najúspešnejšia medzi úlohami s podrobnou odpoveďou so zvýšenou úrovňou zložitosti.

a) Vyriešte rovnicu 2log 3 2 (2 kos x) - 5log 3 (2koz x) + 2 = 0

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.

rozhodnutie: a) Nechajte log 3 (2cos x) = t, potom 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

log 3 (2koz x) =	2	⇔	2cos x = 9	⇔	cos x =	4,5	⇔ od \| cos x\| ≤ 1,

log 3 (2koz x) =	1		2cos x = √3		cos x =	√3
	2					2

potom cos x =	√3
	2

x =	π	+ 2π k
	6

x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
	6

b) Nájdite korene, ktoré ležia na segmente.

Obrázok ukazuje, že korene

11π	a	13π	.
6		6

odpoveď: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Úloha číslo 14- pokročilá úroveň sa týka úloh druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

Priemer obvodu základne valca je 20, generatrix valca je 28. Rovina pretína jeho základňu pozdĺž akordov dĺžky 12 a 16. Vzdialenosť medzi akordmi je 2√197.

a) Dokážte, že stredy základov valca ležia na jednej strane tejto roviny.

b) Nájdite uhol medzi touto rovinou a rovinou základne valca.

rozhodnutie: a) Akord s dĺžkou 12 je umiestnený vo vzdialenosti \u003d 8 od stredu základnej kružnice a akord s dĺžkou 16 podobne vo vzdialenosti 6. Preto je vzdialenosť medzi ich výstupkami na rovinu rovnobežnú so základňami valcov buď 8 + 6 \u003d 14, alebo 8 - 6 \u003d 2.

Potom je vzdialenosť medzi akordmi buď

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Hypotézou sa realizoval druhý prípad, v ktorom výstupky akordov ležia na jednej strane osi valca. To znamená, že os nepretína túto rovinu vo valci, to znamená, že základne ležia na jednej jeho strane. Čo bolo potrebné dokázať.

b) Vymenujme stredy báz pre O 1 a O 2. Nakreslíme zo stredu základne akordom dĺžky 12 stredne kolmým na tento akord (má dĺžku 8, ako už bolo uvedené) a zo stredu druhého základu do iného akordu. Ležia v rovnakej rovine β, kolmej na tieto akordy. Stred menšieho akordu B nazývame väčší ako A a priemet A na druhú bázu H (H ∈ β). Potom AB, AH ∈ β a teda AB, AH sú kolmé na akord, to znamená na priesečník čiary základne s danou rovinou.

Preto je požadovaný uhol

∠ABH \u003d arctg	AH	\u003d arctg	28	\u003d arctg14.
	BH		8 – 6

Úloha číslo 15 - zvýšená úroveň náročnosti s podrobnou odpoveďou, testuje schopnosť riešiť nerovnosti, ktorá sa medzi úlohami najúspešnejšie rieši s podrobnou odpoveďou so zvýšenou úrovňou zložitosti.

Príklad 15. Vyriešiť nerovnosť x 2 – 3x| Denník 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

rozhodnutie: Doménou tejto nerovnosti je interval (–1; + ∞). Zvážte tri prípady osobitne:

1) Nech x 2 – 3x \u003d 0, t.j. x\u003d 0 alebo x \u003d 3. V tomto prípade sa táto nerovnosť stáva pravdivou, preto sú tieto hodnoty zahrnuté do riešenia.

2) Teraz dovoľte x 2 – 3x \u003e 0, t.j. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Túto nerovnosť možno navyše prepísať ako ( x 2 – 3x) Denník 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 a vydelíme kladným x 2 – 3x... Dostaneme denník 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 -1 alebo X ≤ –0,5. Ak vezmeme do úvahy oblasť definície, máme x ∈ (–1; –0,5].

