Čo môžeš robiť dobre, nezabudni a čo nevieš, nauč sa.
Od Vladimíra Monomacha.
Ciele lekcie:
- Vzdelávacie
- systematizovať vedomosti o preberanej téme;
- skontrolujte úroveň študovaného materiálu;
- aplikovať teoretický materiál na riešenie problémov.
- Vzdelávacie
- podporovať pocit zodpovednosti za vykonanú prácu;
- pestovať kultúru reči, presnosť, pozornosť.
- Vývojový
- rozvíjať duševnú aktivitu študentov;
- vzbudiť záujem o predmet;
- rozvíjať zvedavosť.
Lekcia o opakovaní a zovšeobecňovaní učiva.
Vybavenie lekcie: stolík pre spätný projektor.
Formát lekcie: Na tabuli je téma hodiny, epigraf.
Príprava na lekciu: Niekoľko dní vopred boli na stánku vyvesené otázky na posúdenie.
- Definícia stupňa s celočíselným exponentom
- Vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom.
- Určenie stupňa pomocou zlomkového exponentu.
- Určenie stupňa so zlomkovým záporným exponentom.
- Určenie stupňa s akýmkoľvek ukazovateľom.
- Vlastnosti stupňa s ľubovoľným exponentom.
Počas vyučovania
1. Organizačný moment.
2. Domáce úlohy.č. 1241, 1242, 1244a, 1245b.
3. Kontrola domácich úloh.
Vykonávame vzájomné overovanie. Zobrazujem riešenia domácich úloh cez spätný projektor.
č. 1225b, c; 1227 a, c; 1229a,c;1232c,d;1233d.
Riešenie domácej úlohy.
B) 2 1,3 * 2 -0,7 * 4 0,7 = 2 0,6 * (2 2) 0,7 = 2 0,6 * 2 1,4 = 2 2 = 4.
B) 49 -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = (7 2) -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = 7 -4\3 \+1\12 - 3\4 = 7 (-16 +1- 9)\12 = 7 -24\12 = 7 -2 = 1\49.
A) (27 * 64) 1\3 = 27 1\3 * 64 1\3 = (3 3) 1\3 * (4 3) 1\3 = 3 * 4= 12.
B) (1\36 * 0,04) -1\2 = (6 -2 * (0,2) 2) -1\2 = (6 -2) -1\2 * ((0,2) 2 ) -1\2 = 6*0,2-1 = 6*10\2=30.
A) = = x 1-3\5 = x 2\5.
B) = = = c 8\3 -2\3 = c2.
B) (d1\2-1)* (d1\2 +1)= d-1
D) (p 1\3 - q 1\3) * (p 1\3 + (pq) 1\3 + q 2\3) = p-q.
G) = 
= .
Reflexia. Určte počet chýb.
4. Orientácia v študovanom materiáli.
Chlapci, akú tému sme študovali v posledných hodinách?
5. Motivácia. Dnes uskutočníme lekciu o opakovaní a zovšeobecnení vedomostí na tému „Zovšeobecnenie pojmu titul“. Chlapci, venujte pozornosť úlohám, ktoré budeme na hodine riešiť, podobné nájdete v testoch a anketách.
6. Aké vlastnosti stupňov ste použili pri robení domácich úloh? Pripomeňme si teóriu.
Dokonči vety:
7. Teoreticky ste dôvtipný a teraz zostáva skontrolovať praktickú časť.
Ľahký diktát.
(Za zatvorenou tabuľou sú 2 študenti.) Chlapci dokončia úlohu pomocou uhlíkového papiera, potom to skontrolujeme. Stropný projektor.
| možnosť 1 | Možnosť 2 |
| Vyjadrite výraz ako mocninu s racionálnym exponentom. | |
| ; ; . | ; ; . |
| Odpovede. 2 1\2; x 2\3; a 4\5. | 16 1\5; 6 1\3; a 3\2. |
| Reprezentujte výraz ako koreň čísla alebo výrazu | |
| 7 3\5; 5x 1\3; (5a) 1\3 | 5-1\4; 7u 2\5; (6x) 2\5. |
| Odpovede. ; 5; . | ; 7; |
| Vypočítajte | |
| 9 1\2 ; (3) | 1. 16 1\2 (4) |
| 8 2\3 (4) | 2. 81 3\4 (27) |
| 2 -2 * 16 1\2 (1) | 3. 3 -2 * 81 1\4 (1\3). |
8. Teraz si vypočujme kúsok histórie. Historický odkaz.
Predstavte si, že ste v Diamantovom fonde našej krajiny. A chceli by ste vedieť viac o diamantoch. Toto budeme robiť v triede.
Cvičenie 1.
Vykonajte výpočty. Zapíšte si písmená spojené s odpoveďami, ktoré nájdete v tabuľkách.
| B 49 1\2 = 7 | Y81 0,5 = 9 |
| S 32 1\5 = 2 | C8 2\3 = 4 |
| E 1000 1\3 = 10 | H00,2 = 0 |
| P 0,0016 1\4 = 0,2 | L1-0,6 = 1 |
| A 16 - 1\2 = 0,25 | Zi6 -0,25 = 0,5 |
| O (8\27) 1\3 = 2\3 | D 16 3\4 = 8 |
| M(5) 0,25 = 1,5 | A25 1,5 = 125 |
názov
čo to znamená v preklade
| 0 | 10 | 0.2 | 2\3 | 7 | 10 | 8 | 0.25 | 1, 5 | 2 | 9 |
| N | E | P | O | B | E | D | A | M | Y | Y |
a odráža jednu z jeho hlavných vlastností - najvyššiu tvrdosť.
Úloha 2.
Medzi výrazmi napísanými v tabuľke nájdi a prečiarkni tie, ktoré nedávajú zmysel. Pre zostávajúce výrazy nájdite rovnaké čísla napísané na diamantových kresbách. Vyplňte prázdne časti tabuľky číslami a písmenami.
