Lección de álgebra en 7mo grado
OBJETIVOS DE LA LECCIÓN
EDUCATIVO: formular la definición de multiplicación de un monomio por un polinomio; desarrollar destrezas y habilidades para trabajar con monomios y polinomios.
DESARROLLO: desarrollar las habilidades cognitivas, la actividad mental, el pensamiento lógico, desarrollar la capacidad de analizar y comparar.
EDUCATIVO: educar actividad cognitiva, responsabilidad; intensificar la actividad mental en el proceso de realizar un trabajo independiente.
EQUIPO
Proyector multimedia, tarjetas con tareas diferenciadas, tarjetas "Loto Matemático", tarjetas con trabajo independiente, "Hoja de evaluación".
TIPO DE LECCIÓN
Conjunto.
ESTRUCTURA DE LA LECCIÓN
Conversación motivacional.
Comprobación de la tarea. Trabajo individual en tarjetas.
Actualización de conocimientos básicos: trabajo oral de forma lúdica, con la ayuda de la cual se repiten los principales hechos y propiedades en función de la sistematización del conocimiento.
Aprendiendo material nuevo: durante la conversación, los estudiantes formulan la regla para multiplicar un monomio por un polinomio.
Consolidación del material estudiado.
Pausa física.
Trabajo independiente con autoexamen.
Reflexión.
Tarea.
Resumen de la lección.
DURANTE LAS CLASES
TIEMPO DE ORGANIZACIÓN diapositiva 1.2.
Maestra: ¡Hola chicos! Hoy, el lema de nuestra lección serán las palabras del gran filósofo chino antiguo Confucio: "Tres caminos conducen al conocimiento: el camino de la reflexión es el camino más noble, el camino de la imitación es el camino más fácil y el camino de la experiencia es el camino el camino más amargo". Caminaremos por el camino noble. Seguiremos aprendiendo a pensar, encontrar soluciones racionales y expresar nuestras ideas. ¡Te deseo suerte!
Hoy en la lección evalúas tu actividad en las "Hojas de Evaluación".
Hoja de evaluación del estudiante ______________________________
| Etapas de la lección | marca de trabajo |
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| Tarea | |||||
| trabajo de cartas individuales | |||||
| Trabajo oral "Lotería Matemática" | |||||
| Aprendiendo nuevo material | |||||
| Consolidación. trabajo de libro de texto | |||||
| Trabajo en grupo nº 630 | |||||
| Trabajo independiente | |||||
| Reflexión |
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| ¿Cómo califica su participación en la obra? | |||||
| ¿Cómo califica su conocimiento sobre el tema? | |||||
| ¿Qué temas necesitas repetir para tener éxito? |
|||||
| Multiplicando potencias con la misma base. | |||||
| Reducción de miembros semejantes de un polinomio. | |||||
| Multiplicación de monomios. | |||||
| Corchetes de apertura con signos "+" y "-" | |||||
1. REPETICIÓN DEL MATERIAL TEÓRICO SOBRE EL TEMA “UNO-MIEMBROS. POLINOMIOS»
Comprobación de la tarea. (Tres estudiantes, en una pizarra previamente preparada, reproducen las soluciones de los números de la casa. Después de verificar el desempeño, los estudiantes de la clase hacen una pregunta adicional, se establece una calificación).
Trabajo individual en tarjetas. (Anexo 1)
№ 601. Diapositiva 3.
2. Trabajo oral. " Lotería Matemática.
Maestra: Chicos, ¿pueden jugar al loto? Trabajáis en parejas. Hay una mesa de lotería matemática en el escritorio. Tacha las respuestas correctas. ¿Listo?
una). Lotería de matemáticas.
Tacha las respuestas correctas.
| 10ab + 10b2 - 20b |
El profesor muestra las tarjetas, los alumnos tachan las respuestas correctas.
