V tejto lekcii budeme pokračovať v riešení racionálnych nerovností podľa intervalov pre zložitejšie nerovnosti. Zvážte riešenie frakčných lineárnych a frakčných kvadratických nerovností a súvisiacich úloh.
Teraz sa vraciame do nerovnosti
Zvážte niektoré súvisiace úlohy.
Nájdite najmenšie riešenie nerovnosti.
Nájdite počet prirodzených riešení nerovnosti
Nájdite dĺžku intervalov, ktoré tvoria mnoho riešení nerovnosti.
2. portál Prírodné vedy ().
3. Elektronický vzdelávací a metodický komplex na prípravu 10-11 tried na vstupné skúšky na počítačovej vede, matematike, ruský jazyk ().
5. Vzdelávacie centrum "Tréningová technológia" ().
6. Oddiel College.ru v matematike ().
1. Mordkovich A.G. A ostatní. ALGEBRA 9 CL.: Úloha pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií / A. Mordkovich, T. N. Mishoustina atď. - 4. ed. - m.: Mnemozina, 2002.-143 s.: IL. 28 (b, b); 29 (b, c); 35 (A, B); 37 (b, c); 38 (a).
Ak chcete začať s malým textom cítiť problém, že interiérová metóda rieši. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť túto nerovnosť:
(X - 5) (X + 3)\u003e 0
Aké sú možnosti? Prvá vec, ktorá prichádza do hlavy väčšiny študentov, je pravidlá "plus plus plus plus" a "mínus pre mínus dáva plus." Preto stačí zvážiť prípad, keď sú obe zátvorky pozitívne: X - 5\u003e 0 a X + 3\u003e 0. Potom zvážte aj prípad, keď sú obidva konzoly negatívne: X - 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Viac pokročilejší študenti si spomínajú (možno), že ľavica je kvadratická funkcia, ktorej graf je parabola. Okrem toho táto parabola prechádza os osou v bodoch X \u003d 5 a X \u003d -3. Pre ďalšiu prácu je potrebné odhaliť konzoly. Máme:
x 2 - 2X - 15\u003e 0
Teraz je jasné, že pobočky paraboly sú zamerané hore, pretože Koeficient A \u003d 1\u003e 0. Pokúsme sa čerpať schému tejto paraboly:
Funkcia je väčšia ako nula, kde prechádza nad osou ox. V našom prípade tieto intervaly (-∞ -3) a (5; + ∞) - to je odpoveď.
Upozornenie: Obrázok ukazuje presne funkčná schéma, nie jej plán. Vzhľadom k tomu, že pre túto grafiku je potrebné zvážiť súradnice, vypočítať posunutie a iné kecy, ktoré sme úplne nič spoločné.
Prečo tieto metódy neefektívne?
Tak sme preskúmali dve rozhodnutia tej istej nerovnosti. Obaja boli veľmi ťažkopádne. V prvom riešení vzniká - len o tom premýšľate! - kombinácia nerovností. Druhé riešenie nie je tiež mimoriadne jednoduché: musíte si zapamätať graf paraboly a ďalšiu banda malých faktov.
Bola to veľmi jednoduchá nerovnosť. Má len 2 faktory. A teraz si predstavte, že nebudú žiadne multiplikátory, a aspoň 4 napríklad:
(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0
Ako vyriešiť takúto nerovnosť? Úlovok cez všetky možné kombinácie výhod a mínusov? Áno, budeme ľahko rýchlejšie, než nájdeme riešenie. Nakreslite program nie je tiež možnosť, pretože nie je jasné, ako sa táto funkcia správa na rovine súradnice.
Pre takéto nerovnosti je potrebný špeciálny algoritmus riešenia, ktorý sme dnes a zvážime.
Čo je intervalová metóda
Intervalová metóda je špeciálny algoritmus určený na riešenie komplexných nerovností formulára F (x)\u003e 0 a F (X)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Riešiť rovnicu F (x) \u003d 0. Namiesto nerovnosti sa dosiahneme rovnica, ktorá je vyriešená oveľa jednoduchšia;
- Označte všetky získané korene na súradnicu. Priama čiara sa teda rozdelí do niekoľkých intervalov;
- Zistite funkciu znamenia (plus alebo mínus) F (x) v intervale vpravo. Aby to urobilo, stačí nahradiť v f (x) akékoľvek číslo, ktoré bude právo na všetky označené korene;
- Značky značky v ostatných intervaloch. Aby to urobilo, stačí si uvedomiť, že pri pohybe cez každý koreň sa zmení znamienko.
To je všetko! Potom bude potrebné zapísať iba intervaly, ktoré nás zaujímajú. Sú označené znakom "+", ak mala nerovnosť formulár F (x)\u003e 0, alebo "-" znamenie, ak je nerovnosť zobrazená F (x)< 0.
Na prvý pohľad sa môže zdať, že intervalová metóda je nejaký druh cínu. Ale v praxi bude všetko veľmi jednoduché. Je potrebné sa mierne precvičiť - a všetko bude jasné. Pozrite sa na príklady - a uistite sa, že sami:
Úlohy. Riešiť nerovnosť:
(x - 2) (x + 7)< 0
Pracujeme podľa metódy intervalu. Krok 1: Nahraďte nerovnosť rovnicu a vyriešite ho:
(x - 2) (x + 7) \u003d 0
Produkt je nulový, ak a len ak je aspoň jeden z multiplikátorov nula:
x - 2 \u003d 0 ⇒ x \u003d 2;
x + 7 \u003d 0 ⇒ x \u003d -7.
Dostali dva korene. Prejdite na krok 2: Všimli sme si tieto korene na súradnicu. Máme:
Teraz Krok 3: Návrh funkcie nájdeme v najvzdialenejšom intervale (príslušný bod x \u003d 2). Ak to chcete urobiť, vezmite si ľubovoľné číslo viac čísel X \u003d 2. Napríklad berieme X \u003d 3 (ale nikto nezakazuje užívanie x \u003d 4, x \u003d 10 a dokonca x \u003d 10 000). Dostaneme:
f (x) \u003d (x - 2) (x + 7);
x \u003d 3;
f (3) \u003d (3 - 2) (3 + 7) \u003d 1,10 \u003d 10;
Získame to, že f (3) \u003d 10\u003e 0, takže v intervale vpravo vpravo položte znamienko plus.
Prejdite na posledný bod - musíte si všimnúť znaky v zostávajúcich intervaloch. Pamätajte, že pri prepnutí každého koreňa by sa znamenie malo zmeniť. Napríklad vpravo od koreňového X \u003d 2 je plus (boli sme presvedčení o tom v predchádzajúcom kroku), takže vľavo je povinná stáť mínus.
Tento mínus sa vzťahuje na celý interval (-7; 2), takže stojí právo na koreň x \u003d -7. V dôsledku toho je vľavo od koreňa X \u003d -7 plus. Zostáva označiť tieto príznaky na súradnicovej osi. Máme:
Poďme sa vrátiť do počiatočnej nerovnosti, ktorá bola ako:
(x - 2) (x + 7)< 0
Funkcia musí byť nižšia ako nula. Takže máme záujem o mínusový znak, ktorý sa vyskytuje len v rovnakom intervale: (-7; 2). Toto bude odpovedať.
Úlohy. Riešiť nerovnosť:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
Krok 1: Vyrovnávame ľavú stranu na nulu:
(x + 9) (x - 3) (1 - x) \u003d 0;
x + 9 \u003d 0 ⇒ x \u003d -9;
x - 3 \u003d 0 ⇒ x \u003d 3;
1 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 1.
Pamätajte: Produkt je nula, keď je aspoň jeden z multiplikátorov nula. Preto sme oprávnení zodpovedať každú jednotlivú držiaku na nulu.
