Tema lekcije je "Reševanje neenačb in njihovih sistemov" (matematika 9. razred)
Vrsta lekcije: lekcija o sistematizaciji in posploševanju znanja in spretnosti
Tehnologija lekcije: razvoj tehnologije kritično razmišljanje, diferencirano učenje, IKT tehnologije
Namen lekcije: ponoviti in sistematizirati znanje o lastnostih neenačb in metodah za njihovo reševanje, ustvariti pogoje za razvoj spretnosti za uporabo tega znanja pri reševanju standardnih in ustvarjalnih problemov.
Naloge.
Izobraževalni:
prispevati k razvoju sposobnosti učencev za posploševanje pridobljenega znanja, izvajanje analiz, sintez, primerjav in pripravo potrebnih zaključkov.
organizirati dejavnosti študentov za uporabo pridobljenega znanja v praksi
spodbujati razvoj veščin za uporabo pridobljenega znanja v nestandardnih pogojih
Izobraževalni:
nadaljujte s formacijo logično razmišljanje, pozornost in spomin;
izboljšati veščine analize, sistematizacije, posploševanja;
ustvarjanje pogojev, ki zagotavljajo razvoj sposobnosti samokontrole pri učencih;
spodbujati pridobivanje potrebnih samostojnih veščin izobraževalne dejavnosti.
Izobraževalni:
gojiti disciplino in zbranost, odgovornost, neodvisnost, kritičen odnos do sebe in pozornost.
Načrtovani izobraževalni rezultati.
Osebno: odgovoren odnos do učenja in komunikacijska kompetenca v komunikaciji in sodelovanju z vrstniki v procesu izobraževalne dejavnosti.
Kognitivni: sposobnost definiranja pojmov, posploševanja, samostojne izbire podlag in meril za razvrščanje, logičnega sklepanja in sklepanja;
Regulativno: sposobnost prepoznati morebitne težave pri reševanju izobraževalne in kognitivne naloge in najti sredstva za njihovo odpravo, oceniti svoje dosežke
Komunikativen: sposobnost presojanja z uporabo matematični izrazi in pojmov, oblikujejo vprašanja in odgovore med nalogo, izmenjujejo znanje med člani skupine za sprejemanje učinkovitih skupnih odločitev.
Osnovni izrazi in koncepti: linearna neenačba, kvadratna neenačba, sistem neenačb.
Oprema
Projektor, učiteljev prenosni računalnik, več netbookov za učence;
Predstavitev;
Kartice z osnovnim znanjem in spretnostmi na temo lekcije (Priloga 1);
Kartice s samostojnim delom (Priloga 2).
Učni načrt
| Med poukom |
|||
| Tehnološke stopnje. Tarča. | Dejavnosti učitelja | Študentske dejavnosti | |
| Uvodna in motivacijska komponenta |
|||
| 1.Organizacijski Cilj: psihološka priprava do komunikacije. | Zdravo. Lepo vas je videti. Sedi. Preverite, ali imate vse pripravljeno za lekcijo. Če je vse v redu, me poglej. | Pozdravijo se. Preverite dodatke. Priprave na delo. | Osebno. Oblikuje se odgovoren odnos do učenja. |
| 2.Ponovitev znanja (2 min) Namen: ugotoviti posamezne vrzeli v znanju o temi | Tema naše lekcije je "Reševanje neenačb z eno spremenljivko in njihovimi sistemi." (diapozitiv 1) Tukaj je seznam osnovnih znanj in veščin na temo. Ocenite svoje znanje in spretnosti. Postavite ustrezne ikone. (diapozitiv 2) | Ocenijo lastno znanje in spretnosti. (Priloga 1) | Regulativni Samoocenjevanje svojega znanja in spretnosti |
| 3.Motivacija (2 minuti) Namen: zagotoviti dejavnosti za določitev ciljev lekcije . | IN delo OGE pri matematiki več vprašanj tako v prvem kot v drugem delu določa sposobnost reševanja neenačb. Kaj moramo ponoviti pri pouku, da uspešno opravimo te naloge? | Utemeljujejo in imenujejo vprašanja za ponavljanje. | Kognitivna. Prepoznajte in oblikujte kognitivni cilj. |
| Faza zasnove (vsebinska komponenta) |
|||
| 4.Samospoštovanje in izbira poti (1-2 min) | Glede na to, kako ste ocenili svoje znanje in spretnosti o temi, izberite obliko dela v lekciji. Z mano lahko delaš s celim razredom. Na netbookih lahko delate individualno, z uporabo mojega svetovanja, ali v parih, ki si pomagajo drug drugemu. | Določeno z individualno učno potjo. Po potrebi zamenjajte mesta. | Regulativni prepoznati morebitne težave pri reševanju izobraževalne in kognitivne naloge in poiskati sredstva za njihovo odpravo |
