Funkcie komplexnej premennej.
Diferenciácie funkcií komplexnej premennej.

Tento článok otvára sériu lekcií, v ktorých budem zvážiť typické úlohy spojené s teóriou funkcií komplexnej premennej. Pre úspešný vývoj príkladov musíte mať základné vedomosti o komplexných číslach. Aby ste zabezpečili a opakovali, stačí na stránke. Tiež je potrebné nájsť zručnosti súkromné \u200b\u200bderiváty druhej objednávky. Tu sú to, čo sú tieto súkromné \u200b\u200bderiváty ... Aj on sám je trochu prekvapený, ako často je ...

Téma, ktorú začneme demontovať, nepredstavujeme osobitné ťažkostia vo funkciách komplexnej premennej, v zásade je všetko pochopiteľné a prístupné. Hlavnou vecou je dodržiavať hlavné pravidlo, ktoré je odvodené skúseným spôsobom. Pokračuj v čítaní!

Koncept komplexnej premennej funkcie

Po prvé, obnovte vedomosti o školskej funkcii jednej premennej:

Funkcia jednej premennej - Toto je pravidlo, pre ktoré každá hodnota nezávislej premennej (z oblasti definície) zodpovedá jednej a iba jednej hodnote funkcie. Prirodzene, "x" a "igrek" - platné čísla.

V komplexnom prípade je funkčná závislosť uvedená rovnakým spôsobom:

Jednoznačná funkcia komplexnej premennej - Toto je pravidlo, pre ktoré každý obsiahly Hodnota nezávislej premennej (z oblasti definície) zodpovedá jednému a jednému obsiahlyhodnotu funkcie. Teória sa tiež zaoberá viacvalovými a niektorými inými typmi funkcií, ale pre jednoduchosť sa zastavím na jednej definícii.

Aký je rozdiel medzi komplexnou premennou?

Hlavný rozdiel: Čísla sú zložité. Nie som žehlenie. Z takýchto problémov často padnú do hlúposti, na konci článku budem rozprávať príbeh o chladnom príbehu. Na lekcii Komplexné čísla pre žnávky Vo formulári sme považovali komplexné číslo. Odteraz sa stal písmeno "ZET" premenlivý, potom budeme označovaní nasledovne:, "x" a "igrek" môže mať rôzne platný hodnoty. Hrubo povedané, funkcia komplexnej premennej závisí od premenných a že "bežné" hodnoty. Z tejto skutočnosti Logicky tokuje nasledujúcu položku:

Funkcia komplexnej premennej môže byť napísaná ako:
kde a - dve funkcie dvoch platný Premenné.

Funkcia sa nazýva skutočná časť Funkcie.
Funkcia sa nazýva imaginárna časť Funkcie.

To znamená, že funkcia komplexnej premennej závisí od dvoch platných funkcií a. Nakoniec objasniť všetko zvážiť praktické príklady:

Príklad 1.

Rozhodnutie:Nezávislá premenná "ZET", ako si pamätáte, je napísaný vo formulári, takže:

(1) V pôvodnom nastavení funkcie.

(2) Pre prvý termín bol použitý vzorec skrátenej násobenia. V termíne - otvorené zátvorky.

(3) úhľadne vybudované štvorec, nebudú na to zabudnúť

(4) preskupenia pojmov: Najprv prepíšte termíny v ktorom nie je imaginárna jednotka (prvá skupina), potom komponenty, kde je (druhá skupina). Treba poznamenať, že nie je potrebné zamietnuť komponenty a táto etapa môže byť preskočená (v skutočnosti, vykonávať to orálne).

(5) Druhá skupina vydržíme za zátvorkami.

V dôsledku toho bola naša funkcia prezentovaná vo forme

Odpoveď:
- skutočná časť funkcie.
- imaginárna časť funkcie.

Čo sa stalo pre funkcie? Najbežnejšie funkcie dvoch premenných, z ktorých môžete nájsť takéto populárne súkromné \u200b\u200bderiváty. Bez milosrdenstva nájdeme. Ale o niečo neskôr.