Krok 2: Oslávujeme všetky korene na súradnicu priame:
Krok 3: Zistite, prosím, znak rozdielu vpravo. Vezmeme si ľubovoľné číslo, ktoré je väčšie ako X \u003d 1. Napríklad môžete užívať X \u003d 10. Máme:
f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x \u003d 10;
f (10) \u003d (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) \u003d 19 · 7 · (-9) \u003d - 1197;
f (10) \u003d -1197< 0.
Krok 4: Nastavte zostávajúce značky. Nezabudnite, že pri prechode cez každé koreň sa zmení znamienko. Výsledkom je, že náš obrázok bude vyzerať takto:
To je všetko. Zostáva len odpísať odpoveď. Pozrite sa znova na pôvodnú nerovnosť:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
Toto je nerovnosť formulára f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (-9; 1) ∪ (3; + ∞)
Toto je odpoveď.
Poznámka na známky funkcie
Prax ukazuje, že najväčšie ťažkosti v metóde intervalu sa vyskytujú v posledných dvoch krokoch, t.j. Pri obložení značiek. Mnohí študenti začínajú byť zmätení: Čo potrebujete na to, aby ste mohli brať čísla a kde sa dávať známky.
Nakoniec vyriešiť metódu intervalu, zvážte dve pripomienky, na ktoré je postavený:
- Nepretržitá funkcia zmení znamenie len v týchto bodoch, \\ t kde sa rovná nule. Takéto body prelomia osi súradnice na kusy, vo vnútri, v ktorej sa funkcia označí nikdy nezmení. To je dôvod, prečo vyriešime rovnicu f (x) \u003d 0 a osláviť nájdené korene na priamke. Zistené čísla sú "hraničné" body oddeľujúce výhody mínov.
- Aby ste zistili znamenie funkcie na akomkoľvek intervale, stačí nahradiť ľubovoľné číslo z tohto intervalu. Napríklad pre interval (-5; 6) máme právo na prevzatie X \u003d -4, X \u003d 0, X \u003d 4 a dokonca X \u003d 1,29374, ak chceme. Prečo je to dôležité? Áno, pretože mnohí študenti začínajú okusovať pochybnosti. Hovorí sa, že ak pre X \u003d -4 dostaneme plus, a pre X \u003d 0 - mínus? A nič - to nikdy nebude. Všetky body v rovnakom intervale dávajú rovnaké označenie. Zapamätaj si to.
To je všetko, čo potrebujete vedieť o metóde intervalu. Samozrejme, že sme ho rozobrali jednoduchá verzia. Existuje komplexnejšie nerovnosti - neuveriteľné, frakčné a opakované korene. Pre nich možno použiť aj intervalový spôsob, ale toto je téma pre samostatnú veľkú lekciu.
Teraz by som rád rozobral pokročilý príjem, ktorý ostro zjednodušuje metódu intervalu. Presnejšie, zjednodušenie ovplyvňuje len tretí krok - výpočet označenia na pravej strane priameho. Z nejakého dôvodu táto technika neprechádza v školách (prinajmenšom, nikto to vysvetľuje). A zbytočne - Koniec koncov, v skutočnosti, tento algoritmus je veľmi jednoduchý.
Takže znamenie funkcie na pravej strane numerickej osi. Tento kus má formu (A; + ∞), kde A je najväčším koreňom rovnice F (x) \u003d 0. Aby sme nevyhodili mozog, zvážte konkrétny príklad:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) \u003d 0;
x - 1 \u003d 0 ⇒ x \u003d 1;
2 + x \u003d 0 ⇒ x \u003d -2;
7 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 7;
Máme 3 korene. Uvádzame ich vo vzostupnom poradí: X \u003d -2, X \u003d 1 a X \u003d 7. Je zrejmé, že najväčší koreň je x \u003d 7.
Pre tých, ktorí jednoduchšie uľahčujú argumentovať graficky, všimnem si tieto korene na súradnicu priame. Poďme sa pozrieť čo sa stalo:
Je potrebné nájsť funkciu funkcie F (x) v intervale vpravo, t.j. na (7; + ∞). Ale ako sme už zaznamenali, môžete si vziať ľubovoľné číslo z tohto intervalu, aby ste zistili znamenie. Môžete napríklad vziať x \u003d 8, x \u003d 150 atď. A teraz - samotná recepcia, ktorá neprechádza v školách: Vezmime nekonečno ako číslo. Presnejšie plus nekonečno. + ∞.
"Podviedli ste? Ako môžem nahradiť nekonečno? " - Môžete sa opýtať. Ale myslím: Nepotrebujeme hodnotu funkcie, potrebujeme len znamenie. Z tohto dôvodu, napríklad hodnoty f (x) \u003d -1 a f (x) \u003d -938 740 576 215, znamená to isté: funkcia v tomto intervale je negatívna. Preto všetko, čo sa vyžaduje, je nájsť znamenie, ktoré sa vyskytuje na nekonečno, a nie hodnotu funkcie.
V skutočnosti, nahradiť nekonečno veľmi jednoduché. Vráťme sa k našej funkcii:
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x)
Predstavte si, že X je veľmi veľké množstvo. Miliardy alebo dokonca bilióna. Pozrime sa, čo sa stane v každej konzole.
Prvá konzola: (x - 1). Čo sa stane, ak sa z miliardy odpočítajú jednotku? Ukazuje sa, že číslo, ktoré sa nelíši najmä od miliardy a toto číslo bude pozitívne. Podobne s druhým držiakom: (2 + x). Ak na dvakrát pridáte miliardu, dostaneme miliardu s Penny - toto je kladné číslo. Nakoniec, tretí držiak: (7 - x). Bude existovať miliarda mínus, z ktorej "rozbitý" žalostný kúsok vo forme sedem. Tí. Výsledné číslo nie je oveľa odlišné od mínus miliardy - to bude záporné.
Zostáva nájsť znamenie všetkej práce. Vzhľadom k tomu, že sme mali plus v prvých zátvorkách av druhom - mínus dostaneme nasledujúci dizajn:
(+) · (+) · (−) = (−)
Záverečné znamenie - mínus! A bez ohľadu na to, čo sa rovná hodnote samotného funkcie. Hlavná vec je, že táto hodnota je negatívna, t.j. V pravom intervale je mínus podpísať. Zostáva vykonať štvrtý krok metódy intervalu: rozšíriť všetky znaky. Máme:
Počiatočná nerovnosť opísaná:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0
Preto máme záujem o intervaly označené mínusom. Odpoveď vypočítame:
x ∈ (-2; 1) ∪ (7; + ∞)
To je celá technika, ktorú som chcel povedať. Na záver, ďalšia nerovnosť, ktorá je riešená metódou intervalov so zapojením nekonečna. Na vizuálne zníženie riešenia nebudem písať počet krokov a nasadené pripomienky. Budem písať len to, čo naozaj potrebujete písať pri riešení skutočných úloh:
Úlohy. Riešiť nerovnosť:
x (2x + 8) (X - 3)\u003e 0
Nahradíme nerovnosť rovnicu a vyriešime ho:
x (2x + 8) (x - 3) \u003d 0;
x \u003d 0;
2x + 8 \u003d 0 ⇒ x \u003d -4;
x - 3 \u003d 0 ⇒ x \u003d 3.
Oslávujeme všetky tri korene na koordinácii priamky (okamžite so znakmi):
Vpravo na súradnicovej osi je plus, pretože Funkcia má formulár:
f (x) \u003d x (2x + 8) (x - 3)
A ak nahradíme nekonečno (napríklad miliardu), dostaneme tri pozitívne konzoly. Keďže počiatočný výraz by mal byť väčší ako nula, zaujímame sa len o výhody. Zostáva vypísaná odpoveď:
x ∈ (-4; 0) ∪ (3; + ∞)
Intervalová metóda - jednoduchý spôsob, ako riešiť frakčné racionálne nerovnosti. Takzvané nerovnosti obsahujúce racionálne (alebo frakčné-racionálne) výrazy v závislosti od premennej.
1. Zvážte napríklad takúto nerovnosť
Intervalová metóda vám umožňuje vyriešiť ho za pár minút.