3) Nakoniec zvážte x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). V takom prípade sa pôvodná nerovnosť prepíše na (3 x – x 2) denník 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Po rozdelení pozitívnym prejavom 3 x – x 2, dostaneme log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Ak vezmeme do úvahy región, máme x ∈ (0; 1].

Kombináciou získaných riešení získame x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

odpoveď: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Číslo úlohy 16- pokročilá úroveň sa týka úloh druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

Hranica BD je nakreslená v rovnoramennom trojuholníku ABC s vrcholom A s uhlom 120 °. Obdĺžnik DEFH je vpísaný do trojuholníka ABC, takže strana FH leží na segmente BC a vrchol E leží na segmente AB. a) Dokážte, že FH \u003d 2DH. b) Nájdite plochu obdĺžnika DEFH, ak AB \u003d 4.

rozhodnutie: a)

1) ΔBEF - obdĺžnikový, EF⊥BC, ∠B \u003d (180 ° - 120 °): 2 \u003d 30 °, potom EF \u003d BE vlastnosťou nohy ležiacej oproti uhlu 30 °.

2) Nech EF \u003d DH \u003d x, potom BE \u003d 2 x, BF \u003d x√3 podľa Pytagorovej vety.

3) Pretože ΔABC je rovnoramenný, znamená to, že ∠B \u003d ∠C \u003d 30˚.

BD je rozvetvením ∠B, takže ∠ABD \u003d ∠DBC \u003d 15˚.

4) Zvážte ΔDBH - obdĺžnikový, pretože DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – x
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF \u003d 3 - √3

2) S DEFH \u003d ED EF \u003d (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH \u003d 24 - 12√3.

odpoveď: 24 – 12√3.

Číslo úlohy 17 - úloha s podrobnou odpoveďou, táto úloha testuje uplatnenie vedomostí a zručností v praktickej činnosti a každodennom živote, schopnosť zostavovať a skúmať matematické modely. Toto zadanie predstavuje textový problém s ekonomickým obsahom.

Príklad 17. Otvorenie zálohy vo výške 20 miliónov rubľov sa plánuje na štyri roky. Na konci každého roka banka zvýši svoj vklad o 10% v porovnaní s veľkosťou na začiatku roka. Okrem toho na začiatku tretieho a štvrtého roku vkladateľ každoročne dopĺňa vklad o x milión rubľov, kde x - celý číslo. Nájdite najväčšiu hodnotu x, v ktorom banka za štyri roky zúčtuje vklad menej ako 17 miliónov rubľov.

rozhodnutie: Na konci prvého roka bude príspevok 20 + 20 0,1 \u003d 22 miliónov rubľov a na konci druhého - 22 + 22 0,1 \u003d 24,2 milióna rubľov. Na začiatku tretieho roka bude príspevok (v miliónoch rubľov) (24,2+ x) a na konci - (24,2 + x) + (24,2 + x) 0,1 \u003d (26,62 + 1,1 x). Na začiatku štvrtého roka bude príspevok (26,62 + 2,1 x), a na konci - (26,62 + 2,1 x) + (26,62 + 2,1x) 0,1 \u003d (29,282 + 2,31 x). Podľa hypotézy musíte nájsť najväčšie celé číslo x, pre ktoré je nerovnosť

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Najväčšie celočíselné riešenie tejto nerovnosti je 24.

odpoveď: 24.

Úloha číslo 18 - úloha zvýšenej úrovne zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je určená na výberové konanie na vysoké školy so zvýšenými požiadavkami na matematické vzdelanie uchádzačov. Úloha vysokej úrovne zložitosti nie je úlohou použitia jednej metódy riešenia, ale kombinácie rôznych metód. Pre úspešné splnenie úlohy 18 sa vyžaduje okrem solídnych matematických vedomostí aj vysoká úroveň matematickej kultúry.

