Trojuholník, štvorec, šesťuholník - tieto postavy pozná takmer každý. Ale nie každý vie, čo je to pravidelný mnohouholník. Ale všetky sú rovnaké. Pravidelný mnohouholník je taký, ktorý má rovnaké uhly a strany. Existuje veľa takýchto figúrok, ale všetky majú rovnaké vlastnosti a platia pre ne rovnaké vzorce.
Vlastnosti pravidelných mnohouholníkov
Akýkoľvek pravidelný mnohouholník, či už je to štvorec alebo osemuholník, môže byť vpísaný do kruhu. Táto základná vlastnosť sa často využíva pri konštrukcii figúry. Okrem toho môže byť kruh vpísaný do mnohouholníka. V tomto prípade sa počet bodov kontaktu bude rovnať počtu jeho strán. Dôležité je, že kružnica vpísaná do pravidelného mnohouholníka bude mať s ňou spoločný stred. Tieto geometrické útvary podliehajú rovnakým vetám. Každá strana pravidelného n-uholníka súvisí s polomerom kružnice R, ktorá ho obklopuje. Cez môžete nájsť nielen strany, ale aj obvod polygónu.
Ako zistiť počet strán pravidelného mnohouholníka
Každý pozostáva z určitého počtu navzájom rovnakých segmentov, ktoré sa po spojení vytvoria uzavretá linka. V tomto prípade majú všetky uhly výsledného obrazca rovnakú hodnotu. Polygóny sa delia na jednoduché a zložité. Do prvej skupiny patrí trojuholník a štvorec. Zložité polygóny majú väčšie číslo strany Patria sem aj postavičky v tvare hviezdy. V prípade zložitých pravidelných mnohouholníkov sa strany nachádzajú vpísaním do kruhu. Dajme dôkaz. Nakreslite pravidelný mnohouholník s ľubovoľným počtom strán n. Nakreslite okolo neho kruh. Nastavte polomer R. Teraz si predstavte, že máte nejaký n-uholník. Ak body jeho uhlov ležia na kruhu a sú si navzájom rovné, strany možno nájsť pomocou vzorca: a = 2R ∙ sinα: 2.
Zistenie počtu strán vpísaného pravidelného trojuholníka
Rovnostranný trojuholník je pravidelný mnohouholník. Platia pre ňu rovnaké vzorce ako pre štvorec a n-uholník. Trojuholník sa považuje za pravidelný, ak sú jeho strany rovnako dlhé. V tomto prípade sú uhly 60⁰. Zostrojme trojuholník s danou dĺžkou strany a. Keď poznáte jeho stred a výšku, môžete nájsť hodnotu jeho strán. Na to použijeme metódu zisťovania cez vzorec a = x: cosα, kde x je medián alebo výška. Pretože všetky strany trojuholníka sú rovnaké, dostaneme a = b = c. Potom bude platiť nasledujúce tvrdenie: a = b = c = x: cosα. Podobne môžete nájsť hodnotu strán v rovnoramennom trojuholníku, ale x bude daná výška. V tomto prípade by sa mal premietať striktne na základňu obrázku. Ak teda poznáme výšku x, nájdeme stranu a rovnoramenného trojuholníka pomocou vzorca a = b = x: cosα. Po zistení hodnoty a môžete vypočítať dĺžku základne c. Aplikujme Pytagorovu vetu. Budeme hľadať hodnotu polovice základne c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Potom c = 2xtanα. Týmto jednoduchým spôsobom môžete zistiť počet strán akéhokoľvek vpísaného mnohouholníka.
