Güçleri toplama ve çıkarma

Açıktır ki, diğer miktarlar gibi güçlü sayılar eklenebilir işaretleriyle tek tek ekleyerek.

Yani, a 3 ve b 2'nin toplamı 3 + b 2'dir.
3 - b n ve h 5-d 4'ün toplamı 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

Oranlar eşit derecelerde özdeş değişkenler eklenebilir veya çıkarılabilir.

Dolayısıyla, 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'dir.

Ayrıca iki kare a veya üç kare a veya beş kare a alırsanız da açıktır.

Ama dereceler farklı değişkenler ve değişen dereceler özdeş değişkenlerişaretleriyle eklenerek eklenmelidir.

Yani, 2 ve 3'ün toplamı, 2 + a 3'ün toplamıdır.

A'nın karesinin ve a'nın küpünün a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.

3 b n ve 3a 5 b 6'nın toplamı, 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma Dereceler, toplamayla aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkarılan işaretlerin buna göre değiştirilmesi gerekir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6

Derecelerin çarpımı

Kuvvetlere sahip sayılar, diğer nicelikler gibi, aralarında çarpma işareti olsun veya olmasın arka arkaya yazılarak çoğaltılabilir.

Yani, 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu 3 b 2 veya aaabb olur.

Veya:
x -3 ⋅ bir m \u003d bir m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
bir 2 b 3 y 2 ⋅ bir 3 b 2 y \u003d bir 2 b 3 y 2 bir 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç, aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu biçimi alacaktır: a 5 b 5 y 3.

Birkaç sayıyı (değişkenleri) üslerle karşılaştırarak, eğer bunlardan ikisi çarpılırsa, sonucun gücüne eşit bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. toplam dereceler.

Yani, a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

Burada 5, terimlerin güçlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşit çarpma sonucunun gücüdür.

Yani, a n .a m \u003d a m + n.

Bir n için a, n'nin kuvveti kadar çarpan olarak alınır;

Ve bir m, m'nin kuvveti kadar çarpan olarak alınır;

Bu nedenle, aynı gövdeli dereceler üsler eklenerek çarpılabilir.

Yani, bir 2, a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. Ve x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

Veya:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1

(X 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y 4.
(X 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ile çarpın.

Bu kural, üsleri - olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz.

1. Yani, bir -2 .a -3 \u003d a -5. Bu, (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa şeklinde yazılabilir.

2.y -n .y -m \u003d y -n-m.

3. a-n .a m \u003d bir m-n.

A + b, a - b ile çarpılırsa, sonuç 2 - b 2 olur: yani

İki sayının toplamını veya farkını çarpmanın sonucu, karelerinin toplamına veya farkına eşittir.

İki sayının toplamı ve farkı meydansonuç, bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani, (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(bir 2 - y 2) ⋅ (bir 2 + y 2) \u003d bir 4 - y 4.
(bir 4 - y 4) ⋅ (bir 4 + y 4) \u003d bir 8 - y 8.

Derece bölümü

Kuvvet sayıları, diğer sayılar gibi, bölenlerden çıkararak veya kesirli biçimde yerleştirilerek bölünebilir.

Yani a 3 b 2 bölü b 2, 3'e eşittir.

3'e bölünen 5, $ \\ frac gibi görünür $. Ancak bu 2'ye eşittir. Bir dizi numarayla
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
herhangi bir sayı başka bir sayıya bölünebilir ve üs eşittir fark bölünebilir sayıların üsleri.

Dereceleri aynı tabana böldüğünde göstergeleri çıkarılır..

Yani, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Yani, $ \\ frac \u003d y $.

Ve bir n + 1: a \u003d bir n + 1-1 \u003d bir n. Yani, $ \\ frac \u003d a ^ n $.

Veya:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3

Kural aynı zamanda sayılar için de geçerlidir. olumsuz derece değerleri.
A -5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $ \\ frac: \\ frac \u003d \\ frac. \\ Frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac $.

h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 veya $ h ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. \\ frac \u003d h ^ 3 $

Kuvvetlerin çarpılması ve bölünmesinde çok iyi ustalaşmak gerekir, çünkü bu tür işlemler cebirde çok yaygın olarak kullanılmaktadır.

Kuvvetli sayılar içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. $ \\ frac $ içinde üsleri azaltın. Cevap: $ \\ frac $.

2. Üsleri $ \\ frac $ cinsinden azaltın. Cevap: $ \\ frac $ veya 2x.

3. a 2 / a 3 ve a -3 / a -4 üslerini azaltın ve ortak paydaya getirin.
a 2. a -4, bir -2 birinci paydır.
a 3. a -3 bir 0 \u003d 1, ikinci pay.
a 3. a -4 ortak pay olan -1'dir.
Basitleştirmeden sonra: a -2 / a -1 ve 1 / a -1.

4. 2a 4 / 5a 3 ve 2 / a 4 üslerini azaltın ve ortak paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 / 5a 7 ve 5a 5 / 5a 7 veya 2a 3 / 5a 2 ve 5 / 5a 2.

5. (a 3 + b) / b 4'ü (a - b) / 3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1) / x 2'yi (b 2 - 1) / (x + a) ile çarpın.

7. b 4 / a -2'yi h -3 / x ve a n / y -3 ile çarpın.

8. 4 / y 3'ü 3 / y 2'ye bölün. Cevap: a / y.

Derece özellikleri

Size bu dersin anladığını hatırlatırız güç özellikleri doğal göstergeler ve sıfır. Rasyonel göstergelere sahip dereceler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde tartışılacaktır.

Doğal bir üs, üs örneklerinde hesaplamayı kolaylaştıran birkaç önemli özelliğe sahiptir.

Emlak numarası 1
Derecelerin çarpımı

Dereceleri aynı tabanlarla çarparken, taban değişmeden kalır ve üsler eklenir.

a m · a n \u003d a m + n, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Derecelerin bu özelliği aynı zamanda üç veya daha fazla derecenin çarpımını da etkiler.

• Ifadeyi basitleştir.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
• Derece olarak sunun.
  6 15 36 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 17
• Derece olarak sunun.
  (0.8) 3 (0.8) 12 \u003d (0.8) 3 + 12 \u003d (0.8) 15

Unutmayın ki, belirtilen özellikte sadece güçlerin aynı tabanlar ile çarpımı ile ilgilidir. ... Eklemeleri için geçerli değildir.

Toplamı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılabilir eğer
sayma (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36 ve 3 5 \u003d 243

Emlak numarası 2
Özel dereceler

Dereceleri aynı tabanlarla bölerken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü, temettü üssünden çıkarılır.

• Bölümü derece olarak yazın
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5-3 \u003d (2b) 2
• Hesaplamak.

11 3 - 2 4 2-1 \u003d 11 4 \u003d 44
Misal. Denklemi çözün. Özel derecelerin özelliğini kullanıyoruz.
3 8: t \u003d 3 4

Cevap: t \u003d 3 4 \u003d 81

1 ve 2 numaralı özellikleri kullanarak, ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.

Misal. Ifadeyi basitleştir.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5

Misal. Derecenin özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Özellik 2'nin yalnızca dereceleri aynı tabanlarla bölmekle ilgili olduğuna dikkat edin.

Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. (4 3 −4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48 ve 4 1 \u003d 4 hesaplarsak bu anlaşılabilir bir durumdur.

Emlak numarası 3
Üs alma

Dereceyi bir kuvvete yükseltirken, derecenin tabanı değişmeden kalır ve üsler çarpılır.

(a n) m \u003d a n · m, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Bölümün kesir olarak temsil edilebileceğini hatırlatırız. Bu nedenle, bir sonraki sayfada bir kesiri bir güce yükseltme konusunu daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Dereceler nasıl çarpılır

Dereceler nasıl çarpılır? Hangi dereceler çarpılabilir ve hangileri olamaz? Sayı ile derece nasıl çarpılır?

Cebirde, derecelerin çarpımı iki durumda bulunabilir:

1) dereceler aynı temellere sahipse;

2) dereceler aynı göstergelere sahipse.

Dereceleri aynı bazlarla çarparken, taban aynı bırakılmalı ve göstergeler eklenmelidir:

Dereceleri aynı göstergelerle çarparken, toplam gösterge parantezlerden çıkarılabilir:

Belirli örnekler kullanarak derecelerin nasıl çarpılacağını düşünelim.

Üstteki birim yazılmaz, ancak dereceler çarpıldığında aşağıdakileri dikkate alırlar:

Çarparken, derece sayısı herhangi biri olabilir. Harften önce çarpma işaretini yazmanıza gerek olmadığı unutulmamalıdır:

İfadelerde önce üs alma gerçekleştirilir.

Bir sayıyı bir üsle çarpmanız gerekiyorsa, önce üssü, sonra da çarpmayı gerçekleştirmelisiniz:

Derecelerin aynı tabanlar ile çarpımı

Bu eğitim videosu abonelikle mevcuttur

Zaten bir aboneliğiniz var mı? İçeri gel

Bu derste, derecelerin çarpımını aynı temellerle inceleyeceğiz. İlk olarak, derecenin tanımını hatırlayın ve eşitliğin geçerliliği üzerine bir teorem formüle edin ... Daha sonra belirli sayılara uygulanmasına ilişkin örnekler verir ve bunu kanıtlarız. Ayrıca çeşitli problemleri çözmek için teoremi uygulayacağız.

Konu: Doğal göstergeli derece ve özellikleri

Ders: Dereceleri aynı tabana (formül) sahip çarpma

1. Temel tanımlar

Temel tanımlar:

n - üs,

— n-bir sayının üssü.

2. Teorem İfadesi 1

Teorem 1. Herhangi bir numara için ve ve herhangi bir doğal n ve k eşitlik doğrudur:

Farklı olarak: eğer ve - herhangi bir numara; n ve k doğal sayılar, sonra:

Dolayısıyla kural 1:

3. Açıklayıcı görevler

Çıktı: belirli durumlar Teorem No. 1'in doğruluğunu onaylamıştır. Bunu genel durumda, yani herhangi biri için kanıtlıyoruz ve ve herhangi bir doğal n ve k.

4. Teoremin Kanıtı 1

Bir sayı verildi ve - hiç; sayılar n ve k - doğal. Kanıtlamak:

Kanıt, derecenin tanımına dayanmaktadır.

5. Teorem 1 kullanarak örneklerin çözümü

Örnek 1: Derece olarak sunun.

