Záverečná práca vo forme Zjednotenej štátnej skúšky pre 11-ročníkov nutne obsahuje úlohy na výpočet limitov, intervalov znižovania a zvyšovania derivácie funkcie, hľadanie extrémnych bodov a vytváranie grafov. Dobrá znalosť tejto témy vám umožní správne odpovedať na niekoľko otázok skúšky a pri ďalšom odbornom vzdelávaní nebudete mať problémy.
Základy diferenciálneho počtu je jednou z hlavných tém matematiky moderná škola... Študuje použitie derivátu na štúdium závislostí premenných - pomocou derivátu môžete analyzovať nárast a pokles funkcie bez toho, aby ste sa odvolávali na výkres.
Komplexná príprava absolventov na zloženie skúšky na vzdelávací portál„Shkolkovo“ vám pomôže hlboko porozumieť zásadám diferenciácie - podrobne porozumieť teórii, študovať príklady riešenia typických problémov a vyskúšať si nezávislú prácu. Pomôžeme vám preklenúť medzery vo vedomostiach - objasniť porozumenie lexikálnym konceptom témy a závislostiam veličín. Študenti budú schopní zopakovať, ako nájsť intervaly monotónnosti, čo znamená nárast alebo pokles derivácie funkcie na určitom segmente, keď sú hraničné body zahrnuté a nie zahrnuté v nájdených intervaloch.
Predtým, ako sa pustíte do priameho riešenia tematických úloh, odporúčame vám najskôr prejsť do sekcie „Teoretický odkaz“ a zopakovať si definície pojmov, pravidiel a tabuľkových vzorcov. Tu si tiež môžete prečítať, ako nájsť a zaznamenať každý interval rastúcich a klesajúcich funkcií na grafe derivátu.
Všetky ponúkané informácie sú uvedené v najdostupnejšej forme na pochopenie prakticky „od nuly“. Stránka obsahuje materiály na vnímanie a asimiláciu vo viacerých rôzne formy- čítanie, sledovanie videa a priame školenie pod vedením skúsených učiteľov. Profesionálni učitelia vám podrobne povedia, ako nájsť intervaly zvýšenia a zníženia derivácie funkcie pomocou analytických a graficky... Počas webinárov bude možné položiť akúkoľvek zaujímavú otázku, teoreticky aj pri riešení konkrétnych problémov.
Keď si spomeniete na hlavné body témy, pozrite sa na príklady rastúcej derivácie funkcie, podobnej úlohám možností skúšky. Ak chcete upevniť to, čo ste sa naučili, pozrite sa do „Katalógu“ - tu nájdete praktické cvičenia pre samostatnú prácu. Úlohy v sekcii sú vyberané na rôznych úrovniach obtiažnosti, pričom sa berie do úvahy rozvoj schopností. Každý z nich napríklad nie je sprevádzaný rozhodovacími algoritmami a správnymi odpoveďami.
Voľbou sekcie „Konštruktor“ si študenti budú môcť precvičiť štúdium nárastu a poklesu derivácie funkcie na reálnom varianty skúšky neustále aktualizovaný o najnovšie zmeny a inovácie.
Vysoko dôležitá informácia o správaní funkcie poskytujú intervaly zvyšovania a znižovania. Ich nájdenie je súčasťou procesu skúmania funkcií a vykresľovania. Okrem toho sú uvedené body extrému, v ktorých dochádza k zmene zo stúpajúceho na klesajúci alebo z klesajúceho na rastúci Osobitná pozornosť pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt funkcie v určitom intervale.
V tomto článku uvedieme potrebné definície, sformulujeme dostatočné kritérium na zvýšenie a zníženie funkcie v intervale a dostatočné podmienky na existenciu extrému a celú túto teóriu použijeme na riešenie príkladov a problémov.
Navigácia na stránke.
Zvýšenie a zníženie funkcie v intervale.
Stanovenie rastúcej funkcie.
Funkcia y = f (x) sa zvyšuje na intervale X, ak je a 
nerovnosť platí. Inými slovami - väčší zmysel argument sa zhoduje s vyššou hodnotou funkcie.
Stanovenie klesajúcej funkcie.
Funkcia y = f (x) klesá na intervale X, ak je a nerovnosť platí 
... Inými slovami, čím väčšia je hodnota argumentu, tým menšia je hodnota funkcie.
POZNÁMKA: ak je funkcia definovaná a spojitá na koncoch rastúceho alebo klesajúceho intervalu (a; b), to znamená pre x = a a x = b, potom sú tieto body zahrnuté do rastúceho alebo klesajúceho intervalu. To nie je v rozpore s definíciami rastúcej a klesajúcej funkcie v intervale X.