2). Simplificar expresiones.
pero5 ∙ un4 2 6 ∙ 2 9 5a ∙ 3a-2y ∙ 6x4 abdominales∙ a2
5 X +(8- X) 12a - (2 - 6a) 2 (a - B) - a2 (4 a - 1) 10 B (a + B - 2)
Maestra: Chicos, verifiquen si hicieron esta tarea correctamente. diapositiva 4.
¿Qué expresiones quedan? (Estudiantes: "monomios y polinomios")
¿Qué acciones se pueden realizar con polinomios y monomios? (Estudiantes: “sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia”).
Lea las expresiones: 5x + (8 - x); 12 - (2 - 6a) (el profesor pega en la pizarra con un imán)
¿Qué expresiones causaron dificultades durante la simplificación? ¿Por qué? (Estudiantes: "2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), no sabemos cómo simplificar expresiones de este tipo")
Lee estas expresiones. (2(a-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), unido a la pizarra con un imán)
¿Cómo se llaman las expresiones que van antes de los paréntesis? (Estudiantes: "miembros únicos")
¿Cómo se llaman las expresiones entre paréntesis? (Estudiantes: "polinomios")
¿Qué crees que aprenderás en clase hoy? (Estudiantes: "multiplicar un monomio por un polinomio")
Formule el tema de la lección y escríbalo en su cuaderno. (Estudiantes: "Multiplicar un monomio por un polinomio") Diapositiva 5.
¿Cómo simplificar estas expresiones? ¿Quién podría multiplicar un monomio por un polinomio? ¿En qué conocimiento te basaste? (Escuche las respuestas de los estudiantes).
Hoy aprenderás a realizar otra transformación de expresiones algebraicas, encuentra el producto de un monomio y un polinomio.
3. ESTUDIO DE MATERIAL NUEVO Diapositiva 6.7.
Profesor: Anota en tu cuaderno la expresión 7m6 (m3 - m2 - 2) =
¿Qué reglas necesitas saber para multiplicar un monomio por un polinomio? (Estudiantes: "propiedad distributiva, multiplicación de potencias con las mismas bases, multiplicación de números positivos y negativos")
Escribe la siguiente expresión -3a2 (4a3 - a + 1) =
¿Qué reglas necesitas saber para multiplicar un monomio por un polinomio?
Formula una regla para multiplicar un monomio por un polinomio. (Estudiantes: “Para multiplicar un monomio por un polinomio, necesitas multiplicar el monomio por cada término del polinomio”)
¡Bien hecho! Lea la definición sobre nuestro tema en el libro de texto.
4. CONSOLIDACIÓN DEL MATERIAL ESTUDIADO (trabajo con el libro de texto)
diapositiva 8.
No. 614 (a, b, c) - estudiantes en la pizarra con una explicación;
n.° 618 (d) - el maestro junto con los alumnos;
A) 1ª fila (1 alumno en la pizarra),
B) 2ª fila (1 alumno en la pizarra),
C) 3 filas (1 estudiante en el tablero);
Núm. 630 (trabajo en grupo)
Maestra: Las tazas están pegadas a sus escritorios, de diferentes colores (6 colores diferentes, 4 círculos cada uno). En ellos se escriben letras al No. 630. Mira, encuentra la tarea en el libro de texto. Las mismas letras en los círculos son los miembros de tu grupo. Completa la tarea.
(después del final del trabajo, cada grupo comenta las respuestas, verifica, analiza los errores)
Bien hecho, hiciste un gran trabajo con esto. No te olvides de la hoja de puntuación.
5. FISPAUSA diapositiva 9.
Rápidamente se levantó, sonrió,
Levantado más alto.
Bueno, endereza tus hombros
Subir, bajar.
Gira a la derecha. Gira a la izquierda
Toca tus manos con tus rodillas.
Siéntate, levántate, siéntate, levántate
Y corrieron en el lugar.
La juventud está aprendiendo contigo
Desarrolla tanto la voluntad como el ingenio.
6. TRABAJO INDEPENDIENTE (en dos versiones, para probar la asimilación de material nuevo)
Maestra: Hay asignaciones para trabajo independiente en sus escritorios. Completa la tarea dada.
Opción 1.
