Lekcija na temo: "Kaj je derivat? Opredelitev derivata"
Dodatni materiali
Spoštovani uporabniki, ne pozabite pustiti komentarjev, pregledov, želje! Vsi materiali preverjajo protivirusni program.
Izobraževalne pomoči in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za razred 10
Algebraične naloge s parametri, 9-11 razredi
Software Sreda "1c: Matematični oblikovalec 6.1"
Kaj bomo študirali:
1. Uvod v koncept derivata.
2. Nekoliko zgodbe.
4. Derivat na graf funkcije. Geometrijski izvedeni derivat.
6. Razlikovanje funkcije.
7. Primeri.
Uvod v koncept derivata
Obstaja veliko nalog popolnoma drugačnega v smislu, vendar obstajajo matematični modeli, ki vam omogočajo, da izračunajo rešitve naših nalog na enak način. Na primer, če upoštevate takšne naloge, kot so:A) Obstaja nekaj računov v banki, ki se nenehno spreminja enkrat nekaj dni, znesek nenehno raste, je treba najti na kakšni hitrosti račun raste.
b) Rastlina proizvaja sladkarije, obstaja nekaj stalnega povečanja proizvodnje sladkarij, poiščite, kako hitro se povečuje rast sladkarij.
c) Hitrost vozila v določenem času t, če je položaj avtomobila znan, in se premika v ravni črti.
d) Imamo razpored funkcije in na nekem mestu, ki ga je izvedel s tangentom, je potrebno najti osnovni kot naklona na tangento.
Besedilo naših nalog je povsem drugače, in zdi se, da so rešene na povsem različne načine, vendar je matematika prišla s tem, kako rešiti vse te naloge na popolnoma na enak način. Uveden je bil koncept derivata.
Rahlo zgodbe
Izraz izvedeni finančni instrument je uvedel velik matematik - Lagrange, prevod v rusko je pridobljen iz francoske besede Derivee, prav tako je uvedla sodobne oznake derivata, ki jih bomo pogledali kasneje.Obravnavali smo koncept derivata v njihovih delih Leibniza in Newtona, uporabo našega mandata, ki so ga našli v geometriji in mehaniki.
Malo kasneje se naučimo, da se derivat določi skozi mejo, vendar je v zgodovini matematike majhen paradoks. Matematika se je naučila razmisliti o derivatu, ki je prej kot koncept omejitve, ki je uvedel in dejansko razumel, kaj je izvedeni finančni instrument.
Recimo, da je funkcija Y \u003d F (x) določena v določenem intervalu, ki vsebuje nekaj točk X0 znotraj. Povečanje argumenta Δx - ne pride iz našega intervala. Pojavili bomo povečanje Δy in so znašali razmerje Δy / Δx, če je omejitve tega razmerja pri ΔX, ki išče nič, potem se navedena meja imenuje derivat funkcije y \u003d f (x) na točki X0 in označuje f '(x0).
Poskusimo pojasniti, kaj derivat ni matematični jezik:
Na matematičnem jeziku: Derivat je meja odnosa funkcije do povečanja njegovega argumenta, ko se argument poveča na nič.
V običajnem jeziku: derivat - hitrost spremembe funkcije na točki X0.
Poglejmo grafiko treh funkcij: 
Fantje, kaj mislite, katera od krivulj raste hitreje?
Odgovor se zdi, da je očitno, da je vse 1 krivulja hitreje kot ostalo. Pogledamo, kako kul graf funkcije gre gor. Z drugimi besedami, kako hitro se ob spreminjajo x. Ista funkcija na različnih točkah ima lahko drugačno vrednost derivata - to je, se lahko spremeni hitreje ali počasneje.
Derivat na graf funkcije. Geometrijski pomen derivata
Zdaj pa poglejmo, kako najti derivat z uporabo funkcij funkcije:
Poglejmo naš urnik funkcije: navijam na točko abscisa x0 na grafično funkcijo. Tangent in urnik naše funkcije pridejo v stik na točki A. Oceniti moramo, kako ohladi graf je funkcija. Udobna vrednost za to - nagib tangenta.
