Çarpanlara ayırmak için ifadeleri basitleştirmek gerekir. Daha da azaltılabilmesi için bu gereklidir. Bir polinomun genişlemesi, derecesi ikiden düşük olmadığında anlamlıdır. Birinci dereceye sahip bir polinom doğrusal olarak adlandırılır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Makale, ayrışmanın tüm kavramlarını kapsayacaktır, teorik temel ve bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri.
Teori
Teorem 1Derecesi n olan herhangi bir polinom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + şeklinde olduğunda. . . + a 1 x + a 0, en yüksek dereceli a n ve n doğrusal faktörlere sahip sabit faktörlü bir çarpım olarak temsil edilir (x - x i), i = 1, 2, ..., n, sonra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , burada x i, i = 1, 2, …, n polinomun kökleridir.
Teorem kökler içindir karmaşık tip x i, i = 1, 2, …, n ve karmaşık katsayılar için a k, k = 0, 1, 2, …, n. Bu, herhangi bir ayrışmanın temelidir.
a k, k = 0, 1, 2, …, n formundaki katsayılar gerçek sayılar olduğunda, karmaşık kökler eşlenik çiftlerde ortaya çıkacaktır. Örneğin, x 1 ve x 2 kökleri P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki bir polinomla ilişkilidir. . . + a 1 x + a 0 karmaşık eşlenik olarak kabul edilirse, diğer kökler gerçek olur ve bundan polinomun P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · formunu aldığını elde ederiz. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, burada x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Yorum
Bir polinomun kökleri tekrarlanabilir. Bezout teoreminin bir sonucu olan cebir teoreminin kanıtını ele alalım.
Cebirin temel teoremi
Teorem 2Derecesi n olan herhangi bir polinomun en az bir kökü vardır.
Bezout'un teoremi
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki bir polinomu böldükten sonra. . . + a 1 x + a 0 (x - s) üzerinde, sonra s noktasındaki polinoma eşit olan kalanı elde ederiz, sonra şunu elde ederiz:
P n x = bir n x n + bir n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , burada Q n - 1 (x), derecesi n - 1 olan bir polinomdur.
Bezout teoreminin sonucu
P n (x) polinomunun kökü s olarak kabul edilirse P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + olur. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Bu sonuç, çözümü tanımlamak için kullanıldığında yeterlidir.
İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma
a x 2 + b x + c biçimindeki bir kare trinomial, doğrusal faktörlere ayrılabilir. o zaman a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) sonucunu elde ederiz; burada x 1 ve x 2 köklerdir (karmaşık veya gerçek).
Bu, genişlemenin kendisinin ikinci dereceden denklemin daha sonra çözülmesine indirgendiğini gösterir.
örnek 1
Ayrıştırma gerçekleştirin ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre.
Çözüm
4 x 2 - 5 x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulmak gerekir. Bunu yapmak için, formülü kullanarak diskriminantın değerini bulmanız gerekir, ardından D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 elde ederiz. Buradan şunu anlıyoruz
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Bundan 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 sonucunu elde ederiz.
Kontrolü gerçekleştirmek için parantezleri açmanız gerekir. Daha sonra formun bir ifadesini elde ederiz:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Kontrol ettikten sonra orijinal ifadeye ulaşıyoruz. Yani ayrıştırmanın doğru yapıldığı sonucuna varabiliriz.
Örnek 2
3 x 2 - 7 x - 11 formundaki ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın.
Çözüm
Sonucu hesaplamamız gerektiğini anlıyoruz ikinci dereceden denklem 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 formundadır.
Kökleri bulmak için diskriminantın değerini belirlemeniz gerekir. Bunu anlıyoruz
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Bundan 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 sonucunu elde ederiz.
Örnek 3
2 x 2 + 1 polinomunu çarpanlarına ayırın.
Çözüm
Şimdi ikinci dereceden 2 x 2 + 1 = 0 denklemini çözüp köklerini bulmamız gerekiyor. Bunu anlıyoruz
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ben x 2 = - 1 2 = - 1 2 ben
Bu köklere karmaşık eşlenik denir; bu, genişlemenin kendisinin 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i olarak gösterilebileceği anlamına gelir.
Örnek 4
İkinci dereceden üç terimli x 2 + 1 3 x + 1'i ayrıştırın.
Çözüm
Öncelikle x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz ve köklerini bulmanız gerekir.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ben 2 = - 1 - 35 · ben 6 = - 1 6 - 35 6 · ben
Kökleri elde ettikten sonra yazıyoruz
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ben x - - 1 6 - 35 6 ben = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 ben
Yorum
Diskriminant değeri negatifse polinomlar ikinci dereceden polinomlar olarak kalacaktır. Bundan, onları doğrusal faktörlere genişletmeyeceğimiz sonucu çıkıyor.
