Instrukcijos

Jei lygtis pateikiama tokia forma: dy/dx = q(x)/n(y), klasifikuokite jas kaip diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Jas galima išspręsti sąlygą užrašant diferencialais taip: n(y)dy = q(x)dx. Tada sujunkite abi puses. Kai kuriais atvejais sprendimas rašomas integralų, paimtų iš žinomų funkcijų, forma. Pavyzdžiui, dy/dx = x/y atveju gauname q(x) = x, n(y) = y. Parašykite jį forma ydy = xdx ir integruokite. Tai turėtų būti y^2 = x^2 + c.

Į linijinį lygtys susieti lygtis su „pirma“. Nežinoma funkcija su jos išvestinėmis į tokią lygtį patenka tik iki pirmo laipsnio. Tiesinis turi formą dy/dx + f(x) = j(x), kur f(x) ir g(x) yra funkcijos, priklausančios nuo x. Sprendimas rašomas naudojant integralus, paimtus iš žinomų funkcijų.

Atkreipkite dėmesį, kad daugelis diferencialines lygtis- tai antros eilės lygtys (turinčios antrosios išvestinės).Pavyzdžiui, tai paprastojo harmoninio judėjimo lygtis, parašyta bendra forma: md 2x/dt 2 = –kx. Tokios lygtys turi tam tikrus sprendimus. Paprasto harmoninio judėjimo lygtis yra gana svarbaus dalyko pavyzdys: tiesinės diferencialinės lygtys, turinčios pastovų koeficientą.

Jei uždavinio sąlygose yra tik viena tiesinė lygtis, tada jums duota papildomos sąlygos, kurios dėka galima rasti sprendimą. Atidžiai perskaitykite problemą, kad sužinotumėte šias sąlygas. Jeigu kintamieji x ir y nurodo atstumą, greitį, svorį – drąsiai nustatykite ribą x≥0 ir y≥0. Visai gali būti, kad x arba y slepia obuolių skaičių ir pan. – tada reikšmės gali būti tik . Jei x yra sūnaus amžius, aišku, kad jis negali būti vyresnis už savo tėvą, todėl nurodykite tai problemos sąlygose.

Šaltiniai:

kaip išspręsti lygtį su vienu kintamuoju

Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo uždaviniai yra svarbius elementus teorijos įtvirtinimas matematinė analizė, skyrius aukštoji matematika, studijavo universitetuose. Diferencialinis lygtis išspręstas integravimo metodu.

Instrukcijos

Diferencialinis skaičiavimas tiria savybes. Ir atvirkščiai, integruojant funkciją leidžiamos nurodytos savybės, t.y. funkcijos išvestinius arba diferencialus, kad surastų ją pačią. Tai yra diferencialinės lygties sprendimas.

Viskas yra ryšys tarp nežinomo kiekio ir žinomų duomenų. Diferencialinės lygties atveju nežinomojo vaidmenį atlieka funkcija, o žinomų dydžių – jos išvestinės. Be to, ryšyje gali būti nepriklausomas kintamasis: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, kur x yra nežinomas kintamasis, y (x) yra funkcija, kurią reikia nustatyti, lygties tvarka yra didžiausia išvestinės (n) tvarka.

Tokia lygtis vadinama įprasta diferencialine lygtimi. Jei ryšį sudaro keli nepriklausomi kintamieji ir funkcijos dalinės išvestinės (diferencialinės) šių kintamųjų atžvilgiu, tai lygtis vadinama daline diferencialine lygtimi ir turi tokią formą: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , kur z(x, y) yra reikalinga funkcija.

Taigi, norint išmokti spręsti diferencialines lygtis, reikia mokėti rasti antidarinius, t.y. išspręskite problemą atvirkščiai diferenciacijai. Pavyzdžiui: išspręskite pirmosios eilės lygtį y’ = -y/x.

Sprendimas Pakeiskite y' į dy/dx: dy/dx = -y/x.

Sumažinkite lygtį iki formos, patogios integravimui. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi puses iš dx ir padalykite iš y:dy/y = -dx/x.

