Dodatek in odštevanje stopenj

Očitno je, da so številke s stopinjami točne kot druge vrednosti , z dodajanjem enega za drugim z njihovimi znaki.

Torej, vsota A 3 in B2 je 3 + B2.
Sum A 3 - B N in H5 -D4 je 3 - B N + H 5 - D 4.

Dejavniki enake stopnje istih spremenljivk Lahko je zasnovan ali odštet.

Tako je znesek 2A 2 in 3a 2 5A 2.

Prav tako je očitno, da če vzamete dva kvadrata A, ali tri kvadrate a, ali pet kvadratov a.

Ampak stopnje različne spremenljivke in različne stopnje enake spremenljivkez njihovimi znaki.

Torej, vsota A 2 in A 3 je vsota A 2 + A 3.

To je očitno, da je trg števila A, in kocka št. A, ki ni enaka dvojnemu kvadratu A, ampak dvojna kuba a.

Znesek A 3 B N in 3A 5 B 6 je 3 B N + 3A 5 B 6.

Odštevanje Stopnje se izvajajo na enak način kot dodatek, razen da je treba v skladu s tem spremeniti znake odštevanja.

Ali:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 B 6 - 4H 2 B 6 \u003d -H2B 6
5 (A - H) 6 - 2 (A-H) 6 \u003d 3 (A-H) 6

Pomnožene stopnje

Številke z merami se lahko pomnožijo z drugimi vrednostmi, ki jih pišete enega za drugim, z znakom množenja ali brez nje med njimi.

Tako je rezultat množenja A 3 na B2, je 3 B2 ali AAABB.

Ali:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 B 3 Y 2 ⋅ A 3 B 2 Y \u003d A 2 B 3 Y 2 A 3 B 2 Y

Rezultat v slednjem primeru je mogoče naročiti z dodatkom istih spremenljivk.
Izraz bo potekal v obliki: 5 B 5 y 3.

Primerjava več številk (spremenljivk) s stopinjami, lahko vidimo, da je, če se katera koli dva pomnoži, je rezultat številka (spremenljivka) z diplomo, ki je enaka vsota Pogojev.

Torej, 2 .a 3 \u003d AA.AAA \u003d AAAAA \u003d A 5.

Tu 5 je stopnja multiplikacijskega rezultata, ki je enaka 2 + 3, vsota stopenj komponent.

Torej, n .a m \u003d a m + n.

Za N, A se vzame kot multiplikator tolikokrat kot stopnja N;

In m, vzame kot multiplikator tolikokrat kot stopnja m;

Zato, stopnja z enakimi bazami se lahko pomnožijo z dodajanjem stopinj.

Torej, 2 .a 6 \u003d A 2 + 6 \u003d A 8. In x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

Ali:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 Y 3 ⋅ B 4 Y \u003d B 6 Y 4
(B + H - Y) N ⋅ (B + H - Y) \u003d (B + H - Y) N + 1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: X 4 - Y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

To pravilo velja za številke, katere stopnjo - negativno.

1. Torej, A -2 .A -3 \u003d A -5. To je mogoče napisati v obliki (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.

2. Y-N.Y -M \u003d Y-N-M.

3. a -N .a m \u003d a m-n.

Če se A + B pomnoži z A-B, bo rezultat enak 2-B2: to je

Rezultat množenja zneska ali razlike dveh številk je enak vsoti ali razliki njihovih kvadratov.

Če se znesek pomnoži in razlika dveh številk, ki je postavljena v square., rezultat bo enak znesku ali razliki teh številk v Četrtič stopnja.

Torej, (A - Y). (A + Y) \u003d A 2 - Y 2.
(A 2 - Y 2) ⋅ (A 2 + Y 2) \u003d A 4 \u200b\u200b- Y 4.
(A 4 - Y 4) ⋅ (A 4 + Y 4) \u003d A 8 - Y 8.

Diplome

Številke s stopinjami se lahko razdelijo, kot druge številke, tako da vzamete delilnik razdelitve, ali njihovo umestitev v obliki frakcije.

Tako je 3 b 2, razdeljen z B 2, ki je enak 3.

Snemanje 5, deljeno s 3, izgleda kot $ \\ t $. Toda to je enako 2. V številnih številkah
a +4, A +3, A +2, A +1, A 0, A -1, A -2, A -3, A-4.
vsako število lahko razdelimo na drugo, stopnja pa bo enaka razlika Kazalniki deljivih številk.

Pri delitvi stopinj z isto bazo se odštejejo njihovi kazalniki..

Torej, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. To je, $ Frac \u003d Y $.

In n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. To je, $ Frac \u003d a ^ n $.

Ali:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (B + Y) N: 3 (B + Y) 3 \u003d 4 (B + Y) N-3

Pravilo je pošteno in za številke negativno vrednosti stopenj.
Rezultat divizije A -5 na A -3 je enak A -2.
Tudi $ Frac: Frac \u003d Frac. \\ Trac \u003d Frac \u003d \\ t

h 2: H -1 \u003d H2 + 1 \u003d H3 ali $ H ^ 2: Frac \u003d H ^ 2. Frac \u003d H ^ $ 3

Potrebno je zelo dobro asimilirati razmnoževanje in delitev stopenj, saj se takšne operacije zelo pogosto uporabljajo v algebri.

Primeri reševanja primerov z frakcijami, ki vsebujejo številke z merami

1. Zmanjšajte stopinje v $ ODGOVORNOSTI: $ FRAC $.

2. Zmanjšajte stopenj v $ FRAC $. Odgovor: $ Frac $ ali 2x.

3. Zmanjšajte stopenj 2 / A 3 in A -3 / A-4 in prinesite skupni imenovalec.
a 2 .A -4 je -2 prvi števca.
a 3 .A -3 je 0 \u003d 1, drugi tremotor.
a 3 .A -4 je -1, skupni števec.
Po poenostavitvi: A -2 / A -1 in 1 / A -1.

4. Zmanjšajte kazalnike stopenj 2a 4 / 5a 3 in 2 / A 4 in prinesite skupni imenovalec.
ODGOVOR: 2A 3/5A 7 in 5A 5/5A 7 ali 2A 3/5A 2 in 5/5A 2.

5. Pomnožite (3 + B) / B 4 na (A-B) / 3.

6. Pomnožite (5 + 1) / x 2 na (B 2 - 1) / (x + A).

7. Pomnožite B 4 / A -2 na H -3 / X in N / Y -3.

8. Razdelite 4 / y3 na 3 / y2. Odgovor: A / Y.

Lastnosti diplome

Spomnimo vas, da v tej lekciji razumete lastnosti stopenj z naravnimi kazalniki in nič. Stopnja z racionalnimi kazalniki in njihovimi lastnostmi bodo obravnavana v lekcijah za 8 razredov.

Razmerje z naravnim indikatorjem ima več pomembnih lastnosti, ki vam omogočajo poenostavitev izračunov v primerih s stopnjami.

Nepremičnina številka 1.
Delo stopenj

Pri množitvi stopinj z enakimi osnovami ostane osnova nespremenjena, indikatorji stopenj pa so zloženi.

a m · n \u003d a m + n, kjer je "a" poljubno število, in "M", "N" - vse naravne številke.

Ta lastnost stopinj deluje tudi na delo treh in več stopinj.

• Poenostavite izraz.
  b · B 2 · B 3 · B 4 · B 5 \u003d B 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
• V obliki stopnje.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
• V obliki stopnje.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15

Upoštevajte, da je bilo v določenem premoženju le o množenju stopenj z enakimi bazami. . Ne velja za njihovo dodajanje.

Znesek (3 3 + 3 2) je nemogoče nadomestiti s 3 5. To je razumljivo, če
izračunajte (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, A 3 5 \u003d 243

Nepremičnina številka 2.
Zasebna diploma

Pri delitvi stopinj z enakimi osnovami ostane osnova nespremenjena in iz kazalnika delitev odbita stopnjo delilnika.

• Napišite zasebno v obliki diplome
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• Izračunajte.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Primer. Rešite enačbo. Uporabljamo lastnost zasebnih diplom.
3 8: T \u003d 3 4

Odgovor: T \u003d 3 4 \u003d 81

Uporaba lastnosti št. 1 in št. 2, lahko preprosto poenostavite izraze in izračun.

Primer. Poenostavite izraz.
4 5M + 6 · 4 M + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 5M + 6 + M + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 6M + 8 - 4M - 3 \u003d 4 2M + 5

Primer. Poiščite vrednost izraza z uporabo stopenjskih lastnosti.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upoštevajte, da je bilo v nepremičnine 2 le o delitvi z enakimi bazami.

Nemogoče je nadomestiti razliko (4 3-4 2) za 4 1. To je razumljivo, če izračunate (4 3 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, 4 1 \u003d 4

Nepremičnina številka 3.
ERCT.

Pri postavitvi stopnje do stopnje ostaja temelj nespremenjena, kazalniki stopenj pa so spremenljivi.

(n) m \u003d a n · m, kjer je "a" poljubno število, in "M", "N" - vse naravne številke.

Spomnimo vas, da je zasebni lahko zastopani kot delček. Zato se na temo bolj podrobneje osredotočimo na naslednjo stran.

Kako množiti stopinj

Kako pomnožiti diplomo? Katere stopnje se lahko množijo in ki ni? Kako pomnožiti diplomo?

V algebri najdemo produkt stopenj v dveh primerih:

1) Če imajo diplome enake baze;

2) Če imajo diplome enake kazalnike.

Pri množenju stopinj z enakimi bazami je potrebno zapustiti osnovo za isto, indikatorji pa so zloženi:

Pri množenju stopinj z enakimi kazalniki lahko celotni indikator dosežejo z naramnicami:

Razmislite, kako pomnožiti stopnje na določene primere.

Enota ni napisana v indikatorju, temveč pri množenju stopinj - upoštevajte:

Pri množenju je lahko število stopinj. Ne smemo pozabiti, da pred napisom znaka množenja ne more pisati:

V izrazih se izvede gradnja obsega.

Če je potrebna številka za množenje v stopnjo, morate najprej dvigniti v diplomo in le kasneje - množenje:

Množenje stopinj z enakimi bazami

Ta video tutorial je na voljo na naročnini

Že imate naročnino? Da pridejo

V tej lekciji bomo preučili razmnoževanje stopinj z enakimi bazami. Najprej se spomnimo stopnje stopnje in oblikujemo izrek lastniškega kapitala . Nato dajemo primere njene uporabe na določenih številkah in dokazujemo. Teorem uporabljamo tudi za reševanje različnih nalog.

Tema: Stopnja z naravnim indikatorjem in njenimi lastnostmi

Lekcija: Razmnoževanje stopinj z enakimi bazami (formula)

1. Osnovne definicije

Glavne definicije:

n. - kazalnik, \\ t

— n.Stopnjo datuma.

