Sıradan kesirli sayılar ilk olarak 5. sınıfta okul çağındaki çocuklarla tanışır ve onlara hayatları boyunca eşlik eder, çünkü günlük yaşamda çoğu zaman bir nesneyi bir bütün olarak değil, ayrı parçalar halinde düşünmek veya kullanmak gerekir. Bu konuyu incelemeye başlayın - paylaşımlar. Paylar eşit parçadır, bunun veya bu nesnenin bölündüğü. Sonuçta, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını tam sayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; bazı ölçülerin parçaları veya kesirleri dikkate alınmalıdır. "Bölmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olan "kesir" kelimesinin kendisi 8. yüzyılda Rus dilinde ortaya çıktı.
Kesirli ifadeler uzun zamandır matematiğin en zor dalı olarak kabul ediliyor. 17. yüzyılda matematikle ilgili ilk ders kitapları ortaya çıktığında bunlara “kırık sayılar” adı veriliyordu ve bu durum insanların anlaması oldukça zordu.
Modern görünüm Parçaları yatay bir çizgiyle ayrılan basit kesirli kalanlar, ilk olarak Fibonacci - Pisa Leonardo tarafından tanıtıldı. Eserleri 1202 yılına tarihlenmektedir. Ancak bu makalenin amacı okuyucuya karışık kesirlerin nasıl çarpıldığını basit ve net bir şekilde açıklamaktır. farklı paydalar.
Paydaları Farklı Kesirlerle Çarpma
Başlangıçta belirlemeye değer kesir türleri:
- doğru;
- yanlış;
- karışık.
Daha sonra kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. aynı paydalar. Bu sürecin kuralını bağımsız olarak formüle etmek zor değildir: basit kesirleri aynı paydalarla çarpmanın sonucu, payı payların çarpımı olan kesirli bir ifadedir ve payda bu kesirlerin paydalarının çarpımıdır. . Yani aslında yeni payda, başlangıçta var olanlardan birinin karesidir.
Çarpma sırasında farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:
A/B * C/D = AC / b*d.
Tek fark, kesir çizgisinin altında ortaya çıkan sayının farklı sayıların çarpımı ve doğal olarak birin karesi olmasıdır. sayısal ifade adını koymak mümkün değil.
Örnekleri kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Örneklerde kesirli ifadelerin azaltılmasına yönelik yöntemler kullanılmaktadır. Pay sayılarını yalnızca payda sayılarıyla azaltabilirsiniz; kesir çizgisinin üstündeki veya altındaki bitişik faktörler azaltılamaz.
Basit kesirlerin yanı sıra karışık kesirler kavramı da vardır. Karışık sayı bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Çarpma nasıl çalışır?
Dikkate alınması için çeşitli örnekler verilmiştir.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Örnekte bir sayının çarpımı kullanılıyor sıradan kesirli kısım Bu eylemin kuralı şu şekilde yazılabilir:
A* B/C = a*b /C.
Aslında böyle bir çarpım aynı kesirli kalanların toplamıdır ve terim sayısı bunu gösterir. doğal sayı. Özel durum:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Bir sayıyı kesirli bir kalanla çarpmanın başka bir çözümü daha var. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:
D* e/F = e/f: d.
Bu teknik, paydanın kalansız bir doğal sayıya veya dedikleri gibi bir tam sayıya bölünmesi durumunda kullanışlıdır.
Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak temsil etmenin bir yolunu içerir; aynı zamanda şu şekilde de temsil edilebilir: Genel formül:
A BC = a*b+ c / c, burada yeni kesrin paydası, tüm parçanın payda ile çarpılması ve orijinal kesirli kalanının payı ile eklenmesiyle oluşturulur ve payda aynı kalır.
Bu süreç aynı zamanda şu şekilde de çalışır: ters taraf. Tam kısmı ve kesirli kalanı ayırmak için payı bölmeniz gerekir. uygunsuz kesir paydasına bir “köşe” ile.