Integruoti: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Šis sprendimas vadinamas bendrąja diferencialine lygtimi. C yra konstanta, kurios reikšmių rinkinys nustato lygties sprendinių rinkinį. Bet kuriai konkrečiai C vertei sprendimas bus unikalus. Šis sprendimas yra dalinis diferencialinės lygties sprendimas.

Daugumos aukštesnės eilės lygčių sprendimas laipsnių neturi aiškios kvadratinių šaknų radimo formulės lygtys. Tačiau yra keletas mažinimo metodų, leidžiančių aukštesnio laipsnio lygtį paversti vaizdingesne forma.

Instrukcijos

Dažniausias aukštesnio laipsnio lygčių sprendimo būdas yra plėtimas. Šis metodas yra sveikųjų skaičių šaknų, laisvojo termino daliklių parinkimo ir vėlesnio bendrojo daugianario padalijimo į formą (x – x0) derinys.

Pavyzdžiui, išspręskite lygtį x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Sprendimas: Šio daugianario laisvasis narys yra -3, todėl jo sveikieji dalikliai gali būti skaičiai ±1 ir ±3. Pakeiskite juos po vieną į lygtį ir sužinokite, ar gavote tapatybę: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Antroji šaknis x = -1. Padalinkite iš išraiškos (x + 1). Užrašykite gautą lygtį (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Laipsnis sumažintas iki sekundės, todėl lygtis gali turėti dar dvi šaknis. Norėdami juos rasti, išspręskite kvadratinę lygtį: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminantas yra neigiama reikšmė, o tai reiškia, kad lygtis nebeturi realių šaknų. Raskite lygties kompleksines šaknis: x = (-2 + i·√11)/2 ir x = (-2 – i·√11)/2.

Kitas aukštesnio laipsnio lygties sprendimo būdas yra pakeisti kintamuosius, kad jie būtų kvadratiniai. Šis metodas naudojamas, kai visos lygties laipsniai yra lygūs, pavyzdžiui: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Dabar raskite pradinės lygties šaknis: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

10 patarimas: kaip nustatyti redokso lygtis

Cheminė reakcija yra medžiagų transformacijos procesas, vykstantis pasikeitus jų sudėčiai. Tos medžiagos, kurios reaguoja, vadinamos pradinėmis medžiagomis, o tos, kurios susidaro šio proceso metu, vadinamos produktais. Pasitaiko, kad per cheminė reakcija pradines medžiagas sudarantys elementai keičia savo oksidacijos būseną. Tai yra, jie gali priimti svetimus elektronus ir atiduoti savuosius. Abiem atvejais jų mokestis keičiasi. Tokios reakcijos vadinamos redokso reakcijomis.

Paskaitų užrašai apie

diferencialines lygtis

Diferencialinės lygtys

Įvadas

Tiriant tam tikrus reiškinius dažnai susidaro situacija, kai proceso negalima aprašyti naudojant lygtį y=f(x) arba F(x;y)=0. Be kintamojo x ir nežinomos funkcijos, į lygtį patenka šios funkcijos išvestinė.

Apibrėžimas: Kintamąjį x, nežinomą funkciją y(x) ir jos išvestines jungianti lygtis vadinama diferencialinė lygtis. IN bendras vaizdas diferencialinė lygtis atrodo taip:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Apibrėžimas: Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios į ją įtrauktos išvestinės eilė.

– 1 eilės diferencialinė lygtis

– 3 eilės diferencialinė lygtis

Apibrėžimas: Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija, kurią pakeitus į lygtį, ji paverčiama tapatybe.

1 eilės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas: Formos lygtis =f(x;y) arba F(x;y; )=0vadinama 1 eilės diferencialine lygtimi.

Apibrėžimas: Bendras 1-osios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija y=γ(x;c), kur (c –const), kuri, pakeitus ją į lygtį, paverčia ją tapatybe. Geometriškai plokštumoje bendras sprendimas atitinka integralinių kreivių šeimą, priklausomai nuo parametro c.