| 5-7 Delo v parih ali individualno (25 min) | Učitelj učencem svetuje samostojno delo. | Učenci, ki temo dobro poznajo, delajo samostojno ali v paru s predstavitvijo (prosojnice 4-10). Dokončajo naloge (prosojnice 6,9). | Kognitivni sposobnost definiranja pojmov, posploševanja, gradnje logične verige Regulativni sposobnost določanja dejanj v skladu z učno in spoznavno nalogo Komunikacija sposobnost organiziranja izobraževalnega sodelovanja in skupne dejavnosti, delo z virom informacij Osebno odgovoren odnos do učenja, pripravljenost in sposobnost za samorazvoj in samoizobraževanje |
| 5. Reševanje linearnih neenačb. (10 min) | Katere lastnosti neenačb uporabljamo za njihovo reševanje? Znate razlikovati med linearnimi in kvadratnimi neenačbami ter njihovimi sistemi? (diapozitiv 5) Kako rešiti linearna neenakost? Sledite rešitvi. (diapozitiv 6) Učitelj spremlja rešitev pri tabli. Preverite, ali je vaša rešitev pravilna. | Poimenujte lastnosti neenačb; po odgovoru ali v primeru težav učitelj odpre prosojnico 4. Poklican Lastnosti neenakosti Uporaba lastnosti neenakosti. En učenec rešuje enačbo št. 1 na tabli. Ostali so v zvezkih po odločitvi odgovorca. Neenakosti št. 2 in 3 sta izpolnjeni neodvisno. Preverijo pripravljen odgovor. | Kognitivni Komunikacija |
| 6. Reševanje kvadratnih neenačb. (10 min) | Kako rešiti neenakost? Kakšna neenakost je to? Katere metode se uporabljajo za reševanje kvadratnih neenakosti? Spomnimo se metode parabole (prosojnica 7) prikliče v spomin faze reševanja neenačbe. Intervalna metoda se uporablja za reševanje neenačb druge in višjih stopenj. (diapozitiv 8) Za reševanje kvadratnih neenakosti lahko izberete metodo, ki vam ustreza. Reši neenačbe. (diapozitiv 9). Učitelj spremlja potek rešitve, opominja, kako rešiti nepopolno kvadratne enačbe. Učitelj svetuje študentom pri individualnem delu. | odgovor: Kvadratna neenakost Rešujemo z metodo parabole ali intervalno metodo. Učenci spremljajo rešitev predstavitve. Učenci ob tabli izmenično rešujejo neenačbi št. 1 in 2. Odgovor preverijo. (za rešitev živca št. 2 se morate spomniti metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb). Neenačbo št. 3 rešujemo samostojno in jo primerjamo z odgovorom. | Kognitivni sposobnost definiranja konceptov, ustvarjanja posploševanj, gradnje sklepanja od splošnih vzorcev do posebnih rešitev Komunikacija sposobnost ustne in pisne predstavitve natančnega načrta lastnih aktivnosti; |
| 7. Reševanje sistemov neenačb (4-5 min) | Spomni se stopenj reševanja sistema neenačb. Rešite sistem (prosojnica 10) | Poimenujte stopnje rešitve Učenec rešuje ob tabli in preveri rešitev na prosojnici. | |
| Reflektivno-ocenjevalna stopnja |
|||
| 8.Kontrola in preverjanje znanja (10 min) Cilj: ugotoviti kakovost učenja snovi. | Preverimo vaše znanje o temi. Težave rešite sami. Učitelj preveri rezultat z že pripravljenimi odgovori. | Opravite samostojno delo na možnostih (Priloga 2) Po opravljenem delu študent to sporoči učitelju. Učenec določi svojo oceno glede na merila (slide 11). Po uspešnem zaključku dela lahko začne dodatna naloga(diapozitiv 11) | Kognitivna. Zgradite logične verige sklepanja. |
| 9. Razmislek (2 min) Cilj: oblikovanje ustrezna samopodoba vaše zmožnosti in sposobnosti, prednosti in omejitve | Ali je rezultat izboljšan? Če imate še vprašanja, si doma oglejte učbenik (str. 120) | Na istem listu papirja ocenijo svoje znanje in spretnosti (Priloga 1). Primerjajte s samozavestjo na začetku lekcije in naredite zaključke. | Regulativni Samoocena vaših dosežkov |
| 10. Domača naloga (2 min) Namen: utrjevanje preučenega gradiva. | Domača naloga določiti po rezultatih samostojno delo(diapozitiv 13) | Določite in zabeležite posamezno nalogo | Kognitivna. Zgradite logične verige sklepanja. Analizirajte in preoblikujte informacije. |
Seznam uporabljene literature: Algebra. Učbenik za 9. razred. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Izobraževanje, 2014
1. Koncept neenakosti z eno spremenljivko
2. Ekvivalentne neenakosti. Izreki o enakovrednosti neenačb
3. Reševanje neenačb z eno spremenljivko
4. Grafično reševanje neenačb z eno spremenljivko
5. Neenačbe, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula
6. Glavni sklepi
Neenačbe z eno spremenljivko
Ponudbe 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 imenujemo neenačbe z eno spremenljivko.
