Racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Racionálna koreňová veta pre polynóm

Pri riešení rovníc a nerovníc je často potrebné faktorizovať polynóm, ktorého stupeň je tri a viac. V tomto článku sa pozrieme na najjednoduchší spôsob, ako to urobiť.

Ako obvykle, obráťme sa na pomoc v teórii.

Bezoutova veta tvrdí, že zvyšok delenia polynómu binómom je.

Ale pre nás nie je dôležitá samotná veta, ale dôsledok z toho:

Ak je číslo koreňom polynómu, potom je polynóm deliteľný bezo zvyšku binómom.

Našou úlohou je nejakým spôsobom nájsť aspoň jeden koreň polynómu a potom ho vydeliť číslom, kde je koreň polynómu. Výsledkom je polynóm, ktorého stupeň je o jeden menší ako stupeň originálu. A potom, ak je to potrebné, môžete proces zopakovať.

Táto úloha sa delí na dve časti: ako nájsť koreň polynómu a ako rozdeliť polynóm na dvojčlen.

Pozrime sa na tieto body podrobnejšie.

1. Ako nájsť koreň polynómu.

Najprv skontrolujeme, či čísla 1 a -1 sú koreňmi polynómu.

Tu nám pomôžu nasledujúce fakty:

Ak je súčet všetkých koeficientov polynómu nula, potom číslo je koreňom polynómu.

Napríklad v polynóme je súčet koeficientov nula:. Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.

Ak sa súčet koeficientov polynómu v párnych stupňoch rovná súčtu koeficientov v nepárnych stupňoch, potom číslo je koreňom polynómu. Voľný termín sa považuje za koeficient párneho stupňa, pretože a je párnym číslom.

Napríklad v polynóme súčet koeficientov v párnych stupňoch: a súčet koeficientov v nepárnych stupňoch:. Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.

Ak ani 1, ani -1 nie sú koreňmi polynómu, potom pokračujte.

Pre redukovaný polynóm stupňa (t. j. polynóm, v ktorom sa vedúci koeficient – ​​koeficient at – rovná jednej), platí vzorec Vieta:

Kde sú korene polynómu.

Existujú aj Vietove vzorce týkajúce sa zostávajúcich koeficientov polynómu, ale nás zaujíma tento.

Z tohto vzorca Vieta to vyplýva ak sú korene polynómu celé číslo, potom sú deliteľmi jeho priesečníka, ktorý je tiež celým číslom.

Na základe toho musíme vypočítať voľný člen polynómu a postupne, od najmenšieho po najväčší, skontrolovať, ktorý z faktorov je koreňom polynómu.

Zoberme si napríklad polynóm

Voľné členské deliče:; ; ;

Súčet všetkých koeficientov polynómu je teda číslo 1 nie je koreňom polynómu.

Súčet koeficientov pre párne mocniny:

Súčet koeficientov v nepárnych stupňoch:

Preto ani číslo -1 nie je koreňom polynómu.

Skontrolujme, či je číslo 2 koreňom polynómu: teda číslo 2 je koreňom polynómu. Podľa Bezoutovej vety je teda polynóm bezo zvyšku deliteľný binomom.

2. Ako rozdeliť mnohočlen na dvojčlen.

Polynóm možno rozdeliť na binóm podľa stĺpca.

Polynóm delíme na binomy podľa stĺpca:

Existuje aj iný spôsob rozdelenia polynómu na binomy – Hornerova schéma.

Pozrite si toto video, aby ste pochopili ako rozdeliť polynóm na binom podľa stĺpca a pomocou Hornerovej schémy.

Všimnite si, že ak pri delení stĺpcom nejaký stupeň neznámej v pôvodnom polynóme chýba, na jej miesto napíšeme 0 – rovnako ako pri zostavovaní tabuľky pre Hornerovu schému.

Ak teda potrebujeme rozdeliť polynóm na binóm a ako výsledok delenia dostaneme polynóm, potom môžeme pomocou Hornerovej schémy nájsť koeficienty polynómu:

Môžeme použiť aj Hornerova schéma aby ste skontrolovali, či je dané číslo koreň polynómu: ak je číslo koreňom polynómu, potom sa zvyšok po delení polynómu rovná nule, to znamená, že v poslednom stĺpci druhého riadku Hornerovej schémy dostaneme 0.

Pomocou Hornerovej schémy „zabijeme dve muchy jednou ranou“: súčasne skontrolujeme, či je číslo koreňom polynómu a tento polynóm vydelíme binómom.

Príklad. Vyriešte rovnicu:

1. Zapíšme si deliteľov voľného člena a budeme hľadať korene polynómu medzi deliteľmi voľného člena.

Deliteľ 24:

2. Skontrolujte, či číslo 1 je koreňom polynómu.

Súčet koeficientov polynómu, teda číslo 1 je koreňom polynómu.

3. Rozdeľte pôvodný polynóm na binómy pomocou Hornerovej schémy.

A) Koeficienty pôvodného polynómu zapíšme do prvého riadku tabuľky.

Keďže chýba člen obsahujúci, do stĺpca tabuľky, v ktorom má byť koeficient, napíšte 0. Vľavo napíšte nájdený koreň: číslo 1.

B) Vyplníme prvý riadok tabuľky.

V poslednom stĺpci sme podľa očakávania dostali nulu, pôvodný polynóm sme bezo zvyšku rozdelili na dvojčlen. Koeficienty polynómu vyplývajúce z delenia sú zobrazené modrou farbou v druhom riadku tabuľky:

Je ľahké skontrolovať, či čísla 1 a -1 nie sú koreňmi polynómu

C) Pokračujme v tabuľke. Pozrime sa, či číslo 2 je koreňom polynómu:

Takže stupeň polynómu, ktorý sa získa delením jednou, je menší ako stupeň pôvodného polynómu, preto je počet koeficientov a počet stĺpcov o jeden menší.

V poslednom stĺpci sme dostali -40 - číslo, ktoré sa nerovná nule, preto je polynóm deliteľný dvojkovou sústavou so zvyškom a číslo 2 nie je koreňom polynómu.

C) Skontrolujte, či číslo -2 je koreňom polynómu. Keďže predchádzajúci pokus bol neúspešný, aby nedošlo k zámene s koeficientmi, vymažem riadok zodpovedajúci tomuto pokusu:

Dobre! Vo zvyšku sme dostali nulu, preto bol polynóm rozdelený na binóm bez zvyšku, preto číslo -2 je koreňom polynómu. Koeficienty polynómu, ktorý získame delením polynómu binomom, sú v tabuľke znázornené zelenou farbou.

