Błędy bezwzględne i względne

Z liczbami przybliżonymi mamy do czynienia przy obliczaniu wartości dowolnych funkcji, czy też przy pomiarze i przetwarzaniu wielkości fizyczne otrzymane w wyniku eksperymentów. W obu przypadkach trzeba umieć poprawnie zapisać wartości liczb przybliżonych oraz ich błąd.

Przybliżona liczba A numer, który różni się nieco od dokładnego numeru A i zastępuje to ostatnie w obliczeniach. Jeśli wiadomo, że A< А , To A nazywa się przybliżoną wartością liczby A z braku; Jeśli a > a, - wtedy w nadmiarze. Jeśli A jest przybliżoną wartością liczby A, potem piszą za ≈ A.

Pod błędem lub błędem A przybliżona liczba A zwykle rozumiana jako różnica między odpowiednią dokładną liczbą A i podane przybliżone, tj.

Aby uzyskać dokładny numer A, należy dodać jej błąd do przybliżonej wartości liczby, tj.

W wielu przypadkach znak błędu jest nieznany. Następnie wskazane jest użycie błędu bezwzględnego liczby przybliżonej

Z powyższego wpisu wynika, że błąd bezwzględny liczby przybliżonej A nazywa się modułem różnicy między odpowiednią dokładną liczbą A i jego przybliżoną wartość A, tj.

Dokładny numer A najczęściej jest nieznany, więc nie można znaleźć błędu lub błędu bezwzględnego. W tym przypadku zamiast nieznanego błędu teoretycznego warto wprowadzić jego górne oszacowanie, tzw. graniczny błąd bezwzględny.

Pod granicznym błędem bezwzględnym przybliżonej liczby A rozumie się dowolną liczbę, która jest nie mniejsza niż błąd bezwzględny tej liczby, tj.

Jeżeli w ostatnim wpisie zamiast skorzystać ze wzoru (1.1), to możemy pisać

(1.2)

Wynika z tego dokładna liczba A zawarte w granicach

Dlatego różnica jest przybliżeniem liczby A przez niedobór i - przybliżenie liczbowe A w nadmiarze. W tym przypadku, dla zwięzłości, używamy notacji

Oczywiste jest, że graniczny błąd bezwzględny jest zdefiniowany niejednoznacznie: jeśli pewna liczba jest granicznym błędem bezwzględnym, to każda liczba większa niż liczba dodatnia jest również granicznym błędem bezwzględnym. W praktyce starają się wybrać najmniejszą i najprostszą możliwą liczbę , spełniającą nierówność (1.2).

Na przykład, jeśli w wyniku pomiaru otrzymaliśmy długość odcinka l\u003d 210 cm ± 0,5 cm, to tutaj graniczny błąd bezwzględny = 0,5 cm i dokładną wartość l segment mieści się w granicach 209,5 cm ≤l≤ 210,5 cm.

Błąd bezwzględny nie jest wystarczający do scharakteryzowania dokładności pomiaru lub obliczenia. Na przykład, jeśli podczas pomiaru długości dwóch prętów uzyskuje się wyniki l 1= 95,6 cm ± 0,1 cm i l 2= 8,3 ± 0,1 cm, to mimo zbieżności granicznych błędów bezwzględnych dokładność pierwszego pomiaru jest większa niż drugiego. To pokazuje, że dla dokładności pomiarów ważniejszy jest nie bezwzględny, ale względny błąd, który zależy od wartości mierzonych wielkości.

Względny błąd δ przybliżona liczba A jest stosunkiem błędu bezwzględnego tej liczby do modułu odpowiedniej dokładnej liczby A, te.

Podobnie jak graniczny błąd bezwzględny, definicja stosowana jest również dla granicznego błędu względnego. Ograniczający błąd względny tej przybliżonej liczby A wywoływana jest dowolna liczba, która jest nie mniejsza niż błąd względny tej liczby

te. skąd wynika

Zatem dla granicznego błędu bezwzględnego liczby A można zaakceptować

Ponieważ w praktyce A≈a, to zamiast wzoru (1.3) często stosuje się wzór

1.2 Zapis dziesiętny liczb przybliżonych

Dowolną dodatnią liczbę dziesiętną a można przedstawić jako ułamek skończony lub nieskończony

gdzie są cyfry dziesiętne liczby A( = 0,1,2,...,9), a najwyższa cyfra a M- liczba cyfr w części całkowitej liczby A, A N- liczba cyfr w zapisie części ułamkowej liczby A. Na przykład:

5214,73... = 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1,5)

Każda cyfra w określonym miejscu w liczbie A zapisany w postaci (1.4) ma swoją wagę. Tak więc liczba na pierwszym miejscu (tj.) waży 10 M, na drugim - 10 M-1 itd.

W praktyce zwykle nie stosujemy zapisu w postaci (1.4), lecz stosujemy skrócony zapis liczb w postaci ciągu współczynników przy odpowiednich potęgach 10. ta liczba w potęgach 10.

W praktyce najczęściej mamy do czynienia z liczbami przybliżonymi w postaci końcowych ułamków dziesiętnych. W celu poprawnego porównania różnych wyników obliczeń i eksperymentów wprowadzono pojęcie cyfra znacząca w protokole wyników. Wszystko zapisane wartości dziesiętne ( ja = m,M- 1,…, m-n+ 1) różne od zera oraz zero, jeżeli znajduje się między cyframi znaczącymi lub jest reprezentantem zapisanego miejsca po przecinku na końcu liczby nazywamy cyframi znaczącymi liczby przybliżonej A. W tym przypadku zera związane ze współczynnikiem 10 N nie są znaczące.

Z pozycyjnym oznaczeniem numeru A w systemie liczb dziesiętnych czasami trzeba wprowadzić dodatkowe zera na początku lub na końcu liczby. Na przykład,

A= 7 10 -3 + 0 10 -4 + 1 10 -5 + 0 10 -6 = 0,00 7010

B= 2 10 9 + 0 10 8 + 0 10 7 + 3 10 6 + 0 10 5 = 2003000000.

Takie zera (podkreślone w przykładach) nie są uważane za cyfry znaczące.

Znacząca cyfra liczby przybliżonej to dowolna cyfra w jej reprezentacji dziesiętnej różna od zera.,a także zero, jeśli jest zawarte między cyframi znaczącymi lub jest reprezentatywne dla zapisanego miejsca dziesiętnego. Wszystkie inne zera, które są częścią przybliżonej liczby i służą jedynie do oznaczenia jej miejsc dziesiętnych, nie są liczone jako liczby znaczące.

Na przykład w liczbie 0,002080 pierwsze trzy zera nie są cyframi znaczącymi, ponieważ służą jedynie do ustalenia miejsc dziesiętnych pozostałych cyfr. Pozostałe dwa zera są cyframi znaczącymi, ponieważ pierwsze z nich znajduje się między cyframi znaczącymi 2 i 8, a drugie wskazuje, że miejsce dziesiętne 10 -6 jest zapisane w liczbie przybliżonej. w przypadku podany numer 0,002080 ostatnia cyfra nie jest znacząca, to liczbę tę należy zapisać jako 0,00208. Z tego punktu widzenia liczby 0,002080 i 0,00208 nie są równoważne, ponieważ pierwsza z nich zawiera cztery cyfry znaczące, a druga tylko trzy.

Oprócz koncepcji cyfry znaczącej, koncepcja poprawny numer. Należy zauważyć, że pojęcie to występuje w dwóch definicjach - w wąski I szerokim znaczeniu.

Definicja(w szerokim znaczeniu) . Mówią, że N pierwsze znaczące cyfry liczby (licząc od lewej do prawej) to wierny wszerz sens, jeśli błąd bezwzględny tej liczby nie przekracza jednego (waga) N- gorące rozładowanie. (Objaśnienie: 1 10 1 - tutaj waga 1 jest równa 10; 1 10 0 - tutaj waga 1 jest równa 1; 1 10 -1 - tutaj waga 1 jest równa 0,1; 1 10 -2 - tutaj waga 1 jest równa do 0,01 i t.d.).