2. Besedilo iz vseevropskega

Teorem 1. Za vsako številko zvezek in vse naravne n. in k. Enakost je resnična:

Drugačen: če. zvezek - vsako število; n. in k. Naravne številke, nato:

Zato pravilo 1:

3. Pojasnjevalne naloge

Izhod: Zasebni primeri so potrdili pravilnost Teorema št. 1. To dokazujemo v splošnem primeru, to je za vse zvezek in vse naravne n. in k.

4. Dokazilo o izreku 1

DANO NUMBER. zvezek - Kdorkoli; številke n. in k - Naravno. Dokazati

Dokaz temelji na določanju stopnje.

5. Rešitev primerov s teoremom 1

Primer 1: Predstavljajte si v obliki stopnje.

Da bi rešili naslednje primere, uporabljamo teorem 1.

g)

6. Sploščanje iz vseevropskega

Splošnost se uporablja tukaj:

7. Raztopina primerov s pomočjo posploševanja teorema 1

8. Raztopina različnih nalog z uporabo Therema 1

Primer 2: Izračunajte (lahko uporabite košaro glavnih stopenj).

vendar) (na mizi)

b)

Primer 3: Zapišite v obliki stopnje z bazo 2.

vendar)

Primer 4: Določite znak številke:

, ampak - Negativen, ker je kazalnik pri -13 liho.

Primer 5: Zamenjajte (·) stopnjo števila z bazo r:

To je.

9. Povzetek

1. Dorofeyev g.v., Suvorova S.B., Baynovich E.A. In drugi. Algebra 7. 6 izdaja. M.: Razsvetljenje. 2010.

1. Šolski pomočnik (vir).

1. Predstavljajte si v obliki stopnje:

a b c d e)

3. Zapišite v obliki stopnje z bazo 2:

4. Določite število:

vendar)

5. Zamenjajte (·) stopnjo števila z bazo r:

a) R4 · (·) \u003d R15; b) (·) · R5 \u003d R6

Množenje in delitev stopenj z enakimi kazalniki

V tej lekciji bomo preučili razmnoževanje stopenj z enakimi kazalniki. Najprej se spomnimo osnovnih definicij in izrekov na množenju in delitvi stopenj z enakimi osnovami in poiščite diplomo do stopnje. Nato oblikovamo in dokazujemo izrek na množenju in delitvi z enakimi kazalniki. In potem s svojo pomočjo, se odločimo številne tipične naloge.

Opomnik osnovnih definicij in izrekov

Tukaj a. - temelj diplome

— n.Stopnjo datuma.

Teorem 1. Za vsako številko zvezek in vse naravne n. in k. Enakost je resnična:

Pri množenju stopinj z enakimi bazami so indikatorji zloženi, baza ostane nespremenjena.

Teorem 2. Za vsako številko zvezek in vse naravne n. in k, Takšno n. > k. Enakost je resnična:

Pri delitvi stopinj z enakimi osnovami so kazalniki raztrgani, osnova pa ostaja nespremenjena.

Teorem 3. Za vsako številko zvezek in vse naravne n. in k. Enakost je resnična:

Vse navedene izreke so bile približno stopinj z enakimi bazeni, v tej lekciji se šteje za diplome z istim indikatorji.

Primeri za množenje stopenj z enakimi kazalniki

Razmislite o naslednjih primerih:

Izrežene izraze za določitev stopnje.

Izhod: Iz primerov to lahko vidite vendar mora še vedno dokazati. Oblikovamo teorem in jo dokazujemo v splošnem primeru, to je za vse zvezek in b. in vse naravne n.

Besedilo in dokazilo o izreku 4

Za vse številke zvezek in b. in vse naravne n. Enakost je resnična:

Dokaze Teoremi 4. .

Po definiciji stopnje:

Torej smo to dokazali .

Da bi razmnožili diplome z istimi kazalniki, je dovolj, da se pomnožijo baze, indikator stopnje je nespremenjen.

Besedilo in dokazilo o izreku 5

Therem formuliramo za delitvene stopnje z enakimi kazalniki.

Za vsako številko zvezek in b () in vse naravne n. Enakost je resnična:

Dokaze Teoreme 5. .

Bolna in po definiciji diplome:

Besedilo izvesti besed

Torej, to smo dokazali.

Da se med seboj razdelijo z enakimi kazalniki, zadostuje za razdelitev ene baze na drugega, indikator stopnje je nespremenjen.

Rešitev tipičnih nalog z uporabo teorema 4

Primer 1: V obliki dela stopenj.

Za reševanje naslednjih primerov uporabljamo teorem 4.

Da bi rešili naslednji primer, se spomnimo formule:

Sploščanje iz vseevropskega.

Sploščanje iz vseevropskega:

Rešitev primerov s pomočjo splošnega izreka 4

Nadaljnje reševanje tipičnih nalog

Primer 2: Zapišite v obliki stopnje dela.

Primer 3: Zapišite v obliki stopnje z indikatorjem 2.

Primeri za izračun

Primer 4: Izračunajte najbolj racionalen način.

2. MERZLYAK A.G., Polongy V.B., Yakir M.S. ALGEBRA 7. M.

3. Kolyagin yu.m., tkachev m.v., fedorova n.e. in drugi. Algebra 7 .m .: Razsvetljenje. 2006.

2. Šolski pomočnik (vir).

1. Predstavitev v obliki dela stopenj:

vendar); b); v); d);

2. Zabeležite delo kot stopnjo:

3. Zapišite v obliki stopnje z indikatorjem 2:

4. Izračunajte najbolj racionalen način.

Lekcija matematike na temo "Multilator in delitev stopinj"

Oddelki: Matematika

Pedagoški cilj:

Študent se bo naučil razlikovati lastnosti množenja in delitve stopenj z naravnim indikatorjem; uporabljajo te lastnosti v primeru enakih baz;

Študent bo prejel priložnost Lahko preoblikovati stopnje z različnimi bazami in biti sposobna opravljati transformacije v kombiniranih nalogah.

Naloge:

organizirajte delo študentov s ponovitvijo predhodno preučevanega gradiva;

navedite raven predvajanja z izvajanjem različnih vrst;

organizirajte preverjanje samoocenjevanja študentov s testiranjem.

Dejavne enote vadbe: Določanje naravnega kazalnika; Komponente stopnje; Opredelitev zasebnega; Kombinacijsko zakonodajo množenja.

I. Organizacija demonstracij, ki obvlada znanje študentov. (korak 1)

a) aktualizacija znanja:

2) Oblikovati določitev stopnje z naravnim kazalnikom.

n \u003d a a a a ... a (n Times)

b K \u003d B B B B A ... B (K Times) utemeljite odgovor.

II. Organizacija samodisklacije usposobljene stopnje lastništva trenutnih izkušenj. (2. korak)

Test za samopreizkus: (individualno delo v dveh različicah.)

A1) Pripravite kos 7 7 7 7 x x x v obliki stopnje:

A2), ki je prisoten v obliki izdelka (-3) 3 x 2

A3) Izračunajte: -2 3 2 + 4 5 3

Število nalog v preskusu, ki ga izberem, v skladu s pripravo ravni razreda.

Za preskus, ki ga dajem ključ za samopreizkus. Merila: Začni - ne stoji.

III. Izobraževalna in praktična naloga (korak 3) + korak 4. (oblikovati lastnosti študentov sami)

izračunajte: 2 2 2 3 \u003d? 3 3 3 2 3 \u003d?

Poenostavite: 2 a 20 \u003d? B 30 B 10 B 15 \u003d?

Med rešitvijo problema 1) in 2) študenti ponujajo odločitev, in jaz, kot učitelj, organizira razred o iskanju metode za poenostavitev stopinj, ko se pomnoži z enakimi bazami.

Učitelj: izumiti način za poenostavitev stopenj, ko se pomnoži z enakimi bazami.

Vnos se pojavi na grozdu:

Tema lekcije je oblikovana. Množenje stopenj.

Učitelj: izumil pravilo divizije z enakimi bazami.

Utemeljitev: Kateri ukrep je preverjen oddelek? A 5: in 3 \u003d? da je 2 a 3 \u003d a 5

Vračanje v shemo - grozd in dopolnitev snemanja - ... odbitek z odštevanjem in dodajte temo lekcije. ... in delitve.

IV. Sporočilo študentom o mejah znanja (vsaj in kot največ).

Učitelj: Naloga minimalnega za današnjo lekcijo je, da se naučite uporabiti lastnosti množenja in delitvene stopnje z enakimi bazami, največje: združite razmnoževanje in delitev skupaj.

Na odboru : a m in n \u003d a m + n; A m: a n \u003d a m-n

V. Organizacija študije novega materiala. (5. korak)

a) na učbeniku: №403 (a, b, d) naloge z različnim besedilom

№404 (A, D, E) Neodvisno delo, nato Organizirajte vzajemni preskus, dajem ključe.

b) S kakšno vrednostjo M je enakost? 16 a m \u003d a 32; X H X 14 \u003d X 28; x 8 (*) \u003d x 14

Naloga: Pridite s podobnimi primeri za delitev.

c) № 417 (a), №418 (a) Pasti za študente: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 \u003d 9 6; A 16: A 8 \u003d A 2.

VI. Sploščanje preučevanega, vodenja diagnostičnega dela (ki spodbuja študente, ne pa učitelji študirajo to temo) (korak 6)

Diagnostično delo.

TEST. (Postavite ključe na zadnji del preskusa).

Možnosti objekta: prisotna v obliki stopnje zasebnega X 15: x 3; Pripravite izdelek (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; S katerim je m enakost 16 a m \u003d a 32; Poiščite vrednost izraza H 0: H2 pri H \u003d 0,2; Izračunajte vrednost izraza (5 2 5 0): 5 2.

Izid lekcije. Razmišljanje. Delim razred v dve skupini.

Poiščite argumente skupine I: V korist znanja o lastnostih diplome in skupina II so argumenti, ki bodo rekli, da lahko brez lastnosti. Vsi odgovori poslušajo, sklepamo. V naslednjih lekcijah je mogoče ponuditi statistične podatke in klic rubrike "ne ustreza glavi!"

Srednji človek poje 32 10 2 kg kumarov med življenjem.

WASP je sposoben opravljati ne-končni let za 3,2 10 2 km.

Ko steklene razpoke, razpoka uporablja pri hitrosti okoli 5 10 3 km / h.

Žaba za svoje življenje poje več kot 3 ton komarjev. Uporaba diplome, zapišite v kg.

Celotna plodna je oceanska riba - Luna (Mola Mola), ki odloži za eno drstenje na 3.000.000 jajc s premerom približno 1,3 mm. To številko zapišite z uporabo stopnje.

VII. Domača naloga.

Zgodovinsko referenco. Katere številke se imenujejo številke kmetije.

Str.19. №403, №408, №417

Rabljene knjige:

Vadnica "Algebra-7", avtorji yu.n. Makerychev, N.G. Mindyuk in drugi.

Didaktični material za razred 7, L.V. Kuznetsova, l.i. Zvavich, S.B. Suvorov.