V dôsledku rozdelenia sme dostali štvorcový trojčlen , ktorého korene sa dajú ľahko nájsť podľa Vietovej vety:

Takže korene pôvodnej rovnice:

{}

odpoveď: ( }

Ak polynóm

Dôkaz

Nech sú všetky koeficienty polynómu celé čísla a celé číslo a nech je koreňom tohto polynómu. Keďže v tomto prípade z toho vyplýva, že koeficient je deliteľný a.

Komentujte... Táto veta vlastne umožňuje nájsť korene polynómov vyšších stupňov v prípade, že koeficienty týchto polynómov sú celé čísla a koreň je racionálne číslo. Veta môže byť preformulovaná takto: ak vieme, že koeficienty polynómu sú celé čísla a jeho korene sú racionálne, potom tieto racionálne korene môžu byť len v tvare, kde p je deliteľ čísla (voľný člen) a q je deliteľ čísla (vodiaci koeficient) ...

Celá koreňová veta, obsahujúce

Ak je celé číslo α koreňom polynómu s celočíselnými koeficientmi, potom α je deliteľom jeho voľného člena.

Dôkaz. Nechať byť:

P (x) = a 0 xⁿ + a 1 xⁿ -1 +… + a n-1 x + a n

polynóm s celočíselnými koeficientmi a celé číslo α - jeho koreň.

Potom podľa definície koreňa platí rovnosť P (α) = 0;

a 0 αⁿ + a 1 αⁿ -1 +… + a n-1 α + a n = 0.

Ak vezmeme spoločný faktor α mimo zátvorky, dostaneme rovnosť:

α (a 0 αⁿ -1 + a 1 αⁿ -2 +… + a n-1) + a n = 0 , kde

a n = -α (a 0 αⁿ -1 + a 1 αⁿ -2 +… + a n-1)

Keďže čísla a 0, a 1,… a n-1, an a α sú celé čísla, v zátvorke je celé číslo, a preto je a n deliteľné α, čo sme museli dokázať.

Dokázanú vetu možno formulovať aj takto: každý celý koreň polynómu s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jeho voľného člena.
Algoritmus na nájdenie celočíselných koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi je založený na vete: zapíšte všetkých deliteľov voľného termínu a zapíšte hodnoty polynómov týchto čísel jeden po druhom.

2 doplnková celočíselná koreňová veta

Ak je celé číslo α koreňom polynómu P (x) s celočíselnými koeficientmi, potom α-1 je deliteľ P (1), α + 1 je deliteľ P (-1)

Dôkaz. Z identity

xⁿ-yⁿ = (x-y) (xⁿ -1 + xⁿ -2 y +… + xyⁿ -2 + yⁿ -1)

z toho vyplýva, že pre celé čísla b a c je číslo bⁿ-cⁿ deliteľné b ∙ c. Ale pre každý polynóm P je rozdiel

P (b) -P (c) = (a 0 bⁿ + a 1 bⁿ -1 +… + a n-1 b + an) - (a 0 cⁿ + a 1 cⁿ -1 +... + a n-1 c + an) =

= a 0 (bⁿ- cⁿ) + a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1) +... + a n-1 (b-c)

a preto pre polynóm P s celočíselnými koeficientmi a celými číslami b a c je rozdiel P (b) -P (c) deliteľný b-c.

Potom: pre b = α, c = 1, P (α) -P (1) = -P (1), čo znamená, že P (1) je deliteľné α-1. Druhý prípad sa posudzuje podobne.

Hornerova schéma

Veta: Nech je koreňom rovnice neredukovateľný zlomok p / q a 0 x n + a 1 x n - 1 + + a n - 1 x + a n = 0 s celočíselnými koeficientmi, potom číslo q je deliteľ vedúceho koeficientu a0 a čísla R je deliteľom voľného termínu a n.

Poznámka 1... Akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej priesečníka.

Poznámka 2 Ak je vedúci koeficient rovnice s celočíselnými koeficientmi 1, potom všetky racionálne korene, ak existujú, sú celé čísla.

Polynomický koreň. Koreň polynómu f (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + + a n - 1 x + a n je x = c , také že f (c) = 0 .

Poznámka 3. Ak x = c polynómový koreň , potom možno polynóm zapísať ako: f (x) = (x − c) q (x) , kde toto je podiel delenia polynómu f (x) na monomile x - c

Delenie polynómu monomom možno vykonať podľa Hornerovej schémy:

Ak f (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + + a n - 1 x + a n , a 0 ≠ 0 , g (x) = x − c , potom pri delení f (X) na g (X) súkromné q (x) má formu q (x) = b 0 x n - 1 + b 1 x n - 2 + + b n − 2 x + b n − 1 , kde b 0 = a 0 ,

b k = c b k - 1 + a k, k = 1, 2,, n − 1. Zvyšok r sa zistí podľa vzorca r = c b n - 1 + a n

Riešenie: Koeficient na najvyššom stupni je rovný 1, preto treba hľadať integrálne korene rovnice medzi deliteľmi voľného člena: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Pomocou Hornerovej schémy nájdeme celočíselné korene rovnice:

Ak sa vyberie jeden koreň podľa Hornerovej schémy. potom sa mozes takto rozhodovat dalej x 3 −x 2 −8x + 12 = (x − 2) (x 2 + x − 6) = 0 (x − 2) 2 (x − 3) = 0 x = 2; x = 3

Otázka nájdenia racionálne korene polynóm f(X)Q[X] (s racionálnymi koeficientmi) sa redukuje na otázku hľadania racionálnych koreňov polynómov k ∙ f(X)Z[X] (s celočíselnými koeficientmi). Tu je číslo k je najmenší spoločný násobok menovateľov koeficientov daného polynómu.

Nevyhnutné, ale nie postačujúce podmienky pre existenciu racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi sú dané nasledujúcou vetou.

Veta 6.1 (o racionálnych koreňoch polynómu s celočíselnými koeficientmi). Ak – racionálny koreň polynómuf(X) = a n  X n + + …+ a 1  X + a 0 s celý koeficienty a(p, q) = 1, potom čitateľ zlomkupje deliteľom voľného termínu a 0 a menovateľqje deliteľ vedúceho koeficientu a 0 .

