Rozklad polynómov na multiplikátoroch. Spôsob prideľovania celého štvorca. Kombinácie metód. Polynómy. Rozklad multiplikátorov: Metódy, príklady

Rozklad polynómov na multiplikátoroch je identická transformácia, v dôsledku čoho je polynóm transformovaný na produkt viacerých faktorov - polynómy alebo jednorazové.

Existuje niekoľko spôsobov, ako rozkladať polynómy na multiplikátoroch.

Metóda 1. Premiestnenie spoločného faktora pre držiak.

Táto transformácia je založená na distribučnom práve multiplikácie: AC + Bc \u003d C (A + B). Podstatou konverzie je prideliť v oboch zložkách, ktoré zvažujú všeobecný faktor a "out" ho pre zátvorky.

Polynómy polynómu 28x 3 - 35x 4 sa rozkladáme.

Rozhodnutia.

1. Nájdite prvky 28x 3 a 35x 4 spoločného rozdelenia. 28 a 35 bude 7; Pre x 3 a x 4 - x 3. Inými slovami, náš celkový multiplikátor 7x 3.

2. Každý z prvkov predstavuje prácu multiplikátorov, z ktorých jedna
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Vezmeme všeobecný multiplikátor pre zátvorky
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metodifikácia 2. Použitie vzorcov skrátenej násobenia. "Majstrovstvo" podľa vlastníctva tejto metódy je všimnúť si jeden z vzorcov skráteného násobenia.

Šírovanie multiplikátorov polynómov X 6 - 1.

Rozhodnutia.

1. Na tento výraz môžeme použiť vzorec pre rozdiel v štvorcoch. Ak to chcete urobiť, predstavte si X 6 ako (x 3) 2 a 1 ako 1 2, t.j. 1. Výraz bude mať formu:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Na výsledný výraz môžeme použiť vzorec sumy a rozdielu kocky:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Tak,
x 6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metóda 3. Zoskupovanie. Spôsob zoskupenia je kombinovať zložky polynómu takým spôsobom, aby boli ľahko vykonávať akcie (pridanie, odčítanie, celkový multiplikátor).

Polynómy x 3 - 3x 2 + 5x - 15 na multiplikátoroch.

Rozhodnutia.

1. Týmto spôsobom injektuje komponenty: 1. s 2. a 3. s 4. miesto
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Vo výslednom vyjadrení budeme vykonávať všeobecné multiplikátory pre konzoly: x 2 v prvom prípade a 5 - v druhom.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Vyberáme všeobecný faktor X - 3 pre zátvorky a získajte:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Tak,
x 3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d X2 (X - 3) + 5 (X - 3) \u003d (X - 3) ∙ (x 2 + 5).

Upevnite materiál.

Expedícia Polynóm A2 - 7AB + 12B 2 na multiplikátoroch.

Rozhodnutia.

1. Predstavte si 7AB 7AB ako súčet 3AB + 4AB. Výraz bude mať formu:
2 - (3AB + 4AB) + 12B 2.

Odhalíme zátvorky a získame:
2 - 3AB - 4AB + 12B 2.

2. Týmto spôsobom injektáž zložiek polynómu: 1. s 2. a 3. a 3.. Dostaneme:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2).

3. Budem prinášať všeobecné multiplikátory pre zátvorky:
(A2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B).

4. Prinesiem generálny multiplikátor pre zátvorky (A - 3B):
a (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d (A - 3 B) ∙ (A - 4B).

Tak,
2 - 7AB + 12B 2 \u003d
\u003d A2 - (3AB + 4AB) + 12B 2 \u003d
\u003d 2 - 3AB - 4AB + 12B 2 \u003d
\u003d (A2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d
\u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (A - 4B).

miesto, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.

Aby sa rozložili faktory, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné, aby sa naďalej znižovalo. Rozklad polynómu dáva zmysel, keď jeho stupeň nie je nižší ako druhý. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Článok odhalí všetky koncepty rozkladu, teoretických základov a metód expanzie polynómov na multiplikátory.

Teória

Teorem 1.

Keď akýkoľvek polynóm s stupňom n, s formou P n x \u003d a n x n + a n-1 x n-1 +. . . + A 1 x + A 0, predstavujú produkt s konštantným faktorom so starším stupňom a n lineárnych multiplikátorov (X - XI), I \u003d 1, 2, ..., N, potom PN (X) \u003d (X - Xn) (X - Xn - 1) ·. . . · (X - X 1), kde X I, I \u003d 1, 2, ..., N je korene polynómu.

Veta je určená pre korene komplexného typu X I, I \u003d 1, 2, ..., N a pre komplexné koeficienty A K, K \u003d 0, 1, 2, ..., n. Toto je základ akéhokoľvek rozkladu.

Keď sú koeficienty formulára A K, K \u003d 0, 1, 2, ..., N sú platné čísla, potom komplexné korene, ktoré sa stretnú s pármi. Napríklad korene x 1 a x 2 patria k polynómu formulára P n x \u003d a n x n + a n-1 x n-1 +. . . + A 1 x + A 0 je považovaný za komplexne konjugát, potom sú ostatné korene platné, odtiaľto získavame, že polynóm má formu p n (x) \u003d a n (x - x n) (x - x n - 1) ·. . . · (X - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q \u003d (x - x 1) (x - x 2).

Komentár

Korene polynómu sa môžu opakovať. Zvážte dôkaz teorem algebry, účinok z teoremom rastliny.

Hlavná veta algebry

Veta 2.

Akýkoľvek polynóm s stupňom n má aspoň jeden koreň.

Veta Bezu

Po rozdelení polynómu formulára P n x \u003d n x n + a n bol 1 x n-1 +. . . + A 1 x + A 0 na (X - S), potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s, potom sa dostaneme

P n x \u003d a n x n + a n - 1 x n-1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d (X-S) · Q N-1 (X) + PN (S), kde Q N-1 (X) je polynóm s stupňom N-1.