A) _____ (x-y) \u003d 4bx - 4by.
B) _____ (5a + b) = 10
C) _____(x - 2) = x
D) ______(c - m + b) = -ayc + aym - ayb.
Opcion 2.
El estudiante multiplicó el monomio por el polinomio, después de lo cual resultó que el monomio se borró. restaurarlo:
A) _____(x-y) = 9ax - 9ay.
B) _____(2a + b) = 2
C) ______(x - ) = x
D) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.
Profesor: Verifique la corrección de la tarea. diapositiva 10.
8. REFLEXIÓN Diapositiva 11.
¿Cómo califica su participación en el trabajo de clase?
¿Cómo califica su conocimiento sobre un nuevo tema?
¿Qué temas deben repetirse para tener éxito en el futuro?
9. TAREA diapositiva 12.
10. RESUMEN DE LA LECCIÓN.
Chicos, hoy trabajaron muy bien en la lección, estuvieron activos, se ayudaron mutuamente. Envíe sus hojas de puntuación. Tarjetas de autoaprendizaje. En la próxima lección, los recibirás con la valoración del profesor.
¡Gracias a todos! ¡Adiós! diapositiva 13.
Anexo 1.
Tarjeta #1
1. Dar términos similares del polinomio.
A) 5x + 6y - 3x - 12y \u003d _____________________________________________.
B) 3ab + 7b + 12b - ab = _________________________________________.
B) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = ________________________________________.
2. Expresar la expresión como potencia.
A) b13 ∙b ∙ b7 = __________________.
B) (x3)2 ∙ x4 = ___________________.
Tarjeta #2
1. Expande los corchetes usando la regla.
A) 6a + (x + 3a - 1) = ______________________________________.
B) 5y - (2x - a + b) \u003d _____________________________________.
2. Simplifica la expresión:
a) (x3)2 ∙ x4 = ____________________________________.
B) (a3 ∙ a5)4 = ___________________________________________
C) (s6)8: (s7)5 = ______________________________________
Tarjeta #3
Simplifica la expresión:
(8c2 + 3c) + (-7c2 - 11c + 3) - (-3c2 - 4) = _____________________________________________________________.
2. Calcula:
A) 43 ∙ 53 = _______________;
B) = ___________________.
Número de tarjeta 4.
1. Componga la suma de polinomios y lleve a la forma estándar:
A) 12y2 + 8y - 11 y 3y2 - 6y + 3;
Componga la diferencia de polinomios y llévela a la forma estándar:
B) a2 - 5ab - b2 y a2 + b2.
Simplificar:
x15: x5 ∙ x7 = __________________.
Literatura
- Álgebra: libro de texto para el grado 7 / Yu. N. Makarychev [y otros]; editado por S. A. Telyakovsky - M .: Educación, 2014
- Materiales didácticos sobre álgebra para el grado 7 / L. P. Zvavich, L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova. - M.: Ilustración, 1012
- Pourochnye desarrollo en álgebra. Grado 7 / A. N. Rurukin, G. V. Lupenko, I. A. Maslennikova. - M.: VAKO, 2007
- Lecciones abiertas de álgebra. Grados 7-8 / N. L. Barsukova. - M.: VAKO, 2013
Un caso especial de multiplicar un polinomio por un polinomio es la multiplicación de un polinomio por un monomio. En este artículo, formulamos la regla para realizar esta acción y analizamos la teoría con ejemplos prácticos.
Regla para multiplicar un polinomio por un monomio
Averigüemos cuál es la base de multiplicar un polinomio por un monomio. Esta acción se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Literalmente, esta propiedad se escribe de la siguiente manera: (a + b) c \u003d a c + b c (a, b y C son algunos números). En esta entrada, la expresión (a + b) c es simplemente el producto del polinomio (a + b) y el monomio C. El lado derecho de la igualdad. a c + b c es la suma de productos de monomios a Y B en un monomio C.