Veta 6.2.Ak Q ( kde (p, q) = 1) je racionálny koreň polynómu f(X) s celočíselnými koeficientmi teda
–celé čísla.

Príklad. Na všetkých racionálnych koreňových polynómoch

f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x + 1.

1. Podľa vety 6.1: ak – racionálny koreň polynómu f(X), ( kde( p, q) = 1), potom a 0 = 1 p, a n = 6 q... Preto p { 1}, q (1, 2, 3, 6), tak

.

2. Je známe, že (dôsledok 5.3) číslo a je koreňom polynómu f(X) vtedy a len vtedy f(X) deleno ( x - a).

Preto skontrolujte, či čísla 1 a –1 sú koreňmi polynómu f(X) môžete použiť Hornerovu schému:

f(1) = 60,f(–1) = 120, takže 1 a –1 nie sú korene polynómu f(X).

3. Vyradiť niektoré zo zostávajúcich čísel
, používame vetu 6.2. Ak výrazy alebo
preberá celočíselné hodnoty pre zodpovedajúce hodnoty čitateľa p a menovateľ q, potom do zodpovedajúcich buniek tabuľky (pozri nižšie) napíšeme písmeno "c", inak - "dr".

=
=

4. Pomocou Hornerovej schémy skontrolujeme, či zostávajúce čísla po odfiltrovaní budú
korene f(X). Najprv sa rozdeľme f(X) dňa ( NS – ).

V dôsledku toho máme: f(X) = (NS – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 NS - 2) a - koreň f(X). Súkromné q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 NS - 2 sa delí ( NS + ).

Pretože q (–) = 30, potom (-) nie je koreňom polynómu q(X), a teda polynóm f(X).

Nakoniec polynóm rozdelíme q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 NS - 2 na ( NS – ).

Mám: q () = 0, teda koreň q(X), a preto je koreň f (X). Teda polynóm f (X) má dva racionálne korene: a.

Oslobodenie od algebraickej iracionality v menovateli zlomku

V školskom kurze pri riešení niektorých typov úloh na zbavenie sa iracionality v menovateli zlomku stačí vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku číslom spojeným s menovateľom.

Príklady. 1.t =
.

Tu sa v menovateli spúšťa vzorec skráteného násobenia (rozdiel štvorcov), čo vám umožňuje zbaviť sa iracionality v menovateli.

2. Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku

t =
... Výraz - neúplná druhá mocnina rozdielu čísel a=
a b= 1. Pomocou skráteného vzorca na násobenie a 3 – b 3 = (+b) · ( a 2 – ab + b 2 ), môžete určiť faktor m = (+b) =
+ 1, ktorým sa má vynásobiť čitateľ a menovateľ zlomku t zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku t... teda

V situáciách, keď skrátené vzorce násobenia nefungujú, môžete použiť iné techniky. Nižšie sformulujeme vetu, ktorej dôkaz nám predovšetkým umožňuje nájsť algoritmus, ako sa zbaviť iracionality v menovateli zlomku v zložitejších situáciách.

Definícia 6.1.číslo z volal algebraické nad poľom F ak existuje polynóm f(X) F[X] ktorého koreň je z, inak číslo z volal transcendentálny nad poľomF.

Definícia 6.2.Algebraický stupeň nad poľom F čísla z je stupeň neredukovateľnosti nad poľom F polynóm p(X)F[X], ktorého koreň je číslo z.

Príklad. Ukážme, že číslo z =
je algebraické nad poľom Q a nájsť jeho stupeň.

Nájdite neredukovateľné nad poľom Q polynóm p(NS), ktorého koreň je X =
... Pozdvihnime obe strany rovnosti X =
do štvrtej mocniny, dostaneme NS 4 = 2 alebo NS 4 – 2 = 0. Takže, p(NS) = NS 4 – 2 a stupeň čísla z rovná sa stupeň p(NS) = 4.

Veta 6.3 (o oslobodení od algebraickej iracionality v menovateli zlomku).Nechať byťz- algebraické číslo nad poľomFstupňan... Vyjadrenie formyt = ,kde f(X), (X)F[X], (z) 0

môže byť jednoznačne reprezentovaný ako:

t = s n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Algoritmus na oslobodenie sa od iracionality v menovateli zlomku si ukážeme na konkrétnom príklade.

Príklad. Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku:

t =

1. Menovateľ zlomku je hodnota polynómu (NS) = NS 2 – NS+1 pri NS =
... Predchádzajúci príklad to ukazuje
- algebraické číslo nad poľom Q stupňa 4, keďže ide o koreň neredukovateľného nad Q polynóm p(NS) = NS 4 – 2.

2. Nájdite lineárny rozklad GCD ( (NS), p(X)) pomocou euklidovského algoritmu.

_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 + x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 + x

X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X - x + 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Takže, gcd ( (NS), p(X)) = r 2 = 7. Nájdite jeho lineárny rozklad.

Zapíšme si euklidovskú postupnosť pomocou zápisu polynómov.

p(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =p(X) – (X) · q 1 (X)

Ako sme už uviedli, jedným z najdôležitejších problémov v teórii polynómov je problém hľadania ich koreňov. Na vyriešenie tohto problému môžete použiť metódu výberu, t.j. vezmite náhodne číslo a skontrolujte, či je koreňom daného polynómu.

V tomto prípade môžete rýchlo "naraziť" do koreňa, alebo ho nikdy nenájdete. Koniec koncov, nie je možné skontrolovať všetky čísla, pretože ich je nekonečne veľa.

Iná vec by bola, keby sme dokázali zúžiť oblasť vyhľadávania, napríklad aby sme vedeli, že požadované korene sú povedzme medzi tridsiatimi uvedenými číslami. A na tridsať čísel môžete urobiť aj šek. V súvislosti so všetkým, čo bolo povedané vyššie, sa takéto tvrdenie javí ako dôležité a zaujímavé.

Ak je neredukovateľný zlomok l / m (l, m celé čísla) koreňom polynómu f (x) s celočíselnými koeficientmi, potom vedúci koeficient tohto polynómu je deliteľný m a voľný člen je deliteľný 1.

Skutočne, ak f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, an? 0, kde an, an-1, ..., a1, a0 sú celé čísla, potom f (l / m) = 0, tj an (l/m) n + an-1 (l/m) n-1 + ... + a1l/m + a0 = 0.

Obe strany tejto rovnosti vynásobíme mn. Dostaneme anln + an-1ln-1m + ... + a1lmn-1 + a0mn = 0.

