Ta članek je zbirka podrobnih informacij, ki se nanašajo na temo lastnosti korenin. Glede na temo bomo začeli z lastnostmi, preučili vse formulacije in zagotovili dokaze. Za utrditev teme bomo upoštevali lastnosti n-te stopnje.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Lastnosti korenin
Govorili bomo o lastnostih.
- Lastnina pomnožena števila a in b, ki je predstavljena kot enakost a · b = a · b. Lahko ga predstavimo v obliki faktorjev, pozitivnih ali enakih nič a 1 , a 2 , … , a k kot a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
- iz količnika a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, lahko zapišemo tudi v tej obliki a b = a b;
- Lastnost iz moči števila a s sodim eksponentom a 2 m = a m za poljubno število a, na primer lastnost iz kvadrata števila a 2 = a.
V kateri koli od predstavljenih enačb lahko zamenjate dele pred in za pomišljajem, na primer enakost a · b = a · b pretvorimo kot a · b = a · b. Lastnosti enakosti se pogosto uporabljajo za poenostavitev kompleksnih enačb.
Dokaz prvih lastnosti temelji na definiciji kvadratnega korena in lastnostih potenc z naravni indikator. Za utemeljitev tretje lastnosti se je treba sklicevati na definicijo modula števila.
Najprej je treba dokazati lastnosti kvadratnega korena a · b = a · b. Glede na definicijo je treba upoštevati, da je a b število, pozitivno ali enako nič, ki bo enako a b med gradnjo v kvadrat. Vrednost izraza a · b je pozitivna ali enaka nič kot produkt nenegativnih števil. Lastnost potence pomnoženih števil nam omogoča, da enakost predstavimo v obliki (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Po definiciji kvadratnega korena je a 2 = a in b 2 = b, potem je a · b = a 2 · b 2 = a · b.
Na podoben način lahko to dokažemo iz izdelka k multiplikatorji a 1 , a 2 , … , a k bo enako zmnožku kvadratni koren od teh dejavnikov. Dejansko je a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
Iz te enakosti sledi a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.
Oglejmo si nekaj primerov za okrepitev teme.
Primer 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 in 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .
Dokazati je treba lastnost aritmetičnega kvadratnega korena količnika: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Lastnost nam omogoča, da zapišemo enakost a: b 2 = a 2: b 2 in a 2: b 2 = a: b, pri čemer je a: b pozitivno število ali enako nič. Ta izraz bo postal dokaz.
Na primer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 in 30,121 = 30,121.
Oglejmo si lastnost kvadratnega korena na kvadrat števila. Lahko jo zapišemo kot enakost kot a 2 = a Da bi dokazali to lastnost, je treba podrobno preučiti več enakosti za a ≥ 0 in pri a< 0 .
Očitno za a ≥ 0 velja enakost a 2 = a. pri a< 0 bo veljala enakost a 2 = - a. Pravzaprav v tem primeru − a > 0 in (− a) 2 = a 2 . Sklepamo lahko, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Poglejmo si nekaj primerov.
Primer 2
5 2 = 5 = 5 in - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.
Dokazana lastnost bo pomagala utemeljiti a 2 m = a m, kjer a– resnično, in m-naravno število. Dejansko nam lastnost dviga moči omogoča zamenjavo moči a 2 m izražanje (a m) 2, potem je a 2 m = (a m) 2 = a m.
Primer 3
3 8 = 3 4 = 3 4 in (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .
Lastnosti n-tega korena
Najprej moramo upoštevati osnovne lastnosti n-tih korenin:
- Lastnost produkta števil a in b, ki sta pozitivni ali enaki nič, lahko izrazimo kot enakost a · b n = a n · b n , ta lastnost velja za produkt kštevilke a 1 , a 2 , … , a k kot a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
- iz ulomka ima lastnost a b n = a n b n , kjer a je vsako realno število, ki je pozitivno ali enako nič, in b– pozitivno realno število;
- Za katero koli a in celo indikatorji n = 2 m a 2 · m 2 · m = a velja in za liho n = 2 m − 1 velja enakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Lastnost izločanja iz a m n = a n m , kjer a– poljubno število, pozitivno ali enako nič, n in m – cela števila, lahko to lastnost predstavimo tudi v obliki. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
- Za vsako nenegativno a in poljubno n in m, ki so naravne, lahko definiramo tudi pošteno enakost a m n · m = a n ;
- Lastnost stopnje n iz moči števila a, ki je pozitiven ali enak nič, na naravno moč m, definiran z enakostjo a m n = a n m ;
- Primerjalna lastnost, ki ima enake eksponente: za poljubna pozitivna števila a in b tako da a< b , neenakost a n< b n ;
- Primerjalna lastnost, ki ima pod korenom enaka števila: če m in n – naravna števila, ki m > n, nato pri 0 < a < 1 neenakost a m > a n velja, in ko a > 1 izvršil m< a n .
Zgoraj navedene enakosti veljajo, če zamenjamo dele pred in za enačajem. Uporabljajo se lahko tudi v tej obliki. To se pogosto uporablja pri poenostavljanju ali preoblikovanju izrazov.
Dokaz zgornjih lastnosti korena temelji na definiciji, lastnostih stopnje in definiciji modula števila. Te lastnosti je treba dokazati. Ampak vse je v redu.
- Najprej dokažimo lastnosti n-tega korena produkta a · b n = a n · b n . Za a in b, ki so pozitivna ali enaka nič , tudi vrednost a n · b n je pozitivna oziroma enaka nič, saj je posledica množenja nenegativnih števil. Lastnost zmnožka naravne moči nam omogoča, da zapišemo enakost a n · b n n = a n n · b n n. Po definiciji korena n-ta stopnja a n n = a in b n n = b , torej a n · b n n = a · b . Nastala enakost je točno tisto, kar je bilo treba dokazati.
To lastnost je mogoče dokazati podobno za izdelek k množitelji: za nenegativna števila a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
Tukaj so primeri uporabe korenske lastnosti n-ta potenca iz produkta: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 in 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- Dokažimo lastnost korena količnika a b n = a n b n . pri a ≥ 0 in b > 0 je izpolnjen pogoj a n b n ≥ 0 in a n b n n = a n n b n n = a b .