Francúzske slovo __brilliant_______________ (v ruskom hláskovaní __diamond______________________) znamená „brilantný“ a používa sa na označenie diamantov, ktoré boli vybrúsené a vyleštené. Toto ošetrenie vám umožní získať mystický lesk a nádhernú hru svetla.
Úloha 3.
A) Vyplňte tabuľku
| № | Výraz | Sada platných hodnôt pre premennú | Slová |
| 1. | X 5 | aréna | |
| 6. | (x) -5,1 | (- ; 0) | oblasť |
B) Na obrázku je dokonalý diamantový výbrus, ktorý má tvar mnohostenu s 57 fazetami. Tento optimálny tvar a veľkosť boli získané v dvadsiatom storočí vďaka vývoju geometrickej optiky.
Zistite, ako sa volajú jednotlivé časti takéhoto diamantu. Pomocou informácií z tabuľky a obrázku:
Úloha 4.
A) Zjednodušte výrazy:
B) Nájdite význam výrazov
c) Pomocou nájdených odpovedí doplňte medzery v texte. Napíšte slová v správnych prípadoch.
Hmotnosť drahých kameňov sa meria v karátoch: 1 karát = m 1 0,2 g.
Diamanty s hmotnosťou viac ako m 2 53 karátov dostávajú svoje vlastné mená.
Najväčšie drahokamy sa uchovávajú v diamantovom fonde krajiny, ktorý sa nachádza v moskovskom Kremli.
Jedným z najznámejších diamantov je diamant
Potom som vstúpil
Ako výkupné za smrť
Našlo sa aj v
- "more svetla". Diamant bol opakovane odcudzený a skončil v rôznych krajinách a u rôznych vládcov.
V roku 1773 ho získal obľúbený
Diamant bol vložený do ruského panovníckeho žezla.
Úloha 5.
A) Zjednodušte výrazy
B) Vykonajte výpočty
1000 2\3 * 125 1\3 + (1\8) -4\3 + 16 0,25 * 49 0.5 = 530
B) Vyplňte medzery v texte:
Po dlhú dobu bola hlavným miestom ťažby diamantov India a začiatkom dvadsiateho storočia boli objavené ložiská v Južnej Afrike. Tam sa v roku 1905 v jednej z baní našiel najväčší diamant s hmotnosťou 3106 karátov. Meno dostala po majiteľovi bane.
Cullinan 11, druhý najväčší brus diamantu, zdobil korunu kráľovnej Viktórie.
Počas rezania bol tento diamant rozrezaný na 9 častí. Najväčší kus s hmotnosťou 530 karátov dostal názov „Hviezda Afriky“. Tento diamant, ktorý má 74 faziet, začal zdobiť britské suverénne žezlo.
Poďme zhrnúť lekciu.
- Aký bol cieľ na začiatku hodiny?
- Dosiahli ste ciele lekcie?
- Čo nové ste sa naučili v lekcii?
- Hodinu známkujeme.
Príručka obsahuje samostatné a testovacie práce na všetky najdôležitejšie témy v kurze matematiky pre 10.-11. ročník. Práce pozostávajú zo 6 možností troch úrovní obtiažnosti. Didaktické materiály sú určené na organizovanie diferencovanej samostatnej práce žiakov.
Príklady.
V krabici je 10 loptičiek, z toho 3 biele. Z krabice sa postupne vyberá jedna guľa, kým sa neobjaví biela guľa. Nájdite pravdepodobnosť, že sa objaví biela guľa.
Traja strelci strieľajú na rovnaký terč 2-krát. Je známe, že pravdepodobnosť zásahu každého strelca je 0,5 a nezávisí od výsledkov ostatných strelcov a predchádzajúcich výstrelov. Je možné povedať
s pravdepodobnosťou 0,99, že aspoň jedna strela zasiahne cieľ?
s pravdepodobnosťou 0,5, že každý strelec zasiahne terč aspoň raz?
OBSAH
Trigonometria
S-1. Definícia a vlastnosti goniometrických funkcií. Miera stupňa a radiánu uhla
S-2. Trigonometrické identity
S-3. Redukčné vzorce. Sčítacie vzorce
S-4. Vzorce s dvojitým a polovičným uhlom
S-5. Goniometrické vzorce na premenu súčtu na súčin a súčinu na súčet
S-6*. Ďalšie problémy s trigonometriou (samostatná domáca úloha)
K-1. Prevod goniometrických výrazov
S-7. Všeobecné vlastnosti funkcií. Transformácie funkčných grafov
S-8. Parita a periodicita funkcií
S-9. Monotónnosť funkcií. Extrémy C-10*. Výskum funkcií. Harmonické oscilácie (domáca prax)
K-2. Goniometrické funkcie
S-11. Inverzné goniometrické funkcie __
S-12*. Aplikácia vlastností inverzných goniometrických funkcií (samostatná domáca úloha)
S-13. Najjednoduchšie goniometrické rovnice
S-14. Goniometrické rovnice
S-15. Výber koreňov v goniometrických rovniciach. Sústavy goniometrických rovníc
S-16*. Metódy riešenia goniometrických rovníc (samostatná domáca úloha)
S-17*. Sústavy goniometrických rovníc (samostatná domáca úloha)
S-18. Najjednoduchšie trigonometrické nerovnosti
S-19*. Metódy riešenia goniometrických nerovností (samostatná domáca úloha)
K-3. Goniometrické rovnice, nerovnice, sústavy
Algebra
S-20. N-tý koreň a jeho vlastnosti
S-21. Iracionálne rovnice
S-22. Iracionálne nerovnosti. Systémy iracionálnych rovníc
S-23*. Metódy riešenia iracionálnych rovníc, nerovníc, sústav (samostatná domáca úloha)
S-24. Zovšeobecnenie pojmu titul
K-4. Sily a korene
S-25. Exponenciálne rovnice. Systémy exponenciálnych rovníc
S-26. Exponenciálne nerovnosti
S-27*. Metódy riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc (samostatná domáca úloha)
