Na základe ich hlavnej vlastnosti: ak sú čitateľ a menovateľ zlomku delení rovnakým nenulovým polynómom, potom získate rovnaký zlomok.
Môžete redukovať iba multiplikátory!
Podmienky polynómov nemôžete zrušiť!
Na zrušenie algebraickej frakcie je potrebné najskôr faktorizovať polynómy v čitateľovi a menovateli.
Uvažujme o príkladoch redukcie zlomkov.
V čitateľovi a menovateli zlomku sú monomiály. Predstavujú práca(čísla, premenné a ich stupne), multiplikátory môžeme znížiť.
Znížte čísla na ich najväčšie spoločný deliteľ, to znamená najväčším číslom, ktorým je každé z týchto čísel deliteľné. Pre 24 a 36 je to 12. Po znížení z 24 ostávajú 2, z 36 - 3.
Stupne sa znižujú o stupeň s najnižším exponentom. Zmenšenie zlomku znamená delenie čitateľa a menovateľa rovnakým deliteľom a odpočítanie ukazovateľov.
skrátiť a² a a⁷ o a². 1 zároveň zostáva v čitateľovi a² (1 napíšeme iba vtedy, ak po jeho zrušení nezostanú ďalšie faktory. Od 24 zostanú 2, takže 1 zostávajúcu z a² nepíšeme). Od a⁷ po kontrakcii zostáva a⁵.
b a b sa zmenšia o b, výsledné sa nepíšu.
c³º a c⁵ sú skrátené na c⁵. Od c³º zostáva c²⁵, od c⁵ - jedna (nepíšeme to). Preto
Čitateľom a menovateľom danej algebraickej frakcie sú polynómy. Termíny polynómov nemôžete zmenšiť! (Nemôžete skrátiť napríklad 8x² a 2x!). Na zníženie tejto frakcie je potrebné. Čitateľ má spoločný faktor 4x. Vyberme to zo zátvoriek:
Čitateľ aj menovateľ majú rovnaký faktor (2x-3). O tento faktor znížte zlomok. V čitateľovi sme dostali 4x, v menovateli - 1. 1 vlastnosťou algebraických zlomkov sa zlomok rovná 4x.
Môžete redukovať iba multiplikátory (tento zlomok nemôžete zmenšiť o 25x²!). Polynómy v čitateľovi a menovateli zlomku preto musia byť faktorizované.
V čitateľovi - plné námestie sumy, v menovateli - rozdiel štvorcov. Po rozklade podľa vzorcov zníženého násobenia dostaneme:
Zmenšite zlomok o (5x + 1) (za týmto účelom ich v čitateľovi prečiarkneme ako exponent, z (5x + 1) ² zostane (5x + 1)):
Čitateľ má spoločný faktor 2, presuňte ho mimo zátvoriek. Menovateľ je vzorec pre rozdiel medzi kockami:
V dôsledku rozšírenia v čitateľovi a menovateli sme dostali rovnaký faktor (9 + 3a + a²). Znížte zlomok o to:
Polynom v čitateľovi pozostáva zo 4 pojmov. prvý člen s druhým, tretí so štvrtým a odstráňte spoločný faktor x² z prvých zátvoriek. Rozkladáme menovateľa podľa vzorca pre súčet kociek:
V čitateľovi umiestnite spoločný faktor (x + 2) mimo zátvorky:
Znížte zlomok o (x + 2):
Bez znalosti toho, ako znížiť zlomok, a bez solídnych schopností pri riešení takýchto príkladov je veľmi ťažké študovať algebru v škole. Čím ďalej, tým viac nových informácií sa prekrýva so základnými poznatkami o redukcii bežných zlomkov. Najprv sa objavia stupne, potom faktory, z ktorých sa neskôr stanú polynómy.
Ako sa tu nenechať zmiasť? Dôkladne si upevnite schopnosti v predchádzajúcich témach a postupne sa pripravujte na znalosti, ako z roka na rok znížiť zlomok, ktorý sa stáva komplikovanejším.
Základné znalosti
Bez nich sa nedokážete vyrovnať s úlohami akejkoľvek úrovne. Aby ste to pochopili, musíte porozumieť dvom jednoduchým bodom. Najprv je možné zrušiť iba multiplikátory. Táto nuansa sa ukazuje ako veľmi dôležitá, keď sa v čitateľovi alebo menovateli objavia polynómy. Potom musíte jasne rozlíšiť, kde je faktor a kde je výraz.