Aşağıdaki örnekleri çözmek için Teorem 1'i kullanıyoruz.

g)

6. Teorem 1'in Genelleştirilmesi

İşte kullanılan bir genelleme:

7. Teorem 1 genellemesini kullanarak örneklerin çözümü

8. Teoremi kullanarak çeşitli problemleri çözme 1

Örnek 2: Hesapla (temel dereceler tablosunu kullanabilirsiniz).

ve) (tabloya göre)

b)

Örnek 3: 2. tabanı ile bir güç olarak yazın.

ve)

Örnek 4: Numaranın işaretini belirleyin:

, ve - negatif, çünkü -13'teki üs tuhaf.

Örnek 5: () Bir tabanın kuvvetiyle değiştirin r:

Biz var, yani.

9. Özetleme

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 7. 6. baskı. M .: Eğitim. 2010

1. Okul Asistanı (Kaynak).

1. Derece olarak sunun:

a B C D E)

3. 2. tabanı ile bir güç olarak yazın:

4. Numaranın işaretini belirleyin:

ve)

5. (·) taban sayısının üssü ile değiştirin r:

a) r 4 · (·) \u003d r 15; b) () r 5 \u003d r 6

Aynı üslerle dereceleri çarpma ve bölme

Bu derste, dereceleri aynı üs ile nasıl çarpacağımızı öğreneceğiz. İlk olarak, aynı temellerle çarpma ve kuvvetler bölme ve bir iktidarı bir güce yükseltmeyle ilgili temel tanım ve teoremleri hatırlayın. Daha sonra, aynı üslerle derecelerin çarpımı ve bölünmesi üzerine teoremler formüle ediyor ve kanıtlıyoruz. Ve sonra onların yardımıyla bir dizi tipik sorunu çözeceğiz.

Temel tanım ve teoremlerin hatırlatıcısı

Buraya a - derecenin tabanı,

— n-bir sayının üssü.

Teorem 1. Herhangi bir numara için ve ve herhangi bir doğal n ve k eşitlik doğrudur:

Dereceleri aynı bazlarla çarparken, göstergeler eklenir, taban değişmeden kalır.

Teorem 2. Herhangi bir numara için ve ve herhangi bir doğal n ve k, öyle ki n > k eşitlik doğrudur:

Dereceleri aynı bazlarla bölerken göstergeler çıkarılır ve taban değişmeden kalır.

Teorem 3. Herhangi bir numara için ve ve herhangi bir doğal n ve k eşitlik doğrudur:

Tüm bu teoremler yaklaşık olarak aynı derecelerdi gerekçesiyle, bu ders aynı dereceleri dikkate alacak göstergeler.

Aynı göstergelerle derece çarpma örnekleri

Aşağıdaki örnekleri düşünün:

Dereceyi belirlemek için ifadeleri yazalım.

Çıktı: örneklerden bunu görebilirsiniz , ancak yine de kanıtlanması gerekiyor. Bir teoremi formüle edelim ve bunu genel durumda, yani herhangi biri için kanıtlayalım. ve ve b ve herhangi bir doğal n.

Teorem 4'ün formülasyonu ve kanıtı

Herhangi bir numara için ve ve b ve herhangi bir doğal n eşitlik doğrudur:

Kanıt Teorem 4 .

Derecenin tanımına göre:

Yani bunu kanıtladık .

Dereceleri aynı göstergelerle çarpmak için, tabanları çarpmak ve üssü değiştirmeden bırakmak yeterlidir.

Teorem 5'in formülasyonu ve kanıtı

Dereceleri aynı üslerle bölmek için bir teorem formüle edelim.

Herhangi bir numara için ve ve b () ve herhangi bir doğal n eşitlik doğrudur:

Kanıt Teorem 5 .

Derecenin tanımına göre yazalım:

Teoremleri Kelimelerle Formüle Etmek

Biz de bunu kanıtladık.

Aynı göstergelere sahip dereceleri birbirine bölmek için, bir tabanı diğerine bölmek ve üssü değiştirmeden bırakmak yeterlidir.

Teorem 4'ü kullanarak tipik problemleri çözme

Örnek 1: Derecelerin bir ürünü olarak sunulur.

Aşağıdaki örnekleri çözmek için Teorem 4'ü kullanıyoruz.

Aşağıdaki örneği çözmek için formülleri hatırlayın:

Teorem 4'ün Genelleştirilmesi

Teorem 4'ün Genelleştirilmesi:

Genelleştirilmiş teorem 4 kullanarak örneklerin çözümü

Tipik görevleri çözmenin devamı

Örnek 2: Çalışmanın derecesi olarak yazın.

Örnek 3: Bunu üssü 2 olan bir kuvvet olarak yazın.

Hesaplama örnekleri

Örnek 4: En rasyonel şekilde hesaplayın.

2. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Cebir 7.M .: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.Ye. ve diğerleri Cebir 7. M .: Eğitim. 2006 yıl

2. Okul Asistanı (Kaynak).

1. Derecelerin bir ürünü olarak sunun:

ve) ; b); içinde) ; d);

2. Bir çalışma derecesi biçiminde yazın:

3. Üssü 2 olan bir üs olarak yazın:

4. En rasyonel şekilde hesaplayın.

"Derecelerin çarpılması ve bölünmesi" konulu matematik dersi

Bölümler: Matematik

Pedagojik amaç:

öğrenci öğrenecek doğal bir üs ile çarpma ve derece bölme özelliklerini ayırt edin; aynı gerekçelerle bu özellikleri uygulayın;

öğrenci fırsat bulacak Farklı temellerde derece dönüşümleri gerçekleştirebilir ve birleşik görevlerde dönüşüm gerçekleştirebilir.

Görevler:

önceden çalışılmış materyali tekrarlayarak öğrencilerin çalışmalarını düzenlemek;

çeşitli türlerde egzersizler yaparak üreme düzeyini sağlamak;

sınav yoluyla öğrencilerin öz değerlendirmelerini organize edin.

Öğretim faaliyet birimleri: derecenin doğal bir gösterge ile belirlenmesi; derece bileşenleri; özelin tanımı; birleşik çarpma yasası.

I. Mevcut bilgiye sahip öğrenciler tarafından ustalık gösteriminin organizasyonu. (Aşama 1)

a) Bilginin güncellenmesi:

2) Derecenin tanımını doğal bir gösterge ile formüle edin.

a n \u003d a a a a ... a (n kez)

b k \u003d b b b b a… b (k kez) Cevabı doğrulayın.

II. Gerçek deneyimdeki ustalık derecesine göre öğrenci öz değerlendirme organizasyonu. (Adım 2)

Kendi kendine kontrol testi: (iki versiyonda bireysel çalışma.)

A1) 7 7 7 7 x x x ürününü bir güç olarak sunun:

A2) (-3) 3 x 2 derecesini ürün olarak sunun

A3) Hesaplayın: -2 3 2 + 4 5 3

Sınıf seviyesinin hazırlanmasına göre seçtiğim sınavdaki görev sayısı.

Kendi kendine test için anahtarı teste veriyorum. Kriterler: test - test değil.

III. Eğitici ve pratik görev (3. adım) + 4. adım (öğrencilerin kendileri özellikleri formüle edecekler)

hesapla: 2 2 2 3 \u003d? 3 3 3 2 3 \u003d?

Basitleştirin: a 2 a 20 \u003d? b 30 b 10 b 15 \u003d?

1) ve 2) problemlerini çözme dersinde öğrenciler bir çözüm önerirler ve ben bir öğretmen olarak sınıfı aynı temellerle çarparken dereceleri basitleştirmenin bir yolunu bulmak için organize ederim.

Öğretmen: Aynı temellerle çarparken dereceleri basitleştirmenin bir yolunu bulun.

Kümede bir giriş belirir:

Dersin konusu formüle edilir. Derecelerin çarpımı.

Öğretmen: Dereceleri aynı temellere göre bölmek için bir kural bulun.

Muhakeme: Bölünme hangi eylemle kontrol edilir? a 5: a 3 \u003d? ne 2 a 3 \u003d a 5

Diyagrama geri dönüyorum - bir küme ve kaydı tamamlıyoruz - .. böldüğümde, dersin konusunu çıkarıyor ve ekliyoruz. ... ve derecelerin bölünmesi.

IV. Öğrencilere bilginin sınırlarını anlatmak (en azından ve maksimum olarak).

Öğretmen: Bugünün dersi için asgarinin görevi, derecelerin çarpma ve bölme özelliklerini aynı temellerle ve maksimum: çarpma ve bölmeyi birlikte uygulamayı öğrenmektir.

Tahtaya yaz : bir m bir n \u003d bir m + n; bir m: bir n \u003d bir m-n

V. Yeni materyal çalışmasının organizasyonu. (Adım 5)

a) Ders kitabına göre: 403 numaralı (a, c, e) farklı formülasyonlarla görevler

No. 404 (a, e, f) bağımsız çalışma, sonra karşılıklı bir kontrol organize edeceğim, anahtarları vereceğim.

b) Hangi m değeri için eşitlik doğrudur? bir 16, bir m \u003d bir 32; x h x 14 \u003d x 28; x 8 (*) \u003d x 14

Ödev: bölme için benzer örnekler bulun.

c) No. 417 (a), No. 418 (a) Öğrenci tuzakları: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 \u003d 9 6; bir 16: bir 8 \u003d bir 2.

Vi. Öğrenilenlerin genelleştirilmesi, teşhis çalışması yürütme (bu, bir öğretmeni değil, öğrencileri bu konuyu çalışmaya teşvik eder) (6. adım)

Teşhis çalışması.

Ölçek (anahtarları testin arkasına yerleştirin).

Ödev seçenekleri: bölümü x 15: x 3 derece olarak sunun; çarpımı güç (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 olarak temsil eder; bunun için m eşitliği a 16 ve m \u003d a 32 doğrudur; h 0: h 2 ifadesinin değerini h \u003d 0.2'de bulun; ifadenin değerini hesaplayın (5 2 5 0): 5 2.

Ders özeti. Yansıma. Sınıfı iki gruba ayırıyorum.

I grup argümanları bulun: derecenin özelliklerini bilmek lehine ve grup II - özellikler olmadan yapabileceğinizi söyleyen argümanlar. Tüm cevapları dinliyoruz, sonuç çıkarıyoruz. Sonraki derslerde istatistiksel veriler sunabilir ve başlığa "Kafam uymuyor!" Diyebilirsiniz.

Ortalama bir insan yaşamı boyunca 32 x 10 2 kg salatalık yer.

Yaban arısı, 3.2 10 2 km'lik kesintisiz bir uçuş yapabilir.

Cam çatladığında, çatlak yaklaşık 5-10 3 km / saat hızla yayılır.

Kurbağa, hayatı boyunca 3 tondan fazla sivrisinek yer. Dereceyi kullanarak kg cinsinden yazın.

En üretken olan okyanus balığıdır - bir yumurtlamada yaklaşık 1.3 mm çapında 300.000.000 yumurta bırakan ay (Mola mola). Bu sayıyı bir güç kullanarak yazın.