Pokažimo primere:
Primer 4
8 27 3 = 8 3 27 3 in 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3 : 2 3 10.
- Za naslednji korak je potrebno dokazati lastnosti n-te stopnje od števila do stopnje n. Predstavljajmo si to kot enakost a 2 m 2 m = a in a 2 m - 1 2 m - 1 = a za poljubno realno a in naravno m. pri a ≥ 0 dobimo a = a in a 2 m = a 2 m, kar dokazuje enakost a 2 m 2 m = a, pri čemer je enakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a očitna. pri a< 0 dobimo a = - a in a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Zadnja transformacija števila velja glede na potencialno lastnost. Točno to dokazuje enakost a 2 m 2 m = a in a 2 m - 1 2 m - 1 = a bo veljala, saj se upošteva liha stopnja - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 za poljubno številko c, pozitivna ali enaka nič.
Da bi utrdili prejete informacije, si oglejmo več primerov z uporabo lastnosti:
Primer 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 in (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Dokažimo naslednjo enakost a m n = a n m . Če želite to narediti, morate zamenjati številki pred in za enačajem a n · m = a m n. To bo pomenilo, da je vnos pravilen. Za a, kar je pozitivno ali enako nič , oblike a m n je število, ki je pozitivno ali enako nič. Obrnemo se na lastnost povzdigovanja potence na potenco in njeno definicijo. Z njihovo pomočjo lahko transformirate enačbe v obliki a m n n · m = a m n n m = a m m = a. To dokazuje lastnost korena obravnavanega korena.
Druge lastnosti dokazujemo podobno. Res,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .
Na primer, 7 3 5 = 7 5 3 in 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Dokažimo naslednjo lastnost a m n · m = a n . Za to je treba dokazati, da je n število, pozitivno ali enako nič. Pri potenci je n m enako a m. Če število a je torej pozitiven ali enak nič n-te stopnje izmed a je pozitivno število ali enako nič.V tem primeru je a n · m n = a n n m , kar je bilo potrebno tudi dokazati.
Da bi utrdili pridobljeno znanje, si poglejmo nekaj primerov.
- Dokažimo naslednjo lastnost – lastnost korena potence oblike a m n = a n m . Očitno je, da ko a ≥ 0 stopnja a n m je nenegativno število. Še več, njo n th potenca je enaka a m, dejansko je a n m n = a n m · n = a n n m = a m . To dokazuje lastnost obravnavane diplome.
Na primer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- To je treba dokazati za poljubna pozitivna števila a in b je pogoj izpolnjen a< b . Upoštevajte neenakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Zato je n< b n при a< b .
Na primer, dajmo 12 4< 15 2 3 4 .
- Upoštevajte lastnost korena n- stopnja. Najprej je treba upoštevati prvi del neenakosti. pri m > n in 0 < a < 1 res a m > a n. Predpostavimo, da je a m ≤ a n. Lastnosti vam bodo omogočile poenostavitev izraza na a n m · n ≤ a m m · n. Tedaj glede na lastnosti stopnje z naravnim eksponentom velja neenakost a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tj. a n ≤ a m. Dobljena vrednost pri m > n in 0 < a < 1 ne ustreza zgoraj navedenim lastnostim.
Na enak način je mogoče dokazati, da ko m > n in a > 1 pogoj a m je resničen< a n .
Da bi utrdili zgornje lastnosti, razmislimo o več konkretni primeri. Oglejmo si neenakosti z uporabo določenih števil.
Primer 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite najbolj pozorni na naš navigator uporaben vir Za
Poskusimo ugotoviti, kaj je ta koncept "korenina" in "s čim se jedo". Če želite to narediti, si poglejmo primere, s katerimi ste se že srečali pri pouku (no, ali pa se boste s tem šele srečali).
Na primer, imamo enačbo. Kaj je rešitev te enačbe? Katera števila lahko kvadriramo in dobimo? Če se spomnite tabele množenja, lahko preprosto odgovorite: in (navsezadnje, ko pomnožite dve negativni števili, dobite pozitivno število)! Če poenostavimo, so matematiki uvedli poseben koncept kvadratnega korena in mu dodelili poseben simbol.
Določimo aritmetični kvadratni koren.
Zakaj mora biti število nenegativno? Na primer, čemu je enako? No, no, poskusimo izbrati enega. Mogoče tri? Preverimo: , ne. Mogoče, ? Še enkrat preverimo: . No, ne ustreza? To je pričakovano – saj ni števil, ki bi ob kvadriranju dala negativno število!
To si morate zapomniti: število ali izraz pod korenom mora biti nenegativen!
Tisti najbolj pozorni pa so verjetno že opazili, da definicija pravi, da se rešitev kvadratnega korena »števila imenuje to nenegativnoštevilo, katerega kvadrat je enak ". Nekateri boste rekli, da smo na samem začetku analizirali primer, izbrali števila, ki jih lahko kvadriramo in dobimo, odgovor je bil in, vendar tukaj govorimo o nekakšnem “nenegativnem številu”! Ta pripomba je povsem na mestu. Tukaj morate le razlikovati med pojmoma kvadratnih enačb in aritmetičnega kvadratnega korena števila. Na primer, ni enakovreden izrazu.
Iz tega sledi, da je oz. (Preberite temo "")
In temu sledi.
Seveda je to zelo zmedeno, vendar se je treba spomniti, da so predznaki rezultat reševanja enačbe, saj moramo pri reševanju enačbe zapisati vse X-e, ki bodo, če jih zamenjamo v prvotno enačbo, dali pravilen rezultat. V našem kvadratna enačba primerna za oba.
Vendar, če samo vzemite kvadratni koren od nečesa, potem vedno dobimo en nenegativen rezultat.