S-28*. Exponenciálne mocninové rovnice a nerovnice (samostatná domáca úloha)
K-5. Exponenciálna funkcia
S-29. Logaritmus. Vlastnosti logaritmov
S-30. Logaritmické rovnice a systémy
S-31*. Aplikácia logaritmov pri riešení transcendentálnych rovníc a systémov (samostatná domáca úloha)
S-32. Logaritmické nerovnosti
S-33*. Metódy riešenia logaritmických rovníc, nerovníc, systémov (samostatná domáca úloha)
K-6. Logaritmická funkcia
S-34. Zovšeobecnenie pojmu modul. Rovnice a nerovnice s modulom
Začiatok analýzy
S-35. Výpočet limitov číselných radov a funkcií. Kontinuita funkcie
S-36. Definícia derivátu. Najjednoduchšie pravidlá pre výpočet derivátov
S-37. Derivácie goniometrických a komplexných funkcií
S-38. Geometrický a mechanický význam derivácie
K-7. Derivát
S-39. Štúdium funkcie pre monotónnosť a extrémy
S-40*. Doplnkové štúdium funkcie (domáca samostatná práca)
S-41*. Vytváranie grafov funkcií (domáce cvičenie)
S-42. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie. Extrémne výzvy
S-43*. Vybrané úlohy diferenciálneho počtu (samostatná domáca úloha)
K-8. Aplikácia derivátu
S-44. Antiderivát. Výpočet primitívnych derivátov
S-45. Určitý integrál. Výpočet plôch pomocou určitého integrálu
S-46. Aplikácia primitív a integrálu
S-47*. Vybrané úlohy integrálneho počtu (samostatná domáca úloha)
K-9. Primitívne a integrálne
S-48. Derivácia a primitívna derivácia exponenciálnej funkcie
S-49. Derivácia a primitívna derivácia logaritmickej funkcie
S-50. Funkcia napájania
S-51*. Ďalšie problémy matematickej analýzy (samostatná domáca úloha)
K-10. Derivácia a primitívna derivácia exponenciálnych, logaritmických a mocninných funkcií
Komplexné čísla
S-52. Koncept komplexného čísla. Operácie s komplexnými číslami v algebraickom tvare
S-53. Modul a argument komplexného čísla. Operácie s komplexnými číslami v geometrickom tvare
S-54. Trigonometrický tvar komplexného čísla. Moivreov vzorec
S-55*. Ďalšie problémy s komplexnými číslami (samostatná domáca úloha)
K-11. Komplexné čísla
Kombinatorika
S-56. Množstvo. Nastaviť operácie
S-57. Základné vzorce kombinatoriky. Najjednoduchšie kombinatorické problémy
S-58. Binomická veta. Vlastnosti binomických koeficientov
S-59. Kombinatorické problémy. Pravidlo súčtu a pravidlo súčinu
S-60*. Doplnkové úlohy z kombinatoriky (samostatná domáca úloha)
K-12. Prvky kombinatoriky
Teória pravdepodobnosti
S-61. Klasická pravdepodobnosť. Použitie kombinatorických vzorcov pri výpočte pravdepodobnosti
S-62. Vety o sčítaní pravdepodobnosti a násobení
S-63. Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z nezávislých udalostí. Bernoulliho schéma
S-64*. Ďalšie kapitoly teórie pravdepodobnosti (samostatná domáca úloha)
K-13. Prvky teórie pravdepodobnosti
ODPOVEDE
Odpovede na testy
Odpovede na domáce nezávislé
práca
LITERATÚRA.
Stiahnite si e-knihu zadarmo vo vhodnom formáte, pozerajte a čítajte:
Stiahnite si knihu Nezávislá a testovacia práca z algebry a princípov analýzy, ročníky 10-11, Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2013 - fileskachat.com, rýchle a bezplatné stiahnutie.
Lekcia a prezentácia na tému: "Zovšeobecnenie pojmov o exponentoch"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 11. ročník
Algebraické úlohy s parametrami, ročníky 9–11
Softvérové prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Chlapci, v tejto lekcii zovšeobecníme poznatky o exponentoch. Môžeme vypočítať mocniny s ľubovoľným celočíselným exponentom. Čo ak exponent nie je celé číslo? A aká je súvislosť medzi koreňmi a mocninnými funkciami neceločíselného exponentu?
Trochu sa zopakujme, uvažujme číslo v tvare $a^n$.
1. Ak $n=0$, potom $a^n=a^0=1$.
2. Ak $n=1$, potom $a^n=a^1=a$.
3. Ak $n=2,3,4,5$… potom $a^n=a*a*a…*a$ (n faktorov).
4. Ak $n=1,2,3,4,5$… a $a≠0$, potom $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Vyššie uvedené pravidlá možno použiť aj na pripomenutie!
Vo všetkých vyššie uvedených pravidlách je exponentom celé číslo. Čo robiť v prípade zlomkového exponentu?
Čo je to číslo $2^(\frac(2)(3))$ a ako s ním pracovať? Pri práci s takýmito mocninami je potrebné, aby boli zachované všetky vlastnosti pre celočíselné mocniny. Napríklad pri zvýšení stupňa na mocninu sa ukazovatele znásobili.
Napríklad: $((2^(\frac(2)(3))))^3=2^(\frac(2)(3)*3)=2^2$.
Predstavme si nasledujúcu náhradu symbolov: $a=2^(\frac(2)(3))$.
Potom: $a^3=2^2$.
Dostaneme: $a=\sqrt(2^2)$.
To znamená, že pôvodný výraz môžeme prezentovať v tomto tvare: $2^(\frac(2)(3))=\sqrt(2^2)$.
Definícia. Dajme nám obyčajný zlomok $\frac(a)(b)$, $b≠1$ a $x≥0$, potom $x^(\frac(a)(b))=\sqrt[b] (x ^a)$.
Napríklad: $3^(\frac(1)(3))=\sqrt(3)$,
$5^(\frac(2)(5))=\sqrt(5^2)$.