Apibrėžimas: Integralinė kreivė, einanti per tašką plokštumoje su koordinatėmis (x 0 ;y 0), atitinka tam tikrą diferencialinės lygties sprendinį, tenkinantį pradinę sąlygą:

Teorema apie 1-osios eilės diferencialinės lygties sprendinio unikalumo egzistavimą

Duota 1 eilės diferencialinė lygtis
ir funkcija f(x;y) yra ištisinė kartu su dalinėmis išvestinėmis XOY plokštumos D srityje, tada per tašką M 0 (x 0 ;y 0) D eina per vienintelę kreivę, atitinkančią tam tikrą diferencialinės lygties sprendinį, atitinkantį pradinę sąlygą y(x 0)=y 0

Viena integralinė kreivė eina per tašką plokštumoje su nurodytomis koordinatėmis.

Jei neįmanoma gauti 1-osios eilės diferencialinės lygties bendro sprendimo aiškia forma, t.y.
, tada jį galima gauti netiesiogiai:

F(x; y; c) =0 – numanoma forma

Bendras sprendimas šioje formoje vadinamas bendrasis integralas diferencialinė lygtis.

Kalbant apie 1-osios eilės diferencialinę lygtį, iškeltos 2 problemos:

1) Raskite bendrą sprendimą (bendrąjį integralą)

2) Raskite konkretų sprendimą (dalinį integralą), kuris tenkina duotą pradinę sąlygą. Ši problema vadinama Koši problema diferencialinei lygčiai.

Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Formos lygtys:
vadinama diferencialine lygtimi su atskiriamais kintamaisiais.

Pakeiskime

padauginti iš dx

atskirkime kintamuosius

padalinti iš

Pastaba: būtina atsižvelgti į ypatingą atvejį, kai

kintamieji yra atskirti

integruokime abi lygties puses

– bendras sprendimas

Diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais gali būti parašyta taip:

Pavienis atvejis
!

Integruokime abi lygties puses:

2)
pradžios sąlygos:

1 eilės homogeninės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas: Funkcija
vadinamas vienarūšiu n eilės, jei

Pavyzdys: - vienalytė eilės funkcija=2

Apibrėžimas: Vadinama vienalytė 0 eilės funkcija vienalytis.

Apibrėžimas: Diferencialinė lygtis
vadinama vienalyte, jei
- vienalytė funkcija, t.y.

Taigi homogeninę diferencialinę lygtį galima parašyti taip:

Naudojant pakeitimą , kur t yra kintamojo x funkcija, homogeninė diferencialinė lygtis redukuojama į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

- pakeisti į lygtį

Kintamieji atskirti, integruokime abi lygties puses

Padarykime atvirkštinį pakeitimą pakeisdami , mes gauname bendrą sprendimą numanoma forma.

Vienalytę diferencialinę lygtį galima parašyti diferencine forma.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, kur M(x;y) ir N(x;y) yra tos pačios eilės vienarūšės funkcijos.

Padalinkite iš dx ir išreikškite

Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) – pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškiai tam tikros eilės išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), kai pakeičiama į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai kas yra šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tai tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrą lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tebūnie tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija(„obuolys“ - ekstrahavimas kvadratinė šaknis arba, kas yra tas pats - pakėlimas į galią „pusė“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.

Arba jau buvo išspręstas atsižvelgiant į išvestinę priemonę, arba gali būti išspręstas atsižvelgiant į išvestinę priemonę .

Bendras intervalo tipo diferencialinių lygčių sprendimas X, kuris pateiktas, galima rasti imant abiejų šios lygybės pusių integralą.

Mes gauname .

Jei pažvelgsite į savybes neapibrėžtas integralas, tada randame norimą bendrą sprendimą:

y = F(x) + C,

Kur F(x)- vienas iš antiderivatinės funkcijos f(x) tarp X, A SU- savavališka konstanta.

Atkreipkite dėmesį, kad daugumoje problemų intervalas X nenurodyti. Tai reiškia, kad sprendimas turi būti rastas kiekvienam. x, kuriai ir norima funkcija y, o pradinė lygtis turi prasmę.