Enciklopedija v matematiki.

Revija "Kvant".

Lastnosti stopinj, besedilo, dokazi, primeri.

Po določitvi števila števila, je logično govoriti lastnosti diplome. V tem članku bomo dali osnovne lastnosti stopnje števila, medtem ko je naklon vse možne stopnje stopnje. Tukaj smo tudi dokaze o vseh lastnostih diplome, kot tudi pokazati, kako se te lastnosti uporabljajo pri reševanju primerov.

Navigacijska stran.

Lastnosti stopinj z naravnimi kazalniki

Z določitvijo stopnje z naravnim kazalnikom, stopnja n je produkt N multiplikatorjev, od katerih je vsak. To definicijo, kot tudi z uporabo nepremičnine, ki množijo veljavne številke, lahko dobite in utemeljite naslednje lastnosti diplome z naravnim indikatorjem:

glavna lastnost stopnje M · N \u003d A M + N, njena posplošitev N1 · · ... · N K \u003d a n 1 + N 2 + ... + N K;

lastnosti zasebnih diplom z enakimi bazami A M: A \u003d A M-N;

nepremičnina stopnja dela (a · b) n \u003d a n · b n, njeno razširitev (a 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n;

zasebna lastnina v naravni stopnji (A: B) n \u003d a: b n;

postavitev diplome do stopnje (a m) n \u003d a m · n, njena posplošitev (((a n 1) n2) ...) n k \u003d a n 1 · n2 · ... · n K;

primerjava stopnje z nič:

• Če A\u003e 0, potem n\u003e 0 za vsako naravno N;
• Če A \u003d 0, potem n \u003d 0;
• če 2 · M\u003e 0, če je 2 · M-1 N;
• Če so M in N takšne naravne številke, ki M\u003e n, nato pa na 0m N, in pri A\u003e 0 je prava neenakost a m\u003e a n.

Takoj upoštevajte, da so vsa zabeležena enakost enaka Ko se v skladu s temi pogoji, in njihovi desni in levi deli se lahko spremenijo na mestih. Na primer, glavna lastnost frakcij a m · a \u003d a m + n poenostavite izraze Pogosto se uporablja kot m + n \u003d a m · n.

Zdaj razmislite o vsakem od njih.

Začnimo z lastnostmi dela dveh stopinj z enakimi bazami glavna lastnost stopnje: Za vsako dejansko število A in vse naravne številke M in N, je enakost a m · n \u003d a m + n veljavna.

Dokažemo osnovno premoženje diplome. Z definicijo stopnje z naravnim indikatorjem, produkt stopenj z enakimi osnovami obrazca M ·, je lahko napisan kot delo . Na podlagi množenja lastnosti, lahko dobljeni izraz napisati kot , In ta izdelek je stopnja številke A z naravnim indikatorjem M + N, to je m + n. To je dokaz.

Dajmo zgled, ki potrjujemo osnovno premoženje diplome. Vzemite stopinje z enakimi bazami 2 in naravnimi stopnjami 2 in 3, v skladu z glavno lastnino stopnje, lahko posnamete enakost 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5. Preverite njegovo pravičnost, za katero izračunam vrednosti izrazov 2 2 · 2 3 in 2 5. Izvajanje konstrukcije obsega, imamo 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 in 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, ko izkaže enake vrednosti, potem enakost 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 - pravilna, in potrdi glavno lastnino stopnje.

Glavna lastnost stopnje, ki temelji na lastnostih množenja, se lahko posploši na delo treh in več stopinj z enakimi bazami in naravnimi kazalniki. Torej za vsako število K naravnih številk n 1, n2, ..., n k, enakost a n 1 · a n 2 · ... · n k k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

Na primer, (2.1) 3 · (2.1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 \u003d (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 \u003d (2,1) 17.

Lahko se premaknete na naslednjo lastnost stopinj z naravnim indikatorjem - lastnosti zasebnih diplom z istimi razlogi: Za vsako različno število veljavnih številk A in poljubnih naravnih števil M in N, izpolnjujejo pogoje M\u003e N, je enakost A M: A N \u003d A M-N je resnična.

Pred vložitvijo dokazila o tej lastnini bomo razpravljali o pomenu dodatnih pogojev v besedilu. Pogoj A ≠ 0 je potreben, da se izognemo delitvi na nič, kot 0 n \u003d 0, in ko izpolnite divizijo, smo se strinjali, da je nemogoče deliti na nič. Pogoj M\u003e N je predstavljen tako, da ne presegamo obsega naravnih kazalnikov. Dejansko, na M\u003e N, stopnja AM-N je naravno število, sicer bo to bodisi nič (ki se dogaja pri M-N) ali negativno število (ki se dogaja na MM-N · A \u003d A (M-N) + N \u003d Am. Od pridobljene enakosti AM-N · AN in iz povezave razmnoževanja z delitvijo sledi, da je AM-N zasebna stopnja AM in. To dokazuje last zasebnih stopenj z enake baze.

Dajmo zgled. Vzemite dve stopnji z enakimi bazami π in naravnimi kazalniki 5 in 2, obravnavana stopnja stopnje ustreza enakosti π 5: π 2 \u003d π 5-3 \u003d π3.

Zdaj menijo premoženja dela: Naravna stopnja n dela dveh kakršnih koli realnih številk A in B je enaka produktu stopnje N in B N, to je (A · B) n \u003d a n · b n.

Dejansko z določitvijo stopnje z naravnim kazalnikom imamo . Zadnje delo na podlagi množenja lastnosti je mogoče ponovno napisati kot Enako kot n · b n.

Dajmo zgled: .

Ta lastnost sega na stopnjo proizvoda treh in več multiplikatorjev. To pomeni, da je lastnost naravne stopnje n delih multiplikatorjev zabeležene kot (a 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n.

Zaradi jasnosti bomo pokazali to premoženje na primer. Za delo treh dejavnikov do stopnje 7 imamo.

Naslednja lastnina je zasebna lastnina v naravi: Zasebna veljavna številka A in B, B ≠ 0 do naravne stopnje N je enaka zasebnim stopnjam N in B N, to je (A: B) n \u003d a: B n.

Dokaz se lahko izvede z uporabo prejšnje lastnine. Torej (A: B) N · BN \u003d ((A: B) · B) n \u003d A, in iz enakosti (A: B) N · BN \u003d, sledi, da (A: B) N je zasebna od delitve na BN.

Ta lastnost pišemo na primer določenih številk: .

Zdaj je izražen stopnja v stopnji: Za vsako dejansko število A in vse naravne številke M in N, stopnja M do stopnje N je enaka stopnji številke A z indikatorjem M · N, to je (a m) n \u003d a m · n.

Na primer, (5 2) 3 \u003d 52 · 3 \u003d 5 6.

Dokazilo o stopnji lastnine v višini je naslednja veriga enakosti: .

Obravnavana nepremičnina se lahko podaljša do stopnje do stopnje do stopnje itd. Na primer, za vse naravne številke P, Q, R in S. Enakost je poštena . Za večjo jasnost, smo zgled z določenimi številkami: (((5.2) 3) 2) 5 \u003d (5.2) 3 + 2 + 5 \u003d (5.2) 10.

Ostaja, da prebiva na lastnosti primerjave stopinj z naravnim kazalnikom.

Začnimo z dokazilom o lastnostih ničelne primerjave in stopnjo z naravnim indikatorjem.

Za začetek, upravičujemo, da je N\u003e 0 za katero koli A\u003e 0.

Produkt dveh pozitivnih števil je pozitivno število, ki izhaja iz opredelitve množenja. Ta dejstvo in množenja lastnosti kažejo, da bo rezultat pomnoževanja poljubnega števila pozitivnih števil je tudi pozitivno število. In stopnja števila a z naravnim indikatorjem N po definiciji je produkt N multiplikatorjev, od katerih je vsak. Ti argumenti kažejo, da je za vsako pozitivno bazo stopnjo n, da je pozitivno število. Na podlagi dokazane nepremičnine 3 5\u003e 0, (0.00201) 2\u003e 0 in .

To je povsem očitno, da je za vse naravne n pri a \u003d 0 stopnjah n je nič nič. Dejansko, 0 n \u003d 0 · 0 · ... · 0 \u003d 0. Na primer, 0 3 \u003d 0 in 0 762 \u003d 0.

Pojdite na negativne temelje stopnje.

Začnimo z ohišjem, ko je indikator stopnje enako število, to označujemo kot 2 · m, kjer je m naravno. Potem . Glede na pravilo množenja negativnih števil, je vsaka del obrazca A · A enaka proizvodu modulov številk A in A, kar pomeni, da je pozitivno število. Zato bo delo pozitivno in stopnja 2 · m. Naredimo primere: (-6) 4\u003e 0, (-22) 12\u003e 0 in.

Končno, ko je baza stopnje A negativno število, in kazalnik stopnje je liho številka 2 · M-1, potem . Vse dela A · A so pozitivne številke, je tudi pozitiven produkt teh pozitivnih številk in njegovo razmnoževanje na preostalo negativno število A kot posledica negativnega števila. Na podlagi tega nepremičnine (-5) 3 17 n n, je produkt levega in desnega dela n zvestih neenakosti a lastnosti neenakosti so poštena in dokazana neenakost obrazca A n n. Na primer, zaradi te nepremičnine veljajo neenakosti 3 7 7 .

Ostaja, da dokažemo zadnji od naštetih lastnosti stopenj z naravnimi kazalniki. Besedo. Dveh stopinj z naravnimi kazalniki in enakimi pozitivnimi razlogi, ki so manjši od enot, večja je manjša od; In dveh stopinj z naravnimi kazalniki in enake baze, velike enote, več kot stopnjo, katere kazalnik je večji. Pojdite na dokazilo o tej lastnini.

Dokažemo, da pri m\u003e n in 0m n. Če želite to narediti, napišemo razliko A M-N in jo primerjamo z ničlo. Posneta razlika po izdelavi n na oklepaje bo v obliki N · (A M-N -1). Nastali produkt je negativen kot produkt pozitivnega števila in negativnega števila AM-N -1 (AN je pozitiven kot naravna stopnja pozitivnega števila, in razlika AM-N -1 je negativna, saj je MN\u003e 0 je posledica prvotnega stanja m\u003e n, kjer sledi, da je pri 0 m-n manj kot eno). Posledično, M-ON M N, ki je bilo potrebno dokazati. Na primer, dajemo zvesto neenakost.

Še vedno dokazati drugi del nepremičnine. Dokažemo, da je pri M\u003e N in A\u003e 1, M\u003e a n je res. Razlika A M -A N po izdelavi n za oklepaje je obrazec N · (A M-N -1). Ta izdelek je pozitiven, saj je pri A\u003e 1 stopnji, kjer je pozitivno število, in razlika AM-N -1 je pozitivno število, saj MN\u003e 0 zaradi začetnega stanja in na a\u003e 1 stopnjo AM -N več enot. Posledično, M-N\u003e 0 in M\u003e A N, ki je bilo potrebno dokazati. Ilustracija tega premoženja služi neenakosti 3 7\u003e 3 2.