Opredelitev. Derivat funkcije na točki X0 je enak tangentu nagibnega kota tangenta, ki se izvaja na graf funkcije na tej točki.
Kot nagiba je izbran kot kot med tangento in pozitivno smer osi abscisa.
In tako je derivat naše funkcije enak:
Zato je derivat v točki X0 enak tangentu nagiba kota, to je geometrijski pomen derivata.
Algoritem za iskanje izpeljane funkcije y \u003d f (x).
a) Popravi vrednost X, poiščite f (x).
b) Poiščite prirastka argumenta x + Δx in vrednost prirastka funkcije F (x + Δx).
c) Poiščite prirast funkcije Δy \u003d f (x + Δx) -f (x).
D) naredite razmerje: Δy / Δx
D) izračunajte
To je derivat naše funkcije.
Diferenciacija funkcije
Če ima funkcije Y \u003d F (X) izvedeni finančni instrument v točki X, se imenuje diferencialjivega na točki X. Postopek iskanja derivata se imenuje razlikovanje funkcije y \u003d f (x).Vrnimo se na vprašanje kontinuitete funkcije. Če je funkcija diferencialna na neki točki, potem je funkcija funkcije na tej točki mogoče ugasniti, funkcija ne more imeti vrzeli v tej točki, nato pa preprosto opazite, da je nemogoče izvesti tangent.
In tako zapišite zgoraj navedeno kot definicijo:
Opredelitev. Če je funkcija diferencialna na točki X, je na tej točki neprekinjena.
Če pa je funkcija neprekinjena, to ne pomeni, da se na tej točki razlikuje. Na primer, funkcija Y \u003d | x | Na točki X \u003d 0 je neprekinjeno, vendar Tangent ni mogoče izvesti, kar pomeni, da ni derivata.
Primeri derivata
Poiščite izpeljano funkcijo: y \u003d 3xSklep:
Uporabili bomo izvedeni algoritem iskalnega algoritma.
1) Za fiksno vrednost X, vrednost funkcije y \u003d 3x
2) na točki x + Δx, y \u003d f (x + Δx) \u003d 3 (x + Δx) \u003d 3x + 3 Δx
3) Poiščite prirast funkcije: Δy \u003d f (x + Δx) -f (x) \u003d 3x + 3 Δx-3x \u003d 3Δ
Če upoštevate definicijo, je derivat funkcije na točki meja odnos funkcije povečave δ y. do povečanja argumenta δ x.:
Zdi se, da je vse jasno. Vendar poskusite izračunati v skladu s to formulo, recimo, izvedeno funkcijo f.(x.) = x. 2 + (2x. + 3) · e. x. · Sin. x.. Če naredite vse po definiciji, potem po nekaj računalniških straneh, ki jih samo padete. Zato obstajajo enostavnejši in učinkoviti načini.
Za začetek ugotavljamo, da je tako imenovane osnovne funkcije mogoče razlikovati od različnih funkcij. To so relativno preprosti izrazi, katerih derivati \u200b\u200bso že dolgo izračunani in navedeni v tabeli. Takšne funkcije se preprosto spomnijo - skupaj z njihovimi derivati.
Derivati \u200b\u200bosnovnih funkcij
Osnovne funkcije so navedene spodaj. Derivati \u200b\u200bteh funkcij bi morali biti znani po srcu. Poleg tega, da jih zapomniti precej preproste - so osnovni.
Torej, derivati \u200b\u200bosnovnih funkcij:
| Ime | Funkcija | Derivat. |
| Konstanta | f.(x.) = C., C. ∈ R. | 0 (da da, nič!) |
| Rational. | f.(x.) = x. n. | n. · x. n. − 1 |
| Sinus. | f.(x.) \u003d greh. x. | cos. x. |
| COSINE. | f.(x.) \u003d Cos. x. | - Sin. x. (minus sinus) |
| Tangent. | f.(x.) \u003d Tg. x. | 1 / cos 2 x. |
| Cotangent. | f.(x.) \u003d CTG. x. | - 1 / Sin 2 x. |
| Naravna logaritm. | f.(x.) \u003d ln. x. | 1/x. |
| Poljuben logaritem | f.(x.) \u003d Dnevnik. a. x. | 1/(x. · Ln. a.) |
| Eksponentna funkcija | f.(x.) = e. x. | e. x. (nič se ni spremenilo) |
Če se elementarna funkcija pomnoži z poljubno konstanto, se lahko izvedeni derivat nove funkcije lahko obravnava tudi:
(C. · f.)’ = C. · f. ’.