Jei reikia apskaičiuoti konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą y(x 0) = y 0, tada apskaičiavus bendrąjį integralą y = F(x) + C, vis tiek reikia nustatyti konstantos reikšmę C = C 0, naudojant pradinę sąlygą. Tai yra, konstanta C = C 0 nustatoma iš lygties F(x 0) + C = y 0, o norimas dalinis diferencialinės lygties sprendimas bus toks:

y = F(x) + C 0.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Raskime bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir patikrinkime rezultato teisingumą. Raskime konkretų šios lygties sprendimą, kuris patenkintų pradinę sąlygą.

Sprendimas:

Integravę pateiktą diferencialinę lygtį, gauname:

Paimkime šį integralą naudodami integravimo dalimis metodą:

Tai., yra bendras diferencialinės lygties sprendimas.

Norėdami įsitikinti, kad rezultatas yra teisingas, patikrinkite. Norėdami tai padaryti, rastą sprendimą pakeičiame į pateiktą lygtį:

Tai yra, kada pradinė lygtis virsta tapatybe:

todėl bendras diferencialinės lygties sprendinys buvo nustatytas teisingai.

Mūsų rastas sprendimas yra bendras kiekvienos tikrosios argumento vertės diferencialinės lygties sprendimas x.

Belieka apskaičiuoti konkretų ODE sprendimą, kuris atitiktų pradinę sąlygą. Kitaip tariant, reikia apskaičiuoti konstantos reikšmę SU, kurioje lygybė bus teisinga:

Tada pakeičiant C = 2Į bendrą ODE sprendimą gauname konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą:

Paprastoji diferencialinė lygtis išvestinę galima išspręsti 2 lygties puses padalijus iš f(x). Ši transformacija bus lygiavertė, jei f(x) jokiomis aplinkybėmis nevirsta į nulį x nuo diferencialinės lygties integravimo intervalo X.

Tikėtinos situacijos, kai dėl kai kurių argumento vertybių x ∈ X funkcijas f(x) Ir g(x) vienu metu tapti nuliu. Dėl panašių vertybių x bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra bet kuri funkcija y, kuris juose apibrėžtas, nes .

Jei kai kurioms argumentų reikšmėms x ∈ X sąlyga yra įvykdyta, o tai reiškia, kad šiuo atveju ODE neturi sprendimų.

Visiems kitiems x nuo intervalo X iš transformuotos lygties nustatomas bendrasis diferencialinės lygties sprendinys.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1 pavyzdys.

Raskime bendrą ODE sprendimą: .

Sprendimas.

Iš pagrindinių elementariųjų funkcijų savybių aišku, kad funkcija natūralusis logaritmas yra apibrėžtas neneigiamoms argumentų reikšmėms, todėl išraiškos apimtis yra ln(x+3) yra intervalas x > -3 . Tai reiškia, kad pateikta diferencialinė lygtis yra prasminga x > -3 . Šioms argumentų reikšmėms išraiška x+3 neišnyksta, todėl išvestinės ODE galite išspręsti padalydami 2 dalis iš x + 3.

Mes gauname .

Toliau integruojame gautą diferencialinę lygtį, išspręstą atsižvelgiant į išvestinę: . Norėdami paimti šį integralą, naudojame metodą, kai jį įtraukiame po diferencialo ženklu.

Straipsnio turinys

DIFERENCINĖS LYGTYBĖS. Daugelis fizinių dėsnių, valdančių tam tikrus reiškinius, yra parašyti formoje matematinė lygtis, išreiškiantis tam tikrą ryšį tarp kai kurių dydžių. Dažnai kalbame apie santykius tarp dydžių, kurie kinta laikui bėgant, pavyzdžiui, variklio efektyvumas, matuojamas atstumu, kurį automobilis gali nuvažiuoti su vienu litru degalų, priklauso nuo automobilio greičio. Atitinkama lygtis turi vieną ar daugiau funkcijų ir jų išvestinių ir vadinama diferencialine lygtimi. (Atstumo kitimo greitį laikui bėgant lemia greitis; todėl greitis yra atstumo išvestinė; taip pat pagreitis yra greičio išvestinė, nes pagreitis lemia greičio kitimo laike greitį.) Didelė svarba, kurias diferencialinės lygtys turi matematikai ir ypač jos pritaikymui, paaiškinamos tuo, kad daugelio fizinių ir techninių problemų tyrimas yra susijęs su tokių lygčių sprendimu. Diferencialinės lygtys taip pat vaidina svarbų vaidmenį kituose moksluose, pavyzdžiui, biologijoje, ekonomikoje ir elektrotechnikoje; iš tikrųjų jie atsiranda visur, kur reikia kiekybinio (skaitinio) reiškinių aprašymo (nes pasaulis kinta laikui bėgant ir sąlygos keičiasi iš vienos vietos į kitą).