Napríklad z vlastností základných elementárnych funkcií vieme, že y = sinx je definovaný a spojitý pre všetky skutočné hodnoty argumentu. Preto zo zvýšenia sínusovej funkcie na intervale môžeme tvrdiť o zvýšení intervalu.
Extrémne body, extrémy funkcie.
Pointa sa nazýva maximálny bod funkcia y = f (x), ak nerovnosť platí pre všetky x z jej susedstva. Volá sa hodnota funkcie v maximálnom bode maximálna funkcia a označovať.
Pointa sa nazýva minimálny bod funkcia y = f (x), ak nerovnosť platí pre všetky x z jej susedstva. Volá sa hodnota funkcie v minimálnom bode minimálna funkcia a označovať.
Okolie bodu sa chápe ako interval 
, kde je dostatočne malé kladné číslo.
Minimálny a maximálny počet bodov sa nazýva extrémne body, a zavolajú sa hodnoty funkcie zodpovedajúcej extrémnym bodom extrémy funkcie.
Nezamieňajte si extrémy funkcie s najväčšími a najmenšia hodnota funkcie.
Na prvom obrázku najvyššia hodnota funkcie na segmente sa dosiahne v maximálnom bode a rovná sa maximu funkcie a na druhom obrázku je maximálna hodnota funkcie dosiahnutá v bode x = b, čo nie je maximálny bod.
Dostatočné podmienky na zvýšenie a zníženie funkcie.
Na základe dostatočných podmienok (znakov) na zvýšenie a zníženie funkcie sa zistia intervaly zvýšenia a zníženia funkcie.
Tu sú formulácie znakov zvýšenia a zníženia funkcie v intervale:
- ak je derivácia funkcie y = f (x) kladná pre akékoľvek x z intervalu X, potom sa funkcia zvýši o X;
- ak je derivácia funkcie y = f (x) záporná pre akékoľvek x z intervalu X, potom funkcia na X klesá.
Na stanovenie intervalov zvyšovania a znižovania funkcie je teda potrebné:
Uvažujme o príklade nájdenia intervalov zvyšovania a znižovania funkcie na vysvetlenie algoritmu.
Príklad.
Nájdite intervaly zvýšenia a zníženia funkcie.
Riešenie.
Prvým krokom je nájsť doménu funkcie. V našom prípade by teda výraz v menovateli nemal zmiznúť.
Pokračujeme k hľadaniu derivátu funkcie: 
Aby sme určili intervaly zvýšenia a zníženia funkcie dostatočným kritériom, riešime nerovnosti a v oblasti definície. Použime zovšeobecnenie metódy intervalov. Jediný platný koreň čitateľa je x = 2 a menovateľ zmizne pri x = 0. Tieto body rozdeľujú definičnú oblasť na intervaly, v ktorých si derivácia funkcie zachováva svoje znamienko. Označme tieto body na číselnej osi. Plusmi a mínusmi bežne označujeme intervaly, v ktorých je derivácia kladná alebo záporná. Šípky nižšie schematicky znázorňujú zvýšenie alebo zníženie funkcie v zodpovedajúcom intervale. 
Preto 
a 
.
V bode x = 2, funkcia je definovaná a spojitá, preto by sa mala pridať do rastúceho aj klesajúceho intervalu. V bode x = 0 nie je funkcia definovaná; preto tento bod nezahrňujeme do hľadaných intervalov.
Dáme graf funkcie na porovnanie výsledkov, ktoré sme s ňou získali.
Odpoveď:
Funkcia sa zvyšuje s 
, klesá v intervale (0; 2].
Dostatočné podmienky pre extrémnu funkciu.
Ak chcete nájsť maximá a minimá funkcie, môžete použiť ktorýkoľvek z troch znakov extrému, samozrejme, ak funkcia spĺňa ich podmienky. Najbežnejší a najpohodlnejší je prvý.
Prvá dostatočná podmienka pre extrém.
Nech je funkcia y = f (x) v susedstve bodu diferencovateľná a v bode samotná spojitá.
Inými slovami:
Algoritmus na nájdenie extrémnych bodov podľa prvého znaku extrémnej funkcie.
- Nájdite doménu funkcie.
- Nájdite deriváciu funkcie v definičnej oblasti.
- Určte nuly čitateľa, nuly menovateľa derivátu a body domény, kde derivácia neexistuje (všetky tieto body sa nazývajú body možného extrému pri prechode týmito bodmi môže derivácia zmeniť iba svoje znamienko).
- Tieto body rozdeľujú doménu funkcie na intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko. Znaky derivácie určujeme v každom z intervalov (napríklad vypočítame hodnotu derivácie funkcie v ľubovoľnom bode konkrétneho intervalu).