Výpočet strán štvorca vpísaného do kruhu
Ako každý iný vpísaný pravidelný mnohouholník, štvorec má rovnaké strany a uhly. Platia preň rovnaké vzorce ako pre trojuholník. Strany štvorca môžete vypočítať pomocou hodnoty uhlopriečky. Zvážme túto metódu podrobnejšie. Je známe, že uhlopriečka rozdeľuje uhol na polovicu. Pôvodne bola jeho hodnota 90 stupňov. Po rozdelení teda vzniknú dve, ktorých uhly pri základni budú rovné 45 stupňom. Každá strana štvorca bude teda rovnaká, to znamená: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, kde e je uhlopriečka štvorca alebo základňa pravouhlého trojuholníka vytvoreného po divízie. Toto nie je jediný spôsob, ako nájsť strany štvorca. Vpíšme túto postavu do kruhu. Keď poznáme polomer tohto kruhu R, nájdeme stranu štvorca. Vypočítame to takto: a4 = R√2. Polomery pravidelných mnohouholníkov sa vypočítajú pomocou vzorca R = a: 2tg (360 o: 2n), kde a je dĺžka strany.
Ako vypočítať obvod n-uholníka
Obvod n-uholníka je súčtom všetkých jeho strán. Dá sa to jednoducho vypočítať. Aby ste to dosiahli, musíte poznať význam všetkých strán. Pre niektoré typy polygónov existujú špeciálne vzorce. Umožňujú vám oveľa rýchlejšie nájsť obvod. Je známe, že každý pravidelný mnohouholník má rovnaké strany. Preto na výpočet jeho obvodu stačí poznať aspoň jeden z nich. Vzorec bude závisieť od počtu strán obrázku. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: P = an, kde a je hodnota strany a n je počet uhlov. Napríklad, ak chcete nájsť obvod pravidelného osemuholníka so stranou 3 cm, musíte ho vynásobiť číslom 8, teda P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pre šesťuholník so stranou 5 cm vypočítame takto: P = 5 ∙ 6 = 30 cm A tak pre každý mnohouholník.
Nájdenie obvodu rovnobežníka, štvorca a kosoštvorca
Podľa toho, koľko strán má pravidelný mnohouholník, sa vypočíta jeho obvod. Vďaka tomu je úloha oveľa jednoduchšia. Skutočne, na rozdiel od iných figúrok, v tomto prípade nemusíte hľadať všetky jeho strany, stačí jedna. Rovnakým princípom nájdeme obvod štvoruholníka, teda štvorca a kosoštvorca. Napriek tomu, že ide o rôzne čísla, vzorec pre ne je rovnaký: P = 4a, kde a je strana. Uveďme si príklad. Ak je strana kosoštvorca alebo štvorca 6 cm, potom zistíme obvod takto: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Pre rovnobežník sú rovnaké iba protiľahlé strany. Preto sa jeho obvod zisťuje pomocou inej metódy. Potrebujeme teda poznať dĺžku a a šírku b obrázku. Potom použijeme vzorec P = (a + b) ∙ 2. Rovnobežník, v ktorom sú všetky strany a uhly medzi nimi rovnaké, sa nazýva kosoštvorec.
Nájdenie obvodu rovnostranného a pravouhlého trojuholníka
Obvod toho správneho nájdeme pomocou vzorca P = 3a, kde a je dĺžka strany. Ak nie je známy, možno ho nájsť prostredníctvom mediánu. V pravouhlom trojuholníku majú rovnakú hodnotu iba dve strany. Základ možno nájsť prostredníctvom Pytagorovej vety. Keď sú známe hodnoty všetkých troch strán, vypočítame obvod. Dá sa zistiť pomocou vzorca P = a + b + c, kde a a b sú rovnaké strany a c je základ. Pripomeňme si, že v rovnoramennom trojuholníku a = b = a, čo znamená a + b = 2a, potom P = 2a + c. Napríklad strana rovnoramenného trojuholníka má 4 cm, nájdime jeho základňu a obvod. Hodnotu prepony vypočítame pomocou Pytagorovej vety s = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Teraz vypočítame obvod P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Ako nájsť uhly pravidelného mnohouholníka