Uygunsuz Kesirlerin Çarpılması genel kabul görmüş bir şekilde üretilir. Tek kesir çizgisi altında yazarken bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak ve sonucu hesaplamayı kolaylaştırmak için kesirleri gerektiği kadar azaltmanız gerekir.
İnternette, çeşitli program varyasyonlarındaki karmaşık matematik problemlerini bile çözmek için birçok yardımcı vardır. Yeterli sayıda bu tür hizmetler, kesirlerin çarpımının sayılmasında yardımcı olur. farklı sayılar paydalarda - kesirleri hesaplamak için sözde çevrimiçi hesap makineleri. Sadece çarpmakla kalmayıp, aynı zamanda sıradan kesirler ve karışık sayılarla diğer tüm basit aritmetik işlemleri de gerçekleştirebilirler. Çalışması zor değil; web sitesi sayfasında uygun alanları dolduruyor, matematiksel işlemin işaretini seçiyor ve "hesapla"ya tıklıyorsunuz. Program otomatik olarak hesaplama yapar.
Kesirlerle aritmetik işlemler konusu ortaokul ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede artık en basit türleri dikkate almıyorlar, ancak tamsayı kesirli ifadeler ancak daha önce elde edilen dönüşüm ve hesaplama kurallarının bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi derecede uzmanlaşılmış temel bilgi, çoğu soruna başarılı bir çözüm konusunda tam bir güven verir. karmaşık görevler.
Sonuç olarak, Lev Nikolaevich Tolstoy'un şu sözlerinden alıntı yapmak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - meziyetlerini - artırmak insanın elinde değildir ama herkes paydasını - kendisi hakkındaki görüşünü azaltabilir ve bu azalmayla mükemmelliğine yaklaşabilir.
Bölünme belirir. Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız adi kesirlerin bölünmesi. Öncelikle sıradan kesirleri bölme kuralını vereceğiz ve kesirleri bölme örneklerine bakacağız. Daha sonra sıradan bir kesri bir doğal sayıya ve sayıları da bir kesre bölmeye odaklanacağız. Son olarak, ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya nasıl böleceğimize bakalım.
Sayfada gezinme.
Ortak bir kesri ortak bir kesire bölmek
Bölmenin çarpma işleminin tersi olduğu bilinmektedir (bkz. bölme ve çarpma arasındaki bağlantı). Yani bölme, ürün ve başka bir faktör bilindiğinde bilinmeyen bir faktörün bulunmasını içerir. Sıradan kesirleri bölerken de bölmenin aynı anlamı korunur.
Sıradan kesirleri bölme örneklerine bakalım.
Kesirleri azaltmayı ve tüm parçayı yanlış kesirden ayırmayı unutmamamız gerektiğini unutmayın.
Bir kesri doğal sayıya bölme
Hemen vereceğiz kesri bir doğal sayıya bölme kuralı: a/b kesrini n doğal sayısına bölmek için payı aynı bırakıp paydayı n ile çarpmanız gerekir.
Bu bölme kuralı doğrudan sıradan kesirleri bölme kuralından gelir. Aslında bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek aşağıdaki eşitliklere yol açar: 
.
Bir kesri bir sayıya bölme örneğine bakalım.
Örnek.
16/45 kesrini 12 doğal sayısına bölün.
Çözüm.
Bir kesri bir sayıya bölme kuralına göre, 
. Kısaltmayı yapalım: . Bu bölüm tamamlandı.
Cevap:
.
Doğal bir sayıyı kesre bölme
Kesirleri bölme kuralı benzerdir doğal sayıyı kesre bölme kuralı: Bir n doğal sayısını ortak bir a/b kesrine bölmek için, n sayısını a/b kesirinin tersiyle çarpmanız gerekir.
Belirtilen kurala göre, ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı, onun formda yeniden yazılmasına izin verir.
Bir örneğe bakalım.
Örnek.
25 doğal sayısını 15/28 kesrine bölün.
Çözüm.