Vynásobme dve čísla s rovnakými základmi, ale rôznymi mocnosťami:
$a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=\sqrt(a^2)*\sqrt(a)=\sqrt(a^8)*\ sqrt(a^3)=\sqrt(a^(11))=a^(\frac(11)(12))$.
Ale tiež si všimneme: $\frac(2)(3)+\frac(1)(4)=\frac(8+3)(12)=\frac(11)(12)$.
To znamená: $a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=a^(\frac(2)(3)+\frac(1)(4) )=a^(\frac(11)(12))$.
Sčítanie zlomkov je oveľa jednoduchšie ako práca s radikálmi (treba uviesť exponenty do rovnakého tvaru a potom už len násobiť). Preto je zvykom prepínať na výkonové funkcie so zlomkovým exponentom.
Príklad.
Vypočítať:
a) $((27))^(\frac(1)(3))$.
b) $((32))^(\frac(3)(5))$.
c) $0^(\frac(5)(7))$.
d) $((-32))^(\frac(1)(5))$.
Riešenie.
a) $((27))^(\frac(1)(3))=\sqrt(27)=3$.
B) $((32))^(\frac(3)(5))=\sqrt((32)^3)=((\sqrt(32)))^3=2^3=8$.
B) $0^(\frac(5)(7))=\sqrt(0^5)=((\sqrt(0)))^5=0^5=0$.
D) Z kladného čísla môžeme extrahovať iba odmocninu so zlomkovým exponentom, chlapci, pozrite sa na našu definíciu. Náš výraz nedáva zmysel.
Zdá sa, že $((-32))^(\frac(1)(5))=\sqrt(-32)=-2$ je správny zápis, ale pozrime sa bližšie na náš výraz: $((- 32))^ (\frac(1)(5))$=$((-32))^(\frac(2)(10))$=$\sqrt(((-32))^2)$ =$\sqrt (1024)=2$.
Dostali sme protichodný výraz, hoci všetky operácie boli vykonané správne, podľa vlastností a definícií. Preto matematici zakázali zvyšovať záporné čísla na zlomkové mocniny.
Chlapci, pamätajte: Kladné čísla môžeme zvýšiť len na zlomkové mocniny!
Definícia. Nech je daný obyčajný zlomok $\frac(a)(b)$, $b≠1$ a $х>0$, potom $x^(-\frac(p)(q))=\frac(1) (x ^(\frac(p)(q)))$.
Napríklad: $2^(-\frac(1)(4))=\frac(1)(2^(\frac(1)(4)))=\frac(1)(\sqrt(2))$ .
$3^(-\frac(3)(5))=\frac(1)(3^(\frac(3)(5)))=\frac(1)(\sqrt(3^3))=\ frac(1)(\sqrt(27))$.
Všetky vlastnosti, s ktorými sme sa pri práci s mocninnými číslami stretli, sú v prípade racionálnych mocnín zachované, vlastnosti si zopakujme.
Dostaneme kladné čísla $a>0$ a $b>0$, x a y sú ľubovoľné racionálne čísla, potom platí nasledujúcich 5 vlastností:
1. $a^x*a^y=a^(x+y)$.
2. $\frac(a^x)(a^y)=a^(x-y)$.
3. $((a^x)^y=a^(x*y)$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. $((\frac(a)(b)))^x=\frac(a^x)(b^x)$.
Príklad.
Zjednodušte výraz: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(\sqrt(y) ) (x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Riešenie.
Prepíšme čitateľa vo forme mocninových funkcií:
$\frac(x^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(y^ (\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Priveďme to k spoločnému menovateľovi:
$\frac(x^(\frac(1)(2))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))+y^(\frac( 1)(2))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))))((x^(\frac(1)(2))+y ^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2))))$ =$\frac(x-x^(\ frac(1)(2))*y^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))*x^(\frac(1)(2))+y) (x-y)$=$\frac(x+y)(x-y)$.
Príklad.
Riešte rovnice:
a) $\sqrt(x^4)=1$.
b) $x^(\frac(4)(5))=1$.
Riešenie.
a) Zvýšte obe strany rovnice na piatu mocninu:
$x^4=1$.
$x=±1$.
B) Naša rovnica je veľmi podobná predchádzajúcim. Ak prejdeme od písania koreňov k mocninným funkciám, potom bude záznam identický, ale stojí za zváženie, že hneď dostaneme mocninný výraz. Podľa definície môže byť číslo x iba kladné, potom nám zostáva jedna odpoveď $x=1$.
Príklad.
Vyriešte rovnicu: $x^(-\frac(2)(5))+x^(-\frac(1)(5))-12=0$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $y=x^(-\frac(1)(5))$.
$y^2=((x^(-\frac(1)(5))))^2=x^(-\frac(2)(5))$.
Potom bude mať naša rovnica podobu obyčajnej kvadratickej rovnice: $y^2+y-12=0$.
Po vyriešení rovnice dostaneme dva korene: $y_1=-4$ a $y_2=3$.
Musíme vyriešiť dve rovnice: $x^(-\frac(1)(5))=-4$ a $x^(-\frac(1)(5))=3$.
Prvá rovnica nemá korene. Pripomeňme, že mocninné funkcie s racionálnym exponentom sú definované len pre kladné čísla.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x^(-\frac(1)(5))=3$.
$\frac(1)(x^(\frac(1)(5)))=3$.
$x^(\frac(1)(5))=\frac(1)(3)$.
$\sqrt(x)=\frac(1)(3)$.
$x=(\frac(1)(3))^5=\frac(1)(243)$.
Chlapci, pozreli sme sa na dva príklady riešenia iracionálnych rovníc.
Uveďme si hlavné metódy riešenia iracionálnych rovníc.
1) Zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú moc(pri použití tejto metódy musíte skontrolovať získané riešenia, pretože môžu vzniknúť cudzie riešenia).