Na ľavej strane tejto nerovnosti - frakčná racionálna funkcia. Rational, pretože neobsahuje korene, ani dutiny, žiadne logaritmy - len racionálne výrazy. Vpravo - nula.
Intervalová metóda je založená na nasledujúcej vlastnosti frakčnej racionálnej funkcie.
Frakčná racionálna funkcia môže zmeniť znamenie len v tých bodoch, v ktorých je nula alebo neexistuje.
Pripomíname, pretože je zložené na multiplikátoroch, štvorcové tri klesá, to znamená, že výraz formy.
Kde a - korene štvorcová rovnica.
Os nakreslíme a nastavujeme body, v ktorých sa čitateľ a menovateľ aplikujú na nulu.
Zeros denominátora a - frivodných bodov, pretože v týchto bodoch nie je definovaná funkcia na ľavej strane nerovnosti (nie je možné rozdeliť na nulu). Nuly numeratora a - maľované, ako nerovnosť nestar. A na našu nerovnosť sa vykonáva, pretože obe časti sú nulové.
Tieto body prelomia os do medzier.
Určite znamenie frakčnej racionálnej funkcie na ľavej strane našej nerovnosti na každom z týchto medzier. Pamätáme si, že frakčná racionálna funkcia môže zmeniť znamenie len v tých bodoch, v ktorých je nula alebo neexistuje. To znamená, že na každej z medzier medzi bodmi, kde sa čitateľ alebo menovateľ zmení na nulu, znamenie výrazu na ľavej strane nerovnosti bude trvalé - buď "plus" alebo "mínus".
A preto určiť znamenie funkcie v každom takomto intervale, berieme akýkoľvek bod patriaci do tejto medzery. Ten, ktorý nás je vhodné.
. Vezmite si napríklad a skontrolujte znamenie výrazu na ľavej strane nerovnosti. Každý z "zátvoriek" je negatívny. Ľavá strana má znamenie.
Ďalšia medzera :. Skontrolujte označenie na. Získame, že ľavá časť zmenila označenie.
Vziať. Pri výskyte pozitívne je v dôsledku toho pozitívne v celom rozsahu od do.
Na ľavej časti nerovnosti je negatívna.
A nakoniec, trieda \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: X\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Zistili sme, aké obdobia je výraz pozitívny. Zostáva zapísať odpoveď:
Odpoveď:.
Upozornenie: Nápisy na intervaloch sa striedajú. Stalo sa to preto, že pri pohybe cez každý bod, presne jeden z lineárnych multiplikátorov zmenil znamenie a zvyšok sa nechalo nezmenený.
Vidíme, že metóda intervalu je veľmi jednoduchá. Aby ste vyriešili spôsob frakčnej racionálnej nerovnosti intervalov, dajte mu na mysli:
Alebo Trieda \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: genfrac () () () () (0) (\\ t \\ t"> !}alebo alebo.
(Na ľavej strane - frakčná racionálna funkcia, vpravo - nula).
Potom - poznámka na číselnom priamom bode, v ktorom sa čitateľ alebo menovateľ aplikuje na nulu.
Tieto body prelomte celú číslicu priamo na medzery, na každom z nich šetrí frakčnú racionálnu funkciu jeho znamenie.
Zostáva len preto, aby zistili svoje znamenie v každom intervale.
Robíme to tým, že kontrolujeme znamenie výrazu kdekoľvek patrí tejto medzere. Potom napíšte odpoveď. To je všetko.
Ale vzniká otázka: je vždy náznaky striedavé? Nie vždy! Je potrebné byť pozorný a nie na usporiadanie znamení mechanicky a bezmyšlienkovité.
2. Zvážiť ďalšiu nerovnosť.
Trieda \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: genfrac () () () (0) (\\ t \\ t Ľavý (x-3 vpravo))\u003e 0"> !}
Opätovné otvorenie bodov na osi. Body a - prehľadávajú, pretože sú nuly denominátora. Bod je tiež maľovaný, pretože nerovnosť je prísna.
Numerátor je pozitívny, oba multiplikátor v denominátore sú negatívne. Je ľahké skontrolovať napríklad pri použití ľubovoľného čísla z tohto intervalu. Ľavá strana má znamenie:
S číslom je pozitívny; Prvým faktorom v denominátore je pozitívny, druhý faktor je negatívny. Ľavá strana má znamenie:
So situáciou to isté! Numerátor je pozitívny, prvý faktor v denominátor je pozitívny, druhý je negatívny. Ľavá strana má znamenie:
Nakoniec, s triedou \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: X\u003e 3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Odpoveď:.
Prečo bol striedanie značiek? Pretože pri pohybe cez bod "zodpovedný" pre jej multiplikátor nezmenil znamenie. V dôsledku toho nezmenil znamenie a celú ľavú časť našej nerovnosti.
Výkon: ak je lineárny multiplikátor v jasnom stupni (napríklad na námestí), potom pri prechode cez bod sa znak výrazu v ľavej časti nezmení. V prípade častého znamenia, samozrejme, zmeny.
3. Zvážte viac Ťažký prípad. Od predchádzajúceho sa rozlišuje skutočnosť, že nerovnosť je nerovnováha:
Ľavá časť je rovnaká ako v predchádzajúcej úlohe. To isté bude obraz značiek:
Možno bude odpoveď rovnaká? NIE! Roztok sa pridá, pretože, s ľavou a pravou časťou nerovnosti sú preto nula - preto je tento bod riešenie.
Odpoveď:.
V úlohe skúšky v matematike je táto situácia bežná. Tu žalobcovia padajú do pasce a strácajú body. Buď opatrný!
4. Čo ak čitateľ alebo menovateľ nerozloží na lineárnych multiplikátoroch? Zvážte takúto nerovnosť:
Square tri stávky na rozkladanie je nemožné: diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Ale je to dobré! To znamená, že znak expresie vôbec je rovnaký a konkrétne - je pozitívny. Viac o tom môžete prečítať v článku o vlastnostiach kvadratickej funkcie.
A teraz môžeme zdieľať obe časti našej nerovnosti za hodnotu pozitívne vôbec. Príďte na ekvivalentnú nerovnosť:
Ktorý je ľahko vyriešený metódou intervalu.
Upozornenie - zdieľali sme obe časti nerovnosti podľa množstva, o ktorej presne vedeli, že to bolo pozitívne. Samozrejme, vo všeobecnosti nie je potrebné znásobiť alebo rozdeliť nerovnosť premennej hodnote, ktorého znak nie je známy.
5 . Zvážte ďalšiu nerovnosť, je to celkom jednoduché:
Takže chcem to znásobiť. Ale sme už šikovní, a my to neurobíme. V skutočnosti to môže byť pozitívne aj negatívne. A vieme, že ak sa obe časti nerovnosti vynásobia zápornou hodnotou - znamenie zmien nerovnosti.
Urobíme inak - budeme zbierať všetko v jednej časti a dávame všeobecnému menovatu. Pravá časť zostane nula:
Trieda \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: genfrac () () () (0) (Displaystyle X-2) (\\ t"> !}
A potom - použiteľné intervalová metóda.
Dôležité pripomienky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte Abracadabra, vyčistite cache. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je tu napísané:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru užitočný zdroj pre
Túto metódu potrebujete, aby ste to pochopili a viete, ako vaše päť prstov! AK len preto, že sa používa na riešenie racionálnych nerovností a preto, že pozná túto metódu, ako by mala, vyriešiť tieto nerovnosti prekvapivo. O niečo neskôr odhalím niekoľko tajomstiev, ako ušetriť čas na riešenie týchto nerovností. No, zaujatý? Potom sme išli!
Podstatou metódy pri rozklade nerovnosti multiplikátorov (vymeňte tému) a definíciu OTZ a znamenie továrne, teraz budem vysvetľovať všetko. Najjednoduchší príklad :.