Na splošno se lahko konstante izvedejo za znak derivata. Na primer:
(2x. 3) '\u003d 2 · ( x. 3) '\u003d 2 · 3 x. 2 = 6x. 2 .
Očitno je, da se lahko osnovne funkcije zložijo med seboj, pomnožene, razdelijo - in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ki niso več osnovne, temveč tudi različne po določenih pravilih. Ta pravila so obravnavana spodaj.
Derivat zneska in razlike
Pustite funkcije f.(x.) JAZ. g.(x.), katerih derivate, ki smo znani. Na primer, lahko sprejmete osnovne funkcije, ki so obravnavane zgoraj. Potem lahko najdete derivat vsote in razlika teh funkcij:
- (f. + g.)’ = f. ’ + g. ’
- (f. − g.)’ = f. ’ − g. ’
Torej, derivat zneska (razlika) obeh funkcij je enak zneska (razlika) izvedenih finančnih instrumentov. Komponente so lahko večje. Na primer ( f. + g. + h.)’ = f. ’ + g. ’ + h. ’.
Strogo gledano, v algebri ni koncepta "odštevanje". Koncept "negativnega elementa". Zato je razlika f. − g. lahko ponovno napišemo kot vsoto f. + (-1) · g., nato pa bo le ena formula ostala - derivat zneska.
f.(x.) = x. 2 + sin x; g.(x.) = x. 4 + 2x. 2 − 3.
Funkcija f.(x.) - To je vsota dveh osnovnih funkcij, zato:
f. ’(x.) = (x. 2 + greh. x.)’ = (x. 2) '+ (greh x.)’ = 2x. + Cos x;
Podobno se prepiramo za funkcijo g.(x.). Samo trije pogoji (z vidika algebre):
g. ’(x.) = (x. 4 + 2x. 2 − 3)’ = (x. 4 + 2x. 2 + (−3))’ = (x. 4)’ + (2x. 2)’ + (−3)’ = 4x. 3 + 4x. + 0 = 4x. · ( x. 2 + 1).
Odgovor:
f. ’(x.) = 2x. + Cos x;
g. ’(x.) = 4x. · ( x.
2 + 1).
Izpeljano
Matematika - Znanost je logična, toliko verjamem, da če je derivat zneska enak količini izvedenih finančnih instrumentov, potem derivat dela stavke."\u003e je enak produktu izvedenih finančnih instrumentov. Toda sl. Ti! Derivat dela se šteje za precej v drugi formuli. Namreč:
(f. · g.) ’ = f. ’ · g. + f. · g. ’
Formula je preprosta, vendar je pogosto pozabljena. In ne samo šolarji, ampak tudi učenci. Rezultat so nepravilno rešene naloge.
Nalogo. Poiščite izpeljene funkcije: f.(x.) = x. 3 · COS X; g.(x.) = (x. 2 + 7x. - 7) · e. x. .
Funkcija f.(x.) Je proizvod dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:
f. ’(x.) = (x. 3 · CO. x.)’ = (x. 3) '· cos x. + x. 3 · (COS x.)’ = 3x. 2 · CO. x. + x. 3 · (- greh x.) = x. 2 · (3cos x. − x. · Sin. x.)
Funkcija g.(x.) Prvi dejavnik je malo bolj zapleten, vendar se splošna shema iz tega ne spremeni. Očitno je prva faktorska funkcija g.(x.) To je polinom, in njegov derivat je derivat zneska. Imamo:
g. ’(x.) = ((x. 2 + 7x. - 7) · e. x.)’ = (x. 2 + 7x. - 7) "· e. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · ( e. x.)’ = (2x. + 7) · e. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · e. x. = e. x. · (2. x. + 7 + x. 2 + 7x. −7) = (x. 2 + 9x.) · e. x. = x.(x. + 9) · · e. x. .