Stručne, algoritm prorokenej úlohy môže byť napísaný takto: V pôvodnej funkcii sme nahrádzame, vykonáme zjednodušenie a rozdeľujeme všetky podmienky do dvoch skupín - bez imaginárnej jednotky (skutočná časť) as imaginárnou jednotkou (imaginárna časť) ).

Príklad 2.

Nájdite platnú a imaginárnu časť funkcie

Toto je príklad sebadôvera. Pred tým, ako s dámami, ponáhľajte sa na bitku na komplexnej rovine, vám umožní poskytnúť najdôležitejšie rady na tému:

BUĎ OPATRNÝ!Pozorné musia byť, samozrejme, všade, ale v komplexných číslach by mali byť pozorné, viac ako kedykoľvek predtým! Pamätajte si, že opatrne otvorte konzoly, nestrácajte nič. Podľa mojich pozorovaní je najčastejšou chybou strata označenia. Neponáhľaj sa!

Kompletné riešenie A odpoveď na konci hodiny.

Teraz Cube. Použitie vzorec skrátenej násobenia, stiahnite:
.

Vzorce sú veľmi vhodné na použitie v praxi, pretože výrazne urýchľujú rozhodovací proces.

Diferenciácie funkcií komplexnej premennej.

Mám dve novinky: dobré a zlé. Začnem s dobrým. Pre funkciu komplexnej premennej, pravidiel diferenciácie a tabuľky derivátových elementárnych funkcií. Derivát sa teda berie presne tak, ako v prípade funkcie skutočnej premennej.

Zlými novinami je, že pre mnohé funkcie komplexnej premennej, derivát neexistuje vôbec a je potrebné zistiť diferenciálny Alebo táto funkcia. A "Zistite", ako sa vaše srdce deplety, je spojené s ďalšími problémami.

Zvážte funkciu komplexnej premennej. Za účelom táto funkcia Bolo to iné a dosť:

1) Existujú súkromné \u200b\u200bderiváty prvej objednávky. Okamžite zabúdame na tieto označenia, pretože v teórii funkcie komplexnej premennej je tradične používaná ďalšia možnosť: .

2) Takže takzvaný cauchy Riemann:

Len v tomto prípade bude derivát!

Príklad 3.

Rozhodnutiezložené do troch po sebe idúcich stupňov:

1) Nájdite platnú a imaginárnu časť funkcie. Táto úloha bola demontovaná v predchádzajúcich príkladoch, takže píšem bez komentára:

Odvtedy:

Touto cestou:

- imaginárna časť funkcie.

Zastavím sa v jednom technickom momente: v akom poradí Zaznamenajte komponenty v reálnych a imaginárnych častiach? Áno, v zásade, bez rozdielu. Napríklad skutočná časť môže byť napísaná takto: a imaginárne - takto:.

2) Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy Riemann. Existujú dva z nich.

Začnime kontrolovať stav. Nájsť súkromné \u200b\u200bderiváty:

Podmienka je teda splnená.

Nepochybne, príjemné spravodajstvo - súkromné \u200b\u200bderiváty sú takmer vždy veľmi jednoduché.

Skontrolujte vykonanie druhej podmienky:

Ukázalo sa, že to isté, ale s opačnými značkami, to znamená, že stav je tiež splnená.

Uskutočňujú sa podmienky Cauchy Riemann, preto je funkcia diferencovateľná.

3) Nájdite funkciu derivátu. Derivát je tiež veľmi jednoduchý a nachádza sa na obvyklých pravidlách:

Imaginárna jednotka počas diferenciácie sa považuje za konštantnú.

Odpoveď: - skutočná časť - imaginárna časť.
Sú splnené podmienky Cauchy-Riemann.

Existujú dva ďalšie spôsoby, ako nájsť derivát, samozrejme, sa aplikujú menej často, ale informácie budú užitočné na pochopenie druhej lekcie - Ako nájsť funkciu komplexnej premennej?

Derivát možno nájsť podľa vzorca:

V tento prípad:

Touto cestou

Je potrebné vyriešiť opačnú úlohu - v dôsledku toho, že je potrebné vytiahnuť. Aby ste to mohli urobiť, je potrebné v komponentoch a vyberte držiak:

Opakovaná akcia, toľko si všimla, je trochu ťažšie vykonávať, je vždy lepšie, aby sa vyjadril na kontrolu a na návrhu alebo verbálne odhaliť späť zátvorky, uistite sa, že sa presne objaví

Zrkadlový vzorec pre nájdenie derivátu:

V tomto prípade: , Takže:

Príklad 4.