Lastnosti stopinj s celegijskimi kazalniki

Ker so celotne pozitivne številke naravne številke, potem vse lastnosti stopinj s celotnimi pozitivnimi kazalniki natančno sovpadajo z lastnostmi stopinj z naravnimi kazalniki, ki so našteti in dokazani v prejšnjem odstavku.

Stopnja s celotnim negativnim kazalnikom, kot tudi stopnjo z ničelnim indikatorjem, smo ugotovili, da so vse lastnosti stopinj z naravnimi kazalniki veljavne, izražene po enakih. Zato so vse te lastnosti veljavne za nič stopnjo, in za negativne kazalnike, seveda pa se baze stopenj razlikujejo od nič.

Torej, za vsako veljavno in različno število številk A in B, kot tudi vsa cela števila M in N, so naslednji lastnosti stopinj s celegijskimi kazalniki:

• a m · a \u003d a m + n;
• a M: A N \u003d A M-N;
• (a · b) n \u003d a n · b n;
• (A: b) n \u003d a n: b n;
• (a m) n \u003d a m · n;
• Če je n celo število pozitivno število, A in B - pozitivne številke in a n in A -N\u003e B -N;
• Če so M in N cela števila, in M\u003e N, nato pri 0 m N, in pri A\u003e 1, se izvede neenakost A M\u003e A N.

Pri A \u003d 0 stopinjah M in N, je smiselno le, če M, in n Pozitivna cela števila, to je naravne številke. Tako so na novo zabeležene lastnosti veljajo tudi za primere, ko A \u003d 0 in številke M in N so pozitivna.

Ni težko dokazati vsako od teh lastnosti, je dovolj, da uporabite definicije diplome z naravnim in celoštevilter, kot tudi lastnosti dejanj z veljavnimi številkami. Na primer, dokazujemo, da se stopnja izobrazbe izvaja tako za celotne pozitivne številke kot za integralne številke. Če želite to narediti, je treba pokazati, da če je P nič ali naravno število in q nič ali naravna številka, potem enakost (AP) q \u003d ap q, (a -p) q \u003d a (-p) · Q, (AP) -Q \u003d AP · (-Q) in (A -P) -Q \u003d A (-P) · (-Q). Naredimo to.

Za pozitivno P in Q, enakost (P) Q \u003d P · q se izkaže v prejšnjem odstavku. Če p \u003d 0, potem imamo (A 0) Q \u003d 1 Q \u003d 1 in 0 · Q \u003d 0 \u003d 1, od koder (A 0) Q \u003d A 0 · Q. Podobno, če je q \u003d 0, nato (a p) 0 \u003d 1 in p · 0 \u003d 0 \u003d 1, od koder (a p) 0 \u003d a p · 0. Če in p \u003d 0 in q \u003d 0, nato (A 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 in 0 · 0 \u003d 0 \u003d 1, od koder (A 0) 0 \u003d 0 · 0.

Zdaj dokazujemo, da (A -P) Q \u003d A (-P) · q. Za določitev stopnje s celotnim negativnim kazalnikom, potem . Zasebnega v obsegu, ki ga imamo . Od 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 in, potem. Zadnji izraz po definiciji je stopnja tipa A - (P · q), ki se lahko na podlagi pravil množenja, napisana kot (-P) · q.

podobno .

In .

Z istim načelom lahko dokažete vse druge lastnosti diplome s celo številom, posneto v obliki enakosti.

V predzadnjih posnetih lastnostih je vredno bivati \u200b\u200bna dokazilu A -N\u003e B -N neenakosti, ki velja za vse celotne negativne -N in vse pozitivne A in B, za katere je pogoj A izpolnjen . Pišemo in preobrazimo razliko med levim in desnim delom te neenakosti: . Kot pod pogojem a n n, torej, b n-n\u003e 0. Izdelek N · b n je pozitiven tudi kot produkt pozitivnih številk N in B n. Nato je nastala frakcija pozitivna kot zasebna pozitivna števila b n-n in n · b n. Zato, od koder A -N\u003e B -N, ki je bilo potrebno dokazati.

Zadnja lastnost stopenj s celostnimi kazalniki se izkaže na enak način kot podobna lastnina stopenj z resničnimi kazalniki.

Lastnosti stopinj z racionalnimi indikatorji

Določili smo diplomo z frakcijskim kazalnikom s širjenjem lastnosti stopnje s celo številom. Z drugimi besedami, stopinj z frakcijskimi kazalniki imajo enake lastnosti kot stopinje s celostnimi kazalniki. Namreč:

1. lastnost dela stopinj z enakimi bazami aT A\u003e 0 in, če, potem pri AT≥0;
2. nepremičnina zasebnosti z enakimi razlogi na\u003e 0;
3. lastnost dela v frakcijski stopnji na A\u003e 0 in B\u003e 0, in če, pri AI00 in (ali) B≥0;
4. zasebna lastnina v frakcijski stopnji na A\u003e 0 in B\u003e 0, in če, pri A \u003e0 in B\u003e 0;
5. stopnja aT A\u003e 0 in, če, potem pri AT≥0;
6. primerjava stopenj z enakimi racionalnimi kazalniki: za vse pozitivne številke A in B, A 0 Dokaj neenakost P, in na P\u003e B p;
7. lastnosti primerjave stopinj z racionalnimi indikatorji in enakimi bazami: za racionalne številke p in q, p\u003e q pri q q, in na a\u003e 0 - neenakost a p\u003e a q.

Dokazilo o lastnostih stopinj z frakcijskimi kazalniki temelji na določanju stopnje z delcem indikatorjem, na lastnosti aritmetičnega korena N-bistvenega pomena in na stopnji lastnosti s celoštevnim. Predlagamo dokaze.

Določiti stopnjo s frakcijskim indikatorjem in, potem . Lastnosti aritmetične korena nam omogočajo, da zapišemo naslednje enakopravnosti. Nato, z uporabo lastnosti diplome s celoštevilom, gremo od kod, da določimo stopnjo s frakcijskega kazalnika, ki ga imamo In kazalnik pridobljene stopnje se lahko pretvori na naslednji način :. \\ T To je dokaz.

Popolnoma podobno dokazuje drugo lastnost stopinj z frakcijskimi kazalniki:


Za podobna načela je preostala enakost dokazana: \\ t


Pojdite na dokazilo o naslednjem premoženju. To dokazujemo, da za vse pozitivne A in B, a 0 Dokaj neenakost P, in na p p\u003e b str. Napišemo racionalno številko P kot M / N, kjer je m celo število, in n je naravna. Pogoji P 0 v tem primeru bodo enakovredni pogoji M 0. Z m\u003e 0 in am m. Od te neenakosti do lastnosti korenin, ki jih imamo, in ker sta A in B pozitivna števila, nato pa na podlagi določitve stopnje z delskim kazalnikom, dobljeno neenakost je mogoče ponovno napisati kot, to je P P.

Podobno, pri m m\u003e b m, od koder, to je in p\u003e b str.

Ostaja, da dokažete zadnji od naštetih lastnosti. To dokazujemo, da za racionalne številke p in q, p\u003e q na q q, in pri a\u003e 0 - neenakost a p\u003e a q. Vedno lahko pripeljemo do skupnega imenovalca racionalne številke p in q, tudi če dobimo običajne frakcije in, kjer so M 1 in m2 cela števila, in n je naravna. V tem primeru bo stanje P\u003e q ustrezalo stanju M 1\u003e M 2, ki izhaja iz pravila primerjave običajnih frakcij z istimi imenovalci. Potem, glede na lastnost primerjave stopenj z enakimi bazami in naravnimi kazalniki pri 0 m 1 m 2, in pri A\u003e 1 - Neenakost A M 1\u003e A M 2. Te neenakosti na lastnosti korenin je mogoče ponovno napisati glede na in . Določitev stopnje z racionalnim indikatorjem vam omogoča, da se premaknete na neenakosti in ustrezno. Od tu naredimo zaključni zaključek: na p\u003e q in q q, in na a\u003e 0 - neenakost a p\u003e a q.

Lastnosti stopinj z iracionalnimi indikatorji

Iz glede na to, kako je določena stopnja z iracionalnim indikatorjem, se lahko sklene, da ima vse lastnosti stopenj z racionalnimi kazalniki. Torej, za katero koli A\u003e 0, B\u003e 0 in iracionalne številke P in Q so naslednje lastnosti stopinj z iracionalnimi indikatorji:

1. p · q \u003d a p + q;
2. p: A Q \u003d A P-Q;
3. (a · b) p \u003d a p · b p;
4. (A: b) p \u003d a p: b p;
5. (A p) q \u003d a p · q;
6. za vse pozitivne številke A in B, A 0 Dokaj neenakost P, in na P\u003e B p;
7. za iracionalne številke p in q, p\u003e q pri q q, in pri a\u003e 0 - neenakost a p\u003e a q.

Od tu lahko zaključimo, da imajo stopinje z vsemi veljavnimi parametri P in Q na\u003e 0 te iste lastnosti.

• Algebra - 10. razred. Trigonometrične enačbe Lekcija in predstavitev na temo: "Rešitev najpreprostejših trigonometričnih enačb" dodatni materiali Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti komentarjev, pregledov, želje! Vsi materiali [...]
• Natečaj za položaj "Prodajalec - svetovalec": Odgovornosti: prodaja mobilnih telefonov in dodatkov za mobilne komunikacijske storitvene storitve Beeline, Tele2, MTS povezovanje tarifne načrte in storitve Beeline in Tele2, MTS svetovanje [...]
• Paralalizirana formula paralelepipeda je poliedran s 6 obrazi, od katerih je vsak paralelogram. Pravokotna paralelePredIPED je paralelen, od katerih je vsak obraz pravokotnik. Za vsako paralelepiped je značilna 3 [...]
• Črkovanje N in NN v različnih delih govora S.G. ZELINSKAYA Didaktični material Teoretično polnjenje 1. Kdaj NN so napisani v pridevnikih? 2. Poimenujte izjeme od teh pravil. 3. Kako razlikovati neobiščenega pridevnika s pripono - od občestva z [...]
• Inšpektorat Gostechnadzorja regije Bryansk Prejem plačila državne dajatve (prenos-12,2 KB) Registracija za registracijo za FIZ.litz (prenos-12 KB) za prijavo za registracijo pravnih oseb (prenos-11,4 KB) 1. Kdaj Registracija novega stroja: 1. Priporočeno 2. Potni list [...]
• Društvo za varstvo potrošnikov Astana, da bi prejeli kodo PIN za dostop do tega dokumenta na naši spletni strani, pošljite sporočilo SMS z besedilom ZAN na številko naročnikov GSM operaterjev (Activ, Kcell, Beeline, Neo, Tele2) s pošiljanjem SMS na številko , [...]
• Sprejeti zakon o generičnih posestvih, da sprejme Zvezni zakon o brezplačni dodelitvi Ruske federacije ali družine državljanov regije za ureditev na njem generično posestvo na naslednjih pogojih: 1. Stran izstopa [... ]
• V.M. pivo Filozofija in metodologija znanosti: Vadnica za mojstre in podiplomske študente Petrozavodsk: založništvo Petrgu, 2013. - 320 S.ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 MB Tutorial je namenjen študentom višjih tečajev, mojstrov in podiplomskih študentov Socialna in socialna in [...]