Odgovor:
f. ’(x.) = x. 2 · (3cos x. − x. · Sin. x.);
g. ’(x.) = x.(x. + 9) · · e.
x.
.
Upoštevajte, da se v zadnjem koraku derivat zavrne multiplikatorje. Formalno to ni potrebno storiti, vendar je večina derivatov izračunajo sami, ampak raziskati funkcijo. Torej, nadalje bo derivat izenačen na nič, bodo njegovi znaki pojasnjeni in tako naprej. Za takega primera je bolje imeti izraz, ki je določen na multiplikatorjih.
Če obstajata dve funkciji f.(x.) JAZ. g.(x.), in g.(x.) ≠ 0 na nizu zanimanja za nas, lahko določite novo funkcijo h.(x.) = f.(x.)/g.(x.). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izvedeni finančni instrument:
Notlabo, da? Od kod prihaja minus? Zakaj. g. 2? Tako! To je ena najtežjih formul - brez steklenice se ne bo razprševala. Zato je bolje, da ga preučimo na posebnih primerih.
Nalogo. Poiščite izpeljene funkcije:
V številu in imenovalcu vsake frakcije so osnovne funkcije, tako da je vse, kar potrebujemo, je formula zasebnega derivata:
Po tradiciji širjenje števca do multiplikatorjev - to bo bistveno poenostavilo odgovor:
Kompleksna funkcija ni nujno dolžina formule v pol aquicometer. Na primer, dovolj je, da vzamete funkcijo f.(x.) \u003d greh. x. in zamenjajte spremenljivko x., recimo x. 2 + ln. x.. Vsakič f.(x.) \u003d greh ( x. 2 + ln. x.) - To je zapletena funkcija. Prav tako ima derivat, vendar ga ne bo mogoče najti v skladu z zgoraj navedenimi pravili.
Kako biti? V takih primerih pomaga zamenjati spremenljivko in formulo funkcije izpeljanega kompleksa:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ', če x. Zamenjan z t.(x.).
Praviloma z razumevanjem te formule je stanje še bolj žalostno kot z zasebnim izvedenim finančnim instrumentom. Zato je bolje razložiti posebne primere, s podrobnim opisom vsakega koraka.
Nalogo. Poiščite izpeljene funkcije: f.(x.) = e. 2x. + 3 ; g.(x.) \u003d greh ( x. 2 + ln. x.)
Upoštevajte, da če v funkciji f.(x.) namesto izraza 2 x. + 3 bo samo x.Potem izkaže osnovno funkcijo f.(x.) = e. x. . Zato smo zamenjali: naj se 2 x. + 3 = t., f.(x.) = f.(t.) = e. t. . Iščemo derivat kompleksne funkcije s formulo:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (e. t.)’ · t. ’ = e. t. · t. ’
In zdaj - Pozor! Opravite povratno zamenjavo: t. = 2x. + 3. Dobimo:
f. ’(x.) = e. t. · t. ’ = e. 2x. + 3 · (2 x. + 3)’ = e. 2x. + 3 · 2 \u003d 2 · e. 2x. + 3
Zdaj se bomo ukvarjali s funkcijo g.(x.). Očitno morate zamenjati x. 2 + ln. x. = t.. Imamo:
g. ’(x.) = g. ’(t.) · t. '\u003d (Greh t.)’ · t. '\u003d Cos. t. · t. ’
Povratno zamenjavo: t. = x. 2 + ln. x.. Potem:
g. ’(x.) \u003d Cos ( x. 2 + ln. x.) · ( x. 2 + ln. x.) '\u003d Cos ( x. 2 + ln. x.) · (2 x. + 1/x.).
To je vse! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se celotna naloga zmanjša na izračun derivata.
Odgovor:
f. ’(x.) \u003d 2 · e.
2x. + 3 ;
g. ’(x.) = (2x. + 1/x.) · COS ( x. 2 + ln. x.).
Zelo pogosto v svojih lekcijah namesto izraza "derivat" uporabljam besedo "bar". Na primer, palica iz zneska je enaka vsoti udarcev. Tako jasnej? No, to je dobro.