To znamená:

anln = m (-an-1ln-1 -... - a1lmn-2-a0mn-1).

Vidíme, že celé číslo anln je deliteľné m. Ale l / m je neredukovateľný podiel, t.j. čísla l a m sú prvočíslo a potom, ako je známe z teórie deliteľnosti celých čísel, čísla ln a m sú tiež prvočíslo. Takže anln je deliteľné m a m sú rovnaké ako ln, takže an je deliteľné m.

Osvedčená téma nám umožňuje výrazne zúžiť oblasť vyhľadávania racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi. Ukážme si to na konkrétnom príklade. Nájdite racionálne korene polynómu f (x) = 6x4 + 13x2-24x2-8x + 8. Podľa vety patria racionálne korene tohto polynómu medzi ireducibilné zlomky tvaru l/m, kde l je deliteľ voľného člena a0 = 8 a m je deliteľ vedúceho koeficientu a4 = 6. v tomto prípade, ak je zlomok l / m záporný, potom znamienko "-" bude odkazovať na čitateľa. Napríklad - (1/3) = (-1) / 3. Môžeme teda povedať, že l je deliteľ čísla 8 a m je kladný deliteľ čísla 6.

Keďže delitelia čísla 8 sú ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 a kladní delitelia čísla 6 budú 1, 2, 3, 6, racionálne korene príslušného polynómu patria medzi čísla ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/3. pripomeňme, že sme zapísali iba nezredukovateľné zlomky.

Takto máme dvadsať čísel – „kandidátov“ na korene. Zostáva len skontrolovať každý z nich a vybrať tie, ktoré sú skutočne koreňmi. Ale opäť je potrebné vykonať pomerne veľa kontrol. Ale nasledujúca veta zjednodušuje túto prácu.

Ak je neredukovateľný zlomok l/m koreňom polynómu f (x) s celočíselnými koeficientmi, potom f (k) je deliteľné l-km pre akékoľvek celé číslo k za predpokladu, že l-km? 0.

Na dôkaz tejto vety vydelíme f (x) x-k so zvyškom. Dostaneme f (X) = (x-k) s (X) + f (k). Pretože f (x) je polynóm s celočíselnými koeficientmi, toto je polynóm s (x) a f (k) je celé číslo. Nech s (x) = bn-1 + bn-2 +… + b1x + b0. Potom f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +… + b1x + b0). Do tejto rovnosti vložíme x = l / m. Ak vezmeme do úvahy, že f (l / m) = 0, dostaneme

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1 + bn-2 (l/m) n-2 +… + b1 (l/m) + b0) ...

Obe strany poslednej rovnosti vynásobíme mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1 + bn-2ln-2m +… + b1lmn-2 + b0mn-1).

Z toho vyplýva, že celé číslo mnf (k) je deliteľné l-km. Ale keďže l a m sú koprimé, potom mn a l-km sú tiež koprimé, čo znamená, že f (k) je deliteľné l-km. Veta je dokázaná.

Vráťme sa teraz k nášmu príkladu a pomocou dokázanej vety ďalej zužme rozsah hľadania racionálnych koreňov. Naznačenú vetu aplikujeme pre k = 1 a k = -1, t.j. ak je neredukovateľný zlomok l / m koreňom polynómu f (x), potom f (1) / (l-m) a f (-1) / (l + m). Ľahko zistíme, že v našom prípade f (1) = -5 a f (-1) = -15. Všimnite si, že zároveň sme vylúčili ± 1 z úvahy.

Takže racionálne korene nášho polynómu treba hľadať medzi číslami ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/ 3.

Zvážte l / m = 1/2. Potom l-m = -1 a f (1) = -5 je deliteľné týmto číslom. Ďalej, l + m = 3 a f (1) = -15 je tiež deliteľné 3. Zlomok 1/2 teda zostáva medzi "kandidátmi" na korene.

Teraz nech lm = - (1/2) = (-1) / 2. V tomto prípade l-m = -3 a f (1) = -5 nie je deliteľné - 3. Zlomok - 1/2 teda nemôže byť koreňom tohto polynómu a z ďalšieho uvažovania ho vylučujeme. Skontrolujeme pre každý z vyššie napísaných zlomkov, dostaneme, že požadované korene sú medzi číslami 1/2, ± 2/3, 2, - 4.

Tak pekné jednoduchý trik výrazne sme zúžili hľadanie racionálnych koreňov uvažovaného polynómu. Aby sme skontrolovali zostávajúce čísla, použijeme Hornerovu schému:

Tabuľka 10

Zistili sme, že zvyšok pri delení g (x) x-2/3 je - 80/9, to znamená, že 2/3 nie je koreňom polynómu g (x), a teda f (x).

Ďalej ľahko zistíme, že - 2/3 je koreň polynómu g (x) a g (x) = (3x + 2) (x2 + 2x-4). Potom f (x) = (2x-1) (3x + 2) (x2 + 2x-4). Ďalšie overenie je možné vykonať pre polynóm x2 + 2x-4, čo je samozrejme jednoduchšie ako pre g (x) alebo ešte viac pre f (x). Výsledkom je, že čísla 2 a - 4 nie sú korene.

Takže polynóm f (x) = 6x4 + 13x3-24x2-8x + 8 má dva racionálne korene: 1/2 a - 2/3.

Pripomeňme, že vyššie opísaná metóda umožňuje nájsť iba racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Medzitým môže mať polynóm aj iracionálne korene. Takže napríklad polynóm uvažovaný v príklade má ďalšie dva korene: - 1 ± v5 (to sú korene polynómu x2 + 2x-4). A vo všeobecnosti polynóm nemusí mať racionálne korene.

Teraz si dáme niekoľko tipov.

Pri testovaní "kandidátov" na korene polynómu f (x) pomocou druhej vety dokázanej vyššie, druhá veta sa zvyčajne používa pre prípady k = ± 1. Inými slovami, ak l / m je koreňový kandidát, potom sa skontroluje, či f (1) a f (-1) sú deliteľné l-m a l + m. Ale môže sa stať, že napríklad f (1) = 0, teda 1 je koreň a potom je f (1) deliteľné ľubovoľným číslom a naša kontrola stráca zmysel. V tomto prípade vydeľte f (x) x-1, t.j. získajte f (x) = (x-1) s (x) a otestujte polynóm s (x). Netreba zabúdať, že jeden koreň polynómu f (x) - x1 = 1 sme už našli. Ak pri kontrole "kandidátov" na korene zostávajúce po použití druhej vety o racionálnych koreňoch podľa Hornerovej schémy dostaneme, že napríklad l / m je koreň, mali by sme nájsť jeho násobnosť. Ak sa rovná, povedzme, k, potom f (x) = (x-l / m) ks (x) a ďalšie overenie možno vykonať pre s (x), čo znižuje výpočet.