Pavyzdžiai.

Šie pavyzdžiai leidžia geriau suprasti, kaip įvairios problemos formuluojamos diferencialinių lygčių kalba.

1) Kai kurių radioaktyviųjų medžiagų skilimo dėsnis yra toks, kad skilimo greitis yra proporcingas turimam šios medžiagos kiekiui. Jeigu x– medžiagos kiekis tam tikru momentu t, tada šis įstatymas gali būti parašytas taip:

Kur dx/dt yra skilimo greitis ir k– tam tikra teigiama konstanta, apibūdinanti tam tikrą medžiagą. (Tai rodo minuso ženklas dešinėje pusėje x laikui bėgant mažėja; pliuso ženklas, visada numanomas, kai ženklas nėra aiškiai nurodytas, tai reikštų x laikui bėgant didėja.)

2) Talpykloje iš pradžių yra 10 kg druskos, ištirpintos 100 m 3 vandens. Jeigu Tyras vanduo pila į indą 1 m 3 per minutę greičiu ir tolygiai susimaišo su tirpalu, o gautas tirpalas tokiu pat greičiu išteka iš indo, tai kiek druskos bus inde bet kuriuo vėlesniu momentu? Jeigu x– druskos kiekis (kg) inde vienu metu t, tada bet kuriuo metu t Talpykloje yra 1 m 3 tirpalo x/100 kg druskos; todėl druskos kiekis mažėja greičiu x/100 kg/min, arba

3) Tegul ant kūno būna masės m pakabintas nuo spyruoklės galo, atkuriamoji jėga veikia proporcingai spyruoklės įtempimo dydžiui. Leisti x– kūno nukrypimo nuo pusiausvyros padėties dydis. Tada pagal antrąjį Niutono dėsnį, kuris teigia, kad pagreitis (antrasis išvestinis iš x pagal laiką, paskirtas d 2 x/dt 2) proporcingai jėgai:

Dešinėje pusėje yra minuso ženklas, nes atkuriamoji jėga sumažina spyruoklės tempimą.

4) Kūno vėsinimo dėsnis teigia, kad šilumos kiekis kūne mažėja proporcingai kūno temperatūros skirtumui ir aplinką. Jei kavos puodelis, pašildytas iki 90°C temperatūros, yra patalpoje, kurioje temperatūra yra 20°C, tada

Kur T– kavos temperatūra vienu metu t.

5) Blefusku valstijos užsienio reikalų ministras tvirtina, kad Liliputo priimta ginklų programa verčia jo šalį kiek įmanoma didinti karines išlaidas. Panašius pareiškimus daro ir Liliputo užsienio reikalų ministras. Susidariusią situaciją (paprasčiausiu jos aiškinimu) galima tiksliai apibūdinti dviem diferencialinėmis lygtimis. Leisti x Ir y- išlaidos Lilliput ir Blefuscu ginklavimuisi. Darant prielaidą, kad Liliputas padidina savo išlaidas ginkluotei proporcingai Blefuscu išlaidų ginkluotei didėjimo tempui ir atvirkščiai, gauname:

kur yra nariai kirvis Ir - pateikė apibūdinti kiekvienos šalies karines išlaidas, k Ir l yra teigiamos konstantos. (Šią problemą 1939 m. pirmą kartą taip suformulavo L. Richardsonas.)