IN splošni pogled ta koncept je opredeljen na naslednji način:
Opredelitev. Naj sta f(x) in g(x) dva izraza s spremenljivko x in domeno X. Potem je neenakost v obliki f(x) > g(x) ali f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Spremenljiva vrednost x od mnogih X, pri katerem neenakost preide v pravo številsko neenakost, imenujemo odločitev. Rešiti neenačbo pomeni najti veliko rešitev zanjo.
Tako z rešitvijo neenačbe 2 x + 7 > 10 -x, x? R je številka x= 5, saj je 2 5 + 7 > 10 - 5 prava številska neenakost. In množica njegovih rešitev je interval (1, ∞), ki ga najdemo s transformacijo neenačbe: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Ekvivalentne neenakosti. Izreki o enakovrednosti neenačb
Osnova za reševanje neenačb z eno spremenljivko je koncept ekvivalence.
Opredelitev. Za dve neenačbi pravimo, da sta enakovredni, če sta njuni množici rešitev enaki.
Na primer, neenakosti 2 x+ 7 > 10 in 2 x> 3 sta enakovredna, saj sta njuni množici rešitev enaki in predstavljata interval (2/3, ∞).
Izreki o ekvivalentnosti neenačb in posledice iz njih so podobni ustreznim izrekom o ekvivalentnosti enačb. Njihov dokaz uporablja lastnosti resničnih numeričnih neenakosti.
Izrek 3. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(x) je izraz, definiran na istem nizu. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) so enakovredne na nizu X.
Iz tega izreka izhajajo posledice, ki se pogosto uporabljajo pri reševanju neenačb:
1) Če na obe strani neenakosti f(x) > g(x) dodajte isto število d, potem dobimo neenakost f(x) + d > g(x)+ d, enakovreden originalnemu.
2) Če katerikoli člen (številski izraz ali izraz s spremenljivko) prenesemo iz enega dela neenačbe v drugega in spremenimo predznak člena v nasprotno, dobimo neenakost, ki je enaka dani.
Izrek 4. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(X X od mnogih X izražanje h(x) sprejme pozitivne vrednosti. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x) h(x) > g(x) h(x) so enakovredne na nizu X.
f(x) > g(x) pomnožite z istim pozitivnim številom d, potem dobimo neenakost f(x) d > g(x) d, enakovreden temu.
Izrek 5. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(X) - izraz, definiran na istem nizu in za vse X veliko jih je X izražanje h(X) sprejme negativne vrednosti. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x) h(x) > g(x) h(x) so enakovredne na nizu X.
Iz tega izreka sledi posledica: če obe strani neenakosti f(x) > g(x) pomnožite z istim negativnim številom d in spremenimo predznak neenakosti v nasprotnega, dobimo neenakost f(x) d > g(x) d, enakovreden temu.
Reševanje neenačb z eno spremenljivko
Rešimo neenačbo 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, in utemeljili bomo vse transformacije, ki jih bomo izvedli v procesu reševanja.
Reševanje neenačbe X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 je interval (-∞, 7).
vaje
1. Ugotovite, kateri od naslednjih vnosov so neenačbe z eno spremenljivko:
a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. Ali je število 3 rešitev neenačbe 6 (2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Kaj pa številka 4,25?
3. Ali so naslednji pari neenakosti enakovredni na množici realnih števil:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 in 3 X-1>0;
c) 6-5 x>-4 in X<2?
4. Katere od naslednjih trditev držijo:
a) -7 X < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Reši neenačbo 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 in utemelji vse transformacije, ki jih boš izvedel.
6. Dokažite to tako, da rešite neenačbo 2 (x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) je poljubno realno število.
7. Dokaži, da ni realnega števila, ki bi bilo rešitev neenačbe 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Ena stranica trikotnika je 5 cm, druga pa 8 cm. Kolikšna je lahko dolžina tretje stranice, če je obseg trikotnika:
a) manj kot 22 cm;
b) več kot 17 cm?