Tak sme sa naučili, ako nájsť racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Ukazuje sa, že tým sme sa naučili nájsť iracionálne korene polynómu s racionálnymi koeficientmi. V skutočnosti, ak máme napríklad polynóm f (x) = x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, potom, keď koeficienty zredukujeme na spoločného menovateľa a dáme ho mimo zátvorky, dostaneme f (x) = 1/24 (24x4 + 16x3-20x2 + 9x + 48). Je zrejmé, že korene polynómu f (x) sa zhodujú s koreňmi polynómu v zátvorkách a jeho koeficienty sú celé čísla. Dokážme napríklad, že sin100 je iracionálne číslo. Použime známy vzorec sin3? = 3sin? -4sin3?. Preto sin300 = 3sin100-4sin3100. Ak vezmeme do úvahy, že sin300 = 0,5 a vykonáme jednoduché transformácie, dostaneme 8sin3100-6sin100 + 1 = 0. Preto sin100 je koreňom polynómu f (x) = 8x3-6x + 1. Ak hľadáme racionálne korene tohto polynómu, presvedčíme sa, že žiadne neexistujú. Koreň sin100 teda nie je racionálne číslo, t.j. sin100 je iracionálne číslo.

Atď. má všeobecný vzdelávací charakter a má veľký významštudovať CELÝ kurz vyššej matematiky. Dnes si zopakujeme „školské“ rovnice, no nielen tie „školské“ – ale tie, ktoré sú všadeprítomné v rôznych problémoch strednej školy. Ako obvykle, rozprávanie pôjde v aplikovanom kľúči, t.j. Nebudem sa zameriavať na definície, klasifikácie, ale presne sa s vami podelím osobná skúsenosť riešenia. Informácie sú určené predovšetkým začiatočníkom, ale aj viac pripravených čitateľov si nájde veľa zaujímavých bodov pre seba. A samozrejme bude nový materiál mimo rozsah stredná škola.

Takže rovnica.... Mnohí si toto slovo vybavia s otrasom. Čo sú to za "vymyslené" rovnice s koreňmi ... ... zabudnite na ne! Pretože ďalej stretnete tých najneškodnejších „zástupcov“ tohto druhu. Alebo nudné goniometrické rovnice s desiatkami metód riešenia. Aby som bol úprimný, sám som ich nemal rád... Neprepadajte panike! - potom nájdete hlavne "púpavy" so samozrejmým riešením v 1-2 krokoch. Aj keď sa „lopúch“ samozrejme drží – tu treba byť objektívny.

Napodiv, vo vyššej matematike sa musíte oveľa častejšie zaoberať veľmi primitívnymi rovnicami ako napr lineárne rovnice.

Čo znamená vyriešiť túto rovnicu? To znamená – nájsť TAKÚ hodnotu „x“ (koreň), ktorá ju premení na skutočnú rovnosť. Presuňme „trojku“ doprava so zmenou znamienka:

a pustite „dvojku“ na pravú stranu (alebo, to isté - obe strany vynásobíme) :

Pre kontrolu dosaďte získanú trofej do pôvodnej rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že nájdená hodnota je skutočne koreňom tejto rovnice. Alebo, ako sa hovorí, spĺňa danú rovnicu.

Upozorňujeme, že koreň môže byť zapísaný aj vo forme desiatkový:
A snažte sa nedržať tohto škaredého štýlu! Dôvod som opakoval niekoľkokrát, najmä v prvej lekcii vyššia algebra.

Mimochodom, rovnica sa dá vyriešiť aj „v arabčine“:

A čo je najzaujímavejšie - tento záznam je úplne legálny! Ale ak nie si učiteľ, tak to radšej nerob, lebo originalita sa tu trestá =)

Teraz trochu o

grafické riešenie

Rovnica má tvar a jej koreň je "X" súradnica priesečníky graf lineárnej funkcie s harmonogramom lineárna funkcia (úsečka):

Zdalo by sa, že príklad je taký elementárny, že už nie je čo rozoberať, ale môžete z neho „vyžmýkať“ ešte jednu nečakanú nuanciu: tú istú rovnicu reprezentujeme vo forme a zostavujeme grafy funkcií:

pričom prosím nezamieňajte si tieto dve veci: rovnica je rovnica a funkciu Je funkcia! Funkcie len pomoc nájsť korene rovnice. Môžu byť dve, tri, štyri a dokonca nekonečne veľa. Najbližší príklad v tomto zmysle je známy každému kvadratická rovnica, ktorej algoritmus riešenia bol ocenený samostatnou položkou „Horúce“ školské formulky... A to nie je náhoda! Ak viete vyriešiť kvadratickú rovnicu a viete Pytagorova veta, potom môžeme povedať, že "podlaha vyššej matematiky je už vo vrecku" =) Prehnané, samozrejme, ale nie až tak ďaleko od pravdy!

A preto nebudeme leniví a vyriešime nejakú kvadratickú rovnicu podľa štandardný algoritmus:

, teda rovnica má dve rôzne platné koreň:

Je ľahké overiť, že obe nájdené hodnoty skutočne spĺňajú túto rovnicu:

Čo ak ste náhle zabudli na algoritmus riešenia a po ruke nie sú žiadne prostriedky / pomocné ruky? Takáto situácia môže nastať napríklad počas testu alebo skúšky. Používame grafickú metódu! A existujú dva spôsoby: môžete stavať bod po bode parabola teda zistiť, kde pretína os (ak sa to vôbec skríži)... Ale je lepšie konať prefíkanejšie: reprezentujeme rovnicu vo forme, kreslíme grafy jednoduchších funkcií - a X súradnice ich priesečníky, na prvý pohľad!


Ak sa ukáže, že sa priamka dotýka paraboly, potom rovnica má dva zhodné (viacnásobné) korene. Ak sa ukáže, že priamka nepretína parabolu, potom neexistujú žiadne skutočné korene.

Na to je samozrejme potrebné vedieť stavať grafy základných funkcií, no na druhej strane tieto zručnosti zvládne aj školák.