Užduotį parašius diferencialinių lygčių kalba, reikėtų pabandyti jas išspręsti, t.y. raskite dydžius, kurių kitimo greitis įtrauktas į lygtis. Kartais sprendimai randami aiškių formulių pavidalu, tačiau dažniau jie gali būti pateikti tik apytiksliai arba apie juos galima gauti kokybinės informacijos. Dažnai gali būti sunku nustatyti, ar sprendimas apskritai egzistuoja, jau nekalbant apie jo radimą. Svarbią diferencialinių lygčių teorijos dalį sudaro vadinamosios „egzistencijos teoremos“, kuriose įrodomas vieno ar kito tipo diferencialinės lygties sprendimo egzistavimas.

Pirminėje matematinėje fizinės problemos formuluotėje paprastai yra supaprastinančių prielaidų; jų pagrįstumo kriterijus gali būti matematinio sprendimo suderinamumo su turimais stebėjimais laipsnis.

Diferencialinių lygčių sprendiniai.

Pavyzdžiui, diferencialinė lygtis dy/dx = x/y, tenkina ne skaičius, o funkcija, šiuo konkrečiu atveju tokia, kad jo grafikas bet kuriame taške, pavyzdžiui, taške su koordinatėmis (2,3), turi liestinę su nuolydis, lygus koordinačių santykiui (mūsų pavyzdyje 2/3). Tai lengva patikrinti, jei statote didelis skaičius taškų ir iš kiekvieno atidėti trumpą atkarpą su atitinkamu nuolydžiu. Sprendimas bus funkcija, kurios grafikas liečia kiekvieną jos tašką su atitinkama atkarpa. Jeigu taškų ir atkarpų pakanka, tai galime apytiksliai nubrėžti sprendimo kreivių eigą (trys tokios kreivės parodytos 1 pav.). Per kiekvieną tašką eina tiksliai viena sprendimo kreivė y Nr. 0. Kiekvienas atskiras sprendinys vadinamas daliniu diferencialinės lygties sprendiniu; jei įmanoma rasti formulę, kurioje būtų visi konkretūs sprendimai (išskyrus keletą specialiųjų), tada jie sako, kad buvo gautas bendras sprendimas. Konkretus sprendimas reiškia vieną funkciją, o bendras sprendimas – visą jų šeimą. Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti jos konkretų arba bendrą sprendimą. Mūsų nagrinėjamame pavyzdyje bendras sprendimas turi formą y 2 – x 2 = c, Kur c– bet koks skaičius; tam tikras sprendimas, einantis per tašką (1,1), turi formą y = x ir paaiškėja, kada c= 0; tam tikras sprendimas, einantis per tašką (2,1), turi formą y 2 – x 2 = 3. Sąlyga, reikalaujanti, kad sprendimo kreivė eitų, pavyzdžiui, per tašką (2,1), vadinama pradine sąlyga (nes ji nurodo sprendimo kreivės pradžios tašką).

Galima parodyti, kad (1) pavyzdyje bendras sprendimas turi formą x = ce –kt, Kur c– konstanta, kurią galima nustatyti, pavyzdžiui, nurodant medžiagos kiekį esant t= 0. (2) pavyzdžio lygtis yra ypatingas (1) pavyzdžio lygties atvejis, atitinkantis k= 1/100. Pradinė būklė x= 10 val t= 0 pateikia konkretų sprendimą x = 10e –t/100 . (4) pavyzdyje pateikta lygtis turi bendrą sprendimą T = 70 + ce –kt ir privatus sprendimas 70 + 130 – kt; norint nustatyti vertę k, reikia papildomų duomenų.

Diferencialinė lygtis dy/dx = x/y vadinama pirmos eilės lygtimi, nes joje yra pirmoji išvestinė (diferencialinės lygties tvarka dažniausiai laikoma aukščiausios į ją įtrauktos išvestinės eilės tvarka). Daugumoje (nors ir ne visų) pirmojo tipo diferencialinių lygčių, kurios atsiranda praktiškai, per kiekvieną tašką eina tik viena sprendimo kreivė.