Región prípustné hodnoty () Nie je potrebné tu písať, pretože neexistujú žiadne divízie na premennej a radikály (korene) tu nie sú pozorované. Faktory tu sú pre nás tak rozložené. Ale nerealizujte, že je to všetko, čo pripomínajú základy a pochopiť podstatu!
Predpokladajme, že nepoznáte metódu intervalov, ako by ste sa rozhodli túto nerovnosť? Prísť logicky a čerpať z toho, čo už viete. Po prvé, ľavá strana bude väčšia ako nula, ak sú oba výrazy v zátvorkách buď viac nula, alebo menej nula, pretože Plus na plus dáva "plus" a "mínus" na "mínus" dáva "plus", že? A ak sú príznaky vo výrazoch v zátvorkách odlišné, potom na konci bude ľavá časť menšia ako nula. A čo potrebujeme poznať významy, v ktorých výrazy v zátvorkách budú negatívne alebo pozitívne?
Musíme vyriešiť rovnicu, je to presne to isté ako nerovnosť, len namiesto nápisu tam bude znamenie, korene tejto rovnice vám umožnia určiť tie hraničné hodnoty, počas ústupu, z ktorého budú multiplikátory väčšie alebo menej ako nula.
A teraz intervaly sami. Aký je interval? Toto je numerická priamka, to znamená, že všetky možné čísla uzatvorené medzi dvoma niektorými číslami sú konce intervalu. Tieto intervaly nie sú také jednoduché predloženie, takže intervaly sú považované na čerpanie, teraz vedecké.
Nakreslíme os os, obsahuje celú numerickú sériu z a do. Na osi sa body aplikujú, najviac tzv. Zeros funkcií, hodnoty, v ktorých je výraz nula. Tieto body "vyvíjajú", čo znamená, že sa nevzťahujú na počet týchto hodnôt, v ktorých je nerovnosť pravdivá. Na adrese tento prípad, Svietia, pretože Znamenie nerovnosti a nie, to znamená, že je prísne väčšie a viac alebo rovné.
Chcem povedať, že nie je potrebné poznamenať nulu, je tu bez kruhov, a tak, na pochopenie a orientáciu pozdĺž osi. Dobre, os bol natretý, body (presnejšie hrnček) dal, ďalej čo, ako by mi to pomohlo pri riešení? - Pýtate sa vás. Teraz jednoducho vezmite hodnotu pre ICA z intervalov v poriadku a podávajte ich do svojej nerovnosti a zistite, ktoré podpísanie bude v dôsledku násobenia.
Stručne povedané, len, napríklad, že ho tu nahrádzame, to sa ukáže, a to znamená v celom intervale (v priebehu intervalu), z ktorých sme si vzali, nerovnosť bude spravodlivá. Inými slovami, ak X je z predtým, potom je nerovnosť pravdivá.
Robím to isté s intervalom z intervalu pred, berieme, alebo napríklad sme nahrádzame, definujeme znamenie, značka bude "mínus". A robíme to isté s postgraduálnym, tretím intervalom od, kde označenie bude "plus". Takéto veľa textu vyšiel, ale trochu jasnosť je pravda?
Pri pohľade na nerovnosť.
Teraz sa všetko aplikuje aj na tú istú os a príznaky, ktoré budú mať za následok výsledok. Zlomená čiara, v mojom príklade, uvádzame pozitívne a negatívne časti osi.
Pozrite sa na nerovnosť - na výkrese, opäť na nerovnosť - a opäť k výkreseJe niečo jasné? Skúste teraz povedať, že v akých intervaloch ICA bude nerovnosť pravdivá. To je pravda, z nerovnosti bude pravdivé a pred, a v intervale od nerovnosti nula a táto medzera je malými záujmami, pretože máme znamenie nerovnosti.
No, pretože ste to prišli na to, potom je to malé - napísať odpoveď! V reakcii, píšeme tie medzery, v ktorom je ľavá strana viac ako nula, ktorá je čítaná ako X-line patrí z mínus nekonečna, aby mínus jeden a dva plus nekonečno. Stojí za to objasniť, že zátvorky znamenajú, že hodnoty obmedzené intervalom nie sú riešením nerovnosti, to znamená, že nie sú zahrnuté v reakcii, ale len naznačujú, že predtým, ale nie riešenie.
Teraz príklad, v ktorom budete mať nielen interval na čerpanie:
Čo si myslíte, čo by sa malo vykonať pred bodom na osi? Áno, faktory rozkladajú:
Nasávame intervaly a nastavujeme známky, všimnite si body z nás, aby sme boli zmrazené, pretože znamenie je striktne menej ako nula:
Je čas odhaliť vám jedno tajomstvo, ktoré som sľúbil na začiatku tejto témy! A čo keď vám poviem, že nemôžete nahradiť hodnoty z každého intervalu, aby ste zistili znamenie, ale môžete definovať znak v jednom z intervalov a v ostatných len alternatívnych značkách!
Tak sme zachránili trochu času na pripevnenie znakov - myslím, že tento čas vyhral na skúške, nebráni!
Píšeme odpoveď:
Teraz zvážte príklad frakčnej racionálnej nerovnosti - nerovnosti, z ktorých obe časti sú racionálne výrazy (pozri).
Čo môžete povedať o tejto nerovnosti? A pozeráte sa na to ako frakčnú racionálnu rovnicu, čo robíme ako prvý? Ihneď vidíme, že neexistujú žiadne korene, to znamená určite racionálne, ale okamžite frakcia, a to aj s neznámym v denominátore!
TRUE, OTZ potrebujú!
Takže, ďalej šiel, tu všetky faktory okrem toho, že majú premennú prvého stupňa, ale je tu násobiteľ, kde X je druhý stupeň. Zvyčajne sa znamienko zmenilo po prechode cez jeden z bodov, v ktorých ľavá časť nerovnosti má nulovú hodnotu, pre ktorú sme určili, čo je X rovná ex v každom multiplikácii. A tu, takže je vždy pozitívne, pretože Akékoľvek číslo v štvorcových\u003e nula a pozitívne podmienky.
Čo si myslíte, že ovplyvní význam nerovnosti? Právo - neovplyvní! Môžeme sa bezpečne rozdeliť na obe časti nerovnosti a tým odstrániť tento multiplikátor tak, aby oči nevolali.
je čas nakresliť intervaly, ktoré by mohli čerpať, pretože je potrebné definovať tie hranice hodnoty, počas ústupu, z ktorého budú multiplikátory väčšie a menej ako nula. Ale venovať pozornosť, že označenie znamená bod, v ktorom ľavá časť nerovnosti berie nulovú hodnotu, nebudeme čerpať, že je to medzi riešeniami, taký bod, ktorý máme, je to miesto, kde X sa rovná jeden. A bod, kde je denominátor negatívny do jadra? - Samozrejme, že nie!
Dennominátor by nemal byť nula, takže interval bude vyzerať takto:
Pre túto schému môžete ľahko napísať odpoveď, len hovorím, že teraz máte k dispozícii, že je tu nový typ držiak - námestie! Tu je taký držiak [ Hovorí, že hodnota je zahrnutá v intervale riešení, t.j. Je súčasťou odpovede, táto konzola zodpovedá na maľovanú (nie maľovanú) bod na osi.
Tu, - Dostali ste tú istú odpoveď?
Rozkladáme sa na faktory a prevezmeme všetko v jednom smere, musíme zostať len na pravej strane, porovnávať s ním:
Zaplatím vašu pozornosť, že v poslednej transformácii, aby som sa dostal do numerátora ako v denominátori, som znásobil obe časti nerovnosti. Pamätajte, že pri násobení oboch častí nerovnosti, znamenie nerovnosti sa zmení na opak !!!
Píšeme ...
V opačnom prípade sa denominátor obráti na nulu, a na nule, ako si pamätáte, nie je možné zdieľať!
Súhlasím, vo výslednej nerovnosti je zamáhaná na zníženie čísela a menovateľa! Je to nemožné urobiť, môžete stratiť niektoré rozhodnutia alebo ...