Určite skutočné a imaginárne časti funkcie . Skontrolujte vykonanie podmienok Cauchy-Riemann. V prípade podmienok Cauchy-Riemann nájdite derivátovú funkciu.

Rýchle rozhodnutie I. približná vzorka Čistý dizajn na konci hodiny.

Sú Cauchy-Riemann vždy spokojní? Teoreticky nie sú často vykonávané, než sa vykonávajú. Ale v praktických príkladoch, nepamätám si ten prípad tak, aby sa neuskutočnili \u003d) takým spôsobom, ak ste "neporovnávali" súkromné \u200b\u200bderiváty, potom s veľmi vysokou pravdepodobnosťou môžeme povedať, že ste urobili chybu niekde.

Dokončite naše funkcie:

Príklad 5.

Určite skutočné a imaginárne časti funkcie . Skontrolujte vykonanie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítať

Rozhodnutie: Riešenia algoritmu sú plne udržiavané, ale na konci bude nový font pridať: nájsť derivát v bode. Pre Kubu už bol požadovaný vzorec odstránený:

Definujeme skutočné a imaginárne časti tejto funkcie:

Pozornosť a opäť pozornosť!

Odvtedy:

Touto cestou:
- skutočná časť funkcie;
- imaginárna časť funkcie.

Kontrola druhého stavu:

Ukázalo sa, že to isté, ale s opačnými značkami, to znamená, že stav je tiež splnená.

Podmienky Cauchy-Riemann sa vykonávajú, preto je funkcia diferencovaná:

Vypočítajte hodnotu derivátu v požadovanom bode:

Odpoveď: Uskutočňujú sa podmienky Cauchy-Riemann,

Funkcie s kockami sa často nachádzajú, takže príklad pre upevnenie:

Príklad 6.

Určite skutočné a imaginárne časti funkcie . Skontrolujte vykonanie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítať.

Rozhodnutie a vzorka dokončovacieho dizajnu na konci hodiny.

V teórii komplexnej analýzy sú identifikované iné funkcie komplexného argumentu: vystavovateľov, sínus, kosínum atď. Tieto funkcie majú neobvyklé a dokonca bizarné vlastnosti - a je to naozaj zaujímavé! Naozaj chcem povedať, ale tu sa ukázalo, nie adresár alebo tutoriál, a reshebnik, takže budem zvážiť tú istú úlohu s niektorými bežnými funkciami.

Najprv o tzv euler vzorce:

Pre hocikoho platný Čísla Fair vzorce:

Môžete tiež prepísať v notebooku ako referenčný materiál.

Prísne povedané, vzorec je len jeden, ale zvyčajne je napísaný pre pohodlie a špeciálny prípad s mínus v indikátore. Parameter nie je povinný byť osamelý zobák, ako komplexný výraz, funkcia, je dôležité len vziať platný hodnoty. V skutočnosti to uvidíme práve teraz:

Príklad 7.

Nájdite derivát.

Rozhodnutie: Všeobecný riadok dávky zostáva neotrateľný - je potrebné zdôrazniť skutočné a imaginárne časti funkcie. Dám podrobné rozhodnutie, a potom sa spojím každý krok:

Pretože, potom:

(1) namiesto "ZET".

(2) Po substitúcii musíte zdôrazniť skutočnú a imaginárnu časť najprv v indikátore Vystavovateľov. Pre toto odhaliť konzoly.

(3) Skupinu zoskupujeme imaginárnu časť indikátora, pričom imaginárna jednotka pre konzoly.

(4) Používame školskú činnosť s titulom.

(5) Pre multiplikátor používame EULER vzorec, zatiaľ čo.

(6) V dôsledku toho odhaliť konzoly:

- skutočná časť funkcie;
- imaginárna časť funkcie.

Ďalšie opatrenia sú štandardné, skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann:

Príklad 9.