El razonamiento anterior nos permite formular la regla para multiplicar un polinomio por un monomio:
Definición 1
Para realizar la acción de multiplicar un polinomio por un monomio, debes:
- escribe el producto de un polinomio y un monomio, que se debe multiplicar;
- multiplica cada término del polinomio por el monomio dado;
- encontrar la suma de los productos resultantes.
Expliquemos más el algoritmo anterior.
Para componer el producto de un polinomio por un monomio, el polinomio original se encierra entre paréntesis; además, se coloca un signo de multiplicación entre él y el monomio dado. En el caso de que la entrada de un monomio comience con un signo menos, también se debe encerrar entre paréntesis. Por ejemplo, el producto de un polinomio − 4 x 2 + x − 2 y monomio 7 años escribe como (− 4 x 2 + x − 2) 7 y, y el producto del polinomio un 5 segundo - 6 un segundo y monomio − 3 un 2 componer en la forma: (un 5 segundo − 6 un segundo) (− 3 un 2).
El siguiente paso del algoritmo es la multiplicación de cada término del polinomio por un monomio dado. Los componentes del polinomio son monomios, es decir de hecho, necesitamos realizar la multiplicación de un monomio por un monomio. Supongamos que después del primer paso del algoritmo hemos obtenido la expresión (2 x 2 + x + 3) 5 x, entonces el segundo paso es multiplicar cada término del polinomio 2 x 2 + x + 3 con un monomio 5x, obteniendo así: 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 y 3 5 x = 15 x. El resultado serán los monomios 10 x 3, 5 x 2 y 15x.
La última acción según la regla es la adición de los productos resultantes. Del ejemplo propuesto, después de completar este paso del algoritmo, obtenemos: 10x3 + 5x2 + 15x.
Por defecto, todos los pasos se escriben como una cadena de igualdades. Por ejemplo, encontrar el producto de un polinomio 2 x 2 + x + 3 y monomio 5x vamos a escribirlo así: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x . Eliminando el cálculo intermedio del segundo paso, se puede formular una solución corta de la siguiente manera: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
Los ejemplos considerados permiten notar un matiz importante: como resultado de multiplicar un polinomio y un monomio, se obtiene un polinomio. Esta afirmación es cierta para cualquier polinomio y monomio multiplicador.
Por analogía, un monomio se multiplica por un polinomio: un monomio dado se multiplica por cada miembro del polinomio y los productos resultantes se suman.
Ejemplos de multiplicación de un polinomio por un monomio
Ejemplo 1Es necesario encontrar el producto: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .
Solución
El primer paso de la regla ya se completó: el trabajo se registró. Ahora realizamos el siguiente paso, multiplicando cada término del polinomio por el monomio dado. En este caso, es conveniente traducir primero las fracciones decimales a fracciones comunes. Entonces obtenemos:
1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5 y - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 xy = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 xy = - 2 5 x 3 + xy
Responder: 1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y .
Aclaremos que cuando el polinomio y/o monomio original se dan en forma no estándar, antes de encontrar su producto, es conveniente reducirlos a la forma estándar.
Ejemplo 2
Dado un polinomio 3 + un - 2 un 2 + 3 un - 2 y monomio − 0 , 5 un segundo (− 2) un. Necesitas encontrar su trabajo.