Vii. Ev ödevi.

Geçmiş referansı. Hangi numaralara Fermat numaraları denir.

A.19. No. 403, No. 408, No. 417

Kullanılmış Kitaplar:

Ders Kitabı "Cebir-7", yazarlar Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk ve diğerleri.

7. sınıf, L.V. için didaktik materyal Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Matematik Ansiklopedisi.

Kvant dergisi.

Derece özellikleri, formülasyonlar, ispatlar, örnekler.

Sayının derecesi belirlendikten sonra, hakkında konuşmak mantıklıdır. özellikler derecesi... Bu yazıda, olası tüm üslere değinirken bir sayının derecesinin temel özelliklerini vereceğiz. Burada derecenin tüm özelliklerinin kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca bu özelliklerin çözüm örneklerinde nasıl uygulandığını göstereceğiz.

Sayfada gezinme.

Doğal üslerin özellikleri

Doğal üslü bir derecenin tanımına göre, derece a n, her biri a'ya eşit olan n faktörlerinin ürünüdür. Bu tanıma dayanarak ve ayrıca gerçek çarpma özellikleri, aşağıdakileri elde edebilir ve gerekçelendirebilirsiniz doğal sınıf özellikleri:

a m · a n \u003d a m + n derecesinin temel özelliği, genellemesi a n 1 · bir n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k;

aynı temellere sahip özel derecelerin özelliği a m: a n \u003d a m - n;

çarpım derecesi özelliği (a · b) n \u003d a n · b n, uzantısı (a 1 · a 2 ·… · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n ·… · a k n;

bölümün doğal derecedeki özelliği (a: b) n \u003d a n: b n;

bir kuvveti (a m) n \u003d a m · n, genellemesi (((a n 1) n 2)…) n k \u003d bir n 1 · n 2 ·… · n k;

gücü sıfırla karşılaştırmak:

• a\u003e 0 ise, herhangi bir doğal n için n\u003e 0;
• a \u003d 0 ise, o zaman a n \u003d 0;
• 2 m\u003e 0 ise, 2 m - 1 n ise;
• m ve n, m\u003e n gibi doğal sayılarsa, 0m n için ve a\u003e 0 için a m\u003e a n eşitsizliği doğrudur.

Yazılan tüm eşitliklerin özdeş belirtilen koşullara tabidir ve bunların sağ ve sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin, a m a n \u003d a m + n kesirinin ana özelliği basitleştirilmiş ifadeler genellikle bir m + n \u003d a m · bir n olarak kullanılır.

Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.

Aynı tabana sahip iki derecelik bir çarpımın özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir doğal sayı için m ve n, eşitlik a m \u200b\u200b· a n \u003d a m + n doğrudur.

Derecenin temel özelliğini kanıtlayalım. Doğal üslü bir derecenin tanımına göre, ürün olarak a m \u200b\u200ba n formunun aynı temellerine sahip derecelerin çarpımı yazılabilir. ... Çarpmanın özelliklerinden dolayı ortaya çıkan ifade şu şekilde yazılabilir: ve bu çarpım, doğal üssü m + n olan a sayısının, yani a m + n'nin gücüdür. Bu ispatı tamamlar.

Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Aynı tabanlı 2 ve 2 ve 3 doğal derecelere sahip dereceler alın, derecenin temel özelliğine göre 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 · 2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesapladığımız geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma, 2 2 2 3 \u003d (2 2) (2 2 2) \u003d 4 8 \u003d 32 ve 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32'ye sahibiz, çünkü eşit değerler elde ederiz, sonra eşitlik 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 doğrudur ve derecenin temel özelliğini doğrular.

Çarpmanın özelliklerine dayanan derecenin temel özelliği, aynı tabanlar ve doğal üsler ile üç veya daha fazla derecenin çarpımına genelleştirilebilir. Dolayısıyla, herhangi bir k doğal sayılar için n 1, n 2,…, n k eşitliği a n 1 · a n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k doğrudur.

Örneğin, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 \u003d (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 \u003d (2.1) 17.

Doğal üslü derecelerin sonraki özelliğine gidebilirsiniz - aynı temellere sahip özel derecelerin mülkiyeti: m\u003e n koşulunu sağlayan sıfır olmayan herhangi bir a gerçek sayısı ve m ve n keyfi doğal sayıları için, a m eşitliği doğrudur: a n \u003d a m - n.

Bu özelliğin kanıtını vermeden önce, formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. 0 n \u003d 0 olduğundan sıfıra bölünmeyi önlemek için a ≠ 0 koşulu gereklidir ve bölme ile tanıştığımızda, birinin sıfıra bölünemeyeceği konusunda anlaştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m\u003e n koşulu getirilmiştir. Aslında, m\u003e n için am - n üssü doğal bir sayıdır, aksi takdirde ya sıfır (m - n için olur) ya da negatif bir sayı (mm - n an \u003d a (m - n olduğunda olur) ) + n \u003d am Elde edilen am - n · an \u003d am eşitliğinden ve çarpma ve bölme arasındaki bağlantıdan am - n, am ve an derecelerinin bölümüdür. Bu, bölüm derecelerinin özelliğini aynı bazlar.

Bir örnek verelim. Aynı temel bas ve doğal üsler 5 ve 2 ile iki derece alın, derecenin dikkate alınan özelliği eşitlik π 5'e karşılık gelir: π 2 \u003d π 5−3 \u003d π 3.

Şimdi düşünün ürün derecesi özelliği: herhangi iki gerçek sayının ürününün doğal derecesi n, a ve b n'nin kuvvetlerinin çarpımına eşittir, yani (a b) n \u003d a n b n.

Nitekim, doğal üslü bir derecenin tanımına göre, elimizde ... Çarpmanın özelliklerine bağlı olarak son ürün şu şekilde yeniden yazılabilir: , bu da a n · b n'ye eşittir.

Bir örnek verelim: .

Bu özellik, üç veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi için geçerlidir. Yani, k faktörlerinin çarpımının n doğal derecesinin özelliği (a 1 · a 2 ·… · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n ·… · a k n olarak yazılır.

Netlik sağlamak için, bu mülkü bir örnekle göstereceğiz. Üç faktörün 7 kuvvetine çarpımı için var.

Sonraki mülk ayni özel mülkiyet: n doğal güçteki a ve b, b ≠ 0 gerçek sayılarının bölümü, bir n ve b n'nin kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a: b) n \u003d a n: b n.

İspat, önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Yani (a: b) n bn \u003d ((a: b) b) n \u003d an ve eşitlikten (a: b) n bn \u003d an şu sonuca varır: (a: b) n, an üzerindeki bn'nin bölümüdür .

Bu özelliği belirli sayılar örneğini kullanarak yazalım: .

Şimdi seslendirelim üs alma özelliği: herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir doğal sayı için m ve n için, bir m'nin n kuvvetine olan derecesi, m n üsteli a sayısının kuvvetine eşittir, yani (a m) n \u003d a m n.

Örneğin, (5 2) 3 \u003d 5 2 3 \u003d 5 6.

Dereceye göre özelliğin kanıtı, aşağıdaki eşitlikler zinciridir: .

Dikkate alınan mülk, dereceye, dereceye kadar, vb. Genişletilebilir. Örneğin, herhangi bir doğal sayı için p, q, r ve s, eşitlik ... Netlik sağlamak için, burada belirli sayılarla bir örnek var: (((5.2) 3) 2) 5 \u003d (5.2) 3 + 2 + 5 \u003d (5.2) 10.

Dereceleri doğal üslerle karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyor.

Sıfır ve dereceyi doğal üs ile karşılaştırma özelliğini kanıtlayarak başlayalım.

Öncelikle, herhangi bir a\u003e 0 için a n\u003e 0 olduğunu kanıtlayalım.

İki pozitif sayının çarpımı, çarpma tanımından çıkan pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayıyı çarpmanın sonucunun da pozitif bir sayı olacağını iddia etmemize izin verir. Ve doğal üssü n olan bir a sayısının derecesi, tanımı gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörünün ürünüdür. Bu mantık, herhangi bir pozitif taban a için, a n derecesinin pozitif bir sayı olduğunu iddia etmemize izin verir. Kanıtlanmış özellik sayesinde 3 5\u003e 0, (0.00201) 2\u003e 0 ve .

Herhangi bir doğal n için a \u003d 0 için a n derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Nitekim, 0 n \u003d 0 · 0 ·… · 0 \u003d 0. Örneğin, 0 3 \u003d 0 ve 0 762 \u003d 0.

Derecenin olumsuz temellerine geçiyoruz.

Üssün çift sayı olduğu durumla başlayalım, bunu 2 · m olarak göster, burada m bir doğal sayıdır. Sonra ... Negatif sayıların çarpımı kuralına göre, a · a biçimindeki ürünlerin her biri, a sayılarının mutlak değerlerinin ürününe eşittir ve bu nedenle, pozitif bir sayıdır. Bu nedenle ürün ve derecesi 2 · m. İşte bazı örnekler: (−6) 4\u003e 0, (−2,2) 12\u003e 0 ve.

Son olarak, a üssünün tabanı negatif ve üs 2 m - 1 tek sayı olduğunda, o zaman ... Tüm a · a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan negatif sayı ile çarpılırsa bir negatif sayı elde edilir. Bu özellik nedeniyle (−5) 3 17 n n, n gerçek eşitsizliğin sol ve sağ taraflarının çarpımıdır a eşitsizliklerin özellikleri, a n n biçiminin kanıtlanmış eşitsizliği de geçerlidir. Örneğin, bu özellik sayesinde, eşitsizlikler 3 7 7 ve .

Derecelerin listelenen özelliklerinin sonuncusunu doğal üslerle kanıtlamaya devam ediyor. Bunu formüle edelim. Doğal göstergelere ve aynı pozitif temellere sahip iki dereceden, birden az, göstergesi daha az olan derece daha büyüktür; ve doğal göstergeler ve aynı tabanlar ile iki derece, birden büyük, göstergesi daha büyük olan derece daha büyüktür. Bu mülkün kanıtına geçiyoruz.

Bunu m\u003e n ve 0m n için kanıtlayalım. Bunun için a m - a n arasındaki farkı yazıp sıfırla karşılaştırıyoruz. Parantezlerin dışına bir n yerleştirildikten sonra kaydedilen fark, a n · (a m - n −1) biçimini alır. Ortaya çıkan ürün, pozitif bir sayı ve negatif bir sayının çarpımı olarak negatiftir am - n −1 (an pozitif bir sayının doğal gücü olarak pozitiftir ve m - n'den dolayı am - n −1 farkı negatiftir M\u003e n başlangıç \u200b\u200bkoşulu nedeniyle\u003e 0'dır, bu nedenle 0m - n birimden küçüktür). Sonuç olarak, gerektiği gibi bir m - a n m n. Örnek olarak doğru eşitsizliği veriyoruz.