Zdaj poskusite rešiti to enačbo. Vse ni več tako preprosto in gladko, kajne? Poskusite pregledati številke, morda se bo kaj izšlo? Začnimo čisto od začetka – od začetka: – ne štima, gremo naprej – manj kot tri, tudi pometemo stran, kaj pa če. Preverimo: - tudi ni primeren, ker... to je več kot tri. Ista zgodba je z negativnimi števili. Torej, kaj naj storimo zdaj? Ali nam iskanje res ni dalo ničesar? Sploh ne, zdaj zagotovo vemo, da bo odgovor neko število med in, pa tudi med in. Poleg tega očitno rešitve ne bodo cela števila. Poleg tega niso racionalni. Torej, kaj je naslednje? Narišimo graf funkcije in na njem označimo rešitve.
Poskusimo goljufati sistem in dobiti odgovor s pomočjo kalkulatorja! Spravimo koren iz tega! Oh-oh-oh, izkazalo se je, da. Ta številka se nikoli ne konča. Kako si lahko to zapomniš, saj na izpitu ne bo kalkulatorja!? Vse je zelo preprosto, ni vam treba zapomniti, le zapomniti si morate (ali biti sposobni hitro oceniti) približno vrednost. in sami odgovori. Takšna števila imenujemo iracionalna, zato je bil uveden koncept kvadratnega korena, da bi poenostavili pisanje takih števil.
Oglejmo si še en primer, da to podkrepimo. Poglejmo naslednjo težavo: kvadratno polje s stranico km morate prečkati diagonalno, koliko km morate prehoditi?
Najbolj očitna stvar tukaj je obravnavati trikotnik ločeno in uporabiti Pitagorov izrek: . Tako,. Kakšna je torej zahtevana razdalja tukaj? Očitno razdalja ne more biti negativna, to razumemo. Koren dveh je približno enak, vendar, kot smo že omenili, - je že popoln odgovor.
Če želite rešiti primere s koreni brez povzročanja težav, jih morate videti in prepoznati. Če želite to narediti, morate poznati vsaj kvadrate števil od do in jih znati tudi prepoznati. Na primer, vedeti morate, kaj je enako kvadratu, in tudi, nasprotno, kaj je enako kvadratu.
Ste ujeli, kaj je kvadratni koren? Nato reši nekaj primerov.
Primeri.
No, kako je uspelo? Zdaj pa si poglejmo te primere:
odgovori:
Kockasti koren
No, zdi se, da smo razvrstili koncept kvadratnega korena, zdaj pa poskusimo ugotoviti, kaj je kubični koren in kakšna je njihova razlika.
Kubični koren števila je število, katerega kub je enak. Ste opazili, da je tukaj vse veliko preprostejše? Ni omejitev glede možne vrednosti tako vrednosti pod znakom kubičnega korena kot število, ki se ekstrahira. To pomeni, da je kubični koren mogoče izluščiti iz poljubnega števila: .
Ali razumete, kaj je kubični koren in kako ga izluščiti? Nato nadaljujte in rešite primere.
Primeri.
odgovori:
Koren - oh stopnja
No, razumeli smo koncepte kvadratnih in kubičnih korenin. Zdaj pa povzamemo znanje, pridobljeno s konceptom 1. koren.
1. korenštevila je število, katerega potenca je enaka, tj.
enakovreden.
Če - celo, to:
- z negativnim, izraz nima smisla (sodi koreni negativnih števil ni mogoče odstraniti!);
- za nenegativno() ima en nenegativen koren.
Če je - liho, potem ima izraz edinstven koren za kateri koli.
Naj vas ne skrbi, tukaj veljajo ista načela kot pri kvadratnih in kubičnih korenih. To pomeni, da so načela, ki smo jih uporabili pri obravnavanju kvadratnih korenov, razširjena na vse korene sode stopnje.
In lastnosti, ki so bile uporabljene za kubični koren, veljajo za korenine lihe stopnje.
No, je postalo bolj jasno? Poglejmo si primere:
Tukaj je vse bolj ali manj jasno: najprej pogledamo - ja, stopnja je soda, število pod korenom je pozitivno, kar pomeni, da je naša naloga najti število, katerega četrta potenca nam bo dala. No, kakšna ugibanja? Mogoče, ? točno tako!
Torej, stopnja je enaka - liho, število pod korenom je negativno. Naša naloga je najti število, ki, če ga dvignemo na potenco, proizvede. Zelo težko je takoj opaziti korenino. Vendar pa lahko takoj zožite iskanje, kajne? Prvič, zahtevano število je zagotovo negativno, in drugič, opazimo lahko, da je liho, zato je želeno število liho. Poskusite najti koren. Seveda ga lahko varno zavrnete. Mogoče, ?
Da, to smo iskali! Upoštevajte, da smo za poenostavitev izračuna uporabili lastnosti stopinj: .
Osnovne lastnosti korenin
To je jasno? Če ne, potem bi moralo po ogledu primerov vse pasti na svoje mesto.
Množenje korenin
Kako pomnožiti korenine? Najpreprostejša in najbolj osnovna lastnost pomaga odgovoriti na to vprašanje:
Začnimo z nečim preprostim:
Ali koreni dobljenih števil niso natančno izluščeni? Ni problema – tukaj je nekaj primerov:
Kaj pa, če nista dva, ampak več množiteljev? Enako! Formula za množenje korenov deluje s poljubnim številom faktorjev:
Kaj lahko storimo z njim? No, seveda skrijte tri pod koren, ne pozabite, da je tri kvadratni koren od!
Zakaj potrebujemo to? Da, samo za razširitev naših zmožnosti pri reševanju primerov:
Kako vam je všeč ta lastnost korenin? Ali močno olajša življenje? Zame je to točno tako! Samo zapomniti si moraš to Pod koren sode stopnje lahko vnesemo samo pozitivna števila.
Poglejmo, kje je še lahko to koristno. Na primer, problem zahteva primerjavo dveh števil:
Še to:
Ne morete povedati takoj. No, uporabimo disassembled lastnost vnosa števila pod znak korena? Potem nadaljuj:
No, saj vem kaj večje število pod znakom korena, večji je sam koren! Tisti. če, potem, . Iz tega trdno sklepamo, da. In nihče nas ne bo prepričal v nasprotno!
Pred tem smo pod znak korena vnesli množitelj, a kako ga odstraniti? Samo razložiti ga morate na faktorje in izluščiti, kar izluščite!