2) Variabilná metóda výmeny(zavedenie nových premenných).
3) Vykresľovanie funkčných grafov. Predstavíme obe strany rovnice ako funkcie, zostrojíme ich grafy a nájdeme priesečníky grafov.
Problémy riešiť samostatne
1. Vypočítajte:a) $(64)^(\frac(1)(3))$.
b) $(64)^(\frac(5)(6))$.
c) $(81)^(\frac(2)(3))$.
d) $((-317))^(\frac(3)(7))$.
2. Zjednodušte výraz: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(3))-y^(\frac(1)(3)))-\frac(\sqrt( y))(x^(\frac(1)(3))+y^(\frac(1)(3)))$.
3. Vyriešte rovnicu:
a) $\sqrt(x^2)=8$.
b) $x^(\frac(2)(3))=8$.
4. Vyriešte rovnicu: $x^(-\frac(2)(3))-7x^(-\frac(1)(3))+10=0$.
- Jedným z naliehavých problémov moderných vyučovacích metód v škole je rozvoj motivácie žiakov. Nárast psychickej záťaže na hodinách matematiky nás núti zamyslieť sa nad tým, ako udržať záujem žiakov o preberanú látku a ich aktivitu počas celej hodiny. Musíme zabezpečiť, aby každý študent pracoval počas vyučovania aktívne a s nadšením. V tejto situácii vychádzajú učiteľovi na pomoc herné technológie – moderná a uznávaná metóda vyučovania a výchovy, ktorá má výchovné, rozvojové a výchovné funkcie, ktoré pôsobia v organickej jednote. Herné formy vyučovania na hodinách matematiky umožňujú efektívne organizovať interakciu medzi učiteľom a žiakmi. Do hry sa zapoja aj tí najpasívnejší žiaci. Herné aktivity motivujú k učeniu, každý žiak počas hry dostáva možnosť samostatne myslieť, rozvíjať tvorivé myslenie a riešiť rôzne problémy (teda aplikovať získané poznatky v konkrétnej životnej situácii).
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia stredná škola č. 24 s hĺbkovým štúdiom jednotlivých humanitných predmetov pomenovaných po. I.S. Turgenev, Oryol
Metodický rozvoj vyučovacej hodiny
Algebra a začiatky analýzy
11. ročník
Učebnica: Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10 -11 ročníkov: Učebnica. Pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 s.: chor. (základňa)
Učiteľka matematiky: Moreva Oksana Vladimirovna
Abstrakt práce: Jedným z naliehavých problémov moderných vyučovacích metód v škole je rozvoj motivácie žiakov. Nárast psychickej záťaže na hodinách matematiky nás núti zamyslieť sa nad tým, ako udržať záujem žiakov o preberanú látku a ich aktivitu počas celej hodiny. Musíme zabezpečiť, aby každý študent pracoval počas vyučovania aktívne a s nadšením. V tejto situácii vychádzajú učiteľovi na pomoc herné technológie – moderná a uznávaná metóda vyučovania a výchovy, ktorá má výchovné, rozvojové a výchovné funkcie, ktoré pôsobia v organickej jednote. Herné formy vyučovania na hodinách matematiky umožňujú efektívne organizovať interakciu medzi učiteľom a žiakmi. Do hry sa zapoja aj tí najpasívnejší žiaci. Herné aktivity motivujú k učeniu, každý žiak počas hry dostáva možnosť samostatne myslieť, rozvíjať tvorivé myslenie a riešiť rôzne problémy (teda aplikovať získané poznatky v konkrétnej životnej situácii).
Mapa technologickej lekcie
Celé meno (celé meno) | Moreva Oksana Vladimirovna |
||
Miesto výkonu práce | MBOU - stredná škola č. 24 s hĺbkovým štúdiom jednotlivých humanitných predmetov pomenovaných po. I.S. Turgenev, Oryol |
||
Názov práce | učiteľ |
||
Položka | Algebra a začiatky analýzy |
||
Trieda | 11. ročník |
||
Téma a číslo lekcie v téme | Zovšeobecnenie pojmu exponent (lekcia 2) |
||
Základný návod | Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10 -11 ročníkov: Učebnica. Pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 s.: ill. (základňa) |
||
Účel lekcie | Rozvíjajte schopnosť transformovať výrazy obsahujúce mocniny pomocou zlomkového exponentu |
||
Úlohy | vzdelávacie |
|
|
rozvíjanie | Vývoj:
|
||
vzdelávacie |
|
||
Typ lekcie | Lekcia - obchodná hra „Dobytie vrcholu“ |
||
Formy študentských prác | Frontálne, individuálne, skupinové |
||
Potrebné technické vybavenie |
|
||
Plán lekcie
- Organizačný moment (2-3 min.)
- Aktualizácia základných vedomostí (5 min.)
- „Dobývanie vrcholov“ (30 min.)
- Prvá výška (samotest)
- Druhá výška (skupinová práca)
- Tretia výška (individuálna diferencovaná práca).
- Zhrnutie (4 - 5 min.)
- Domáca úloha (2 – 3 min.)
- Úvaha o dosiahnutí cieľa (1 min.)
Počas tried:
- Organizovanie času
Lekcia sa začína počúvaním úryvku z piesne V. V. Vysotského „Iba hory môžu byť lepšie ako hory“ (snímka 2).
učiteľ: Každý má v živote vrcholy, ktoré sa snaží zdolať. Niekto sa chce stať lekárom, niekto je športovcom a niekto sa chce stať horolezcom. Koniec koncov, výšky vždy lákali ľudí. Spomeňte si na Ikara, pretože jeho snom bolo letieť k Slnku. A splnil svoj sen. Podstatou človeka je vždy dosiahnuť zamýšľaný cieľ. Epigraf našej lekcie sú slová z piesne, ktorú ste počúvali.
Ako to cez deň iskrí večným ohňom
Vrch smaragdového ľadu,
Ktoré ste nikdy nedobili.