Prva raven

Stopnjo in lastnosti. Izčrpen vodnik (2019)

Zakaj si potreben? Kje bodo prišli k vam? Zakaj morate porabiti čas na njihovi študiji?

Če želite izvedeti vse o stopinjah, kaj potrebujejo o tem, kako uporabiti svoje znanje v vsakdanjem življenju, preberite ta članek.

In, seveda, poznavanje stopinj vas bo približala uspešni predaja OGE ali EGE in vstopila na univerzo v svojih sanjah.

Naj gremo ... (odpeljal!)

Pomembna pripomba! Če namesto formulas vidite Abracadabra, očistite predpomnilnik. Če želite to narediti, kliknite Ctrl + F5 (na Windows) ali CMD + R (na Mac).

Prva raven

Vaja je isto matematično delovanje kot dodatek, odštevanje, množenje ali delitev.

Zdaj bom razložil ves človeški jezik na zelo preprostih primerih. Bodite pozorni. Primeri osnovnih, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodatkom.

Tukaj ni ničesar razložiti. Vsi veste vse: imamo osem ljudi. Vsakdo ima dve steklenici Cola. Koliko je kola? Desno - 16 steklenic.

Zdaj razmnoževanje.

Isti primer z Colo se lahko zabeleži drugače :. Matematika - Ljudje, ki prepletajo in leni. Najprej opazijo nekaj vzorcev, nato pa izumijo način, kako »štejejo« hitreje. V našem primeru so opazili, da je imel vsak od osmih ljudi enako število steklenic Cola in prišel do recepcije, imenovanega množenja. Strinjam se, da se šteje, da je lažje in hitreje kot.

Torej, za branje hitreje, lažje in brez napak, morate samo zapomniti multiplikacija mize. Seveda lahko naredite vse bolj počasi, težje in napake! Ampak ...

Tukaj je množenja miza. Ponovite.

In drugo, lepše:

In kateri drugi triki so prišli z leni matematiki? Prav - erekcijo.

Erekcijo

Če želite pomnožiti številko za sebe petkrat, potem matematika pravi, da morate to številko zgraditi v peti meri. . \\ T Matematika se spomni, da sta dva v peti meri. In rešijo takšne naloge v mislih - hitreje, lažje in brez napak.

Za to potrebujete samo ne pozabite, kaj je označeno v barvi v tabeli stopenj številk. Verjemite, to bo močno olajšalo vaše življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja square. številke in tretji - kuba? Kaj to pomeni? Zelo dobro vprašanje. Zdaj bo prišlo do vas in kvadratov in Kubo.

Primer iz življenjske številke 1

Začnimo s kvadratom ali iz druge stopnje številke.

Predstavljajte si kvadratni bazen velikosti merilnika na metru. Bazen je na vaši Dacha. Toplote in res želite plavati. Ampak ... bazen brez dna! Morate shraniti dno ploščic bazena. Koliko potrebujete ploščice? Da bi to ugotovili, morate izvedeti območje na dnu bazena.

Lahko preprosto izračunate, s prstom, da na dnu bazena je sestavljena iz metrov kocke na meter. Če imate merilnik meter za meter, boste potrebovali koščke. To je enostavno ... ampak kje si videl takšnega ploščice? The ploščice je bolj verjetno videti za videti in nato "prst, da štejejo" mučenje. Potem se morate pomnožiti. Torej, na eni strani dna bazena, smo fit ploščice (kosov) in na druge preveč ploščice. Pomnožitev, boste dobili ploščice ().

Ali ste opazili, da smo za določitev območja dna bazena, smo pomnožili isto številko sami? Kaj to pomeni? To se pomnoži z isto številko, lahko izkoristimo "postavitev iztrebljanja". (Seveda, ko imate samo dve številki, jih pomnožite ali jih dvignite v stopnjo. Če pa jih imate veliko, jih je veliko lažje dvigniti v smislu izračunov, preveč manj. Za izpit, to je zelo pomembno).
Trideset do druge stopnje bo (). Lahko pa rečemo, da bo trideset na trgu. Z drugimi besedami, druga stopnja številke lahko vedno zastopa kot kvadrat. In nasprotno, če vidite kvadrat - je vedno druga stopnja nekega števila. Square je podoba druge stopnje.

Primer iz življenjske številke 2

Tukaj je naloga, preštejte, koliko kvadratov na šahovnico s kvadratom številke ... na eni strani celic in na drugi strani. Za izračun njihove količine morate pomnožiti osem ali ... če opazite, da je šahovnica kvadratna stran, potem lahko gradite osem na kvadrat. Izkazalo se je celice. () Torej?

Primer iz življenjske številke 3

Zdaj kocka ali tretja stopnja števila. Isti bazen. Zdaj pa morate vedeti, koliko vode bo morala izpolniti ta bazen. Morate prešteti glasnost. (Obseg in tekočine, mimogrede, se merijo v kubičnih metrih. Nenadoma, res?) Narišite bazen: dno merilne velikosti in globino metrov in poskusite prešteti, koliko kock je velikost merilnika na meter Vnesite svoj bazen.

Desno pokažite prst in število! Enkrat, dva, tri, štiri ... dvaindvajset, dvajset tri ... Koliko se je to zgodilo? Ni prišel dol? Težko je prešteti prst? Torej! Vzemite primer iz matematikov. So leni, zato je opazil, da se izračuna volumen bazena, se je treba medsebojno pomnožiti v dolžino, širino in višino. V našem primeru bo volumen bazena enaka kockam ... lažje je za resnico?

In zdaj si predstavljate, kolikor je matematika lena in zvijanja, če so poenostavljene. Vse na eno dejanje. Opazili so, da je dolžina, širina in višina enaka in da je enaka številka varnice sama po sebi ... in kaj to pomeni? To pomeni, da lahko izkoristite stopnjo. Torej, kaj ste mislili s prstom, to počnejo v enem ukrepu: tri na Kubi je enaka. To je napisano tako :.

Ostaja samo ne pozabite na stopenj tabel. Če ste, seveda, enako leni in zvit kot matematika. Če želite delati veliko in naredite napake - lahko še naprej preštejete prst.

No, da vas končno prepričam, da so se stopnje pojavile z Lodii in kunži, da bi rešile svoje življenjske probleme, in ne ustvariti težav, ki jih imate, tukaj je še en nekaj primerov iz življenja.

Primer iz življenja 4

Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta zaslužite vsakih milijonov milijonov. To pomeni, da se bo vsak milijon podvojil na začetku vsakega leta. Koliko denarja boste imeli v naslednjih letih? Če sedite zdaj in "Misliš, da je tvoj prst", potem ste zelo marljiva oseba in .. neumna. Toda najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dva pomnožena dva ... V drugem letu - kaj se je zgodilo, še dva, tretje leto ... Stop! Opazili ste, da se številka pomnoži. Torej, dva v peti meri - milijon! In zdaj si predstavljate, da imate tekmovanje in ta milijon bo prejel tistega, ki bo našel hitreje ... je vredno spomniti stopnje številk, kaj mislite?

Primer iz življenjske številke 5

Imate milijon. Na začetku vsakega leta zaslužite vsak milijon. Velika resnica? Vsak milijon trojic. Koliko denarja boste imeli po enem letu? Štejem. Prvo leto je pomnožiti, potem je rezultat še vedno na ... že dolgočasen, ker ste že razumeli vse: tri se pomnoži sam. Zato je četrta stopnja enaka milijonom. Treba je vedeti, da je tri v četrti stopnji ali.

Zdaj veste, da boste s pomočjo postavitve števila močno olajšali svoje življenje. Poglejmo poleg tega, kar lahko storite s stopinjami in kaj morate vedeti o njih.

Pogoji in koncepti ... tako da se ne zmedejo

Torej, za začetek, določimo koncepte. Kaj misliš, kakšen je kazalnik stopnje? To je zelo preprosto - to je številka, ki je "na vrhu" stopnje števila. Ni znanstveno, vendar je jasno in enostavno zapomniti ...

No, hkrati to takšna stopnja temelja? Še lažje - to je številka, ki je spodaj, na dnu.

Tukaj je risba za zvestobo.

No, na splošno, da povzamemo in se bolje zapomnijo ... stopnja z osnovo "" in kazalnik "" se bere kot "do stopnje" in je napisana na naslednji način:

Stopnja števila z naravnim indikatorjem

Verjetno ste verjetno uganili: ker je indikator naravno število. Da, ampak kaj je naravna številka? Osnovna! Naravno To so številke, ki se uporabljajo na računu, ko navajajo postavke: ena, dva, tri ... Mi, ko upoštevamo predmete, ne pravijo: "minus pet", "minus šest", "minus sedem". Prav tako ne pravimo: "ena tretjina", ali "nič celote, pet desetin." To niso naravna številke. In kakšne te številke mislite?

Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem" pripada cele številke. Na splošno, do cele številke vključujejo vse naravne številke, številke so nasprotne naravne (ki je, jemlje z minus znak), in številko. Zero razumljivo - to je, ko nič. In kaj pomenijo negativne ("minus") številke? Vendar so bili izumili predvsem za določitev dolgov: če imate ravnotežje na telefonski številki, to pomeni, da morate operator rubljev.

Vse vrste frakcij so racionalne številke. Kako so nastali, kaj misliš? Zelo preprosto. Pred nekaj tisoč leti so naši predniki ugotovili, da nimajo naravnega števila za merjenje dolge, teže, kvadrata, itd. In izumili so racionalne številke... Sprašujem se, če je res?

Obstajajo tudi iracionalne številke. Kaj je to število? Če je kratek, potem neskončna decimalna frakcija. Na primer, če je dolžina oboda razdeljena na svoj premer, bo iracionalna številka.

Povzetek:

Opredelimo koncept diplome, katerega kazalnik je naravno število (tj., Celota in pozitivna).

1. Vsako številko na prvi stopnji, ki je enako sama sebi:
2. Ocenite številko na trgu - to pomeni, da ga pomnožimo sami:
3. Ocenite številko na kocki - to pomeni, da jo pomnožimo sami po sebi:

Opredelitev. Ocenite številko v naravni stopnji - to pomeni pomnožiti število vseh časov za sebe:
.

Lastnosti stopenj

Od kod prihajajo te lastnosti? Zdaj vam bom pokazal.

Poglejmo: kaj je in ?

A-PRIORJA:

Koliko multiplikatorjev je tukaj?