Definicja(V wąski sens). Mówią, że N pierwsze cyfry znaczące liczby przybliżonej są poprawne, jeżeli błąd bezwzględny tej liczby nie przekracza połowa jednostki (waga) N- gorące rozładowanie. (Objaśnienie: 1 10 1 - tutaj waga połowy 1 wynosi 5; 1 10 0 - tutaj waga połowy 1 wynosi 0,5; 1 10 -1 - 0,05 itd.).

Na przykład w przybliżonej liczbie Na podstawie pierwszej definicji liczby znaczące 3,4 i 5 są poprawne w szerokim znaczeniu, a liczba 6 jest wątpliwa. Na podstawie drugiej definicji liczby znaczące 3 i 4 są poprawne w wąskim znaczeniu, a liczby 5 i 6 są wątpliwe. Należy podkreślić, że dokładność przybliżonej liczby nie zależy od liczby cyfr znaczących, ale od liczby popraw cyfry znaczące.

Zarówno w rozumowaniu teoretycznym, jak i w praktyczne zastosowania definicja prawidłowej figury w wąskim znaczeniu znajduje większe zastosowanie.

Tak więc, jeśli dla przybliżonej liczby a, zastępując liczbę A, wiadomo, że

(1.6)

następnie, z definicji, pierwszy N liczby ten numer jest poprawny.

Na przykład dla dokładnej liczby A= 35,97 liczba A= 36,00 to przybliżenie z trzema prawidłowymi cyframi. Do takiego wyniku prowadzi następujące rozumowanie. Ponieważ błąd bezwzględny naszej przybliżonej liczby wynosi 0,03, z definicji musi ona spełniać warunek

(1.7)

W naszej przybliżonej liczbie 36,00 3 jest pierwszą znaczącą cyfrą (tj. ), więc M= 1. Jest więc oczywiste, że warunek (1.7) będzie spełniony dla N = 3.

Zwykle przyjmuje się, gdy zapis dziesiętny przybliżonej liczby wpisuj tylko poprawne liczby. Jeśli wiadomo, że ta przybliżona liczba jest zapisana poprawnie, to z zapisu można wyznaczyć maksymalny błąd bezwzględny. To przy poprawnym zapisie błąd bezwzględny nie przekracza połowy najmniej znaczącej cyfry, która następuje po ostatniej poprawnej cyfrze (lub połowy jednostki ostatniej poprawnej cyfry, która jest taka sama)

Na przykład, podane przybliżone liczby zapisane poprawnie: a = 3,8; B= 0,0283; c = 4260. Zgodnie z definicją, graniczne błędy bezwzględne tych liczb będą wynosić: = 0,05; = 0,00005; = 0,5.

Błędy bezwzględne i względne

Bezwzględny błąd przybliżenia

Gdy mamy do czynienia z obliczeniami z nieskończonymi ułamkami dziesiętnymi, dla wygody konieczne jest przeprowadzenie przybliżenia tych liczb, to znaczy zaokrąglenie ich w górę. Przybliżone liczby są również uzyskiwane z różnych pomiarów.

Warto wiedzieć, jak bardzo przybliżona wartość liczby różni się od jej dokładnej wartości. Oczywiste jest, że im mniejsza jest ta różnica, tym lepiej, tym dokładniej wykonywany jest pomiar lub obliczenie.

Aby określić dokładność pomiarów (obliczeń), wprowadza się takie pojęcie jak błąd aproksymacji. Inaczej nazywa się to błędem absolutnym.

Absolutny błąd przybliżenie jest modułem różnicy między dokładną wartością liczby a jej wartością przybliżoną.

Gdzie X to dokładna wartość liczby, A jest jego przybliżoną wartością.

Na przykład w wyniku pomiarów uzyskano liczbę. Jednak w wyniku obliczenia według wzoru dokładna wartość tej liczby. Następnie bezwzględny błąd przybliżenia

W przypadku ułamków nieskończonych błąd aproksymacji określa ten sam wzór. Zamiast dokładnej liczby zapisywany jest sam ułamek nieskończony. Na przykład, . Tutaj okazuje się, że bezwzględny błąd przybliżenia jest wyrażony liczbą niewymierną.

Przybliżenie można wykonać jako z braku , I w nadmiarze .

Ta sama liczba π przy zbliżaniu się do niedoboru z dokładnością do 0,01 wynosi 3,14, a przy zbliżaniu się do nadmiaru z dokładnością do 0,01 wynosi 3,15.

Reguła zaokrąglania: jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest równa pięć lub większa niż pięć, wówczas przeprowadzane jest nadmierne przybliżenie; jeśli mniej niż pięć, to przez wadę.

Na przykład, ponieważ trzecia cyfra po przecinku liczby π wynosi 1, to przy zbliżaniu z dokładnością do 0,01 jest wykonywana przez brak.

Obliczmy bezwzględne błędy aproksymacji do 0,01 liczby π pod względem niedoboru i nadmiaru:

Jak widać, błąd bezwzględny przybliżenia przez niedobór jest mniejszy niż przez nadmiar. Oznacza to, że przybliżenie niedostatkiem ma w tym przypadku większą dokładność.

Względny błąd przybliżenia

Błąd bezwzględny ma jeden ważna wada- nie pozwala na ocenę stopnia istotności błędu.

Na przykład kupujemy na rynku 5 kg ziemniaków, a pozbawiony skrupułów sprzedawca podczas pomiaru wagi popełnił błąd o 50 g na swoją korzyść. Te. błąd bezwzględny wyniósł 50 g. Dla nas takie przeoczenie będzie drobnostką i nawet nie zwrócimy na to uwagi. Co jeśli podobny błąd wystąpi podczas przygotowywania leku? Tutaj wszystko będzie znacznie poważniejsze. A podczas załadunku wagonu towarowego prawdopodobnie wystąpią odchylenia znacznie większe niż ta wartość.

Dlatego sam błąd bezwzględny nie jest zbyt pouczający. Oprócz tego często dodatkowo obliczane jest odchylenie względne.

Względny błąd przybliżenia jest stosunkiem błędu bezwzględnego do dokładnej wartości liczby.

Błąd względny jest wielkością bezwymiarową lub jest mierzony w procentach.

Weźmy kilka przykładów.

Przykład 1 W przedsiębiorstwie zatrudnionych jest 1284 pracowników i pracowników. Zaokrąglij liczbę pracowników do najbliższej liczby całkowitej z nadwyżką i niedoborem. Znajdź ich błędy bezwzględne i względne (w procentach). Wyciągnij wniosek.

Więc, .

Absolutny błąd:

Względny błąd:

Oznacza to, że dokładność przybliżenia z wadą jest większa niż dokładność przybliżenia z nadmiarem.

Przykład 2 Szkoła liczy 197 uczniów. Zaokrąglij liczbę uczniów do najbliższej liczby całkowitej z nadmiarem i niedoborem. Znajdź ich błędy bezwzględne i względne (w procentach). Wyciągnij wniosek.

Więc, .

Absolutny błąd:

Względny błąd:

Oznacza to, że dokładność przybliżenia z nadmiarem jest większa niż dokładność przybliżenia z wadą.

Znajdź bezwzględny błąd przybliżenia:

Przybliżona wartość liczbyX równa sięA . Znajdź bezwzględny błąd przybliżenia, jeśli:

Zapisz w postaci podwójnej nierówności:

Znajdź przybliżoną wartość liczbyX , równa średniej arytmetycznej przybliżeń poniżej i powyżej, jeśli:

Udowodnij, że średnia arytmetyczna liczbA IB jest przybliżoną wartością każdej z tych liczb do.

