Aby z powodzeniem wykorzystać operację wydobycia korzenia w praktyce, należy zapoznać się z właściwościami tej operacji.
Wszystkie właściwości są formułowane i udowadniane tylko dla nieujemnych wartości zmiennych zawartych pod znakami pierwiastka.
Twierdzenie 1. Źródło n-ty stopień(n=2, 3, 4,...) z iloczynu dwóch nieujemnych chipsetów jest równe iloczynowi n-tego pierwiastka tych liczb:
Komentarz:
1.
Twierdzenie 1 pozostaje ważne w przypadku, gdy wyrażenie radykalne jest iloczynem więcej niż dwóch liczb nieujemnych.
Twierdzenie 2.Jeśli,
oraz n- Liczba naturalna większe niż 1, to równość
Krótki(choć niedokładny) preparat, który jest wygodniejszy w użyciu w praktyce: korzeń frakcji jest równy frakcji korzeni.
Twierdzenie 1 pozwala nam pomnożyć m tylko korzenie tego samego stopnia
, tj. tylko pierwiastki z tym samym wykładnikiem.
Twierdzenie 3. Jeśli ,k jest liczbą naturalną, a n jest liczbą naturalną większą od 1, to równość
Innymi słowy, zakorzenić się w stopień naturalny wystarczy podnieść radykalny wyraz do tej potęgi.
Jest to konsekwencja Twierdzenia 1. Rzeczywiście, na przykład dla k = 3 otrzymujemy
Twierdzenie 4. Jeśli ,k, n to liczby naturalne większe od 1, to równość
Innymi słowy, aby wydobyć korzeń z korzenia, wystarczy pomnożyć wykładniki tego pierwiastka.
Na przykład,
Bądź ostrożny! Dowiedzieliśmy się, że na pierwiastkach można wykonać cztery operacje: mnożenie, dzielenie, potęgowanie i wyciąganie pierwiastka (z pierwiastka). Ale co z dodawaniem i odejmowaniem korzeni? Nie ma mowy.
Na przykład nie możesz pisać zamiast Indeed, ale to oczywiste
Twierdzenie 5. Jeśli wskaźniki pierwiastka i wyrażenie pierwiastka są mnożone lub dzielone przez tę samą liczbę naturalną, wtedy wartość pierwiastka nie zmieni się, tj.
Przykłady rozwiązywania problemów
Przykład 1 Oblicz
Rozwiązanie. Korzystając z pierwszej własności pierwiastków (Twierdzenie 1), otrzymujemy:
Przykład 2 Oblicz
Rozwiązanie. Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.
Używamy drugiej właściwości pierwiastków ( twierdzenie 2
), otrzymujemy:
Przykład 3 Oblicz: 
Rozwiązanie. Każdy wzór w algebrze, jak dobrze wiesz, jest używany nie tylko „od lewej do prawej”, ale także „od prawej do lewej”. Tak więc pierwsza właściwość pierwiastków oznacza, że można ją przedstawić jako i odwrotnie, można ją zastąpić wyrażeniem. To samo dotyczy drugiej właściwości korzeni. Mając to na uwadze, zróbmy obliczenia.
Gratulacje: dzisiaj przeanalizujemy korzenie - jeden z najbardziej oszałamiających tematów 8 klasy :)
Wiele osób myli się z korzeniami nie dlatego, że są one złożone (co jest skomplikowane - kilka definicji i jeszcze kilka właściwości), ale dlatego, że w większości podręczników szkolnych korzenie są definiowane przez takie dzikości, że tylko sami autorzy podręczników rozumie to bazgroły. A nawet wtedy tylko z butelką dobrej whisky :)
Dlatego teraz podam najbardziej poprawną i najbardziej kompetentną definicję korzenia - jedyną, o której naprawdę musisz pamiętać. I dopiero wtedy wyjaśnię: dlaczego to wszystko jest konieczne i jak to zastosować w praktyce.
Ale najpierw pamiętaj o jednym ważny punkt, o którym wielu kompilatorów podręczników z jakiegoś powodu „zapomina”:
Korzenie mogą być parzystego stopnia (nasz ulubiony $\sqrt(a)$, a także dowolny $\sqrt(a)$, a nawet $\sqrt(a)$) i nieparzystego stopnia (dowolny $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). A definicja pierwiastka nieparzystego stopnia różni się nieco od parzystego.