Dôsledok teorem

Keď je koreň polynómu PN (x) považovaný za S, potom p n x \u003d a n x n + a n-1 x n-1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d (X-S) · Q N - 1 (X). Toto vyšetrovanie je dostatočné, keď sa používa na opis riešenia.

Rozklad pre štvorcové Trojfarebné multiplikátory

Štvorcový trojnásobok formulára A X2 + B x + C sa môže rozložiť na lineárnych multiplikátoroch. Potom sa dostaneme, že X 2 + B x + C \u003d A (X - X 1) (X-X 2), kde X 1 a X2 sú korene (komplexné alebo platné).

Je možné vidieť, že samotný rozklad sa následne zníži na riešenie štvorcovej rovnice.

Príklad 1.

Stanovenie štvorcových troch snímok na multiplikátoroch.

Rozhodnutie

Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 0. Na to je potrebné nájsť hodnotu diskriminácie podľa vzorca, potom získame D \u003d (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 \u003d 9. Odtiaľ máme

x1 \u003d 5 - 9 2,4 \u003d 1 4 x 2 \u003d 5 + 9 2 · 4 \u003d 1

Odtiaľ získame 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 4 x - 1 4 x - 1.

Ak chcete vykonávať kontroly, musíte odhaliť konzoly. Potom dostaneme vyjadrenie formulára:

4 x - 1 4 x - 1 \u003d 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 \u003d 4 x 2 - 5 x + 1

Po kontrole dospejeme na počiatočný výraz. To znamená, že je možné dospieť k záveru, že rozklad je správny.

Príklad 2.

Rozbaliť na multiplikátoroch štvorcových troch vybraných druhov 3 x 2 - 7 x - 11.

Rozhodnutie

Získame, že je potrebné vypočítať výslednú štvorcovú rovnicu formulára 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0.

Ak chcete nájsť korene, je potrebné určiť hodnotu diskriminantov. Dostaneme to

3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0 d \u003d (- 7) 2 - 4 · (- 11) \u003d 181 x 1 \u003d 7 + D2 · 3 \u003d 7 + 181 6 x 2 \u003d 7 - D2 · 3 \u003d 7 - 181 6

Odtiaľ získame 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Príklad 3.

Stanovenie polynómu 2 x 2 + 1 na multiplikátoroch.

Rozhodnutie

Teraz musíte vyriešiť štvorcovú rovnicu 2 x 2 + 1 \u003d 0 a nájsť svoje korene. Dostaneme to

2 x 2 + 1 \u003d 0 x 2 \u003d - 1 2 x 1 \u003d - 1 2 \u003d 1 2 · i x 2 \u003d - 1 2 \u003d - 1 2 · I

Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugát, znamená to, že samotný rozklad môže byť zobrazený ako 2 x 2 + 1 \u003d 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Príklad 4.

Stanovenie štvorcového tri dec x 2 + 1 3 x + 1.

Rozhodnutie

Ak chcete začať, je potrebné vyriešiť štvorcovú rovnicu formulára x 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 a nájsť svoje korene.

x2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 D \u003d 1 3 2 - 4 · 1 \u003d - 35 9 x 1 \u003d - 1 3 + D2 · 1 \u003d - 1 3 + 35 3 · I 2 \u003d - 1 + 35 · I 6 \u003d - 1 6 + 35 6 · IX 2 \u003d - 1 3 - D 2 · 1 \u003d - 1 3 - 35 3 · I 2 \u003d - 1 - 35 · I 6 \u003d - 1 6 - 35 6 · I

Po obdržaní koreňov, písať

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d X - - 1 6 + 35 6 · I x - - 1 6 - 35 6 · I \u003d X + 1 6 - 35 6 · I x + 1 6 + 35 6 · I

Komentár

Ak je hodnota diskriminácie negatívna, potom polynómy zostanú polynómy druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nedáme na lineárne multiplikátory.

Metódy rozkladu polynómov o stupni vyššie ako druhé

Pri rozklade sa predpokladá univerzálna metóda. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledkom teoremom látky. Aby ste to urobili, je potrebné zvoliť hodnotu koreňového x 1 a znížiť jej titul delením na rozdelenie polynómu na 1 (x - x 1). Výsledné polynómové potreby na nájdenie koreňa X2 a vyhľadávací proces je cyklicky, kým nedostaneme úplný rozklad.

Ak sa koreň nenašiel, aplikujú sa aj iné spôsoby rozkladu multiplikátorov: zoskupenie, ďalšie podmienky. Táto téma sa domnieva, že rieši rovnice s vyššími stupňami a celé koeficienty.

Multiplikátor pre konzoly

Zvážte prípad, keď je voľný člen nulový, potom typ polynómu sa stáva p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 +. . . + 1 x.

Je možné vidieť, že koreň takéhoto polynómu bude X 1 \u003d 0, potom sa polynóm môže byť predložený ako expresia P n (x) \u003d N x n + A N-1 x N-1 +. . . + A 1 x \u003d x (a n x n - 1 + A n - 1 x n - 2 + ... + A 1)

Táto metóda sa považuje za stiahnutie spoločného faktora pre zátvorky.

Príklad 5.

Vykonajte rozklad polynómu tretieho stupňa 4 x 3 + 8 x 2 - x na multiplikátoroch.

Rozhodnutie

Vidíme, že X 1 \u003d 0 je koreňom daného polynómu, potom je možné urobiť x pre konzoly celého výrazu. Dostaneme:

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x (4 x 2 + 8 x - 1)

Choď na nájdenie koreňov štvorcového trojvrstvu 4 x 2 + 8 x - 1. Nájdeme diskriminant a korene:

D \u003d 8 2 - 4 · 4 · (- 1) \u003d 80 x 1 \u003d - 8 + D2 · 4 \u003d - 1 + 5 2 x 2 \u003d - 8-D 2,4 \u003d - 1 - 5 2

Potom to vyplýva

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x 4 x 2 + 8 x - 1 \u003d 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 \u003d 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 52.