Solución
Vemos que los datos iniciales se presentan en una forma no estándar, por lo tanto, para facilitar los cálculos posteriores, los pondremos en una forma estándar:
− 0 , 5 un segundo (− 2) un = (− 0 , 5) (− 2) (un un) segundo = 1 un 2 segundo = un 2 segundo 3 + un − 2 un 2 + 3 un − 2 = (3 − 2) + (un + 3 un) − 2 un 2 = 1 + 4 un − 2 un 2
Ahora hagamos la multiplicación del monomio un 2 segundo para cada miembro del polinomio 1 + 4 un - 2 un2
un 2 segundo (1 + 4 un - 2 un 2) = un 2 segundo 1 + un 2 segundo 4 un + un 2 segundo (- 2 un 2) = = un 2 segundo + 4 un 3 segundo - 2 un 4 segundo
No podríamos llevar los datos iniciales a la forma estándar: la solución resultaría entonces más engorrosa. En este caso, el último paso sería la necesidad de reducir plazos similares. Para su comprensión, aquí hay una solución de acuerdo con este esquema:
- 0 .5 un segundo (- 2) un (3 + un - 2 un 2 + 3 un - 2) = = - 0 . 5 un segundo (- 2) un 3 - 0 . 5 un ab (- 2) un - 0 . 5 ab (− 2) a (− 2 a 2) − 0 . 5 ab (− 2) a 3 a − 0 , 5 ab (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2 un 4 segundo + 3 un 3 segundo - 2 un 2 segundo = un 2 segundo + 4 un 3 segundo - 2 un 4 segundo
Responder: − 0 , 5 un segundo (− 2) un (3 + un − 2 un 2 + 3 un − 2) = un 2 segundo + 4 un 3 segundo − 2 un 4 segundo.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
I.Para multiplicar un monomio por un polinomio, es necesario multiplicar cada término del polinomio por este monomio y sumar los productos resultantes.
Ejemplo 1 Multiplica un monomio por un polinomio: 2a (4a 2 -0.5ab+5a 3).
Solución. Monomio 2a multiplicaremos por cada monomio del polinomio:
2a (4a 2 -0.5ab+5a 3)=2a∙4a 2 +2a∙(-0.5ab)+2a∙5a 3=8a 3 -a 2 b+10a 4 . Escribimos el polinomio resultante en forma estándar:
10a 4 +8a 3 -a 2b.
Ejemplo 2 Multiplica un polinomio por un monomio: (3xyz 5 -4.5x 2 y+6xy 3 +2.5y 2 z)∙(-0.4x 3).
Solución. Cada término entre paréntesis se multiplica por un monomio (-0.4x3).
(3xyz 5 -4.5x 2y+6xy 3 +2.5y 2z)∙(-0.4x 3)=
3xyz 5 ∙(-0.4x 3) -4.5x 2 y∙(-0.4x 3)+6xy 3 ∙(-0.4x 3)+2.5y 2 z∙(-0.4x 3)=
=-1.2x 4 yz 5 +1.8x 5 y-2.4x 4 y 3 -x 3 y 2 z.
II.La representación de un polinomio como producto de dos o más polinomios se denomina factorización de un polinomio.
terceroQuitar el factor común entre paréntesis es la forma más sencilla de factorizar un polinomio.
Ejemplo 3 Factoriza el polinomio: 5a 3 +25ab-30a 2 .
Solución. Sacamos el factor común de todos los miembros del polinomio entre paréntesis. este es un monomio 5a, porque en 5a cada uno de los términos de este polinomio es divisible. Entonces, 5a escribimos antes de los paréntesis, y entre paréntesis escribimos los cocientes de dividir cada monomio por 5a.
5a 3 + 25ab-30a 2 \u003d 5a (a 2 + 5b-6a). Comprobándonos: si multiplicamos 5a al polinomio entre paréntesis a 2 +5b-6a, entonces obtenemos este polinomio 5a 3 +25ab-30a 2.
Ejemplo 4 Saca el factor común entre paréntesis: (x+2y) 2 -4 (x+2y).
Solución.(x+2y) 2 -4 (x+2y)= (x+2y)(x+2y-4).
El factor común aquí es el binomio (x + 2y). Lo sacamos de paréntesis, y entre paréntesis escribimos los miembros privados de la división de estos miembros (x+2y) 2 Y -4 (x+2y) a su divisor común
(x + 2y). Como resultado, presentamos este polinomio como un producto de dos polinomios (x+2y) Y (x+2y-4), en otras palabras, hemos desarrollado el polinomio (x+2y) 2 -4 (x+2y) para multiplicadores. Responder: (x+2y)(x+2y-4).
IV.Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio y escribir los productos resultantes como una suma de monomios. Si es necesario, agregue términos similares.
Ejemplo 5 Realiza la multiplicación de polinomios: (4x2 -6xy+9y2)(2x+3y).