Mülkün ikinci bölümünü kanıtlamaya devam ediyor. A m\u003e a n'nin m\u003e n ve a\u003e 1 için geçerli olduğunu kanıtlayalım. A n'yi parantezlerin dışına yerleştirdikten sonraki a m - a n farkı, a n · (a m - n −1) biçimini alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a\u003e 1 için an derecesi pozitif bir sayıdır ve am - n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü başlangıç \u200b\u200bkoşulu nedeniyle m - n\u003e 0 ve a\u003e 1 için, am - n derecesi birden büyüktür ... Bu nedenle, gerektiği gibi a m - a n\u003e 0 ve a m\u003e a n. Bu özellik, 3 7\u003e 3 2 eşitsizliği ile gösterilmektedir.

Tamsayı üslü derecelerin özellikleri

Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü derecelerin tüm özellikleri, önceki bölümde listelenen ve kanıtlanan doğal üslere sahip derecelerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.

Tam sayı negatif üslü derece ve sıfır üslü derece, eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özelliklerinin doğru kalacağını belirledik. Bu nedenle, tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerlidir, ancak elbette üslerin tabanları sıfırdan farklıdır.

Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfır olmayan a ve b sayıları ile m ve n tam sayıları için aşağıdakiler doğrudur tamsayı üslü üslerin özellikleri:

• bir m bir n \u003d bir m + n;
• bir m: bir n \u003d bir m - n;
• (a b) n \u003d bir n b n;
• (a: b) n \u003d bir n: b n;
• (bir m) n \u003d bir m n;
• n pozitif bir tamsayı ise, a ve b pozitif sayılar ve a n n ve a - n\u003e b - n;
• m ve n tamsayı ise ve m\u003e n, 0m n için ve a\u003e 1 için, a m\u003e a n eşitsizliği olur.

A \u003d 0 için, a m ve a n dereceleri yalnızca hem m hem de n pozitif tam sayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Bu nedenle, az önce yazılan özellikler a \u003d 0 ve m ve n sayılarının pozitif tamsayı olduğu durumlar için de geçerlidir.

Bu özelliklerin her birini ispatlamak zor değildir, çünkü bunun için derecenin tanımlarını doğal ve tam üslerle ve ayrıca gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, dereceden dereceye özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, p sıfır veya doğal sayı ve q sıfır veya doğal sayı ise, eşitliklerin (ap) q \u003d ap q, (a −p) q \u003d a (−p) olduğunu göstermek gerekir. q, (ap) −q \u003d ap (−q) ve (a −p) −q \u003d a (−p) (−q). Haydi Yapalım şunu.

Pozitif p ve q için, (a p) q \u003d a p q eşitliği önceki bölümde kanıtlanmıştır. Eğer p \u003d 0 ise, (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 ve a 0 q \u003d a 0 \u003d 1 olur, dolayısıyla (a 0) q \u003d a 0 q. Benzer şekilde, q \u003d 0 ise, (a p) 0 \u003d 1 ve a p · 0 \u003d a 0 \u003d 1, dolayısıyla (a p) 0 \u003d a p · 0. Hem p \u003d 0 hem de q \u003d 0 ise, (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 ve a 0 0 \u003d a 0 \u003d 1, dolayısıyla (a 0) 0 \u003d a 0 0.

Şimdi (a - p) q \u003d a (- p) q olduğunu ispatlayalım. Negatif üslü tamsayı olan bir derecenin tanımına göre, o zaman ... Elimizdeki bölümün özelliğine göre ... 1 p \u003d 1 · 1 ·… · 1 \u003d 1 olduğundan ve sonra. Son ifade, tanım gereği, çarpma kuralları nedeniyle a (−p) q olarak yazılabilen a - (p q) biçimindeki bir güçtür.

benzer şekilde .

VE .

Aynı ilkeye göre, bir derecenin diğer tüm özellikleri, eşitlikler şeklinde yazılmış bir tamsayı üssü ile kanıtlanabilir.

Yazılı özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, a - n\u003e b - n eşitsizliğinin ispatı üzerinde durmaya değer, bu herhangi bir negatif tamsayı −n ve a ve b koşulu için geçerli olan herhangi bir pozitif a ve b ... Bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları arasındaki farkı yazıp dönüştürelim: ... A şartına göre n n, bu nedenle, b n - bir n\u003e 0. A n · b n çarpımı, a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı olarak da pozitiftir. Daha sonra ortaya çıkan kesir, pozitif sayıların bir bölümü olarak b n - a n ve a n · b n olarak pozitiftir. Dolayısıyla, gerektiği gibi a - n\u003e b - n.

Tamsayı üslü derecelerin son özelliği, derecelerin doğal üslere benzer özelliği ile aynı şekilde kanıtlanır.

Rasyonel üslü derecelerin özellikleri

Kesirli üslü bir derece, bir derecenin özelliklerini tam bir üs ile genişleterek belirledik. Başka bir deyişle, kesirli üsler, tamsayı üsleriyle aynı özelliklere sahiptir. Yani:

1. aynı tabana sahip derece çarpımının özelliği a\u003e 0 için ve eğer u ise a≥0 için;
2. aynı temellere sahip özel derecelerin mülkiyeti a\u003e 0 için;
3. kesirli ürün özelliği a\u003e 0 ve b\u003e 0 için ve eğer ve, o zaman a≥0 ve (veya) b≥0 için;
4. kesirli mülkiyet a\u003e 0 ve b\u003e 0 için ve eğer, o zaman a≥0 ve b\u003e 0 için;
5. derece özelliği a\u003e 0 için ve eğer u ise a≥0 için;
6. eşit rasyonel üsleri olan dereceleri karşılaştırma özelliği: a ve b pozitif sayıları için, a 0 eşitsizlik a p p doğrudur ve p p\u003e b p için;
7. dereceleri rasyonel üsler ve eşit tabanlarla karşılaştırma özelliği: rasyonel sayılar için p ve q, 0p q için p\u003e q ve a\u003e 0 için eşitsizlik a p\u003e a q.

Kesirli üslü derecelerin özelliklerinin ispatı, kesirli üslü bir derecenin tanımına, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerine ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. İşte kanıtlar.

Kesirli üslü bir derecenin tanımına göre ve sonra ... Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamıza izin verir. Ayrıca, tamsayı üslü bir derecenin özelliğini kullanarak, kesirli üslü bir derecenin tanımına göre elde ederiz. ve elde edilen derecenin üssü aşağıdaki gibi dönüştürülebilir: Bu kanıtı tamamlar.

Kesirli üslü derecelerin ikinci özelliği tam olarak aynı şekilde kanıtlanmıştır:


Kalan eşitlikler benzer ilkelerle kanıtlanmıştır:


Aşağıdaki mülkün ispatına geçiyoruz. Herhangi bir pozitif a ve b için bunu kanıtlayalım, 0 eşitsizlik a p p'nin tuttuğu ve p p\u003e b p için. P rasyonel sayısını m / n olarak yazıyoruz, burada m bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır. Bu durumda p 0 koşulları, sırasıyla m 0 koşullarına eşdeğer olacaktır. M\u003e 0 ve am m için. Bu eşitsizlikten, köklerin özelliğine göre elimizde var ve a ve b pozitif sayılar olduğundan, derecenin kesirli üslü tanımına dayanarak, sonuçta ortaya çıkan eşitsizlik, yani p p olarak yeniden yazılabilir.

Benzer şekilde, m m\u003e b m için, nereden, yani ve a p\u003e b p.

Listelenen özelliklerin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. P ve q rasyonel sayıları için, 0p q için p\u003e q ve a\u003e 0 için, a p\u003e a q eşitsizliğinin ispatlayalım. Her zaman p ve q rasyonel sayılarını ortak bir paydaya getirebiliriz, burada sıradan kesirler elde ederiz ve burada m 1 ve m 2 tam sayılar ve n doğaldır. Bu durumda, p\u003e q koşulu, aynı paydalara sahip sıradan kesirleri karşılaştırma kuralından sonra gelen m 1\u003e m2 koşuluna karşılık gelecektir. Daha sonra, 0m 1 m 2 ve a\u003e 1 için aynı tabanlar ve doğal üsler ile derecelerin karşılaştırılması özelliği ile a m 1\u003e a m 2 eşitsizliği. Köklerin özelliklerindeki bu eşitsizlikler buna göre yeniden yazılabilir. ve ... Ve rasyonel üslü derecenin tanımı, eşitsizliklere gitmenize ve buna göre Böylece nihai sonucu çıkarırız: p\u003e q ve 0p q için ve a\u003e 0 için - eşitsizlik a p\u003e a q için.

İrrasyonel üslü derecelerin özellikleri

İrrasyonel üslü bir derecenin nasıl tanımlandığından, rasyonel üslü bir derecenin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Yani herhangi bir a\u003e 0, b\u003e 0 ve irrasyonel sayılar p ve q için aşağıdaki irrasyonel üsleri olan derecelerin özellikleri:

1. bir p bir q \u003d bir p + q;
2. a p: a q \u003d bir p - q;
3. (a b) p \u003d bir p b p;
4. (a: b) p \u003d a p: b p;
5. (bir p) q \u003d bir p q;
6. herhangi bir pozitif sayı için a ve b, a 0 eşitsizlik a p p doğrudur ve p p\u003e b p için;
7. irrasyonel sayılar için p ve q, p\u003e q 0p q için ve a\u003e 0 için eşitsizlik a p\u003e a q.