Teraz sa pokúste aplikovať body na osi. Všimnite si len na to, že pri použití bodov je potrebné venovať pozornosť tomu, že bod s hodnotou, ktorá prebieha zo znamenia, by sa zdanlivo mala aplikovať na osi, ako je maľované, nebude maľované, bude sa pýtať! Prečo sa pýtaš? A ešte si pamätáte, nebudujete ho zdieľať za nulu?
Pamätajte si, že vlastný je nad všetkými! Ak všetka nerovnosť a príznaky rovnosti hovoria jedna vec, a OTZ je ďalšia, trust OST, skvelé a mocné! No, vybudovali ste intervaly, som si istý, že ste využili môj náznak o striedaní a urobili ste to takto (pozri obrázok nižšie) a teraz ste fajčiť, a neopakujte túto chybu viac! Aká chyba? - Pýtate sa vás.
Faktom je, že v tejto nerovnosti sa multiplikátor opakoval dvakrát (zapamätajte si, ako ste to stále ponáhľali?). Takže, ak sa multiplikátor opakuje v nerovnosti, dokonca aj počtu času, potom pri prechode cez bod na osi, ktorý čerpá tento multiplikátor na nulu (v tomto prípade, bod) nezmení znamenie, ak je nepárne, potom Zmeny znamenia!
Bude verný nasledujúcou osou s intervalmi a značkami:
A venovať pozornosť, že označenie nie je záujem nie ten, ktorý bol na začiatku (keď sme videli len nerovnosť, znamenie bolo), po transformáciách sa znamenie zmenilo, čo znamená, že máme záujem o medzery s a podpísať.
Odpoveď:
Poviem, že existujú situácie, keď existujú korene nerovností, ktoré nie sú zahrnuté v žiadnom intervale, v reakcii sú zaznamenané v kučeravých zátvorkách, takto, napríklad :. Môžete si prečítať viac o takýchto situáciách na strednom článku.
Poďme zhrnúť, ako riešiť nerovnosti podľa intervalovej metódy:
- Nosíme všetko do ľavej časti, ponecháme len nulu vpravo;
- Nájdeme ...
- Uplatňujeme na osi všetky korene nerovnosti;
- Prijímame ľubovoľné z jedného z medzier a určiť znamenie v intervale, do ktorého koreň patrí, striedavo príznaky, venovanie pozornosti na korene, opakujúce sa v nerovnosti niekoľkokrát, z paritu alebo počítať množstvo ich opakovania, zmení znamenie, keď alebo nie;
- V reakcii na intervaly píšeme, dodržiavame práčku a nie náterové body (pozri OTZ), ktorým medzi nimi uveďte potrebné typy konzol.
No, nakoniec, náš obľúbený nadpis, "Urob to sám"!
PRÍKLADY:
Odpovede:
Metóda intervalu. Stredná úroveň
Lineárna funkcia
Lineárne sa nazýva funkcia formulára. Zvážte napríklad funkciu. Je pozitívny a negatívny, keď. Bod je nulová funkcia (). Ukážme znaky tejto funkcie na číselnej osi:
Hovoríme, že "Funkcia zmení znak pri prechode cez bod."
Je možné vidieť, že funkcie funkcie zodpovedajú polohe funkcie funkcie: ak je plán nad osou, znak "", ak je nižšie - "".
Ak zovšeobecňujeme výsledné pravidlo na ľubovoľné lineárna funkcia, Mám takýto algoritmus:
- Nájdeme nulové funkcie;
- Poznamenávame to na číselnej osi;
- Určite znak funkcie na rôznych stranách nuly.
Kvadrická funkcia
Dúfam, že si spomeniete, ako sa riešia námestné nerovnosti? Ak nie, prečítajte si tému. Pripomínam všeobecný pohľad kvadrická funkcia: .
Pozrime si, ktoré značky dostanú kvadratickú funkciu. Jeho graf - parabola a funkcia berie znamenie "" s takým, v ktorom je parabola nad osou, a "" - ak je parabola pod osou:
Ak má funkcia nuly (hodnoty, v ktorých), parabola prechádza os osou v dvoch bodoch - korene zodpovedajúcej štvorcovej rovnice. Os je teda rozdelená do troch intervalov a príznaky funkcie sa striedajú pri pohybe cez každé koreň.
Je možné nejako definovať signály bez výkresu zakaždým, keď parabola?
Pripomeňme, že námestie tri zníženie sa môže rozložiť na faktory:
Napríklad: .
Poznámka Roots na osi:
Pamätáme si, že označenie funkcie sa môže zmeniť len pri prechode cez koreň. Používame túto skutočnosť: Pre každý z troch intervalov, na ktoré je os rozdelená koreňmi, stačí určiť funkciu funkcie len v jednom svojvoľne zvolenom bode: v iných bodoch intervalu bude znak rovnaký .
V našom príklade: Keď sú obaja výrazy v zátvorkách pozitívne (nahrádzame napríklad :). Dali sme na označenie osi "":
No, keď (napríklad predkladá) sú oba zátvorky negatívne, znamená to, že práca je pozitívna:
To je to, čo to je intervalová metóda: Poznanie príznakov faktorov v každom intervale, definujeme znamenie všetkých prác.
Zvážte aj prípady, keď nie sú žiadne nuly funkcie, alebo je to len jeden.
Ak nie sú žiadne, potom nie sú žiadne korene. Takže, nebude "prechod cez koreň". Takže funkcia na celej numerickej osi trvá len jeden znak. Je ľahké určiť, nahradiť do funkcie.
Ak je koreň len jeden, parabol je dotýka osi, takže funkcia sa nemení pri pohybe cez koreň. Aké pravidlo príde na takéto situácie?
Ak takáto funkcia rozložíte na multiplikátoroch, dvaja identické multiplikátory sa ukážu:
A akýkoľvek výraz na námestí nie je nonnegatívny! Preto sa funkcia funkcie nezmení. V takýchto prípadoch budeme prideliť koreň, keď sa pohybuje, cez ktorý sa označenie nezmení, krúžil sa s námestím:
Takýto koreň bude nazývaný viac.
Intervalová metóda v nerovnostiach
Teraz môže byť nejaká štvorcová nerovnosť vyriešená bez výkresu paraboly. Stačí len na umiestnenie príznakov kvadratickej funkcie na osi a vybrať intervaly v závislosti od znamenia nerovnosti. Napríklad:
Myslite korene na osi a laické znamenia:
Potrebujeme časť osi so znakom ""; Od nerovnosti nepokojov sú samotné korene zahrnuté aj do riešenia:
Teraz zvážte racionálnu nerovnosť - nerovnosť, z ktorých obe časti sú racionálne výrazy (pozri).
Príklad:
Všetky faktory okrem jedného - - tu "lineárne", to znamená, že obsahuje premennú len v prvom stupni. Takéto lineárne multiplikátory sú potrebné na použitie intervalovej metódy - pri pohybe cez svoje korene sa mení. Ale multiplikátor nemá korene vôbec. To znamená, že je vždy pozitívny (skontrolovať sami), a preto nemá vplyv na znamenie všetkých nerovností. To znamená, že môže byť rozdelená ľavou a pravou stranou nerovnosti, a tak sa ho zbavte:
Teraz je všetko rovnaké, ako to bolo square nerovnosti: Zistite, ktoré body každý z multiplikátorov pridať do nuly, označte tieto body na osi a usporiadajte znamenia. Venujem pozornosť veľmi dôležitú skutočnosť:
Odpoveď:. Príklad :.
Ak chcete použiť metódu intervalov, je potrebné, aby sa v jednej z častí nerovnosti. Preto prenesieme pravú stranu doľava:
V čitateľovi a denominátori, ten istý multiplikátor, ale nie v zhone, aby ste ho rezali! Koniec koncov, potom môžeme zabudnúť na nákup tohto bodu. Je lepšie poznamenať, že tento koreň ako násobok, to znamená, že pri pohybe cez neho sa znak nezmení: 
Odpoveď:.