V.V.Vysockij
Dnes vás v triede pozývam na výpravu za zdolávaním horských štítov. Musíte sa premeniť na horolezeckých športovcov, ktorí dobývajú vrchol vedomostí s názvom „Stupeň so zlomkovým exponentom“ (snímka 3).
Aktivity študentov:Žiaci si zapíšu tému hodiny do pracovného zošita.
- Aktualizácia referenčných znalostí
učiteľ: Pred každým z vás je kartička – počítadlo, do ktorého budete zapisovať svoje úspechy pri zdolávaní horských štítov(Príloha 1) . Do horného riadku zadajte svoje meno a priezvisko. Na tejto karte budete zaznamenávať prejdenie každej výšky v bodoch. Na konci lekcie si samostatne vypočítate body, ktoré ste za lekciu získali, a zistíte, či sa vám podarilo zdolať „horskú výšku“ alebo nie.
Kontrola vybavenia: „Čo si vezmeme so sebou na cestu?(snímka 4).
učiteľ: Ako iste viete, expedícii vždy predchádza starostlivá príprava, preto vám na začiatku odporúčam overiť si svoju pripravenosť zdolať vrchol hory.
1) Pokračujte vo vete: Ak je obyčajný zlomok (q ≠1) a a ≥ 0, potom pod a p/q rozumiem...
2) Vypočítajte slovne: 16¼, 27 1/3, 81 ¼, 8 -1/3, (-144) ½ (Úlohy je možné vopred zapísať na tabuľu alebo predložiť vo forme kariet)
3) Pokračujte nasledujúcimi vlastnosťami (úlohy je možné napísať na tabuľu vopred)
a s ∙ a t = …
a s : a t = …
(a s) t = …
(ab)s = …
() s = ...
4) Vypočítajte ústne:(Úlohu je možné vopred napísať na tabuľu)
učiteľ: Vybavenie sa teda zhromažďuje. Ideme do hôr zdolávať horské štíty.
- Dobývanie vrcholov
Prvá výška „Snehová lavína“(Osobný test)
učiteľ: Akékoľvek hory sú rovnako krásne ako nebezpečné. Na horolezcov čaká v horách veľa nebezpečenstiev. Prvá vec, ktorej budeme musieť v horách čeliť, je lavína (snímka 5). Aby ste sa dostali spod snehu, musíte splniť nasledujúcu úlohu.
Aktivity študentov:Žiaci dostanú úlohu pre dve možnosti a samostatne ju vyplnia do svojich pracovných zošitov. (Každý študent dostane svoju úlohu na kartičke.) Dvaja študenti pracujú zo zadnej strany tabule. Úloha bude trvať 5 až 7 minút.
možnosť 1
Možnosť 2
- Vypočítajte: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
- Zjednodušte výraz: a) (125x-6) -2/3; b) (a∙a -1/3) 1/6 ∙a 8/9
Na konci práce žiaci, ktorí pracovali pri tabuli, tabuľu otočia. Ich prácu kontroluje učiteľ. Žiaci, ktorí pracovali v zošitoch, vykonávajú samotesty. To znamená, že každý žiak si na základe riešenia na tabuli samostatne skontroluje správnosť svojho zadania. Každá správne splnená úloha má hodnotu 2 body. Body získané za dokončenie „Snehovej lavíny“ sa zaznamenávajú do karty počítadla.
Minúta telesnej výchovy.
učiteľ: Zdolávanie vrcholkov hôr je veľmi náročná úloha. Všetci sme boli veľmi unavení, keď sme sa oslobodzovali od sneženia. Navrhujem, aby ste si dali pauzu.
Cvičenie "Poď, skús to!":
Učiteľ vyzve študentov, aby natiahli ruku dopredu s otvorenou dlaňou smerom nahor. Stlačte palec do dlane. Zvyšné prsty by mali byť otočené von. Teraz stlačte malý prst. Stalo? Nie tak!
Druhá výška „Ice Crack“(pracovať v skupinách)
učiteľ: Keď sme oddychovali, na našej ceste sa objavila ľadová trhlina (snímka 6). Viete, ako sa v takejto situácii správajú horolezci?
Vzorové odpovede študentov:Horolezci si navzájom pomáhajú... Aby horolezca zdvihli z trhliny, hodia mu lano... Spolupracujú... Je veľmi ťažké dostať sa von sám, potrebujete pomoc priateľa......
učiteľ: Z vašich odpovedí vyplýva, že na to, aby ste sa dostali z ľadovej trhliny, musíte pracovať ako tím. Takže vy a ja vykonáme ďalšiu úlohu v skupinách.
Aktivity študentov:Trieda je rozdelená do skupín po 4 – 5 ľudí. Každá skupina dostane kartičku s úlohami, v ktorých urobili chyby. Žiaci ich musia nájsť a opraviť. Úloha bude trvať 5 až 7 minút.
Karta 1
Nájdite chyby
- (121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
- p-q = (p 2/3 - q 2/3) (p 2/3 + 2p 1/3 q 1/3 + q 2/3)
karta 2
Nájdite chyby
karta 3
Nájdite chyby
- (x 1/4 +1) (x 1/4 -1) (x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1 )(x 1/2-1) = (x 1/2-1) 2
- (-625) -1/4 = 625 1/4 = 5
Karta 4
Nájdite chyby
Na konci práce učitelia nahlásia učiteľovi chyby, ktoré našli a opravili. Učiteľ kontroluje správnosť zadania. Za každú opravenú chybu dostane každý člen skupiny 2 body. Body získané za dokončenie „Ice Crack“ sú zaznamenané na karte počítadla.
Tretia výška „Rockfall“(individuálna diferencovaná práca).
učiteľ: Než sme sa stihli dostať z ľadovej trhliny, zasiahol nás pád skál (snímka 7). Trosky je potrebné vyčistiť. Všetky kamene sú odlišné: veľké a malé. Niektorí budú nosiť malé kamene a niektorí budú nosiť veľké. Každý si vyberie úlohu podľa svojich síl.