Bölme işleminden çarpma işlemine geçelim, elimizde 
. Parçanın tamamını küçültüp seçtikten sonra elde ederiz.
Cevap:
.
Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek
Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek sıradan kesirleri bölmeye kolayca indirgenir. Bunu yapmak için yürütmek yeterlidir
Bölme dahil kesirlerle her şeyi yapabilirsiniz. Bu makale sıradan kesirlerin bölünmesini göstermektedir. Tanımlar verilecek ve örnekler tartışılacaktır. Kesirleri doğal sayılara bölme ve bunun tersini ayrıntılı olarak ele alalım. Ortak bir kesrin tam sayılı bir sayıya bölünmesi tartışılacaktır.
Kesirleri bölme
Bölme çarpma işleminin tersidir. Bölme işleminde bilinmeyen faktör, başka bir faktörün bilinen çarpımı ile bulunur ve sıradan kesirlerle verilen anlamı korunur.
Ortak bir kesir a b'yi c d'ye bölmek gerekiyorsa, o zaman böyle bir sayıyı belirlemek için c d böleni ile çarpmanız gerekir, bu sonuçta a b temettüsünü verecektir. Bir sayı alalım ve bunu a b · d c olarak yazalım; burada d c, c d sayısının tersidir. Eşitlikler çarpmanın özellikleri kullanılarak yazılabilir, yani: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, burada a b · d c ifadesi a b'nin c d'ye bölünmesinin bölümüdür.
Buradan sıradan kesirleri bölme kuralını elde edip formüle ediyoruz:
Tanım 1
Ortak bir kesri a b'ye c d'ye bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.
Kuralı bir ifade biçiminde yazalım: a b: c d = a b · d c
Bölme kuralları çarpma işlemine bağlıdır. Buna bağlı kalabilmek için kesirlerle çarpma konusunda iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir.
Sıradan kesirlerin bölünmesini düşünmeye devam edelim.
örnek 1
9 7'yi 5 3'e bölün. Sonucu kesir olarak yazın.
Çözüm
5 3 sayısı, 3 5'in karşılıklı kesridir. Sıradan kesirleri bölmek için kuralı kullanmak gerekir. Bu ifadeyi şu şekilde yazıyoruz: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Cevap: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Kesirleri azaltırken pay paydadan büyükse tüm kısmı ayırın.
Örnek 2
8 15'i böl: 24 65. Cevabı kesirli olarak yazın.
Çözüm
Çözmek için bölme işleminden çarpma işlemine geçmeniz gerekir. Şu şekilde yazalım: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Azaltma yapılması gerekir ve bu şu şekilde yapılır: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Parçanın tamamını seçin ve 13 9 = 1 4 9 elde edin.
Cevap: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Olağanüstü bir kesri doğal bir sayıya bölmek
Bir kesri doğal sayıya bölme kuralını kullanırız: a b'yi doğal sayı n'ye bölmek için paydayı n ile çarpmanız yeterlidir. Buradan şu ifadeyi elde ederiz: a b: n = a b · n.
Bölme kuralı çarpma kuralının bir sonucudur. Bu nedenle, bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek şu türden bir eşitliği verecektir: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Bir kesrin bu sayıya bölünmesini düşünün.
Örnek 3
16 45 kesrini 12 sayısına bölün.
Çözüm
Bir kesri bir sayıya bölme kuralını uygulayalım. 16 45: 12 = 16 45 · 12 formunda bir ifade elde ederiz.
Kesri azaltalım. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 elde ederiz.
Cevap: 16 45: 12 = 4 135 .
Doğal bir sayıyı kesre bölme
Bölme kuralı benzer Ö bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle bölme kuralı: bir doğal sayı n'yi sıradan bir kesir a b'ye bölmek için, n sayısını a b kesirinin tersi ile çarpmak gerekir.
Kurala göre elimizde n: a b = n · b a bulunur ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı sayesinde ifademizi n: a b = n · b a biçiminde elde ederiz. Bu ayrımı bir örnekle ele almak gerekir.