Zaokrąglij liczby:

aż do jednostek

do dziesiątek

do tysięcznych

do tysięcy

do stutysięcznych

aż do jednostek

do dziesiątek

do tysięcznych

do setek

do dziesięciu tysięcznych

Wyobrażać sobie ułamek wspólny jako ułamek dziesiętny i zaokrąglij do części tysięcznych i znajdź błąd bezwzględny:

Udowodnij, że każda z liczb 0,368 i 0,369 jest przybliżoną wartością liczby do 0,001. Która z nich jest przybliżoną wartością liczby z dokładnością do 0,0005?

Udowodnij, że każda z liczb 0,38 i 0,39 jest przybliżoną wartością liczby do 0,01. Która z nich jest przybliżoną wartością liczby z dokładnością do 0,005?

Zaokrąglij liczbę do jednostek i znajdź względny błąd zaokrąglenia:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Przedstaw każdą z liczb i w formie Ułamek dziesiętny. Zaokrąglając otrzymane ułamki do części dziesiątych, znajdź bezwzględne i względne błędy przybliżeń.

Promień Ziemi wynosi 6380 km z dokładnością do 10 km. Oszacuj względny błąd przybliżonej wartości.

Najmniejsza odległość Ziemi od Księżyca to 356400 km z dokładnością do 100 km. Oszacuj względny błąd przybliżenia.

Porównaj właściwości pomiaru masyM lokomotywa elektryczna i masyT tabletki leku, jeśli t (z dokładnością do 0,5 t) i g (z dokładnością do 0,01 g).

Porównaj jakość pomiaru długości Wołgi i średnicy piłki do tenisa stołowego, jeśli km (z dokładnością do 5 km) i mm (z dokładnością do 1 mm).

Do pomiarów bezpośrednich

1. Zmierzmy jednorazowo dwa napięcia na woltomierzu u 1 = 10 V, u 2 \u003d 200 V. Woltomierz ma następujące cechy: klasa dokładności d klasa t \u003d 0,2, u maks. = 300 V.

Wyznaczmy bezwzględne i względne błędy tych pomiarów.

Ponieważ oba pomiary zostały wykonane na tym samym urządzeniu, to D u 1=D u 2 i są obliczane według wzoru (B.4)

Zgodnie z definicją błędy względne u 1 i u 2 odpowiednio równe

ε 1 \u003d 0,6 ∙ V / 10 V \u003d 0,06 \u003d 6%,

ε 2 \u003d 0,6 ∙ V. / 200 V. \u003d 0,003 \u003d 0,3%.

Z powyższych wyników obliczeń dla ε 1 i ε 2 widać, że ε 1 jest znacznie większe niż ε 2 .

Oznacza to zasadę: należy wybrać urządzenie z takim limitem pomiaru, aby odczyty mieściły się w ostatniej jednej trzeciej skali.

2. Niech jakaś wartość będzie mierzona wiele razy, to znaczy produkowana N indywidualne pomiary tej wielkości X 1 , Ax 2 ,...,X 3 .

Następnie, aby obliczyć błąd bezwzględny, wykonuje się następujące operacje:

1) na podstawie wzoru (B.5) wyznaczyć średnią wartość arytmetyczna A 0 zmierzona wartość;

2) obliczyć sumę kwadratów odchyleń poszczególnych pomiarów od znalezionej średniej arytmetycznej i korzystając ze wzoru (B.6) wyznaczyć pierwiastek błędu średniokwadratowego, który charakteryzuje błąd bezwzględny pojedynczego pomiaru podczas wielokrotnych pomiarów bezpośrednich pewnej wielkości ;

3) błąd względny ε oblicza się ze wzoru (B.2).

Obliczanie błędu bezwzględnego i względnego

Przy pomiarze pośrednim

Obliczanie błędów w pomiarach pośrednich - więcej trudne zadanie, ponieważ w tym przypadku pożądana wartość jest funkcją innych wielkości pomocniczych, których pomiarowi towarzyszy pojawienie się błędów. Zwykle w pomiarach, z wyjątkiem chybień, błędy losowe okazują się bardzo małe w stosunku do wartości mierzonej. Są one na tyle małe, że drugi i wyższy stopień błędu leży poza dokładnością pomiaru i można go pominąć. Ze względu na małość błędów, aby uzyskać formułę błędu
wielkości mierzonej pośrednio, stosuje się metody rachunku różniczkowego. W przypadku pośredniego pomiaru wielkości, gdy wielkości związane z pożądaną zależnością matematyczną są mierzone bezpośrednio, wygodniej jest najpierw wyznaczyć błąd względny i już
przez znaleziony błąd względny obliczyć bezwzględny błąd pomiaru.

Rachunek różniczkowy zapewnia najłatwiejszy sposób określenia błędu względnego w pomiarze pośrednim.

Niech żądana wartość A funkcjonalnie powiązane z kilkoma niezależnymi bezpośrednio mierzonymi wielkościami X 1 ,
X 2 , ..., x k, tj.

A= F(X 1 , X 2 , ..., x k).

Aby określić względny błąd wartości A weź logarytm naturalny z obu stron równania

ln A= ln F(X 1 , X 2 , ..., x k).

Następnie obliczana jest różnica naturalny logarytm Funkcje
A= F(X 1 ,X 2 , ..., x k),

dln A= dln F(X 1 , X 2 , ..., x k)

W wynikowym wyrażeniu wszystko jest możliwe przekształcenia algebraiczne i uproszczenie. Następnie wszystkie symbole różniczkowe d są zastępowane symbolami błędów D i negatywne znaki przed różniczkami zmiennych niezależnych są zastępowane dodatnimi, tj. brany jest pod uwagę najbardziej niekorzystny przypadek, gdy wszystkie błędy się sumują. W takim przypadku obliczany jest maksymalny błąd wyniku.

W związku z powyższym

ale ε = D A / A

To wyrażenie jest wzorem na błąd względny ilości A przy pomiarach pośrednich określa względny błąd pożądanej wartości na podstawie względnych błędów mierzonych wartości. Po obliczeniu według wzoru (B.11) błędu względnego,
określić błąd bezwzględny wartości A jako iloczyn błędu względnego i wartości obliczonej A tj.

D A = ε A, (W 12)

gdzie ε jest wyrażone jako liczba bezwymiarowa.

Zatem błędy względne i bezwzględne wielkości mierzonej pośrednio należy obliczać w następującej kolejności:

1) przyjmuje się formułę, zgodnie z którą obliczana jest pożądana wartość (wzór obliczeniowy);

2) przyjmuje się logarytm naturalny obu części wzoru obliczeniowego;

3) oblicza się całkowitą różniczkę logarytmu naturalnego żądanej wartości;

4) w otrzymanym wyrażeniu wykonywane są wszystkie możliwe przekształcenia algebraiczne i uproszczenia;

5) symbol różniczek d zastępuje się symbolem błędu D, a wszystkie znaki ujemne przed różniczkami zmiennych niezależnych zastępujemy dodatnimi (wartość błędu względnego będzie maksymalna) i otrzymujemy wzór na błąd względny ;

6) oblicza się błąd względny wartości mierzonej;

7) na podstawie obliczonego błędu względnego oblicza się błąd bezwzględny pomiaru pośredniego według wzoru (B.12).

Rozważmy kilka przykładów obliczania błędów względnych i bezwzględnych w pomiarach pośrednich.

1. Żądana wartość A związane z bezpośrednio mierzonymi wielkościami X, Na, z stosunek

Gdzie A I B są wartościami stałymi.

2. Weź logarytm naturalny wyrażenia (B.13)

3. Oblicz całkowitą różniczkę logarytmu naturalnego żądanej wartości A, czyli różniczkujemy (B.13)

4. Dokonujemy przekształceń. Biorąc pod uwagę, że D A= 0 ponieważ A= stała, cos Na/grzech y= ctg y, otrzymujemy:

5. Symbole różniczek zastępujemy symbolami błędów, a znak minus przed różniczką znakiem plus

6. Obliczamy błąd względny zmierzonej wartości.

7. Na podstawie obliczonego błędu względnego oblicza się błąd bezwzględny pomiaru pośredniego ze wzoru (B.12), tj.

Długość fali jest określona żółty kolor linii widmowej rtęci za pomocą siatki dyfrakcyjnej (przy użyciu przyjętej kolejności obliczania błędów względnych i bezwzględnych dla żółtej długości fali).