Pravidelný mnohouholník sa v našom živote vyskytuje každý deň, napríklad pravidelný štvorec, trojuholník, osemuholník. Zdalo by sa, že nie je nič jednoduchšie, ako si túto postavu postaviť sami. Ale to je jednoduché len na prvý pohľad. Aby ste mohli zostrojiť akýkoľvek n-uholník, musíte poznať hodnotu jeho uhlov. Ale ako ich nájsť? Dokonca aj starovekí vedci sa pokúšali zostrojiť pravidelné mnohouholníky. Prišli na to, ako ich umiestniť do kruhov. A potom boli na ňom vyznačené potrebné body a spojené rovnými čiarami. Pre jednoduché figúrky bol konštrukčný problém vyriešený. Získali sa vzorce a vety. Napríklad Euclid sa vo svojom slávnom diele „Počiatok“ zaoberal riešením problémov pre 3-, 4-, 5-, 6- a 15-uholníky. Našiel spôsoby, ako ich skonštruovať a nájsť uhly. Pozrime sa, ako to urobiť pre 15-uholník. Najprv musíte vypočítať súčet jeho vnútorných uhlov. Je potrebné použiť vzorec S = 180⁰(n-2). Dostali sme teda 15-uholník, čo znamená, že číslo n je 15. Údaje, ktoré poznáme, dosadíme do vzorca a dostaneme S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli sme súčet všetkých vnútorných uhlov 15-uholníka. Teraz musíte získať hodnotu každého z nich. Celkovo je uhlov 15. Výpočet robíme 2340⁰: 15 = 156⁰. To znamená, že každý vnútorný uhol sa rovná 156⁰, teraz pomocou pravítka a kružidla môžete zostrojiť pravidelný 15-uholník. Ale čo zložitejšie n-uholníky? Po mnoho storočí sa vedci snažili vyriešiť tento problém. Našiel ho až v 18. storočí Carl Friedrich Gauss. Bol schopný skonštruovať 65537-gon. Odvtedy sa problém oficiálne považuje za úplne vyriešený.
Výpočet uhlov n-uholníkov v radiánoch
Samozrejme, existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť uhly mnohouholníkov. Najčastejšie sa počítajú v stupňoch. Ale môžu byť vyjadrené aj v radiánoch. Ako to spraviť? Je potrebné postupovať nasledovne. Najprv zistíme počet strán pravidelného mnohouholníka, potom od neho odčítame 2. To znamená, že dostaneme hodnotu: n - 2. Nájdený rozdiel vynásobíme číslom n („pi“ = 3,14). Teraz zostáva len rozdeliť výsledný produkt počtom uhlov v n-uholníku. Zoberme si tieto výpočty pomocou rovnakého desaťuholníka ako príklad. Číslo n je teda 15. Aplikujme vzorec S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Toto samozrejme nie je jediný spôsob výpočtu uhla v radiánoch. Uhol v stupňoch môžete jednoducho vydeliť číslom 57,3. Koniec koncov, toľko stupňov zodpovedá jednému radiánu.
Výpočet uhlov v stupňoch
Okrem stupňov a radiánov môžete skúsiť nájsť aj uhly pravidelného mnohouholníka v stupňoch. Toto sa robí nasledovne. Od celkového počtu uhlov odpočítajte 2 a výsledný rozdiel vydeľte počtom strán pravidelného mnohouholníka. Nájdený výsledok vynásobíme 200. Mimochodom, takáto jednotka merania uhlov ako stupňov sa prakticky nepoužíva.
Výpočet vonkajších uhlov n-uholníkov
Pre každý pravidelný mnohouholník, okrem vnútorného, môžete vypočítať aj vonkajší uhol. Jeho hodnota sa zisťuje rovnakým spôsobom ako pri iných číslach. Takže, aby ste našli vonkajší uhol pravidelného mnohouholníka, potrebujete poznať hodnotu vnútorného. Ďalej vieme, že súčet týchto dvoch uhlov sa vždy rovná 180 stupňom. Preto výpočty robíme takto: 180⁰ mínus hodnota vnútorného uhla. Nájdeme rozdiel. Bude sa rovnať hodnote uhla priľahlého k nej. Napríklad vnútorný uhol štvorca je 90 stupňov, čo znamená, že vonkajší uhol bude 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Ako vidíme, nie je ťažké ho nájsť. Vonkajší uhol môže nadobúdať hodnotu od +180° do -180°.
Typy polygónov:
Štvoruholníky
Štvoruholníky, respektíve pozostávajú zo 4 strán a uhlov.