Ak chcete začať, vezmeme si na zváženie metódy rozkladu obsahujúceho celé koeficienty formulára P n (x) \u003d x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + A 0, kde je koeficient jedným z vyšších stupňov, sa rovná 1.

Keď polynóm má celé korene, potom sa považujú za slobodných členov.

Príklad 6.

Stanovenie expresie F (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Rozhodnutie

Zvážte, či sú tu celé korene. Je potrebné zapísať deliče o čísle - 18. Získame to ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Z toho vyplýva, že tento polynóm má celé korene. Môžete skontrolovať schému horáka. Je veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať sadzby žalobcov polynómu:

Z toho vyplýva, že X \u003d 2 a X \u003d - 3 sú korene zdrojového polynómu, ktoré môžu byť reprezentované ako produkt formy:

f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) \u003d \u003d (X - 2) (X + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Obrátime sa na rozklad štvorcového trojnásobného formulára x 2 + 2 x + 3.

Pretože diskriminant dostaneme negatívne, znamená to, že neexistujú žiadne platné korene.

Odpoveď: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (X - 2) (X + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentár

Je možné použiť výber koreňa a rozdelenia polynómu na polynóm namiesto schémy strelca. Obrátime sa na zváženie rozkladu polynómu obsahujúceho celé koeficienty formulára P n (x) \u003d x n + a n - 1 x n-1 +. . . + 1 x + A 0, ktorého najstarší je rovnaký.

Tento prípad sa koná pre frakčné racionálne frakcie.

Príklad 7.

Rozbaliť faktory f (x) \u003d 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.

Rozhodnutie

Je potrebné vymeniť variabilné Y \u003d 2 x, mali by ste sa presunúť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 s vysokým stupňom. Je potrebné začať s množením výrazu na 4. Dostaneme to

4 f (x) \u003d 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 \u003d \u003d y3 + 19 y2 + 82 y + 60 \u003d g (y)

Keď výsledná funkcia formulára g (y) \u003d y3 + 19 y 2 + 82 y + 60 má celé korene, potom ich zistenie medzi voľným členom rozdeľovača. Záznam bude mať formulár:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

Poďme na výpočet funkcie g (y) v týchto bodkoch, aby sa získal v dôsledku nuly. Dostaneme to

g (1) \u003d 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 \u003d 162 g (- 1) \u003d (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 \u003d - 4 g (2) \u003d 2 3 + 19 · 2 + 82 · 2 + 60 \u003d 308 g (- 2) \u003d (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 \u003d - 36 g (3) \u003d 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 \u003d 504 g (- 3) \u003d (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 \u003d - 42 g (4) \u003d 4 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 \u003d 756 g (- 4) \u003d (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 \u003d - 28 g (5) \u003d 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 \u003d 1070 g (- 5) \u003d (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) \\ t + 60.

Získame, že y \u003d - 5 je koreňom rovnice formulára Y3 + 19 Y2 + 82 Y + 60, znamená to, že X \u003d Y2 \u003d - 5 2 je koreňom pôvodnej funkcie.

Príklad 8.

Kolóna 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 až X + 52.

Rozhodnutie

Píšeme a získame:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) \u003d \u003d 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Overenie rozdeľovačov bude trvať veľa času, takže je to výhodnejšie, aby sa rozklad na faktory výsledného štvorcového trojročného formulára x 2 + 7 x + 3. Priznať na nulu a nájsť diskriminant.

x2 + 7 x + 3 \u003d 0 D \u003d 7 2 - 4 · 1,3 \u003d 37 x 1 \u003d - 7 + 37 2 x 2 \u003d - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 \u003d x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Z toho vyplýva, že

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 \u003d 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umelé techniky rozkladu polynómov

Racionálne korene nie sú súčasťou všetkých polynómov. Ak to chcete urobiť, použite špeciálne spôsoby, ako nájsť multiplikátory. Ale nie všetky polynómy môžu byť rozložené alebo prítomné vo forme práce.

Spôsob zoskupenia

Existujú prípady, keď je možné zoskupiť zložky polynómu, aby ste našli spoločný faktor a dali ho na zátvorky.

Príklad 9.

Stanovenie polynómu X4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 na multiplikátoroch.

Rozhodnutie

Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene pravdepodobne môžu byť celé číslo. Ak chcete skontrolovať, prevziať hodnotu 1, 1, 2 a - 2, aby ste mohli vypočítať hodnotu polynómu v týchto bodoch. Dostaneme to

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 \u003d - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 \u003d 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 \u003d 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 \u003d - 6 ≠ 0

Odtiaľ je vidieť, že nie sú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob rozkladu a riešení.

Je potrebné vykonať zoskupenie:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 \u003d \u003d (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 \u003d \u003d x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 \u003d \u003d (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Po zoskupení pôvodného polynómu je potrebné ju predložiť ako produkt dvoch štvorcových troch odosielateľov. Aby sme to urobili, musíme rozkladať faktory. Dostaneme to

x 2 - 2 \u003d 0 x 2 \u003d 2 x 1 \u003d 2 x 2 \u003d - 2 ⇒ x 2 - 2 \u003d X - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d 0 d \u003d 4 2 - 4 · 1 · 1 \u003d 12 x 1 \u003d - 4 - D2 · 1 \u003d - 2 - 3 x 2 \u003d - 4 - D2 · 1 \u003d - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 \u003d x + 2 - 3 x + 2 + 3.

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 \u003d x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentár

Jednoduchosť skupiny neznamená, že je ľahké vybrať si čas. Určitý spôsob riešenia neexistuje, takže je potrebné použiť špeciálne teoremy a pravidlá.

Príklad 10.

Stanovenie multiplikátorov polynómu X4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Rozhodnutie

Zadaný polynóm nemá celé korene. Mali by sa vykonať zoskupenie komponentov. Dostaneme to

x4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 \u003d (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 \u003d x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d \u003d (x 2 + x) (x 2 + x) (x 2 + x) - 2) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po rozkladu na násobnosti, dostaneme to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 \u003d x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 \u003d x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Použitie vzorcov skrátenej multiplikácie a binome Newton, aby sa rozložil polynóm na multiplikátory

Vzhľad často nie vždy objasňuje, ako je potrebné využiť rozklad. Po vykonaní transformácií môžete vybudovať čiaru pozostávajúcu z trojuholníka Pascal, inak sa nazývajú Newton's Binom.