Určite skutočné a imaginárne časti funkcie . Skontrolujte vykonanie podmienok Cauchy-Riemann. Derivát, tak, aby ste sa nestali.

Rozhodnutie: Algoritmus riešení je veľmi podobný predchádzajúcim dvom príkladom, ale je tu veľmi dôležité momentytak prvé štádium Znova sa opätovne vypracujem krok za krokom:

Pretože, potom:

1) Namiesto "ZY" nahrádzame.

(2) Po prvé, prideľujeme skutočnú a imaginárnu časť vnútri Sinus. Na tieto účely odhaľujeme zátvorky.

(3) Používame vzorec, zatiaľ čo .

(4) Použitie ready Hyperbolic Cosine: I. neplodnosť hyperbolického sínusu:. Hyperboliki, hoci nie z tohto sveta, ale do značnej miery sa podobajú podobným trigonometrickým funkciám.

Nakoniec:
- skutočná časť funkcie;
- imaginárna časť funkcie.

Pozor! Značka "mínus" sa vzťahuje na imaginárnu časť av žiadnom prípade nestratíte! Pre vizuálnu ilustráciu môže byť výsledok získaný vyššie prepísaný:

Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann:

Uskutočňujú sa podmienky Cauchy-Riemann.

Odpoveď: CAUCHY-RIEMANNY sú splnené.

S Cosine, dámymi a pántmi, rozumieme sami:

Príklad 10.

Určiť skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte vykonanie podmienok Cauchy-Riemann.

Konkrétne som zdvihol príklady zložitejšie, pretože všetko sa zdá byť s niečím s arašidmi. Zároveň si vezmeme pozornosť! Orekhokol na konci hodiny.

Na záver budem zvážiť ďalší zaujímavý príklad, keď je komplexný argument v denominátore. Stretli sa niekoľkokrát v praxi, čím sa čudujeme niečo jednoduché. EH, staršie ...

Príklad 11.

Určiť skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte vykonanie podmienok Cauchy-Riemann.

Rozhodnutie: Je potrebné zdôrazniť skutočnú a imaginárnu časť funkcie.
Ak potom

Vzniká otázka, čo robiť, keď "ZET" je v denominátore?

Všetko je pekné - pomôže štandardu príjem množenia čitateľa a menovateľa pre expresiu konjugátu, Už sa používa v príkladoch hodiny Komplexné čísla pre žnávky. Pamätáme si na školský vzorec. V denominátori už máme, to znamená, že bude expresia konjugátu. Musíte teda znásobiť nuterátor a menovateľ na:

Federálna agentúra pre vzdelávanie

___________________________________

St. Petersburg State

Elektrotechnická univerzita "Leti"

_______________________________________

Teória funkcií komplexnej premennej

Metodické pokyny

praktické školenie

podľa najvyššej matematiky

St. Petersburg

Vydavateľstvo SPBGETU "LETI"

UDC 512,64 (07)

TFKP: Metodické pokyny na riešenie problémov / Náklady: V.G.dyumhum, A.M.Kotochikov, N.N.sosnovssky.PB.: Vydavateľstvo SPBGETI "LETI", 2010. 32c.

Schválený

redakčná vydavateľská rada univerzity

ako usmernenie

Funkcie komplexnej premennej ,, Všeobecne sa líšia od mapovania skutočného lietadla
v zázname Semicode. Dôležitým a extrémne užitočným cieľom je trieda funkcie komplexnej premennej,

s derivátom rovnakej ako funkcie jednej premennej. Je známe, že funkcie niekoľkých premenných môžu mať súkromné \u200b\u200bderiváty a deriváty v smere, ale spravidla deriváty sa nezhodujú v rôznych smeroch a nie je možné hovoriť o derivácii v bode. Avšak, pre funkcie komplexnej premennej je možné opísať podmienky, za ktorých priznajú diferenciáciu. Štúdium vlastností diferencovateľných funkcií komplexnej premennej je obsah metodických pokynov. Indikácie sú zamerané na ukážku, ako môžu byť vlastnosti takýchto funkcií použiť na riešenie rôznych úloh. Úspešný rozvoj, načrtnuté materiály je nemožné bez základných výpočtových zručností s komplexnými číslami a známymi s najjednoduchšími geometrickými objektmi určenými z hľadiska nerovností, ktoré sa viažu na skutočnú a imaginárnu časť integrovaného čísla, ako aj jeho modulu a argumentu. Zhrnutie všetkých potrebných informácií o tom možno nájsť v usmerneniach.