Aktivity študentov:Študenti dostávajú na výber z diferencovaných úloh rôznej úrovne zložitosti.
Tí, ktorí si vybrali „veľké kamene“, dostanú úlohy vyššej úrovne na jednotlivých kartách. Na základe výsledkov splnenia tejto úlohy budú môcť získať až 8 bodov. Každá správne splnená úloha má hodnotu 2 body.
možnosť 1
Znížte zlomok:
A); b) ; c) ; d)
Možnosť 2
Znížte zlomok:
Na konci práce učiteľ skontroluje správnosť úlohy.
A tí, ktorí si vybrali „malé kamene“, plnia úlohy základnej úrovne vo forme testu (pozri interaktívny test na disku alebo v Dodatok 2 ). Na základe výsledkov splnenia tejto úlohy môžu získať až 5 bodov.
Body získané za dokončenie „Rockfall“ sú zaznamenané na karte počítadla.
- Zhrnutie hry:
učiteľ: Milí „lezci“! Poďme si vypočítať body, ktoré ste získali na základe výsledkov troch testov.
Aktivity študentov:Študenti spočítajú získané body a zapíšu si ich do stĺpca „Celkový výsledok“.
učiteľ: Poďme si to zhrnúť (snímka 8). Ak ste dosiahli 18-20 bodov, potom ste dobyli najvyšší vrchol - výborne (výborná známka)! Ak ste dosiahli 15 - 17 bodov, dobyli ste druhú výšku, dobre ( označiť dobre) . Ak 11 - 14 bodov znamená, že ste prekonali iba prvú výšku, tiež to nie je zlé (známku uspokojivo). Ak ste dosiahli menej ako 11 bodov, zostali ste na spodku vrcholu. Ale nehnevaj sa! Opäť musíte absolvovať tréning a výstup zopakovať, váš vrchol je stále pred vami!
Aktivity študentov:Študenti si podľa hodnotenia udelia známku za hodinu v stĺpci „Značka“ a odovzdajú svoju kartičku – počítadlo učiteľovi.
učiteľ (podľa vášho uváženia)prenesie tieto známky do denníka.
- Domáca úloha:§ 37; Č. 37,28; č. 37,30ag; č. 37,39*b
č. 37,28. Znížte zlomok: a); b) ; V); G).
č. 37,30ag. Zjednodušte výraz: a) (1 +) 2-2; d) + - ( + ) 2
č. 37,39*b. Zjednodušte výraz: b) ( + )
- Úvaha o dosiahnutí cieľa:
učiteľ: Teraz vás požiadam, aby ste pokračovali v jednej alebo viacerých frázach (snímka 9)
- bolo to zaujímavé…
- bolo to ťažké…
- Splnil som úlohy...
- Zvládol som …
- dal mi lekciu do zivota...
Aktivity študentov:Študenti pokračujú v jednej alebo viacerých frázach podľa želania.
učiteľ: Naša hodina začala piesňou a chcem ju ukončiť poéziou(snímka 10) . Číta báseň.
Túžba srdca na vrchol je čestná,
Je pekné pozerať sa zhora na zem.
Ascended... Odteraz si hrdina, víťaz
A zdá sa, že nebeský svet je v našich rukách.
Vrch je púšť, samé múdre kamene
Pokojne sledovať žiariť hviezdy...
Pre nich si nič, stratený tulák,
V zajatí ilúzií, pochybných snov...
Vrchol vám dáva pocit lietania,
Sloboda od večného zhonu sveta,
Brány sú otvorené inému poznaniu...
Zrelosť jeho čistoty je vzrušujúca...
Príloha k plánu hodiny"Zovšeobecnenie pojmu exponent"
Príloha 1.
Karta – pult __________________________ (Priezvisko, meno)
Dodatok 2.
Test
Vyberte jednu z navrhovaných odpovedí.
- Zjednodušte výraz: (1 – s 1/2) (1 + s 1/2)
- (1 – s 1/2) 2
- 1 – s
- 1 – 2 s 1/2 + s
- Zjednodušte výraz: (1 – a 1/2 ) 2
- 1 – a + a 2
- – 2a + a 2
- 1 – 2a 1/2 + a
- Zohľadnite: 3/4 – 1/2
- v 3/4 (1 – palec)
- v 1/2 (v 1/4 – 1)
- v 1/2 (v 1/2 – 1)
- nedá sa rozložiť
- Faktorizujte: a – b
- ab (a 1/2 – v 1/2)
- (a – v 1/2) (a + v 1/2)
- nedá sa rozložiť
- (a 1/2 – v 1/2) (a 1/2 + v 1/2)
Hodnotenie testu: 1 správna odpoveď – 2 body; 2 správne odpovede – 3 body;3 správne odpovede – 4 body; 4 správna odpoveď – 5 bodov.
Účel lekcie:
- Zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí, zručností a schopností.
- Aktualizácia základných vedomostí v podmienkach absolvovania Jednotnej štátnej skúšky.
- Monitorovanie a sebakontrola vedomostí, zručností a schopností pomocou testov.
- Rozvoj schopnosti porovnávať a zovšeobecňovať.
Plán lekcie.
- Vyhlásenie účelu lekcie (1 min)
- Ústna práca "Verím - neverím!" (6 min)
- Riešenie série príkladov na porovnanie výrazov (12 min)
- Sofistika (4 – 5 minút)
- Riešenie príkladu na zjednodušenie výrazu (z jednotnej štátnej skúšky) s diskusiou o „najjemnejších“ častiach (15 min)
- Samostatná práca založená na demo verzii Unified State Exam (skupina A) (5 min)
- domáca úloha (na kusoch papiera)
Vybavenie: projektor.
1. Priatelia! Pred vašimi očami je súčasťou výroku anglického matematika Jamesa Josepha Sylvestra (1814 – 1897) o matematike „Matematika je hudbou mysle“. Aké romantické to nie je?
Otázka. Ako podľa vás definoval hudbu?