Možno je bilo ubrati drugačno pot in se razširiti na druge dejavnike:
Ni slabo, kajne? Vsak od teh pristopov je pravilen, odločite se, kot želite.
Tukaj je na primer izraz:
V tem primeru je stopnja soda, kaj pa če je liha? Ponovno uporabite lastnosti eksponentov in faktorizirajte vse:
S tem se zdi vse jasno, toda kako izvleči koren števila na moč? Tukaj je na primer to:
Precej preprosto, kajne? Kaj pa, če je diploma večja od dve? Sledimo isti logiki z uporabo lastnosti stopinj:
No, je vse jasno? Potem je tukaj primer:
To so pasti, o njih vedno vreden spomina. To se dejansko odraža v primerih lastnosti:
| za liho: za celo in: |
To je jasno? Podkrepite s primeri:
Ja, vidimo, da je koren na sodo potenco, negativno število pod korenom je tudi na sodo potenco. No, ali se izkaže enako? Evo kaj:
To je vse! Tukaj je nekaj primerov:
Razumem? Nato nadaljujte in rešite primere.
Primeri.
odgovori.
Če ste prejeli odgovore, potem lahko duševni mir Pojdi naprej. Če ne, potem razumejmo te primere:
Oglejmo si še dve lastnosti korenin:
Te lastnosti je treba analizirati na primerih. No, naredimo to?
Razumem? Zavarujmo ga.
Primeri.
odgovori.
KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. POVPREČNA STOPNJA
Aritmetični kvadratni koren
Enačba ima dve rešitvi: in. To so števila, katerih kvadrat je enak.
Razmislite o enačbi. Rešimo jo grafično. Narišimo graf funkcije in premico na ravni. Presečišča teh črt bodo rešitve. Vidimo, da ima tudi ta enačba dve rešitvi - eno pozitivno in drugo negativno:
Ampak v v tem primeru rešitve niso cela števila. Poleg tega niso racionalni. Da bi zapisali te neracionalne odločitve, uvedemo poseben simbol kvadratnega korena.
Aritmetični kvadratni koren je nenegativno število, katerega kvadrat je enak. Ko izraz ni definiran, ker Ni števila, katerega kvadrat je enak negativnemu številu.
Kvadratni koren: .
Na primer,. In iz tega sledi, da oz.
Naj vas še enkrat opozorim, to je zelo pomembno: Kvadratni koren je vedno nenegativno število: !
Kockasti korenštevila je število, katerega kub je enak. Kubični koren je definiran za vse. Izvleče se lahko iz poljubne številke: . Kot lahko vidite, ima lahko tudi negativne vrednosti.
Koren števila je število, katerega potenca je enaka, tj.
Če je sodo, potem:
- če, potem th koren a ni definiran.
- če, potem se nenegativni koren enačbe imenuje aritmetični koren th stopnje in je označen.
Če je - liho, potem ima enačba edinstven koren za katero koli.
Ste opazili, da levo nad znakom korena pišemo njegovo stopnjo? Ampak ne za kvadratni koren! Če vidite koren brez stopnje, to pomeni, da je kvadrat (stopinj).
Primeri.
Osnovne lastnosti korenin
KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. NA KRATKO O GLAVNEM
Kvadratni koren (aritmetični kvadratni koren) iz nenegativnega števila se imenuje to nenegativno število, katerega kvadrat je
Lastnosti korenin:
Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.
Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!
Zdaj pa najpomembnejše.
Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešen zaključek Enotni državni izpit, za sprejem na fakulteto na proračun in, kar je NAJPOMEMBNEJE, za življenje.
Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...
Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?
PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.
Med izpitom ne boste zahtevali teorije.
Boste potrebovali reševanje težav s časom.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.
To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!
Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.
Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
kako Obstajata dve možnosti:
- Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
- Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR
Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.
Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.
"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Površina kvadratnega zemljišča je 81 dm². Najdi njegovo stran. Recimo, da je stranska dolžina kvadrata X decimetrov. Potem je površina parcele X² kvadratnih decimetrov. Ker je po pogoju ta površina enaka 81 dm², potem X² = 81. Dolžina stranice kvadrata je pozitivno število. Pozitivno število, katerega kvadrat je 81, je število 9. Pri reševanju naloge je bilo treba najti število x, katerega kvadrat je 81, torej rešiti enačbo X² = 81. Ta enačba ima dva korena: x 1 = 9 in x 2 = - 9, ker je 9² = 81 in (- 9)² = 81. Obe števili 9 in - 9 se imenujeta kvadratni koren iz 81.
Upoštevajte, da je eden od kvadratnih korenov X= 9 je pozitivno število. Imenuje se aritmetični kvadratni koren iz 81 in je označen z √81, torej √81 = 9.
Aritmetični kvadratni koren števila A je nenegativno število, katerega kvadrat je enak A.
Na primer, števili 6 in - 6 sta kvadratni koren iz števila 36. Vendar pa je število 6 aritmetični kvadratni koren iz 36, saj je 6 nenegativno število in 6² = 36. Število - 6 ni aritmetični koren.
Aritmetični kvadratni koren števila A označeno kot sledi: √ A.
Znak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena; A- imenovan radikalni izraz. Izraz √ A prebrati takole: aritmetični kvadratni koren števila A. Na primer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V primerih, ko je jasno, da govorimo o aritmetičnem korenu, na kratko rečejo: "kvadratni koren iz A«.
Dejanje iskanja kvadratnega korena števila se imenuje kvadratno korenenje. To dejanje je obratno od kvadriranja.
Poljubno število lahko kvadrirate, vendar ne morete izluščiti kvadratnih korenov iz nobenega števila. Na primer, nemogoče je izvleči kvadratni koren števila - 4. Če je tak koren obstajal, potem ga označite s črko X, bi dobili napačno enakost x² = - 4, saj je na levi nenegativno število, na desni pa negativno število.
Izraz √ A smiselno le takrat, ko a ≥ 0. Definicijo kvadratnega korena lahko na kratko zapišemo kot: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Enakost (√ A)² = A velja za a ≥ 0. Tako zagotovimo, da je kvadratni koren nenegativnega števila A enako b, tj. v tem, da je √ A =b, morate preveriti, ali sta izpolnjena naslednja dva pogoja: b ≥ 0, b² = A.