Štandardné prístroje matematickej analýzy: Limity, deriváty, integrály, riadky sú široko používané v texte usmernení. Tam, kde tieto koncepty majú svoje vlastné špecifiká, v porovnaní s funkciami jednej premennej sú uvedené zodpovedajúce vysvetlenia, ale vo väčšine prípadov stačí oddeliť reálnu a imaginárnu časť a aplikovať na ne štandardné prístroje.

1. Základné komplexné premenlivé funkcie

Diskusia o podmienkach rozdielnosti funkcií komplexnej premennej, prirodzene začínajú zistením, ktoré základné funkcie majú túto vlastnosť. Z zrejmého vzťahu

Nasleduje diferenciácia akéhokoľvek polynómu. A odvtedy môže byť riadok výkonu diferencovaný obnoviteľný v kruhu jeho konvergencie,

akákoľvek funkcia je v bodoch diferencovateľná v blízkosti, ktorej môže byť rozložená do série Taylor. To je dostatočný stav, ale ako skoro je potrebné ukázať, je to tiež potrebné. Štúdia funkcií jednej premennej pre derivát je vhodná na udržanie, kontrolu správania funkčnej grafiky. Pre funkcie komplexnej premennej nie je žiadna taká možnosť. Body harmonogramu sú v priestore rozmeru 4 ,.

Avšak, niektoré grafické znázornenie funkcie je možné získať, s ohľadom na obrazy dostatočne jednoduchých sadov komplexnej roviny
vzniknuté pod vplyvom danej funkcie. Z tohto hľadiska sa napríklad zvážte niektoré jednoduché funkcie.

Lineárna funkcia

Táto jednoduchá funkcia je veľmi dôležitá, Tech ako akákoľvek diferencovacia funkcia lokálne podobná lineárnemu. Zvážte činnosť funkcie s maximálnym detailom.

tu
- Integrovaný číselný modul a - Jeho argument. Tak, lineárne funkcie cvičenie strečing, otáčanie a posunu. V dôsledku toho lineárny displej prekladá akúkoľvek súpravu na podobnú sadu. Najmä pod vplyvom lineárneho displeja sa priamky pohybujú do priameho a obvodu v kruhu.

Funkcia

Touto funkciou je nasledujúca zložitosť lineárneho. Je ťažké očakávať, že to bude prekladať akékoľvek priame v priamom a kruhu do kruhu, jednoduché príklady ukazujú, že to nevyskytuje, že sa však môže ukázať, že táto funkcia prekladá sadu všetkých priamych a kruhov sám o sebe. Aby ste sa uistili, že je vhodné prejsť na reálny (súradnicový) popis zobrazenia

Ak chcete dokázať, potrebujete popis reverzného displeja.

Zvážte rovnicu, ak
, potom sa ukáže všeobecná rovnica rovno. Ak
T.

V dôsledku toho
získa sa rovnica ľubovoľného kruhu.

Všimnite si, že ak
a
, obvod prechádza cez pôvod súradníc. Ak
a
, Ukáže sa priame, prechádzajúca pôvodom súradníc.

Podľa pôsobenia inverzie bude posudzovaná rovnica prepísať vo forme

, (
)

alebo. Je možné vidieť, že je to aj rovnica, ktorá opisuje buď kruh alebo rovno. Čo v koeficientoch rovníc a
zmenili sme sa na miestach, to znamená, že s inverziou, rovno, prechod cez 0, choďte do kruhu a kruhy prechádzajúce cez 0 sa presunú do priamej.