Dolayısıyla, a\u003e 0 için herhangi bir gerçek üslü p ve q derecelerinin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

• Cebir - 10. sınıf. Trigonometrik denklemler Konuyla ilgili ders ve sunum: "En basit trigonometrik denklemlerin çözümü" Ek materyaller Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm malzemeler […]
• "SATICI - DANIŞMAN" pozisyonu için yarışma açıktır: Sorumluluklar: mobil iletişim için cep telefonu ve aksesuar satışı, Beeline, Tele2, MTS abonelerinin bakımı;
• Box of Formula Box, her biri bir paralelkenar olan 6 yüzü olan bir polihedrondur. Dikdörtgen bir paralel yüz, her yüzün bir dikdörtgen olduğu bir paralel yüzdür. Herhangi bir paralel boru, 3 ile karakterize edilir [...]
• KONUŞMA SG ZELINSKAYA DİDAKTİK MALZEME Teorik yükleme 1. Sıfatlarda nn ne zaman yazılır? 2. Bu kuralların istisnaları nelerdir? 3. Bir sözlü sıfatı -н- sonekiyle birlikte bir katılımcıdan [...] ile nasıl ayırt edebilirim?
• BRYANSK BÖLGESİ GOSTEKHNADZOR'UN MUAYENESİ Devlet vergisinin ödenmesi makbuzu (İndir-12.2 kb) Bireyler için kayıt başvuruları (İndir-12 kb) Tüzel kişiler için kayıt başvuruları (İndir-11.4 kb) 1. Yeni bir araba kaydederken : 1. başvuru 2. pasaport […]
• Tüketici Haklarını Koruma Derneği Astana Web sitemizde bu belgeye erişim için pin kodu almak için GSM operatörlerinin sayısına (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) zan metni ile bir SMS gönderin. numaraya SMS göndererek, […]
• Aile Çiftlikleri hakkında bir yasa kabul edin Rusya Federasyonu'nun her vatandaşı veya aile çiftliğini aşağıdaki koşullarda donatmak için bir arazi parselinin karşılıksız olarak tahsis edilmesine ilişkin federal bir yasa kabul edin: 1. Arsa tahsis edildi için [...]
• Pivoev V.M. Bilim felsefesi ve metodolojisi: yüksek lisans ve lisansüstü öğrenciler için ders kitabı Petrozavodsk: PetrSU yayınevi, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Ders kitabı, son sınıf öğrencileri, yüksek lisans ve lisansüstü öğrencileri için hazırlanmıştır. sosyal ve […]

İlk seviye

Derecesi ve özellikleri. Kapsamlı rehber (2019)

Neden derecelere ihtiyaç vardır? Sizin için nerede yararlı olacaklar? Onları incelemek için neden zaman ayırmanız gerekiyor?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi günlük yaşamda nasıl kullanacağınızı öğrenmek için bu makaleyi okuyun.

Ve tabii ki, dereceleri bilmek sizi OGE veya USE'yi başarıyla geçmeye ve hayallerinizdeki üniversiteye girmeye yaklaştıracaktır.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Önemli Not! Formüller yerine anlamsız şeyler görüyorsanız, önbelleği temizleyin. Bunu yapmak için CTRL + F5 (Windows'ta) veya Cmd + R (Mac'te) tuşlarına basın.

İLK SEVİYE

Üs alma, toplama, çıkarma, çarpma veya bölmeyle aynı matematiksel işlemdir.

Şimdi her şeyi çok basit örneklerle insan dilinde açıklayacağım. Çok dikkat. Örnekler temeldir, ancak önemli şeyleri açıklarlar.

Ekleme ile başlayalım.

Açıklanacak hiçbir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsunuz: sekiz kişiyiz. Her birinde iki şişe kola vardır. Orada ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Aynı kola örneği farklı yazılabilir: Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ederler ve ardından bunları hızlı bir şekilde "saymanın" bir yolunu bulurlar. Bizim durumumuzda, sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik buldular. Katılıyorum, daha kolay ve daha hızlı kabul edilir.

Bu nedenle, daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için sadece hatırlamanız gerekir çarpım tablosu... Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Fakat…

İşte çarpım tablosu. Tekrar et.

Ve bir diğeri, daha güzel:

Tembel matematikçiler başka hangi hileli sayma hilelerini bulmuş? Doğru şekilde - bir sayıyı bir güce yükseltmek.

Bir sayıyı bir güce yükseltmek

Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmanız gerekiyorsa, matematikçiler bu sayıyı beşinci kuvvete yükseltmeniz gerektiğini söyler. Örneğin, . Matematikçiler, ikiye beşinci derece olduğunu hatırlar. Ve bu tür sorunları kafalarında çözerler - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Tek yapmanız gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin vurgulandığını hatırlayın... İnan bana, bu hayatını çok daha kolaylaştıracak.

Bu arada, neden ikinci derece deniyor meydan sayılar ve üçüncü - küp? Bu ne demek? Bu çok güzel bir soru. Şimdi hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Yaşam örneği # 1

Bir sayının kare veya ikinci üssü ile başlayalım.

Metre kare havuz düşünün. Havuz, kır evinizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama ... dipsiz bir havuz! Havuzun dibini fayanslarla kaplamanız gerekiyor. Kaç karoya ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuz tabanının alanını bilmeniz gerekir.

Parmağınızı dürtükleyerek, havuzun dibinin metre metre küplerden oluştuğunu basitçe sayabilirsiniz. Metrede bir karo metreniz varsa, parçalara ihtiyacınız olacaktır. Kolay ... Ama bu tür karoları nerede gördünüz? Karo daha çok cm x cm olacaktır Ve sonra "parmak sayımı" ile eziyet çekeceksiniz. O zaman çoğalmalısın. Böylece, havuzun dibinin bir tarafına fayans (parça) ve diğer tarafa da fayans yerleştireceğiz. Çarparak, fayans () elde edersiniz.

Havuz tabanının alanını belirlemek için aynı sayıyı kendi kendimize çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne demek? Aynı sayı çarpıldığında, "üs alma" tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, sadece iki sayınız olduğunda, onları çarpmanız veya bir kuvvete yükseltmeniz gerekir. Ama eğer çok sayıya sahipseniz, o zaman bir kuvvete yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata vardır. Bu, KULLANIM için çok önemlidir).
Yani ikinci dereceden otuz () olacaktır. Ya da otuzun karesinin olacağını söyleyebilirsiniz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci üssü her zaman bir kare olarak temsil edilebilir. Tersine, bir kare görürseniz, HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin bir görüntüsüdür.

Gerçek hayat örneği # 2

İşte size bir görev, satranç tahtasında sayının karesini kullanarak kaç tane kare olduğunu sayın ... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını saymak için sekizi sekize çarpmanız gerekir, ya da ... satranç tahtasının kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, sekizi kare yapabilirsiniz. Hücreleri alacaksınız. () Yani?

Gerçek hayat örnek no. 3

Şimdi küp veya sayının üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökmeniz gerektiğini bulmanız gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekiyor. (Bu arada hacimler ve sıvılar metreküp cinsinden ölçülür. Şaşırtıcı bir şekilde, değil mi?) Bir havuz çizin: dip bir metre boyutunda ve bir metre derinliğinde ve havuzunuza kaç metreküp gireceğini hesaplamaya çalışın.

Parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört ... yirmi iki, yirmi üç ... Ne kadar çıktı? Kayıp değil? Parmağınızla saymak zor mu? Böylece! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeldirler, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit olacak ... Daha kolay değil mi?

Şimdi matematikçilerin bunu da basitleştirmişlerse ne kadar tembel ve kurnaz olduklarını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirdiler. Boy, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler ... Bu ne anlama geliyor? Bu, dereceyi kullanabileceğiniz anlamına gelir. Yani, bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: bir küpte üç eşittir. Şöyle yazılır:

Sadece kalır derece tablosunu hatırla... Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz olmadıkça. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Eh, nihayet sizi derecelerin avare ve kurnazlık tarafından hayat problemlerini çözmek için icat edildiğine ve sizin için problem yaratmadığına ikna etmek için, işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayat örnek no. 4

Bir milyon rublenin var. Her yılın başında her milyondan bir milyon daha kazanıyorsunuz. Yani, her yılın başında her milyonunuz ikiye katlanır. Yıllar içinde ne kadar paran olacak? Eğer şimdi oturuyorsanız ve “parmağınızla sayıyorsanız”, o zaman çok çalışkan bir insansınız ve .. aptalsınız. Ama büyük ihtimalle birkaç saniye içinde cevap vereceksin, çünkü zekisin! Öyleyse, ilk yıl - iki kez iki ... ikinci yılda - olan şey iki daha oldu, üçüncü yılda ... Dur! Sayının kendisiyle bir kez çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikiye beşinci kuvvet bir milyon! Şimdi bir yarışmanız olduğunu ve bu milyonları daha hızlı hesaplayan kişi tarafından alınacağını hayal edin ... Sayıların derecelerini hatırlamaya değer mi, ne düşünüyorsunuz?

Gerçek hayat örnek no. 5

Bir milyonun var. Her yılın başında her milyonda iki tane daha kazanıyorsunuz. Harika, değil mi? Her milyon üçte bir. Yıllar içinde ne kadar paran olacak? Sayalım. İlk yıl - ile çarpın, ardından sonucu bir başkasıyla ... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç kez kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvvet bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekir.

Artık bir sayıyı bir güce yükselterek hayatınızı büyük ölçüde kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve onlar hakkında bilmeniz gerekenlere bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar ... kafanızın karışmaması için

Öyleyse önce kavramları tanımlayalım. Sen ne düşünüyorsun, üs nedir? Çok basit - bu, sayının gücünün "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil, anlaşılır ve hatırlaması kolay ...

Aynı zamanda böyle derece temeli? En alttaki sayı daha da basittir.

İşte emin olmak için bir çizim.

Peki, genel hatlarıyla, genellemek ve daha iyi hatırlamak için ... Tabanı "" ve göstergesi "" olan bir derece "derece" olarak okunur ve şu şekilde yazılır:

Doğal üslü sayı derecesi

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs doğal bir sayıdır. Evet ama nedir doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, nesneleri sıralarken saymada kullanılanlardır: bir, iki, üç ... Nesneleri saydığımızda, "eksi beş", "eksi altı", "eksi yedi" demiyoruz. Ayrıca "üçte biri" veya "sıfır virgül beş onda biri" demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Hangi rakamları düşünüyorsunuz?

"Eksi beş", "eksi altı", "eksi yedi" gibi sayılar, bütün sayılar. Genel olarak tam sayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınır) ve bir sayıyı içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır - bu, hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif ("eksi") sayılar ne anlama geliyor? Ancak, öncelikle borçları belirtmek için icat edildi: telefonunuzda ruble varsa, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.

Tüm kesirler rasyonel sayılardır. Sence nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Atalarımız birkaç bin yıl önce uzunluk, ağırlık, alan vb. Ölçmek için doğal sayılardan yoksun olduklarını keşfettiler. Ve buldular rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?

İrrasyonel sayılar da var. Bu numaralar nedir? Kısacası, sonsuz bir ondalık kesir. Örneğin, bir çemberin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Özet:

Üssü doğal sayı (yani bir tam sayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Birinci kuvvetteki herhangi bir sayı kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmaktır:
3. Bir sayıyı küplemek, onu üç kez kendisiyle çarpmaktır:

Tanım. Bir sayıyı doğal bir güce yükseltmek, sayıyı kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
.

Güç özellikleri

Bu mülkler nereden geldi? Şimdi göstereceğim

Bakalım: nedir ve ?

A-manevi:

Toplamda kaç faktör var?