Strany a uhly oproti sebe sa nazývajú opak.
Uhlopriečky rozdeľujú konvexné štvoruholníky na trojuholníky (pozri obrázok).
Súčet uhlov konvexného štvoruholníka je 360° (použitím vzorca: (4-2)*180°).
Rovnobežníky
Paralelogram je konvexný štvoruholník s protiľahlými rovnobežnými stranami (číslované na obrázku 1).
Opačné strany a uhly v rovnobežníku sú vždy rovnaké.
A uhlopriečky v priesečníku sú rozdelené na polovicu.
Hrazda
Lichobežník- toto je tiež štvoruholník a v lichobežníky Len dve strany sú rovnobežné, ktoré sú tzv dôvodov. Ostatné strany sú strany.
Lichobežník na obrázku je očíslovaný 2 a 7.
Ako v trojuholníku:
Ak sú strany rovnaké, potom je lichobežník rovnoramenné;
Ak je jeden z uhlov pravý, potom je lichobežník pravouhlý.
Stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu základní a je s nimi rovnobežná.
Rhombus
Rhombus je rovnobežník, v ktorom sú všetky strany rovnaké.
Okrem vlastností rovnobežníka majú kosoštvorce svoju špeciálnu vlastnosť - Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé navzájom a rozpolte rohy kosoštvorca.
Na obrázku je kosoštvorec číslo 5.
Obdĺžniky
Obdĺžnik je rovnobežník, v ktorom je každý uhol pravý (pozri obrázok číslo 8).
Okrem vlastností rovnobežníka majú obdĺžniky svoju špeciálnu vlastnosť - Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.
Štvorce
Námestie je obdĺžnik so všetkými stranami rovnakými (č. 4).
Má vlastnosti obdĺžnika a kosoštvorca (keďže všetky strany sú rovnaké).
Ako sa nazýva mnohouholník? Typy polygónov. POLYGON (polygón), plochý geometrický obrazec s tromi alebo viacerými stranami pretínajúcimi sa v troch alebo viacerých bodoch (vrcholoch). Definícia. Mnohouholník je geometrický útvar ohraničený zo všetkých strán uzavretou prerušovanou čiarou, pozostávajúcou z troch alebo viacerých segmentov (spojok). Trojuholník je určite mnohouholník. Mnohouholník je obrazec, ktorý má päť alebo viac uhlov.
Definícia. Štvoruholník je plochý geometrický útvar pozostávajúci zo štyroch bodov (vrcholov štvoruholníka) a štyroch po sebe idúcich segmentov, ktoré ich spájajú (strany štvoruholníka).
Obdĺžnik je štvoruholník so všetkými pravými uhlami. Sú pomenované podľa počtu strán alebo vrcholov: TROJUHOLNÍK (trojstranný); QUADAGON (štvorstranný); PENTAGON (päťstranný) atď. V elementárnej geometrii sa obrazec nazýva obrazec ohraničený rovnými čiarami nazývanými strany. Body, v ktorých sa strany pretínajú, sa nazývajú vrcholy. Mnohouholník má viac ako tri uhly. Toto je akceptované alebo dohodnuté.
Trojuholník je trojuholník. A štvoruholník tiež nie je mnohouholník a nenazýva sa štvoruholník - je to štvorec, kosoštvorec alebo lichobežník. Skutočnosť, že polygón s tromi stranami a tromi uhlami má svoj vlastný názov „trojuholník“, ho nezbavuje jeho štatútu mnohouholníka.
Pozrite sa, čo je „POLYGON“ v iných slovníkoch:
Dozvedáme sa, že tento údaj je ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorá zase môže byť jednoduchá, uzavretá. Povedzme si niečo o tom, že polygóny môžu byť ploché, pravidelné alebo konvexné. Kto by nepočul o tajomnom Bermudskom trojuholníku, v ktorom bez stopy miznú lode a lietadlá? Ale trojuholník, ktorý je nám známy z detstva, je plný mnohých zaujímavých a tajomných vecí.