1. Długość fali koloru żółtego w tym przypadku jest określona wzorem:

Gdzie Z jest stałą siatki dyfrakcyjnej (wartość mierzona pośrednio); φ l jest kątem dyfrakcji żółtej linii w danym rzędzie widma (wartość mierzona bezpośrednio); k g to rząd widma, w którym dokonano obserwacji.

Stałą siatki dyfrakcyjnej oblicza się ze wzoru

Gdzie k h to rząd widma zielonej linii; λz - znana długość fali koloru zielonego (λz - stała); φ z jest kątem dyfrakcji zielonej linii w danym rzędzie widma (wartość mierzona bezpośrednio).

Następnie, biorąc pod uwagę wyrażenie (B.15)

(B.16)

Gdzie k H, k g - obserwowalne, które są uważane za stałe; φ h, φ l - są
z bezpośrednio mierzalnymi wielkościami.

Wyrażenie (B.16) jest wzorem obliczeniowym dla długości fali koloru żółtego wyznaczonego za pomocą siatki dyfrakcyjnej.

4.d k h = 0; D k f = 0; dλ h = 0, ponieważ k H, k W i λw są wartościami stałymi;

Następnie

5. (B.17)

gdzie Dφ w, Dφ h są bezwzględnymi błędami pomiaru kąta dyfrakcji światła żółtego
i zielone linie widma.

6. Oblicz błąd względny długości fali żółtej.

7. Oblicz błąd bezwzględny długości fali żółtej:

Studnia Dλ = studnia ελ.

W praktycznej realizacji procesu pomiarowego, bez względu na dokładność przyrządów pomiarowych, poprawność metodyki i skrupulatność
pomiarów, wyniki pomiarów odbiegają od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej, tj. Błędy pomiaru są nieuniknione. Podczas oceny błędu brana jest wartość rzeczywista zamiast wartości prawdziwej; dlatego można podać tylko przybliżone oszacowanie błędu pomiaru. Ocena wiarygodności wyniku pomiaru, tj. wyznaczanie błędów pomiarowych jest jednym z głównych zadań metrologii.
Błąd to odchylenie wyniku pomiaru od prawdziwej wartości wielkości mierzonej. Błędy można warunkowo podzielić na błędy przyrządów pomiarowych i błędy wyniku pomiaru.
Błędy przyrządów pomiarowych zostały omówione w rozdziale 3.
Błąd pomiaru jest liczbą wskazującą możliwe granice niepewności wartości wielkości mierzonej.
Poniżej zostanie podana klasyfikacja oraz uwzględnione zostaną błędy wyniku pomiaru.
Przy okazji wyrażenie liczbowe wyróżnić błędy bezwzględne i względne.
W zależności od pochodzenia są błędy instrumentalne, metodyczne, czytania i oprawy.
Według wzorców manifestacji błędy pomiaru są dzielone przez systematyczne, progresywne, przypadkowe i brutto.
Rozważmy bardziej szczegółowo wskazane błędy pomiaru.

4.1. Błędy bezwzględne i względne

Absolutny błąd D to różnica między zmierzonym X a prawdziwym X oraz wartościami mierzonej wielkości. Błąd bezwzględny wyrażony jest w jednostkach wartości mierzonej: D = X - Chi.
Ponieważ nie można określić rzeczywistej wartości mierzonej wielkości, w praktyce zamiast niej stosuje się rzeczywistą wartość mierzonej wielkości Xd. Rzeczywistą wartość można znaleźć eksperymentalnie, stosując wystarczającą ilość dokładne metody i przyrządów pomiarowych. Niewiele różni się od rzeczywistej wartości i może być użyty zamiast niej do rozwiązania problemu. Podczas weryfikacji za wartość rzeczywistą przyjmuje się zwykle odczyty przykładowych przyrządów pomiarowych. Tak więc w praktyce błąd bezwzględny można znaleźć za pomocą wzoru D » X - Xd. Względny błąd d jest stosunkiem bezwzględnego błędu pomiaru do prawdziwej (rzeczywistej) wartości mierzonej wielkości (zwykle wyraża się ją w procentach): .

4.2. Błędy instrumentalne i metodologiczne,
odczyty i ustawienia

instrumentalny Błędy (przyrządu lub sprzętu) to te, które przynależą do danego przyrządu pomiarowego, mogą być wykryte podczas jego testowania i wpisane do jego paszportu.
Błędy te wynikają z wad konstrukcyjnych i technologicznych przyrządów pomiarowych, a także są konsekwencją ich zużycia, starzenia się lub nieprawidłowego działania. Błędy instrumentalne, ze względu na błędy zastosowanych przyrządów pomiarowych, zostały omówione w rozdziale 3.
Jednak oprócz błędów instrumentalnych podczas pomiarów występują również takie błędy, których nie można przypisać temu urządzeniu, nie można ich wskazać w paszporcie i są nazywane metodyczny, te. związane nie z samym urządzeniem, ale ze sposobem jego użycia.
Błędy metodologiczne może wynikać z niedoskonałości rozwoju teorii zjawisk leżących u podstaw metody pomiaru, niedokładności zależności wykorzystywanych do znalezienia estymaty wielkości mierzonej, a także z rozbieżności między wielkością mierzoną a jej modelem.
Rozważ przykłady ilustrujące metodologiczny błąd pomiaru.
Przedmiotem badań jest źródło napięcia przemiennego, którego wartość amplitudy hm trzeba mierzyć. Na podstawie wstępnych badań obiektu badań jako jego model przyjęto sinusoidalny generator napięcia. Używając woltomierza przeznaczonego do pomiaru wartości skutecznych napięć przemiennych, znając zależność wartości skutecznej i amplitudowej napięcia sinusoidalnego, uzyskujemy wynik pomiaru w postaci um = × UV, Gdzie UV- odczyt woltomierza. Dokładniejsze badanie obiektu mogłoby ujawnić, że kształt mierzonego napięcia różni się od sinusoidalnego oraz bardziej poprawną zależność między wartością mierzonej wartości a wskazaniem woltomierza um =k× UV, Gdzie k¹ . Zatem niedoskonałość przyjętego modelu przedmiotu badań prowadzi do metodologicznego błędu pomiaru DU= × UV-k× UV.
Błąd ten można zmniejszyć albo przez obliczenie wartości k na podstawie analizy kształtu krzywej mierzonego napięcia lub poprzez wymianę przyrządu pomiarowego na woltomierz przeznaczony do pomiaru wartości amplitudy napięć przemiennych.
Bardzo częstą przyczyną występowania błędów metodologicznych jest fakt, że organizując pomiary, jesteśmy zmuszeni mierzyć (lub celowo mierzyć) nie wartość, która powinna być mierzona, ale jakąś inną, zbliżoną, ale nierówną jej.