Tu w tym pieprzonym „nieco inaczej” kryje się chyba 95% wszystkich błędów i nieporozumień związanych z korzeniami. Wyjaśnijmy więc terminologię raz na zawsze:
Definicja. Nawet korzeń n od liczby $a$ to dowolna nieujemny liczbę $b$ taką, że $((b)^(n))=a$. A pierwiastek nieparzystego stopnia z tej samej liczby $a$ jest ogólnie dowolną liczbą $b$, dla której zachodzi ta sama równość: $((b)^(n))=a$.
W każdym razie korzeń jest oznaczony w ten sposób:
\(a)\]
Liczba $n$ w takiej notacji nazywana jest wykładnikiem pierwiastkowym, a liczba $a$ jest nazywana wyrażeniem radykalnym. W szczególności dla $n=2$ otrzymujemy nasz "ulubiony" Pierwiastek kwadratowy(nawiasem mówiąc, jest to pierwiastek stopnia parzystego), a dla $n=3$ - sześcienny (stopień nieparzysty), który również często występuje w zadaniach i równaniach.
Przykłady. Klasyczne przykłady pierwiastków kwadratowych:
\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \koniec(wyrównaj)\]
Przy okazji, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.
Korzenie sześcienne są również powszechne - nie bój się ich:
\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \koniec(wyrównaj)\]
Cóż, kilka „egzotycznych przykładów”:
\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \koniec(wyrównaj)\]
Jeśli nie rozumiesz, jaka jest różnica między stopniem parzystym a nieparzystym, przeczytaj ponownie definicję. To jest bardzo ważne!
W międzyczasie rozważymy jedną nieprzyjemną cechę pierwiastków, z powodu której musieliśmy wprowadzić osobną definicję dla parzystych i nieparzystych wykładników.
Dlaczego w ogóle potrzebujemy korzeni?
Po przeczytaniu definicji wielu uczniów zapyta: „Co palili matematycy, kiedy to wymyślili?” I naprawdę: po co nam te wszystkie korzenie?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, wróćmy na chwilę do stopnie podstawowe. Pamiętaj: w tamtych odległych czasach, kiedy drzewa były bardziej zielone, a pierogi smaczniejsze, naszą główną troską było prawidłowe pomnożenie liczb. Cóż, coś w duchu „pięć na pięć – dwadzieścia pięć”, to wszystko. Ale przecież liczby można mnożyć nie parami, ale trójkami, czwórkami i ogólnie całymi zbiorami:
\[\begin(wyrównaj) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(wyrównaj)\]
Nie o to jednak chodzi. Sztuczka jest inna: matematycy to leniwi ludzie, więc musieli zapisać mnożenie dziesięciu piątek w następujący sposób:
Więc wymyślili stopnie. Dlaczego nie zapisać liczby czynników jako indeksu górnego zamiast długiego ciągu znaków? Jak ten:
To bardzo wygodne! Wszystkie obliczenia pomniejsza się kilkukrotnie, a nie można wydać kilku kartek pergaminowych zeszytów, żeby zapisać jakieś 5 183 . Taki wpis nazwano stopniem liczby, znaleziono w nim sporo właściwości, ale szczęście okazało się krótkotrwałe.
Po wspaniałym alkoholu, który zorganizowano właśnie w celu „odkrycia” stopni, jakiś szczególnie naćpany matematyk nagle zapytał: „A jeśli znamy stopień liczby, ale nie znamy samej liczby?” Rzeczywiście, jeśli wiemy, że na przykład pewna liczba $b$ daje 243 do potęgi piątej, to jak możemy odgadnąć, jaka jest sama liczba $b$?