GRAFIČNO REŠEVANJE NEENAČB Z ENO SPREMENLJIVKO. Za grafična rešitev neenakosti f (x) > g (x) je treba zgraditi grafe funkcij
y = f (x) = g (x) in izberite tiste intervale abscisne osi, na katerih je graf funkcije y = f(x) ki se nahaja nad grafom funkcije y = g(x).
Primer 17.8. Grafično reši neenačbo x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
rešitev. Izdelajmo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu
y = x 2 - 4 in y = Zx (slika 17.5). Slika prikazuje, da so grafi funkcij pri= x 2- 4 se nahaja nad grafom funkcije y = 3 X pri X< -1 in x > 4, tj. množica rešitev izvirne neenačbe je množica
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Odgovor: x О(- oo; -1) in ( 4; + oo).
Urnik kvadratna funkcija pri= sekira 2 + bx + c je parabola z vejami, obrnjenimi navzgor, če a > 0 in navzdol, če A< 0. V tem primeru so možni trije primeri: parabola seka os Oh(tj. enačba ah 2+ bx+ c = 0 ima dva različna korena); parabola se dotika osi X(tj. enačba sekira 2 + bx+ c = 0 ima en koren); parabola ne seka osi Oh(tj. enačba ah 2+ bx+ c = 0 nima korenin). Tako obstaja šest možnih položajev parabole, ki služi kot graf funkcije y = ah 2+ b x + c(slika 17.6). S pomočjo teh ilustracij lahko rešite kvadratne neenačbe.
Primer 17.9. Reši neenačbo: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
rešitev, a) Enačba 2x 2 + 5x -3 = 0 ima dva korena: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola, ki služi kot graf funkcije pri= 2x 2+ 5x -3, prikazano na sl. A. Neenakost 2x 2+ 5x -3 > 0 je za te vrednosti izpolnjeno X, za katere točke parabole ležijo nad osjo Oh: bo ob X< х х ali kdaj X> x g> tiste. pri X< -3 ali pri x > 0,5. To pomeni, da je množica rešitev prvotne neenačbe množica (- ¥; -3) in (0,5; + ¥).
b) Enačba -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nima pravih korenin. Parabola, ki služi kot graf funkcije pri= - 3x 2 - 2x - 6, prikazano na sl. 17.6 Neenakost -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, za katere točke parabole ležijo pod osjo Oh. Ker celotna parabola leži pod osjo Oh, potem je množica rešitev izvirne neenačbe množica R .
NEENAČBE, KI VSEBUJEJO SPREMENLJIVKO POD ZNAKOM MODULA. Pri reševanju teh neenakosti je treba upoštevati, da:
|f(x) | =
f(x), Če f(x) ³ 0,
- f(x), Če f(x) < 0,
Hkrati pa območje sprejemljive vrednosti neenačbe je treba razdeliti na intervale, na katerih izrazi pod znakom modula ohranijo svoj predznak. Nato morate z razširitvijo modulov (ob upoštevanju predznakov izrazov) rešiti neenakost na vsakem intervalu in dobljene rešitve združiti v nabor rešitev prvotne neenakosti.
Primer 17.10. Reši neenačbo:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
rešitev. Točki x = 1 in x = 2 delita numerično os (ODZ neenačbe (17.9)) na tri intervale: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Rešimo to neenačbo za vsakega od njih. Če x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; torej |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. To pomeni, da ima neenakost (17.9) obliko: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Če je 1 £ x £,2, potem je x - 1 ³ 0 in 2 – x ³ 0; torej | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. To pomeni, da sistem vsebuje:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Nastali sistem neenačb nima rešitev. Zato je na intervalu [ 1; 2] je množica rešitev neenačbe (17.9) prazna.
Če je x > 2, potem je x - 1 >0 in 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 oz
Če združimo rešitve, ki jih najdemo na vseh delih neenačbe ODZ (17.9), dobimo njeno rešitev - množico (-¥; 0) È (6; +oo).
Včasih je koristno uporabiti geometrijsko interpretacijo modula realnega števila, po kateri | a | pomeni oddaljenost točke a koordinatne premice od izhodišča O, a | a - b | pomeni razdaljo med točkama a in b na koordinatni premici. Druga možnost je, da uporabite metodo kvadriranja obeh strani neenakosti.
Izrek 17.5. Če izrazi f(x) in g(x) za vsak x zavzemajo le nenegativne vrednosti, potem neenakosti f (x) > g (x) in f (x) ² > g (x) ² so enakovredne.
58. Glavni sklepi § 12
V tem razdelku smo definirali naslednje koncepti:
Numerični izraz;
Pomen številski izraz;
Izraz, ki nima pomena;
Izraz s spremenljivko(-ami);
Območje definicije izraza;
Identično enaki izrazi;
Identiteta;
Preoblikovanje identitete izrazi;
Numerična enakost;
Numerična neenakost;
Enačba z eno spremenljivko;
Koren enačbe;
Kaj pomeni rešiti enačbo;
Ekvivalentne enačbe;
Neenakost z eno spremenljivko;
Reševanje neenačb;
Kaj pomeni rešiti neenakost;
Ekvivalentne neenakosti.