Príklad 11.

Rozklad polynómu X4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 na multiplikátoroch.

Rozhodnutie

Je potrebné vykonať konverziu výrazu na formulár

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sekvencia koeficientov množstva v zátvorkách označuje expresiu X + 1 4.

Takže máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3.

Po uplatnení rozdielu v štvorcov sa dostaneme

x4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Zvážte výraz, ktorý je v druhej konzole. Je jasné, že tam nie sú žiadne kone, takže je potrebné aplikovať vzorec pre rozdiel štvorcov. Získame výraz zobrazenia

x4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 \u003d x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Príklad 12.

Stanovenie multiplikátorov x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.

Rozhodnutie

Budeme sa zaoberať transformáciou výrazu. Dostaneme to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d X3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 \u003d (x + 2) 3 - 2

Je potrebné aplikovať vzorec pre znížený násobenie rozdielu kocky. Dostaneme:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d \u003d (x + 2) 3 - 2 \u003d x + 2 - 2 3 x + 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 \u003d x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Spôsob nahradenia premennej pri rozvádzaní polynómu na multiplikátory

Pri výmene premennej, zníženie stupňa a rozkladu polynómu na multiplikátory.

Príklad 13.

Stanovenie polynómových multiplikátorov formy X6 + 5 x 3 + 6.

Rozhodnutie

Podľa stavu je možné vidieť, že je potrebné nahradiť y \u003d x 3. Dostaneme:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6

Korene získanej štvorcovej rovnice sú rovné y \u003d - 2 a y \u003d - 3, potom

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d Y \u003d X 3 \u003d Y2 + 5 Y + 6 \u003d Y + 2 Y + 3 \u003d X 3 + 2 x 3 + 3

Je potrebné aplikovať vzorec pre skrátené množenie množstva kocky. Získame výraz formulára:

x6 + 5 x 3 + 6 \u003d Y \u003d X3 \u003d Y2 + 5 Y + 6 \u003d Y + 2 Y + 3 \u003d X 3 + 2 x 3 + 3 \u003d X + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

To znamená, že dostali požadovaný rozklad.

Vyššie uvedené prípady pomôže pri posudzovaní a rozkladu polynómov do multiplikátorov rôznymi spôsobmi.

Ak všimnete chybu v texte, vyberte ho a stlačte kláves CTRL + ENTER

Rozklad polynómov na získanie produktu sa niekedy zdá mätúce. Ale toto nie je také ťažké, ak to v procese kroku za krokom. Článok je podrobne opísaný ako rozkladať štvorcové tri-lúče na multiplikátoroch.

Mnohé sú nepochopiteľné, ako sa rozkladať štvorcové tri-lúče na multiplikátoroch, a pre ktoré sa vykonáva. Spočiatku sa môže zdať, že ide o zbytočné povolanie. Ale v matematike sa nič nevykoná. Transformácia je potrebná na zjednodušenie výrazu a pohodlia výpočtu.

Polynóm, ktorý má pohľad - AX + BX + C, nazývaný štvorcový trojstranný. Termín "A" musí byť negatívny alebo pozitívny. V praxi sa tento výraz nazýva štvorcová rovnica. Preto niekedy hovoria odlišne: ako rozkladať štvorcovú rovnicu.

Zaujímavé!Námestie polynóm sa nazýva kvôli jeho najväčšiemu stupňu - štvorcové. A tri zaseknuté - kvôli 3 základným podmienkam.

Niektoré iné typy polynómov:

• lineárny vyhadzovač (6x + 8);
• kubický štvorvalový (x³ + 4x²-2x + 9).

Rozklad štvorcového troj-melanu

Po prvé, výraz sa rovná nule, potom musíte nájsť hodnoty koreňov X1 a X2. Korene nemusia byť, možno jeden alebo dva korene. Prítomnosť koreňov je určená diskriminátorom. Jeho vzorec musí byť známy srdcom: D \u003d B²-4Ac.

Ak je výsledok d negatívny, neexistujú žiadne korene. Ak je pozitívny, dva koreň. Ak bol výsledok nula - jeden koreň. Korene sú tiež vypočítané vzorcom.

Ak pri výpočte diskriminácie sa ukáže nula, môže sa použiť ktorýkoľvek z vzorcov. V praxi sa vzorec jednoducho zníži: -B / 2A.

Formuláry pre rôzne diskriminačné hodnoty sa líšia.

Ak je D pozitívne:

Ak d je nulová:

Online kalkulačky

Na internete sa nachádza online kalkulačka. S tým môžete rozkladať faktory. Niektoré zdroje majú možnosť vidieť rozhodnutie krok za krokom. Takéto služby pomáhajú lepšie pochopiť tému, ale musíte sa pokúsiť preniknúť dobre.

Užitočné video: rozklad štvorcového triplén do multiplikátorov

Príklady

Navrhujeme zobraziť jednoduché príklady, ako rozložiť štvorcovú rovnicu pre multiplikátorov.

Príklad 1.

Jasne ukazuje, že výsledok je dva x, pretože d je pozitívny. Musia byť nahradené vzorcom. Ak sa korene ukázali negatívne, prihláste sa vo vzore sa mení naopak.

Poznáme vzorec pre rozklad štvorcového troj-melanu pre multiplikátorov: A (X - X1) (X - X2). Hodnoty v zátvorkách vložíme: (X + 3) (X + 2/3). Termín nie je žiadne číslo. To znamená, že existuje jednotka, ide dole.

Príklad 2.

Tento príklad jasne ukazuje, ako vyriešiť rovnicu, ktorá má jeden koreň.

Hodnotíme výslednú hodnotu:

Príklad 3.

DANAR: 5X² + 3X + 7

Najprv vypočítajte diskriminantov, ako v predchádzajúcich prípadoch.

D \u003d 9-4 * 5 * 7 \u003d 9-140 \u003d -131.

Diskriminant je negatívny, to znamená, že nie sú žiadne korene.

Po obdržaní výsledku stojí za to otvoriť zátvorky a skontrolovať výsledok. Mali by existovať počiatočná trojica.

Alternatívne riešenie roztoku

Niektorí ľudia nemohli spoznať priateľov s diskriminantou. Stále môžete rozložiť tri rozklady na multiplikátoroch. Pre pohodlie je uvedený v príklade.

DANAR: X² + 3X-10

Vieme, že 2 zátvorky by sa mali získať: (_) (_). Keď má výraz tento druh: X² + BX + C, na začiatku každej konzoly sme dali x: (x _) (x_). Zostávajúce dve čísla sú prácou, ktorá dáva "C", t.j. v tomto prípade -10. Zistite, aké čísla je možné len metódou výberu. Substituované čísla musia spĺňať zostávajúce tvrdenie.

Napríklad násobenie nasledujúcich čísel dáva -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (X - 1) (X + 10) \u003d X2 + 10X-X-10 \u003d X2 + 9X-10. Nie.
2. (x-10) (x + 1) \u003d x2 + x - 10x-10 \u003d x2-9x-10. Nie.
3. (X-5) (X + 2) \u003d X2 + 2X-5X-10 \u003d X2-3X-10. Nie.
4. (X - 2) (X + 5) \u003d X2 + 5x-2X-10 \u003d X2 + 3X-10. Vhodné.

Transformácia expresie X2 + 3X-10 vyzerá takto: (X-2) (X + 5).

DÔLEŽITÉ! Stojí za to starostlivo sledovať, že nie je zamieňať známky.

Rozklad komplexných troch snímok

Ak je "A" viac jednotiek, začnú ťažkosti. Ale všetko nie je tak ťažké, ako sa zdá.

Aby ste rozložili multiplikátory, musíte najprv vidieť, či niečo urobiť niečo za držiakom.

Expresia je napríklad uvedená: 3x² + 9x-30. Tu je číslo 3 pre držiak:

3 (X² + 3X-10). V dôsledku toho sa získa už známy troj-stalny. Odpoveď vyzerá takto: 3 (x-2) (x + 5)

Ako položiť, ak je termín, ktorý je na negatívnom námestí? V tomto prípade je číslo -1 predložené pre držiak. Napríklad: -X²-10x-8. Po výraze to bude vyzerať takto:

Systém sa líši od predchádzajúceho. Existuje len niekoľko nových momentov. Predpokladajme, že výraz: 2x² + 7x + 3. Odpoveď je tiež zaznamenaná v 2 zátvorkách, ktoré je potrebné vyplniť (_) (_). V 2. držiaku, X av 1. čo zostáva. Vyzerá to takto: (2x _) (x_). Zvyšok opakuje predchádzajúcu schému.

Číslo 3 dáva čísla:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Riešime rovnicu, nahrádzame údaje čísla. Posledná možnosť je vhodná. Transformácia expresie 2x² + 7x + 3 vyzerá takto: (2x + 1) (X + 3).

Ostatné prípady

Transformovať výraz nie je vždy. S druhým spôsobom sa nevyžaduje riešenie rovnice. Ale schopnosť transformovať zložky do práce je kontrolovaná len diskriminantou.

Je potrebné pretiahnuť na riešenie štvorcových rovníc, takže pri použití vzorcov neexistuje žiadne ťažkosti.

Užitočné video: rozklad troch stávok

Výkon

Môžete použiť akýmkoľvek spôsobom. Je však lepšie pracovať pred automatizmom. Naučte sa tiež vyriešiť štvorcové rovnice dobre a položiť polynómy do multiplikátorov, potrebujete tých, ktorí budú spájať svoje životy s matematikou. Na tomto sú postavené všetky nasledujúce matematické témy.

Koncepty "polynomiálnych" a "rozšírenie polynómov pre multiplikátorov" na algebre sa nachádzajú veľmi často, pretože musia byť známe, že ľahko vykonávať výpočty s veľkými viac hodnotnými číslami. Tento článok popisuje niekoľko metód rozkladu. Všetky z nich sú veľmi jednoduché, to stojí len stojí za to zvoliť správnu vec v každom konkrétnom prípade.

Koncept polynómu

Polynóm je súčtom jedným krídlom, to znamená, že výrazy obsahujúce iba multiplikačnú operáciu.

Napríklad 2 * x * y je jednorazový, ale 2 x x * y + 25 je polynóm, ktorý sa skladá z 2 single-wing: 2 x * y a 25. Takéto polynómové hovory skrútené.

Niekedy pre jednoduché riešenie príkladov s viaccennými hodnotami, expresia sa musí konvertovať napríklad, aby sa rozložil na určitom počte multiplikátorov, to znamená, čísla alebo výrazy, medzi ktorými sa uskutočňuje násobenie. Existuje niekoľko metód rozkladu polynómov na multiplikátory. Stojí za to zvážiť z najprimitívnejších, ktoré sa používajú v primárnych triedach.

Zoskupenie (Všeobecne)

Rozkladový vzorec polynómu pre multiplikátory metódy zoskupenia všeobecne vyzerá:

aC + BD + BC + AD \u003d (AC + BC) + (AD + BD)

Je potrebné zdieľať zdieľanie, aby sa v každej skupine objavilo spoločný faktor. V prvom držiaku je to multiplikátor s a v druhom - d. Musí sa vykonať, aby sa potom zdržiavali z konzoly, čím sa zjednoduší výpočet.

Algoritmus rozkladu v konkrétnom príklade

Najjednoduchší príklad rozkladu polynómu na multiplikátory metódy zoskupovania je uvedený nižšie:

10As + 14BC - 25A - 35B \u003d (10AS - 25A) + (14BC - 35B)

V prvom držiaku musíte prijať podmienky s multiplikátorom A, ktorý bude všeobecný, a v druhom - s multiplikátorom b. Venujte pozornosť znameniam + a - v hotovom vyjadrení. Dali sme pred tým istým znakom, ktorý bol v základných podmienkach. To znamená, že musíte pracovať s výrazom 25A, ale s výrazom -25. Značka mínus je "palicu" na výraz, ktorý stojí za ním a vždy ho berie do úvahy pri výpočte.

V ďalšom kroku musíte niesť multiplikátor, ktorý je bežný pre držiak. Je to preto, že skupina sa vykonáva. Vytiahnite držiak - to znamená, že je to napísanie pred držiakom (zníženie znamenia násobenia) všetky tie multiplikátory, ktoré sa presne opakujú vo všetkých podmienkach, ktoré sú v držiaku. Ak nie je 2 v zátvorke a 3 termíny a viac, všeobecný faktor musí byť obsiahnutý v každom z nich, inak nie je možné vytiahnuť z držiaka.

V našom prípade, len 2 termíny v zátvorkách. Všeobecný faktor je okamžite viditeľný. V prvej konzole je v druhom mieste - b. Tu potrebujete venovať pozornosť digitálnym koeficientom. V prvej konzole, obaja koeficienty (10 a 25) sú viacnásobné 5. To znamená, že je možné vytvoriť držiaku nielen A, ale aj 5A. Pred držiakom, aby ste napísali 5A, a potom každá zo zložiek v konzolách v zátvorkách, ktorá bola vykonaná, a tiež napísať súkromné \u200b\u200bv zátvorkách, nezabudli na označenia + a - s druhou konzolou, aby tiež nosiť 7b, pretože a 14 a 35 stolice 7.

10As + 14BC - 25A - 35B \u003d (10AS - 25A) + (14BC - 35B) \u003d 5A (2C - 5) + 7B (2C - 5).

Ukázalo sa, že 2 termíny: 5a (2c - 5) a 7b (2c - 5). Každý z nich obsahuje všeobecný multiplikátor (všetky výrazy v zátvorkách sa tu zhoduje, to znamená, že je to spoločný faktor): 2c - 5. Je tiež potrebné vyložiť na držiaku, to znamená, že 3A a 7B výrazov zostanú v Druhá konzola:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Úplná expresia:

10As + 14BC - 25A - 35B \u003d (10AS - 25A) + (14BC - 35B) \u003d 5A (2C - 5) + 7B (2C - 5) \u003d (2C - 5) * (5A + 7B).

Polynóm 10As + 14BC - 25A - 35B je teda zložené na 2 multiplikátory: (2c - 5) a (5a + 7b). Značka multiplikácie medzi nimi pri nahrávaní je možné vynechať

Niekedy existujú výrazy tohto typu: 5A 2 + 50A 3, tu si môžete vybrať držiak nielen A alebo 5A, ale aj 5A 2. Mali by ste sa vždy pokúsiť vydržať maximálny veľký všeobecný faktor za držiakom. V našom prípade, ak ste sa rozdelili na každý termín pre všeobecný faktor, ukáže sa:

5A 2/5A 2 \u003d 1; 50A 3 / 5A 2 \u003d 10A (Pri výpočte súkromných niekoľkých stupňov s rovnakými základňami je základňa konzervovaná a indikátor stupňa sa odpočíta). Jednotka teda zostáva v držiaku (v žiadnom prípade nezabudnite napísať jednotku, ak berieme jeden z termínov a súkromných z divízie: 10A pre držiak. Ukazuje sa, že:

5A 2 + 50A 3 \u003d 5A 2 (1 + 10A)

Formulárne štvorce

Pre pohodlie výpočtovej techniky bolo odvodené niekoľko vzorcov. Nazývajú sa skrátené multiplikačné vzorce a sú často používané. Tieto vzorce pomáhajú rozkladať polynómy obsahujúce stupne. To je ďalší účinný spôsob rozkladu multiplikátorov. Takže tu sú:

• a2 + 2AB + B2 \u003d (A + B) 2 - Vzorec nazývaný "štvorcový súčet" vzorec, pretože v dôsledku rozkladu na námestí sa berie množstvo čísel uzavretých v zátvorkách, to znamená, že hodnota tejto sumy sa vynásobí sám 2-krát, a preto je multiplikátor.
• a 2 + 2AB - B 2 \u003d (A - B) 2 - vzorec námestia rozdielu, je to podobné predchádzajúcemu. Výsledkom je, že rozdiel uzavretý v zátvorkách obsiahnutých na štvorcový titul.
• a 2 - B 2 \u003d (A + B) (A - B) - Toto je vzorec pre rozdiel v štvorcoch, pretože polynóm je spočiatku pozostávajúci z 2 štvorcov čísel alebo výrazov, medzi ktorými odčíta. Možno, že tri pomenované sa používa najčastejšie.

Príklady výpočtov pomocou štvorcových vzorcov

Výpočty na nich sú celkom jednoduché. Napríklad:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - Používame vzorec "štvorcový".
2. 25x 2 je štvorec výrazu 5x. 20HU - Dvojitá práca 2 * (5x * 2y) a 4y 2 je štvorcový 2ow.
3. Tak, 25x 2 + 20xy + 4Y2 \u003d (5x + 2Y) 2 \u003d (5x + 2Y) (5x + 2Y). Tento polynóm sa klesá na 2 multiplikátory (faktory sú rovnaké, takže je napísaný vo forme výrazu s štvorcovým stupňom).