Przykładem takiego błędu metodologicznego jest błąd pomiaru napięcia woltomierzem o skończonej rezystancji (ryc. 4.1).
Ponieważ woltomierz bocznikuje odcinek obwodu, w którym mierzone jest napięcie, okazuje się, że jest ono mniejsze niż przed podłączeniem woltomierza. I rzeczywiście, napięcie, które pokaże woltomierz, zależy od wyrażenia U=I× Rw. Biorąc pod uwagę prąd w obwodzie ja=MI/(Ri +Rv), To
< .
Dlatego dla tego samego woltomierza podłączonego kolejno do różnych odcinków badanego obwodu błąd ten jest inny: w odcinkach o niskiej rezystancji jest znikomy, aw odcinkach o wysokiej rezystancji może być bardzo duży. Błąd ten można by wyeliminować, gdyby woltomierz był stale podłączony do tego odcinka obwodu przez cały czas pracy urządzenia (jak na tablicy rozdzielczej), ale jest to niekorzystne z wielu powodów.
Często zdarzają się przypadki, w których na ogół trudno jest wskazać metodę pomiaru wykluczającą błąd metodologiczny. Niech np. zmierzymy temperaturę gorących wlewków wychodzących z pieca do walcarki. Pytanie brzmi, gdzie umieścić czujnik temperatury (np. termoparę): pod blankiem, z boku czy nad blankiem? Gdziekolwiek go umieścimy, nie będziemy mierzyć temperatury wewnętrznej korpusu blanku, tj. popełnimy znaczący błąd metodologiczny, ponieważ mierzymy nie to, co jest potrzebne, ale to, co jest łatwiejsze (nie wiercić kanału w każdym półfabrykacie, aby umieścić termoparę w jego środku).
Więc główny osobliwość błędów metodologicznych polega na tym, że nie można ich wskazać w paszporcie przyrządu, ale muszą one zostać ocenione przez samego eksperymentatora przy organizowaniu wybranej techniki pomiarowej, w związku z czym musi on wyraźnie rozróżnić rzeczywiste wymierny one wielkości być mierzone.
Błąd odczytu pochodzi z niedokładnych odczytów. Wynika to z subiektywnych cech obserwatora (np. błąd interpolacji, czyli niedokładny odczyt dzielników na skali instrumentu) oraz rodzaju urządzenia odczytującego (np. błąd paralaksy). Podczas korzystania z cyfrowych przyrządów pomiarowych nie występują błędy liczenia, co jest jednym z powodów obiecującego charakteru tych ostatnich.
Błąd instalacji jest spowodowane odchyleniem warunków pomiaru od normalnych, tj. warunki, w jakich przeprowadzono wzorcowanie i legalizację przyrządów pomiarowych. Obejmuje to na przykład błąd wynikający z nieprawidłowej instalacji urządzenia w przestrzeni lub jego wskazania do zera, ze zmian temperatury, napięcia zasilania i innych wielkości wpływających.
Rozważane rodzaje błędów są równie odpowiednie do charakteryzowania dokładności zarówno poszczególnych wyników pomiarów, jak i przyrządów pomiarowych.

4.3. Błędy systematyczne, progresywne, przypadkowe i rażące

Systematyczny błąd pomiaru Dc jest składową błędu pomiaru, która pozostaje stała lub regularnie zmienia się podczas powtarzanych pomiarów tej samej wartości.
Przyczyny występowania błędów systematycznych można zwykle ustalić podczas przygotowania i przeprowadzania pomiarów. Przyczyny te są bardzo różnorodne: niedoskonałość przyrządów pomiarowych i stosowanych metod, nieprawidłowa instalacja przyrządu pomiarowego, wpływ czynniki zewnętrzne(wpływające na wielkości) na parametry przyrządów pomiarowych i na sam obiekt pomiarowy, wady metody pomiarowej (błędy metodyczne), Cechy indywidulane operator (błędy subiektywne) itp. . Zgodnie z naturą manifestacji błędy systematyczne dzielą się na stałe i zmienne. Do stałych zaliczamy np. błędy wynikające z niedokładności w dopasowaniu wartości miary, błędnej podziałki podziałki przyrządu, nieprawidłowej instalacji przyrządu względem kierunku pól magnetycznych itp. Zmienne błędy systematyczne wynikają z wpływu wielkości wpływających na proces pomiarowy i mogą wystąpić np. przy zmianie napięcia źródła zasilania przyrządu, zewnętrznych pól magnetycznych, częstotliwości mierzonego napięcia przemiennego itp. Cechą błędów systematycznych jest to, że ich zależność od wielkości wpływających podlega pewnemu prawu. Prawo to można zbadać, a wynik pomiaru można udoskonalić, wprowadzając poprawki, jeśli zostaną określone wartości liczbowe tych błędów. Innym sposobem na ograniczenie wpływu błędów systematycznych jest stosowanie takich metod pomiarowych, które umożliwiają wykluczenie wpływu błędów systematycznych bez określania ich wartości (np. metoda podstawienia).
Im wynik pomiaru jest bliższy prawdziwej wartości wielkości mierzonej, tym mniejsze są pozostałe niewykluczone błędy systematyczne. Obecność wykluczonych błędów systematycznych decyduje o poprawności pomiarów, jakości odzwierciedlającej bliskość błędów systematycznych do zera. Wynik pomiaru będzie o tyle poprawny, o ile nie będzie zniekształcony przez błędy systematyczne, a im bardziej poprawny, tym te błędy są mniejsze.
progresywny(lub dryf) nazywane są nieprzewidywalnymi błędami, które powoli zmieniają się w czasie. Błędy te są z reguły spowodowane procesami starzenia się niektórych części sprzętu (rozładowanie zasilaczy, starzenie się rezystorów, kondensatorów, deformacja części mechanicznych, kurczenie się taśmy papierowej w instrumentach samorejestrujących itp.). Cechą błędów progresywnych jest to, że można je korygować, wprowadzając korektę tylko w określonym momencie, a następnie ponownie nieprzewidywalnie rosnąć. Dlatego w przeciwieństwie do błędów systematycznych, które można skorygować poprawką stwierdzoną raz na cały okres eksploatacji urządzenia, błędy postępujące wymagają ciągłego powtarzania korekty i im częściej, tym mniejsza powinna być ich wartość rezydualna. Kolejną cechą błędów progresywnych jest to, że ich zmiana w czasie jest niestacjonarnym procesem losowym i dlatego w ramach dobrze rozwiniętej teorii stacjonarnych procesów losowych można je opisywać jedynie z zastrzeżeniami.
Przypadkowy błąd pomiaru jest składową błędu pomiaru, która zmienia się losowo podczas powtarzanych pomiarów tej samej wielkości. Nie można określić wartości i znaku błędów losowych, nie można ich bezpośrednio uwzględnić ze względu na ich chaotyczną zmianę wynikającą z jednoczesnego wpływu różnych niezależnych od siebie czynników na wynik pomiaru. Przypadkowe błędy znajdują się w wielokrotnych pomiarach tej samej wielkości (oddzielne pomiary w tym przypadku nazywane są obserwacjami) przez te same przyrządy pomiarowe w tych samych warunkach przez tego samego obserwatora, tj. przy równie dokładnych (równorozproszonych) pomiarach. Wpływ błędów losowych na wynik pomiaru uwzględniają metody statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa.
Błędy pomiaru brutto - przypadkowe błędy pomiaru znacznie przekraczające te oczekiwane w danych warunkach błędu.
Błędy grube (pomyłki) są zwykle spowodowane błędnymi odczytami na instrumencie, błędem w zapisywaniu obserwacji, obecnością silnie wpływającej wielkości, wadliwym działaniem przyrządów pomiarowych i innymi przyczynami. Z reguły wyniki pomiarów zawierające błędy grube nie są brane pod uwagę, więc błędy grube mają niewielki wpływ na dokładność pomiaru. Znalezienie chybienia nie zawsze jest łatwe, zwłaszcza przy jednym pomiarze; często trudno jest odróżnić błąd rażący od dużego błędu przypadkowego. Jeśli błędy rażące są powszechne, podamy w wątpliwość wszystkie wyniki pomiarów. Dlatego błędy grube wpływają na ważność pomiarów.
Podsumowując opisany podział błędów średnich i wyników pomiarów na składowe losowe, progresywne i systematyczne, należy zwrócić uwagę, że taki podział jest bardzo uproszczoną metodą ich analizy. Dlatego zawsze należy pamiętać, że w rzeczywistości te składowe błędu występują razem i tworzą jeden niestacjonarny proces losowy. W tym przypadku błąd wyniku pomiaru można przedstawić jako sumę błędów losowych i systematycznych Dc: D = Dc +. Błąd pomiaru zawiera składnik losowy, dlatego należy go wziąć pod uwagę zmienna losowa.
Rozważenie natury przejawiania się błędów pomiarowych pokazuje nam, że jedyny prawidłowy sposób oceny błędów daje nam teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