Kvadratni koren ulomka
Izračunajmo. Upoštevajte, da je √25 = 5, √36 = 6, in preverimo, ali enakost drži.
Ker 
in , potem enakost velja. Torej, 
.
Izrek:če A≥ 0 in b> 0, kar pomeni, da je koren ulomka enak korenu števca, deljenemu s korenom imenovalca. Dokazati je treba, da: in 
.
Od √ A≥0 in √ b> 0, potem .
O lastnosti dviga ulomka na potenco in definiciji kvadratnega korena 
izrek je dokazan. Poglejmo si nekaj primerov.
Izračunajte z uporabo dokazanega izreka 
.
Drugi primer: Dokaži to 
, Če A ≤ 0, b < 0. 
.
Drug primer: Izračunaj.
.
Pretvorba kvadratnega korena
Odstranitev množitelja izpod znaka korena. Naj bo izraz podan. če A≥ 0 in b≥ 0, potem lahko z uporabo izreka o korenu produkta zapišemo:
Ta transformacija se imenuje odstranitev faktorja iz predznaka korena. Poglejmo primer;
Izračunajte pri X= 2. Neposredna zamenjava X= 2 v radikalnem izrazu vodi do zapleteni izračuni. Te izračune je mogoče poenostaviti, če najprej odstranite faktorje pod znakom korena: . Če zdaj zamenjamo x = 2, dobimo:.
Torej, ko faktor odstranimo izpod znaka korena, je radikalni izraz predstavljen v obliki produkta, v katerem je eden ali več faktorjev kvadrat nenegativnih števil. Nato uporabite izrek o korenu produkta in vzemite koren vsakega faktorja. Oglejmo si primer: Poenostavimo izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako, da faktorje v prvih dveh členih vzamemo izpod znaka korena, dobimo:. To enakost poudarjamo 
velja samo takrat, ko A≥ 0 in b≥ 0. če A < 0, то .
Čestitamo: danes si bomo ogledali korenine - eno najbolj osupljivih tem v 8. razredu. :)
Marsikdo se zamoti glede korenin, pa ne zato, ker so zapletene (kaj je pa tako zapletenega - par definicij in še par lastnosti), ampak zato, ker so v večini šolskih učbenikov korenine definirane skozi tako džunglo, da so samo avtorji učbenikov definirani. sami razumejo to pisanje. Pa še to samo s steklenico dobrega viskija. :)
Zato bom zdaj podal najbolj pravilno in najbolj kompetentno definicijo korena - edino, ki bi si jo res morali zapomniti. In potem bom razložil: zakaj je vse to potrebno in kako to uporabiti v praksi.
Toda najprej se spomnite enega pomembna točka, na katerega mnogi prevajalci učbenikov iz neznanega razloga "pozabijo":
Koreni so lahko sode stopnje (naš najljubši $\sqrt(a)$, pa tudi vse vrste $\sqrt(a)$ in celo $\sqrt(a)$) in lihe stopnje (vse vrste $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ itd.). In definicija korena lihe stopnje je nekoliko drugačna od sode.
Verjetno se 95% vseh napak in nesporazumov, povezanih s koreninami, skriva v tem presneto "nekoliko drugače". Zato enkrat za vselej razčistimo terminologijo:
Opredelitev. Celo koren n iz števila $a$ je katerikoli nenegativnoštevilo $b$ je takšno, da je $((b)^(n))=a$. In lihi koren istega števila $a$ je na splošno poljubno število $b$, za katerega velja enaka enakost: $((b)^(n))=a$.
V vsakem primeru je koren označen takole:
\(a)\]
Število $n$ v takem zapisu imenujemo korenski eksponent, število $a$ pa radikalni izraz. Zlasti za $n=2$ dobimo naš najljubši kvadratni koren (mimogrede, to je koren sode stopnje), za $n=3$ pa dobimo kubični koren (liho stopnjo), ki je pogosto najdemo tudi v problemih in enačbah.
Primeri. Klasični primeri kvadratnih korenov:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Mimogrede, $\sqrt(0)=0$ in $\sqrt(1)=1$. To je povsem logično, saj je $((0)^(2))=0$ in $((1)^(2))=1$.
Pogosti so tudi kockasti koreni - ni se jih treba bati:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
No, nekaj "eksotičnih primerov":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Če ne razumete, kakšna je razlika med sodo in liho stopnjo, še enkrat preberite definicijo. Zelo pomembno je!
Medtem pa bomo razmislili o eni neprijetni lastnosti korenov, zaradi katere smo morali uvesti ločeno definicijo za sode in lihe eksponente.
Zakaj so korenine sploh potrebne?
Po branju definicije se bo marsikateri študent vprašal: "Kaj so matematiki kadili, ko so se tega domislili?" In res: zakaj so vse te korenine sploh potrebne?
Da bi odgovorili na to vprašanje, se za trenutek vrnimo k osnovni razredi. Ne pozabite: v tistih daljnih časih, ko so bila drevesa bolj zelena in cmoki okusnejši, je bila naša glavna skrb pravilno pomnožiti števila. No, nekaj takega kot "pet po pet - petindvajset", to je vse. Toda številke lahko pomnožite ne v parih, ampak v trojčkih, četvericah in na splošno v celih nizih:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Vendar to ni bistvo. Trik je drugačen: matematiki so leni ljudje, zato so težko zapisali množenje desetih petic takole:
Zato so si izmislili diplome. Zakaj ne bi zapisali števila faktorjev kot nadnapis namesto dolgega niza? Nekaj podobnega:
Zelo je priročno! Vsi izračuni so znatno zmanjšani in ni vam treba zapraviti kopice listov pergamenta in zvezkov, da bi zapisali približno 5183. Ta zapis so poimenovali potenca števila, v njem so našli kup lastnosti, a sreča se je izkazala za kratkotrajno.