Aj keď, samozrejme, za mnohouholník možno považovať aj postavu pozostávajúcu z troch uhlov
Na charakterizáciu postavy to však nestačí. Prerušovaná čiara A1A2...An je obrazec, ktorý pozostáva z bodov A1,A2,...An a segmentov A1A2, A2A3,..., ktoré ich spájajú. Jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara sa nazýva mnohouholník, ak jej susedné články neležia na rovnakej priamke (obr. 5). Do slova „polygón“ namiesto časti „veľa“ nahraďte konkrétne číslo, napríklad 3. Dostanete trojuholník. Všimnite si, že koľko uhlov je, toľko je strán, takže tieto obrazce by sme mohli nazvať polylaterálne.
Nech A1A2...A n je daný konvexný mnohouholník a n>3. Nakreslíme do nej diagonály (z jedného vrcholu)
Súčet uhlov každého trojuholníka je 1800 a počet týchto trojuholníkov n je 2. Preto súčet uhlov konvexného n - trojuholníka A1A2...A n je 1800* (n - 2). Veta bola dokázaná. Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v tomto vrchole.
V štvoruholníku nakreslite priamku tak, aby ju rozdelila na tri trojuholníky
Štvoruholník nikdy nemá tri vrcholy na tej istej priamke. Slovo „polygón“ znamená, že všetky postavy v tejto rodine majú „mnoho uhlov“. Prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá, ak nemá žiadne vlastné priesečníky (obr. 2, 3).
Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov (obr. 4). V prípade n=3 veta platí. Takže štvorec môže byť nazývaný inak - pravidelný štvoruholník. Takéto postavy už dlho zaujímajú remeselníkov, ktorí zdobili budovy.
Počet vrcholov sa rovná počtu strán. Polyline sa nazýva uzavretá, ak sa jej konce zhodujú. Robili krásne vzory, napríklad na parketách. náš päťcípa hviezda- pravidelná päťuholníková hviezda.
Ale nie všetky bežné mnohouholníky sa dali použiť na výrobu parkiet. Pozrime sa bližšie na dva typy mnohouholníkov: trojuholník a štvoruholník. Mnohouholník, v ktorom sú všetky vnútorné uhly rovnaké, sa nazýva pravidelný. Polygóny sú pomenované podľa počtu strán alebo vrcholov.
Predmet, vek žiaka: geometria, 9. ročník
Účel lekcie: štúdium typov polygónov.
Vzdelávacia úloha: aktualizovať, rozširovať a zovšeobecňovať vedomosti žiakov o polygónoch; vytvoriť si predstavu o „komponentoch“ mnohouholníka; vykonať množstevný prieskum základné prvky pravidelné mnohouholníky (od trojuholníka po n-uholník);
Vývojová úloha: rozvíjať schopnosť analyzovať, porovnávať, vyvodzovať závery, rozvíjať výpočtové schopnosti, ústnu a písomnú matematickú reč, pamäť, ako aj samostatnosť v myslení a učebných činnostiach, schopnosť pracovať vo dvojiciach a skupinách; rozvíjať výskumné a vzdelávacie aktivity;
Výchovná úloha: pestovať samostatnosť, aktivitu, zodpovednosť za zadanú prácu, vytrvalosť pri dosahovaní cieľa.
Počas tried: citát napísaný na tabuli
"Príroda hovorí jazykom matematiky, písmenami tohto jazyka ... matematickými číslami." G.Galliley
Na začiatku hodiny sa trieda rozdelí na pracovné skupiny (v našom prípade rozdelené do skupín po 4 ľuďoch - počet členov skupiny sa rovná počtu skupín otázok).
1. Call stage-
Ciele:
a) aktualizácia vedomostí študentov o danej téme;
b) vzbudenie záujmu o preberanú tému, motivácia každého žiaka k vzdelávacej činnosti.
Technika: Hra „Veríš, že...“, organizácia práce s textom.
Formy práce: frontálna, skupinová.
„Veríš, že...“
1. ... slovo „polygón“ znamená, že všetky figúry v tejto rodine majú „mnoho uhlov“?
2. ... patrí trojuholník do veľkej rodiny mnohouholníkov, ktoré sa v rovine vyznačujú mnohými rôznymi geometrickými tvarmi?