- Vyberáme body, v ktorých je funkcia spojitá, a ktorými nimi derivácia mení znamienko - sú to krajné body.
Príliš veľa slov, zvážme niekoľko príkladov nachádzania extrémnych bodov a extrémov funkcie pomocou prvej dostatočnej podmienky pre extrém funkcie.
Príklad.
Nájdite extrémy funkcie.
Riešenie.
Doménou funkcie je celá množina reálnych čísel, s výnimkou x = 2.
Nájdite derivát: 
Nuly čitateľa sú body x = -1 a x = 5, menovateľ zmizne pri x = 2. Tieto body označíme na číselnej osi 
Určte znaky derivácie v každom intervale, za týmto účelom vypočítame hodnotu derivácie v ktoromkoľvek z bodov každého intervalu, napríklad v bodoch x = -2, x = 0, x = 3 a x = 6 .
Preto je v intervale derivácia kladná (na obrázku nad tento interval dáme znamienko plus). Rovnako 
Preto dáme mínus nad druhý interval, mínus nad tretí a plus nad štvrtý.
Zostáva vybrať body, v ktorých je funkcia spojitá a podpísať jej deriváciu. Toto sú extrémne body.
V bode x = -1 funkcia je spojitá a derivácia zmení znamienko z plus na mínus, preto podľa prvého znaku extrému je x = -1 maximálny bod, ktorý zodpovedá maximu funkcie 
.
V bode x = 5 funkcia je spojitá a derivácia zmení znamienko z mínus na plus, preto x = -1 je minimálny bod, ktorý zodpovedá minimu funkcie 
.
Grafické znázornenie.
Odpoveď:
UPOZORNENIE: prvé dostatočné kritérium pre extrémum nevyžaduje, aby bola funkcia v danom mieste diferencovateľná.
Príklad.
Nájdite extrémne body a extrémy funkcie 
.
Riešenie.
Doménou funkcie je celý súbor reálnych čísel. Samotnú funkciu je možné zapísať ako: 
Nájdeme deriváciu funkcie: 
V bode x = 0, derivácia neexistuje, pretože hodnoty jednostranných limitov sa nezhodujú, keď má argument tendenciu k nule: 
Pôvodná funkcia je zároveň spojitá v bode x = 0 (spojitosť nájdete v časti o štúdiu funkcie): 
Nájdeme hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia zanikne: 
Označíme všetky získané body na číselnej osi a určíme znamienko derivácie v každom z intervalov. Aby sme to urobili, vypočítame hodnoty derivátu v ľubovoľných bodoch každého intervalu, napríklad v x = -6, x = -4, x = -1, x = 1, x = 4, x = 6.
To znamená, 
Podľa prvého znaku extrému sú teda minimálne body 
, maximálny počet bodov je 
.
Vypočítame zodpovedajúce minimá funkcie 
Vypočítame zodpovedajúce maximá funkcie 
Grafické znázornenie.
Odpoveď:
.
Druhý znak extrému funkcie.
Ako vidíte, toto kritérium pre extrém funkcie vyžaduje v bode existenciu derivátu najmenej do druhého rádu.
Extrémy funkcií
Definícia 2
Bod $ x_0 $ sa nazýva maximálny bod funkcie $ f (x) $, ak existuje okolie tohto bodu tak, že nerovnosť $ f (x) \ le f (x_0) $ platí pre všetky $ x $ od toto susedstvo.
Definícia 3
Bod $ x_0 $ sa nazýva maximálny bod funkcie $ f (x) $, ak existuje okolie tohto bodu tak, že nerovnosť $ f (x) \ ge f (x_0) $ platí pre všetky $ x $ od toto susedstvo.
Koncept extréma funkcie úzko súvisí s konceptom kritického bodu funkcie. Predstavme si jeho definíciu.
Definícia 4
$ x_0 $ sa nazýva kritický bod funkcie $ f (x) $, ak:
1) $ x_0 $ - vnútorný bod definičnej oblasti;
2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ alebo neexistuje.
Pre pojem extrémum môžeme formulovať vety o dostatočných a nevyhnutné podmienky jeho existenciu.
Veta 2
Dostatočný extrémny stav
Bod $ x_0 $ nech je kritický pre funkciu $ y = f (x) $ a leží v intervale $ (a, b) $. Nech derivát $ f "(x) $ existuje v každom intervale $ \ left (a, x_0 \ right) \ a \ (x_0, b) $. Potom:
1) Ak v intervale $ (a, x_0) $ derivát $ f "\ vľavo (x \ vpravo)> 0 $, a v intervale $ (x_0, b) $ derivát $ f" \ vľavo (x \ správny)
2) Ak v intervale $ (a, x_0) $ derivát $ f "\ vľavo (x \ vpravo) 0 $, potom bod $ x_0 $ je minimálnym bodom pre túto funkciu.