Zelo preprosto: zaključili smo multiplikatorje za multiplikatorje, izkazali so dejavnike.

Toda po definiciji je to stopnja števila z indikatorjem, to je, da je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

Sklep:

Primer: Poenostavite izraz.

Sklep: Pomembno je, da opazimo, da je v našem pravilu prej Mora biti ista fundacija!
Zato združujemo stopnje s podlago, vendar ostaja ločen multiplikator:

samo za delo stopinj!

V nobenem primeru tega ne more pisati.

2. To je Stopnjo števila

Tako kot pri prejšnji lastnini, se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži, to je v skladu z definicijo, to je več številk:

Pravzaprav se to lahko imenuje "kazalnik za oklepaje". Ampak nikoli ne morete storiti v višini:

Spomnimo se s formulo skrajšanega množenja: kolikokrat smo želeli pisati?

Ampak to je napačno, ker.

Negativno

Do te točke smo razpravljali samo, kaj bi moral biti kazalnik.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V stopinjah S. naravni kazalnik Osnova je lahko katero koli številko. In resnica, lahko pomnožimo drug drugemu številke, ne glede na to, ali so pozitivni, negativni ali celo.

Pomislimo, kaj bodo znaki ("ali" ") imeli diplome pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, pozitivno ali negativno število? Ampak? ? S prvim je vse jasno: koliko pozitivnih številk se ne pomnožimo, rezultat bo pozitiven.

Toda z negativno malo bolj zanimivo. Konec koncev, se spominjamo preprosto pravilo razreda 6: "minus za minus daje plus." To je, Or. Ampak, če pomnožimo, bo to uspelo.

Samostojno določite, kateri znak bodo imeli naslednji izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Spopasti?

Tukaj so odgovori: V prvih štirih primerih upam, da je vse razumljivo? Samo poglejte bazo in indikator ter uporabite ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5), vse ni tako strašno, kot se zdi: ni pomembno, kaj je enako bazi - stopnja je celo, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, z izjemo primera, ko je osnova nič. Razlog ni enak? Očitno ne, ker (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 Primeri za usposabljanje

Rešitve 6 primerov

Če ne boste pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Ne pozabite na program 7. stopnje. Torej, zapomnil? To je formula za skrajšano razmnoževanje, in sicer - razlika kvadratov! Dobimo:

Previdno poglejte imenovalca. Je zelo podoben enemu od množiteljev številke, toda kaj je narobe? Ne postopek pogojev. Če bi jih spremenili na mestih, bi bilo mogoče uporabiti pravilo.

Toda kako to storiti? Izkazalo se je zelo enostavno: celo stopnjo imenovalca nam pomaga.

Čarobna, komponente so se spremenile na mestih. Ta "fenomen" se uporablja za vsak izraz za enakomerno stopnjo: lahko svobodno spremenimo znake v oklepajih.

Vendar je pomembno, da se spomnite: vsi znaki se spreminjajo hkrati.!

Pojdimo nazaj na primer:

In spet formula:

Integer. Poklicamo naravnost nasproti jim (to je, vzeto z znakom "") in številko.

celotno pozitivno številkoIn se ne razlikuje od naravnega, potem pa vse izgleda točno tako kot v prejšnjem razdelku.

In zdaj razmislimo o novih primerih. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsaka številka enaka eni:

Kot vedno, me bomo vprašali: zakaj je to?

Razmislite o vsaki stopnji. Vzemite, na primer, in dominering na:

Torej smo se pomnožili, in smo dobili enako kot. In za katero številko je treba pomnožiti, da se nič ni spremenilo? To je prav. Tako.

Enako lahko storimo z poljubno številko:

Ponovite pravilo:

Številko na nič enaka enemu.

Toda iz številnih pravil obstajajo izjeme. In tukaj je tudi številka (kot baza).

Po eni strani bi morala biti enaka v celoti - koliko nič sama ni niti pomnoženo, še vedno dobite nič, jasno je. Po drugi strani pa bi morala biti enaka številu na nič stopnji. Torej, kaj je resnica? Matematika se je odločila, da se ne bo zavezala in zavrnila nič na nič. To je, zdaj se ne moremo razdeliti le na nič, ampak tudi, da ga zgradimo na nič.

Pojdimo še dlje. Poleg naravnih števil in številk vključujejo negativne številke. Da bi razumeli, kaj je negativna stopnja, bomo storili, kolikor je zadnjič: nastopil nekaj normalnega števila na enaki negativni meri:

Od tu je že enostavno izraziti želeno:

Zdaj smo razširili pravilo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikovamo pravilo:

Številka je negativna stopnja nazaj na isto številko v pozitivni meri. Toda hkrati osnova ne more biti nič: (Ker je nemogoče deliti).

Povzetek:

I. Izraz ni opredeljen v primeru. Če, potem.

II. Vsako število na ničlo je enako :. \\ T

III. Številka, ki ni enaka nič, v negativno stopnjo nazaj na isto številko v pozitivno stopnjo :.

Naloge za samopomoč:

Kot ponavadi, primeri za samopodorne:

Analiza opravil za samopodelek:

Vem, vem, številke so grozne, vendar mora izpit pripravljen na vse! Delite te primere ali razčleniti njihovo odločitev, če se ne morem odločiti, in se boste naučili, da se z njimi lahko zlahka spopasti z njimi na izpitu!

Nadaljujte širjenje kroga številk, "primerno" kot kazalnik stopnje.

Zdaj menijo racionalne številke. Katere številke se imenujejo racionalno?

Odgovor: vse, kar je lahko zastopano v obliki frakcij, kjer in - cela števila, in.

Razumeti, kaj je "Stopnja prevoza", Razmislite o frakciji:

Postavili oba dela enačbe do stopnje:

Zdaj se spomnite tega pravila »Stopnja do stopnje«:

Katero številko je treba sprejeti do stopnje?

Ta formulacija je definicija korenine.

Naj vas spomnim: koren števila () se imenuje številka, ki je enaka v iztrebljanju.

To pomeni, da je korenska stopnja operacija, obrne vajo v stopnjo :.

Izkaže. Očitno je mogoče razširiti ta posebnost :. \\ T

Zdaj dodajte števca: kaj je? Odgovor je enostavno priti s pomočjo pravila "stopnje do stopnje":

Lahko pa je razlog, da je razlog? Konec koncev, koren ni mogoče ekstrahirati iz vseh številk.

Nihče!

Ne pozabite na pravilo: Vsaka številka, ki je bila popisana v celo stopnjo, je število pozitivnih. To pomeni, da izvlecite korenine celo stopnje od negativnih števil, je nemogoče!

To pomeni, da take številke nemogoče izgraditi v delno stopnjo s celo imenovalcem, to je izraz, ki nima smisla.

Kaj pa izraz?

Vendar pa obstaja problem.

Število je lahko zastopano v obliki DRGIH, zmanjšanih frakcij, na primer, Or.

Izkazalo se je, da obstaja, vendar ne obstaja, ampak samo dve različni zapisi iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko pišete. Vendar pa nam je vredno pisati na drugačen način, in spet dobimo neprijetnost: (to je, da so prejeli popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili podobnim paradoksom, menimo samo pozitivna utemeljenost diplome z frakcijskim indikatorjem.

Torej če:

• - naravna številka;
• - celo število;

Primeri:

Stopnje z racionalnim indikatorjem so zelo uporabne za pretvorbo izrazov s koreninami, na primer:

5 Primeri za usposabljanje

Analiza 5 primerov za usposabljanje

No, zdaj - najtežje. Zdaj bomo razumeli iracionalno..

Vsa pravila in lastnosti stopinj so popolnoma enake kot za diplomo z racionalnim indikatorjem, z izjemo

Konec koncev, po definiciji, iracionalne številke so številke, ki jih ni mogoče zastopati v obliki frakcije, kjer in - cela števila (to je, iracionalne številke so vse veljavne številke, razen racionalno).

Pri študiju stopnje z naravno, celotno in racionalno indikatorjem smo vsakič sestavljali določeno "sliko", "analogijo" ali opis v bolj znanih pogojih.

Na primer, naravna figura je število, večkrat po množilu po sebi;

...nič - To je, kako se številka pomnoži samo enkrat, to je, še ni začela množiti, to pomeni, da se številka sama ni niti se pojavila - zato je rezultat le določena "številka gredice", in sicer številka;

...diploma s celotnim negativnim kazalnikom "Zdelo se je, da je prišlo do določenega" povratnega procesa ", to je, število ni bilo pomnoženo sama po sebi, ampak DELI.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja s kompleksnim indikatorjem, to je, indikator ni niti veljavna številka.

Toda v šoli ne razmišljamo o takih težavah, boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte na Inštitutu.

Kje smo prepričani, da boste storili! (Če se naučite rešiti take primere :))

Na primer:

Solite sami:

Debris:

1. Začnimo z običajnimi pravili za uveljavljanje pravila za nas:

Zdaj pa poglejte kazalnik. Ali te ne spominja na nič? Ne pozabite, da je formula skrajšana množenje. Kvadratne razlike:

V tem primeru,

Izkaže, da:

Odgovor: .

2. Frakcijo pripeljemo v kazalnike stopenj v isto obliko: bodisi oba decimalna ali navadna. Pridobimo, na primer:

Odgovor: 16.

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopenj:

NAPREDNI NIVO

Določanje stopnje

Stopnja se imenuje izraz oblike: kjer:

• — podlaga;
• - Indikator.

Stopnja z naravnim indikatorjem (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Zgradite naravno stopnjo n - to pomeni, da je število za sebe enkrat:

Diploma s celo številom (0, ± 1, ± 2, ...)

Če je kazalnik stopnje je pozitivna programska oprema Številka:

Gradnja v nič stopnji:

Izraz je nedoločen, ker je na eni strani v celotnem obsegu, in na drugem - poljubno število v stopnji.

Če je kazalnik stopnje je celoten negativen Številka:

(Ker je nemogoče deliti).

Še enkrat o ničlah: izraz ni opredeljen v primeru. Če, potem.

Primeri:

Rational.

• - naravna številka;
• - celo število;

Primeri:

Lastnosti stopenj

Da bi olajšali reševanje problemov, poskusimo razumeti: od kod prihajajo te lastnosti? Dokažemo jih.

Poglejmo: kaj je kaj?

A-PRIORJA:

Torej, v pravem delu tega izraza, se takšno delo dobimo:

Toda po definiciji je to stopnja števila z indikatorjem, to je:

Q.e.d.

Primer : Poenostavite izraz.

Sklep : .

Primer : Poenostavite izraz.

Sklep : Pomembno je, da opazimo, da je v našem pravilu prejobstajati mora enake baze. Zato združujemo stopnje s podlago, vendar ostaja ločen multiplikator:

Druga pomembna opomba: to je pravilo - samo za delo stopinj!

V nobenem primeru ne smete pisati.