3. ... je štvorec pravidelný osemuholník (štyri strany + štyri rohy)?
Dnes v lekcii budeme hovoriť o polygónoch. Dozvedáme sa, že tento údaj je ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorá zase môže byť jednoduchá, uzavretá. Povedzme si niečo o tom, že polygóny môžu byť ploché, pravidelné alebo konvexné. Jedným z plochých polygónov je trojuholník, s ktorým ste už dlho oboznámení (môžete študentom ukázať plagáty zobrazujúce polygóny, prerušovanú čiaru, ukázať im rôzne druhy, môžete použiť aj PPS).
2. Štádium koncepcie
Cieľ: získať nové informácie, pochopiť ich, vybrať si ich.
Technika: cikcak.
Formy práce: individuálna->párová->skupinová.
Každý člen skupiny dostane text k téme vyučovacej hodiny a text je zostavený tak, aby obsahoval už študentom známe aj informácie úplne nové. Spolu s textom dostávajú žiaci otázky, na ktoré treba nájsť odpovede v tomto texte.
Polygóny. Typy polygónov.
Kto by nepočul o tajomnom Bermudskom trojuholníku, v ktorom bez stopy miznú lode a lietadlá? Ale trojuholník, ktorý je nám známy z detstva, je plný mnohých zaujímavých a tajomných vecí.
Popri nám už známych typoch trojuholníkov, rozdelených podľa strán (škálový, rovnoramenný, rovnostranný) a uhlov (ostrý, tupý, pravouhlý), patrí trojuholník do veľkej rodiny mnohouholníkov, ktoré sa vyznačujú mnohými rôznymi geometrickými tvarmi. lietadlo.
Slovo „polygón“ znamená, že všetky postavy v tejto rodine majú „mnoho uhlov“. Na charakterizáciu postavy to však nestačí.
Prerušovaná čiara A 1 A 2 ...A n je obrazec, ktorý sa skladá z bodov A 1, A 2, ...A n a úsečiek, ktoré ich spájajú A 1 A 2, A 2 A 3,.... Body sa nazývajú vrcholy lomenej čiary a segmenty sa nazývajú spojnice lomenej čiary. (Obr.1)
Prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá, ak nemá žiadne vlastné priesečníky (obr. 2, 3).
Polyline sa nazýva uzavretá, ak sa jej konce zhodujú. Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov (obr. 4).
Jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara sa nazýva mnohouholník, ak jej susedné články neležia na rovnakej priamke (obr. 5).
Do slova „polygón“ namiesto časti „veľa“ nahraďte konkrétne číslo, napríklad 3. Dostanete trojuholník. Alebo 5. Potom - päťuholník. Všimnite si, že koľko uhlov je, toľko je strán, takže tieto obrazce by sme mohli nazvať polylaterálne.
Vrcholy prerušovanej čiary sa nazývajú vrcholy mnohouholníka a spojnice prerušovanej čiary sa nazývajú strany mnohouholníka.
Mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu (obr. 6).
Rovinný mnohouholník alebo mnohouholníková oblasť je konečná časť roviny ohraničená mnohouholníkom.
Dva vrcholy mnohouholníka, ktoré sú koncami jednej strany, sa nazývajú susedné. Vrcholy, ktoré nie sú koncami jednej strany, nie sú susedné.
Mnohouholník s n vrcholmi, a teda n stranami, sa nazýva n-uholník.
Hoci najmenšie číslo Mnohouholník má 3 strany, ale trojuholníky, keď sú navzájom spojené, môžu vytvárať ďalšie obrazce, ktoré sú zase tiež mnohouholníkmi.
Segmenty spájajúce nesusediace vrcholy mnohouholníka sa nazývajú diagonály.
Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak leží v rovnakej polrovine vzhľadom na akúkoľvek priamku obsahujúcu jeho stranu. V tomto prípade sa samotná priamka považuje za súčasť polroviny.
Uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol, ktorý zvierajú jeho strany zbiehajúce sa v tomto vrchole.
Dokážme vetu (o súčte uhlov konvexného n-uholníka): Súčet uhlov konvexného n-uholníka sa rovná 180 0 *(n - 2).