Örnek 4
25'i 15 28'e bölün.
Çözüm
Bölme işleminden çarpma işlemine geçmemiz gerekiyor. 25:15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 ifadesi şeklinde yazalım. Kesri azaltalım ve sonucu 46 2 3 kesri şeklinde elde edelim.
Cevap: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek
Ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya bölerken, ortak kesirleri kolayca bölmeye başlayabilirsiniz. Karışık bir sayıyı yanlış kesire dönüştürmeniz gerekir.
Örnek 5
35 16 kesrini 3 1 8'e bölün.
Çözüm
3 1 8 karışık bir sayı olduğundan, bunu bileşik kesir olarak gösterelim. O zaman 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 elde ederiz. Şimdi kesirleri bölelim. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 elde ederiz
Cevap: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Karışık bir sayının bölünmesi normal sayılarla aynı şekilde yapılır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Kesirlerde çarpma ve bölme.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Bu işlem toplama-çıkarma işleminden çok daha güzel! Çünkü daha kolay. Bir hatırlatma olarak, bir kesri bir kesirle çarpmak için payları (bu, sonucun payı olacaktır) ve paydaları (bu payda olacaktır) çarpmanız gerekir. Yani:
Örneğin:
Her şey son derece basit. Ve lütfen ortak payda aramayın! Burada ona gerek yok...
Bir kesri kesre bölmek için işlemi tersine çevirmeniz gerekir. ikinci(bu önemlidir!) kesir yapın ve bunları çarpın, yani:
Örneğin:
Tamsayılar ve kesirlerle çarpma veya bölme işlemleriyle karşılaşırsanız sorun değil. Toplama işleminde olduğu gibi, paydası bir olan bir tam sayıdan kesir yaparız ve devam ederiz! Örneğin:
Lisede sık sık üç katlı (hatta dört katlı!) kesirlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Örneğin:
Bu kesirin düzgün görünmesini nasıl sağlayabilirim? Evet, çok basit! İki noktalı bölmeyi kullanın:
Ancak bölünme sırasını unutmayın! Çarpmanın aksine burada bu çok önemli! Elbette 4:2 veya 2:4'ü karıştırmayacağız. Ancak üç katlı bir kesirde hata yapmak kolaydır. Lütfen örneğin şunu unutmayın:
İlk durumda (soldaki ifade):
İkincisinde (sağdaki ifade):
Farkı hissediyor musun? 4 ve 1/9!
Bölünme sırasını ne belirler? Ya parantezlerle, ya da (burada olduğu gibi) yatay çizgilerin uzunluğuyla. Gözünüzü geliştirin. Ve eğer parantez veya tire yoksa, örneğin:
sonra böl ve çarp sırasıyla soldan sağa!
Ve ayrıca çok basit ve önemli teknik. Dereceli eylemlerde size çok faydalı olacaktır! Birini herhangi bir kesre, örneğin 13/15'e bölelim:
Vuruş tersine döndü! Ve bu her zaman olur. 1'i herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesirdir, yalnızca ters çevrilmiştir.
Kesirli işlemler için bu kadar. Olay oldukça basit ama gereğinden fazla hata veriyor. Not pratik tavsiye ve bunlardan daha az olacak (hatalar)!
Pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir! Değil ortak kelimeler, iyi dilekler değil! Bu çok ciddi bir gereklilik! Birleşik Devlet Sınavındaki tüm hesaplamaları tam teşekküllü, odaklanmış ve net bir görev olarak yapın. Taslağınıza fazladan iki satır yazmak, zihinsel hesaplamalar yaparken ortalığı karıştırmaktan daha iyidir.
2. Farklı kesir türlerine sahip örneklerde sıradan kesirlere geçiyoruz.
3. Tüm kesirleri durana kadar azaltıyoruz.
4. Çok seviyeli kesirli ifadeleri iki noktaya bölmeyi kullanarak sıradan ifadelere indirgeriz (bölme sırasını takip ederiz!).
5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.