Power Functions

Hlavným rozdielom medzi týmito funkciami z predtým diskutovaného je, že nie sú vzájomne jednoznačné (
). Možno povedať, že funkcia
prenáša komplexnú rovinu do dvoch kópií tej istej roviny. Úžasné zváženie tejto témy vyžaduje použitie ťažkopádnych prístrojov Riemannových povrchov a presahuje rozsah posudzovaných otázok. Je dôležité pochopiť, že komplexná rovina môže byť rozdelená do sektorov, z ktorých každý je určite jednoznačne zobrazený v komplexnej rovine. Toto je oddiel pre funkciu.
vyzerá to napríklad, horná polovica-rovina je určite jednoznačne zobrazená na komplexnej rovinnej funkcii
. Skreslenie geometrie pre takéto obrázky je zložitejšie ako v prípade inverzie. Ako cvičenie, môžete sledovať, aké sú obdĺžnikové súradnicové súradnice hornej polvnej roviny pri zobrazení

Je možné vidieť, že mriežka obdĺžnikových súradníc ide do rodiny Parabol, ktorá tvorí systém zakrivenia v rovine
. Separácia roviny opísanej vyššie je taká, že funkcia
zobrazí každý z nich sektorov pre celú rovinu. Popis priameho a spätného zobrazenia vyzerá

Funkcia
má rôzne informačné funkcie

špecifikované v rôznych sektoroch lietadla

V takýchto prípadoch sa hovorí, že mapovanie je multikomaticky.

Funkcia Zhukovovsky

Funkcia má svoje vlastné meno, pretože to bol základ teórie krídla lietadla vytvoreného Zhukovským (popis tohto dizajnu možno nájsť v knihe). Funkcia má rad zaujímavých vlastností, zameriavame sa na jeden z nich - zistite, čo nastaví táto funkcia, ktorá funguje vzájomne platné. Zvážiť rovnosť

Z!
.

V dôsledku toho sa funkcia Zhukovského v ktorejkoľvek oblasti navzájom merajú v akejkoľvek oblasti, v ktorej pre všetky a ich práca nie je rovná jednej. Ide napríklad o otvorený kruh
a pridanie uzavretého jediného kruhu
.

Zvážte činnosť funkcie Zhukovovského na kruhu, potom

Oddelenie skutočných a imaginárnych častí získavame parametrickú rovnicu elipsy

,
.

Ak
, tieto elipsy vyplnia celú rovinu. Podobne sa kontroluje, že hyperboly sú narezané obrázkami.

Exponenciálna funkcia

Funkcia umožňuje rozklad v rade Power, absolútne zbiehať v celej komplexnej rovine, preto je všade diferencovateľné. Popisujeme súbory, na ktorých je funkcia vzájomne platná. Zjavná rovnosť
označuje, že rovina môže byť rozdelená do rodiny pásov, z ktorých každá funkcia navzájom zobrazuje do celej zložitej roviny. Tento oddiel je nevyhnutný na pochopenie toho, ako je opačná funkcia usporiadaná, presnejšie reverzné funkcie. Každá z pásov prirodzene definovala reverzný displej

Inverzná funkcia av tomto prípade sú multice, pričom počet reverzných funkcií nekonečne.

Popis geometrického zobrazenia je celkom jednoduchý: rovný
prenos do lúčov
Segmenty

prejdite do kruhu
.

kde
- skutočné čísla a - špeciálny symbol imaginárna jednotka . Pre imaginárnu jednotku podľa definície to je veril
.

(4.1) – algebraická forma integrované číslo a
zavolaný skutočná časť integrované číslo a
-imaginárna časť .

Číslo
zavolaný komplexne konjugujte na číslo
.

Uveďte dva komplexné čísla
,
.

1. Suma
komplexné čísla a vyzývame komplexné číslo

2. Rozdiel
komplexné čísla a vyzývame komplexné číslo

3. Práca
komplexné čísla a vyzývame komplexné číslo

4. Súkromné z rozdielu integrovaného čísla na komplexnom čísle
vyzývame komplexné číslo

Poznámka 4.1. To znamená, že operácie na komplexných číslach sú zavedené obvyklými pravidlami aritmetických operácií výrazy v algebre.

Príklad 4.1.Existujú integrované čísla. Nájsť

Rozhodnutie.1) .

4) Numerátor a menovateľ pre komplexne konjugované číslo denominátora, dostaneme

Trigonometrický tvar integrované číslo:

kde
- Integrovaný číselný modul
- argument komplexného čísla. Uhol nejednoznačne, s presnosťou termínu
:

,
.