4.4. Probabilistyczne podejście do opisu błędów

Prawa rozkładu błędów losowych. Przypadkowe błędy są wykrywane podczas serii pomiarów tej samej wartości. W tym przypadku wyniki pomiarów z reguły nie pokrywają się ze sobą, ponieważ ze względu na sumaryczny wpływ wielu różnych czynników, których nie można wziąć pod uwagę, każdy nowy pomiar daje również nową losową wartość mierzonej wielkości. Przy prawidłowych pomiarach, wystarczającej ich liczbie oraz wykluczeniu systematycznych błędów i pomyłek można argumentować, że prawdziwa wartość mierzonej wielkości nie wykracza poza wartości uzyskane podczas tych pomiarów. Pozostaje on nieznany, dopóki nie zostanie wyznaczona teoretycznie prawdopodobna wartość błędu losowego.
Niech wartość A zostanie zmierzona P razy i obserwowałem wartości a1, a2, a3,…,a I,...,jakiś. Losowy błąd bezwzględny pojedynczego pomiaru jest określony przez różnicę
Di = ai - ZA . (4.1)
Graficznie wyniki poszczególnych pomiarów przedstawiono na rys. 4.2.
Kiedy wystarczy duże liczby P te same błędy, jeśli mają pewną liczbę dyskretnych wartości, powtarzają się, a zatem możliwe jest ustalenie względnej częstości (częstości) ich występowania, tj. stosunek liczby odebranych identycznych danych mi Do Łączna wykonane pomiary P. W miarę kontynuowania pomiarów ilości A ta częstotliwość się nie zmieni, więc można uznać prawdopodobieństwo błędu w tych pomiarach: P(sztuczna inteligencja) = mi / N.

Nazywa się statystyczną zależność prawdopodobieństwa wystąpienia błędów losowych od ich wartości prawo rozkładu błędów lub prawo rozkładu prawdopodobieństwa. To prawo określa charakter wyglądu różne wyniki indywidualne pomiary. Istnieją dwa rodzaje opisu praw dystrybucji: całka I mechanizm różnicowy.
prawo integralne, Lub funkcja rozkładu prawdopodobieństwaF( D ) błąd losowy Dz Vi-ty doświadczenie, wywołują funkcję, której wartością dla każdego D jest prawdopodobieństwo zdarzenia R(D), co polega na tym, że błąd losowy Di przyjmuje wartości mniejsze od pewnej wartości D, tj. funkcjonować F( D ) = P[ Di < D ]. Funkcja ta, gdy D zmienia się z -¥ na +¥, przyjmuje wartości od 0 do 1 i jest niemalejąca. Istnieje dla wszystkich zmiennych losowych, zarówno dyskretnych, jak i ciągłych (rysunek 4.3 a).
Jeśli F(D) symetrycznie względem punktu A, odpowiednie prawdopodobieństwo 0,5, to rozkład wyników obserwacji będzie symetryczny względem wartości prawdziwej A. W tym przypadku jest to wskazane F(D) przesunięcie wzdłuż odciętej o wartość DA, tj. wykluczyć systematyczny składnik błędu (DA =DC) i uzyskaj funkcję rozkładu losowego składnika błędu D=(Rys. 4.3 b). Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa błędu D różni się od funkcji rozkładu prawdopodobieństwa składowej losowej błędu jedynie przesunięciem wzdłuż osi odciętych o wartość składowej systematycznej błędu DC.
prawo różniczkowe rozkłady prawdopodobieństwa dla błędu losowego o ciągłej i różniczkowalnej funkcji rozkładu F(D) wywołaj funkcję . Ta zależność jest gęstość rozkładu prawdopodobieństwa. Wykres gęstości prawdopodobieństwa może mieć inny kształt w zależności od prawa rozkładu błędów. Dla F(D) pokazany na ryc. 4.3 b, krzywa dystrybucji F(D) ma kształt zbliżony do kształtu dzwonu (ryc. 4.3 c).
Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów losowych określa pole ograniczone krzywą F(D) lub jego część i oś x (ryc. 4.3 c). W zależności od rozważanego przedziału błędów .

Oznaczający F(D)DD istnieje element prawdopodobieństwa równy polu prostokąta z podstawą DD i odcięta D1,D2, zwane kwantylami. Ponieważ F(+¥)= 1, to równość ,
te. pole pod krzywą F(D) zgodnie z regułą normalizacji jest równy jeden i odzwierciedla prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń.
W praktyce pomiary elektryczne jednym z najczęstszych praw rozkładu błędów losowych jest normalne prawo(Gaus).
Matematyczne wyrażenie prawa normalnego ma postać
,
Gdzie F(D)- gęstość prawdopodobieństwa błędu losowego D = zaI-A; s - odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe można wyrazić jako przypadkowe odchylenia wyników obserwacji Di (patrz wzór (4.1)):
.
Charakter krzywych opisanych tym równaniem dla dwóch wartości s pokazano na ryc. 4.4. Z tych krzywych widać, że im mniejsze s, tym częściej występują małe błędy losowe, tj. tym dokładniejsze pomiary. W praktyce pomiarów istnieją inne prawa dystrybucji, które można ustalić na podstawie przetwarzania statystycznego.

dane eksperymentalne. Niektóre z najczęstszych praw dystrybucji podano w GOST 8.011-84 „Wskaźniki dokładności pomiaru i formy prezentacji wyników pomiarów”.
Główne cechy praw dystrybucji to wartość oczekiwana I dyspersja.
Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej jest jego wartością, wokół której grupowane są wyniki poszczególnych obserwacji. Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej M[X] definiuje się jako sumę iloczynów wszystkich możliwa wartość zmienną losową na prawdopodobieństwo tych wartości .
Dla ciągłych zmiennych losowych trzeba uciekać się do całkowania, dla którego konieczna jest znajomość zależności gęstości prawdopodobieństwa od X, tj. f(x), Gdzie x=D. Następnie .
Wyrażenie to oznacza, że oczekiwanie matematyczne jest równe sumie nieskończonej liczby iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej X na nieskończenie małych obszarach f(x)dx, Gdzie f(x) - rzędy dla każdego X, A dx- elementarne segmenty osi x.
Jeśli istnieje rozkład normalny błędów losowych, wówczas matematyczne oczekiwanie błędu losowego wynosi zero (ryc. 4.4). Jeśli weźmiemy pod uwagę rozkład normalny wyników, to oczekiwanie matematyczne będzie odpowiadać prawdziwej wartości mierzonej wielkości, którą oznaczamy przez A.
Systematycznym błędem w tym przypadku jest odchylenie oczekiwanie matematyczne wyniki obserwacji od prawdziwej wartości A zmierzona wartość: DC = M[X]-A, a błąd losowy to różnica między wynikiem pojedynczej obserwacji a oczekiwaniem matematycznym: .
Rozrzut serii obserwacji charakteryzuje stopień rozproszenia (rozrzutu) wyników poszczególnych obserwacji wokół matematycznego oczekiwania:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Im mniejsza wariancja, tym mniejszy rozrzut poszczególnych wyników, tym dokładniejsze pomiary. Jednak dyspersja jest wyrażona w jednostkach na kwadrat mierzonej wielkości. Dlatego jako charakterystykę dokładności serii obserwacji stosuje się najczęściej odchylenie standardowe (RMS), równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji: .
Rozważany rozkład normalny zmiennych losowych, w tym błędów losowych, ma charakter teoretyczny, dlatego opisany rozkład normalny należy uznać za „idealny”, tj. podstawy teoretyczne badanie błędów losowych i ich wpływu na wynik pomiaru.
Ponadto zarysowano sposoby zastosowania tego rozkładu w praktyce z różnym stopniem przybliżenia. Rozważany jest również inny rozkład (rozkład Studenta), który jest stosowany dla małej liczby obserwacji.
Szacunki błędów wyników pomiarów bezpośrednich. Niech się odbędzie P bezpośrednie pomiary tej samej wielkości. W ogólnym przypadku w każdym z aktów pomiarowych błąd będzie inny:
Dja =ai-A,
gdzie Di jest błędem i-tego pomiaru; ai- wynik i-tego pomiaru.
Ponieważ prawdziwa wartość mierzonej wielkości A jest nieznany, losowy błąd bezwzględny nie może być obliczony bezpośrednio. W praktycznych obliczeniach zamiast A wykorzystaj jego wynik. Zwykle przyjmuje się, że prawdziwa wartość to średnia arytmetyczna serii pomiarów:
. (4.2)
Gdzie AI- wyniki poszczególnych pomiarów; P - liczba pomiarów.
Teraz, podobnie jak w przypadku wyrażenia (4.1), możemy wyznaczyć odchylenie wyniku każdego pomiaru od wartości średniej :
(4.3)
Gdzie w I- odchylenie wyniku pojedynczego pomiaru od wartości średniej. Należy pamiętać, że suma odchyleń wyniku pomiaru od wartości średniej wynosi zero, a suma ich kwadratów jest minimalna, tj.
i min.
Właściwości te są wykorzystywane podczas przetwarzania wyników pomiarów do kontroli poprawności obliczeń.
Następnie oblicz szacunkową wartość średni błąd kwadratowy dla danej serii pomiarów