3) Ak je v intervale $ (a, x_0) $ aj v intervale $ (x_0, b) $ derivát $ f "\ vľavo (x \ vpravo)> 0 $ alebo derivát $ f" \ vľavo (x \ správny)
Táto veta je znázornená na obrázku 1.
Obrázok 1. Dostatočná podmienka pre existenciu extrémov
Príklady extrémov (obr. 2).
Obrázok 2. Príklady extrémnych bodov
Pravidlo skúmania funkcie pre extrém
2) Nájdite derivát $ f "(x) $;
7) Vyvodte závery o prítomnosti maxím a minim v každom intervale pomocou vety 2.
Zvyšovanie a znižovanie funkcií
Na úvod si predstavme definície rastúcich a klesajúcich funkcií.
Definícia 5
Funkcia $ y = f (x) $, definovaná v intervale $ X $, sa nazýva rastúca, ak pre akékoľvek body $ x_1, x_2 \ v X $ pri $ x_1
Definícia 6
Funkcia $ y = f (x) $, definovaná v intervale $ X $, sa nazýva klesajúca, ak pre akékoľvek body $ x_1, x_2 \ v X $ ako $ x_1f (x_2) $.
Skúmanie funkcie na zvýšenie a zníženie
Pomocou derivátu môžete skúmať funkcie na zvýšenie a zníženie.
Aby bolo možné skúmať funkciu v intervaloch zvyšovania a znižovania, je potrebné urobiť nasledovné:
1) Nájdite doménu funkcie $ f (x) $;
2) Nájdite derivát $ f "(x) $;
3) Nájdite body, v ktorých platí rovnosť $ f "\ left (x \ right) = 0 $;
4) Nájdite body, kde $ f "(x) $ neexistuje;
5) Označte na súradnicovej čiare všetky nájdené body a doménu tejto funkcie;
6) Určte znamienko derivátu $ f "(x) $ v každom výslednom intervale;
7) Urobte záver: v intervaloch, kde $ f "\ vľavo (x \ vpravo) 0 $ funkcia rastie.
Príklady úloh na štúdium funkcií na zvýšenie, zníženie a prítomnosť extrémnych bodov
Príklad 1
Preskúmajte funkciu zvyšovania a znižovania a prítomnosť maximálnych a minimálnych bodov: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $
Keďže prvých 6 bodov je rovnakých, začnime s nimi.
1) Definičná doména - všetky reálne čísla;
2) $ f "\ vľavo (x \ vpravo) = 6x ^ 2-30x + 36 $;
3) $ f "\ vľavo (x \ vpravo) = 0 $;
\ \ \
4) $ f "(x) $ existuje vo všetkých bodoch domény;
5) Súradnicová čiara:
Obrázok 3.
6) Určte znamienko derivátu $ f "(x) $ v každom intervale:
\ \; .
Určme znamienko hodnôt funkcie na koncoch segmentu.
f(0) = 3, f(0) > 0
f(10) = , f(10) < 0.
Pretože funkcia na segmente klesá a znamienko hodnôt funkcií sa mení, je v tomto segmente jedna nula funkcie.
Odpoveď: funkcia f (x) sa zvyšuje v intervaloch: (-∞; 0] ;;
funkcia má na intervale jednu funkciu nulu.
2. Extrémne body funkcie: maximálne a minimálne body. Potrebné a dostatočné podmienky na existenciu extrémnej funkcie. Pravidlo skúmania funkcie pre extrém .
Definícia 1:Body, v ktorých je derivácia nulová, sa nazývajú kritické alebo stacionárne.
Definícia 2. Bod sa nazýva minimálny (maximálny) bod funkcie, ak je hodnota funkcie v tomto bode menšia (viac) ako najbližšie hodnoty funkcie.
Treba mať na pamäti, že maximum a minimum v tento prípad sú lokálne.
Na obr. 1. sú zobrazené miestne maximá a minima.
Kombinácia maximálnych a minimálnych funkcií spoločný názov: extrém funkcie.Veta 1.(nevyhnutné kritérium pre existenciu extrémnej funkcie). Ak má funkcia diferencovateľná v bode v tomto bode maximum alebo minimum, potom jej derivácia v bode zmizne.
Veta 2.(dostatočný údaj o existencii extrému funkcie). Ak kontinuálna funkcia má deriváciu vo všetkých bodoch nejakého intervalu obsahujúceho bod zvratu(možno okrem tohto bodu samotného) a ak derivácia zmení znamienko z plus na mínus, keď argument prechádza kritickým bodom zľava doprava, potom funkcia v tomto bode má maximum a keď znamienko prechádza z mínus na plus, má minimum.