Problem ten okazał się znacznie bardziej globalny, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Bo okazało się, że dla większości „gotowych” stopni nie ma takich „początkowych” numerów. Sędzia dla siebie:
\[\begin(wyrównaj) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \koniec(wyrównaj)\]
Co jeśli $((b)^(3))=50$? Okazuje się, że trzeba znaleźć pewną liczbę, która po trzykrotnym pomnożeniu przez siebie da nam 50. Ale co to za liczba? Jest wyraźnie większa niż 3, ponieważ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Tzn. ta liczba mieści się gdzieś między trzema a czterema, ale czemu jest równa - RYS. zrozumiesz.
Właśnie dlatego matematycy wymyślili $n-ty pierwiastek. Dlatego wprowadzono radykalną ikonę $\sqrt(*)$. Aby oznaczyć tę samą liczbę $b$, która przy określonej potędze da nam znaną wcześniej wartość
\[\sqrt[n](a)=b\Strzałka w prawo ((b)^(n))=a\]
Nie spieram się: często te korzenie są łatwe do rozważenia - widzieliśmy kilka takich przykładów powyżej. Jednak w większości przypadków, jeśli pomyślisz o dowolnej liczbie, a następnie spróbujesz wydobyć z niej pierwiastek o dowolnym stopniu, czeka cię okrutna wpadka.
Co tam jest! Nawet najprostszego i najbardziej znanego $\sqrt(2)$ nie można przedstawić w naszej zwykłej postaci - jako liczbę całkowitą lub ułamek. A jeśli wprowadzisz tę liczbę do kalkulatora, zobaczysz to:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Jak widać, po przecinku znajduje się nieskończony ciąg liczb, które nie są zgodne z logiką. Możesz oczywiście zaokrąglić tę liczbę, aby szybko porównać z innymi liczbami. Na przykład:
\[\sqrt(2)=1,4142...\ok 1,4 \lt 1,5\]
Lub oto inny przykład:
\[\sqrt(3)=1,73205...\ok 1,7 \gt 1,5\]
Ale wszystkie te zaokrąglenia są, po pierwsze, dość szorstkie; po drugie, trzeba też umieć pracować z wartościami przybliżonymi, w przeciwnym razie można wyłapać mnóstwo nieoczywistych błędów (swoją drogą, umiejętność porównywania i zaokrąglania jest koniecznie sprawdzana na egzaminie z profilu).
Dlatego w poważnej matematyce nie można obejść się bez pierwiastków - są to te same równorzędne reprezentanty zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb(R)$, a także znanych od dawna ułamków i liczb całkowitych.
Niemożność przedstawienia pierwiastka jako ułamka postaci $\frac(p)(q)$ oznacza, że ten pierwiastek nie jest liczbą wymierną. Takie liczby nazywane są irracjonalnymi i nie można ich dokładnie przedstawić, chyba że za pomocą radykalnego lub innych konstrukcji specjalnie do tego zaprojektowanych (logarytmy, stopnie, granice itp.). Ale o tym innym razem.
Rozważ kilka przykładów, w których po wszystkich obliczeniach liczby niewymierne nadal pozostaną w odpowiedzi.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\około 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ok -1,2599... \\ \end(wyrównaj)\]
Oczywiście, przez wygląd pierwiastek jest prawie niemożliwy do odgadnięcia, jakie liczby pojawią się po przecinku. Można jednak liczyć na kalkulatorze, ale nawet najbardziej zaawansowany kalkulator dat podaje nam tylko kilka pierwszych cyfr liczby niewymiernej. Dlatego o wiele bardziej poprawne jest zapisanie odpowiedzi jako $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.
Po to zostały wymyślone. Aby ułatwić zapisywanie odpowiedzi.
Dlaczego potrzebne są dwie definicje?
Uważny czytelnik zapewne już zauważył, że wszystkie pierwiastki kwadratowe podane w przykładach pochodzą z liczb dodatnich. Cóż, przynajmniej od zera. Ale pierwiastki sześcienne są spokojnie wydobywane z absolutnie dowolnej liczby - nawet dodatniej, a nawet ujemnej.