Derecesi ikiden yüksek olan bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri
Ayrıştırırken evrensel bir yöntem varsayılır. Tüm vakaların çoğu Bezout teoreminin bir sonucuna dayanmaktadır. Bunu yapmak için, x 1 kökünün değerini seçmeniz ve derecesini bir polinomla 1'e bölerek (x - x 1)'e bölerek derecesini azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan polinomun x 2 kökünü bulması gerekir ve tam bir genişleme elde edene kadar arama süreci döngüseldir.
Kök bulunamazsa, diğer çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılır: gruplama, ek terimler. Bu konu, daha yüksek kuvvetlere ve tam sayı katsayılarına sahip denklemlerin çözülmesini içerir.
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak
Serbest terimin sıfıra eşit olduğu durumu düşünün, bu durumda polinomun formu P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + olur. . . + bir 1 x .
Böyle bir polinomun kökünün x 1 = 0'a eşit olacağı görülebilir, bu durumda polinom P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ifadesi olarak temsil edilebilir. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Bu yöntemin ortak çarpanı parantez dışına çıkardığı kabul edilir.
Örnek 5
Üçüncü dereceden polinomu 4 x 3 + 8 x 2 - x'e ayırın.
Çözüm
x 1 = 0'ın verilen polinomun kökü olduğunu görüyoruz, sonra x'i tüm ifadenin parantezlerinden çıkarabiliriz. Şunu elde ederiz:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Şimdi 4 x 2 + 8 x - 1 kare trinomialinin köklerini bulmaya geçelim. Ayırt ediciyi ve kökleri bulalım:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Sonra şu oluyor
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Başlangıç olarak, P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki tamsayı katsayılarını içeren bir ayrıştırma yöntemini ele alalım. . . + a 1 x + a 0, burada en yüksek derecenin katsayısı 1'dir.
Bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleri olarak kabul edilir.
Örnek 6
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 ifadesini ayrıştırın.
Çözüm
Tam köklerin olup olmadığını düşünelim. - 18 sayısının bölenlerini yazmak gerekir. Bunu ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 olarak alıyoruz. Bu polinomun tamsayı kökleri olduğu sonucu çıkar. Horner'ın şemasını kullanarak kontrol edebilirsiniz. Çok kullanışlıdır ve bir polinomun genişleme katsayılarını hızlı bir şekilde elde etmenizi sağlar:
Bundan, x = 2 ve x = - 3'ün orijinal polinomun kökleri olduğu sonucu çıkar ve bu, formun bir çarpımı olarak temsil edilebilir:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
x 2 + 2 x + 3 formundaki ikinci dereceden üç terimliyi genişletmeye devam ediyoruz.
Diskriminantın negatif olması gerçek köklerin olmadığı anlamına gelir.
Cevap: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Yorum
Horner şeması yerine kök seçiminin ve bir polinomun polinomla bölünmesinin kullanılmasına izin verilir. P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki tamsayı katsayılarını içeren bir polinomun genişletilmesini dikkate almaya devam edelim. . . + a 1 x + a 0 , en büyüğü bire eşittir.
Bu durum rasyonel kesirler için geçerlidir.
Örnek 7
f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15'i çarpanlarına ayırın.
Çözüm
y = 2x değişkenini değiştirmek gerekiyor, katsayıları en yüksek derecede 1 olan bir polinoma geçmelisiniz. İfadeyi 4 ile çarparak başlamanız gerekir. Bunu anlıyoruz
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formunda elde edilen fonksiyon tamsayı köklere sahip olduğunda, bunların konumu serbest terimin bölenleri arasındadır. Giriş şöyle görünecek:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Sonuç olarak sıfır elde etmek için bu noktalarda g(y) fonksiyonunu hesaplamaya geçelim. Bunu anlıyoruz
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 gr (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 gr (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 gr (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
y = - 5'in, y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formundaki bir denklemin kökü olduğunu bulduk; bu, x = y 2 = - 5 2'nin orijinal fonksiyonun kökü olduğu anlamına gelir.
Örnek 8
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sütununu x + 5 2'ye bölmek gerekir.