Solución. Como regla, debemos multiplicar cada término del primer polinomio (4x 2 -6xy + 9y 2) por cada término del segundo polinomio (2x + 3y). Para no confundirse, siempre haga esto: primero, multiplique cada término del primer polinomio por 2x, luego vuelva a multiplicar cada término del primer polinomio por 3y.
(4x 2 -6xy+9y 2)( 2x+3y)=4x 2 ∙ 2x-6xy∙ 2x+9y 2 ∙ 2x+4x 2 ∙ 3 años-6xy∙ 3 años+9y 2 ∙ 3 años=
8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .
Los términos similares -12x 2 y y 12x 2 y, así como 18xy 2 y -18xy 2 resultaron ser opuestos, sus sumas son iguales a cero.
Responder: 8x 3 +27y 3 .
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¿Para uno solo? ¿Cómo colocar correctamente los signos al multiplicar?
Regla.
Para multiplicar un polinomio por, necesitas multiplicar cada término del polinomio por un monomio y sumar los resultados.
Es conveniente escribir el monomio antes de los corchetes.
Para colocar correctamente los signos durante la multiplicación, es mejor usar la regla para abrir corchetes, que están precedidos por un signo más o un signo menos.
Las multiplicaciones de un polinomio por un monomio se pueden representar usando un diagrama.
Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio entre paréntesis (“fuente”).
Si hay un signo "+" delante de los corchetes, los caracteres entre corchetes no cambian:
Si hay un signo "-" delante de los corchetes, cada carácter entre paréntesis se invierte:
Considere cómo multiplicar un polinomio por un monomio, usando ejemplos específicos.
Ejemplos.
Multiplica un polinomio por un monomio:
Solución:
Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio entre paréntesis. Dado que hay un signo más delante de los paréntesis, los caracteres entre paréntesis no cambian:
Multiplicamos los números por separado, por separado, con las mismas bases:
Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio. Como hay un multiplicador delante de los paréntesis, cambiamos el signo de cada término entre paréntesis por el opuesto:
Por lo general, escriben más corto, la multiplicación de potencias y números (a excepción de las fracciones ordinarias y los números mixtos) se realiza oralmente.
Si los coeficientes son fracciones ordinarias, entonces los multiplicamos de acuerdo con la regla de la multiplicación de fracciones ordinarias: el numerador por el numerador, el denominador por el denominador, e inmediatamente los escribimos debajo de una línea fraccionaria. Si los coeficientes son números mixtos, los traducimos a fracciones impropias:
¡Atención!
No reducimos fracciones hasta que no hemos escrito todas las acciones hasta el final. Como muestra la práctica, si comienza inmediatamente con la reducción de fracciones, el resto de los términos no alcanzan, simplemente se olvidan.
>>Matemáticas: Multiplicación de un polinomio por un monomio
Multiplicación de un polinomio por un monomio
Es posible que haya notado que hasta ahora el Capítulo 4 se ha estructurado de acuerdo con el mismo plan que el Capítulo 3. En ambos capítulos, los conceptos básicos se introdujeron por primera vez: en el Capítulo 3, estos fueron el monomio, la forma estándar del monomio, el coeficiente del monomio; en el capítulo 4 - polinomio, la forma estándar de un polinomio. Luego, en el Capítulo 3, analizamos la suma y la resta de monomios; de manera similar, en el capítulo 4 - suma y resta de polinomios.
¿Qué pasó después en el capítulo 3? Luego hablamos de la multiplicación de monomios. Entonces, por analogía, ¿de qué deberíamos hablar ahora? Sobre la multiplicación de polinomios. Pero aquí tenemos que proceder lentamente: primero (en este párrafo) consideramos la multiplicación de un polinomio por monomio(o un monomio por un polinomio, no importa), y luego (en el siguiente párrafo) - la multiplicación de cualquier polinomio. Cuando aprendiste a multiplicar números en la escuela primaria, también actuaste gradualmente: primero aprendiste a multiplicar un número de varios dígitos por un número de un solo dígito y solo después multiplicaste un número de varios dígitos por un número de varios dígitos.