Poleg tega smo pregledali izreke o enakovrednosti enačb in neenačb, ki so osnova za njihovo reševanje.
Poznavanje definicij vseh zgornjih pojmov in izrekov o enakovrednosti enačb in neenačb - potreben pogoj metodološko kompetenten študij z mlajši šolarji algebrsko gradivo.
Ta članek nudi začetne informacije o sistemih neenakosti. Tukaj je definicija sistema neenačb in definicija rešitve sistema neenačb. Navedene so tudi glavne vrste sistemov, s katerimi je najpogosteje treba delati pri pouku algebre v šoli, in podani so primeri.
Navigacija po strani.
Kaj je sistem neenakosti?
Sisteme neenačb je priročno definirati na enak način, kot smo uvedli definicijo sistema enačb, torej z vrsto zapisa in pomenom, ki je vanj vložen.
Opredelitev.
Sistem neenakosti je zapis, ki predstavlja določeno število ena pod drugo zapisanih neenačb, ki so na levi združene z zavitim oklepajem in označuje množico vseh rešitev, ki so hkrati rešitve vsake neenačbe sistema.
Navedimo primer sistema neenakosti. Vzemimo dve poljubni, na primer 2 x−3>0 in 5−x≥4 x−11, zapišimo ju eno pod drugo
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
in združiti s sistemskim znakom - zavit oklepaj, kot rezultat dobimo sistem neenakosti naslednje oblike:
Podobna ideja je podana o sistemih neenakosti v šolskih učbenikih. Omeniti velja, da so njihove definicije podane ožje: za neenakosti z eno spremenljivko ali z dvema spremenljivkama.
Glavne vrste sistemov neenačb
Jasno je, da je mogoče sestaviti neskončno število različne sisteme neenakosti Da se ne bi izgubili v tej raznolikosti, je priporočljivo, da jih obravnavate v skupinah, ki imajo svoje posebnosti. Vse sisteme neenakosti lahko razdelimo v skupine po naslednjih kriterijih:
- s številom neenakosti v sistemu;
- po številu spremenljivk, vključenih v snemanje;
- glede na vrsto samih neenakosti.
Glede na število neenačb, vključenih v zapis, ločimo sisteme dveh, treh, štirih itd. neenakosti V prejšnjem odstavku smo navedli primer sistema, ki je sistem dveh neenačb. Pokažimo še en primer sistema štirih neenakosti 
.
Ločeno bomo rekli, da nima smisla govoriti samo o sistemu neenakosti, v bistvu govorimo o sami neenakosti in ne o sistemu.
Če pogledate število spremenljivk, potem obstajajo sistemi neenakosti z eno, dvema, tremi itd. spremenljivke (ali, kot tudi pravijo, neznanke). Poglej zadnji sistem neenakosti, napisan dva odstavka zgoraj. Je sistem s tremi spremenljivkami x, y in z. Upoštevajte, da njeni prvi dve neenakosti ne vsebujeta vseh treh spremenljivk, ampak samo eno izmed njih. V kontekstu tega sistema jih je treba razumeti kot neenačbe s tremi spremenljivkami oblike x+0·y+0·z≥−2 oziroma 0·x+y+0·z≤5. Upoštevajte, da se šola osredotoča na neenakosti z eno spremenljivko.
Še vedno je treba razpravljati o tem, katere vrste neenakosti so vključene v snemalne sisteme. V šoli obravnavajo predvsem sisteme dveh neenačb (redkeje treh, še redkeje štirih ali več) z eno ali dvema spremenljivkama, same neenačbe pa so običajno cele neenakosti prva ali druga stopnja (manj pogosto - višje stopnje ali delno racionalno). Vendar ne bodite presenečeni, če v pripravljalnem gradivu za enotni državni izpit naletite na sisteme neenakosti, ki vsebujejo iracionalne, logaritemske, eksponentne in druge neenakosti. Kot primer navajamo sistem neenakosti 
, vzeto je iz .
Kakšna je rešitev sistema neenačb?
Naj uvedemo še eno definicijo, povezano s sistemi neenačb - definicijo rešitve sistema neenačb:
Opredelitev.
Reševanje sistema neenačb z eno spremenljivko je vrednost spremenljivke, ki vsako od neenakosti sistema spremeni v resnično, z drugimi besedami, je rešitev vsake neenakosti sistema.