Çözüm
Bunu yazalım ve elde edelim:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Bölenleri kontrol etmek çok zaman alacaktır, bu nedenle ortaya çıkan ikinci dereceden üç terimliyi x 2 + 7 x + 3 biçiminde çarpanlara ayırmak daha karlı olur. Sıfıra eşitleyerek diskriminantı buluruz.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Şunu takip ediyor
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Bir polinomun çarpanlarına ayrılması için yapay teknikler
Rasyonel kökler tüm polinomların doğasında yoktur. Bunu yapmak için faktörleri bulmak için özel yöntemler kullanmanız gerekir. Ancak tüm polinomlar genişletilemez veya bir çarpım olarak temsil edilemez.
Gruplama yöntemi
Ortak bir faktör bulmak ve onu parantezlerin dışına çıkarmak için bir polinomun terimlerini gruplandırabileceğiniz durumlar vardır.
Örnek 9
Polinom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2'yi çarpanlarına ayırın.
Çözüm
Katsayılar tam sayı olduğundan köklerin de tam sayı olabileceği düşünülebilir. Kontrol etmek için bu noktalardaki polinomun değerini hesaplamak için 1, - 1, 2 ve - 2 değerlerini alın. Bunu anlıyoruz
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Bu da köklerin olmadığını, başka bir genişletme ve çözüm yönteminin kullanılması gerektiğini gösterir.
Gruplandırmak gereklidir:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Orijinal polinomu grupladıktan sonra, onu iki kare üç terimlinin çarpımı olarak temsil etmeniz gerekir. Bunu yapmak için çarpanlara ayırmamız gerekir. bunu anladık
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Yorum
Gruplandırmanın basitliği, terim seçiminin yeterince kolay olduğu anlamına gelmez. Belirli bir çözüm yöntemi bulunmadığından özel teorem ve kuralların kullanılması gerekmektedir.
Örnek 10
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.
Çözüm
Verilen polinomun tam sayı kökleri yoktur. Terimler gruplandırılmalıdır. Bunu anlıyoruz
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Çarpanlara ayırdıktan sonra şunu elde ederiz
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Bir polinomu çarpanlara ayırmak için kısaltılmış çarpma formüllerini ve Newton binomunu kullanma
Görünüm çoğu zaman ayrıştırma sırasında hangi yöntemin kullanılması gerektiğini her zaman netleştirmez. Dönüşümler yapıldıktan sonra Pascal üçgeninden oluşan bir çizgi oluşturabilirsiniz, aksi takdirde bunlara Newton binom adı verilir.
Örnek 11
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.
Çözüm
İfadeyi forma dönüştürmek gerekir
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Parantez içindeki toplamın katsayılarının sırası x + 1 4 ifadesiyle gösterilir.
Bu, x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3'e sahip olduğumuz anlamına gelir.
Kareler farkını uyguladıktan sonra şunu elde ederiz:
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
İkinci parantez içindeki ifadeyi düşünün. Orada atların olmadığı açık, bu yüzden kareler farkı formülünü tekrar uygulamamız gerekiyor. Formun bir ifadesini alıyoruz
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Örnek 12
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6'yı çarpanlarına ayırın.
Çözüm
İfadeyi dönüştürmeye başlayalım. Bunu anlıyoruz
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Küpler farkının kısaltılmış çarpımı için formülün uygulanması gerekir. Şunu elde ederiz:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Bir polinomu çarpanlara ayırırken bir değişkeni değiştirme yöntemi
Bir değişkeni değiştirirken derece azaltılır ve polinom çarpanlara ayrılır.
Örnek 13
x 6 + 5 x 3 + 6 formunun polinomunu çarpanlarına ayırın.
Çözüm
Koşula göre y = x 3 yerine koymanın gerekli olduğu açıktır. Şunu elde ederiz:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin kökleri y = - 2 ve y = - 3'tür, o zaman
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Küp toplamının kısaltılmış çarpımı için formülün uygulanması gerekir. Formun ifadelerini alıyoruz:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Yani istenilen ayrıştırmayı elde ettik.
Yukarıda tartışılan durumlar, bir polinomun farklı şekillerde dikkate alınmasına ve çarpanlara ayrılmasına yardımcı olacaktır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Şuna bakalım spesifik örnekler Bir polinomun çarpanlarına nasıl ayrılacağı.
Polinomları buna göre genişleteceğiz.
Faktör polinomları:
Ortak bir faktör olup olmadığını kontrol edelim. evet, 7cd'ye eşittir. Parantez içinden çıkaralım:
Parantez içindeki ifade iki terimden oluşmaktadır. Artık ortak bir çarpan yok, ifade küplerin toplamına ilişkin bir formül değil, bu da ayrıştırmanın tamamlandığı anlamına geliyor.