A ešte jeden ukážkový príklad:
Opäť, neznižujeme tie isté multiplikátory čísla a denominátora, pretože ak sa znížime, budeme musieť špecificky zapamätať si, že potrebujete kúpiť bod.
- : opakované časy;
- : časy;
- : Times (v čitateľovi a jeden v denominátoroch).
V prípade rovnomerného čísla robíme to isté ako predtým: Dodávame bod na námestí a pri pohybe koreňom nezmeníme. V prípade nepárnej sumy sa však toto pravidlo nevykoná: Znamenie sa bude stále meniť počas prechodu cez koreň. Preto, s takýmto koreňom, nerobíme navyše nič, ako keby to nebolo viacnásobné. Uvedené pravidlá sa týkajú všetkých dokonca a nepárnych titulov. 
Čo píšeme do odpovede?
Ak existuje porušenie striedania značiek, je potrebné byť veľmi pozorný, pretože s nezrozumiteľnou nerovnosťou v reakcii všetky maľované body. Ale niektoré z Nah často stoja sídlo, to nie je zahrnuté do maľovanej oblasti. V tomto prípade ich pridávame do odpovede ako izolované body (v kučeravých zátvorkách):
Príklady (riešenie):
Odpovede:
- Ak je medzi multiplikátormi jednoducho koreň, pretože môže byť reprezentovaný ako.
.
Metóda intervalu. Stručne o hlavnej veci
Intervalová metóda sa používa na riešenie racionálnych nerovností. Leží pri určovaní znamenia práce na príznakoch faktorov v rôznych intervaloch.
Algoritmus na riešenie racionálnych nerovností podľa intervalov.
- Nosíme všetko do ľavej časti, ponecháme len nulu vpravo;
- Nájdeme ...
- Uplatňujeme na osi všetky korene nerovnosti;
- Prijímame ľubovoľné z jedného z medzier a určiť znamenie v intervale, do ktorého koreň patrí, striedavo príznaky, venovanie pozornosti na korene, opakujúce sa v nerovnosti niekoľkokrát, z paritu alebo počítať množstvo ich opakovania, zmení znamenie, keď alebo nie;
- V reakcii na intervaly píšeme, dodržiavame práčku a nie náterové body (pozri OTZ), ktorým medzi nimi uveďte potrebné typy konzol.
No, téma je dokončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak čítate na koniec, potom ste sa dostali do týchto 5%!
Teraz najdôležitejšia vec.
Prišli ste o teóriu na túto tému. A opakujem, že ... je to len super! Si lepšia ako absolútna väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť ...
Prečo?
Pre Úspešné doručenie EGE, na prijatie do inštitútu o rozpočte a čo je najdôležitejšie pre život.
Nebudem ťa niečo presvedčiť, povedzme len jednu vec ...
Ľudí, ktorí dostali dobré vzdelanieStroj oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Ide o štatistiky.
Ale nie je to hlavná vec.
Hlavnou vecou je, že sú šťastnejšie (existuje taký výskum). Možno preto, že existuje oveľa viac príležitostí v prospech nich a život sa stáva jasnejší? Neviem...
Ale myslím, že sám ...
Čo potrebujete, aby ste boli určite lepšie ako iní na skúške a buďte nakoniec ... šťastnejší?
Vyplňte ruku riešením úloh na túto tému.
Nebudete klásť teóriu na skúške.
Budete potrebovať riešiť úlohy na chvíľu.
A ak ste ich nevyriešili (veľa!), Určite ste bláznivo mýlite alebo nemajú čas.
Je to ako v športe - musíte opakovať mnohokrát, aby ste si mohli vyhrať.
Nájdite tam, kde chcete zbierku, nevyhnutne s riešeniami, podrobná analýza A rozhodnite sa, rozhodnite sa!
Naše úlohy môžete použiť (nie nevyhnutne) a my, samozrejme, odporúčame im.
Aby ste vyplnili ruku pomocou našich úloh, musíte pomôcť rozšíriť život na učebnicu YouCEVER, ktorú teraz čítate.
Ako? Existujú dve možnosti:
- Otvorený prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
- Otvorený prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpiť učebnica - 499 rubľov
Áno, máme 99 takýchto článkov v našom učebniciach a prístup pre všetky úlohy a všetky skryté texty možno okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je zabezpečený pre celú existenciu lokality.
Na záver...
Ak sa naše úlohy nepáči, nájdite ostatných. Len sa nezastavujte na teórii.
"Rozumiem" a "môžem sa rozhodnúť" je úplne iné zručnosti. Potrebujete obaja.
Nájdite úlohu a rozhodnite sa!
Predpokladá sa, že intervalová metóda je univerzálna na riešenie nerovností. Niekedy sa táto metóda nazýva aj metóda intervalov. Uplatňujeme tak na riešenie racionálnych nerovností s jednou premennou a na nerovnosti iných druhov. V našom materiáli sme sa snažili venovať pozornosť všetkým aspektom tejto otázky.
Čo vás čaká v tejto časti? Analyzujeme metódu medzier a zvážime algoritmy pre solvelifikáciu s ním. Pohon teoretické aspektyna ktorom je založené používanie metódy.
Osobitnú pozornosť venujeme témy nuansy, ktoré zvyčajne nie sú ovplyvnené v rámci Školský program. Napríklad zvážte pravidlá pre umiestnenie značiek v intervaloch a samotnom intervale všeobecný Bez jeho záväzného na racionálne nerovnosti.
Yandex.rtb R-A-339285-1
Algoritmus
Kto si pamätá, ako sa zoznámiť s metódou medzier v školskom roku ALGEBRA? Zvyčajne všetko začína riešením nerovností formulára f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > alebo ≥). Tu môže f (x) môže byť polynómový alebo polynómový pomer. Polynóm môže byť zase reprezentovaný ako:
- produkt lineárnych biokínov s koeficientom 1 s variabilnou X;
- zloženie Štvorcové tresty S vyšším koeficientom 1 as negatívnymi diskriminantmi ich koreňov.
Dávame niekoľko príkladov takýchto nerovností:
(x + 3) · (x 2 - x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,
(X - 2) · (x + 5) x + 3\u003e 0,
(X - 5) · (x + 5) ≤ 0,
(x 2 + 2 · x + 7) · (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 · (x - 1) · (x - 3) 7 ≤ 0.
Píšeme algoritmus, aby vyriešili nerovnosti tohto druhu, ako sme viedli v príkladoch, metóda intervalov:
- nájdeme nuly numerator a denominátor, pre tento čitateľ a nomenpretátor výrazu na ľavej strane nerovnosti je nula a riešiť získané rovnice;
- určujeme body, ktoré zodpovedajú zisteným nuosom a označujeme ich v osi súradníc;
- určite príznaky výrazu f (x) z ľavej strany nerovnosti, ktorá sa má vyriešiť v každom intervale a dať ich na graf;
- použite vyliahnutie na požadované časti harmonogramu, vedené Ďalšie pravidloV prípade, že nerovnosť má podpisy< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > alebo ≥, potom zvýrazňujeme oblasti zdvihu označené znakom "+".
Cellrezh, s ktorým budeme pracovať, môže mať schematický pohľad. Nepotrebné údaje môžu preťažiť výkres a sťažovať sa. Budeme trochu zaujíma o mierku. Bude stačiť, aby sa dodržať správne umiestnenie Body, keďže hodnoty ich koordinátov rastú.
Pri práci s prísnymi nerovnosťami použijeme označenie bodu vo forme kruhu s nezrelými (prázdnymi) centrom. V prípade neuveriteľných nerovností, body, ktoré zodpovedajú nulyom denominátora, budeme zobrazené prázdne a všetky ostatné sú obyčajné čierne.