- hlavná hodnota argumentu určeného podmienkam

, (alebo
).

Orientačný formulár integrované číslo:

Root
titul má rôzne hodnoty, ktoré sú na vzorci

kde
.

Dots zodpovedajúce hodnoty
sú vrcholy pravého
námestie v kruhu okruhu
s centrom na začiatku súradníc.

Príklad 4.2.Nájdite všetky hodnoty root
.

Rozhodnutie.Predstavte si komplexné číslo
v trigonometrickom formulári:

Z!
.

Potom
. Preto podľa vzorca (4.2)
má štyri významy:

,
.

Veril
Nájsť

,
,

, .

Tu sme konvertovali hodnoty argumentu k jeho hlavnej hodnote.

Sady na komplexnej rovine

Komplexné číslo
zobrazené v rovine
bod
so súradnicami
. Modul
a argument
zodpovedá koordinácii polárneho bodu
.

Je užitočné zapamätať si túto nerovnosť
určuje kruh so stredom v bode polomer . Nerovnosť
určuje polohu umiestnené vpravo
a nerovnosť
- Polovina umiestnená nad rovinou
. Okrem toho systém nerovnosti
určuje uhol medzi lúčmi
a
Vychádzajúc zo začiatku súradníc.

Príklad 4.3.Nakreslite oblasť špecifikované nerovnosti:
.

Rozhodnutie.Prvá nerovnosť zodpovedá kruhu so stredom v bode
a dva polomer 1 a 2, obvod v oblasti nie je zahrnutý (obr. 4.1).

Druhá nerovnosť zodpovedá uhlu medzi lúčom.
(Bisector 4 súradnicový uhol) a
(Smer pozitívnej osi
). Samotné lúče nie sú zahrnuté v regióne (Obr. 4.2).

Požadovaná oblasť je priesečník dvoch získaných oblastí (obr. 4.3)

4.2. Komplexné variabilné funkcie

Nechať jednoznačnú funkciu
definované a kontinuálne v oblasti
, ale - častia hladké zatvorené alebo odomknuté orientované krivky ležiace
. Nechajte, ako obvykle,
,, kde
,
- Platné funkcie premenlivosti a .

Výpočet integrálu z funkcie
komplexná premenná prichádza k výpočtu bežných zakrivených integrálov, a to

Ak je funkcia
analytické v jednej oblasti
ukazujúci a , potom je tu receptúra \u200b\u200bNewton-Leibniz:

kde
- Akýkoľvek druh pre funkciu
, t.j
v oblasti
.

V integráloch z funkcií komplexnej premennej, môže byť nahradená premenná a integrácia v častí je podobná, ako sa to robí pri výpočte integrálov z funkcií platnej premennej.

Upozorňujeme tiež, že ak je integračná cesta súčasťou rovno z bodu alebo časť kruhu so stredom v bode , je užitočné nahradiť typ premennej
. V prvom prípade
, ale - platná premenná integrácie; V druhom prípade
, ale - Platná integračná premenná.

Príklad 4.4.Vypočítať
parabolom
z bodu
k veci
(Obrázok 4.4).

Rozhodnutie.Prepíšte funkciu integrandu vo formulári

Potom
,
. Použiť vzorec (4.3):

Ako
T.
,
. teda

Príklad 4.5.Vypočítať integrál
kde - Oblúková plocha
,
(Obr. 4.5).

Rozhodnutie.Dať
, potom
,
,
. Dostaneme:

Funkcia
, jednoznačný a analytický v kruhu
, rozkladá sa v tomto krúžku riadok laurent.

Vo vzorcom (4.5) Séria
zavolaný hlavná časť Rad Laurent a riadok
zavolaný pravá časť Rad Laurent.

Definícia 4.1. Bod zavolanýizolovaný špeciálny bod Funkcie
Ak existuje susedstvo tohto bodu, v ktorom funkcia
analytické všade, okrem samotného miesta .