. (4.4)
Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa, dla wystarczająco dużej liczby pomiarów z niezależnymi błędami losowymi, oszacowanie S zbiega się z prawdopodobieństwem do S. Zatem,

. (4.5)
Od średniej arytmetycznej jest również zmienną losową, koncepcja średniej ma sens odchylenie standardoweŚrednia arytmetyczna. Wartość ta będzie oznaczona symbolem sav. Można to wykazać dla błędów niezależnych
. (4.6)
Wartość sav charakteryzuje stopień rozrzutu . Jak stwierdzono powyżej, działa jako oszacowanie prawdziwej wartości mierzonej wartości, tj. jest końcowym wynikiem wykonanych pomiarów. Dlatego sav jest również nazywany pierwiastkiem błędu średniokwadratowego wyniku pomiaru.
W praktyce wartość s obliczoną według wzoru (4.5) stosuje się, gdy konieczne jest scharakteryzowanie dokładności zastosowanej metody pomiarowej: jeżeli metoda jest dokładna, to rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest niewielki, tj. mała wartość s . Wartość sp , obliczona według (4.6) służy do scharakteryzowania dokładności wyniku pomiaru pewnej wielkości, tj. wynik uzyskany przez matematyczne przetworzenie wyników szeregu indywidualnych pomiarów bezpośrednich.
Przy ocenie wyników pomiarów czasami stosuje się to pojęcie maksymalny Lub maksymalny dopuszczalny błąd, których wartość jest określona w akcjach s lub S . Obecnie istnieją różne kryteria ustalania błędu maksymalnego, tj. granic pola tolerancji ±D, w którym muszą mieścić się błędy przypadkowe. Definicja błędu maksymalnego D = 3s (lub 3 S). W Ostatnio Opierając się na informacyjnej teorii pomiarów, profesor P. V. Nowicki zaleca stosowanie wartości D = 2s.
Wprowadzimy teraz ważne pojęcia poziom zaufania I przedział ufności. Jak wspomniano powyżej, średnia arytmetyczna , uzyskana w wyniku pewnej serii pomiarów, jest oszacowaniem wartości prawdziwej A i z reguły nie pokrywa się z nim, ale różni się wartością błędu. Pozwalać R & D istnieje taka możliwość różni się od A co najwyżej D, tj. R(-D< A< + D)=Rd. Prawdopodobieństwo R & D zwany prawdopodobieństwo ufności, oraz zakres wartości mierzonej wartości od - D do + D- przedział ufności.
Powyższe nierówności oznaczają, że z prawdopodobieństwem R & D przedział ufności od - D do + D zawiera prawdziwe znaczenie A. Tak więc, aby w pełni scharakteryzować błąd losowy, konieczne są dwie liczby - prawdopodobieństwo ufności i odpowiadający mu przedział ufności. Jeśli znane jest prawo rozkładu prawdopodobieństw błędów, to z danego prawdopodobieństwa ufności można wyznaczyć przedział ufności. W szczególności dla wystarczająco dużej liczby pomiarów często uzasadnione jest zastosowanie prawa normalnego, podczas gdy dla małej liczby pomiarów (P< 20), których wyniki mieszczą się w rozkładzie normalnym, należy zastosować rozkład Studenta. Ten rozkład ma gęstość prawdopodobieństwa, która praktycznie pokrywa się z normalną dla dużych P, ale znacznie różni się od normalnego w małym stopniu P.
w tabeli. 4.1 przedstawia tzw. kwantyle rozkładu Studenta ½ T(N)½ R & D dla liczby pomiarów P= 2 - 20 i prawdopodobieństwa ufności R = 0,5 - 0,999.
Zwracamy jednak uwagę, że zwykle tablice rozkładu Studenta nie są podawane dla wartości P I R & D, i dla wartości m =n-1 I za \u003d 1 - Rd, co wziąć pod uwagę podczas ich stosowania. Do określenia przedziału ufności niezbędne są dane P I R & D znajdź kwantyl ½ T(N)½Rd i obliczyć wartości Jakiś = - sp× ½ T(N)½Rdi Av = + sp× ½ T(N)½Rd, który będzie niższym i górne granice przedział ufności.

Po znalezieniu przedziałów ufności dla danego prawdopodobieństwa ufności zgodnie z powyższą metodologią wynik pomiaru zapisywany jest w postaci ; D=Dn¸ dv; R & D,
Gdzie - ocena prawdziwej wartości wyniku pomiaru w jednostkach wielkości mierzonej; D - błąd pomiaru; Dw = + sp× ½ T(N)½Рд i Dн = - sp× ½ T(N)½Rd - górna i dolna granica błędu pomiaru; Rd - prawdopodobieństwo ufności.

Tabela 4.1

	Wartości kwantyli rozkładu Studenta t(n) z ufnością prawdopodobieństwa R & D

Szacowanie błędów wyników pomiarów pośrednich. Przy pomiarach pośrednich żądana wartość A funkcjonalnie powiązany z jedną lub kilkoma bezpośrednio mierzonymi wielkościami: X,y,..., T. Rozważ najprostszy przypadek określenia błędu dla jednej zmiennej, kiedy A= F(X). Oznaczający bezwzględny błąd pomiaru wielkości X przez ±Dx , otrzymujemy + D A= F(x± D X).
Rozciągając prawą stronę tej równości na szereg Taylora i pomijając wyrazy rozwinięcia zawierające Dx do potęgi wyższej od pierwszej, otrzymujemy
A+DA » F(x) ± Dx lub DA » ± Dx.
Względny błąd pomiaru funkcji jest określany na podstawie wyrażenia
.
Jeśli zmierzona wartość A jest funkcją kilku zmiennych: A=F(X,y,...,T), następnie błąd bezwzględny wyniku pomiarów pośrednich
.
Częściowe błędy względne pomiaru pośredniego określają wzory ; itp. Błąd względny wyniku pomiaru
.
Zatrzymajmy się również nad cechami szacowania wyniku pomiaru pośredniego w obecności błędu losowego.
Oszacowanie błędu losowego wyników pośrednich pomiarów wielkości A założymy, że błędy systematyczne w pomiarach wielkości x, y,…, t są wykluczone, a przypadkowe błędy w pomiarze tych samych wielkości nie zależą od siebie.
W przypadku pomiarów pośrednich wartość mierzonej wielkości znajduje się na podstawie wzoru ,
gdzie są średnie lub średnie ważone wartości ilości x, y,…, t .
Aby obliczyć odchylenie standardowe mierzonej wartości A wskazane jest wykorzystanie odchyleń standardowych uzyskanych podczas pomiarów x, y,…, t .
W ogólna perspektywa do wyznaczenia odchylenia standardowego s pomiaru pośredniego stosuje się wzór:
, (4.7)
Gdzie Dx ;Dy ;…;Dt- tzw. błędy cząstkowe pomiaru pośredniego ; ; …; ; ; ; … ; — pochodne cząstkowe A Przez x, y,…, t ;sx; Sy,…,st, …— odchylenia standardowe wyników pomiarów x, y,…, t .
Rozważmy kilka szczególnych przypadków zastosowania równania (4.7), w których zależność funkcjonalna między wielkościami mierzonymi pośrednio i bezpośrednio wyrażona jest wzorem A=k× XA× yB× zG , Gdzie k- współczynnik liczbowy (bezwymiarowy).
W tym przypadku wzór (4.7) przyjmuje następującą postać:
.
Jeśli =b=g = 1 I A=k× X× y× z, wówczas wzór na błąd względny upraszcza się do postaci .
Ten wzór ma zastosowanie na przykład do obliczenia odchylenia standardowego pomiaru objętości na podstawie pomiarów wysokości, szerokości i głębokości zbiornika prostopadłościennego.