İşte mutlaka tamamlamanız gereken görevler. Cevaplar tüm görevlerden sonra verilir. Bu konuyla ilgili materyalleri ve pratik ipuçlarını kullanın. Kaç örneği doğru çözebildiğinizi tahmin edin. İlk defa! Hesap makinesi olmadan! Ve doğru sonuçları çıkarın...
Unutmayın - doğru cevap ikinciden (özellikle üçüncüden) alınanlar sayılmaz! Zorlu hayat böyle.
Bu yüzden, sınav modunda çöz ! Bu arada, bu zaten Birleşik Devlet Sınavına hazırlık. Örneği çözüyoruz, kontrol ediyoruz, bir sonrakini çözüyoruz. Her şeye karar verdik - baştan sona tekrar kontrol ettik. Ama sadece Daha sonra cevaplara bakın.
Hesaplamak:
Karar verdin mi?
Sizinkine uygun cevaplar arıyoruz. Bunları kasıtlı olarak, deyim yerindeyse, baştan çıkarıcılıktan uzak, dağınık bir şekilde yazdım... İşte, noktalı virgülle yazılmış cevaplar.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Şimdi sonuçlar çıkarıyoruz. Her şey yolunda gittiyse, senin adına sevindim! Kesirlerle yapılan temel hesaplamalar sizin sorununuz değil! Daha ciddi şeyler yapabilirsiniz. Değilse...
Yani iki problemden birine sahipsiniz. Veya her ikisi de aynı anda.) Bilgi eksikliği ve (veya) dikkatsizlik. Ama bu çözülebilir Sorunlar.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kesir, bir bütünün bir veya daha fazla parçası olup genellikle bir (1) olarak alınır. Doğal sayılarda olduğu gibi kesirlerle de tüm temel aritmetik işlemleri (toplama, çıkarma, bölme, çarpma) gerçekleştirebilirsiniz; bunun için kesirlerle çalışmanın özelliklerini bilmeniz ve türlerini ayırt etmeniz gerekir. Birkaç kesir türü vardır: ondalık ve sıradan veya basit. Her kesir türünün kendine has özellikleri vardır, ancak bunları nasıl ele alacağınızı iyice anladığınızda, kesirlerle aritmetik hesaplamalar yapmanın temel ilkelerini bileceğiniz için kesirlerle her türlü örneği çözebileceksiniz. Bir kesirin tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin örneklere bakalım: farklı şekiller kesirler.
Basit bir kesir doğal sayıya nasıl bölünür?Sıradan veya basit kesirler, kesirin üst kısmında bölenin (pay) ve alt kısımda bölenin (payda) belirtildiği sayıların oranı şeklinde yazılan kesirlerdir. Böyle bir kesir bir tam sayıya nasıl bölünür? Bir örneğe bakalım! Diyelim ki 8/12'yi 2'ye bölmemiz gerekiyor.
Bunu yapmak için bir dizi eylem gerçekleştirmeliyiz:
Dolayısıyla, bir kesri bir tam sayıya bölme göreviyle karşı karşıya kalırsak, çözüm diyagramı şöyle görünecektir: 
Benzer şekilde herhangi bir sıradan (basit) kesri bir tam sayıya bölebilirsiniz.
Ondalık sayı bir tam sayıya nasıl bölünür?
Ondalık sayı, bir birimin on, bin vb. parçalara bölünmesiyle elde edilen kesirdir. Aritmetik işlemler ondalık kesirlerle oldukça basittir.
Bir kesirin bir tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin bir örneğe bakalım. Diyelim ki 0,925 ondalık kesirini 5 doğal sayısına bölmemiz gerekiyor.
Özetlemek gerekirse, ondalık kesirleri bir tam sayıya bölme işlemini gerçekleştirirken önemli olan iki ana nokta üzerinde duralım: - ayrılık için ondalık Sütun bölümü doğal sayılar için kullanılır;
- Payın tamamının bölünmesi tamamlandığında bölüme virgül konur.