Poznamenané body rozdelila koordináciu priamo do niekoľkých číselných medzier. To nám umožňuje získať geometrické znázornenie numerickej súpravy, čo je vlastne riešením tejto nerovnosti.
Vedecké základy metódy intervalov
Na základe spôsobu medzier na základe nasledujúcej vlastnosti. nepretržitá funkcia: Funkcia si zachováva trvalý znak na intervale (A, B), na ktorom je táto funkcia kontinuálna a nevzťahuje sa na nulu. Táto vlastnosť je charakteristická pre numerické lúče (- ∞, a) a (A, + ∞).
Špecifikovaná funkcia funkcie potvrdená Bolzano-Cauchy teorem, ktorá je uvedená v mnohých príručkách na prípravu na úvodné testy.
Odôvodnenie stálosti znamenia v intervaloch môže byť tiež založená na vlastnostiach numerických nerovností. Napríklad berieme nerovnosť X - 5 x + 1\u003e 0. Ak nájdeme nuly čísla a denominátora a prinesieme ich na numerickú priamu, dostaneme rad medzier: (− ∞ , − 1) , (- 1, 5) a (5, + ∞).
Vezmite si všetky medzery a ukážte na to, že v celom rade bude mať výraz z ľavej strany nerovnosti trvalé znamenie. Nech je to medzera (- ∞, - 1). Vezmite ľubovoľné číslo T z tejto medzery. Uspokojí podmienky t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Použitie získaných nerovností a majetku numerických nerovností, môžeme predpokladať, že t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t. V intervale (- ∞, - 1).
Pomocou odpočítania pravidiel záporných čísel môžeme tvrdiť, že hodnota výrazu T - 5 T + 1 bude pozitívna. To znamená, že hodnota výrazu X - 5 x + 1 bude pozitívna v akomkoľvek význame x.z medzery (− ∞ , − 1) . To všetko nám umožňuje argumentovať, že v intervale, ktorý sa dostane do príkladu, výraz má trvalé znamenie. V našom prípade je to znamenie "+".
Hľadanie Zerles čísla a denominátora
Algoritmus pre nájdenie nuly je jednoduché: rovnotenie výrazov z numeratora a denominátora na nulu a vyriešiť získané rovnice. V prípade ťažkostí je možné odkazovať na tému "Riešenie rovníc metódu rozkladu na multiplikátoroch". V tejto časti, budeme obmedzene len posúdenie príkladu.
Zvážte frakciu x · (X - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Aby sme našli nulls čísla a menovateľa, vyrovnávame ich na nulu, aby sme získali a vyriešili rovnice: X · (X - 0, 6) \u003d 0 a x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 \u003d 0.
V prvom prípade sa môžeme pohybovať do kombinácie dvoch rovníc x \u003d 0 a x - 0, 6 \u003d 0, čo nám dáva dve korene 0 a 0, 6. Jedná sa o nuly čísla.
Druhá rovnica je ekvivalentná súhrnitou troch rovníc x 7 \u003d 0, (x 2 + 2 · x + 7) 2 \u003d 0, (x + 5) 3 \u003d 0. Vykonávame sériu transformácií a získajte x \u003d 0, x 2 + 2 · x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Koreň prvej rovnice 0, neexistuje žiadny koreň v druhej rovnici, pretože má negatívny diskriminant, koreň tretej rovnice je 5. Toto sú nuly denominátora.
0 V tomto prípade je súčasne a nula nuterátor a nulový denominátor.
Všeobecne platí, že keď v ľavej časti nerovnosti, frakcia, ktorá nie je nevyhnutne racionálna, nuterátor a menovateľ sú tiež rovné nulu, aby sa získali rovnice. Riešenie rovníc umožňuje nájsť nuly numerator a denominátora.
Určite znak intervalu jednoducho. Ak to chcete urobiť, môžete nájsť hodnotu výrazu z ľavej strany nerovnosti pre akýkoľvek svojvoľne zvolený bod z tohto intervalu. Výsledná hodnota znamenia výrazu v ľubovoľne zvolenom bode medzery sa zhoduje so znakom celej medzery.
Zvážte toto vyhlásenie o príklade.
Vezmite nerovnosť x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Zeros výrazu nuterátora umiestneného na ľavej strane nerovnosti nemá nulu. Nula Núčinník bude číslo - 3. Získame dve medzery na číselnom priame (− ∞ , − 3) a (- 3, + ∞).
Aby sme určili značky medzier, vypočítali sme hodnotu expresie X2 - X + 4 x + 3 pre body, ktoré boli odobraté svojvoľne na každom z medzier.
Z prvého intervalu (− ∞ , − 3) Vezmite - 4. Pre X \u003d - 4 Máme (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 \u003d - 24. Máme negatívny významTakže celý interval bude so znakom "-".
Pre medzery (− 3 , + ∞) odstráňte výpočty s bodom, ktorý má nulovú súradnicu. Na x \u003d 0 máme 0 2 - 0 + 4 0 + 3 \u003d 4 3. Prijatý pozitívna hodnotaHoci to znamená, že celý interval bude mať znak "+".
Môžete použiť iný spôsob, ako identifikovať značky. Aby sme to urobili, môžeme nájsť označenie na jednom z intervalov a uložiť ho alebo ho zmeniť počas prechodu cez nulu. Aby bolo možné urobiť všetko správne, je potrebné dodržiavať pravidlo: pri prechode nulou denominátora, ale nie čitateľa, alebo numerator, ale nie menovateľ, môžeme zmeniť znak na opačnú položku, ak je stupeň výrazu Dať túto nulu, nepárne a nemôže zmeniť znak, ak je stupeň dokonca. Ak sme dostali bod, ktorý je súčasne nulový číselník a denominátor, potom môžete zmeniť znak na opačný, ak sú súčet stupňov výrazov, ktoré poskytujú túto nulu, nepárne.
Ak si pamätáme nerovnosť, ktorú sme uvažovali na začiatku prvého bodu tohto materiálu, potom v extrémnom práve na správny interval môžeme dať znak "+".
Teraz sa poďme na príklady.
Vezmite nerovnosť (X - 2) · (X - 3) 3 · (X - 4) 2 (X - 1) 4 · (X - 3) 5 · (X - 4) ≥ 0 a rieši ju pomocou intervalu . Aby sme to urobili, musíme nájsť nuly čísla a denominátora a poznamenať ich na súradnicu priame. Zeros čitateľa budú body 2 , 3 , 4 , Denominator Bod 1 , 3 štyri. Poznamenávame ich na osi súradníc.
Zeros denominátora Poznámka prázdne body.
Keďže sa zaoberáme neuveriteľnou nerovnosťou, potom zostávajúce pomlčky nahrádzame obvyklé body.
Teraz položte body v intervaloch. Extrémna pravá medzera (4, + ∞) bude +.
Pohyb vpravo doľava, zdvihneme príznaky zvyšku intervalov. Prejdite bodom so súradnicou 4. Toto je súčasne nula nuterátor a menovateľ. Celkovo tieto nuly dávajú výrazy (X - 4) 2 a X - 4.. Zmiešajte svoje stupne 2 + 1 \u003d 3 a dostaneme nepárne číslo. To znamená, že pri pohybe v tomto prípade sa zmení na opak. Interval (3, 4) bude znak mínus.
Prejdite do intervalu (2, 3) cez bod so súradnicou 3. To je tiež nula a numerator a menovateľ. Dostali sme to vďaka dvom výrazom (X - 3) 3 a (X - 3) 5, súčet stupňov, ktorého je 3 + 5 \u003d 8. Získanie rovnomerného čísla nám umožňuje ponechať znak intervalu nezmenený.
Bod s súradnicou 2 je nula čísla. Stupeň expresie X - 2 je 1 (nepárny). To znamená, že pri prepnutí tohto bodu musí byť označenie zmeniť na opak.