Funkcia
V okolí Môžete sa rozložiť v rade Laurent. Zároveň sú možné, že tri rôzne prípady sú možné, keď laurentová séria:

1) Neobsahuje členov s negatívnymi stupňami rozdielu
, t.j

(Počet laurenta neobsahuje hlavnú časť). V tomto prípade zavolaný jednoduchý bod na jedno použitie Funkcie
;

2) Obsahuje konečný počet členov s negatívnymi stupňami rozdielu
, t.j

navyše
. V tomto prípade bod zavolaný policilový poriadok Funkcie
;

3) Obsahuje nekonečné číslo členov s negatívnymi stupňami:

V tomto prípade bod zavolaný výrazne osobitný bod Funkcie
.

Pri určovaní charakteru izolovaného špeciálneho bodu nie je potrebné hľadať rozklad v rade laurentov. Môžete použiť rôzne vlastnosti izolovaných singulárnych bodov.

1) je funkcia jednotnej funkcie
Ak existuje konečný limit funkcie
v mieste :

2) je to funkcia pólu
, Ak

3) je v podstate špeciálna funkcia funkcie
ak
funkcia nemá limit, ani konečné, ani nekonečné.

Definícia 4.2. Bod zavolanýnula.
objednať (alebo multiplicity ) Funkcie
Ak sú splnené podmienky:

…,

.

Poznámka 4.2. Bod potom a potom je nula
objednať Funkcie
Keď sa rovnosť prebieha v určitom okolí tohto bodu

tam
analytický v mieste a

4) bod Je to poradie (
) Funkcie
Ak je tento bod nulový príkaz pre funkciu
.

5) - izolovaná špeciálna funkcia
kde
- Analytické funkcie v mieste . A nechať bod Je to nulová objednávka funkcie
a nulovú objednávku funkcie
.

Pre
bod Je to poradie
funkcie
.

Pre
bod je funkcia jednotnej funkcie
.

Príklad 4.6.Nájsť izolované bodky a definovať ich typ pre funkciu
.

Rozhodnutie.Funkcie
a
- analytické v celej komplexnej rovine. Takže, špeciálne vlastnosti funkcie
sú nuly denominátora, to znamená, že body, kde
. Existuje veľa takýchto bodov. Po prvé, je to bod
ako aj body, ktoré spĺňajú rovnicu
. Odtiaľ
a
.

Zvážte bod
. V tomto bode dostaneme:

,
,

,
.

Objednávka nula je rovná
.

,
,

,
.

Tak, bod
je pól druhej objednávky (
).

. Potom

,
.

Poradie nula čísla je rovnaký
.

,
,
.

Objednávka nulovej hodnoty denominátora je rovnaký
. Preto bod
pre
sú póly prvej objednávky ( jednoduché póly ).

Veta 4.1. (Cauchy teorem o zrážkach ). Ak je funkcia
je analytický na hranici región
a všade v regióne, s výnimkou konečného počtu singulárnych bodov
T.

Pri výpočte integrálov stojí za to starostlivo nájsť všetky špeciálne vlastnosti funkcie.
, potom nakreslite obrys a špeciálne body a potom vyberte iba tie body, ktoré prišli vo vnútri integračného obrysu. Robiť správnu voľbu bez obrázku je často ťažké.

Metóda výpočtu odpočítania
závisí od typu špeciálneho bodu. Preto pred výpočtom odpočítania musíte určiť typ špeciálneho bodu.

1) Funkcia odpočítania v mieste rovná koeficientom pre mínus prvý stupeň v rozkladu Laranane
v okolí :

Toto vyhlásenie je spravodlivé pre všetky typy izolovaných bodov, a preto v tomto prípade nie je potrebné určiť typ osobitného bodu.

2) Odpočet v odnímateľnom špeciálnom bode je nula.

3) ak - Jednoduchý pól (prvá objednávka pól) a funkcia
môže byť reprezentovaný ako
kde
,
(Všimnite si, že v tomto prípade
), potom odpočet v bode Švih

Najmä, ak
T.
.

4) ak - Jednoduchý pól, potom

5) ak - pól
funkcia objednávky
T.

Príklad 4.7.Vypočítať integrál
.

Rozhodnutie.Nájdeme špeciálne body integrandu
. Funkcia
má dve špeciálne body
a
Iba bod spadá do kontúra
(Obr. 4.6). Bod
- Druhá objednávka Pole, pretože
je nula multiplicita 2 pre funkciu
.