Po veličastnem pijančevanju, ki je bilo organizirano prav zaradi »odkritja« stopinj, je neki posebej trmasti matematik nenadoma vprašal: »Kaj pa, če poznamo stopnjo števila, samo število pa ni znano?« Zdaj pa res, če vemo, da določeno število $b$, recimo na 5. potenco, daje 243, kako potem lahko ugibamo, čemu je enako število $b$?
Ta problem se je izkazal za veliko bolj globalnega, kot se morda zdi na prvi pogled. Ker se je izkazalo, da za večino "gotovih" moči ni takih "začetnih" številk. Presodite sami:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Desna puščica b=4\cdot 4\cdot 4\Desna puščica b=4. \\ \end(align)\]
Kaj pa, če $((b)^(3))=50$? Izkazalo se je, da moramo najti določeno število, ki nam bo, če ga trikrat pomnožimo, dalo 50. Toda kaj je to število? Očitno je večje od 3, saj je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To je to število je nekje med tri in štiri, vendar ne boste razumeli, čemu je enako.
Ravno zato so matematiki prišli do $n$-tih korenin. Ravno zato je bil uveden radikalni simbol $\sqrt(*)$. Označimo prav tisto število $b$, ki nam bo do navedene stopnje dalo vnaprej znano vrednost
\[\sqrt[n](a)=b\Desna puščica ((b)^(n))=a\]
Ne trdim: pogosto se te korenine zlahka izračunajo - zgoraj smo videli več takih primerov. A še vedno, če si v večini primerov zamislite poljubno število in nato iz njega poskušate izluščiti koren poljubne stopnje, vas čaka strašna težava.
Kaj je tam! Tudi najpreprostejšega in najbolj poznanega $\sqrt(2)$ ni mogoče predstaviti v naši običajni obliki - kot celo število ali ulomek. In če to številko vnesete v kalkulator, boste videli tole:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kot lahko vidite, je za decimalno vejico neskončno zaporedje števil, ki ne sledijo nobeni logiki. To številko lahko seveda zaokrožite, da jo hitro primerjate z drugimi številkami. Na primer:
\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]
Ali tukaj je še en primer:
\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]
Toda vse te zaokrožitve so, prvič, precej grobe; in drugič, prav tako morate biti sposobni delati s približnimi vrednostmi, sicer lahko ujamete kup neočitnih napak (mimogrede, spretnost primerjave in zaokroževanja je treba preizkusiti na enotnem državnem izpitu profila).
Zato v resni matematiki ne morete brez korenin - so enaki enaki predstavniki množice vseh realnih števil $\mathbb(R)$, tako kot ulomki in cela števila, ki so nam že dolgo znani.
Nezmožnost predstavitve korena kot ulomka oblike $\frac(p)(q)$ pomeni, da ta koren ni racionalno število. Takšna števila se imenujejo iracionalna in jih ni mogoče natančno predstaviti, razen s pomočjo radikala ali drugih konstrukcij, posebej zasnovanih za to (logaritmi, potence, meje itd.). A o tem kdaj drugič.
Oglejmo si več primerov, kjer bodo po vseh izračunih v odgovoru še vedno ostala iracionalna števila.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236 ... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]
Seveda, glede na videz root je skoraj nemogoče uganiti, katera števila bodo prišla za decimalno vejico. Vendar se lahko zanesete na kalkulator, vendar nam tudi najnaprednejši kalkulator datumov ponudi le prvih nekaj števk iracionalnega števila. Zato je veliko pravilneje odgovore zapisati v obliki $\sqrt(5)$ in $\sqrt(-2)$.
Prav zaradi tega so bili izumljeni. Za priročno snemanje odgovorov.
Zakaj sta potrebni dve definiciji?
Pozorni bralec je verjetno že opazil, da so vsi kvadratni koreni, navedeni v primerih, vzeti iz pozitivnih števil. No, vsaj iz nič. Toda kubične korene je mogoče mirno izluščiti iz popolnoma katerega koli števila - naj bo to pozitivno ali negativno.
Zakaj se to dogaja? Oglejte si graf funkcije $y=((x)^(2))$:
Urnik kvadratna funkcija daje dva korena: pozitivno in negativno Poskusimo izračunati $\sqrt(4)$ z uporabo tega grafa. V ta namen na grafu narišemo vodoravno črto $y=4$ (označeno z rdečo), ki seka parabolo v dveh točkah: $((x)_(1))=2$ in $((x )_(2)) =-2$. To je povsem logično, saj
S prvo številko je vse jasno - pozitivna je, torej je koren:
Toda kaj potem storiti z drugo točko? Kot da ima štiri dve korenini hkrati? Konec koncev, če kvadriramo število −2, dobimo tudi 4. Zakaj potem ne bi zapisali $\sqrt(4)=-2$? In zakaj učitelji gledajo na take objave, kot da bi te radi požrli? :)
Težava je v tem, da če ne naložite dodatnih pogojev, bo štirikolesnik imel dva kvadratna korena - pozitivno in negativno. In vsako pozitivno število jih bo imelo tudi dva. Toda negativna števila sploh ne bodo imela korenin - to je razvidno iz istega grafa, saj parabola nikoli ne pade pod os l, tj. ne sprejema negativnih vrednosti.
Podoben problem se pojavi pri vseh korenih s sodim eksponentom:
- Strogo gledano bo imelo vsako pozitivno število dva korena s sodim eksponentom $n$;
- Iz negativnih števil se koren s parimi $n$ sploh ne izlušči.
Zato je v definiciji korena sode stopnje $n$ posebej določeno, da mora biti odgovor nenegativno število. Tako se znebimo dvoumnosti.
Toda za lihih $n$ te težave ni. Da bi to videli, si oglejmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:
Kockasta parabola ima lahko poljubno vrednost, zato lahko kubični koren vzamemo iz poljubnega števila Iz tega grafa lahko potegnemo dva zaključka:
- Veje kubične parabole, za razliko od navadne, gredo v neskončnost v obe smeri - tako navzgor kot navzdol. Torej, ne glede na to, na kateri višini narišemo vodoravno črto, se bo ta črta zagotovo sekala z našim grafom. Posledično je kubični koren vedno mogoče izluščiti iz absolutno katerega koli števila;
- Poleg tega bo takšno presečišče vedno edinstveno, zato vam ni treba razmišljati o tem, katera številka velja za "pravilen" koren in katero prezreti. Zato je določanje korenov za liho stopnjo preprostejše kot za sodo stopnjo (ni zahteve po nenegativnosti).