Dôkaz. V prípade n=3 veta platí. Nech A 1 A 2 ...A n je daný konvexný mnohouholník a n>3. Nakreslíme si do nej uhlopriečky (z jedného vrcholu). Keďže je mnohouholník konvexný, tieto uhlopriečky ho rozdeľujú na n – 2 trojuholníky. Súčet uhlov mnohouholníka je súčtom uhlov všetkých týchto trojuholníkov. Súčet uhlov každého trojuholníka sa rovná 180 0 a počet týchto trojuholníkov n je 2. Súčet uhlov konvexného n-uholníka A 1 A 2 ...A n je teda rovný 180 0* (n - 2). Veta bola dokázaná.
Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v tomto vrchole.
Konvexný mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké.
Takže štvorec môže byť nazývaný inak - pravidelný štvoruholník. Pravidelné sú aj rovnostranné trojuholníky. Takéto postavy už dlho zaujímajú remeselníkov, ktorí zdobili budovy. Robili krásne vzory, napríklad na parketách. Ale nie všetky bežné mnohouholníky sa dali použiť na výrobu parkiet. Parkety nemôžu byť vyrobené z bežných osemuholníkov. Faktom je, že každý uhol sa rovná 135 0. A ak je nejaký bod vrcholom dvoch takýchto osemuholníkov, potom budú predstavovať 270 0 a nie je tam miesto, kde by sa tam zmestil tretí osemuholník: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ale pre štvorec to stačí. Preto môžete vyrobiť parkety z pravidelných osemuholníkov a štvorcov.
Aj hviezdičky majú pravdu. Naša päťcípa hviezda je pravidelná päťuholníková hviezda. A ak otočíte štvorec okolo stredu o 45 0, dostanete pravidelnú osemhrannú hviezdu.
1 skupina
Čo je to prerušovaná čiara? Vysvetlite, čo sú vrcholy a väzby lomenej čiary.
Ktorá prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá?
Ktorá prerušovaná čiara sa nazýva uzavretá?
Ako sa nazýva mnohouholník? Ako sa nazývajú vrcholy mnohouholníka? Ako sa nazývajú strany mnohouholníka?
2. skupina
Ktorý mnohouholník sa nazýva plochý? Uveďte príklady polygónov.
Čo je n – štvorec?
Vysvetlite, ktoré vrcholy mnohouholníka susedia a ktoré nie.
Aká je uhlopriečka mnohouholníka?
3 skupina
Ktorý mnohouholník sa nazýva konvexný?
Vysvetlite, ktoré uhly mnohouholníka sú vonkajšie a ktoré vnútorné?
Ktorý mnohouholník sa nazýva pravidelný? Uveďte príklady pravidelných mnohouholníkov.
4 skupina
Aký je súčet uhlov konvexného n-uholníka? Dokázať to.
Študenti pracujú s textom, hľadajú odpovede na položené otázky, potom sa vytvárajú expertné skupiny, v ktorých sa pracuje na rovnakých problémoch: študenti zdôrazňujú hlavné body, vypracúvajú podporné zhrnutie a prezentujú informácie v jednom z grafické formy. Po dokončení práce sa študenti vrátia do svojich pracovných skupín.
3. Fáza odrazu -
a) hodnotenie svojich vedomostí, výzva k ďalšiemu kroku vedomostí;
b) pochopenie a osvojenie si prijatých informácií.
Recepcia: výskumná práca.
Formy práce: individuálna->párová->skupinová.
Pracovné skupiny zahŕňajú špecialistov na zodpovedanie každej časti navrhovaných otázok.
Po návrate do pracovnej skupiny odborník oboznámi ostatných členov skupiny s odpoveďami na svoje otázky. Skupina si vymieňa informácie medzi všetkými členmi pracovnej skupiny. Teda v každom pracovná skupina, vďaka práci odborníkov dostáva podobu Všeobecná myšlienka na študovanú tému.