A opäť – rovnica je rovnica a funkcie sú funkcie, ktoré len pomohol vyriešiť rovnicu!

A tu, mimochodom, bude vhodné pripomenúť si ešte jednu vec: ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobené nenulovým číslom, potom sa jej korene nezmenia.

Takže napríklad rovnica má rovnaké korene. Ako najjednoduchší „dôkaz“ vyberiem konštantu zo zátvoriek:
a bezbolestne ho odstránim (obe časti rozdelím na "mínus dve"):

ALE! Ak vezmeme do úvahy funkciu , tak tu je už nemožné zbaviť sa konštanty! Súčiniteľ je prípustné umiestniť len mimo zátvorky: .

Mnohí spôsob grafického riešenia podceňujú, považujú ho za „nedôstojné“ a niektorí na túto možnosť dokonca zabúdajú. A to je zásadne nesprávne, pretože mapovanie niekedy jednoducho zachráni situáciu!

Ďalší príklad: Predpokladajme, že si nepamätáte korene najjednoduchšej goniometrickej rovnice:. Všeobecný vzorec je v školských učebniciach, vo všetkých príručkách o elementárnej matematike, ale nie sú vám k dispozícii. Riešenie rovnice je však kriticky dôležité (inak „dva“). Existuje východ! - vytvárame grafy funkcií:


potom si pokojne zapíšeme súradnice "x" ich priesečníkov:

Existuje nekonečne veľa koreňov a ich zložený zápis je akceptovaný v algebre:
, kde ( – množina celých čísel) .

A bez opustenia pokladne pár slov o grafickej metóde riešenia nerovností s jednou premennou. Princíp je rovnaký. Takže napríklad riešením nerovnosti je akékoľvek „x“, keďže sínusoida leží takmer celá pod priamkou. Riešením nerovnosti je množina intervalov, na ktorých časti sínusoidy ležia presne nad priamkou (os úsečky):

alebo v skratke:

A tu sú mnohé riešenia nerovnosti - prázdny, keďže žiadny bod sínusoidy neleží nad priamkou.

Nie je niečo jasné? Naliehavo si preštudujte lekcie o súpravy a funkčné grafy!

Zahrievanie:

Cvičenie 1

Vyriešte graficky nasledujúce trigonometrické rovnice:

Odpovede na konci lekcie

Ako vidíte, na štúdium presných vied nie je vôbec potrebné napchať vzorce a referenčné knihy! Navyše ide o zásadne chybný prístup.

Ako som vás ubezpečil na úplnom začiatku hodiny, zložité goniometrické rovnice v štandardnom kurze vyššej matematiky musíte riešiť veľmi zriedka. Celá zložitosť sa spravidla končí rovnicami, ktorých riešením sú dve skupiny koreňov odvodené od najjednoduchších rovníc a ... S riešením toho druhého sa príliš netrápte - pozrite sa do knihy alebo si ju nájdite na internete =)

V menej triviálnych prípadoch môže pomôcť metóda grafického riešenia. Zvážte napríklad nasledujúcu pestrú rovnicu:

Vyhliadky na jej riešenie vyzerajú...nehľadajte vôbec, ale stačí rovnicu predložiť vo forme, zostaviť funkčné grafy a všetko sa ukáže byť neuveriteľne jednoduché. Kresba je v strede článku o nekonečne malé funkcie (otvorí sa na susednej karte).

Pomocou rovnakej grafickej metódy môžete zistiť, že rovnica už má dva korene a jeden z nich sa rovná nule a druhý zjavne iracionálny a patrí do segmentu. Tento koreň možno približne vypočítať napr. tangentová metóda... Mimochodom, v niektorých problémoch sa stáva, že nemusíte nájsť korene, ale zistiť či vôbec existujú... A tu môže pomôcť aj kresba - ak sa grafy nepretínajú, potom neexistujú žiadne korene.

Racionálne korene polynómov s celočíselnými koeficientmi.
Hornerova schéma

A teraz vás pozývam, aby ste svoj pohľad obrátili do stredoveku a pocítili jedinečnú atmosféru klasickej algebry. Pre lepšie pochopenie materiálu odporúčam trochu sa zorientovať komplexné čísla.

Oni sú najviac. Polynómy.

Objektom nášho záujmu budú najčastejšie polynómy tvaru s celý koeficienty. Prirodzené číslo sa volajú polynomický stupeň, počet - koeficientom na najvyššom stupni (alebo len najvyšší koeficient), a koeficient je voľný člen.

Tento polynóm označím konvolúciou podľa.

Korene polynómu sa nazývajú korene rovnice

Milujem železnú logiku =)

Príklady nájdete na samom začiatku článku:

S hľadaním koreňov polynómov 1. a 2. stupňa nie sú žiadne problémy, ale s pribúdajúcimi úlohami je táto úloha čoraz ťažšia. Aj keď na druhej strane je všetko zaujímavejšie! A práve tomu bude venovaná druhá časť lekcie.

Najprv doslova pol obrazovky teórie:

1) Podľa vyšetrovania hlavná veta algebry, polynóm stupňa má presne komplexný korene. Niektoré korene (alebo dokonca všetky) môžu byť konkrétne platné... Okrem toho medzi skutočnými koreňmi môžu byť rovnaké (viaceré) korene (minimálne dva, maximálne kusy).

Ak je nejaké komplexné číslo koreňom polynómu, potom konjugovať jeho číslo je tiež nevyhnutne koreňom daného polynómu (korene konjugovaného komplexu sú vo forme).

Najjednoduchší príklad- kvadratická rovnica, ktorá sa prvýkrát objavila v 8 (Páči sa mi to) triede, a ktorú sme nakoniec v predmete „dopracovali“. komplexné čísla... Dovoľte mi pripomenúť vám: kvadratická rovnica má buď dva rôzne skutočné korene, viac koreňov alebo konjugované komplexné korene.

2) Od Bezoutove vety z toho vyplýva, že ak je číslo koreňom rovnice, príslušný polynóm možno faktorizovať:
, kde je polynóm stupňa.

A opäť náš starý príklad: keďže je koreňom rovnice, teda. Potom nie je ťažké získať známy "školský" rozklad.

Dôsledok Bezoutovej vety má veľkú praktickú hodnotu: ak poznáme koreň rovnice 3. stupňa, môžeme ho znázorniť v tvare a je ľahké zistiť zvyšok koreňov z kvadratickej rovnice. Ak poznáme koreň rovnice 4. stupňa, potom je možné ľavú stranu rozšíriť na súčin atď.