Tako se izračun izvedenega finančnega instrumenta zmanjša, da se znebi teh vodnikov v skladu z zgoraj navedenimi pravili. Kot zadnji primer se bomo vrnili v izvedeno stopnjo z racionalnim indikatorjem:
(x. n.)’ = n. · x. n. − 1
Le malo ve, kaj je v n. Lahko deluje delno število. Na primer, koren je x. 0,5. In kaj, če bo pod koren, bo nekaj zapletenih? Ponovno je pridobljena kompleksna funkcija - takšne strukture radi dajejo preskusi in izpiti.
Nalogo. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta:
Za začetek, ponovno napišite koren v obliki stopnje z racionalnim indikatorjem:
f.(x.) = (x. 2 + 8x. − 7) 0,5 .
Zdaj naredimo zamenjavo: pustite x. 2 + 8x. − 7 = t.. Poiščite derivat s formulo:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (t. 0,5) "· t. '\u003d 0,5 · t. -0,5 · t. ’.
Naredimo zamenjavo: t. = x. 2 + 8x. - 7. Imamo:
f. ’(x.) \u003d 0,5 · ( x. 2 + 8x. - 7) -0,5 · ( x. 2 + 8x. - 7) '\u003d 0,5 · (2 x. + 8) · ( x. 2 + 8x. − 7) −0,5 .
Končno se vrnemo v korenine:
Derivat.
Izračun derivata matematične funkcije (diferenciacija) je zelo pogosta naloga pri reševanju najvišje matematike. Za enostavne (osnovne) matematične funkcije je to precej preprosta snov, saj so bile tabele derivatov za osnovne funkcije pripravljene in lahko dostopne. Vendar pa ugotovitev izpeljane kompleksne matematične funkcije ni nepomembna naloga in pogosto zahteva precejšnje napora in časovne stroške.
Poiščite derivat na spletu
Naša spletna storitev vam omogoča, da se znebite nesmiselnega dolgega računalništva in poiščite derivat na spletu Za trenutek. In z uporabo naše storitve na spletnem mestu www.syt.lahko izračunate online derivat. tako iz osnovne funkcije kot iz zelo zapletenega, ne reševanja v analitični obliki. Glavne prednosti naše spletne strani v primerjavi z drugimi so: 1) Ni strogih zahtev za metodo vstopa v matematično funkcijo za izračun derivata (na primer, ko vnesete funkcijo XINUS, jo lahko vnesete kot greh x ali greh ( x) ali greh [x] in t. d.); 2) Derivat Online Izračun se takoj pojavi v načinu na spletu. In popolnoma je prost.; 3) Omogočamo vam, da najdete derivat funkcije vsakega naročila, sprememba vrstnega reda derivata je zelo enostavno in razumljivo; 4) Omogočamo vam, da najdete derivat skoraj od vse matematične funkcije na spletu, celo zelo težko, nedostopno za reševanje drugih storitev. Odziv je vedno točen in ne more vsebovati napak.
Uporaba našega strežnika vam bo omogočil 1) izračun derivata na spletu za vas, ki ste ga shranili iz dolgega in dolgočasnega računalništva, v katerem lahko naredite napako ali tipo; 2) Če sami izračunate derivat matematične funkcije, vam nudimo možnost primerjave rezultata z izračuni naših storitev in se prepričajte, da je rešitev LoyRetat ali poiskala zlomljeno napako; 3) Uporabite naše storitve namesto z uporabo tabel različnih funkcij, kjer je pogosto potrebno najti želeno funkcijo.
Vse, kar potrebujete, je potrebno poiščite derivat na spletu - Uporablja jih naša storitev
Ne pozabite zelo enostavno.
No, ne gremo daleč, takoj bomo razmislili o povratnem funkciji. Katera funkcija je obratno za okvirno funkcijo? Logaritem:
V našem primeru je osnova številka:
Takšna logaritem (to je logaritem z bazo) se imenuje "Natural", in za to uporabljamo posebno oznako: namesto pisanja.
Kaj je enako? Seveda, .