Pod čím systém nerovností

	x 2 + y 2 ≤ 2áno – 2 + 1

	y + ≤ \|x\| –

má rovno dve riešenia?

rozhodnutie: Tento systém možno prepísať na

	x 2 + (y– ) 2 ≤ 1

	y ≤ \|x\| –

Ak nakreslíme na rovinu množinu riešení prvej nerovnosti, dostaneme vnútro kruhu (s hranicou) s polomerom 1 so stredom v bode (0, a). Množina riešení druhej nerovnosti je časť roviny, ktorá leží pod grafom funkcie y = | x| – , a druhý je funkčný graf
y = | x| posunuté nadol o a... Riešením tohto systému je priesečník množín riešení pre každú z nerovností.

Následne bude mať tento systém dve riešenia iba v prípade znázornenom na obr. 1.

Tangenciálne body kruhu s priamkami budú dvoma riešeniami systému. Každá z priamych línií je sklonená k osám pod uhlom 45 °. Takže trojuholník PQR - obdĺžnikové rovnoramenné. bod Q má súradnice (0, a) a bod R - súradnice (0, - a). Okrem toho segmenty PR a PQ sú rovné polomeru kruhu rovné 1. Preto,

Qr= 2 = √2, =	√2	.
	2

odpoveď: =	√2	.
	2

Úloha číslo 19- úloha zvýšenej úrovne zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je určená na výberové konanie na vysoké školy so zvýšenými požiadavkami na matematické vzdelanie uchádzačov. Úloha vysokej úrovne zložitosti nie je úlohou použitia jednej metódy riešenia, ale kombinácie rôznych metód. Pre úspešné splnenie úlohy 19 je potrebné vedieť hľadať riešenie, zvoliť si zo známych prístupy, modifikovať študované metódy.

Nech je sn súčet p členovia aritmetického postupu ( a n). Je o tom známe S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Zadajte vzorec pth člen tohto postupu.

b) Nájdite najmenší modulo súčet S n.

c) Nájdite najmenšiu pna ktorom S n bude štvorec celého čísla.

rozhodnutie: a) Je zrejmé, že a n = S n – S n - 1. Pomocou tohto vzorca dostaneme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

prostriedky a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Odkedy S n = 2n 2 – 25n, potom zvážte funkciu S(x) = | 2x 2 – 25x |... Jeho graf je vidieť na obrázku.

Je zrejmé, že najmenšia hodnota sa dosiahne v celočíselných bodoch, ktoré sú najbližšie k nulám funkcie. Je zrejmé, že ide o body x= 1, x\u003d 12 a x\u003d 13. Pretože, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | \u003d | 2 · 144 - 25 · 12 | \u003d 12, S(13) = |S 13 | \u003d | 2 169 - 25 13 | \u003d 13, potom najmenšia hodnota je 12.

c) Z predchádzajúceho bodu vyplýva, že sn pozitívne počnúc od n \u003d 13. Od S n = 2n 2 – 25n = n(2n - 25), potom je zrejmý prípad, keď je tento výraz dokonalým štvorcom, realizovaný na n = 2n - 25, teda o p= 25.

Zostáva skontrolovať hodnoty od 13 do 25:

S 13 \u003d 13 1, S 14 \u003d 14 3, S 15 \u003d 15 5, S 16 \u003d 16 7, S 17 \u003d 17 9, S 18 \u003d 18 11, S 19 \u003d 19 13, S 20 \u003d 20 13, S 21 \u003d 21 17, S 22 \u003d 22 19, S 23 \u003d 2321, S 24 \u003d 24 23.

Ukazuje sa, že pre menšie hodnoty p plný štvorec nie je dosiahnutý.

odpoveď: a) a n = 4n - 27; b) 12; c) 25.