A tu sú dve otázky:

Prvá otázka... Ako nájsť práve tento koreň? Najprv si definujme jeho povahu: v mnohých problémoch vyššej matematiky sa vyžaduje nájsť racionálny, najmä celý korene polynómov a v tomto smere nás ďalej budú zaujímať hlavne tie.... ... sú také dobré, také nadýchané, že ich jednoducho chcete nájsť! =)

Prvá vec, ktorá sa navrhuje, je metóda výberu. Zoberme si napríklad rovnicu. Háčik je tu vo voľnom člene - ak by sa rovnal nule, všetko by bolo v prelamovaní - vyberieme "x" zo zátvoriek a samotné korene "vypadnú" na povrch:

Ale náš voľný člen sa rovná "trom", a preto začneme do rovnice dosadzovať rôzne čísla, ktoré tvrdia, že sú "koreňom". V prvom rade sa navrhuje nahradenie jednotlivých hodnôt. Nahradíme:

Prijaté nesprávne rovnosť teda jednotka "nesadla". Dobre, nahradíme:

Prijaté pravda rovnosť! To znamená, že hodnota je koreňom danej rovnice.

Na nájdenie koreňov polynómu 3. stupňa existuje analytická metóda (takzvané Cardano vzorce), no nás teraz zaujíma trochu iný problém.

Keďže - je koreňom nášho polynómu, polynóm môže byť reprezentovaný v tvare a vzniká Druhá otázka: ako nájsť „mladšieho brata“?

Najjednoduchšie algebraické úvahy naznačujú, že na to musíte deliť. Ako rozdeliť polynóm na polynóm? Rovnaká školská metóda, ktorú zdieľajú bežné čísla- "stĺpec"! Táto metóda Najpodrobnejšie som rozobral v prvých príkladoch lekcie Náročné limity, a teraz zvážime ďalšiu metódu, ktorá sa nazýva Hornerova schéma.

Najprv si zapíšeme „starší“ polynóm so všetkým vrátane nulových koeficientov:
, potom zadáme tieto koeficienty (presne v poradí) do horného riadku tabuľky:

Naľavo píšeme koreň:

Okamžite urobím rezerváciu, že Hornerova schéma funguje aj keď "červené" číslo nie je koreňom polynómu. Neunáhlime sa však.

Zničíme seniorský koeficient zhora:

Proces vyplnenia spodných buniek je trochu podobný vyšívaniu, kde „mínus jeden“ je druh „ihly“, ktorá preniká do nasledujúcich krokov. „Zbúrané“ číslo vynásobíme (–1) a k produktu pridáme číslo z hornej bunky:

Nájdenú hodnotu vynásobíme „červenou ihlou“ a k produktu pridáme nasledujúci koeficient rovnice:

A nakoniec získanú hodnotu opäť „spracujeme“ „ihlou“ a horným koeficientom:

Nula v poslednej bunke nám hovorí, že polynóm sa rozdelil bezo zvyšku (ako má byť), pričom koeficienty expanzie sú „odstránené“ priamo zo spodného riadku tabuľky:

Z rovnice, ktorú sme prešli na ekvivalentnú rovnicu, je teda s dvoma zostávajúcimi koreňmi všetko jasné (v v tomto prípade získajú sa korene konjugovaného komplexu).

Rovnica, mimochodom, sa dá vyriešiť graficky: postav "blesk" a uvidíte, že graf pretína os x () v bode. Alebo rovnaký „záludný“ trik – rovnicu prepíšeme do tvaru, nakreslíme elementárne grafy a zistíme súradnicu „x“ ich priesečníka.

Mimochodom, graf ktorejkoľvek polynómovej funkcie 3. stupňa pretína os aspoň raz, čo znamená, že zodpovedajúca rovnica má najmenej jeden platné koreň. Tento fakt platí pre akúkoľvek polynómovú funkciu nepárneho stupňa.

A tu sa chcem tiež pozastaviť dôležitý moment čo sa týka terminológie: polynóm a polynomiálna funkcia – nie sú rovnaké! Ale v praxi sa často hovorí napríklad o "grafe polynómu", čo je, samozrejme, nedbanlivosť.

Vráťme sa však k Hornerovej schéme. Ako som nedávno spomenul, táto schéma funguje aj pre iné čísla, ale ak číslo nie je koreň rovnice, potom sa v našom vzorci objaví nenulový súčet (zvyšok):

„Nešťastnú“ hodnotu „vyženeme“ podľa Hornerovej schémy. V tomto prípade je vhodné použiť rovnakú tabuľku - zapíšeme novú "ihlu" vľavo, zhora zničíme seniorský koeficient (zelená šípka doľava) a ideme preč:

Pre kontrolu otvoríme zátvorky a uvedieme podobné výrazy:
, OK.

Je ľahké vidieť, že zvyšok ("šesť") je presne hodnota polynómu at. A v skutočnosti - čo je to:
a ešte krajšie - takto:

Z vyššie uvedených výpočtov je ľahké pochopiť, že Hornerova schéma umožňuje nielen faktorizáciu polynómu, ale aj „civilizovaný“ výber koreňa. Navrhujem, aby ste si sami opravili výpočtový algoritmus malou úlohou:

Zadanie 2

Pomocou Hornerovej schémy nájdite celý koreň rovnice a vynásobte príslušný polynóm

Inými slovami, tu je potrebné postupne kontrolovať čísla 1, –1, 2, –2,… - až kým posledný stĺpec „nevykreslí“ nulový zvyšok. To bude znamenať, že "ihla" tejto čiary je koreňom polynómu

Je vhodné usporiadať výpočty do jednej tabuľky. Podrobné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Metóda výberu koreňov je dobrá pre relatívne jednoduché prípady, ale ak sú koeficienty a / alebo stupeň polynómu veľké, proces sa môže oneskoriť. Alebo možno niektoré hodnoty z toho istého zoznamu sú 1, –1, 2, –2 a nemá zmysel uvažovať? A okrem toho sa korene môžu ukázať ako zlomkové, čo povedie k úplne nevedeckému popichovaniu.

Našťastie existujú dve silné vety, ktoré môžu výrazne znížiť počet kandidátskych hodnôt pre racionálne korene:

Veta 1 Zvážte neredukovateľné zlomok, kde. Ak je číslo koreňom rovnice, potom sa priesečník vydelí a vodiaci koeficient sa vydelí.