"Hudba je matematika pocitov."
Ako pocity môžeme zahrnúť rôzne druhy zážitkov. Tento rok je jedným z dôvodov vašich i mojich starostí úspešné zloženie Jednotnej štátnej skúšky a v dôsledku toho prijatie na vysokú školu. Naozaj chcem, aby prevládali pozitívne emócie. Musí existovať sebadôvera, a to sú naše vedomosti a zručnosti. Dnes v triede budeme pokračovať v príprave na jednotnú štátnu skúšku, opakujeme a zovšeobecňujeme pojem titul.
Takže téma dnešnej lekcie je "Zovšeobecnenie pojmu titul."
Už sme zopakovali základné vlastnosti a definície a pozývam vás, aby ste si zahrali hru „Verte tomu alebo nie!“
Vašou úlohou je rýchlo (spoliehajúc sa na svoju intuíciu, pomôže to pri riešení skupiny A) odpovedať na otázku kladne alebo záporne a následne svoju odpoveď vysvetliť.
2. Ústna práca "Verím - neverím!"
1. Výrazy majú význam:
a) b) c) c) d)
3. Rovnica má tri korene
(nie, koreň je jedna: 7, pretože)
4. Najmenší koreň rovnice 1
3. Riešenie série príkladov na porovnávanie zlomkov. Teraz navrhujem upriamiť vašu pozornosť na sériu príkladov porovnávania stupňov.
Otázka. Aké spôsoby porovnávania titulov poznáte?
Porovnanie ukazovateľov s rovnakými bázami, porovnanie báz s rovnakými exponentmi.
1. Porovnaj A .
2. Porovnajte čísla A .
Ako vidíte, prípad je zložitejší.
Otázka. Aké čísla sú exponenty?
Iracionálne.
Nájdite racionálne čísla, ktoré sú blízke daným iracionálnym číslam a skúsme porovnať mocniny s racionálnym exponentom.
Pretože základ stupňa je väčší ako 1, potom podľa vlastnosti stupňov máme
Poďme teraz porovnať a .
Na to stačí porovnať a 2 alebo a.
ale 
, A.
Teraz dostaneme reťaz nerovností:
3. Porovnajte čísla A .
Využime nasledujúcu vlastnosť radikálov: if , then , where .
Porovnajme a .
Zhodnoťme ich postoj:
teda 
.
Poznámky.
1) V tomto prípade sú stupne a malé, a to
, a nie je ťažké ich vypočítať „ručne“, t.j. bez kalkulačky. Stupne môžete odhadnúť bez výpočtov:
Preto,
2) Ak sa stupne naozaj nedajú vypočítať (ani na kalkulačke), napríklad a , potom môžete použiť nerovnosť:
Platí pre každého a postupujte takto:
so všetkým prírodným.
Môžete to dokázať sami
4. Sofistika. No, prejdime na inú prácu. Nájdime chybu v nasledujúcej úvahe, ktorá vyvracia tvrdenie:
"Jedna sa rovná nekonečne veľkému stupňu ľubovoľného čísla."
Ako je známe, jednotka umocnená na akúkoľvek mocninu, vrátane nuly, sa rovná jednej, t.j A- ľubovoľné číslo. Pozrime sa však, či je to tak vždy.
Nechaj X- ľubovoľné číslo. Jednoduchým vynásobením je ľahké overiť, že výraz (1) je identitou pre ľubovoľný X. Potom je pravdivá aj identita, ktorá vyplýva z (1), a to 
. (2)
Pre ľubovoľné kladné číslo A existuje .
Rovnosť (2) znamená rovnosť
,
alebo čo je to isté,
. (3)
Za predpokladu identity (3) x=3, dostaneme
, (4)
a berúc do úvahy to 
, chápeme to.
Takže mocnina jednej, aj keď sa exponent rovná nekonečnu, sa rovná ľubovoľnému číslu, ale v žiadnom prípade nie jednej, ako to vyžadujú pravidlá algebry.
Riešenie.
Chyba je nasledovná.
Rovnosť (1) skutočne platí pre všetky hodnoty X a teda ide o identitu. Z neho získaná rovnosť (2) už neplatí pre všetky hodnoty X. takže, X sa nemôže rovnať 2. keďže menovateľ na ľavej a pravej strane (2) sa rovná nule a X nemôže byť rovné 3, pretože menovateľ na pravej strane (2) sa tiež stáva nulou. O x = 3 rovnosť (2) má tvar , čo nedáva zmysel.
Vzťah (4) sa získa z (3) presne pri x = 3, čo viedlo k absurdnému výsledku.
No, poďme teraz rýchlo vpred do roku 2004, kedy bolo v úlohe C3 navrhnuté nasledujúce číslo.
5. Riešenie príkladu (z Jednotnej štátnej skúšky).
Keďže f(x) je rastúca funkcia, potom .
Poďme zistiť, ktorá z týchto hodnôt je bližšie k 0,7, pre ktorú porovnávame
A 
Pretože hodnota f(26) leží bližšie k 0,7.
6. Samostatná práca s následnou kontrolou na tabuli.
A teraz je čas na prax: tu sú príklady z demo verzie, gr. A 2009.
Vidíte ich na tabuli aj na papieroch. Vašou úlohou je rýchlo vyriešiť a vyplniť tabuľky odpoveďami. Spojte písmená a čísla pred sebou. Správnym výpočtom alebo zjednodušením výrazov v tabuľke sa dočítate, čo potrebujete pri absolvovaní Jednotnej štátnej skúšky.
Možnosť 1 – šťastie, vedomosti,
Možnosť 2 – dôvera.
Takže dnes sme v triede videli, ako široko sa používa pojem titul pri absolvovaní jednotnej štátnej skúšky. Získané zručnosti si môžete upevniť robením domácich úloh.
7. Domáce úlohy.
Venujte pozornosť domácim úlohám, pomôže vám to upevniť si látku, ktorú sme preberali na hodine.