Druhý bod hovorí, že akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako faktory. Výsledkom redukcie je navyše taký zlomok, ktorého čitateľa a menovateľa už nemožno redukovať.
Pravidlá na zníženie bežných zlomkov
Najprv stojí za to skontrolovať, či je čitateľ deliteľný menovateľom alebo naopak. Potom je to práve toto číslo, ktoré je potrebné znížiť. Toto je najľahšia možnosť.
Druhým je analýza vzhľadu čísel. Ak sa oba skončia jednou alebo viacerými nulami, môžu byť znížené o 10, 100 alebo tisíc. Tu vidíte, či sú čísla párne. Ak je to tak, potom ho môžete bezpečne znížiť o dve.
Tretím pravidlom, ako znížiť zlomok, je expanzia do hlavné faktoryčitateľ a menovateľ. V tejto dobe musíte aktívne využívať všetky znalosti o znakoch deliteľnosti čísel. Po takom rozklade zostáva len nájsť všetky opakujúce sa, vynásobiť ich a znížiť o výsledné číslo.
Čo keď je vo zlomku algebraický výraz?
Tu sa objavujú prvé ťažkosti. Pretože tu sa objavujú výrazy, ktoré môžu byť totožné s faktormi. Veľmi by som ich chcel ostrihať, ale nemôžem. Pred zrušením algebraickej frakcie je potrebné ju transformovať tak, aby mala faktory.
Vyžaduje si to niekoľko krokov. Možno budete musieť prejsť všetkými z nich, alebo vám prvý z nich poskytne vhodnú možnosť.
Skontrolujte, či sa čitateľ a menovateľ alebo akýkoľvek výraz v nich líši znamienkom. V tomto prípade stačí vložiť mínus jeden mimo zátvorky. To dáva rovnaké faktory, ktoré je možné zrušiť.
Zistite, či je možné spoločný faktor vybrať z polynómu. Možno to bude mať za následok zátvorku, ktorú možno tiež skrátiť, alebo pôjde o odstránený monomiál.
Skúste zoskupiť monomény, aby ste z nich potom vybrali spoločný faktor. Potom sa môže ukázať, že budú existovať faktory, ktoré je možné znížiť, alebo sa opäť môže opakovať vzpieranie sa spoločných prvkov.
Skúste v zápise zvážiť skrátený multiplikačný vzorec. S ich pomocou môžete polynóm ľahko previesť na faktory.
Postupnosť akcií so zlomkami s mocnosťami
Aby ste ľahko pochopili otázku, ako znížiť zlomok pomocou právomocí, musíte si pevne zapamätať základné akcie s nimi. Prvý z nich súvisí s násobením stupňov. V tomto prípade, ak sú základy rovnaké, je potrebné pridať ukazovatele.
Druhým je rozdelenie. Opäť platí, že pre tie, ktoré majú rovnaký základ, bude potrebné ukazovatele odpočítať. Okrem toho musíte odpočítať číslo, ktoré je na dividende, a nie naopak.
Treťou je umocnenie. V tejto situácii sa ukazovatele znásobia.
Úspešná redukcia bude tiež vyžadovať schopnosť redukovať stupne na rovnaké základy. To znamená, vidieť, že štyri sú dva na druhú. Alebo 27 je kocka troch. Pretože je ťažké nakrájať 9 na 2 a 3 na kocky. Ale ak transformujete prvý výraz ako (3 2) 2, potom bude redukcia úspešná.
Pohodlná a jednoduchá online kalkulačka zlomkov s podrobným riešením možno:
- Sčítajte, odčítajte, násobte a delte zlomky online,
- Získajte hotové riešenie zlomkov s obrázkom a je vhodné ho preniesť.
Výsledok riešenia zlomkov bude tu ...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Zlomkový znak „/“ + - *:
_c vymazať Vymazať
Naša online kalkulačka zlomkov má rýchly vstup... Ak chcete napríklad nájsť riešenie zlomkov, stačí napísať 1/2+2/7
do kalkulačky a stlačte „ Vyriešte zlomky„. Kalkulačka vám napíše podrobné riešenie zlomkov a dá ľahko skopírovateľný obrázok.
Znaky používané na písanie v kalkulačke
Príklad riešenia môžete napísať buď z klávesnice, alebo pomocou tlačidiel.