Dlaczego tak się dzieje? Spójrz na wykres funkcji $y=((x)^(2))$:
Harmonogram funkcja kwadratowa daje dwa pierwiastki: dodatni i ujemny Spróbujmy obliczyć $\sqrt(4)$ korzystając z tego wykresu. W tym celu na wykresie rysowana jest pozioma linia $y=4$ (zaznaczona na czerwono), która przecina parabolę w dwóch punktach: $((x)_(1))=2$ i $((x) _(2)) =-2$. To całkiem logiczne, ponieważ
Z pierwszą liczbą wszystko jest jasne - jest dodatnia, dlatego jest to pierwiastek:
Ale co zrobić z drugim punktem? Czy 4 ma dwa pierwiastki naraz? W końcu, jeśli podniesiemy do kwadratu liczbę −2, otrzymamy również 4. Dlaczego więc nie napisać $\sqrt(4)=-2$? A dlaczego nauczyciele patrzą na takie płyty, jakby chcieli cię zjeść?:)
Kłopot polega na tym, że jeśli nie zostaną nałożone żadne dodatkowe warunki, to czwórka będzie miała dwa pierwiastki kwadratowe - dodatni i ujemny. Każda liczba dodatnia będzie miała również dwa z nich. Ale liczby ujemne w ogóle nie będą miały pierwiastków - widać to na tym samym wykresie, ponieważ parabola nigdy nie spada poniżej osi tak, tj. nie przyjmuje wartości ujemnych.
Podobny problem występuje dla wszystkich pierwiastków z parzystym wykładnikiem:
- Ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia będzie miała dwa pierwiastki z parzystym wykładnikiem $n$;
- Z liczb ujemnych pierwiastek z parzystymi $n$ w ogóle nie jest wyodrębniany.
Dlatego definicja pierwiastka parzystego $n$ wyraźnie określa, że odpowiedź musi być liczbą nieujemną. W ten sposób pozbywamy się niejednoznaczności.
Ale dla nieparzystego $n$ nie ma takiego problemu. Aby to zobaczyć, spójrzmy na wykres funkcji $y=((x)^(3))$:
Parabola sześcienna przyjmuje dowolną wartość, więc pierwiastek sześcienny można pobrać z dowolnej liczby Z tego wykresu można wyciągnąć dwa wnioski:
- Gałęzie paraboli sześciennej, w przeciwieństwie do zwykłej, idą w nieskończoność w obu kierunkach - zarówno w górę, jak iw dół. Dlatego na dowolnej wysokości narysujemy linię poziomą, linia ta z pewnością przetnie się z naszym wykresem. Dlatego pierwiastek sześcienny można zawsze pobrać, absolutnie z dowolnej liczby;
- Ponadto takie przecięcie zawsze będzie unikalne, więc nie musisz zastanawiać się, którą liczbę wziąć pod uwagę jako „poprawny” pierwiastek, a którą punktować. Dlatego definicja pierwiastków dla stopnia nieparzystego jest prostsza niż dla stopnia parzystego (nie ma wymogu nieujemności).
Szkoda, że te proste rzeczy nie wyjaśnione w większości podręczników. Zamiast tego nasze mózgi zaczynają wznosić się z różnego rodzaju pierwiastkami arytmetycznymi i ich właściwościami.
Tak, nie spieram się: czym jest pierwiastek arytmetyczny - też trzeba wiedzieć. I omówię to szczegółowo w osobnej lekcji. Dzisiaj też o tym porozmawiamy, bo bez niego wszystkie refleksje na temat pierwiastków $n$-tej wielokrotności byłyby niepełne.
Ale najpierw musisz jasno zrozumieć definicję, którą podałem powyżej. W przeciwnym razie, ze względu na obfitość terminów, w twojej głowie zacznie się taki bałagan, że w końcu nic nie zrozumiesz.
I wszystko, co musisz zrozumieć, to różnica między liczbami parzystymi i nieparzystymi. Dlatego po raz kolejny zbierzemy wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć o korzeniach:
- Pierwiastek parzysty istnieje tylko od liczby nieujemnej i sam jest zawsze liczbą nieujemną. W przypadku liczb ujemnych taki pierwiastek jest niezdefiniowany.
- Ale pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje od dowolnej liczby i sam może być dowolną liczbą: dla liczb dodatnich jest to wartość dodatnia, a dla liczb ujemnych, jak wskazuje czapka, jest ona ujemna.
Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. Zrozumiały? Tak, to oczywiste! Dlatego teraz poćwiczymy trochę z obliczeniami.
Podstawowe właściwości i ograniczenia
Korzenie mają wiele dziwnych właściwości i ograniczeń - to będzie osobna lekcja. Dlatego teraz rozważymy tylko najważniejszy „chip”, który dotyczy tylko pierwiastków z parzystym wykładnikiem. Właściwość tę zapisujemy w postaci wzoru:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\prawo|\]
Innymi słowy, jeśli podniesiemy liczbę do parzystej potęgi, a następnie wyciągniemy z tego pierwiastek tego samego stopnia, otrzymamy nie pierwotną liczbę, ale jej moduł. Jest to proste twierdzenie, które jest łatwe do udowodnienia (wystarczy rozpatrzyć osobno nieujemne $x$, a następnie osobno rozważyć te ujemne). Nauczyciele ciągle o tym mówią, jest to podane w każdym podręczniku szkolnym. Ale gdy tylko dochodzi do rozwiązywania równań irracjonalnych (tzn. równań zawierających znak pierwiastka), uczniowie wspólnie zapominają o tym wzorze.
Aby szczegółowo zrozumieć problem, zapomnijmy na chwilę o wszystkich formułach i spróbujmy policzyć dwie liczby do przodu:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
To jest bardzo proste przykłady. Pierwszy przykład zostanie rozwiązany przez większość ludzi, ale w drugim wielu się przystawia. Aby rozwiązać takie bzdury bez problemów, zawsze rozważ procedurę:
- Po pierwsze, liczba zostaje podniesiona do czwartej potęgi. Cóż, to dość łatwe. Otrzymana zostanie nowa liczba, którą można nawet znaleźć w tabliczce mnożenia;
- A teraz z tej nowej liczby trzeba wydobyć pierwiastek czwartego stopnia. Tych. nie ma „redukcji” korzeni i stopni – są to działania sekwencyjne.
Zajmijmy się pierwszym wyrażeniem: $\sqrt(((3)^(4)))$. Oczywiście najpierw musisz obliczyć wyrażenie pod pierwiastkiem:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Następnie wyodrębniamy czwarty pierwiastek z liczby 81:
Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Najpierw podnosimy liczbę −3 do czwartej potęgi, dla której musimy ją pomnożyć przez samą 4 razy:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lewo(-3 \prawo)=81\]
Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, ponieważ łączna liczba minusów w produkcie wynosi 4 sztuki i wszystkie się znoszą (w końcu minus przez minus daje plus). Następnie ponownie wyodrębnij korzeń:
W zasadzie tej linii nie można było napisać, ponieważ nie ma wątpliwości, że odpowiedź będzie taka sama. Tych. równy korzeń tej samej równej mocy „spala” minusy iw tym sensie wynik jest nie do odróżnienia od zwykłego modułu:
\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\prawo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \prawo|=3. \\ \koniec(wyrównaj)\]
Obliczenia te są zgodne z definicją pierwiastka parzystego stopnia: wynik jest zawsze nieujemny, a znak radykalny jest zawsze liczbą nieujemną. W przeciwnym razie korzeń nie jest zdefiniowany.
Uwaga dotycząca kolejności operacji
- Notacja $\sqrt(((a)^(2)))$ oznacza, że najpierw podnosimy do kwadratu liczbę $a$, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości. Dlatego możemy być pewni, że liczba nieujemna zawsze znajduje się pod znakiem pierwiastka, ponieważ i tak $((a)^(2))\ge 0$;
- Ale notacja $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, wręcz przeciwnie, oznacza, że najpierw wyciągamy pierwiastek z pewnej liczby $a$, a dopiero potem podniesiemy wynik do kwadratu. Dlatego liczba $a$ w żadnym wypadku nie może być ujemna - jest to obowiązkowy wymóg zawarty w definicji.
Dlatego w żadnym wypadku nie należy bezmyślnie redukować korzeni i stopni, rzekomo „upraszczając” oryginalne wyrażenie. Bo jeśli pod pierwiastkiem jest liczba ujemna, a jej wykładnik jest parzysty, będziemy mieli sporo problemów.