Škoda, da te preproste stvari v večini učbenikov niso pojasnjeni. Namesto tega se naši možgani začnejo dvigovati z vsemi vrstami aritmetičnih korenov in njihovih lastnosti.
Da, ne trdim: tudi vedeti morate, kaj je aritmetični koren. In o tem bom podrobno govoril v ločeni lekciji. Danes bomo govorili tudi o tem, saj bi brez tega vse misli o korenih $n$-te množice bile nepopolne.
Toda najprej morate jasno razumeti definicijo, ki sem jo dal zgoraj. V nasprotnem primeru se bo zaradi obilice izrazov v vaši glavi začela taka zmešnjava, da na koncu ne boste razumeli čisto nič.
Vse, kar morate storiti, je razumeti razliko med sodimi in lihimi indikatorji. Zato še enkrat zberimo vse, kar resnično morate vedeti o koreninah:
- Koren sode stopnje obstaja le iz nenegativnega števila in je sam vedno nenegativno število. Za negativna števila je tak koren nedefiniran.
- Toda koren lihe stopnje obstaja iz katerega koli števila in je sam lahko poljubno število: za pozitivna števila je pozitiven, za negativna števila pa, kot namiguje kapica, negativen.
Je težko? Ne, ni težko. To je jasno? Da, popolnoma je očitno! Zdaj bomo malo vadili z izračuni.
Osnovne lastnosti in omejitve
Korenine imajo veliko čudnih lastnosti in omejitev - o tem bomo razpravljali v ločeni lekciji. Zato bomo zdaj upoštevali le najpomembnejši "trik", ki velja samo za korenine s sodim indeksom. Zapišimo to lastnost kot formulo:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\levo| x\desno|\]
Z drugimi besedami, če dvignemo število na sodo potenco in nato izvlečemo koren iste potence, ne bomo dobili prvotnega števila, ampak njegov modul. To je preprost izrek, ki ga je mogoče zlahka dokazati (dovolj je, da ločeno obravnavamo nenegativne $x$ in nato ločeno negativne). Učitelji nenehno govorijo o tem, podano je v vsakem šolskem učbeniku. Čim pa gre za reševanje iracionalnih enačb (tj. enačb z radikalnim predznakom), učenci soglasno pozabijo na to formulo.
Da bi podrobno razumeli težavo, za trenutek pozabimo na vse formule in poskusimo izračunati dve številki neposredno naprej:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=?\]
To je zelo preprosti primeri. Večina ljudi bo rešila prvi primer, marsikomu pa se zatakne pri drugem. Če želite takšno sranje rešiti brez težav, vedno upoštevajte postopek:
- Najprej se število dvigne na četrto potenco. No, nekako je enostavno. Dobili boste novo številko, ki jo najdete celo v tabeli množenja;
- In zdaj je treba iz te nove številke izluščiti četrti koren. Tisti. ne pride do "zmanjšanja" korenin in moči - to so zaporedna dejanja.
Poglejmo prvi izraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očitno morate najprej izračunati izraz pod korenom:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Nato izvlečemo četrti koren števila 81:
Sedaj pa naredimo isto z drugim izrazom. Najprej dvignemo število −3 na četrto potenco, kar zahteva, da ga pomnožimo s samim seboj 4-krat:
\[((\levo(-3 \desno))^(4))=\levo(-3 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \ levo(-3 \desno)=81\]
Dobili smo pozitivno število, saj je skupno število minusov v produktu 4 in vsi se bodo izničili (navsezadnje minus za minus daje plus). Nato znova izvlečemo koren:
Ta vrstica načeloma ne bi mogla biti zapisana, saj ni pametno, da bi bil odgovor enak. Tisti. sodi koren iste sode moči "sežge" minuse in v tem smislu se rezultat ne razlikuje od običajnega modula:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \desno|=3; \\ & \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=\levo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]
Ti izračuni se dobro ujemajo z definicijo korena sode stopnje: rezultat je vedno nenegativen in predznak radikala prav tako vedno vsebuje nenegativno število. V nasprotnem primeru je koren nedefiniran.
Opomba o postopku
- Zapis $\sqrt(((a)^(2)))$ pomeni, da najprej kvadriramo število $a$ in nato vzamemo kvadratni koren dobljene vrednosti. Zato smo lahko prepričani, da je pod korenom vedno nenegativno število, saj je $((a)^(2))\ge 0$ v vsakem primeru;
- Toda zapis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, nasprotno, pomeni, da najprej vzamemo koren določenega števila $a$ in šele nato rezultat kvadriramo. Zato število $a$ v nobenem primeru ne more biti negativno - to je obvezna zahteva, vključena v definicijo.
Tako v nobenem primeru ne bi smeli nepremišljeno zmanjševati korenin in stopenj, s čimer naj bi "poenostavili" prvotni izraz. Kajti če ima koren negativno število in je njegov eksponent sod, dobimo kup težav.
Vendar pa so vse te težave pomembne samo za sode kazalnike.
Odstranitev znaka minus izpod znaka korena
Seveda imajo tudi koreni z lihimi eksponenti svojo lastnost, ki je pri sodih načeloma ni. namreč:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Skratka, lahko odstranite minus izpod znaka korenov lihih stopinj. To je zelo uporabna lastnina, ki vam omogoča, da "vržete" vse negative:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ta preprosta lastnost močno poenostavi številne izračune. Zdaj vam ni treba skrbeti: kaj če je bil pod korenom skrit negativen izraz, vendar se je stopnja v korenu izkazala za enakomerno? Dovolj je le, da vse minuse "vržemo ven" zunaj korenin, nato pa jih lahko med seboj pomnožimo, razdelimo in na splošno naredimo veliko sumljivih stvari, ki nas v primeru "klasičnih" korenin zagotovo pripeljejo do napaka.
In tu pride na sceno druga definicija - ista, s katero v večini šol začnejo študij iracionalnih izrazov. In brez katerega bi bilo naše sklepanje nepopolno. Srečati!