Vlastnosti online kalkulačky zlomkov
Kalkulačka zlomkov môže vykonávať operácie iba s 2 jednoduché zlomky... Môžu byť buď správne (čitateľ je menší ako menovateľ), alebo nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ). Čísla v čitateľovi a menovateli nemôžu byť záporné a nemôžu prekročiť 999.Naša online kalkulačka rieši zlomky a poskytuje odpovede na správny druh- V prípade potreby zníži zlomok a zvýrazní celú časť.
Ak potrebujete vyriešiť záporné zlomky, použite iba vlastnosti mínus. Pri násobení a delení záporných zlomkov mínus mínus dáva plus. To znamená, že súčin a delenie negatívnych zlomkov sa rovná súčinu a deleniu rovnakých pozitívnych zlomkov. Ak je jeden zlomok pri násobení alebo delení záporný, jednoducho odstráňte mínus a potom ho pridajte k odpovedi. Ak pridáte záporné zlomky, výsledok je rovnaký, ako keby ste pridali rovnaké pozitívne zlomky. Ak pripočítate jeden záporný zlomok, je to to isté, ako odčítanie rovnakého kladného zlomku.
Pri odčítaní negatívnych zlomkov bude výsledok rovnaký, ako keby boli obrátené a pozitívne. To znamená, že mínus po mínus v tento prípad dáva plus a súčet sa od permutácie výrazov nemení. Pri odčítaní zlomkov, z ktorých jeden je záporný, používame rovnaké pravidlá.
Na riešenia zmiešané frakcie(zlomky, v ktorých je zvýraznená celá časť) stačí nahnať celú časť na zlomok. Za týmto účelom vynásobte celú časť menovateľom a pripočítajte k čitateľovi.
Ak potrebujete vyriešiť 3 alebo viac zlomkov online, mali by ste ich vyriešiť postupne. Najprv spočítajte prvé 2 zlomky, potom vyriešte ďalší zlomok odpoveďou, ktorú ste dostali, a podobne. Vykonajte operácie postupne pre 2 zlomky a nakoniec dostanete správnu odpoveď.
V tomto článku podrobne analyzujeme, ako redukcia zlomkov... Najprv si povedzme, čo sa nazýva redukcia frakcií. Potom sa porozprávajme o znížení zrušiteľnej frakcie na neredukovateľnú formu. Ďalej získame pravidlo na zníženie zlomkov a nakoniec zvážime príklady použitia tohto pravidla.
Navigácia na stránke.
Čo to znamená zrušiť zlomok?
Vieme, že bežné zlomky sú rozdelené na zrušiteľné a neredukovateľné zlomky. Z názvov môžete hádať, že zrušiteľné zlomky je možné redukovať, ale neredukovateľné nie.
Čo to znamená zrušiť zlomok? Znížte zlomok- to znamená rozdeliť jeho čitateľa a menovateľa na pozitívne a non-one. Je zrejmé, že v dôsledku redukcie zlomku sa získa nový zlomok s menším čitateľom a menovateľom a na základe základných vlastností zlomku sa výsledný zlomok rovná pôvodnému zlomku.
Zredukujme napríklad spoločný zlomok 8/24 delením jeho čitateľa a menovateľa 2. Inými slovami, môžeme znížiť zlomok 8/24 o 2. Pretože 8: 2 = 4 a 24: 2 = 12, výsledkom tohto zníženia je zlomok 4/12, ktorý sa rovná pôvodnému zlomku 8/24 (pozri rovnaké a nerovnaké zlomky). V dôsledku toho máme.
Redukcia bežných frakcií na neredukovateľnú formu
Konečným cieľom redukcie zlomku je obvykle získať neredukovateľný podiel, ktorý sa rovná pôvodnému zrušenému zlomku. Tento cieľ je možné dosiahnuť znížením pôvodného zrušiteľného zlomku jeho čitateľom a menovateľom. V dôsledku takejto redukcie sa vždy získa neredukovateľná frakcia. Skutočne, zlomok 
je neredukovateľný, pretože je z neho známe, že 
a 
-. Tu hovoríme, že najväčší spoločný deliteľ čitateľa a menovateľa zlomku je najväčší počet, čím je možné túto frakciu znížiť.
Takže, redukcia obyčajnej frakcie na neredukovateľnú formu spočíva v delení čitateľa a menovateľa pôvodnej zrušiteľnej frakcie ich GCD.
Pozrime sa na príklad, pre ktorý sa vrátime k zlomku 8/24 a zredukujeme ho na najväčšieho spoločného deliteľa 8 a 24, ktorý je 8. Keďže 8: 8 = 1 a 24: 8 = 3, dostávame sa k neredukovateľnej frakcii 1/3. Takže.