Akcie vo vzorci štvorcového rozdielu sú podobné. Vzorec zostáva rozdiel štvorcov. Príklady v tomto vzorci sú veľmi ľahko určené a nájsť medzi inými výrazmi. Napríklad:

• 25A 2 - 400 \u003d (5A - 20) (5A + 20). Od 25A 2 \u003d (5a) 2, A 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25U 2 \u003d (6x - 5Y) (6x + 5Y). Od 36x 2 \u003d (6x) 2 a 25U 2 \u003d (5U 2)
• c 2 - 169B 2 \u003d (C - 13b) (C + 13B). Od 169b 2 \u003d (13b) 2

Je dôležité, aby každá z komponentov bola štvorcovým výrazom. Potom tento polynóm podlieha rozkladu multiplikátorov vzorcom štvorcového rozdielu. Na to nie je potrebné, aby druhý stupeň stál nad číslom. Existujú polynómy, ktoré majú veľkú rozsah, ale stále vhodný pre tieto vzorce.

a 8 + 10A 4 +25 \u003d (A 4) 2 + 2 * A 4 * 5 + 5 2 \u003d (A 4 +5) 2

V tomto príklade môže byť 8 reprezentovaný ako (A 4) 2, to znamená, že štvorec nejakej expresie. 25 je 5 2 a 10A 4 - toto sa zdvojnásobí vyrobené položky2 * A 4 * 5. To znamená, že táto expresia, napriek prítomnosti stupňov s veľkými ukazovateľmi, môže byť rozložená na 2 multiplikátoroch, aby sa s nimi pokračovalo v práci s nimi.

Formulové kocky

Rovnaké vzorce existujú na rozklad polynómov obsahujúcich Kuba. Sú to trochu komplikovanejšie tým, ktorí s štvorcami:

• a 3 + B3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B2) - Tento vzorec sa nazýva množstvo kocky, pretože v počiatočnej forme polynómu je súčet dvoch výrazov alebo čísel uzavretých v kocke.
• a 3 - B3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B2) - Vzorec identický s predchádzajúcim je označený ako rozdiel kocky.
• a 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B3 \u003d (A + B) 3 - CUBE sumy, v dôsledku výpočtov, ukazuje množstvo čísel alebo výrazov uzavretých v zátvorkách a vynásobené sám 3-krát, to je umiestnené na Kube
• a 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B3 \u003d (A - B) 3 -vzorec zostavený analógiou predchádzajúceho s menu len v niektorých známkach matematických operácií (plus a mínus) sa nazýva "CUBE ZOZNAMU".

Posledné dve vzorce sa prakticky nepoužívajú na rozkladanie polynómov multiplikátorov, pretože sú zložité, a celkom zriedkavé zistené polynómy, úplne zodpovedajúce takejto budove, aby sa mohli na týchto vzorcoch rozložené. Ale stále potrebujú vedieť, pretože sa budú vyžadovať podľa činností v opačnom smere - pri zverejnení zátvoriek.

Príklady cube vzorce

Príklad: 64A 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a-2b) (16A 2 + 8AB + 4B 2 ).

Tu sú celkom jednoduché čísla, takže môžete okamžite vidieť, že 64A 3 je (4a) 3 a 8B 3 je (2b) 3. Tento polynóm teda klesá rozdiel v rozdiele kocky na 2 multiplikátory. Opatrenia podľa vzorca kocky sa vyrábajú analogicky.

Je dôležité pochopiť, že nie všetky polynómy podliehajú rozkladu aspoň jedným zo spôsobov. Existujú však také výrazy, ktoré obsahujú vysoké tituly ako štvorcové alebo kocky, ale môžu byť tiež rozložené podľa formy skrátenej násobenia. Napríklad: x 12 + 125Y 3 \u003d (x 4) 3 + (5Y) 3 \u003d (x 4 + 5Y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5Y + (5Y) 2) \u003d (x 4 + 5Y ) (x 8 - 5x 4 y + 25Y 2).

Tento príklad obsahuje až 12 stupňov. Ale aj je možné rozkladať na multiplikátoroch vzorcom kocky. Na to je potrebné prezentovať x 12 ako (x 4) 3, to znamená, že ako kocka akéhokoľvek výrazu. Teraz vo vzorci je potrebné ho nahradiť. No, výraz 125U 3 je kocka 5y. Potom by sa práca mala vykonať pomocou vzorca a vykonať výpočty.

Najprv alebo v prípade pochybností môžete vždy kontrolovať v opačnom násobení. Potrebujete len odhaliť konzoly vo výslednom výraze a vykonávať akcie s podobnými podmienkami. Táto metóda sa vzťahuje na všetky uvedené spôsoby, ako znížiť: obe práce so spoločným faktorom a zoskupením a činnosťou na vzorcov kocky a štvorcových stupňov.

Rozšírenie faktorov rovnice je proces hľadania takýchto členov alebo výrazov, ktoré sa vynásobia, vedú k počiatočnej rovnici. Displeje pre faktory je užitočnou schopnosťou riešiť základné algebraické úlohy a stáva sa prakticky potrebným pri práci so štvorcovými rovnicami a inými polynómami. Rozklad multiplikátorov sa používa na zjednodušenie algebraických rovníc na uľahčenie ich riešenia. Rozklad multiplikátorov vám môže pomôcť odstrániť určité možné odpovede rýchlejšie ako vy, vyriešiť rovnicu manuálne.

Kroky

Rozklad multiplikátorov čísel a hlavných algebraických výrazov

1. Rozklad multiplikátorov čísel. Koncepcia rozkladu na multiplikátoroch je jednoduchá, ale v praxi môže byť expanzia multiplikátorov ťažká úloha (ak je uvedená zložitá rovnica). Preto začať, zvážte koncepciu rozkladu na multiplikátoroch na príklad čísel, pokračujeme v jednoduchých rovniciach, a potom sa obrátime na zložité rovnice. Multiplery tohto čísla sú čísla, ktoré sú uvedené v násobení. Napríklad multiplikátory čísla 12 sú čísla: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ako 1 x 12 \u003d 12, 2 x 6 \u003d 12, 3 x 4 \u003d 12.

   • Podobne si môžete prezrieť multiplikátory čísla ako jej deliteľoch, to znamená, že čísla, ktoré toto číslo zdieľa.
   • Nájdite všetky faktory čísla. Často používame číslo 60 (napríklad 60 minút za hodinu, 60 sekúnd za minútu atď.) A toto číslo má pomerne veľký počet multiplikátorov.
     • Multiplery 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, a 60.