Jednak wszystkie te problemy dotyczą tylko wskaźników parzystych.
Usuwanie znaku minus spod znaku głównego
Naturalnie pierwiastki z nieparzystymi wykładnikami mają również swoją własną cechę, która w zasadzie nie istnieje dla parzystych. Mianowicie:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Krótko mówiąc, możesz wyjąć minus spod znaku korzeni nieparzystego stopnia. To jest bardzo użyteczna nieruchomość, co pozwala „wyrzucić” wszystkie minusy:
\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \koniec(wyrównaj)\]
Ta prosta właściwość znacznie upraszcza wiele obliczeń. Teraz nie musisz się martwić: co by było, gdyby negatywne wyrażenie znalazło się pod korzeniem, a stopień u nasady okazał się równy? Wystarczy „wyrzucić” wszystkie minusy poza korzenie, po czym można je pomnażać, dzielić i generalnie robić wiele podejrzanych rzeczy, które w przypadku korzeni „klasycznych” na pewno zaprowadzą nas do błąd.
I tu pojawia się inna definicja - ta, od której większość szkół zaczyna studiować wyrażenia irracjonalne. I bez którego nasze rozumowanie byłoby niepełne. Poznać!
pierwiastek arytmetyczny
Załóżmy na chwilę, że pod pierwiastkiem mogą znajdować się tylko liczby dodatnie lub w skrajnych przypadkach zero. Rzućmy punkty na parzyste / dziwne wykładniki zapomnij o wszystkich definicjach podanych powyżej - będziemy pracować tylko z liczbami nieujemnymi. Co wtedy?
A potem otrzymujemy pierwiastek arytmetyczny - częściowo przecina się z naszymi "standardowymi" definicjami, ale wciąż się od nich różni.
Definicja. Pierwiastek arytmetyczny $n$tego stopnia liczby nieujemnej $a$ jest liczbą nieujemną $b$ taką, że $((b)^(n))=a$.
Jak widać, parytet nas już nie interesuje. Zamiast tego pojawiło się nowe ograniczenie: radykalne wyrażenie jest teraz zawsze nieujemne, a sam korzeń również jest nieujemny.
Aby lepiej zrozumieć, jak pierwiastek arytmetyczny różni się od zwykłego, spójrz na znane nam już wykresy kwadratowej i sześciennej paraboli:
Obszar wyszukiwania korzeni - liczby nieujemne Jak widać, od teraz interesują nas tylko te fragmenty wykresów, które znajdują się w pierwszym kwartale współrzędnych - gdzie współrzędne $x$ i $y$ są dodatnie (lub przynajmniej zero). Nie musisz już patrzeć na wskaźnik, aby zrozumieć, czy mamy prawo wykorzenić liczbę ujemną, czy nie. Ponieważ liczby ujemne nie są już brane pod uwagę w zasadzie.
Możesz zapytać: „Cóż, po co nam tak wykastrowana definicja?” Lub: „Dlaczego nie możemy sobie poradzić ze standardową definicją podaną powyżej?”
Cóż, podam tylko jedną właściwość, dzięki której nowa definicja staje się odpowiednia. Na przykład reguła potęgowania:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Uwaga: możemy podnieść pierwiastek wyrażenia do dowolnej potęgi i jednocześnie pomnożyć wykładnik pierwiastka przez tę samą potęgę - wynik będzie taki sam! Oto kilka przykładów:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(wyrównaj)\]
Cóż w tym złego? Dlaczego nie mogliśmy tego zrobić wcześniej? Dlatego. Rozważmy proste wyrażenie: $\sqrt(-2)$ to liczba całkiem normalna w naszym klasycznym sensie, ale absolutnie nie do przyjęcia z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego. Spróbujmy to przekonwertować:
$\begin(wyrównaj) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Jak widać, w pierwszym przypadku wyjęliśmy minus spod radykału (mamy pełne prawo, bo wskaźnik jest nieparzysty), a w drugim zastosowaliśmy powyższy wzór. Tych. z punktu widzenia matematyki wszystko odbywa się zgodnie z zasadami.