Upozorňujeme, že fráza „znížiť podiel“ často znamená zníženie pôvodnej frakcie na neredukovateľnú formu. Inými slovami, rozdelenie čitateľa a menovateľa ich najväčším spoločným deliteľom (a nie žiadnym z ich spoločných deliteľov) sa veľmi často nazýva zníženie zlomku.
Ako môžete skrátiť zlomok? Pravidlo a príklady redukcie zlomkov
Zostáva iba analyzovať pravidlo pre zníženie zlomkov, ktoré vysvetľuje, ako znížiť daný zlomok.
Pravidlo pre zníženie zlomkov pozostáva z dvoch krokov:
- najskôr sa nájde GCD čitateľa a menovateľa zlomku;
- za druhé, čitateľ a menovateľ zlomku sú vydelení ich GCD, čo dáva neredukovateľný zlomok rovný originálu.
Poďme analyzovať príklad redukcie frakcií podľa uvedeného pravidla.
Príklad.
Znížte podiel 182/195.
Riešenie.
Vykonajme oba kroky, predpísané pravidlom redukcie zlomkov.
Najprv nájdeme GCD (182, 195). Najvýhodnejšie je použiť Euklidov algoritmus (pozri): 195 = 182 1 + 13, 182 = 13 14, to znamená GCD (182, 195) = 13.
Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku 182/195 číslom 13 a dostaneme neredukovateľný zlomok 14/15, ktorý sa rovná pôvodnému zlomku. Tým je redukcia zlomku dokončená.
Stručne povedané, riešenie môže byť napísané nasledovne:.
Odpoveď:
Tu môžeme skončiť s redukciou zlomkov. Ale pre úplnosť zvážte ďalšie dva spôsoby, ako redukovať zlomky, ktoré sa zvyčajne používajú v miernych prípadoch.
Niekedy je čitateľ a menovateľ zrušeného zlomku ľahký. Zníženie zlomku je v tomto prípade veľmi jednoduché: stačí odstrániť všetky bežné faktory z čitateľa a menovateľa.
Stojí za zmienku, že táto metóda priamo vyplýva z pravidla pre redukciu zlomkov, pretože súčin všetkých spoločných prvočíselných činiteľov čitateľa a menovateľa sa rovná ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi.
Pozrime sa na príklad riešenia.
Príklad.
Znížte zlomok 360/2 940.
Riešenie.
Rozviňme čitateľa a menovateľa na hlavné faktory: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 a 2 940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7. Preto 
.
Teraz sa zbavíme bežných faktorov v čitateľovi a menovateli, pre jednoduchosť ich len prečiarkneme: 
.
Nakoniec vynásobte zostávajúce faktory: a redukcia je dokončená.
Tu je súhrn riešenia: 
.
Odpoveď:
Zvážte ďalší spôsob zníženia zlomku, ktorým je postupné znižovanie. Tu je v každom kroku zlomok zrušený nejakým spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa, čo je zrejmé alebo sa dá ľahko určiť pomocou
Aby sme pochopili, ako redukovať zlomky, pozrime sa najskôr na jeden príklad.
Zmenšenie zlomku znamená rozdelenie čitateľa a menovateľa na rovnakú vec. 360 aj 420 sa končia číslicou, takže tento zlomok môžeme zmenšiť o 2. V novom zlomku je 180 a 210 tiež deliteľných 2, taktiež tento zlomok znížime o 2. V číslach 90 a 105 je súčet číslice sú deliteľné 3, takže obe tieto čísla sú deliteľné 3, zlomok znížime o 3. V novom zlomku 30 a 35 končia 0 a 5, čo znamená, že obe čísla sú deliteľné 5, takže znížime zlomok o 5. Výsledná frakcia šesť-siedma je neredukovateľná. Toto je konečná odpoveď.
K tej istej odpovedi môžeme dospieť aj iným spôsobom.
360 aj 420 sa končia nulou, takže sú deliteľné číslom 10. Zmenšite zlomok o 10. V novom zlomku sú čitateľ 36 aj menovateľ 42 deliteľné číslom 2. Znížte zlomok o 2. V nasledujúcom zlomku čitateľ 18 aj menovateľ 21 sú deliteľné 3, čo znamená, že zlomok znížime o 3. Dospeli sme k výsledku - šiestim siedmym.
A ešte jedno riešenie.
Nabudúce sa pozrime na príklady zrušenia zlomkov.