________________

* Od mája 2017 je spoločná vydavateľská skupina DROFA-VENTANA súčasťou Ruskej učebnice. Súčasťou spoločnosti je aj vydavateľstvo Astrel a digitálna vzdelávacia platforma LECTA. Za generálneho riaditeľa bol vymenovaný Alexander Brychkin, absolvent finančnej akadémie za vlády Ruskej federácie, Ph.D. v odbore ekonómia, vedúci inovatívnych projektov vydavateľstva DROFA v oblasti digitálneho vzdelávania (elektronické formy učebníc, ruská elektronická škola, digitálna vzdelávacia platforma LECTA). Pred príchodom do vydavateľstva DROFA zastával pozíciu viceprezidenta pre strategický rozvoj a investície vydavateľského holdingu EKSMO-AST. Vydavateľská spoločnosť „Russian Textbook“ má dnes najväčšie portfólio učebníc zahrnutých do Federálneho zoznamu - 485 titulov (približne 40%, okrem učebníc pre špeciálnu školu). Vydavateľstvá spoločnosti vlastnia súbory učebníc, ktoré ruské školy najviac požadujú od fyziky, kreslenia, biológie, chémie, technológií, geografie a astronómie - oblastí znalostí, ktoré sú potrebné na rozvoj produkčného potenciálu krajiny. V portfóliu spoločnosti sú učebnice a učebné pomôcky pre základné školy, ktoré získali cenu prezidenta za vzdelávanie. Jedná sa o učebnice a príručky k tematickým oblastiam, ktoré sú potrebné pre rozvoj vedeckého, technického a produkčného potenciálu Ruska.

Na USE v matematike na profilovej úrovni v roku 2019 nedochádza k žiadnym zmenám - program skúšky, tak ako v minulých rokoch, je tvorený materiálmi zo základných matematických disciplín. Vstupenky budú obsahovať matematické, geometrické a algebraické úlohy.

V matematike profilovej úrovne sa v programe KIM USE 2019 nemenia žiadne zmeny.

Vlastnosti úloh USE v matematike - 2019

Pri príprave na skúšku z matematiky (profil) venujte pozornosť základným požiadavkám skúšobného programu. Je určený na testovanie znalostí hĺbkového programu: vektorové a matematické modely, funkcie a logaritmy, algebraické rovnice a nerovnosti.
Precvičujte si úlohy samostatne.
Je dôležité preukázať neštandardné myslenie.

Štruktúra skúšky

Úlohy zjednotenej štátnej skúšky v profilovej matematike rozdelené do dvoch blokov.

Čiastočne krátke odpovede, obsahuje 8 úloh, ktoré testujú základné matematické vzdelávanie a schopnosť aplikovať znalosti matematiky v každodennom živote.
Časť -krátke a podrobné odpovede... Pozostáva z 11 úloh, z ktorých 4 vyžadujú krátku odpoveď a 7 - rozšírené o argumentáciu vykonaných akcií.

Zvýšená zložitosť - úlohy 9 - 17 druhej časti KIM.
Vysoká úroveň zložitosti - problémy 18-19 -. Táto časť skúšobných úloh kontroluje nielen úroveň matematických vedomostí, ale aj prítomnosť alebo neprítomnosť kreatívneho prístupu k riešeniu suchých „digitálnych“ úloh, ako aj účinnosť schopnosti využívať vedomosti a zručnosti ako profesionálny nástroj.

Dôležité! Preto pri príprave na skúšku vždy podporte teóriu z matematiky riešením praktických problémov.

Ako budú body rozdelené

Úlohy prvej časti KIM v matematike sú blízke testom USE základnej úrovne, takže je nemožné dosiahnuť vysoké skóre.

Body za každú úlohu z matematiky na profilovej úrovni boli rozdelené takto:

za správne odpovede na problémy 1-12 - každý po 1 bode;
Číslo 13-15 - po 2;
Č. 16-17 - každý 3;
Č. 18-19 - 4 každý.

Trvanie skúšky a pravidlá jej konania

Na dokončenie skúšky -2019 pridelený študent 3 hodiny 55 minút (235 minút).