Razložimo s primerom. Vzemimo sistem dveh neenačb z eno spremenljivko. Vzemimo vrednost spremenljivke x enako 8, je rešitev našega sistema neenačb po definiciji, saj njena zamenjava v neenačbe sistema da dve pravilni numerični neenačbi 8>7 in 2−3·8≤0. Nasprotno, enotnost ni rešitev sistema, saj se bo ob zamenjavi spremenljivke x prva neenakost spremenila v napačno numerično neenakost 1>7.
Podobno lahko uvedemo definicijo rešitve sistema neenačb z dvema, tremi in veliko število spremenljivke:
Opredelitev.
Reševanje sistema neenačb z dvema, tremi itd. spremenljivke imenovan par, tri itd. vrednosti teh spremenljivk, ki je hkrati rešitev vsake neenačbe sistema, torej vsako neenakost sistema spremeni v pravilno numerično neenakost.
Na primer, par vrednosti x=1, y=2 ali v drugem zapisu (1, 2) je rešitev sistema neenačb z dvema spremenljivkama, saj je 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Sistemi neenačb morda nimajo rešitev, lahko imajo končno število rešitev ali pa neskončno število rešitev. Ljudje pogosto govorijo o naboru rešitev sistema neenakosti. Ko sistem nima rešitev, obstaja prazna množica njegovih rešitev. Kadar je rešitev končno, potem množica rešitev vsebuje končno število elementov, kadar pa je rešitev neskončno veliko, potem množico rešitev sestavlja neskončno število elementov.
Nekateri viri uvajajo definicije posebne in splošne rešitve sistema neenakosti, kot na primer v Mordkovičevih učbenikih. Spodaj zasebna rešitev sistema neenačb razumeti njeno eno samo odločitev. Po svoje splošna rešitev sistema neenačb- vse to so njene zasebne odločitve. Vendar so ti izrazi smiselni le takrat, ko je treba posebej poudariti, o kakšni rešitvi govorimo, običajno pa je to jasno že iz konteksta, zato veliko pogosteje preprosto rečejo »rešitev sistema neenačb«.
Iz definicij sistema neenačb in njegovih rešitev, predstavljenih v tem članku, sledi, da je rešitev sistema neenačb presečišče množic rešitev vseh neenačb tega sistema.
Bibliografija.
- Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. razred: poučna. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovič A. G. Algebra in začetek matematične analize. 11. razred. V 2 delih 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov (stopnja profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Enotni državni izpit-2013. Matematika: standardne izpitne možnosti: 30 možnosti / ur. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. – M.: Založba “Narodno izobraževanje”, 2012. – 192 str. – (USE-2013. FIPI - šola).
Danes bomo pri učni uri posplošili naše znanje pri reševanju sistemov neenačb in preučili rešitev množice sistemov neenačb.
Definicija ena.
Rečeno je, da več neenačb z eno spremenljivko tvori sistem neenačb, če je naloga najti vse splošne rešitve danih neenačb.
Vrednost spremenljivke, pri kateri se vsaka od neenačb sistema spremeni v pravilno numerično neenačbo, imenujemo delna rešitev sistema neenačb.
Množica vseh partikularnih rešitev sistema neenačb predstavlja splošno rešitev sistema neenačb (pogosteje rečemo preprosto - rešitev sistema neenačb).
Reševanje sistema neenačb pomeni iskanje vseh njegovih posebnih rešitev ali dokazovanje, da dani sistem nima rešitev.
Ne pozabite! Rešitev sistema neenačb je presečišče rešitev neenačb, vključenih v sistem.
Neenakosti, vključene v sistem, so združene z zavitim oklepajem.
Algoritem za reševanje sistema neenačb z eno spremenljivko:
Prvi je reševanje vsake neenačbe posebej.
Drugi je najti presečišče najdenih rešitev.
To presečišče je množica rešitev sistema neenačb
vaja 1
Rešite sistem neenačb sedem x minus dvainštirideset je manjše ali enako nič in dva x minus sedem je večje od nič.
Rešitev prve neenačbe je x manjši ali enak šest, druga neenačba je x večji od druge sedem. Te intervale označimo na koordinatni premici. Rešitev prve neenačbe je označena s senčenjem spodaj, druge neenačbe - s senčenjem zgoraj. Rešitev sistema neenačb bo presečišče rešitev neenačb, to je interval, kjer obe šrafuri sovpadata. Kot rezultat dobimo polovični interval od sedmih sekund do šest, vključno s šestimi.
Naloga 2
Rešite sistem neenačb: x kvadrat plus x minus šest je večji od nič in x kvadrat plus x plus šest je večji od nič.
rešitev
Rešimo prvo neenačbo - x na kvadrat plus x minus šest je večje od nič.