WTF?! Jak ta sama liczba może być zarówno dodatnia, jak i ujemna? Nie ma mowy. Po prostu wzór potęgowania, który świetnie sprawdza się w przypadku liczb dodatnich i zerowych, zaczyna dawać zupełną herezję w przypadku liczb ujemnych.
Tutaj, aby pozbyć się takiej niejasności, wymyślili pierwiastki arytmetyczne. Poświęcona jest im osobna duża lekcja, w której szczegółowo rozważamy wszystkie ich właściwości. Więc teraz nie będziemy się nad nimi rozwodzić - lekcja i tak okazała się zbyt długa.
Rdzeń algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej
Długo myślałem: zrobić ten temat w osobnym akapicie, czy nie. W końcu zdecydowałem się stąd wyjechać. Ten materiał jest przeznaczony dla tych, którzy chcą jeszcze lepiej zrozumieć korzenie - już nie na średnim poziomie „szkolnym”, ale na poziomie zbliżonym do olimpiady.
Tak więc: oprócz „klasycznej” definicji pierwiastka $n-tego stopnia z liczby i związanego z tym podziału na wskaźniki parzyste i nieparzyste, istnieje definicja bardziej „dorosła”, która nie zależy od parzystości i w ogóle inne subtelności. Nazywa się to pierwiastkiem algebraicznym.
Definicja. $n$-ty pierwiastek algebraiczny dowolnego $a$ jest zbiorem wszystkich liczb $b$ takich, że $((b)^(n))=a$. Nie ma ugruntowanego oznaczenia dla takich korzeni, więc po prostu umieść myślnik na górze:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Podstawowa różnica w stosunku do standardowej definicji podanej na początku lekcji polega na tym, że pierwiastek algebraiczny nie jest konkretną liczbą, ale zbiorem. A ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, ten zestaw składa się tylko z trzech typów:
- Pusty zestaw. Występuje, gdy wymagane jest znalezienie pierwiastka algebraicznego o parzystym stopniu z liczby ujemnej;
- Zestaw składający się z jednego elementu. Do tej kategorii należą wszystkie pierwiastki nieparzystych potęg, jak również pierwiastki parzystych potęg od zera;
- Ostatecznie zestaw może zawierać dwie liczby - te same $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$, które widzieliśmy na wykres funkcji kwadratowej. W związku z tym takie wyrównanie jest możliwe tylko przy wyciąganiu pierwiastka parzystego stopnia z liczby dodatniej.
Ostatni przypadek zasługuje na bardziej szczegółowe rozpatrzenie. Policzmy kilka przykładów, aby zrozumieć różnicę.
Przykład. Wyrażenia obliczeniowe:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Rozwiązanie. Pierwsze wyrażenie jest proste:
\[\overline(\sqrt(4))=\lewo\( 2;-2 \prawo\)\]
To dwie liczby, które są częścią zestawu. Ponieważ każdy z nich do kwadratu daje czwórkę.
\[\overline(\sqrt(-27))=\lewo\( -3 \prawo\)\]
Tutaj widzimy zestaw składający się tylko z jednej liczby. Jest to całkiem logiczne, ponieważ wykładnik pierwiastka jest dziwny.
Wreszcie ostatnie wyrażenie:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnic \]
Mamy pusty zestaw. Ponieważ nie ma ani jednej liczby rzeczywistej, która podniesiona do czwartej (czyli parzystej!) potęgi da nam liczbę ujemną −16.
Uwaga końcowa. Uwaga: nie przypadkiem wszędzie zauważyłem, że pracujemy z liczbami rzeczywistymi. Ponieważ istnieją również liczby zespolone - całkiem możliwe jest obliczenie $\sqrt(-16)$ i wiele innych dziwnych rzeczy.
Jednak we współczesnym szkolnym programie nauczania matematyki liczby zespolone prawie nigdy nie występują. Zostały one pominięte w większości podręczników, ponieważ nasi urzędnicy uważają ten temat za „zbyt trudny do zrozumienia”.