Počas tejto doby by študent nemal:

správať sa hlučne;
používať prístroje a iné technické prostriedky;
odpísať;
snažíte sa pomôcť iným alebo požiadate o pomoc sami.

Pri takýchto akciách môže byť skúšajúci vylúčený z publika.

Za štátnu skúšku z matematiky povolené priviesť iba s pravítkom budú ostatné materiály poskytnuté priamo pred skúškou. vydané lokálne.

Efektívna príprava je riešením online matematických testov 2019. Vyberte si a získajte maximálne skóre!

Jednotná štátna skúška z matematiky (profil) je voliteľná. Táto skúška je potrebná pre tých, ktorí plánujú túto disciplínu študovať v budúcnosti, vstupujú na Ekonomickú fakultu, matematiku a pokračujú v štúdiu na technických univerzitách. Úroveň profilu, na rozdiel od základnej, vyžaduje hĺbkové znalosti. Skúška venuje pozornosť praktickým aplikáciám zručností získaných počas rokov štúdia, ale znalosť teórie skúšky z matematiky nie je o nič menej dôležitá.

Čo potrebujete vedieť?

Rovnako ako pri absolvovaní skúšky na základnej úrovni budete potrebovať vedomosti získané zo školských kurzov algebry a geometrie, schopnosť pracovať s rôznymi nerovnicami a rovnicami, ovládať terminológiu a ovládať algoritmy riešenia rôznych problémov. Na úspešné dokončenie úloh so zvýšenou komplexnosťou sú potrebné znalosti v týchto oblastiach:

polohopis;
nerovnosť;
záujem;
progresie;
stereometria;
rovnice;
parametrické systémy, rovnice, nerovnosti;
finančná matematika.

Človek sa nemôže obísť bez teórie v prípravnom procese: bez znalosti pravidiel, axiómov a teorémov nie je možné vyriešiť problémy uvedené na lístkoch na skúšky. Zároveň bude chybou študovať teóriu na úkor praxe. Iba zapamätanie pravidiel nepomôže pri skúške - je dôležité rozvíjať a zlepšovať schopnosť aplikovať vedomosti získané pri riešení problémov.

Ako sa pripraviť na skúšku?

Je lepšie začať sa pripravovať na skúšku na začiatku školského roka. V takom prípade môžete pokojne, bez zhonu, prejsť všetky oddiely a potom ich zopakovať, čím obnovíte svoje vedomosti bezprostredne pred testovaním.

Klasický spôsob prípravy - len čítanie učebnice v rade, zapamätanie si pravidiel - je neúčinný. Aby ste si zapamätali informácie, musíte im porozumieť. Môžete si to napríklad vyskúšať, po prečítaní pravidla, previnúť ho vlastnými slovami alebo si to vysvetliť sami. Tento prístup umožňuje zapamätať si to, čo ste čítali dlho.

Jednotlivé vzorce a axiómy sa budú musieť učiť srdcom. Na uľahčenie procesu zapamätania je potrebné zabezpečiť, aby boli potrebné údaje vždy na dohľad - na stene pri posteli, v kúpeľni, na chladničke, nad stolom. Ak sú tabuľky so vzorcami vždy pred vašimi očami, budú si ich bez väčšej námahy postupne pamätať.

Tí, ktorí sa pripravujú na zjednotenú štátnu skúšku nie len sami, ale v spoločnosti iných absolventov, sa môže radiť, aby si navzájom vysvetlili túto teóriu. Táto metóda disciplinuje a pomáha lepšie asimilovať materiál.

Pri vykonávaní praktických úloh je potrebné analyzovať najčastejšie chyby. Ak nie sú spojené s nepozornosťou, ale s ignorovaním určitých pravidiel, je dôležité tieto témy starostlivo preštudovať. Celá teória je štruktúrovaná a nájdenie správnych pravidiel bude trvať minimum času.