Çok basit: çarpanlara çarpanlar ekledik ve toplam çarpanlardır.

Ancak tanım gereği, bir üslü sayının derecesidir, yani gerektiği gibi.

Misal: Ifadeyi basitleştir.

Karar:

Misal: Ifadeyi basitleştir.

Karar: Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: zorunlu olarak aynı temellere sahip olmalı!
Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiriyoruz, ancak ayrı bir faktör olarak kalıyoruz:

sadece derecelerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsın.

2. bu bir sayının üssü

Önceki mülkte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

İfadenin bir kez kendisiyle çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti:

Temelde buna "göstergeyi basamaklama" denilebilir. Ancak bunu toplamda asla yapmamalısınız:

Kısaltılmış çarpım formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı derece

Bu noktaya kadar, sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temel ne olmalı?

Derece olarak doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara... Nitekim, herhangi bir sayıyı, pozitif, negatif veya hatta birbiriyle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların gücüne sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi yoksa negatif mi olacak? VE? ? İlki ile her şey açıktır: birbirimizle kaç pozitif sayı çarparsak çarpalım, sonuç olumlu olacaktır.

Ancak olumsuz biraz daha ilginçtir. Sonuçta, 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: "eksi artı artı verir". Yani veya. Ama ile çarparsak işe yarar.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağına kendiniz karar verin:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Becerebildin mi?

İşte cevaplar: İlk dört örnekte, umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5) 'de, her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece eşittir, bu da sonucun her zaman olumlu olacağı anlamına gelir.

Tabanın sıfır olması dışında. Temel eşit değil, değil mi? Açıkçası değil, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar kolay değil!

Eğitilecek 6 örnek

Çözümün ayrıştırılması 6 örnek

Sekizinci dereceden başka, burada ne görüyoruz? 7. sınıf programını hatırlıyoruz. Hatırla? Bu, kısaltılmış çarpmanın formülüdür, yani karelerin farkı! Biz alırız:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Paydaki çarpanlardan birine çok benziyor, ama sorun ne? Yanlış terim sırası. Tersine çevrileceklerse, kural uygulanabilir.

Ama bunu nasıl yapmalı? Görünüşe göre çok kolay: eşit bir payda derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde tersine çevrildi. Bu "fenomen" herhangi bir ifadeye eşit derecede uygulanabilir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Bütün karşısındaki doğal sayıları (yani "" işareti ile alınır) ve sayı olarak adlandırıyoruz.

pozitif tamsayıama doğaldan farklı değil, o zaman her şey bir önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi bazı yeni vakalara bakalım. Eşit bir gösterge ile başlayalım.

Sıfır derecedeki herhangi bir sayı bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: bu neden böyle?

Tabanı olan bir derece düşünün. Örneğin alın ve şununla çarpın:

Böylece sayıyı ile çarptık ve olduğu gibi elde ettik -. Ve hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyı çarpmalısınız? Aynen öyle. Anlamına geliyor.

Aynı şeyi rastgele bir sayı ile de yapabiliriz:

Kuralı tekrar edelim:

Sıfır derecedeki herhangi bir sayı bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da orada - bu bir sayı (taban olarak).

Bir yandan, herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - kendi kendinizle ne kadar çarparsanız çarpın, yine de sıfır elde edersiniz, bu açıktır. Ama öte yandan, sıfır derecesindeki herhangi bir sayı gibi, ona eşit olmalıdır. Peki bunlardan hangisi doğru? Matematikçiler karışmamaya karar verdiler ve sıfırı sıfıra çıkarmayı reddettiler. Yani, şimdi sadece sıfıra bölmekle kalmayız, aynı zamanda onu sıfır kuvvetine de çıkaramayız.

Daha ileri gidelim. Doğal sayılara ve sayılara ek olarak, negatif sayılar tam sayılara aittir. Negatif gücün ne olduğunu anlamak için son seferki gibi yapalım: bazı normal sayıları aynı negatif kuvvetle çarpın:

Buradan, aradığınızı ifade etmek zaten çok kolay:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletiyoruz:

Öyleyse bir kural oluşturalım:

Negatif kuvvetteki bir sayı, pozitif kuvvetteki aynı sayının tersidir. Ama aynı zamanda taban boş olamaz: (çünkü bölemezsiniz).

Özetleyelim:

I. Durumda ifade belirtilmedi. Öyleyse.

II. Sıfır dereceye kadar herhangi bir sayı bire eşittir :.

III. Sıfıra eşit olmayan bir sayı, pozitif kuvvetteki aynı sayının tersi negatif kuvvettir :.

Bağımsız bir çözüm için görevler:

Her zamanki gibi bağımsız bir çözüm için örnekler:

Bağımsız çözüm için görevlerin analizi:

Biliyorum, biliyorum, rakamlar korkunç ama sınavda her şeye hazır olmalısın! Eğer çözemezseniz bu örnekleri çözün veya çözümlerini analiz edin ve sınavda bunlarla kolayca nasıl başa çıkacağınızı öğreneceksiniz!

Üs olarak "uygun" sayılar çemberini genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünün rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Tüm bunlar kesir olarak gösterilebilir, burada ve tamsayılar, dahası.

Ne olduğunu anlamak için Kesirli derece, kesri düşünün:

Denklemin her iki tarafını da kuvvete yükseltelim:

Şimdi hakkındaki kuralı hatırlayalım "Dereceye göre derece":

Bir güce sahip olmak için hangi sayı yükseltilmelidir?

Bu formülasyon, inci kökün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, kuvvetin kökü üs alma işleminin tersidir:

Şekline dönüştü. Açıktır ki, bu özel durum uzatılabilir:

Şimdi payı ekliyoruz: bu nedir? Cevap, derece derece kuralı kullanılarak kolayca elde edilir:

Ama taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta, kök tüm sayılardan çıkarılamaz.

Yok!

Kuralı hatırlayın: çift kuvvete yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani, negatif sayılardan eşit derecede kök çıkaramazsınız!

Bu, bu tür sayıların eşit payda ile kesirli bir kuvvete yükseltilemeyeceği anlamına gelir, yani ifade mantıklı değildir.

Ya ifade?

Ama işte sorun geliyor.

Sayı, diğer iptal edilebilir kesirler olarak temsil edilebilir, örneğin, veya.

Ve var olduğu, ancak olmadığı ortaya çıktı, ancak bunlar aynı numaranın sadece iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: bir kez yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı bir şekilde yazarsak ve yine bir sıkıntı yaşarız: (yani, tamamen farklı bir sonuç elde ederiz!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için sadece kesirli üslü pozitif taban.

Öyleyse eğer:

• - doğal sayı;
• - Bir tam sayı;

Örnekler:

Rasyonel üsler, köklü ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

Eğitilecek 5 örnek

Eğitim için 5 örneğin analizi

Ve şimdi en zor kısım. Şimdi analiz edeceğiz irrasyonel derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir derece için olanla tamamen aynıdır, istisna

Aslında, tanım gereği irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır, burada ve tam sayılardır (yani, irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar dışındaki tüm gerçek sayılardır).

Doğal, bütün ve rasyonel bir gösterge ile dereceler üzerinde çalışırken, her seferinde bir tür "imaj", "analoji" veya daha tanıdık terimlerle açıklama oluşturduk.

Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sıfır güç numarası - olduğu gibi, bir kez kendisiyle çarpılan bir sayıdır, yani henüz çarpmaya başlamamışlardır, bu, sayının henüz görünmediği anlamına gelir - bu nedenle, sonuç yalnızca bir tür "boşluktur sayı ", yani sayı;

...negatif tamsayı derecesi - sanki bir tür "ters işlem" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş.

Bu arada, bilimde, karmaşık bir göstergeye sahip bir derece sıklıkla kullanılır, yani gösterge gerçek bir sayı bile değildir.

Ancak okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, bu yeni kavramları enstitüde anlama fırsatınız olacak.

NEREYE GİTECEĞİNİZDEN EMİN OLUYORUZ! (bu tür örnekleri nasıl çözeceğinizi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Çözümlerin analizi:

1. Bir gücü bir güce yükseltmek için zaten olağan olan kuralla başlayalım:

Şimdi göstergeye bakın. Sana bir şey hatırlatıyor mu? İndirgenmiş çarpma formülünü, karelerin farkını hatırlıyoruz:

Bu durumda,

Şekline dönüştü:

Cevap: .

2. Üslerdeki kesirleri aynı biçime getiriyoruz: her ikisi de ondalık veya her ikisi de sıradan. Örnek olarak şunu alalım:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

İLERİ DÜZEY

Derecenin belirlenmesi

Derece, formun bir ifadesidir :, burada:

• — derece tabanı;
• - üs.

Doğal üslü derece (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Bir sayıyı doğal kuvvete yükseltmek, sayının kendisiyle çarpılması anlamına gelir:

Tam sayı derecesi (0, ± 1, ± 2, ...)

Üs ise tamamen pozitif numara:

Ereksiyon sıfır dereceye:

İfade belirsizdir, çünkü bir yandan herhangi bir dereceye kadar - bu ve diğer yandan - üçüncü dereceye kadar herhangi bir sayı - bu.

Üs ise tamamen olumsuz numara:

(çünkü bölemezsiniz).

Bir kez daha sıfırlar hakkında: ifade, durumda tanımsızdır. Öyleyse.

Örnekler:

Akılcı not

• - doğal sayı;
• - Bir tam sayı;

Örnekler:

Güç özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için şunu anlamaya çalışalım: Bu özellikler nereden geldi? Onları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

A-manevi:

Yani, bu ifadenin sağ tarafında şu ürünü alıyoruz:

Ancak tanım gereği üslü bir sayının gücüdür, yani:

Q.E.D.

Misal : Ifadeyi basitleştir.

Karar : .

Misal : Ifadeyi basitleştir.

Karar : Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: zorunlu olarakaynı temellere sahip olmalıdır. Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiriyoruz, ancak ayrı bir faktör olarak kalıyoruz:

Bir önemli not daha: bu kural - sadece derecelerin çarpımı için!

Bunu hiçbir şekilde yazmamalıyım.

Önceki mülkte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

Bu parçayı şu şekilde yeniden düzenleyelim:

İfadenin bir kez kendisiyle çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti:

Temelde buna "göstergeyi basamaklama" denilebilir. Ancak bunu toplamda asla yapmamalısınız :!

Kısaltılmış çarpım formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı bir derece.

Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. indeks derece. Ama temel ne olmalı? Derece olarak doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara .

Aslında, herhangi bir sayıyı, pozitif, negatif veya hatta birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların gücüne sahip olacağını düşünelim.