Tako kot pri prejšnji lastnini, se obrnemo na definicijo stopnje:

To delo preganjamo takole:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži samo enkrat, to je v skladu z opredelitvijo, to - po stopnji števila:

Pravzaprav se to lahko imenuje "kazalnik za oklepaje". Toda tega nikoli ne morete storiti v višini :!

Spomnimo se s formulo skrajšanega množenja: kolikokrat smo želeli pisati? Ampak to je napačno, ker.

Negativno.

Do te točke smo razpravljali samo, kaj bi moralo biti indikator stopnja. Toda kaj bi morala biti osnova? V stopinjah S. naravni indikator Osnova je lahko katero koli številko .

In resnica, lahko pomnožimo drug drugemu številke, ne glede na to, ali so pozitivni, negativni ali celo. Pomislimo, kaj bodo znaki ("ali" ") imeli diplome pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, pozitivno ali negativno število? Ampak? ?

S prvim je vse jasno: koliko pozitivnih številk se ne pomnožimo, rezultat bo pozitiven.

Toda z negativno malo bolj zanimivo. Konec koncev, se spominjamo preprosto pravilo razreda 6: "minus za minus daje plus." To je, Or. Ampak, če bomo pomnožili na (), se izkaže.

In tako do neskončnosti: vsakič, ko bo naslednja množenje spremeni znak. Enostavna pravila je mogoče oblikovati:

1. celo stopnja - številka. pozitivno.
2. Negativna številka Čuden stopnja - številka. negativno.
3. Pozitivno število na obeh stopnjah je število pozitivnih.
4. Nič do kakršne koli stopnje je nič.

Samostojno določite, kateri znak bodo imeli naslednji izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Spopasti? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvih štirih primerih upam, da je vse jasno? Samo poglejte bazo in indikator ter uporabite ustrezno pravilo.

V primeru 5), vse ni tako strašno, kot se zdi: ni pomembno, kaj je enako bazi - stopnja je celo, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, z izjemo primera, ko je osnova nič. Razlog ni enak? Očitno ne, ker (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate vedeti, da je manj: ali? Če se spomnite, da postane jasno, in zato je baza manjša od nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabljamo stopnjo stopnje:

Vse kot običajno - zapišite definicijo stopenj in jih razdelite drug drugemu, razdelite na pare in dobite:

Preden se razstavite zadnje pravilo, rešimo več primerov.

Izračunani izrazi:

Rešitve :

Če ne boste pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Ne pozabite na program 7. stopnje. Torej, zapomnil? To je formula za skrajšano razmnoževanje, in sicer - razlika kvadratov!

Dobimo:

Previdno poglejte imenovalca. Je zelo podoben enemu od množiteljev številke, toda kaj je narobe? Ne postopek pogojev. Če bi jih zamenjali na mestih, bi bilo mogoče uporabiti pravilo 3. Toda kako to storiti? Izkazalo se je zelo enostavno: celo stopnjo imenovalca nam pomaga.

Če ga narišete, se nič ne bo spremenilo, kajne? Zdaj pa izkaže naslednje:

Čarobna, komponente so se spremenile na mestih. Ta "fenomen" se uporablja za vsak izraz za enakomerno stopnjo: lahko svobodno spremenimo znake v oklepajih. Vendar je pomembno, da se spomnite: vsi znaki se spreminjajo hkrati!Ne morete nadomestiti, spreminjanje samo enega neprijetnega minus!

Pojdimo nazaj na primer:

In spet formula:

Zdaj zadnje pravilo:

Kako bomo dokazali? Seveda, kot ponavadi: bom razkril koncept stopnje in poenostavljam:

No, zdaj bom razkril oklepaje. Koliko bodo pisma dobile? Enkrat na multiplikatorje - kaj opomni? To ni nič drugega kot opredelitev operacije multiplication.: Skupaj so bili dejavniki. To pomeni, da je po definiciji stopnja števila z indikatorjem:

Primer:

Iracionalno

Poleg informacij o stopnjah za povprečno raven bomo analizirali diplomo z iracionalnim kazalnikom. Vsa pravila in lastnosti stopenj tukaj so popolnoma enake kot za diplomo z racionalnim indikatorjem, z izjemo - navsezadnje po definiciji, iracionalne številke številke, ki jih ni mogoče predložiti v obliki frakcije, kjer - cela števila (tj. iracionalne številke so poleg racionalnega).

Pri študiju stopnje z naravno, celotno in racionalno indikatorjem smo vsakič sestavljali določeno "sliko", "analogijo" ali opis v bolj znanih pogojih. Na primer, naravna figura je število, večkrat po množilu po sebi; Število v ničelni stopnji je nekako število, ki se pomnoži samo enkrat, to je, še ni začelo razmnoževati, to pomeni, da se številka sama ni niti pojavila - torej, le določen "gredic", in sicer rezultat ; Stopnja s celotnim negativnim kazalnikom je, kot da bi se pojavila določen "obratni proces", to je, da se številka ni pomnožila sama, ampak razdeljena.

Predstavljajte si, da je stopnja z iracionalnim indikatorjem izjemno težka (tako kot je težko predložiti 4-dimenzionalni prostor). To je precej zgolj matematični predmet, ki je matematika ustvarila, da razširi koncept stopnje do celotnega prostora številk.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja s kompleksnim indikatorjem, to je, indikator ni niti veljavna številka. Toda v šoli ne razmišljamo o takih težavah, boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte na Inštitutu.

Torej, kaj počnemo, če vidimo nerazumno? Poskušamo se znebiti z vsemi močmi! :)

Na primer:

Solite sami:

1)

2)

3)

Odgovori:

1. Spomnimo se formule razlike kvadratov. Odgovor :.
2. Frakciji dajemo isto obliko: bodisi oba decimalna ali tako navadna. Dobimo, na primer:
3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopenj:

Povzetek oddelka in osnovnih formul

Stopnja Poklican izraz oblike: kjer:

Integer.

stopnja, katere kazalnik je naravno število (tj., Celota in pozitivna).

Rational.

stopnja, katere kazalnik je negativna in delna števila.

Iracionalno.

stopnja, katere kazalnik je neskončna decimalna frakcija ali korenina.

Lastnosti stopenj

Značilnosti stopenj.

• Negativna številka celo stopnja - številka. pozitivno.
• Negativna številka Čuden stopnja - številka. negativno.
• Pozitivno število na obeh stopnjah je število pozitivnih.
• Nič do kakršne koli stopnje je enaka.
• Vsaka številka enaka.

Zdaj potrebujete besedo ...

Kako potrebujete članek? Zapišite se v komentarjih ali ne.

Povejte mi o svojih izkušnjah pri uporabi lastnosti stopenj.

Morda imate vprašanja. Ali predloge.

Pišite v komentarje.

In veliko sreče na izpitih!

Lekcija na temo: "Pravila za razmnoževanje in delitev stopinj z enakimi in različnimi kazalniki. Primeri"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti komentarjev, pregledov, želje. Vsi materiali preverjajo protivirusni program.

Priročniki za usposabljanje in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 7. razred
Priročnik za učbenik yu.n. Makerychev koristi učbeniku A.G. Morkkovich.

Namen lekcije: naučiti se izvajati dejanja s stopnjami števila.

Za začetek se spomnite koncepta "stopnje števila". Izraz tipa $ Podružka (A * A * LDOTS * A) _ (N) $ lahko zastopa kot $ a ^ n $.

Prav tako je resnično inverzno: $ a ^ n \u003d podčrta (A * A * LDOTS * A) _ (n) $.

Ta enakost se imenuje "diplomo v obliki dela." To nam bo pomagalo ugotoviti, kako pomnožiti in deliti diplome.
Ne pozabite:
a. - temelj diplome.
n. - Indikator.
Če n \u003d 1., Torej, številka zvezek Vzeli so enkrat in v skladu s tem: $ a ^ n \u003d 1 $.
Če n \u003d 0., potem $ a ^ 0 \u003d 1 $.

Zakaj se to zgodi, bomo lahko ugotovili, kdaj se bomo seznanili s pravili množenja in delitve stopenj.

Ulmetniška pravila

a) Če se stopnje pomnožijo z isto bazo.
Do $ a ^ n * a ^ m $, zapišite stopnjo v obliki dela: $ Podpodb (A * A * LDOTS * A) _ (n) * Podpodb (A * A * LDOTS * a) _ (m) $.
Slika je prikazana, da je številka zvezek sem vzel n + M. Enkrat, potem $ a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m) $.

Primer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ta lastnost je primerna za uporabo, kaj poenostaviti delo pri postavitvi številke v večji meri.
Primer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Če se stopnje pomnožijo z različnimi bazami, vendar isti indikator.
Do $ a ^ n * b ^ n $, zapišite diplomo v obliki dela: $ podzpodpobko (A * A * LDOTS * A) _ (N) * Podpodb (B * B * LDOTS * b) _ (m) $.
Če spremenite množične kraje in izračunamo nastale pare, dobimo: $ podkončno ((A * B) * (A * B) * LDOTS * (A * B)) _ (n) $.

Torej, $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.

Primer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Pravila oddelka

a) Osnova stopnje je enaka, različni kazalniki.
Razmislite o razdelitvi stopnje z visoko sliko za razdelitev stopnje z manjšim kazalnikom.

Torej je potrebno $ Frac (a ^ n) (a ^ m) $kje n\u003e M..

Pišemo diplomo v obliki frakcije:

$ Frac (podčrta (A * A * LDOTS * A) _ (N)) (podčrta (A * A * LDOTS * A) _ (m)) $.

Za udobje bo delitev pisala v obliki preprostega dela.

Zdaj bo zmanjšala frakcijo.

Izkazalo se je: $ podzdravilo (A * A * LDOTS * A) _ (N-M) \u003d A ^ (N-M) $.
To pomeni $ Frac (a ^ n) (a ^ m) \u003d a ^ (n-m) $.

Ta lastnost bo pomagala razložiti situacijo z erekcijo števila na nič stopnjo. Recimo, da je to n \u003d M., potem $ a ^ 0 \u003d a ^ (n - n) \u003d frac (a ^ n) (a ^ n) \u003d 1 $.

Primeri.
$ Frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.

$ Frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.

b) Ustanovitev stopnje je drugačna, kazalniki so enaki.
Recimo, da je potrebno $ Frac (a ^ n) (B ^ n) $. Pišemo stopnjo številk v obliki frakcije:

$ Frac (podčrta (A * A * LDOTS * A) _ (N)) (podčrta (B * B * LDOTS * B) _ (N)) $.

Za udobje predstavljate.

Uporaba lastnine frakcije, razbijemo veliko frakcijo na delo majhne, \u200b\u200bdobimo.
$ Podzno (A) (A) (B) * FRAC (A) (B) * LDOTS * FRAC (A) (A) (B)) _ (n) $.
V skladu s tem, $ Frac (a ^ n) (B ^ n) \u003d (Frac (A) (b)) ^ n $.

Primer.
$ Frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (Frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d $ 8.