Yra keletas svarbių pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipų, kurias galima išspręsti formulėmis, kuriose yra tik elementarios funkcijos - laipsniai, eksponentai, logaritmai, sinusai ir kosinusai ir kt. Tokios lygtys apima šias lygtis.

Lygtys su atskiriamais kintamaisiais.

Formos lygtys dy/dx = f(x)/g(y) galima išspręsti rašant diferencialais g(y)dy = f(x)dx ir integruojant abi dalis. Blogiausiu atveju sprendimas gali būti pavaizduotas žinomų funkcijų integralų pavidalu. Pavyzdžiui, lygties atveju dy/dx = x/y mes turime f(x) = x, g(y) = y. Įrašant jį formoje ydy = xdx ir integruodami gauname y 2 = x 2 + c. Lygtys su atskiriamais kintamaisiais apima lygtis iš (1), (2), (4) pavyzdžių (jas galima išspręsti aukščiau aprašytu būdu).

Lygtys suminiuose diferencialuose.

Jei diferencialinė lygtis turi formą dy/dx = M(x,y)/N(x,y), kur M Ir N yra dvi nurodytos funkcijos, tada ją galima pavaizduoti kaip M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Jei kairioji pusė yra kokios nors funkcijos diferencialas F(x,y), tada diferencialinę lygtį galima parašyti kaip dF(x,y) = 0, kuri yra lygi lygčiai F(x,y) = konst. Taigi lygties sprendimo kreivės yra funkcijos „pastovių lygių linijos“ arba taškų, kurie tenkina lygtis, lokusas. F(x,y) = c. Lygtis ydy = xdx(1 pav.) - su atskiriamais kintamaisiais, o tas pats - suminiais skirtumais: norėdami įsitikinti pastaruoju, rašome jį formoje ydy – xdx= 0, t.y. d(y 2 – x 2) = 0. Funkcija F(x,y) šiuo atveju yra lygus (1/2)( y 2 – x 2); Kai kurios jo pastovaus lygio linijos parodytos Fig. 1.

Tiesinės lygtys.

Tiesinės lygtys yra „pirmojo laipsnio“ lygtys - nežinoma funkcija ir jos išvestinės tokiose lygtyse atsiranda tik pirmojo laipsnio. Taigi pirmosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis turi formą dy/dx + p(x) = q(x), kur p(x) Ir q(x) – funkcijos, kurios priklauso tik nuo x. Jo sprendimas visada gali būti parašytas naudojant žinomų funkcijų integralus. Daugelis kitų pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipų išsprendžiamos naudojant specialius metodus.

Aukštesnės eilės lygtys.

Daugelis diferencialinių lygčių, su kuriomis susiduria fizikai, yra antros eilės lygtys (t. y. lygtys, kuriose yra antrosios išvestinės). Tokia, pavyzdžiui, yra paprasto harmoninio judėjimo lygtis iš (3) pavyzdžio, md 2 x/dt 2 = –kx. Paprastai tariant, galime tikėtis, kad antros eilės lygtis turi dalinius sprendinius, kurie tenkina dvi sąlygas; Pavyzdžiui, galima reikalauti, kad sprendimo kreivė eitų per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi. Tais atvejais, kai diferencialinėje lygtyje yra tam tikras parametras (skaičius, kurio reikšmė priklauso nuo aplinkybių), reikiamo tipo sprendimai egzistuoja tik tam tikroms šio parametro reikšmėms. Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį md 2 x/dt 2 = –kx ir mes to reikalausime y(0) = y(1) = 0. Funkcija yє 0 akivaizdžiai yra sprendimas, bet jei jis yra sveikasis kartotinis p, t.y. k = m 2 n 2 p 2, kur n yra sveikasis skaičius, tačiau iš tikrųjų tik šiuo atveju yra ir kitų sprendimų, būtent: y= nuodėmė npx. Parametrų reikšmės, kurių lygtis turi specialius sprendimus, vadinamos charakteristikomis arba savąsias reikšmes; jie atlieka svarbų vaidmenį atliekant daugelį užduočių.