Teória je dôležitá, ale prax je nevyhnutná. Počas skúšky je testovaná schopnosť aplikovať získané vedomosti. Je potrebné opakovane cvičiť rovnaké algoritmy a opakovať tie isté témy, kým to už nebude zložité. Znalosti sú zbytočné a ľahko zabudnuteľné bez praktického použitia.

Prajeme vám veľa úspechov vo vašich teoretických štúdiách a uplatňovanie vašich vedomostí na skúšku!

USE v matematike je jedným z hlavných testov pre absolventov stredných škôl skôr, ako získajú osvedčenie a vstúpia na vysokú školu. Táto verzia kontroly vedomostí sa používa na hodnotenie poznatkov o disciplínach získaných v procese školského vzdelávania. Jednotná štátna skúška sa vykonáva formou testovania, prípravu úloh na záverečnú skúšku vykonáva Rosobrnadzor a ďalšie oprávnené orgány v oblasti vzdelávania. Úspešné skóre v matematike závisí od individuálnych požiadaviek univerzity, na ktorú sa uchádzateabsolvent. Úspešné zloženie vysokej skúšky je dôležitým faktorom vášho úspechu pri prijatí.

Matematika profilovej úrovne je nevyhnutná pre prijatie na univerzity technického, ekonomického zamerania. Základom úloh skúšky je základná úroveň, k nej sa pridávajú zložitejšie úlohy a príklady. Navrhujú sa stručné a podrobné odpovede:

Prvé úlohy nevyžadujú pokročilé znalosti - jedná sa o test znalostí základnej úrovne;
Ďalších 5 je náročnejších, vyžaduje sa priemerná a vysoká úroveň ovládania predmetu. Tieto úlohy sa kontrolujú pomocou počítača, pretože odpoveď na ne je krátka.

U posledných siedmich položiek sú potrebné rozšírené odpovede. Na overenie je zostavená skupina expertov. Hlavné je, že napriek zložitosti úloh, ktoré sú zahrnuté do profilovej úrovne, úplne zodpovedajú učebným osnovám školy. Prečo môžu byť ťažké? Na úspešné vyriešenie týchto príkladov a problémov potrebujete nielen suché vedomosti, ale aj schopnosť tvorivo pristupovať k riešeniu, aplikovať vedomosti v neštandardnej situácii. Ťažkosti spôsobujú formulácie.

Ak si študent zvolí túto úroveň, znamená to, že si želá v budúcnosti pokračovať v štúdiu exaktných vied na vysokej škole. Výber v prospech profilovej skúšky tiež naznačuje, že úroveň vedomostí študenta je pomerne vysoká, inými slovami, základná príprava nie je potrebná.
Proces prípravy zahŕňa opakovanie hlavných častí, riešenie problémov so zvýšenou komplexnosťou, ktoré si vyžadujú neštandardný kreatívny prístup.

Metódy prípravy

Základné školenie sa vykonáva v škole, kde sa študent oboznamuje so základmi, niekedy učiteľ vykonáva ďalšie voliteľné predmety pre absolventov. Hlavným odporúčaním je starostlivo a dôkladne zvládnuť všetky témy, najmä v triede absolventov.
Samostatná práca: Vyžaduje si to osobitnú sebadisciplínu, vôľu a sebaovládanie. Musíte si pozorne prečítať ... Problém je nasmerovaný - iba špecialista môže kompetentne nasmerovať budúceho žiadateľa na témy, ktorým je potrebné venovať pozornosť.
Doučovanie: profesionálny špecialista vám pomôže efektívne a rýchlo vyriešiť zložité úlohy.
Kurzy a online vzdelávanie: Moderná a osvedčená metóda, ktorá šetrí čas a peniaze. Dôležitá výhoda: môžete absolvovať testovacie testy online, rýchlo získať odpovede, trénovať rôzne úlohy.

„Vyriešim USE v matematike na úrovni profilu“ je príležitosť pripraviť sa na skúšku a úspešne ju zložiť.