2. Pamätajte si: Členovia výrazov obsahujúcich koeficient (číslo) a premennú môžu byť tiež rozložené na multiplikátoroch. Ak to chcete urobiť, nájdite faktory koeficientov s premennou. S vedomím, ako rozkladať členov rovníc na faktory, táto rovnica môže byť ľahko zjednodušená.

   • Napríklad člen 12x môže byť zaznamenaný ako produkt 12 a x. Môžete tiež písať 12x ako 3 (4x), 2 (6x) atď., Usporiadanie čísla 12 na najvhodnejšie multiplikátory.
     • Môžete položiť 12x niekoľkokrát v rade. Inými slovami, nemali by ste zastaviť na 3 (4x) alebo 2 (6x); Pokračujte v rozklade: 3 (2 (2x)) alebo 2 (3 (2x)) (je zrejmé, že 3 (4x) \u003d 3 (2 (2x)), atď.)

3. Aplikujte distribučnú vlastnosť množenia na rozklad na faktoroch algebraických rovníc. Vedieť, ako sa rozkladať na faktoroch čísla a člena výrazu (koeficienty s premennými), môžete zjednodušiť jednoduché algebraické rovnice, nájsť všeobecný faktor čísla a člena výrazu. Zvyčajne na zjednodušenie rovnice je potrebné nájsť najväčší spoločný delič (uzol). Takéto zjednodušenie je možné z dôvodu distribučnej vlastnosti multiplikácie: pre akékoľvek čísla A, B, s rovnosťou A (B + C) \u003d AB + AC.

   • Príklad. Roztiahnite 10x + 6 rovnicu na multiplikátoroch. Najprv nájdite uzol 12x a 6. 6 je najvyššie číslo, ktoré rozdeľuje a 12x, a 6, takže sa môžete rozložiť túto rovnicu pre: 6 (2x + 1).
   • Tento proces je tiež verný pre rovnice, v ktorých existujú negatívne a frakčné členovia. Napríklad X / 2 + 4 sa môže rozložiť 1/2 (x + 8); Napríklad -7x + (- 21) sa môže rozložiť na -7 (x + 3).

   Rozklad multiplikátorov štvorcových rovníc

   1. Uistite sa, že rovnica je uvedená v kvadratickej forme (AX 2 + BX + C \u003d 0). Square rovnice majú formu: AX 2 + BX + C \u003d 0, kde A, B, C - numerické koeficienty sú odlišné od 0. Ak dostanete rovnicu z jednej premennej (x) av tejto rovnici existuje jeden alebo viac Členovia z druhej premennej objednávky môžete preniesť všetkých členov rovnice na jednej strane rovnice a zodpovedať ho na nulu.

      • Napríklad rovnica je uvedená: 5x 2 + 7x - 9 \u003d 4x 2 + x - 18. Môže sa konvertovať na rovnicu x 2 + 6x + 9 \u003d 0, čo je štvorcová rovnica.
      • Rovnice s variabilnými X veľkými objednávkami, napríklad x 3, x 4 atď. Nie sú štvorcové rovnice. Jedná sa o kubické rovnice, štruktúra štvrtej objednávky a tak ďalej (len ak takéto rovnice nemožno zjednodušiť na štvorcové rovnice z variabilného x až stupňa 2).

   2. Štvorcové rovnice, kde A \u003d 1, sa rozvíjajú (x + d) (x + e), kde d * e \u003d c a d + e \u003d B. Ak má štvorcová rovnica formu: X2 + BX + C \u003d 0 (to znamená, že koeficient pri X2 je 1), potom takáto rovnica môže (ale nie je zaručená) rozkladať na vyššie uvedených faktoroch. Aby ste to urobili, musíte nájsť dve čísla, ktoré sú dané vynásobením "C", a pri pridávaní - "B". Akonáhle nájdete také dva čísla (D a E), nahradiť ich do nasledujúceho výrazu: (x + d) (x + e), ktoré pri zverejnení vedie k počiatočnej rovnici.

      • Napríklad štvorcová rovnica x 2 + 5x + 6 \u003d 0,3 x 2 \u003d 6 a 3 + 2 \u003d 5, takže môžete túto rovnicu rozložiť na (x + 3) (X + 2).
      • V prípade negatívnych členov zadajte nasledujúce menšie zmeny procesu rozkladu multiplikátorov:
        • Ak má štvorcová rovnica formu X2 -BX + C, klesá na: (x -_) (x-_).
        • Ak má štvorcová rovnica formu X2 -BX-C, je zložená na: (x + _) (x-_).
      • Poznámka: Priestory môžu byť nahradené frakciami alebo desatinnými číslami. Napríklad rovnica x 2 + (21/2) x + 5 \u003d 0 sa zloží do (X + 10) (X + 1/2).

   3. Rozklad multiplikátorov podľa pokusu a chyby. Nekomplikované štvorcové rovnice môžu byť rozložené na multiplikátoroch, jednoducho nahrádzajú čísla v možných riešeniach, kým nenájdete správne riešenie. Ak má rovnica formulár AX2 + BX + C, kde A\u003e 1, možné riešenia sú napísané vo forme (DX +/- _) (Ex +/- _), kde D a E sú numerické koeficienty Nula, ktorá pri násobení dávajú. Buď D alebo E (alebo oboje koeficienty) sa môže rovnať 1. Ak sú obidva koeficienty 1, potom použite vyššie opísaný spôsob.

      • Napríklad rovnica 3x 2 - 8x + 4. Tu 3 má iba dve poruchy (3 a 1), takže možné riešenia sú napísané vo forme (3x +/- _) (x +/- _). V tomto prípade namiesto medzier -2 nájdete správnu odpoveď: -2 * 3x \u003d -6x a -2 * x \u003d -2x; - 6x + (- 2x) \u003d - 8x a -2 * -2 \u003d 4, to znamená, že taký rozklad v opise konzol spôsobí členom pôvodnej rovnice.