Paprasto harmoninio judėjimo lygtis yra svarbios lygčių klasės, būtent tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais, pavyzdys. Bendresnis pavyzdys (taip pat ir antros eilės) yra lygtis

Kur a Ir b- nurodytos konstantos, f(x) yra nurodyta funkcija. Tokias lygtis galima išspręsti Skirtingi keliai, pavyzdžiui, naudojant integralinę Laplaso transformaciją. Tą patį galima pasakyti apie tiesines aukštesnio laipsnio lygtis su pastoviais koeficientais. Jie taip pat atlieka svarbų vaidmenį tiesines lygtis su kintamaisiais koeficientais.

Netiesinės diferencialinės lygtys.

Lygtys, kuriose yra nežinomų funkcijų ir jų išvestinių laipsnių, didesnių už pirmąją arba kokiu nors sudėtingesniu būdu, vadinamos netiesinėmis. IN pastaraisiais metais jie pritraukia vis daugiau dėmesio. Faktas yra tas, kad fizinės lygtys paprastai yra tiesinės tik pagal pirmąjį aproksimaciją; Tolesniems ir tikslesniams tyrimams, kaip taisyklė, reikia naudoti netiesines lygtis. Be to, daugelis problemų yra netiesinio pobūdžio. Kadangi netiesinių lygčių sprendiniai dažnai yra labai sudėtingi ir sunkiai pavaizduojami paprastomis formulėmis, didelė dalis šiuolaikinė teorija atsidavęs kokybinė analizė jų elgesys, t.y. metodų kūrimas, leidžiantis, neišsprendžiant lygties, pasakyti ką nors reikšmingo apie sprendimų pobūdį kaip visumą: pavyzdžiui, kad jie visi yra riboti, turi periodinį pobūdį arba tam tikru būdu priklauso nuo koeficientus.

Apytikslius diferencialinių lygčių sprendimus galima rasti skaičiais, tačiau tai reikalauja daug laiko. Atsiradus didelės spartos kompiuteriams, šis laikas labai sumažėjo, o tai atvėrė naujas galimybes skaitiniu būdu išspręsti daugelį problemų, kurios anksčiau buvo neįveikiamos tokiam sprendimui.

Egzistencijos teoremos.

Egzistencijos teorema yra teorema, kuri teigia, kad tam tikromis sąlygomis duota diferencialinė lygtis turi sprendimą. Yra diferencialinių lygčių, kuriose nėra sprendinių arba jų yra daugiau nei tikėtasi. Egzistencijos teoremos tikslas yra įtikinti mus, kad tam tikra lygtis iš tikrųjų turi sprendimą, o dažniausiai – užtikrinti, kad ji turi būtent vieną reikiamo tipo sprendinį. Pavyzdžiui, lygtis, su kuria jau susidūrėme dy/dx = –2y turi tiksliai vieną sprendimą, einantį per kiekvieną plokštumos tašką ( x,y), ir kadangi mes jau radome vieną tokį sprendimą, mes visiškai išsprendėme šią lygtį. Kita vertus, lygtis ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 turi daug sprendimų. Tarp jų yra tiesūs y = 1, y= –1 ir kreivės y= nuodėmė ( x + c). Sprendimas gali būti sudarytas iš kelių šių tiesių ir kreivių segmentų, einančių vienas į kitą sąlyčio taškuose (2 pav.).

Dalinės diferencialinės lygtys.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra teiginys apie vieno kintamojo nežinomos funkcijos išvestinę. Dalinėje diferencialinėje lygtyje yra dviejų ar daugiau kintamųjų funkcija ir tos funkcijos išvestinės bent dviejų skirtingų kintamųjų atžvilgiu.

Fizikoje tokių lygčių pavyzdžiai yra Laplaso lygtis

X, y) apskritimo viduje, jei reikšmės u nurodyta kiekviename ribojančio apskritimo taške. Kadangi problemos su daugiau nei vienu kintamuoju fizikoje yra taisyklė, o ne išimtis, nesunku įsivaizduoti, koks platus yra dalinių diferencialinių lygčių teorijos dalykas.