Opustili sme posledný interval (- ∞, 1). Bod s súradnicou 1 je nulový menovateľ. Získa sa z výrazu (x - 1) 4s ešte mierou 4 . V dôsledku toho zostáva znamenie rovnaké. Konečný kresba bude mať tento druh:
Použitie metód intervalu je obzvlášť účinné v prípadoch, keď je výpočet hodnoty expresie spojená s veľkým množstvom práce. Príkladom môže byť potreba vypočítať hodnotu expresie.
x + 3 - 3 4 3 · X2 + 6 · X + 11 2 · x + 2 - 3 4 (X - 1) 2 · X - 2 3 5 · (X - 12)
v ktoromkoľvek bode intervalu 3 - 3 4, 3 - 2 4.
Teraz sa zaoberáme využívaním získaných poznatkov a zručností v praxi.
Príklad 1.
Riešenie nerovnosti (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.
Rozhodnutie
Odporúča sa použiť intervalovú metódu na riešenie nerovnosti. Nájdeme nuly čísla a menovateľa. Nuly numeratora 1 a - 5, nuly denominátora 7 a 1. Poznamenávame ich na číselnom priame. Zaoberáme sa neuveriteľnou nerovnosťou, preto nulami denominátora, poznamenávame prázdne body, nula Číserátor - 5, všimneme si obvyklý maľovaný bod.
Prenosne značky medzier pomocou pravidiel na zmenu znaku pri pohybe nulou. Začnime s extrémnou pravou medzerou, za ktorú vypočítame hodnotu výrazu z ľavej strany nerovnosti v bode ľubovoľne z medzery. Dostaneme znamenie "+". Dovoľte nám odovzdať postupne prostredníctvom všetkých bodov na súradnicu priame, usporiadanie značiek a dostaneme:
Pracujeme s neuveriteľnou nerovnosťou, ktorá má označenie ≤. To znamená, že musíme poznamenať, že násadové medzery označené znakom "-".
Odpoveď: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
Riešenie racionálnych nerovností vo väčšine prípadov si vyžaduje ich predbežnú transformáciu počúvanie. Iba potom, čo sa zobrazí schopnosť používať metódu intervalu. Algoritmy na vykonávanie takýchto transformácií sa považujú v materiáli "Rozhodnutie racionálnych nerovností".
Zvážte príklad konverzie štvorcových troch stávok v zázname nerovností.
Príklad 2.
Nájdite riešenie nerovnosti (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 · x - 8\u003e 0.
Rozhodnutie
Uvidíme, či sú diskriminácie skutočne štvorcové tri podiely v zázname nerovnosti sú negatívne. To nám umožní určiť, či typ nerovnosti nám umožňuje vyriešiť intervalovú metódu.
Vypočítať diskriminantov pre trojitý X 2 + 3 · X + 3: D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0 . Teraz vypočítame diskriminantov pre tri snímky x 2 + 2 · X - 8: D '\u003d 1 2 - 1 · (- 8) \u003d 9\u003e 0. Ako vidíte, nerovnosť si vyžaduje predbežnú transformáciu. Ak to chcete urobiť, predstavte si tri stupne x 2 + 2 · X - 8 ako (X + 4) · (X - 2)A potom aplikujeme intervalovú metódu na riešenie nerovnosti (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2)\u003e 0.
Odpoveď: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
Zovšeobecnený spôsob intervalov sa používa na riešenie nerovností formulára f (x)< 0 (≤ , > , ≥), kde f (x) je ľubovoľný výraz s jednou premennou X..
Všetky akcie sa vykonávajú podľa konkrétneho algoritmu. V rovnakej dobe, algoritmus pre riešenia solvelifikácie generalizovanej metódy intervalov bude trochu odlišné od toho, čo sme sa rozobrali skôr:
- nachádzame pole určovania funkcie f a nuly tejto funkcie;
- poznamenávame na hraničných bodoch koordinácie;
- uplatňujeme sa na numerické priame nuly funkcií;
- určiť príznaky medzier;
- aplikovať šrafovanie;
- zaznamenajte odpoveď.
Na číselnom priamom je potrebné poznamenať jednotlivé body definície oblasti. Napríklad rozsah definície funkcie je sada (- 5, 1] \u200b\u200b∪ (3) ∪ [4, 7) ∪ (10) . To znamená, že musíme poznamenať body so súradnicami - 5, 1, 3, \\ t 4 , 7 a 10 . Body − 5 a 7 bude prázdna, zvyšok môže byť izolovaný farebnou ceruzkou, aby ich odlíšili od nuly funkcie.
Nulová funkcia v prípade neuveriteľných nerovností sa uplatňuje konvenčnými (maľovanými) bodkami, prísnymi - prázdnymi bodmi. Ak sa nula zhodujú s hraničnými bodmi alebo samostatnými bodmi definície oblasti, môžu byť prelaknuté v čiernej farbe, takže je prázdne alebo maľované v závislosti od typu nerovnosti.
Záznamová odpoveď je Číselný súborktoré zahŕňa:
- stodoly s vyliahnutím;
- samostatné body oblasti definície s podpisom plus, ak sa zaoberáme nerovnosťou, z ktorých\u003e alebo ≥ alebo s mínusovým znamením, ak existujú príznaky nerovnosti< или ≤ .
Teraz sa ukázalo, že algoritmus, ktorý sme viedli na samom začiatku témy, je špeciálny prípad algoritmu na použitie všeobecného intervalu.
Zvážte príklad použitia generalizovaného intervalu.
Príklad 3.
Rozhodnite o nerovnosti X 2 + 2 · X - 24 - 3 4 · X - 3 x - 7< 0 .
Rozhodnutie
Vstupujeme do funkcie f tak, že f (x) \u003d x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7. Nájdite oblasť definície funkcie F.:
x 2 + 2 · X - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (F) \u003d (- ∞, - 6] ∪ [4, 7) ∪ (7, + ∞).
Teraz nájdeme nuly funkcie. Na to urobíme riešenie iracionálnej rovnice:
x 2 + 2 · X - 24 - 3 4 · X - 3 \u003d 0
Dostaneme root x \u003d 12.
Na označenie hraničných bodov na súradnicové osi používame oranžová farba. Body - 6, 4 Budeme maľovaní a 7 prázdnych. Dostaneme:
Poznámka nulová funkcia s prázdnym bodom čiernej farby, ako pracujeme s prísnou nerovnosťou.
Určiť znaky v jednotlivých intervaloch. Urobte to napríklad v jednom bode z každého intervalu, napríklad, 16 , 8 , 6 a − 8 a vypočítajte hodnotu funkcie F.:
f (16) \u003d 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 \u003d 264 - 15 9\u003e 0 F (8) \u003d 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 \u003d 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 > 0 F (- 8) \u003d - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0
Definujeme len určité príznaky a aplikujeme vyliahnutie cez intervaly s mínusovým znakom:
Odpoveďou bude Únia dvoch intervalov so znakom "-": (- ∞, - 6] ∪ (7, 12).
V reakcii sme sa zapli bod so súradnicou - 6. Nie je to nulová funkcia, ktorú by sme neboli zahrnuté v reakcii pri riešení prísnej nerovnosti a hraničného bodu definície oblasti, ktorá vstupuje do oblasti definície. Hodnota funkcie v tomto bode je negatívna, znamená to, že spĺňa nerovnosť.
Bod 4 sme neodpovedali, rovnako ako nezahŕňali celý interval [4, 7). V tomto bode je, rovnako ako na celej špecifikovanej medzere, hodnota funkcie je pozitívna, ktorá nespĺňa nerovnosť, ktorá sa má vyriešiť.
Opíšeme to znova jasné porozumenie: Farebné body musia byť zahrnuté v reakcii v nasledujúcich prípadoch:
- tieto body sú súčasťou medzery s liahním,
- tieto body sú samostatné body funkcie určovania funkcie, hodnoty funkcie, v ktorých sú spokojní s nerovnosťou.
Odpoveď: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Ak všimnete chybu v texte, vyberte ho a stlačte kláves CTRL + ENTER