Aritmetični koren
Za trenutek predpostavimo, da so pod korenom lahko samo pozitivna števila ali v skrajnem primeru nič. Pozabimo na sodo/liho indikatorje, pozabimo na vse zgoraj navedene definicije – delali bomo samo z nenegativnimi števili. Kaj potem?
In potem bomo dobili aritmetični koren - delno se prekriva z našimi "standardnimi" definicijami, vendar se še vedno razlikuje od njih.
Opredelitev. Aritmetični koren $n$te stopnje nenegativnega števila $a$ je nenegativno število $b$, tako da je $((b)^(n))=a$.
Kot vidimo, nas pariteta ne zanima več. Namesto tega se je pojavila nova omejitev: radikalni izraz je zdaj vedno nenegativen in sam koren je prav tako nenegativen.
Da bi bolje razumeli, kako se aritmetični koren razlikuje od običajnega, si oglejte grafe kvadratne in kubične parabole, ki ju že poznamo:
Področje iskanja aritmetičnega korena - nenegativna števila Kot lahko vidite, nas od zdaj naprej zanimajo le tisti deli grafov, ki se nahajajo v prvi koordinatni četrtini - kjer sta koordinati $x$ in $y$ pozitivni (ali vsaj nič). Ni vam več treba pogledati indikatorja, da bi razumeli, ali imamo pravico postaviti negativno število pod koren ali ne. Ker se negativna števila načeloma ne upoštevajo več.
Lahko se vprašate: "No, zakaj potrebujemo tako kastrirano definicijo?" Ali: "Zakaj se ne moremo sprijazniti z zgoraj navedeno standardno definicijo?"
No, navedel bom samo eno lastnost, zaradi katere postane nova definicija ustrezna. Na primer, pravilo za potenciranje:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Upoštevajte: radikalni izraz lahko dvignemo na poljubno potenco in hkrati pomnožimo korenski eksponent z isto potenco - in rezultat bo isto število! Tu so primeri:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Torej, kaj je tako pomembno? Zakaj tega nismo mogli narediti prej? Evo zakaj. Razmislimo o preprostem izrazu: $\sqrt(-2)$ - to število je povsem običajno v našem klasičnem razumevanju, vendar popolnoma nesprejemljivo z vidika aritmetičnega korena. Poskusimo ga pretvoriti:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Kot lahko vidite, smo v prvem primeru odstranili minus izpod radikala (imamo vso pravico, saj je eksponent lih), v drugem primeru pa smo uporabili zgornjo formulo. Tisti. Z matematičnega vidika je vse narejeno po pravilih.
WTF?! Kako je lahko isto število hkrati pozitivno in negativno? Ni šans. Samo formula za potenciranje, ki odlično deluje pri pozitivnih številih in ničli, začne v primeru negativnih števil proizvajati popolno herezijo.
Da bi se znebili takšne dvoumnosti, so se domislili aritmetični koreni. Posvečena jim je posebna velika lekcija, kjer podrobno obravnavamo vse njihove lastnosti. Zato se zdaj ne bomo ustavljali na njih - lekcija se je že izkazala za predolgo.
Algebrski koren: za tiste, ki želijo vedeti več
Dolgo sem razmišljal, ali naj to temo dam v ločen odstavek ali ne. Na koncu sem se odločil, da ga pustim tukaj. To gradivo je namenjeno tistim, ki želijo še bolje razumeti korenine - ne več na povprečni "šolski" ravni, ampak na ravni, ki je blizu olimpijade.
Torej: poleg "klasične" definicije $n$-tega korena števila in s tem povezane delitve na sode in lihe eksponente, obstaja bolj "odrasla" definicija, ki sploh ni odvisna od paritete in drugih tankosti. To se imenuje algebraični koren.
Opredelitev. Algebrski $n$-ti koren katerega koli $a$ je množica vseh števil $b$, tako da je $((b)^(n))=a$. Za takšne korenine ni uveljavljenega poimenovanja, zato bomo na vrh postavili pomišljaj:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\levo\( b\levo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]
Temeljna razlika od standardne definicije, podane na začetku lekcije, je ta algebrski koren- to ni določeno število, ampak niz. In ker delamo z realnimi števili, je ta komplet na voljo samo v treh vrstah:
- Prazen komplet. Pojavi se, ko morate najti algebraični koren sode stopnje iz negativnega števila;
- Komplet, sestavljen iz enega samega elementa. Vsi koreni lihih potenc, kot tudi koreni sodih potenc nič, spadajo v to kategorijo;
- Končno lahko nabor vključuje dve števili - isto $((x)_(1))$ in $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ki smo ju videli na graf kvadratne funkcije. Skladno s tem je takšna ureditev možna le pri izločanju korena sode stopnje iz pozitivnega števila.
Zadnji primer si zasluži podrobnejšo obravnavo. Preštejmo nekaj primerov, da bomo razumeli razliko.
Primer. Ocenite izraze:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
rešitev. Prvi izraz je preprost:
\[\overline(\sqrt(4))=\levo\( 2;-2 \desno\)\]
To sta dve številki, ki sta del niza. Ker vsak od njih na kvadrat daje štirico.
\[\overline(\sqrt(-27))=\levo\( -3 \desno\)\]
Tukaj vidimo niz, sestavljen iz samo ene številke. To je povsem logično, saj je korenski eksponent lih.
Na koncu še zadnji izraz:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnič \]
Prejeli smo prazen komplet. Ker ne obstaja niti eno realno število, ki bi nam, če bi ga dvignili na četrto (torej sodo!) potenco, dalo negativno število −16.
Končna opomba. Pozor: nisem slučajno povsod zapisal, da delamo z realnimi številkami. Ker obstajajo tudi kompleksna števila - tam je povsem mogoče izračunati $\sqrt(-16)$ in še marsikaj čudnega.
Vendar se kompleksna števila skoraj nikoli ne pojavljajo v sodobnih šolskih tečajih matematike. Odstranjeni so bili iz večine učbenikov, ker naši uradniki menijo, da je tema »pretežka za razumevanje«.