Ortak bir faktör olup olmadığını kontrol edelim. HAYIR. Polinom üç terimden oluşur, dolayısıyla tam kare için bir formül olup olmadığını kontrol ederiz. 25x²=(5x)², 9y²=(3y)² ifadelerinin kareleri iki terimdir, üçüncü terim ise bu ifadelerin çift çarpımına eşittir: 2∙5x∙3y=30xy. Bu, bu polinomun olduğu anlamına gelir mükemmel kare. Çift çarpımın eksi işareti olduğundan:
Ortak faktörü parantezlerden çıkarmanın mümkün olup olmadığını kontrol ediyoruz. Ortak bir faktör var, a'ya eşit. Parantez içinden çıkaralım:
Parantez içinde iki terim var. Kareler farkı veya küpler farkı formülü var mı diye kontrol ediyoruz. a² a'nın karesidir, 1=1². Bu, parantez içindeki ifadenin kareler farkı formülü kullanılarak yazılabileceği anlamına gelir:
Ortak bir çarpan var, 5’e eşit. Parantez içinden çıkaralım:
parantez içinde üç terim vardır. İfadenin tam kare olup olmadığını kontrol ediyoruz. İki terim karedir: 16=4² ve a² - a'nın karesi, üçüncü terim 4 ve a'nın çift çarpımına eşittir: 2∙4∙a=8a. Bu nedenle tam karedir. Tüm terimler “+” işaretine sahip olduğundan parantez içindeki ifade toplamın tam karesidir:
Genel çarpan -2x'i parantezlerden çıkarıyoruz:
Parantez içindeki iki terimin toplamıdır. Bu ifadenin küp toplamı olup olmadığını kontrol ediyoruz. 64=4³, x³-küp x. Bu, binomun aşağıdaki formül kullanılarak genişletilebileceği anlamına gelir:
Ortak bir çarpan var. Ancak polinom 4 terimden oluştuğu için önce ve ancak o zaman ortak çarpanı parantezlerden çıkaracağız. Birinci terimi dördüncüyle, ikinciyi üçüncüyle gruplayalım:
İlk parantezden 4a ortak faktörünü, ikinci - 8b'den çıkarıyoruz:
Henüz ortak bir çarpan yok. Bunu elde etmek için ikinci parantezlerden "-" işaretini çıkarırız ve parantez içindeki her işaret tersine değişir:
Şimdi ortak çarpanı (1-3a) parantezlerden çıkaralım:
İkinci parantez içinde ortak bir faktör 4 vardır (bu, örneğin başında parantezlerin dışında bırakmadığımız faktörün aynısıdır):
Polinom dört terimden oluştuğu için gruplama yapıyoruz. Birinci terimi ikinciyle, üçüncüyü dördüncüyle gruplayalım:
İlk parantez içinde ortak faktör yoktur, ancak kareler farkı için bir formül vardır, ikinci parantez içinde ortak faktör -5'tir:
Ortak bir çarpan ortaya çıktı (4m-3n). Bunu denklemden çıkaralım.
Cevrimici hesap makinesi.
Bir binomun karesini yalnız bırakmak ve bir kare trinomiyi çarpanlarına ayırmak.
Bu matematik programı kare binom'u kare trinomiyalden ayırır yani şöyle bir dönüşüm yapar: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) ve ikinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırır: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Onlar. problemler \(p, q\) ve \(n, m\) sayılarını bulmaktan ibarettir
Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de gösteriyor.
Bu program ortaöğretim kurumlarındaki lise öğrencileri için hazırlık aşamasında faydalı olabilir. testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.
Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.
İkinci dereceden bir trinomiye girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.
İkinci dereceden polinom girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.
Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Üstelik kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil aynı zamanda sıradan kesir biçiminde de girilebilir.
Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılarşu şekilde: 2,5x - 3,5x^2
Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Girerken sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)
Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, çözerken tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Ayrıntılı çözüm örneği
Bir binomun karesini ayırma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \sağ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizasyon.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\sol(x^2+x-2 \sağ) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \sağ) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:
Küçük bir teori.
Bir binomun karesini bir kare trinomiyalden ayırma
Eğer kare trinomial ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q olarak temsil ediliyorsa, burada p ve q gerçel sayılardır, o zaman şunu söyleriz: kare trinomial, binomun karesi vurgulanır.