Predpostavimo, da je funkcija ig enaka x na kvadrat plus x minus šest. Ničle funkcije: x prvi je enak minus tri, x drugi je enak dva. Če shematsko predstavimo parabolo, ugotovimo, da je rešitev prve neenakosti zveza odprtih številskih žarkov od minus neskončnosti do minus tri in od dva do plus neskončnosti.
Rešimo drugo neenakost sistema: x kvadrat plus x plus šest je večje od nič.
Predpostavimo, da je funkcija ig enaka x na kvadrat plus x plus šest. Diskriminanta je enaka minus triindvajset manj kot nič, kar pomeni, da funkcija nima ničel. Parabola nima skupnih točk z osjo Ox. Če shematsko predstavimo parabolo, ugotovimo, da je rešitev neenačbe množica vseh števil.
Na koordinatni premici upodobimo rešitve neenačb sistema.
Iz slike je razvidno, da je rešitev sistema kombinacija odprtih številskih žarkov od minus neskončnosti do minus tri in od dva do plus neskončnosti.
Odgovor: zveza odprtih številskih žarkov od minus neskončnosti do minus tri in od dva do plus neskončnosti.
Ne pozabite! Če je v sistemu več neenakosti ena posledica druge (ali drugih), potem lahko posledično neenakost zavržemo.
Oglejmo si primer reševanja neenačbe s sistemom.
Naloga 3
Rešite neenakost logaritem izraza x na kvadrat minus trinajst x plus dvainštirideset, osnova dva, ki je večja ali enaka ena.
rešitev
ODZ neenakosti je podan s pogojem x na kvadrat minus trinajst x plus dvainštirideset več kot nič. Predstavljajmo si številko ena kot logaritem dveh na osnovo dva in dobimo neenakost - logaritem izraza x na kvadrat minus trinajst x plus dvainštirideset na osnovo dva je večji ali enak logaritmu dva na osnovo osnova dva.
Vidimo, da je osnova logaritma enaka dve na ena, potem pridemo do enakovredne neenakosti x na kvadrat minus trinajst x plus dvainštirideset več kot ali enako dva. Posledično se reševanje te logaritemske neenakosti zmanjša na reševanje sistema dveh kvadratnih neenakosti.
Poleg tega je zlahka opaziti, da če je izpolnjena druga neenakost, je še toliko bolj izpolnjena prva neenakost. Zato je prva neenakost posledica druge in jo lahko zavržemo. Drugo neenačbo transformiramo in jo zapišemo v obliki: x kvadrat minus trinajst x plus štirideset je večje od nič. Njena rešitev je kombinacija dveh številskih žarkov od minus neskončnosti do pet in od osem do plus neskončnosti.
Odgovor: zveza dveh številskih žarkov od minus neskončnosti do pet in od osem do plus neskončnosti.
odprti številski žarki
Definicija dve.
Rečeno je, da več neenačb z eno spremenljivko tvori množico neenačb, če je naloga najti vse take vrednosti spremenljivke, od katerih je vsaka rešitev vsaj ene od danih neenakosti.
Vsaka taka vrednost spremenljivke se imenuje posebna rešitev niza neenačb.
Množica vseh partikularnih rešitev množice neenačb je splošna rešitev niza neenačb.
Ne pozabite! Rešitev niza neenačb je kombinacija rešitev neenačb, vključenih v niz.
Neenačbe, vključene v nabor, so združene z oglatim oklepajem.
Algoritem za reševanje niza neenačb:
Prvi je reševanje vsake neenačbe posebej.
Drugi je najti zvezo najdenih rešitev.
Ta zveza je rešitev niza neenakosti.
Naloga 4
nič pika dva krat razlika dveh X in tri manj kot X minus dva;
pet x minus sedem je večje od x minus šest.
rešitev
Transformirajmo vsako od neenakosti. Dobimo enakovreden niz
x je večji od sedmih tretjin;
x je več kot ena četrtina.
Pri prvi neenačbi je množica rešitev interval od sedmih tretjin do plus neskončnosti, pri drugi pa interval od ene četrtine do plus neskončnosti.
Upodabljajmo na koordinatni premici množico števil, ki izpolnjuje neenakosti x večje od sedmih tretjin in x večje od ene četrtine.
Ugotovimo, da z združevanjem teh sklopov, tj. rešitev tega niza neenačb je odprt numerični žarek od ene četrtine do plus neskončnosti.
Odgovor: odprt številski žarek od ene četrtine do plus neskončnosti.
Naloga 5
Reši niz neenačb:
dva x minus ena je manj kot tri in tri x minus dva je večje ali enako deset.
rešitev
Transformirajmo vsako od neenakosti. Dobimo enakovreden niz neenakosti: x je večji od dveh in x je večji ali enak štirim.