Örneğin, sayı pozitif mi yoksa negatif mi olacak? VE? ?

İlki ile her şey açıktır: birbirimizle kaç pozitif sayı çarparsak çarpalım, sonuç olumlu olacaktır.

Ancak olumsuz biraz daha ilginçtir. Sonuçta, 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: "eksi artı artı verir". Yani veya. Ama () ile çarparsak - elde ederiz.

Ve böylece sonsuza doğru: Sonraki her çarpmada işaret değişecektir. Bu kadar basit kuralları formüle edebilirsiniz:

1. hatta derece, - sayı pozitif.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
3. Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
4. Herhangi bir güce sıfır sıfırdır.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağına kendiniz karar verin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Becerebildin mi? İşte cevaplar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte, umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

Örnek 5) 'de, her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece eşittir, bu da sonucun her zaman olumlu olacağı anlamına gelir. Tabanı sıfır olmadığı sürece. Temel eşit değil, değil mi? Açıkçası değil, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsanız, bunun netleşir ve bu nedenle taban sıfırdan küçüktür. Yani 2. kuralı uygularız: sonuç negatif olacaktır.

Ve yine derece tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıyoruz ve onları birbirine böler, çiftlere böleriz ve şunu elde ederiz:

Son kuralı incelemeden önce birkaç örnek çözelim.

İfadelerin değerlerini hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci derece dışında burada ne görüyoruz? 7. sınıf programını hatırlıyoruz. Hatırla? Bu, kısaltılmış çarpmanın, yani karelerin farkı için bir formüldür!

Biz alırız:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Paydaki çarpanlardan birine çok benziyor, ama sorun ne? Yanlış terim sırası. Tersine çevrilmiş olsaydı Kural 3 uygulanabilirdi ama bunu nasıl yapacaksınız? Görünüşe göre çok kolay: eşit bir payda derecesi burada bize yardımcı oluyor.

İle çarparsan, hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi şu ortaya çıkıyor:

Terimler sihirli bir şekilde tersine çevrildi. Bu "fenomen" herhangi bir ifadeye eşit derecede uygulanabilir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!İstemediğimiz tek dezavantajı değiştirerek yerini alamaz!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Bunu nasıl kanıtlayacağız? Tabii ki, her zamanki gibi: derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Kaç tane mektup olacak? çarpanlarla çarpı - neye benziyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma işlemi: sadece çarpanlar vardı. Yani, tanımı gereği, üslü bir sayının derecesidir:

Misal:

İrrasyonel not

Orta seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir gösterge ile analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir dereceyle tamamen aynıdır, ancak - sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar, tam sayı olan ve tam sayı olan bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır (yani, irrasyonel sayılar, rasyonel hariç tümü gerçek sayılardır.

Doğal, bütün ve rasyonel bir gösterge ile dereceler üzerinde çalışırken, her seferinde bir tür "imaj", "analoji" veya daha tanıdık terimlerle açıklama oluşturduk. Örneğin, doğal üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır dereceye kadar bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılan bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlanmamıştır, bu, sayının henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle, sonuç yalnızca bir "boş sayı" türü, yani sayı; tamsayı negatif üslü bir derece, sanki bir tür "ters işlem" gerçekleşmiş gibidir, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüştü.

İrrasyonel üslü bir derece hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzay hayal etmek zor olduğu gibi). Aksine, matematikçilerin derece kavramını sayıların tüm uzayına genişletmek için yarattıkları tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilimde, karmaşık bir göstergeye sahip bir derece sıklıkla kullanılır, yani gösterge gerçek bir sayı bile değildir. Ancak okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, bu yeni kavramları enstitüde anlama fırsatınız olacak.

Öyleyse irrasyonel bir üs gördüğümüzde ne yaparız? Ondan kurtulmak için var gücümüzle çalışıyoruz! :)

Örneğin:

Kendin için karar ver:

1)

2)

3)

Yanıtlar:

1. Karelerin formül farkını hatırlayın. Cevap:.
2. Kesirleri aynı biçime getiriyoruz: her ikisi de ondalık basamak veya her ikisi de sıradan. Örneğin:
3. Özel bir şey yok, normal derece özelliklerini uyguluyoruz:

BÖLÜM ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER

Derece formun bir ifadesi olarak adlandırılır :, burada:

Tamsayı Derece

üssü doğal bir sayı olan derece (yani, bir tam sayı ve pozitif).

Rasyonel not

üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel not

üssü sonsuz ondalık kesir veya kök olan derece.

Güç özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi hatta derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
• Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
• Sıfır, herhangi bir dereceye eşittir.
• Sıfır dereceye kadar herhangi bir sayı eşittir.

ŞİMDİ SÖZÜNÜZ ...

Makaleyi beğendin mi? Beğendiyseniz ya da beğenmediyseniz yorumları not edin.

Bize derece özellikleriyle ilgili deneyiminizden bahsedin.

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarında iyi şanslar!

Konuyla ilgili ders: "Aynı ve farklı göstergelerle derecelerin çarpma ve bölme kuralları. Örnekler"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayınız. Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilmiştir.

7. sınıf için çevrimiçi mağaza "Integral" de eğitim yardımcıları ve simülatörler
Ders kitabı Yu.N. Makarycheva Ders kitabı için el kitabı A.G. Mordkovich

Dersin amacı: sayıların gücüyle eylemleri nasıl gerçekleştireceğinizi öğrenin.

Öncelikle "sayı derecesi" kavramını hatırlayalım. $ \\ Underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) $ gibi bir ifade $ a ^ n $ olarak temsil edilebilir.

Bunun tersi de doğrudur: $ a ^ n \u003d \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) $.

Bu eşitliğe "ürün olarak derecenin gösterimi" denir. Derecelerin nasıl çarpılacağını ve bölüneceğini belirlememize yardımcı olacaktır.
Hatırlamak:
a Derecenin temelidir.
n - üs.
Eğer n \u003d 1yani numara ve bir kez aldı ve buna göre: $ a ^ n \u003d 1 $.
Eğer n \u003d 0, ardından $ a ^ 0 \u003d 1 $.

Bu neden olur, çarpma ve kuvvetler bölme kurallarını öğrendiğimizde bunu anlayabiliriz.

Çarpma kuralları

a) Aynı tabana sahip güçler çoğaltılırsa.
$ A ^ n * a ^ m $ için dereceleri çarpım olarak yazın: $ \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) * \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ ( m) $.
Şekil, numaranın ve almış n + m kez, sonra $ a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m) $.

Misal.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Bir sayıyı büyük bir güce yükseltirken işi basitleştirmek için bu özelliği kullanmak uygundur.
Misal.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Dereceler farklı tabanlarla çarpılırsa, ancak aynı üs ile.
$ A ^ n * b ^ n $ için, dereceleri çarpım olarak yazın: $ \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n) * \\ underbrace (b * b * \\ ldots * b) _ ( m) $.
Çarpanları değiştirir ve ortaya çıkan çiftleri sayarsak, şunu elde ederiz: $ \\ underbrace ((a * b) * (a * b) * \\ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Yani $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.

Misal.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Bölme kuralları

a) Derecenin tabanı aynıdır, göstergeler farklıdır.
Bir üssü daha küçük bir üs ile bölerek bir üssü daha büyük bir üs ile bölmeyi düşünün.

Bu yüzden gerekli $ \\ frac (a ^ n) (a ^ m) $nerede n\u003e m.

Kuvvetleri kesir olarak yazalım:

$ \\ frac (\\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n)) (\\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (m)) $.

Kolaylık sağlamak için bölümü basit bir kesir olarak yazacağız.

Şimdi kesri iptal edelim.

Görünüşe göre: $ \\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n-m) \u003d a ^ (n-m) $.
Dolayısıyla $ \\ frac (a ^ n) (a ^ m) \u003d a ^ (n-m) $.

Bu özellik, bir sayıyı sıfır kuvvete yükseltmekle durumu açıklamaya yardımcı olacaktır. Farz edelim ki n \u003d m$ a ^ 0 \u003d a ^ (n-n) \u003d \\ frac (a ^ n) (a ^ n) \u003d 1 $ olur.

Örnekler.
$ \\ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.

$ \\ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.

b) Derecenin temelleri farklıdır, göstergeler aynıdır.
Diyelim ki $ \\ frac (a ^ n) (b ^ n) $ 'a ihtiyacınız var. Sayıların kuvvetlerini kesir olarak yazalım:

$ \\ frac (\\ underbrace (a * a * \\ ldots * a) _ (n)) (\\ underbrace (b * b * \\ ldots * b) _ (n)) $.

Kolaylık sağlamak için hayal edelim.

Kesirlerin özelliğini kullanarak, büyük bölümü küçük olanların ürününe böleriz, elde ederiz.
$ \\ underbrace (\\ frac (a) (b) * \\ frac (a) (b) * \\ ldots * \\ frac (a) (b)) _ (n) $.
Buna göre: $ \\ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d (\\ frac (a) (b)) ^ n $.

Misal.
$ \\ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (\\ frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 $.

Her aritmetik işlem bazen yazmak için çok zahmetli hale gelir ve bunu basitleştirmeye çalışırlar. Ekleme işleminde öyleydi. İnsanların, örneğin, her biri 3 altın olan yüz İran halısının maliyetini hesaplamak için aynı türden birden çok ekleme yapması gerekiyordu. 3 + 3 + 3 +… + 3 \u003d 300. Hantallığı nedeniyle rekoru 3 * 100 \u003d 300'e düşürmesi düşünülüyordu. Aslında "üç çarpı yüz" rekoru, yüz tane almanız gerektiği anlamına gelir. üçe katlar ve bir araya toplar. Çarpma kök saldı ve genel popülerlik kazandı. Ancak dünya durmuyor ve Orta Çağ'da aynı türden çoklu çarpma yapmak gerekli hale geldi. İşinin karşılığı olarak bir buğday parçası isteyen bir bilge hakkındaki eski bir Hint bilmecesini hatırlıyorum: satranç tahtasının ilk karesi için bir tane, ikincisi için iki, üçüncüsü için dört, beşinci için sekiz tane istedi. , ve benzeri. Kuvvetlerin ilk çarpımı böyle ortaya çıktı, çünkü tane sayısı hücre sayısının gücüne ikiye eşitti. Örneğin, son hücrede 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 tane olacaktır, bu 18 karakter uzunluğunda bir sayıya eşittir, ki bu aslında bilmecenin anlamıdır.