Derivat naravnega logaritma je zelo preprost:
Primeri:
- Iskanje izpeljane funkcije.
- Kaj je izpeljana funkcija enaka?
Odgovori: Razstavljavec in naravna logaritmi - funkcije so edinstveno preprosto z vidika derivata. Exchange in Logaritmic Funkcije z vsemi drugimi osnovami bodo imeli še en derivat, ki ga bomo pozneje analizirali z vami, po opravljenih pravilih diferenciacije.
Diferenciacijska pravila
Pravila Kaj? Spet nov izraz, spet?!
Diferenciacija - To je proces iskanja derivata.
Samo in vse. In kako drugače poimenujete ta proces v eni besedi? Ni proizvodnja ... Razlika matematike se imenuje največ povečevalec funkcije na. Ta izraz se dogaja iz Latin Diferencea - razlika. Tukaj.
Pri prikazu vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove korake:
Skupaj je 5 pravil.
Konstanta je narejena iz znaka derivata.
Če - nekakšna stalna številka (stalna), potem.
Očitno je to pravilo za razliko :. \\ T
Dokazujemo. Ali lažje.
Primeri.
Poiščite izpeljene funkcije:
- na točki;
- na točki;
- na točki;
- na točki.
Rešitve:
- (Derivat je enak v vseh točkah, saj je to linearna funkcija, se spomnite?);
Izpeljano
Tukaj je vse podobno: uvajamo novo funkcijo in poiščite njen prirast:
Derivat:
Primeri:
- Poiščite derivate funkcij in;
- Poiščite derivat funkcije na točki.
Rešitve:
Okvirna funkcija derivata
Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite, kako najti derivat katere koli okvirne funkcije, in ne samo razstavljavcev (ne pozabljeno, kaj je?).
Torej, kje je nekaj.
Že vemo, da je izvedena funkcija, zato poskusimo, da našo funkcijo pripelje na novo bazo:
To naredimo, uporabljamo preprosto pravilo :. Potem:
Izkazalo se je. Zdaj poskusite najti derivat in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.
Se je zgodilo?
Tukaj preverite:
Formula se je izkazala, da je zelo podobna razstavljanju izvedenega finančnega instrumenta: kot je bilo, je ostala, se je pojavil le multiplikator, ki je le številka, vendar ne spremenljivka.
Primeri:
Poiščite izpeljene funkcije:
Odgovori:
To je le številka, ki je ni mogoče šteti brez kalkulatorja, to je, ne za snemanje v enostavnejši obliki. Zato, kot odgovor v tej obliki in dopust.
Upoštevajte, da obstajajo zasebni dve funkciji, zato uporabljata ustrezno pravilo razlikovanja:
V tem primeru je produkt dveh funkcij:
Derivat logaritmična funkcija
Tukaj je podobno: Derivat že poznate iz naravnega logaritma:
Zato, da bi našli samovoljno od logaritma z drugim razlogom, na primer:
Ta logaritem morate prinašati na osnovo. In kako spremeniti osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:
Šele zdaj bomo napisali:
V imenovalcu se je izkazalo, da je samo konstantno (stalno število, brez spremenljivke). Derivat je zelo preprost:
Derivati \u200b\u200bokvirnih in logaritmičnih funkcij skoraj ni mogoče najti v izpitu, vendar ne bo odveč, da bi jih poznali.
Funkcija izpeljanega kompleksa.
Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ne vezana. Te funkcije so lahko kompleksne za razumevanje (čeprav, če se zdi, da je logaritem težko, preberite temo »Logaritmi« in vse bo prehoda), vendar z vidika matematike Beseda "kompleks" ne pomeni "težko".
Predstavljajte si majhen transporter: dve osebi sedita in imata nekakšna dejanja z nekaterimi predmeti. Na primer, prva obdaja čokolado v ovojniku, drugi pa to pomeni s trakom. Izkazalo se je, da je tak sestavni predmet: čokolada, zavita in obložena s trakom. Da bi jedli čokolado, morate narediti povratne ukrepe v obratnem vrstnem redu.