Výskumná práca žiakov – vyplnenie tabuľky.
| Pravidelné polygóny | Kreslenie | Počet strán | Počet vrcholov | Súčet všetkých vnútorných uhlov | Miera stupňa interné uhol | Miera stupňa vonkajšieho uhla | Počet uhlopriečok |
| A) trojuholník | |||||||
| B) štvoruholník | |||||||
| B) päťtaktový | |||||||
| D) šesťuholník | |||||||
| D) n-uholník |
Riešenie zaujímavých úloh na tému lekcie.
- V štvoruholníku nakreslite priamku tak, aby ju rozdelila na tri trojuholníky.
- Koľko strán má pravidelný mnohouholník, pričom každý z jeho vnútorných uhlov meria 135°?
- V určitom mnohouholníku sú všetky vnútorné uhly navzájom rovnaké. Môže byť súčet vnútorných uhlov tohto mnohouholníka rovný: 360 0, 380 0?
Zhrnutie lekcie. Nahrávanie domácich úloh.
§ 1 Pojem trojuholníka
V tejto lekcii sa zoznámite s takými tvarmi, ako sú trojuholníky a mnohouholníky.
Ak sú tri body, ktoré neležia na tej istej čiare, spojené segmentmi, dostanete trojuholník. Trojuholník má tri vrcholy a tri strany.
Pred vami je trojuholník ABC, má tri vrcholy (bod A, bod B a bod C) a tri strany (AB, AC a CB).
Mimochodom, tieto isté strany možno nazvať inak:
AB=BA, AC=SA, CB=BC.
Strany trojuholníka zvierajú vo vrcholoch trojuholníka tri uhly. Na obrázku vidíte uhol A, uhol B, uhol C.
Trojuholník je teda geometrický útvar tvorený tromi segmentmi, ktoré spájajú tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke.
§ 2 Pojem mnohouholník a jeho druhy
Okrem trojuholníkov existujú štvoruholníky, päťuholníky, šesťuholníky atď. Jedným slovom sa dajú nazvať polygóny.
Na obrázku vidíte štvoruholník DMKE.
Body D, M, K a E sú vrcholy štvoruholníka.
Segmenty DM, MK, KE, ED sú stranami tohto štvoruholníka. Rovnako ako v prípade trojuholníka, strany štvoruholníka zvierajú vo vrcholoch štyri uhly, ako ste uhádli, odtiaľ názov - štvoruholník. Pre tento štvoruholník vidíte na obrázku uhol D, uhol M, uhol K a uhol E.
Aké štvoruholníky už poznáte?
Štvorec a obdĺžnik! Každý z nich má štyri rohy a štyri strany.
Ďalším typom mnohouholníka je päťuholník.
Body O, P, X, Y, T sú vrcholy päťuholníka a úsečky TO, OP, PX, XY, YT sú strany tohto päťuholníka. Päťuholník má päť uhlov a päť strán.
Koľko uhlov a strán má podľa vás šesťuholník? Správne, šesť! Podobným spôsobom môžeme povedať, koľko strán, vrcholov alebo uhlov má konkrétny mnohouholník. A môžeme konštatovať, že trojuholník je tiež mnohouholník, ktorý má práve tri uhly, tri strany a tri vrcholy.
V tejto lekcii ste sa teda zoznámili s pojmami ako trojuholník a mnohouholník. Dozvedeli sme sa, že trojuholník má 3 vrcholy, 3 strany a 3 uhly, štvoruholník má 4 vrcholy, 4 strany a 4 uhly, päťuholník má 5 strán, 5 vrcholov, 5 uhlov atď.
Zoznam použitej literatúry:
- Matematika 5. ročník. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. a ďalšie 31. vyd., vymazané. - M: 2013.
- Didaktické materiály v matematike 5. ročník. Autor - Popov M.A. - rok 2013
- Počítame bez chýb. Práca s autotestom v 5.-6. ročníku matematiky. Autor - Minaeva S.S. - rok 2014
- Didaktické materiály pre matematiku 5. ročník. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
- Ovládanie a samostatná práca v matematike 5. ročník. Autori - Popov M.A. - rok 2012
- Matematika. 5. ročník: výchovný. pre študentov všeobecného vzdelávania. inštitúcie / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009