(a + b)c \u003d ac + bc.
Ejemplo 1 Realizar la multiplicación 2a 2 - Zab) (-5a).
Solución. Introduzcamos nuevas variables:
x \u003d 2a 2, y \u003d Zab, z \u003d - 5a.
Entonces este producto se reescribirá en la forma (x + y)z, que, según la ley de distribución, es igual a xr + yz. Ahora volvamos a las viejas variables:
xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a).
Solo nos queda encontrar productos de monomios. Obtenemos:
- 10a 3 + 15a 2b
Damos una breve notación de la solución (así la escribiremos en el futuro sin introducir nuevas variables):
(2a 2 - Zab) (- 5a) \u003d 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a) \u003d -10a 3 + 15a 2 b.
Ahora podemos formular la regla correspondiente para multiplicar un polinomio por un monomio.
La misma regla se aplica al multiplicar un monomio por un polinomio:
- 5a (2a 2 - Zab) \u003d (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) \u003d 10a 3 + 15a 2 b
(Tomamos el ejemplo 1, pero intercambiamos los factores).
Ejemplo 2 Exprese un polinomio como producto de un polinomio y un monomio si:
a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;
b) p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zu 2.
Solución.
a) Tenga en cuenta que 2x 2 y \u003d 2x xy, y 4a: \u003d 2x 2. Por lo tanto,
2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x
b) En el ejemplo a), logramos la composición de cada miembro del polinomio p 1 (x, y) \u003d 2x 2 y + 4a: seleccione la misma parte (el mismo factor) 2x. Aquí, no hay tal parte común. Esto significa que el polinomio p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zy 2 no se puede representar como un producto de un polinomio y un monomio.
De hecho, el polinomio p 2 (x, y) también se puede representar como un producto, por ejemplo, así:
x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) 0,5
o así:
x2 + 3y2 = (x2 + 3y2) 1
- el producto de un número por un polinomio, pero esta es una transformación artificial y no se usa sin una gran necesidad.
Por cierto, el requisito de representar un polinomio dado como producto de un monomio y un polinomio es bastante común en matemáticas, por lo que a este procedimiento se le ha dado un nombre especial: sacar el factor común entre paréntesis.
La tarea de sacar el factor común entre paréntesis puede ser correcta (como en el ejemplo 2a), o puede no ser del todo correcta (como en el ejemplo 26). En el próximo capítulo nos ocuparemos específicamente de este tema.
Al final de la sección, resolveremos problemas que mostrarán cómo, en la práctica, trabajar con modelos matemáticos situaciones reales, uno tiene que formar una suma algebraica de polinomios y multiplicar un polinomio por un monomio. Así que estudiamos estas operaciones no en vano.
Ejemplo 3 Los puntos A, B y C están ubicados en la carretera como se muestra en la Figura 3. La distancia entre A y B es de 16 km. Un peatón salió de B hacia C. 2 horas después, un ciclista salió de A hacia C, cuya velocidad es 6 km/h más rápida que la de un peatón. 4 horas después de su salida, el ciclista alcanzó al peatón en el punto C. ¿Cuál es la distancia de B a C?
Solución.
Primer paso. Elaboración de un modelo matemático. Sea x km/h la velocidad de un peatón, entonces (x + 6) km/h es la velocidad de un ciclista.
El ciclista recorrió la distancia de A a C en 4 horas, lo que significa que esta distancia está expresada por la fórmula 4 (x + 6) km; en otras palabras, AC = 4 (x + 6).
La distancia de B a C la recorrió el peatón en 6 horas (después de todo, antes de que el ciclista se fuera, ya llevaba 2 horas en la carretera), por lo tanto, esta distancia se expresa mediante la fórmula 6x km; en otras palabras, BC = 6x
Y ahora preste atención a la Figura 3: AC - BC = AB, es decir, AC - BC = 16. Esta es la base para compilar un modelo matemático del problema. Recuerda que AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; Como consecuencia,
4(x + 6) -6x = 16.
A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas.
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