To wszystko. W następnej lekcji omówimy wszystko kluczowe właściwości korzenie i wreszcie naucz się upraszczać irracjonalne wyrażenia :)
Lekcja i prezentacja na temat: „Właściwości pierwiastka n-tego stopnia. Twierdzenia”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 11
Interaktywny podręcznik dla klas 9-11 "Trygonometria"
Interaktywny podręcznik dla klas 10-11 „Logarytmy”
Własności pierwiastka n-tego stopnia. Twierdzenia
Chłopaki, nadal badamy korzenie n-tego stopnia liczby rzeczywistej. Jak prawie wszystkie obiekty matematyczne, pierwiastki n-tego stopnia mają pewne właściwości, dzisiaj je zbadamy.Wszystkie rozważane przez nas właściwości są sformułowane i udowodnione tylko dla nieujemnych wartości zmiennych zawartych pod znakiem pierwiastka.
W przypadku nieparzystego wykładnika pierwiastkowego obowiązują one również dla zmiennych ujemnych.
Twierdzenie 1. N-ty pierwiastek iloczynu dwóch nieujemnych liczb jest równy iloczynowi n-tych pierwiastków tych liczb: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .
Udowodnijmy twierdzenie.
Dowód. Chłopaki, aby udowodnić twierdzenie, wprowadźmy nowe zmienne, oznaczamy:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Musimy udowodnić, że $x=y*z$.
Pamiętaj, że obowiązują również następujące tożsamości:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
W takim przypadku występuje również następująca tożsamość: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Stopnie dwóch liczb nieujemnych i ich wykładników są równe, to podstawy samych stopni są równe. Stąd $x=y*z$, co było wymagane do udowodnienia.
Twierdzenie 2. Jeśli $a≥0$, $b>0$ i n jest liczbą naturalną większą od 1, to obowiązuje następująca równość: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Oznacza to, że n-ty pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi n-tego pierwiastka.
Dowód.
Aby to udowodnić, posługujemy się uproszczonym schematem w postaci tabeli:
Przykłady obliczania n-tego pierwiastka
Przykład.Oblicz: $\sqrt(16*81*256)$.
Rozwiązanie. Użyjmy Twierdzenia 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Przykład.
Oblicz: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Rozwiązanie. Reprezentujemy radykalne wyrażenie w formie ułamek niewłaściwy: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Użyjmy twierdzenia 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Przykład.
Oblicz:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Rozwiązanie:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Twierdzenie 3. Jeśli $a≥0$, k i n są liczbami naturalnymi większymi od 1, to równość jest prawdziwa: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Aby zakorzenić się w naturalnej sile, wystarczy wznieść radykalną ekspresję do tej mocy.
Dowód.
Rozważmy specjalny przypadek dla $k=3$. Użyjmy Twierdzenia 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
To samo można udowodnić w każdym innym przypadku. Chłopaki, udowodnijcie to sami w przypadku, gdy $k=4$ i $k=6$.
Twierdzenie 4. Jeśli $a≥0$ b n,k są liczbami naturalnymi większymi od 1, to równość jest prawdziwa: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Aby wydobyć korzeń z korzenia, wystarczy pomnożyć wykładniki tego korzenia.
Dowód.
Udowodnijmy jeszcze raz pokrótce za pomocą tabeli. Aby to udowodnić, posługujemy się uproszczonym schematem w postaci tabeli: 
Przykład.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Twierdzenie 5. Jeśli indeksy pierwiastka i wyrażenie pierwiastka są pomnożone przez tę samą liczbę naturalną, to wartość pierwiastka nie zmieni się: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
Dowód.
Zasada dowodu naszego twierdzenia jest taka sama jak w innych przykładach. Wprowadźmy nowe zmienne:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (z definicji).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (z definicji).
Podnosimy ostatnią równość do potęgi p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Otrzymane:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Czyli $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, co miało zostać udowodnione.
Przykłady:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (podzielone przez 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (podzielone przez 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (mnożone przez 3).
Przykład.
Uruchom akcje: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Rozwiązanie.
Wykładniki pierwiastkowe to różne liczby, więc nie możemy użyć Twierdzenia 1, ale stosując Twierdzenie 5 możemy uzyskać równe wykładniki.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (mnożone przez 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (mnożone przez 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. Oblicz: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Oblicz: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Oblicz:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Uprość:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Wykonaj czynności: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