Upodabljajmo na koordinatni premici niz števil, ki izpolnjujejo te neenakosti.
Ugotovimo, da z združevanjem teh sklopov, tj. rešitev tega niza neenačb je odprt numerični žarek od dva do plus neskončnosti.
Odgovor: odprti številski žarek od dve do plus neskončnosti.
Tema lekcije: Reševanje sistema linearnih neenačb z eno spremenljivko
Datum: _______________
Razred: 6a, 6b, 6c
Vrsta lekcije: učenje nove snovi in primarno utrjevanje.
Didaktični cilj: ustvariti pogoje za zavedanje in razumevanje sklopa novih izobraževalnih informacij.
Cilji: 1) Izobraževalni: uvedejo pojme: reševanje sistemov neenačb, ekvivalentni sistemi neenačb in njihove lastnosti; naučiti, kako uporabiti te koncepte pri reševanju preprostih sistemov neenačb z eno spremenljivko.
2) Razvojni: spodbujati razvoj elementov ustvarjalne, samostojne dejavnosti študentov; razvijati govor, sposobnost razmišljanja, analiziranja, posploševanja, izražanja svojih misli jasno in jedrnato.
3) Izobraževalni: negovanje spoštljivega odnosa drug do drugega in odgovornega odnosa do vzgojno-izobraževalnega dela.
Naloge:
ponovijo teorijo na temo številske neenakosti in številski intervali;
navedi primer problema, ki ga je mogoče rešiti s sistemom neenačb;
obravnavajo primere reševanja sistemov neenačb;
opravljati samostojno delo.
Oblike organiziranja izobraževalnih dejavnosti:- frontalni – kolektivni – individualni.
Metode: razlagalno – ilustrativno.
Učni načrt:
1. Organizacijski moment, motivacija, zastavljanje ciljev
2. Posodabljanje študija teme
3. Učenje nove snovi
4. Primarno utrjevanje in nanos novega materiala
5. Samostojno delo
7. Povzetek lekcije. Odsev.
Med poukom:
1. Organizacijski trenutek
Neenakost je lahko dobra pomoč. Samo vedeti morate, kdaj se obrniti nanj po pomoč. Formulacija problemov v številnih aplikacijah matematike je pogosto oblikovana v jeziku neenakosti. Številni ekonomski problemi se na primer spustijo na preučevanje sistemov linearnih neenakosti. Zato je pomembno, da znamo reševati sisteme neenačb. Kaj pomeni "rešiti sistem neenačb"? To si bomo ogledali danes v razredu.
2. Posodabljanje znanja.
Ustno delo z razredom, trije učenci delajo s posameznimi karticami.
Za pregled teorije teme “Neenakosti in njihove lastnosti” bomo izvedli testiranje, ki mu bo sledilo preverjanje in pogovor o teoriji te teme. Vsaka testna naloga zahteva odgovor "Da" - slika, "Ne" - slika ____
Rezultat testa bi morala biti nekakšna številka.
(odgovor:).
Vzpostavite ujemanje med neenakostjo in numeričnim intervalom
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"Matematika te nauči premagovati težave in popraviti lastne napake." Poišči napako pri reševanju enačbe, razloži, zakaj je do napake prišlo, pravilno rešitev zapiši v zvezek.
2x<8-6
x>-1
3. Študij novega gradiva.
Kaj menite, kaj se imenuje rešitev sistema neenakosti?
(Rešitev sistema neenačb z eno spremenljivko je vrednost spremenljivke, za katero je vsaka od neenačb sistema resnična)
Kaj pomeni "Rešiti sistem neenačb"?
(Rešiti sistem neenačb pomeni najti vse njegove rešitve ali dokazati, da rešitev ne obstaja)
Kaj je treba storiti za odgovor na vprašanje »je dano število
rešitev sistema neenačb?
(To število nadomestite v obe neenačbi sistema, če sta neenačbi pravilni, je dano število rešitev sistema neenačb, če sta neenačbi napačni, potem dano število ni rešitev sistema neenačb)
Oblikujte algoritem za reševanje sistemov neenačb
1. Reši vsako neenačbo sistema.
2. Rešitve vsake neenačbe grafično prikaži na koordinatni premici.
3. Poišči presečišče rešitev neenačb na koordinatni premici.
4. Odgovor zapišite kot številski interval.
Razmislite o primerih:
odgovor: 
Odgovor: ni rešitev
4. Zavarovanje teme.
Delo z učbenikom št. 1016, št. 1018, št. 1022
5. Samostojno delo po možnostih (kartice z nalogami za učence na mizah)
Samostojno delo
Možnost 1
Rešite sistem neenačb:
