() ve Euler'in çalışmalarından sonra genel olarak kabul edildi. Bu isim Yunanca περιφέρεια - daire, çevre ve περίμετρος - çevre kelimelerinin ilk harfinden gelir.
Derecelendirmeler
- 510 ondalık basamak: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 9 98 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…
Özellikler
Oranlar
π sayısını içeren birçok bilinen formül vardır:
- Wallis formülü:
- Euler'in kimliği:
- T.n. "Poisson integrali" veya "Gauss integrali"
Aşkınlık ve mantıksızlık
Çözülmemiş sorunlar
- π ve sayılarının olup olmadığı bilinmemektedir. e cebirsel olarak bağımsızdır.
- π + sayılarının olup olmadığı bilinmiyor e , π − e , π e , π / e , π e , π π , e e transandantal.
- Şu ana kadar π sayısının normalliği hakkında hiçbir şey bilinmiyor; π sayısının ondalık gösteriminde 0-9 arasındaki rakamlardan hangisinin sonsuz sayıda göründüğü bile bilinmemektedir.
Hesaplama geçmişi
ve Chudnovsky
Anımsatıcı kurallar
Hata yapmamak için doğru okumalıyız: Üç, on dört, on beş, doksan iki ve altı. Sadece her şeyi olduğu gibi hatırlamaya çalışmalısınız: Üç, on dört, on beş, doksan iki ve altı. Üç, on dört, on beş, dokuz, iki, altı, beş, üç, beş. Bilim yapmak için herkesin bunu bilmesi gerekir. Daha sık deneyip tekrarlayabilirsiniz: "Üç, on dört, on beş, Dokuz, yirmi altı ve beş."
2. Aşağıdaki cümlelerdeki her kelimenin harf sayısını sayın ( noktalama işaretleri hariç) ve bu sayıları arka arkaya yazın - elbette ilk "3" rakamından sonraki ondalık noktayı unutmadan. Sonuç yaklaşık bir Pi sayısı olacaktır.
Bunu çok iyi biliyorum ve hatırlıyorum: Ama birçok işaret benim için gereksiz, boşuna.
Her kim şaka yollu ve kısa sürede Pi'nin numarayı bilmesini isterse - zaten biliyor!
Bunun üzerine Misha ve Anyuta koşarak geldiler ve numarayı öğrenmek istediler.
(İkinci anımsatıcı doğrudur (son rakamın yuvarlanmasıyla) sadece reform öncesi yazım kullanırken: kelimelerdeki harflerin sayısını sayarken sert işaretleri hesaba katmak gerekir!)
Bu anımsatıcı gösterimin başka bir versiyonu:
Bunu çok iyi biliyorum ve hatırlıyorum:
Ve birçok işaret benim için boşuna gereksiz.
Muazzam bilgimize güvenelim
Donanmanın sayılarını sayanlar.
Şiirsel ölçüyü takip ederseniz hemen hatırlayabilirsiniz:
Üç, on dört, on beş, dokuz iki, altı beş, üç beş
Sekiz dokuz, yedi ve dokuz, üç iki, üç sekiz, kırk altı
İki altı dört, üç üç sekiz, üç iki yedi dokuz, beş sıfır iki
sekiz sekiz ve dört, on dokuz, yedi, bir
Eğlenceli gerçekler
Notlar
Diğer sözlüklerde “Pi”nin ne olduğunu görün:
sayı- Alıcı kaynak: GOST 111 90: Cam levha. Teknik özellikler orijinal belge Ayrıca ilgili terimlere bakınız: 109. Betatron salınımlarının sayısı ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı
İsim, s., kullanılmış. çok sık Morfoloji: (hayır) ne? sayılar, ne? sayı, (bkz.) ne? sayı, ne? sayı, ne hakkında? sayı hakkında; pl. Ne? sayılar, (hayır) ne? sayılar, neden? sayılar, (bkz.) ne? sayılar, ne? sayılar, ne hakkında? Sayılar matematiği hakkında 1. Sayılara göre... ... Sözlük Dmitrieva
SAYI, sayılar, çoğul. sayılar, sayılar, sayılar, bkz. 1. Niceliğin ifadesi olarak hizmet eden kavram, nesnelerin ve olayların sayıldığı bir şey (mat.). Tamsayı. Kesirli bir sayı. Adlandırılmış numara. Asal sayı. (Basit 1'i 1 arada değerine bakın).… … Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü
Belirli bir dizinin herhangi bir üyesi için, bu üyenin önünde veya arkasında başka bir belirli üyenin bulunduğu, özel içerikten yoksun soyut bir tanımlama; Bir seti diğerlerinden ayıran soyut bireysel özellik... ... Felsefi Ansiklopedi
Sayı- Sayı gramer kategorisi, ifade etme niceliksel özellikler düşünce nesneleri Dilbilgisel sayı, sözcüksel tezahürün yanı sıra daha genel dilsel nicelik kategorisinin (bkz. Dil kategorisi) tezahürlerinden biridir (“sözcüksel... ... Dilbilimsel ansiklopedik sözlük
Matematikte sıklıkla bulunan ve yaklaşık olarak 2,718'e eşit bir sayı. Doğa Bilimleri. Örneğin, radyoaktif bir madde t süresinden sonra bozunduğunda, maddenin başlangıç miktarından e kt'ye eşit bir kesir kalır; burada k bir sayıdır,... ... Collier Ansiklopedisi
A; pl. sayılar, sat, çarpma; evlenmek 1. Belirli bir miktarı ifade eden hesap birimi. Kesirli, tam sayı, asal saatler Çift, tek saatler Yuvarlak sayılarla sayın (yaklaşık olarak, tam birimler veya onluk olarak sayma). Doğal h.(pozitif tamsayı... ansiklopedik sözlük
Evlenmek. miktar, sayıma göre, soruya: ne kadar? ve miktarı, sayıyı ifade eden işaretin kendisi. Numarasız; saymadan sayı olmaz, çok, çok. Çatal bıçak takımınızı misafir sayısına göre ayarlayın. Roma, Arap veya kilise numaraları. Tamsayı, zıt. kesir... ... Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü
Bir dairenin çevresinin çapına oranı tüm daireler için aynıdır. Bu oran genellikle Yunanca harfle (“pi” - Yunanca kelimenin baş harfi) gösterilir. 
"daire" anlamına geliyordu).
Arşimet, “Çemberin Ölçülmesi” adlı eserinde çevrenin çapa (sayıya) oranını hesaplamış ve bunun 3 10/71 ile 3 1/7 arasında olduğunu bulmuştur.
Uzun bir süre boyunca 22/7 sayısı yaklaşık bir değer olarak kullanıldı, ancak 5. yüzyılda Çin'de 355/113 = 3.1415929... yaklaşımı bulunmuş olmasına rağmen, bu sayı Avrupa'da ancak 16. yüzyılda yeniden keşfedildi.
İÇİNDE Antik Hindistan= 3,1622…'ye eşit kabul edilir.
Fransız matematikçi F. Viète, 1579'da 9 rakamla hesapladı.
Hollandalı matematikçi Ludolf Van Zeijlen, 1596 yılında on yıllık çalışmasının sonucunu - 32 basamakla hesaplanan sayıyı - yayınladı.
Ancak sayının değerine ilişkin tüm bu açıklamalar Arşimed'in belirttiği yöntemler kullanılarak gerçekleştirildi: dairenin yerini her şeyi içeren bir çokgen aldı. Büyük bir sayı taraflar Yazılı çokgenin çevresi dairenin çevresinden daha küçüktü ve çevrelenen çokgenin çevresi daha büyüktü. Ancak aynı zamanda sayının rasyonel yani iki tam sayının oranı mı yoksa irrasyonel mi olduğu belirsizliğini korudu.
Sadece 1767'de Alman matematikçi I.G. Lambert bu sayının irrasyonel olduğunu kanıtladı.
Ve yüz yılı aşkın bir süre sonra, 1882'de, başka bir Alman matematikçi F. Lindemann, bunun aşkınlığını kanıtladı; bu, bir pergel ve bir cetvel kullanarak belirli bir daireye eşit büyüklükte bir kare oluşturmanın imkansızlığı anlamına geliyordu.
En basit ölçüm
Kalın karton üzerine çapı bir daire çizin D(=15cm), ortaya çıkan daireyi kesin ve etrafına ince bir iplik sarın. Uzunluğun ölçülmesi ben(=46,5 cm) ipliğin bir tam turu, bölün ben çap uzunluğu başına D daireler. Ortaya çıkan bölüm, sayının yaklaşık değeri olacaktır; = ben/ D= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Bu oldukça kaba yöntem, normal koşullar altında, sayının 1'e kadar doğru olan yaklaşık değerini verir.
Tartılarak ölçme
Bir karton parçasına bir kare çizin. İçine bir daire yazalım. Bir kare keselim. Okul terazisini kullanarak bir karton karenin kütlesini belirleyelim. Kareden bir daire keselim. Onu da tartalım. Meydanın kütlelerini bilmek metrekare (=10 gr) ve içinde yazılı olan daire m cr (=7,8 gr) formülleri kullanalım
nerede p ve H– sırasıyla kartonun yoğunluğu ve kalınlığı, S– şeklin alanı. Eşitliklere bakalım:
Doğal olarak bu durumda yaklaşık değer tartım doğruluğuna bağlıdır. Tartılan karton figürler oldukça büyükse, sıradan ölçeklerde bile sayının 0,1 doğrulukla tahmin edilmesini sağlayacak kütle değerleri elde etmek mümkündür.
Yarım daire içine yazılan dikdörtgenlerin alanlarının toplamı
Resim 1
A (a; 0), B (b; 0) olsun. AB üzerindeki yarım daireyi çap olarak tanımlayalım. AB parçasını x 1, x 2, ..., x n-1 noktalarına göre n eşit parçaya bölün ve onlardan dik açıları yarım daire ile kesişme noktasına geri getirin. Bu tür dikmelerin her birinin uzunluğu f(x)= fonksiyonunun değeridir. Şekil 1'den yarım dairenin alanının S'nin aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabileceği açıktır.
S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.
Bizim durumumuzda b=1, a=-1. Daha sonra = 2 S.
AB segmentinde ne kadar çok bölme noktası varsa değerler o kadar doğru olacaktır. Monoton bilgi işlem çalışmasını kolaylaştırmak için, BASIC'te derlenen program 1'in aşağıda verildiği bir bilgisayar yardımcı olacaktır.
Program 1REM "Pi Hesaplaması"
REM "Dikdörtgen Yöntemi"
INPUT "Dikdörtgen sayısını girin", n
dx = 1/n
İÇİN i = 0 İLE n - 1
f = KARE(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
SONRAKİ ben
p = 4 * dx * a
PRINT "Pi'nin değeri ", p
SON
Program farklı parametre değerleriyle yazıldı ve başlatıldı N. Ortaya çıkan sayı değerleri tabloya yazılmıştır:
Monte Carlo yöntemi
Bu aslında istatistiksel bir test yöntemidir. Egzotik adını Monako Prensliği'ndeki kumar evleriyle ünlü Monte Carlo şehrinden almıştır. Gerçek şu ki, yöntem rastgele sayıların kullanılmasını gerektiriyor ve rastgele sayılar üreten en basit cihazlardan biri rulet. Ancak...yağmur kullanarak rastgele sayılar elde edebilirsiniz.
Deney için bir parça karton hazırlayalım, üzerine bir kare çizelim ve karenin içine bir dairenin çeyreğini yazalım. Böyle bir çizim bir süre yağmurda tutulursa yüzeyinde damla izleri kalacaktır. Karenin içindeki ve çeyrek dairenin içindeki iz sayısını sayalım. Açıkçası, damlalar çizimde farklı yerlere eşit olasılıkla düşeceğinden, oranları bu rakamların alanlarının oranına yaklaşık olarak eşit olacaktır. İzin vermek N cr– bir dairedeki damla sayısı, N metrekare damla sayısının karesi, o zaman
4 N cr / N metrekare
şekil 2
Yağmur, özel bir program kullanılarak bilgisayar kullanılarak derlenen rastgele sayılar tablosuyla değiştirilebilir. Bir damlanın her izine eksenler boyunca konumunu karakterize eden iki rastgele sayı atayalım. Ah Ve kuruluş birimi. Rastgele sayılar tablodan herhangi bir sırayla, örneğin bir satırda seçilebilir. Tablodaki ilk dört haneli sayı olsun 3265 . Ondan her biri sıfırdan büyük ve birden küçük olan bir çift sayı hazırlayabilirsiniz: x=0,32, y=0,65. Bu sayıları düşüşün koordinatları olarak kabul edeceğiz, yani düşüş (0,32; 0,65) noktasına ulaşmış gibi görünüyor. Aynısını seçilen tüm rastgele sayılarla yapıyoruz. Eğer bu noktaya gelirse (x;y) Eşitsizlik geçerliyse çemberin dışındadır. Eğer x + y = 1, o zaman nokta dairenin içinde yer alır.
Değeri hesaplamak için yine formül (1) kullanıyoruz. Bu yöntemi kullanan hesaplama hatası genellikle ile orantılıdır; burada D bir sabittir ve N test sayısıdır. Bizim durumumuzda N = N metrekare. Bu formülden açıktır: Hatayı 10 kat azaltmak için (başka bir deyişle cevapta başka bir doğru ondalık basamak elde etmek için), N'yi, yani iş miktarını 100 kat artırmanız gerekir. Monte Carlo yönteminin kullanımının ancak bilgisayarlar sayesinde mümkün olduğu açıktır. Program 2 açıklanan yöntemi bir bilgisayarda uygular.
Program 2REM "Pi Hesaplaması"
REM "Monte Carlo Yöntemi"
INPUT "Düşme sayısını girin", n
m = 0
İÇİN i = 1 İLA n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
EĞER x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
SONRAKİ ben
p=4*m/n
SON
Program n parametresinin farklı değerleriyle yazıldı ve başlatıldı. Ortaya çıkan sayı değerleri tabloya yazılmıştır:
| N | ||||||
| N | ||||||
İğne düşürme yöntemi
Sıradan bir dikiş iğnesi ve bir kağıt parçası alalım. Aralarındaki mesafeler eşit olacak ve iğnenin uzunluğunu aşacak şekilde kağıda birkaç paralel çizgi çizeceğiz. Çizim, yanlışlıkla atılan bir iğnenin sınırlarının dışına çıkmaması için yeterince büyük olmalıdır. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: A- çizgiler arasındaki mesafe, ben– iğne uzunluğu.
Figür 3
Çizimin üzerine rastgele atılan bir iğnenin konumu (bkz. Şekil 3), ortasından en yakın düz çizgiye kadar olan X mesafesi ve iğnenin, iğnenin ortasından aşağıya doğru indirilen dikey ile yaptığı j açısı ile belirlenir. en yakın düz çizgi (bkz. Şekil 4). Açık ki
Şekil 4
İncirde. 5 fonksiyonu grafiksel olarak temsil edelim y=0,5cos. Olası tüm iğne konumları koordinatlı noktalarla karakterize edilir (;y), ABCD bölümünde bulunur. AED'nin gölgeli alanı, iğnenin düz bir çizgiyle kesiştiği duruma karşılık gelen noktalardır. Olayın olasılığı A– “iğne düz bir çizgiyi geçti” – aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Şekil 5
Olasılık p(a)İğnenin tekrar tekrar atılmasıyla yaklaşık olarak belirlenebilir. İğnenin çizimin üzerine atılmasına izin verin C bir kez ve P düz çizgilerden birini geçerken düştüğü için yeterince büyük bir değerle C sahibiz p(a) = p/c. Buradan = 2 l s / ak.
Yorum. Sunulan yöntem istatistiksel test yönteminin bir çeşididir. Basit deneyimi oldukça karmaşık bir matematiksel modelin yaratılmasıyla birleştirmeye yardımcı olduğu için didaktik açıdan ilginçtir.
Taylor serisini kullanarak hesaplama
Keyfi bir işlevin dikkate alınmasına dönelim f(x). Bu noktada onun için öyle olduğunu varsayalım. x 0 kadar tüm siparişlerin türevleri vardır N dahil. Daha sonra fonksiyon için f(x) Taylor serisini yazabiliriz:
Bu seriyi kullanan hesaplamalar, serinin ne kadar çok üyesi dahil olursa o kadar doğru olacaktır. Elbette bu yöntemi program 3'ü kullanabileceğiniz bir bilgisayarda uygulamak en iyisidir.
Program 3REM "Pi Hesaplaması"
REM "Taylor serisi genişletmesi"
GİRİŞ n
bir = 1
İÇİN i = 1 İLA n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
SONRAKİ ben
p = 4 * bir
PRINT "pi'nin değeri eşittir"; P
SON
Program n parametresinin farklı değerleriyle yazıldı ve çalıştırıldı. Ortaya çıkan sayı değerleri tabloya yazılmıştır:
Bir sayının anlamını hatırlamak için çok basit anımsatıcı kurallar vardır: |
Pi neye eşittir? okuldan biliyoruz ve hatırlıyoruz. 3,1415926'ya eşittir ve bu şekilde devam eder... Sıradan bir insana Bu sayının bir dairenin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edildiğini bilmek yeterlidir. Ancak birçok kişi Pi sayısının yalnızca matematik ve geometride değil, fizikte de beklenmedik alanlarda ortaya çıktığını biliyor. Peki, bu sayının doğasının detaylarına inerseniz, sonsuz sayı dizileri arasında pek çok şaşırtıcı şeyi fark edeceksiniz. Pi'nin evrenin en derin sırlarını saklaması mümkün mü?
Sonsuz sayı
Pi sayısı dünyamızda çapı bire eşit olan bir dairenin uzunluğu olarak karşımıza çıkıyor. Ancak Pi'ye eşit olan parça oldukça sonlu olmasına rağmen Pi sayısı 3,1415926'dan başlayıp asla tekrarlanmayan sayı satırları halinde sonsuza kadar gider. Birinci Muhteşem gerçek geometride kullanılan bu sayının tam sayıların kesri olarak ifade edilememesidir. Yani iki sayının a/b oranı şeklinde yazamazsınız. Ayrıca Pi sayısı aşkındır. Bu, çözümü Pi sayısı olacak tamsayı katsayılı bir denklemin (polinom) olmadığı anlamına gelir.
Pi sayısının aşkın olduğu 1882 yılında Alman matematikçi von Lindemann tarafından kanıtlanmıştır. Bir pergel ve bir cetvel kullanarak alanı belirli bir dairenin alanına eşit bir kare çizmenin mümkün olup olmadığı sorusunun cevabı bu kanıttı. Bu sorun, eski çağlardan beri insanlığı endişelendiren dairenin karesi arayışı olarak biliniyor. Görünüşe göre bu sorunun basit bir çözümü vardı ve çözülmek üzereydi. Ancak dairenin karesi sorununun hiçbir çözümünün olmadığını gösteren şey kesinlikle Pi sayısının anlaşılmaz özelliğiydi.
En az dört buçuk bin yıldır insanlık Pi için giderek daha doğru bir değer elde etmeye çalışıyor. Örneğin İncil'in Üçüncü Krallar Kitabı'nda (7:23) Pi sayısı 3 olarak alınır.
Olağanüstü doğruluktaki Pi değeri Giza piramitlerinde bulunabilir: piramitlerin çevre ve yükseklik oranı 22/7'dir. Bu kesir Pi'nin yaklaşık değerini 3,142'ye eşit verir... Tabii Mısırlılar bu oranı tesadüfen belirlemedikçe. Aynı değer, M.Ö. 3. yüzyılda büyük Arşimet tarafından Pi sayısının hesaplanmasında da elde edilmişti.
Tarihi M.Ö. 1650'ye kadar uzanan eski Mısır matematik ders kitabı Ahmes Papirüsü'nde Pi sayısı 3.160493827 olarak hesaplanıyor.
MÖ 9. yüzyıl civarındaki eski Hint metinlerinde en doğru değer, 3.1388'e eşit olan 339/108 sayısıyla ifade ediliyordu...
Arşimed'den sonra neredeyse iki bin yıl boyunca insanlar Pi'yi hesaplamanın yollarını bulmaya çalıştılar. Bunların arasında hem ünlü hem de bilinmeyen matematikçiler vardı. Örneğin, Romalı mimar Marcus Vitruvius Pollio, Mısırlı gökbilimci Claudius Ptolemy, Çinli matematikçi Liu Hui, Hintli bilge Aryabhata, Orta Çağ matematikçisi Pisalı Leonardo, Fibonacci olarak bilinen, Arap bilim adamı Al-Khwarizmi, adından bu kelimeyi almıştır. “algoritma” ortaya çıktı. Hepsi ve daha pek çok kişi Pi'yi hesaplamak için en doğru yöntemleri arıyorlardı, ancak 15. yüzyıla kadar hesaplamaların karmaşıklığı nedeniyle hiçbir zaman 10'dan fazla ondalık basamağı elde edemediler.
Sonunda, 1400 yılında Sangamagram'dan Hintli matematikçi Madhava, Pi'yi 13 basamaklı bir doğrulukla hesapladı (gerçi son ikisinde hâlâ yanılıyordu).
İşaret sayısı
17. yüzyılda Leibniz ve Newton, sonsuz küçük niceliklerin analizini keşfettiler; bu, Pi'nin güç serileri ve integraller yoluyla daha aşamalı olarak hesaplanmasını mümkün kıldı. Newton'un kendisi 16 ondalık basamağı hesapladı, ancak kitaplarında bundan bahsetmedi - bu onun ölümünden sonra anlaşıldı. Newton Pi sayısını tamamen can sıkıntısından hesapladığını iddia etti.
Aynı sıralarda, daha az tanınan diğer matematikçiler de öne çıktı ve Pi sayısını trigonometrik fonksiyonlarla hesaplamak için yeni formüller önerdiler.
Örneğin astronomi öğretmeni John Machin'in 1706 yılında Pi'yi hesaplamak için kullandığı formül şudur: PI/4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Machin analitik yöntemler kullanarak Pi sayısını bu formülden yüz ondalık basamağa kadar türetmiştir.
Bu arada, aynı 1706'da Pi sayısı Yunanca harf biçiminde resmi bir isim aldı: William Jones bunu matematik üzerine yaptığı çalışmalarda kullandı ve Yunanca "daire" anlamına gelen "çevre" kelimesinin ilk harfini aldı. .” 1707'de doğan büyük Leonhard Euler, artık her okul çocuğunun bildiği bu ismi popüler hale getirdi.
Bilgisayar çağından önce matematikçiler mümkün olduğu kadar çok işareti hesaplamaya odaklandılar. Bu bakımdan bazen komik şeyler ortaya çıktı. Amatör matematikçi W. Shanks, 1875'te Pi'nin 707 basamağını hesapladı. Bu yedi yüz işaret, 1937'de Paris'teki Palais des Discoverys'in duvarında ölümsüzleştirildi. Ancak dokuz yıl sonra gözlemci matematikçiler yalnızca ilk 527 karakterin doğru şekilde hesaplandığını keşfettiler. Müze, hatayı düzeltmek için önemli masraflara katlanmak zorunda kaldı; artık tüm rakamlar doğru.
Bilgisayarlar ortaya çıktığında Pi'nin basamak sayısı tamamen hayal edilemeyecek sıralarda hesaplanmaya başlandı.
İlklerden biri elektronik bilgisayarlar 1946'da oluşturulan ENIAC, muazzam büyüklükteydi ve o kadar çok ısı üretiyordu ki oda 50 santigrat dereceye kadar ısınıyordu ve Pi'nin ilk 2037 hanesini hesapladı. Bu hesaplama makinenin 70 saatini aldı.
Bilgisayarlar geliştikçe Pi hakkındaki bilgimiz giderek daha da sonsuza doğru ilerledi. 1958 yılında sayının 10 bin basamağı hesaplanıyordu. 1987'de Japonlar 10.013.395 karakter hesapladı. Japon araştırmacı Shigeru Hondo, 2011 yılında 10 trilyon karakter sınırını aştı.
Pi'yle başka nerede tanışabilirsin?
Bu nedenle, Pi sayısı hakkındaki bilgimiz çoğu zaman okul düzeyinde kalır ve bu sayının öncelikle geometride yeri doldurulamaz olduğundan eminiz.
Bir dairenin uzunluğu ve alanı için formüllere ek olarak, Pi sayısı elipsler, küreler, koniler, silindirler, elipsoidler vb. formüllerinde kullanılır: bazı yerlerde formüller basit ve hatırlanması kolaydır, ancak diğerlerinde ise çok karmaşık integraller içerirler.
Daha sonra, ilk bakışta geometrinin görünmediği matematiksel formüllerde Pi sayısıyla karşılaşabiliriz. Örneğin, belirsiz integral 1/(1-x^2)'den Pi'ye eşittir.
Pi genellikle seri analizinde kullanılır. Örneğin Pi'ye yakınsayan basit bir seri:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4
Seriler arasında Pi, en beklenmedik şekilde ünlü Riemann zeta fonksiyonunda karşımıza çıkıyor. Özetle bundan bahsetmek imkansız, diyelim ki bir gün Pi sayısı asal sayıları hesaplamak için bir formül bulmaya yardımcı olacak.
Ve kesinlikle şaşırtıcı bir şekilde: Pi, matematiğin en güzel "kraliyet" formüllerinden ikisinde karşımıza çıkıyor: Stirling formülü (faktöriyel ve gama fonksiyonunun yaklaşık değerini bulmaya yardımcı olan) ve Euler formülü (beş kadar matematiksel sabiti birbirine bağlayan).
Ancak olasılık teorisinde matematikçileri en beklenmedik keşif bekliyordu. Pi sayısı da orada.
Örneğin iki sayının aralarında asal olma olasılığı 6/PI^2'dir.
Pi, Buffon'un 18. yüzyılda formüle ettiği iğne atma probleminde karşımıza çıkıyor: Çizgili bir kağıt parçasına atılan iğnenin çizgilerden birini geçme olasılığı nedir? İğnenin uzunluğu L ve çizgiler arasındaki mesafe L ise ve r > L ise, Pi değerini 2L/rPI olasılık formülünü kullanarak yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. Sadece hayal edin; Pi'yi nereden alabileceğimizi rastgele olaylar. Ve bu arada, Pi de mevcut normal dağılım olasılıklar ünlü Gauss eğrisinin denkleminde görünür. Bu, Pi'nin sadece çevrenin çapa oranından daha temel olduğu anlamına mı geliyor?
Pi ile fizikte de tanışabiliriz. Pi, iki yük arasındaki etkileşim kuvvetini tanımlayan Coulomb yasasında, bir gezegenin Güneş etrafındaki dönüş periyodunu gösteren Kepler'in üçüncü yasasında ve hatta hidrojen atomunun elektron yörüngelerinin dizilişinde ortaya çıkar. Ve yine en inanılmaz olanı, Pi sayısının, kuantum fiziğinin temel yasası olan Heisenberg belirsizlik ilkesinin formülünde gizli olmasıdır.
Pi'nin Sırları
Carl Sagan'ın aynı adlı filmin dayandığı romanı Temas'ta uzaylılar kahramana Pi'nin işaretleri arasında Tanrı'dan gelen gizli bir mesajın olduğunu söyler. Belirli bir konumdan itibaren sayıdaki sayılar rastgele olmaktan çıkar ve Evrenin tüm sırlarının yazıldığı bir kodu temsil eder.
Bu roman aslında tüm dünyadaki matematikçilerin aklını meşgul eden bir gizemi yansıtıyordu: Pi, rakamları eşit frekansta dağılmış normal bir sayı mıdır, yoksa bu sayıda bir sorun mu var? Ve bilim adamları ilk seçeneğe eğilimli olsalar da (ancak bunu kanıtlayamasalar da), Pi sayısı çok gizemli görünüyor. Bir zamanlar Japon bir adam, Pi'nin ilk trilyon basamağında 0'dan 9'a kadar olan sayıların kaç kez geçtiğini hesapladı. Ve 2, 4 ve 8 rakamlarının diğerlerine göre daha yaygın olduğunu gördüm. Bu, Pi'nin tamamen normal olmadığının ve içindeki sayıların aslında rastgele olmadığının ipuçlarından biri olabilir.
Yukarıda okuduklarımızı hatırlayalım ve kendimize şu soruyu soralım: Gerçek dünyada başka hangi irrasyonel ve aşkın sayı bu kadar sık bulunur?
Ve daha birçok tuhaflık var. Örneğin Pi sayısının ilk yirmi rakamının toplamı 20, ilk 144 rakamının toplamı ise “canavarın sayısı” 666’ya eşittir.
Amerikan dizisi “Şüpheli”nin ana karakteri Profesör Finch, öğrencilere Pi sayısının sonsuzluğu nedeniyle, içinde doğum tarihinizin rakamlarından daha karmaşık sayılara kadar herhangi bir sayı kombinasyonunun bulunabileceğini söyledi. . Örneğin, 762. pozisyonda altı dokuzlu bir dizi vardır. Bu ilginç kombinasyonu fark eden ünlü fizikçiye ithafen bu pozisyona Feynman noktası adı verilmiştir.
Ayrıca Pi sayısının 0123456789 dizisini içerdiğini ancak 17,387,594,880'inci basamakta bulunduğunu da biliyoruz.
Bütün bunlar, Pi sayısının sonsuzluğunda yalnızca ilginç sayı kombinasyonlarının değil, aynı zamanda “Savaş ve Barış”ın şifreli metnini, İncil'i ve hatta eğer varsa Evrenin Ana Sırrını da bulabileceğiniz anlamına gelir.
Bu arada, İncil hakkında. Matematiğin ünlü popülerleştiricisi Martin Gardner, 1966 yılında Pi sayısının (o zamanlar hala bilinmeyen) milyonuncu basamağının 5 rakamı olacağını belirtmişti. Hesaplamalarını İncil'in İngilizce versiyonunda 3. kitap, 14. bölüm, 16 ayet (3-14-16) yedinci kelimede beş harf bulunmaktadır. Milyonuncu rakama sekiz yıl sonra ulaşıldı. Beş numaraydı.
Bundan sonra Pi sayısının rastgele olduğunu iddia etmeye değer mi?
Pi sayısının tarihi Eski Mısır'da başlıyor ve tüm matematiğin gelişimiyle paralel gidiyor. Bu sayıyla okulun duvarları arasında ilk kez karşılaşıyoruz.
Pi sayısı belki de sonsuz sayıdaki diğer sayılardan en gizemli olanıdır. Şiirler ona adanıyor, sanatçılar onu tasvir ediyor, hatta onun hakkında bir film bile yapıldı. Yazımızda Pi sabitinin hayatımızdaki uygulama alanlarının yanı sıra gelişim ve hesaplama tarihine de bakacağız.
Pi, bir dairenin çevresinin çapının uzunluğuna oranına eşit olan matematiksel bir sabittir. Başlangıçta Ludolph sayısı olarak adlandırılmış ve 1706 yılında İngiliz matematikçi Jones tarafından Pi harfi ile gösterilmesi önerilmiştir. Leonhard Euler'in 1737'deki çalışmalarından sonra bu isim genel kabul görmeye başladı.
Pi irrasyonel bir sayıdır, yani değeri m/n kesri olarak doğru bir şekilde ifade edilemez; burada m ve n tam sayılardır. Bu ilk kez 1761'de Johann Lambert tarafından kanıtlandı.
Pi sayısının gelişim tarihi yaklaşık 4000 yıl öncesine dayanmaktadır. Eski Mısırlı ve Babilli matematikçiler bile her daire için çevrenin çapa oranının aynı olduğunu ve değerinin üçten biraz fazla olduğunu biliyorlardı.
Arşimet, Pi'yi hesaplamak için bir daire içine düzenli çokgenler yazdığı ve çevresini tanımladığı matematiksel bir yöntem önerdi. Hesaplamalarına göre Pi yaklaşık olarak 22/7 ≈ 3,142857142857143'e eşitti.
2. yüzyılda Zhang Heng Pi için iki değer önerdi: ≈ 3,1724 ve ≈ 3,1622.
Hintli matematikçiler Aryabhata ve Bhaskara yaklaşık 3,1416 değerini buldu.
Pi'nin 900 yıl boyunca en doğru tahmini, Çinli matematikçi Zu Chongzhi'nin 480'lerde yaptığı hesaplamaydı. Pi ≈ 355/113 sonucunu çıkardı ve 3,1415926 olduğunu gösterdi.< Пи < 3,1415927.
2. binyıldan önce Pi sayısı 10'dan fazla rakamla hesaplanmıyordu. Sadece geliştirme ile matematiksel analiz ve özellikle serinin keşfiyle birlikte sabitin hesaplanmasında büyük ilerlemeler kaydedildi.
1400'lü yıllarda Madhava Pi=3,14159265359'u hesaplamayı başardı. Rekoru 1424 yılında İranlı matematikçi Al-Kashi tarafından kırıldı. "Çember Üzerine İnceleme" adlı çalışmasında Pi'nin 17 basamağından alıntı yaptı ve bunların 16'sının doğru olduğu ortaya çıktı.
Hollandalı matematikçi Ludolf van Zeijlen, hayatının 10 yılını buna adayarak yaptığı hesaplamalarda 20 sayıya ulaştı. Ölümünden sonra notlarında Pi'nin 15 basamağı daha keşfedildi. Bu sayıların mezar taşına kazınmasını vasiyet etti.
Bilgisayarların ortaya çıkışıyla birlikte Pi sayısı bugün birkaç trilyon rakama ulaştı ve bu sınır değil. Ancak Sınıf için Fraktallar'ın işaret ettiği gibi, Pi ne kadar önemli olsa da, "bilimsel hesaplamalarda yirmiden fazla ondalık basamak gerektiren alanlar bulmak zordur."
Hayatımızda birçok bilimsel alanda Pi sayısı kullanılmaktadır. Fizik, elektronik, olasılık teorisi, kimya, inşaat, navigasyon, farmakoloji - bunlar, bu gizemli sayı olmadan hayal edilmesi imkansız olanlardan sadece birkaçı.
Kendiniz daha fazlasını bilmek ve yapabilmek ister misiniz?
Size şu alanlarda eğitim sunuyoruz: bilgisayarlar, programlar, yönetim, sunucular, ağlar, web sitesi oluşturma, SEO ve daha fazlası. Ayrıntıları hemen öğrenin!
Calculator888.ru sitesindeki materyallere dayanmaktadır - Pi numarası - anlamı, tarihi, onu kim icat etti?.
Dünyanın dört bir yanındaki matematik meraklıları her yıl Mart ayının 14'ünde bir parça pasta yerler; sonuçta bu gün, en ünlü irrasyonel sayı olan Pi'nin günüdür. Bu tarih ilk rakamı 3,14 olan sayı ile doğrudan ilgilidir. Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır. İrrasyonel olduğundan kesirli olarak yazılması mümkün değildir. Bu sonsuz uzunlukta bir sayıdır. Binlerce yıl önce keşfedildi ve o zamandan bu yana sürekli olarak araştırılıyor ancak Pi'nin hâlâ sırları var mı? İtibaren antik köken Belirsiz geleceğe kadar Pi ile ilgili en ilginç gerçeklerden bazılarını burada bulabilirsiniz.
Pi'yi Ezberlemek
Ondalık sayıları ezberleme rekoru, 70.000 basamağı hatırlamayı başaran Hindistanlı Rajvir Meena'ya ait - rekoru 21 Mart 2015'te kırdı. Daha önce rekorun sahibi, 67.890 rakamı hatırlamayı başaran Çinli Chao Lu'ydu - bu rekor 2005 yılında kırılmıştı. Resmi olmayan rekorun sahibi, 2005 yılında kendisini 100.000 rakamı tekrarlayan bir videoya kaydeden ve yakın zamanda 117.000 rakamı hatırlamayı başardığı bir video yayınlayan Akira Haraguchi'dir. Rekor, ancak bu videonun Guinness Rekorlar Kitabı'ndan bir temsilcinin huzurunda kaydedilmesi durumunda resmileşecektir ve onaylanmadan bu yalnızca etkileyici bir gerçek olarak kalır, ancak bir başarı olarak kabul edilmez. Matematik meraklıları Pi sayısını ezberlemeyi severler. Birçok kişi, her kelimedeki harf sayısının Pi'nin rakamlarıyla eşleştiği şiir gibi çeşitli anımsatıcı teknikler kullanır. Her dilin, hem ilk birkaç rakamı hem de yüz rakamının tamamını hatırlamanıza yardımcı olacak benzer ifadelerin kendi versiyonları vardır.
Pi dili var
Edebiyat tutkunu matematikçiler, tüm kelimelerdeki harf sayısının Pi'nin rakamlarına tam olarak karşılık geldiği bir lehçe icat ettiler. Yazar Mike Keith, tamamı Pi ile yazılmış Not a Wake adlı bir kitap bile yazdı. Bu tür yaratıcılığa meraklı olanlar, eserlerini harf sayısına ve sayıların anlamlarına tam uygun olarak yazarlar. Bunun pratik bir uygulaması yoktur ancak oldukça yaygındır ve bilinen fenomen coşkulu bilim adamlarının çevrelerinde.
Üstel büyüme
Pi sonsuz bir sayıdır, dolayısıyla tanım gereği insanlar bu sayının tam rakamlarını hiçbir zaman belirleyemeyeceklerdir. Ancak Pi'nin ilk kullanılmaya başlanmasından bu yana ondalık basamakların sayısı büyük ölçüde arttı. Babilliler de kullanıyordu ama onlara üç tam ve sekizde bir kesir yetiyordu. Çinliler ve Eski Ahit'in yaratıcıları tamamen üç kişiyle sınırlıydı. 1665 yılında Sir Isaac Newton Pi'nin 16 basamağını hesaplamıştı. 1719'da Fransız matematikçi Tom Fante de Lagny 127 rakamı hesaplamıştı. Bilgisayarların ortaya çıkışı, insanın Pi hakkındaki bilgisini kökten geliştirdi. 1949'dan 1967'ye kadar olan sayı insanoğlunun bildiği Rakamlar 2037'den 500.000'e fırladı.Kısa bir süre önce İsviçreli bilim adamı Peter Trueb, Pi'nin 2,24 trilyon basamağını hesaplamayı başardı! 105 gün sürdü. Elbette bu sınır değil. Teknolojinin gelişmesiyle birlikte daha da doğru bir rakam oluşturmak muhtemelen mümkün olacaktır - Pi sonsuz olduğundan, doğruluğun bir sınırı yoktur ve yalnızca bilgisayar teknolojisinin teknik özellikleri onu sınırlayabilir.
Pi'yi elle hesaplamak
Sayıyı kendiniz bulmak istiyorsanız eski moda tekniği kullanabilirsiniz; bir cetvele, bir kavanoza ve bir miktar ipe ihtiyacınız olacak veya bir iletki ve bir kurşun kalem kullanabilirsiniz. Teneke kutu kullanmanın dezavantajı, yuvarlak olması gerektiğidir ve doğruluk, kişinin ipi etrafına ne kadar iyi sarabildiğine göre belirlenecektir. İletki kullanarak bir daire çizebilirsiniz ancak bu aynı zamanda beceri ve hassasiyet gerektirir çünkü düzgün olmayan bir daire ölçümlerinizi ciddi şekilde bozabilir. Daha kesin yöntem Geometrinin kullanımını içerir. Daireyi, pizzanın dilimlere ayrılması gibi birçok parçaya bölün ve ardından her parçayı ikizkenar üçgene dönüştürecek düz çizginin uzunluğunu hesaplayın. Kenarların toplamı yaklaşık Pi sayısını verecektir. Ne kadar çok segment kullanırsanız sayı o kadar doğru olur. Elbette hesaplamalarınızda bilgisayar sonuçlarına yaklaşamayacaksınız ancak bu basit deneyler Pi sayısının ne olduğunu ve matematikte nasıl kullanıldığını daha detaylı anlamanızı sağlar. 
Pi'nin Keşfi
Eski Babilliler Pi sayısının varlığını dört bin yıl önce biliyorlardı. Babil tabletleri Pi sayısını 3,125 olarak hesaplıyor ve Mısır matematik papirüsünde 3,1605 sayısı gösteriliyor. İncil'de Pi, artık kullanılmayan arşın uzunluğuyla verilmiştir ve Yunan matematikçi Arşimet, bir üçgenin kenarlarının uzunluğu ile dairelerin içindeki ve dışındaki şekillerin alanı arasındaki geometrik ilişki olan Pisagor teoremini kullanmıştır. Pi'yi tanımlamak için. Böylece Pi'nin en eski matematiksel kavramlardan biri olduğunu güvenle söyleyebiliriz. verilen numara ve nispeten yakın zamanda ortaya çıktı.
Pi'ye yeni bakış
Pi sayısı çemberlerle ilişkilendirilmeye başlamadan önce bile matematikçiler bu sayıyı adlandırmanın birçok yolunu zaten bulmuşlardı. Örneğin, eski matematik ders kitaplarında Latince'de kabaca "çap ile çarpıldığında uzunluğu gösteren miktar" şeklinde tercüme edilebilecek bir ifadeye rastlamak mümkündür. İrrasyonel sayı, İsviçreli bilim adamı Leonhard Euler'in 1737'de trigonometri üzerine yaptığı çalışmada bunu kullanmasıyla meşhur oldu. Ancak Pi'nin Yunanca sembolü hâlâ kullanılmıyor; bu yalnızca daha az tanınan bir matematikçi olan William Jones'un kitabında gerçekleşti. Zaten 1706'da kullanmıştı, ancak uzun süre fark edilmedi. Zamanla bilim adamları bu ismi benimsediler ve daha önce Ludolf sayısı olarak da adlandırılsa da artık ismin en ünlü versiyonu haline geldi.
Pi normal bir sayı mıdır?
Pi kesinlikle tuhaf bir sayıdır ancak normal matematik kanunlarına ne kadar uymaktadır? Bilim insanları bu irrasyonel sayıyla ilgili birçok soruyu zaten çözmüş durumda ancak bazı gizemler hala devam ediyor. Örneğin tüm sayıların ne sıklıkta kullanıldığı bilinmiyor; 0'dan 9'a kadar olan sayıların eşit oranda kullanılması gerekiyor. Ancak istatistikler ilk trilyonlar basamağından itibaren takip edilebilmektedir ancak sayının sonsuz olması nedeniyle kesin bir şey kanıtlamak mümkün değildir. Bilim adamlarının hâlâ gözden kaçırdığı başka sorunlar da var. Bu oldukça mümkün Daha fazla gelişme bilim onlara ışık tutmaya yardımcı olacaktır, ancak şu an insan aklının ötesinde kalır.
Pi kulağa ilahi geliyor
Bilim insanları Pi sayısıyla ilgili bazı sorulara cevap veremiyor ancak her geçen yıl onun özünü daha iyi anlıyorlar. Zaten on sekizinci yüzyılda bu sayının mantıksızlığı kanıtlandı. Ayrıca bu sayının aşkın olduğu da kanıtlanmıştır. Bu hayır anlamına geliyor belli bir formül Bu da Pi'yi rasyonel sayıları kullanarak hesaplamamıza olanak sağlar. 
Pi sayısından memnuniyetsizlik
Pek çok matematikçi Pi'ye aşıktır, ancak bu sayıların özellikle önemli olmadığına inananlar da vardır. Ayrıca Pi'nin iki katı büyüklüğünde olan Tau'nun irrasyonel sayı olarak kullanımının daha uygun olduğunu iddia ediyorlar. Tau, bazılarının daha mantıklı bir hesaplama yöntemini temsil ettiğine inandığı çevre ve yarıçap arasındaki ilişkiyi gösterir. Ancak bu konuda herhangi bir şeyi kesin olarak belirlemek imkansızdır ve birinin ve diğerinin her zaman destekçileri olacaktır, her iki yöntemin de yaşam hakkı vardır, bu yüzden sadece ilginç gerçek Pi kullanmamanız gerektiğini düşünmek için bir neden değil.