Üç terimli 2x 2 +12x+14'ten binomun karesini çıkarıyoruz.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Bunu yapmak için, 6x'in 2*3*x'in çarpımı olduğunu hayal edin ve ardından 3 2'yi ekleyip çıkarın. Şunu elde ederiz:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
O. Biz kare binomunu kare trinomialden çıkarmak ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma
Eğer kare trinomiyal ax 2 +bx+c, n ve m'nin gerçel sayılar olduğu a(x+n)(x+m) formunda temsil ediliyorsa, bu durumda işlemin gerçekleştirildiği söylenir. ikinci dereceden bir üç terimlinin çarpanlara ayrılması.
Bu dönüşümün nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.
İkinci dereceden trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlarına ayıralım.
a katsayısını parantezlerden çıkaralım; 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim.
Bunu yapmak için 2x'i 3x-1x farkı, -3'ü -1*3 farkı olarak hayal edin. Şunu elde ederiz:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
O. Biz İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırdı ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırmanın yalnızca bu üç terimliye karşılık gelen ikinci dereceden denklemin kökleri olması durumunda mümkün olduğunu unutmayın.
Onlar. bizim durumumuzda, ikinci dereceden 2x 2 +4x-6 =0 denkleminin kökleri varsa, trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlara ayırmak mümkündür. Çarpanlara ayırma sürecinde 2x 2 + 4x-6 = 0 denkleminin 1 ve -3 olmak üzere iki kökü olduğunu tespit ettik, çünkü bu değerlerle 2(x-1)(x+3)=0 denklemi gerçek eşitliğe dönüşür.
Çarpanlarına ayırma polinomlarına 8 örnek verilmiştir. İkinci dereceden ve iki ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini, karşılıklı polinom örneklerini ve üçüncü ve dördüncü derece polinomların tamsayı köklerini bulma örneklerini içerir.
1. İkinci dereceden denklem çözme örnekleri
Örnek 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Çözüm
x'i çıkarıyoruz 2
parantezlerin dışında:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Denklemin kökleri:
, .
.
Cevap
Örnek 1.2
Üçüncü derece polinomu çarpanlarına ayırın:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Çözüm
X'i parantezden çıkaralım:
.
İkinci dereceden denklem x'in çözümü 2 + 6 x + 9 = 0:
Ayırt edicisi: .
Diskriminant sıfır olduğundan denklemin kökleri katlardır: ;
.
Bundan polinomun çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.
Cevap
Örnek 1.3
Beşinci derece polinomu çarpanlarına ayırın:
X 5 - 2x4 + 10x3.
Çözüm
x'i çıkarıyoruz 3
parantezlerin dışında:
.
İkinci dereceden denklem x'in çözümü 2 - 2 x + 10 = 0.
Ayırt edicisi: .
Diskriminant sıfırdan küçük olduğundan denklemin kökleri karmaşıktır: ;
, .
Polinomun çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
Gerçek katsayılarla çarpanlara ayırmayla ilgileniyorsak, o zaman:
.
Cevap
Formülleri kullanarak polinomları çarpanlara ayırma örnekleri
Biquadratic polinomlara örnekler
Örnek 2.1
Biquadratic polinomu çarpanlarına ayırın:
X 4 + x 2 - 20.
Çözüm
Formülleri uygulayalım:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Cevap
Örnek 2.2
Biquadratic'e indirgenen polinomu çarpanlarına ayırın:
X 8 + x 4 + 1.
Çözüm
Formülleri uygulayalım:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Cevap
Tekrarlayan polinom ile Örnek 2.3
Karşılıklı polinomu çarpanlarına ayırın:
.
Çözüm
Karşılıklı bir polinomun derecesi tektir. Bu nedenle kökü x = -'dir. 1
. Polinomu x'e bölün - (-1) = x + 1. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Bir değişiklik yapalım:
, ;
;
;
.
Cevap
Tamsayı kökleri olan polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri
Örnek 3.1
Polinomu çarpanlara ayırın:
.
Çözüm
Diyelim ki denklem
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Böylece üç kök bulduk:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Orijinal polinom üçüncü dereceden olduğundan üçten fazla kökü yoktur. Üç kök bulduğumuza göre bunlar basit. Daha sonra
.
Cevap
Örnek 3.2
Polinomu çarpanlara ayırın:
.
Çözüm
Diyelim ki denklem
en az bir tane var bütün kök. O halde bu sayının böleni 2
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
-2, -1, 1, 2
.
Bu değerleri tek tek değiştiriyoruz:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur 2
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2
.
x = yerine koyalım -1
:
.
Yani başka bir x kökü bulduk 2
= -1
. Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız:
.
Denklemden beri x 2 + 2 = 0 reel kökleri yoksa, polinomun çarpanlara ayrılması şu şekilde olur.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