Vsaka aritmetična operacija včasih postane preveč okorna za snemanje in poskus poenostavitve. Ko je bilo tako z delovanjem dodatka. Ljudje so potrebovali večkratnega dodatka, na primer, da bi izračunali stroške sto perzijskih preprog, katere stroške je 3 zlato kovancev za vsakega. 3 + 3 + 3 + ... + 3 \u003d 300. Zaradi obsežnega je izumil, da se zmanjša snemanje na 3 * 100 \u003d 300. Dejstvo je, da je evidentiranje "tri pomnožite na sto" pomeni, da morate Vzemite sto Trot in zložite drug drugega. Multiplikacija, ki je bila sprejeta, je pridobila splošno priljubljenost. Toda svet ne stoji še vedno, v srednjem veku pa je bilo treba izvesti večkratno množenje. Stara indijska skrivnost se spominja, prosi za nagrado za delo pšeničnega žita v naslednji količini: Za prvo celico šahovca je vprašal eno zrno, za drugo - dva, tretja - štiri, peta - osem in tako naprej. Tako se je pojavila prva množenje stopenj, ker je bila količina zelene vrednosti enaka stopnji števila celic. Na primer, na zadnji celici bi bilo 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 zrna, ki je enaka številu 18 znakov dolgo, v tem, kaj, v resnici, pomen uganke.

Operacija vadbe je potekala precej hitro, hitro je potrebna tudi za izvedbo dodatka, odštevanje, delitev in razmnoževanje stopenj. Nazadnje je treba podrobneje razmisliti. Formule za dodajanje stopenj so preproste in enostavne za spomin. Poleg tega je zelo enostavno razumeti, od kod prihajajo, če je stopnja zamenjana z razmnoževanjem. Najprej pa je treba razvrstiti v osnovno terminologijo. Izraz a ^ b (branje "A do stopnjo B") pomeni, da je treba številko A po sebi pomnožiti samo, in "A" se imenuje temelja stopnje, in "B" je kazalnik napajanja. Če so osnove stopenj enake, so formule popolnoma preproste. Poseben primer: Poiščite vrednost izraza 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Vedeti, kaj naj se zgodi, preden začnete odločitev, da bi ugotovili odgovor na računalniku. Ob doseženem temu izrazu na kateri koli spletni kalkulator, iskalnik, tipkanje "množenje stopenj z različnimi bazami enako" ali matematični paket, bo izhod 128. Zdaj bomo napisali ta izraz: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 , 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2. Izkazalo se je, da 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4). Izkazalo se je, da je produkt stopenj z isto podlago enak na terenu, ki je postavljen v stopnjo, ki je enak vsoti obeh prejšnjih stopinj.

Morda mislite, da je to nesreča, vendar ne: kateri koli drug primer lahko to pravilo potrdi le. Tako je v splošni formula formula naslednja: a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m). Obstaja tudi pravilo, da je vsako število na ničlo enako. Tukaj je treba opozoriti na pravilo negativnih stopenj: a ^ (- n) \u003d 1 / a ^ n. To je, če je 2 ^ 3 \u003d 8, potem 2 ^ (- 3) \u003d 1/8. S tem pravilom lahko dokažete veljavnost enakosti a ^ 0 \u003d 1: a ^ 0 \u003d a ^ (nn) \u003d a ^ n * a ^ (- n) \u003d a ^ (n) * 1 / a ^ ( n), ^ (n) lahko zmanjšate in enota ostane. Prav tako se vzamejo s pravilom, da so zasebne diplome z enakimi bazami enaka tej podlagi do stopnje, ki je enaka zasebni indikatorju delida in delilnika: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m). Primer: Poenostavite izraz 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Množenje je komutativno delovanje, zato najprej dodajanje kazalnikov množenja: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2 . Naprej je treba obravnavati delitev v negativno stopnjo. Potrebno je odštevati kazalnik delilnika iz indikatorja razkoraka: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (1 - (- 2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 . Izkazalo se je, da je delovanje delitve v negativno stopnjo enakega množenja delovanja na podoben pozitivni kazalnik. Tako je končni odgovor 8.

Obstajajo primeri, kjer ni kanoničnega množenja stopenj. Multipsing stopinj z različnimi bazami je zelo pogosto veliko težje, včasih pa je sploh nemogoče. Treba je dati več primerov različnih možnih tehnik. Primer: Poenostavite izraz 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Očitno je razmnoževanje stopinj z različnimi bazami. Vendar je treba opozoriti, da so vse temelje različne stopnje trojke. 9 \u003d 3 ^ 2.1 \u003d 3 ^ 4,3 \u003d 3 ^ 5.9 \u003d 3 ^ 6. Uporaba pravila (a ^ n) ^ m \u003d a ^ (n * m), morate ponovno napisati izraz v bolj priročen obliki: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11). Odgovor: 3 ^ 11. V primerih, ko različne baze, pravilo A ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n deluje na enakih kazalnikih. Na primer, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3. V nasprotnem primeru, ko različne podlage in kazalnike, je nemogoče, da bi polno množenje. Včasih je mogoče delno poenostaviti ali uporabiti pomoč računalniške opreme.

Koncept stopnje matematike je uveden v 7. razredu v razredu algebre. In v prihodnosti, v celotnem poteku študije matematike, se ta koncept aktivno uporablja v različnih vrstah. Stopnja je precej težavna tema, ki zahteva skladiščenje vrednot in spretnosti pravilno in hitro štejejo. Za hitrejše in kakovostno delo s stopnjo matematike so izumili lastnosti stopnje. Pomagajo zmanjšati velike izračune, pretvoriti velik primer v eno številko v poljubnem obsegu. Nepremičnine niso toliko, in vse se zlahka spominjajo in uporabljajo v praksi. Zato članek obravnava osnovne lastnosti diplome, kot tudi tam, kjer se uporabljajo.

Lastnosti diplome

Pogledali bomo 12 lastnosti diplome, vključno z lastnostmi stopinj z enakimi bazami, za vsako lastnost pa smo zgled. Vsaka od teh lastnosti vam bo pomagala pri reševanju nalog s stopinjami, kot tudi prihranite od številnih računalniških napak.

1. premoženje.

Mnogi pogosto pozabijo na to lastnino, delajo napake, ki predstavljajo številko v nič stopnji kot nič.

2. lastnost.

3. lastnost.

Ne smemo pozabiti, da se ta lastnost lahko uporabi le, če se številke izvajajo, ne deluje z zneskom! In ne smemo pozabiti, da je to naslednje, lastnosti veljajo samo za stopenj z enakimi bazami.

4. lastnina.

Če je številka postavljena v imenovalcu v negativno stopnjo, potem, ko se odštevanje stopnje imenovalca vzame v oklepaje, da pravilno nadomesti znak na nadaljnje računalništvo.

Objekt deluje samo med oddelkom, ne velja, ko se odšteje!

5. lastnina.

6. premoženje.

Ta lastnost se lahko uporabi v nasprotni smeri. Enota razdeljen v določeni meri je število v minus stopnjo.

7. lastnina.

Te lastnosti ni mogoče uporabiti za vsoto in razliko! Ko se postavi znesek ali razlika, se uporabljajo formule skrajšane razmnoževanja, ne pa tudi lastnosti stopnje.

8. lastnina.

9. lastnina.

Ta lastnost deluje za kakršno koli delno stopnjo z omejevalnikom, ki je enaka enemu, bo formula enaka, samo korenska stopnja se bo razlikovala glede na imenovalca.

Tudi ta lastnost se pogosto uporablja v obratnem vrstnem redu. Koren kakršne koli stopnje izmed številke je lahko predstavljen kot število do stopnje enote, deljeno s stopnjo korena. Ta lastnost je zelo koristna v primerih, če korenina ni ekstrahirana.

10. lastnina.

Ta lastnost ne deluje samo s kvadratnim korenom in drugo stopnjo. Če je stopnja korena in stopnjo, v kateri se ta koren vzame, se odgovor, odgovor bo izraz hranjenja.

11. lastnina.

Ta lastnost mora biti sposobna videti v času, ko se odločite, da se znebite sebe od ogromnega računalništva.

12. lastnina.

Vsaka od teh lastnosti vam bo ponovila na nalogah, ki jo je mogoče dati v svoji čisti obliki, in lahko zahteva nekaj transformacij in uporabo drugih formul. Zato, za pravilno rešitev, samo lastnosti samo vedeti, morate vaditi in povezati drugo matematično znanje.

Uporaba stopenj in njihovih lastnosti

Aktivno se uporabljajo v algebri in geometriji. Stopnje v matematiki imajo ločeno, pomembno mesto. S svojo pomočjo so rešene indikativne enačbe in neenakosti, kot tudi stopnje pogosto zapletajo enačbe in primeri, povezane z drugimi deli matematike. Stopnja pomaga preprečevati velike in dolge izračune, stopnja je lažje zmanjšati in izračunati. Toda delati z velikimi stopnjami, ali s stopnjami velikega števila, morate vedeti ne samo stopnjo lastnosti, temveč pravilno delovati in z razlogi, jih lahko razgraditi, da olajšajo nalogo. Za udobje je treba znanovati vrednost številk, postavljenih v stopnjo. To bo zmanjšalo čas pri reševanju, odpravo potrebe po dolgem računalništvu.

Koncept stopnje igra posebno vlogo v logaritmih. Ker je logaritem, je v bistvu stopnja števila.

Kratkotrajne multiplikacijske formule je še en primer uporabe stopenj. Ne morejo jih uporabljati lastnosti stopenj, razkrivajo se v skladu s posebnimi pravili, vendar je v vsaki formuli skrajšane razmnoženosti vedno prisotna.

Enake stopnje se aktivno uporabljajo v fiziki in računalništvu. Vsi prenosi sistema SI so izdelani z uporabo stopinj, v prihodnosti pa se lastnosti stopnje uporabljajo pri reševanju problemov. Informatika se aktivno uporabljajo dežnicasti, za udobje računa in poenostavijo dojemanje številk. Nadaljnji izračuni za prenose merskih enot ali izračunov nalog, kot tudi fizike, se pojavljajo z uporabo stopenjskih lastnosti.

Tudi stopnje so zelo koristne v astronomiji, redko je mogoče uporabiti uporabo lastnosti stopnje, vendar se stopnja aktivno uporablja za zmanjšanje evidentiranja različnih količin in razdalj.

Stopnje se uporabljajo v običajnem življenju, pri izračunu območij, volumnih, razdaljah.

S pomočjo stopenj je napisana zelo velike in zelo majhne vrednosti na vseh področjih znanosti.

Okvirne enačbe in neenakosti

Posebno mesto lastnine diplome, ki se zavzema v okvirnih enačbah in neenakosti. Te naloge se pogosto najdejo, tako v šolskem tečaju kot na izpitih. Vsi so rešeni z uporabo stopenjskih lastnosti. Neznano je vedno v diplomi, zato vedo vse lastnosti, ni težko rešiti takšne enačbe ali neenakosti.