Bir iktidara yükseltme işlemi oldukça hızlı bir şekilde kök saldı ve aynı zamanda güçlerin toplanması, çıkarılması, bölünmesi ve çoğaltılması da hızla gerekli hale geldi. İkincisi, daha ayrıntılı olarak düşünmeye değer. Derece eklemenin formülleri basittir ve hatırlaması kolaydır. Ayrıca, güç işlemi çarpma ile değiştirilirse nereden geldiklerini anlamak çok kolaydır. Ama önce temel terminolojiyi anlamalısın. A ^ b ifadesi ("a'nın b üssünü okuyun"), a sayısının kendisiyle b kez çarpılması gerektiği anlamına gelir ve "a", derecenin tabanı ve "b" üssü olarak adlandırılır. Derecelerin temelleri aynıysa, formüller oldukça basit bir şekilde türetilir. Somut örnek: 2 ^ 3 * 2 ^ 4 ifadesinin değerini bulun. Neyin ortaya çıkması gerektiğini bilmek için, çözüme başlamadan önce cevabı bilgisayarda bulmalısınız. Bu ifadeyi herhangi bir çevrimiçi hesap makinesine, bir arama motoruna, "farklı tabanlar ve aynı derecelerle çarpım" veya matematiksel bir paket yazdıktan sonra çıktı 128 olacaktır. Şimdi bu ifadeyi yazacağız: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 ve 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2. 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4) olduğu ortaya çıktı. Aynı tabana sahip derecelerin çarpımının, önceki iki derecenin toplamına eşit bir kuvvete yükseltilmiş tabana eşit olduğu ortaya çıktı.

Bunun bir kaza olduğunu düşünebilirsiniz, ancak hayır: başka herhangi bir örnek yalnızca bu kuralı doğrulayabilir. Dolayısıyla, genel anlamda formül şuna benzer: a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m). Sıfır derecedeki herhangi bir sayının bire eşit olduğu bir kural vardır. Burada negatif kuvvetler kuralını hatırlamalıyız: a ^ (- n) \u003d 1 / a ^ n. Yani, 2 ^ 3 \u003d 8 ise, 2 ^ (- 3) \u003d 1/8. Bu kuralı kullanarak, a ^ 0 \u003d 1: a ^ 0 \u003d a ^ (nn) \u003d a ^ n * a ^ (- n) \u003d a ^ (n) * 1 / a ^ (n) eşitliğini kanıtlayabiliriz, a ^ (n) iptal edilebilir ve geriye yalnızca biri kalır. Bu nedenle, aynı tabana sahip derecelerin bölümünün, bu tabana, bölünen indeksinin ve bölenin oranına eşit bir dereceye eşit olduğu kuralı türetilmiştir: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (nm) . Örnek: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2) ifadesini basitleştirin. Çarpma, değişmeli bir işlemdir, bu nedenle, önce çarpma üslerini eklemelisiniz: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2. Sonra, negatif bir üs ile bölme ile ilgilenmelisiniz. Bölenin endeksini bölünen endeksinden çıkarmak gerekir: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (1 - (- 2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Dereceye göre eksi bölme işleminin benzer bir pozitif üs ile çarpma işlemiyle aynı olduğu ortaya çıktı. Yani son cevap 8.

Kanonik olmayan derece çarpımının gerçekleştiği örnekler vardır. Dereceleri farklı temellerle çarpmak çoğu zaman çok daha zordur ve hatta bazen imkansızdır. Farklı olası tekniklerin birkaç örneği verilmelidir. Örnek: 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729 ifadesini basitleştirin. Açıktır ki, farklı tabanlar ile güçlerin çarpımı vardır. Ancak, tüm bazların üçlünün farklı dereceleri olduğu unutulmamalıdır. 9 \u003d 3 ^ 2.1 \u003d 3 ^ 4.3 \u003d 3 ^ 5.9 \u003d 3 ^ 6. (A ^ n) ^ m \u003d a ^ (n * m) kuralını kullanarak, ifadeyi daha uygun bir biçimde yeniden yazmalısınız: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11). Cevap: 3 ^ 11. Farklı gerekçelerin olduğu durumlarda, a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n kuralı eşit göstergeler için çalışır. Örneğin, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3. Aksi takdirde farklı bazlar ve göstergeler varken tam çarpma yapmak imkansızdır. Bazen bilgisayar teknolojisini kısmen basitleştirmek veya kullanmaya başvurmak mümkündür.

Matematikte derece kavramı cebir dersinde 7. sınıfta tanıtıldı. Ve gelecekte, matematik eğitimi boyunca, bu kavram aktif olarak çeşitli şekillerde kullanılmaktadır. Dereceler, anlamların ezberlenmesini ve doğru ve hızlı bir şekilde sayılma becerisini gerektiren oldukça zor bir konudur. Derecelerle daha hızlı ve daha iyi çalışmak için matematikçiler derecenin özelliklerini icat etti. Büyük hesaplamaları azaltmaya, büyük bir örneği bir dereceye kadar bir sayıya dönüştürmeye yardımcı olurlar. Çok fazla özellik yok ve hepsinin pratikte hatırlanması ve uygulanması kolaydır. Bu nedenle makale, derecenin temel özelliklerini ve bunların nerede uygulandığını tartışıyor.

Derece özellikleri

Aynı temellere sahip derecelerin özellikleri dahil olmak üzere bir derecenin 12 özelliğini ele alacağız ve her özellik için bir örnek vereceğiz. Bu özelliklerin her biri, sorunları derecelerle daha hızlı çözmenize yardımcı olacak ve sizi sayısız hesaplama hatasından kurtaracaktır.

1. mülk.

Çoğu insan bu özelliği unutur, hatalar yapar, sıfır derecesindeki bir sayıyı sıfır olarak gösterir.

2. mülk.

3. mülk.

Bu özelliğin yalnızca sayıları çarparken uygulanabileceği, bir toplamla çalışmadığı unutulmamalıdır! Ve bunun ve sonraki özelliklerin yalnızca aynı tabana sahip dereceler için geçerli olduğunu unutmamalıyız.

4. mülk.

Paydadaki sayı negatif bir kuvvete yükseltilirse, paydanın gücü çıkarılırken, sonraki hesaplamalarda doğru işaret değişikliği için parantez içinde alınır.

Özellik yalnızca bölme için çalışır, çıkarma için geçerli değildir!

5. mülk.

6. mülk.

Bu özellik ters yönde uygulanabilir. Sayıya bölünen birim bir dereceye kadar bu sayı eksi kuvvettir.

7. mülk.

Bu özellik, toplama ve farka uygulanamaz! Bir kuvvete bir toplam veya fark yükseltirken, güç özellikleri değil kısaltılmış çarpım formülleri kullanılır.

8. mülk.

9. mülk.

Bu özellik, pay bire eşit olan herhangi bir kesirli kuvvet için çalışır, formül aynı olacaktır, gücün paydasına bağlı olarak sadece kökün gücü değişecektir.

Ayrıca, bu özellik genellikle ters sırada kullanılır. Bir sayının herhangi bir gücünün kökü, bir sayının üssüne bölünen kökün gücüne bölünen sayı olarak temsil edilebilir. Bu özellik, bir sayının kökünün çıkarılmadığı durumlarda çok kullanışlıdır.

10. mülk.

Bu özellik, karekök ve ikinci dereceden daha fazlası için çalışır. Kökün derecesi ve bu kökün yükseltilme derecesi çakışırsa, cevap radikal bir ifade olacaktır.

11. mülk.

Kendinizi büyük hesaplardan kurtarmak için bir karar verirken bu mülkü zamanında görebilmeniz gerekir.

12. mülk.

Bu özelliklerin her biri, ödevlerde birden çok kez karşınıza çıkacaktır, saf haliyle verilebilir veya bazı dönüşümler ve diğer formüllerin kullanılmasını gerektirebilir. Bu nedenle, doğru çözüm için sadece özellikleri bilmek yeterli değildir, matematiksel bilginin geri kalanını uygulamanız ve bağlamanız gerekir.

Dereceleri ve özelliklerini uygulama

Cebir ve geometride aktif olarak kullanılırlar. Matematikteki derecelerin ayrı, önemli bir yeri vardır. Onların yardımıyla, üstel denklemler ve eşitsizlikler çözülür, ayrıca derecelere göre, denklemler ve matematiğin diğer dallarıyla ilgili örnekler genellikle karmaşıktır. Dereceler, büyük ve zaman alan hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olur, derecelerin kısaltılması ve hesaplanması daha kolaydır. Ancak büyük derecelerle veya çok sayıda güçle çalışmak için, yalnızca derecenin özelliklerini bilmeniz değil, aynı zamanda üslerle yetkin bir şekilde çalışmanız, bunları kendiniz için kolaylaştırmak için ayrıştırabilmeniz gerekir. Kolaylık sağlamak için, bir kuvvete yükseltilen sayıların anlamını da bilmelisiniz. Bu, karar verme sürenizi kısaltacak ve uzun hesaplamalara olan ihtiyacı ortadan kaldıracaktır.

Derece kavramı, logaritmalarda özel bir rol oynar. Çünkü logaritma özünde bir sayının gücüdür.

Kısaltılmış çarpım formülleri, güçleri kullanmanın başka bir örneğidir. Derecelerin özellikleri bunlara uygulanamaz, özel kurallara göre ayrıştırılır, ancak dereceler her formülde kısaltılmış çarpma için değişmez bir şekilde mevcuttur.

Dereceler ayrıca fizik ve bilgisayar bilimlerinde aktif olarak kullanılmaktadır. SI sistemine yapılan tüm çeviriler dereceler kullanılarak yapılır ve daha sonra problemleri çözerken derecenin özellikleri uygulanır. Bilgisayar biliminde, sayıların algılanmasını sayma ve basitleştirme kolaylığı için ikinin gücü aktif olarak kullanılır. Fizikte olduğu gibi ölçü birimlerinin dönüştürülmesi veya problemlerin hesaplanması için daha fazla hesaplama, derecenin özellikleri kullanılarak yapılır.

Dereceler, derecenin özelliklerinin kullanımını nadiren bulduğunuz astronomide de çok kullanışlıdır, ancak derecelerin kendileri, çeşitli miktarların ve mesafelerin kaydını kısaltmak için aktif olarak kullanılır.

Alanları, hacimleri, mesafeleri hesaplarken günlük yaşamda da dereceler kullanılır.

Dereceler yardımı ile bilimin her alanında çok büyük ve çok küçük değerler kaydedilir.

Üstel denklemler ve eşitsizlikler

Üstel denklemlerde ve eşitsizliklerde derece özelliklerinin özel bir yeri vardır. Bu görevler hem okul kursunda hem de sınavlarda çok yaygındır. Derecenin özellikleri uygulanarak hepsi çözülür. Bilinmeyen her zaman tam derecededir, bu nedenle, tüm özellikleri bilerek, böyle bir denklemi veya eşitsizliği çözmek zor olmayacaktır.