Najmä, ak je vedúci koeficient, potom tento racionálny koreň je celé číslo:

A začneme využívať vetu len s týmto chutným konkrétnym:

Vráťme sa k rovnici. Od svojho vedúceho koeficientu môžu byť hypotetické racionálne korene výlučne celé a voľný člen musí byť nevyhnutne rozdelený na tieto korene bezo zvyšku. A „trojku“ možno rozdeliť len na 1, –1, 3 a –3. To znamená, že máme len 4 „koreňových kandidátov“. A podľa toho Veta 1, iné racionálne čísla nemôžu byť PRINCÍPY koreňmi danej rovnice.

V rovnici je o niečo viac kandidátov: voľný termín je deliteľný 1, –1, 2, –2, 4 a –4.

Všimnite si, že čísla 1, –1 sú „bežné“ v zozname možných koreňov (zrejmý dôsledok vety) a najviac najlepšia voľba na prvú kontrolu.

Prejdime k informatívnejším príkladom:

Problém 3

Riešenie: od vedúceho koeficientu môžu byť hypotetické racionálne korene iba celé a musia byť deliteľmi voľného člena. Mínus štyridsať je rozdelený do nasledujúcich dvojíc čísel:
- spolu 16 "kandidátov".

A tu sa okamžite objaví lákavá myšlienka: je možné odstrániť všetky negatívne alebo všetky pozitívne korene? V niektorých prípadoch môžete! Sformulujem dva znaky:

1) Ak všetky koeficienty polynómu sú nezáporné, potom nemôže mať kladné korene. Žiaľ, toto nie je náš prípad (Teraz, ak by sme dostali rovnicu - potom áno, keď je akákoľvek hodnota polynómu striktne kladná, čo znamená, že všetky kladné čísla (navyše aj iracionálne) nemôžu byť koreňmi rovnice.

2) Ak sú koeficienty v nepárnych stupňoch nezáporné a vôbec v párnych stupňoch (vrátane bezplatného člena)- sú záporné, potom polynóm nemôže mať záporné korene. Toto je náš prípad! Pri bližšom pohľade môžete vidieť, že keď do rovnice nahradíte akékoľvek záporné „x“, ľavá strana bude striktne záporná, čo znamená, že záporné korene zmiznú

Na výskum teda zostáva 8 čísel:

Dôsledne ich „účtujeme“ podľa Hornerovej schémy. Dúfam, že ste už zvládli ústne výpočty:

Pri testovaní „dvojky“ nás čakalo šťastie. Existuje teda koreň uvažovanej rovnice a

Zostáva preskúmať rovnicu ... Je to ľahké urobiť cez diskriminant, ale orientačný test urobím rovnakým spôsobom. Po prvé, venujme pozornosť skutočnosti, že voľný termín sa rovná 20, čo znamená, že do Veta 1čísla 8 a 40 vypadnú zo zoznamu možných koreňov a hodnoty zostávajú na výskum (1 vypadol podľa Hornerovej schémy).

Koeficienty trojčlenky zapíšeme do horného riadku novej tabuľky a začneme kontrolovať s rovnakými "dvojkami"... prečo? A pretože korene môžu byť viacnásobné, prosím: - táto rovnica má 10 rovnakých koreňov. Ale nenechajme sa rozptyľovať:

A tu som, samozrejme, trochu podvádzal, keďže som vopred vedel, že korene sú racionálne. Ak by totiž boli iracionálne alebo komplexné, tak by som mal neúspešnú kontrolu všetkých zvyšných čísel. Preto sa v praxi riaďte diskriminantom.

Odpoveď: racionálne korene: 2, 4, 5

V rozloženom probléme sme mali šťastie, pretože: a) okamžite odpadol záporné hodnoty, a b) veľmi rýchlo sme našli koreň (a teoreticky by sme mohli skontrolovať celý zoznam).

V skutočnosti je však situácia oveľa horšia. Pozývam vás sledovať vzrušujúcu hru s názvom „Posledný hrdina“:

Problém 4

Nájdite racionálne korene rovnice

Riešenie: zapnuté Veta 1Čitatelia hypotetických racionálnych koreňov musia spĺňať podmienku (čítame „dvanásť delených pivom“), a menovatele - podmienka. Na základe toho dostaneme dva zoznamy:

"Zoznam ale":
a "em zoznam": (našťastie, tu sú čísla prirodzené).

Teraz si urobme zoznam všetkých možných koreňov. Najprv rozdeľte "zoznam el" podľa. Je celkom jasné, že sa získajú rovnaké čísla. Pre pohodlie ich pridáme do tabuľky:

Mnoho zlomkov bolo znížených, čo viedlo k hodnotám, ktoré sú už na „zozname hrdinov“. Pridávame iba „nováčikov“:

Rovnaký „zoznam pív“ rozdeľujeme na:

a nakoniec ďalej

Tím účastníkov našej hry je teda obsadený:


Bohužiaľ, polynóm tohto problému nespĺňa "pozitívne" alebo "negatívne" kritérium, a preto nemôžeme zahodiť horný alebo dolný riadok. Budeme musieť pracovať so všetkými číslami.

Aká je tvoja nálada? No tak, nos je vyššie – existuje ešte jedna veta, ktorú možno obrazne nazvať „zabijácka veta“ .... ... "kandidáti", samozrejme =)

Najprv však musíte prejsť Hornerovým diagramom aspoň na jeden celýčísla. Vezmime si tradične jeden. V hornom riadku napíšeme koeficienty polynómu a všetko je ako obvykle:

Keďže 4 zjavne nie je nula, hodnota nie je koreňom príslušného polynómu. Ale ona nám veľmi pomôže.

Veta 2 Ak pre niektorých celá hodnota, hodnota polynómu je nenulová:, potom jeho racionálne korene (ak sú) splniť podmienku

V našom prípade a teda všetky možné korene musia spĺňať podmienku (nazvime to podmienka č. 1)... Táto štvorica bude „vrahom“ mnohých „kandidátov“. Ako ukážku uvediem niekoľko kontrol:

Skontrolujme „kandidáta“. Aby sme to dosiahli, umelo ho znázorňujeme vo forme zlomku, z ktorého je to jasne vidieť. Vypočítajme kontrolný rozdiel:. Štyri sú delené "mínus dva": čo znamená, že možný koreň prešiel testom.

Skontrolujeme hodnotu. Tu a kontrolný rozdiel je: ... Samozrejme, a preto v zozname zostáva aj druhý „predmet“.