Ustvarimo podoben matematični transporter: Najprej bomo našli kosine številke, nato pa je nastala številka, ki je bila postavljena na kvadrat. Torej, dajemo številko (čokolada), najdem njegovo kosinsko (wrap), potem pa boste postavili s tem, kar sem naredil, na trgu (kravata na trak). Kaj se je zgodilo? Funkcija. To je primer kompleksne funkcije: Kdaj najti svoj pomen, ki ga naredimo prvo dejanje neposredno s spremenljivko, nato pa še eno dejanje s tem, kar se je zgodilo kot rezultat prvega.
Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je še ena značilnost.: .
Za naš primer.
Lahko popolnoma delamo enaka dejanja in v obratnem vrstnem redu: Najprej boste postavljeni na kvadrat, potem pa iščem kosine nastale številke :. To je enostavno uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: Ko se postopek spremeni, se funkcija spremeni.
Drugi primer: (isto). .
Ukrep, ki ga bomo slednji poklicali "Zunanja" funkcija, in dejanje, ki je izvedeno prvi - oziroma "Notranja" funkcija (To so neformalna imena, uporabljam jih samo, da pojasnimo material v preprostem jeziku).
Poskusite se določiti, katera funkcija je zunanja, in ki je notranja:
Odgovori:Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno zamenjavi spremenljivk: na primer v funkciji
- Najprej bomo izvedli kakšno dejanje? Najprej razmislite o sinusu, vendar le nato postavili v kocko. Torej, notranja funkcija in zunanji.
In začetna funkcija je njihova sestava :. - Notranje:; Zunanji :.
Preverite :. - Notranje:; Zunanji :.
Preverite :. - Notranje:; Zunanji :.
Preverite :. - Notranje:; Zunanji :.
Preverite :.
izdelujemo zamenjavo spremenljivk in dobite funkcijo.
No, zdaj bomo izvlekli našo čokoladno čokolado - iskanje derivata. Postopek je vedno obrnjen: Najprej iščemo derivat zunanjega delovanja, nato pa pomnožite rezultat na derivat notranje funkcije. V zvezi z izvirnim primerom izgleda takole:
Drug primer:
Tako smo končno oblikovali uradno pravilo:
Algoritem za iskanje derivatnega kompleksa Funkcija:
Zdi se, da je vse preprosto, da?
Preverite primere:
Rešitve:
1) Notranje:;
Zunanji:;
2) notranja:;
(Ne mislite samo na zdaj, da bi se odrezali! Od kosina se nič ne spomni, se spomniš?)
3) notranje:;
Zunanji:;
Takoj je jasno, da je na tri ravni kompleksna funkcija: navsezadnje je že kompleksna funkcija sama, in še vedno odstrani koren od njega, to pomeni, da izvedemo tretjo dejanje (čokolado v ovoju in z trak v portfelj). Vendar ni razloga, da se bojimo: vse iste "razpakirane" ta funkcija bo v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.
To je, najprej uporabite koren, nato kosine in šele nato ekspresijo v oklepajih. In potem vse te spremenljivke.
V takih primerih je to primerno za oštevilčene ukrepe. To pomeni, da smo znani. Kakšen nalog bomo opravljali ukrepe za izračun vrednosti tega izraza? Preučili bomo na primeru:
Kasneje poteka dejanje, bolj bo "zunanja" ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj - kot prej:
Tu je gnezdenje na splošno 4-ravni. Določimo postopek.
1. Prisilni izraz. .
2. Koren. .
3. Sinus. .
4. kvadrat. .
5. Zberemo vse v skupini:
Derivat. Na kratko o glavni stvari
Izpeljana funkcija - Razmerje prirastka funkcije do prirastka argumenta z neskončno majhnim prirasta argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila diferenciacije:
Konstanta je narejena za znak derivata:
Znesek:
Proizvodno delo:
Zasebni derivat:
Funkcija derivata Funkcija:
Algoritem za iskanje derivata kompleksne funkcije:
- Določamo funkcijo "notranje", najdemo njegov derivat.
- Določamo funkcijo "zunanje", najdemo njegov derivat.
- Pomnožite rezultate prvega in drugega elementa.