4.5. Zasady sumowania błędów przypadkowych i systematycznych
Błąd złożonych przyrządów pomiarowych zależy od błędów poszczególnych jego węzłów (bloków). Błędy są podsumowywane zgodnie z pewnymi zasadami.
Niech na przykład urządzenie pomiarowe składa się z M bloków, z których każdy ma niezależne losowe błędy. Jednocześnie wartości bezwzględne średniej kwadratowej sk lub maksimum Mk błąd dla każdego bloku.
Sumowanie arytmetyczne lub daje maksymalny błąd urządzenia, który ma znikome prawdopodobieństwo i dlatego jest rzadko używany do oceny dokładności urządzenia jako całości. Zgodnie z teorią błędów wynikowy błąd sres i Mrez określone przez dodawanie kwadratowe Lub .
Wynikowy względny błąd pomiaru określa się w podobny sposób: . (4.8)
Za pomocą równania (4.8) można wyznaczyć błędy dopuszczalne poszczególnych bloków opracowywanych urządzeń przy zadanym całkowitym błędzie pomiaru. Podczas projektowania urządzenia zwykle podaje się im jednakowe błędy dla poszczególnych bloków w nim zawartych. Jeśli istnieje wiele źródeł błędów, które ostateczny wynik pomiary wpływają różnie (lub urządzenie składa się z kilku bloków z różnymi błędami), współczynniki wagowe należy wprowadzić do wzoru (4.8) ki :
, (4.9)
gdzie d1, d2, …, dm są względnymi błędami poszczególnych jednostek (bloków) przyrządu pomiarowego; k1,k2, … ,km- współczynniki uwzględniające stopień wpływu błędu losowego tego bloku na wynik pomiaru.
Jeżeli urządzenie pomiarowe (lub jego bloki) ma również błędy systematyczne, błąd całkowity określa się na podstawie ich sumy: To samo podejście dotyczy więcej składniki.
Oceniając wpływ błędów cząstkowych należy wziąć pod uwagę, że dokładność pomiarów zależy głównie od błędów, które są duże w wartości bezwzględnej, a niektóre z najmniejszych błędów w ogóle można pominąć. Błąd cząstkowy szacowany jest na podstawie tzw kryterium pomijalnego błędu, który jest następujący. Załóżmy, że całkowity błąd dres jest określony wzorem (4.8) uwzględniającym wszystkich M błędy cząstkowe, wśród których część błędów di ma małą wartość. Jeżeli całkowity błąd d¢res, obliczony bez uwzględnienia błędu di, różni się od dres o nie więcej niż 5%, tj. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезW praktyce obliczeń technicznych często stosuje się mniej rygorystyczne kryterium - do tych wzorów wprowadza się współczynnik 0,4.

4.6. Formy prezentacji wyników pomiarów

Wynik pomiaru jest wartościowy tylko wtedy, gdy można oszacować jego przedział niepewności, tj. stopień niezawodności. Dlatego wynik pomiaru musi zawierać wartość wielkości mierzonej oraz charakterystyki dokładności tej wielkości, które są błędami systematycznymi i przypadkowymi. Ilościowe wskaźniki błędów, metody ich wyrażania, a także formy prezentacji wyników pomiarów reguluje GOST 8.011-72 „Wskaźniki dokładności pomiaru i formy prezentacji wyników pomiarów”. Rozważmy główne formy prezentacji wyników pomiarów.
Błąd wyniku bezpośredniego pojedynczego pomiaru zależy od wielu czynników, ale przede wszystkim jest determinowany błędem zastosowanych przyrządów pomiarowych. Dlatego w pierwszym przybliżeniu błąd wyniku pomiaru można przyjąć równy
błąd, który w danym punkcie zakresu pomiarowego charakteryzuje zastosowany przyrząd pomiarowy.
Błędy przyrządów pomiarowych różnią się w zakresie pomiarów. Dlatego w każdym przypadku dla każdego pomiaru należy obliczyć błąd wyniku pomiaru za pomocą wzorów (3.19) - (3.21) normalizacji błędu odpowiedniego przyrządu pomiarowego. Należy obliczyć zarówno bezwzględny, jak i względny błąd wyniku pomiaru, gdyż pierwszy z nich jest potrzebny do zaokrąglenia wyniku i jego poprawnego zapisu, a drugi do jednoznacznej charakterystyki porównawczej jego dokładności.
Dla różnych charakterystyk normalizacji błędów SI obliczenia te są wykonywane na różne sposoby, dlatego rozważymy trzy typowe przypadki.
1. Klasa urządzenia jest oznaczona pojedynczą liczbą Q, zamknięty w okręgu. Następnie względny błąd wyniku (w procentach) g = Q, i jego błąd bezwzględny D x =Q× X/ 100.
2. Klasę urządzenia wskazuje jedna liczba P(bez kółka). Wówczas błąd bezwzględny wyniku pomiaru D x =P× xk / 100 gdzie Xk- granica pomiaru, przy której została przeprowadzona, oraz względny błąd pomiaru (w procentach) znajduje się na podstawie wzoru ,
tj. w tym przypadku podczas pomiaru, z wyjątkiem odczytu wartości mierzonej X muszą być ustalone, a granica pomiarów Xk, w przeciwnym razie nie będzie możliwe późniejsze obliczenie błędu wyniku.
3. Klasa urządzenia wskazywana jest w formularzu przez dwie cyfry płyta CD. W takim przypadku wygodniej jest obliczyć błąd względny D wynik według wzoru (3.21), a dopiero potem znajdź błąd bezwzględny jako Dx=D× x/100.
Po wykonaniu obliczeń błędu stosuje się jedną z form prezentacji wyniku pomiaru w postaci: X;± D I D, Gdzie X- zmierzona wartość; D- bezwzględny błąd pomiaru; D-względny błąd pomiaru. Dokonywany jest np. następujący wpis: „Pomiar został wykonany z błędem względnym D= …%. zmierzona wartość x = (A± D), Gdzie A- wynik pomiaru.
Bardziej czytelne jest jednak wskazanie granic przedziału niepewności wartości mierzonej w postaci: x = (A-D)¸(+D) Lub (A-D)< х < (+D) wskazując jednostki miary.
Inną formę prezentacji wyniku pomiaru ustala się następująco: X; D z Dn zanim dv; R, Gdzie X- wynik pomiaru w jednostkach wielkości mierzonej; D,DN,Dw- odpowiednio błąd pomiaru z jego dolną i górną granicą w tych samych jednostkach; R- prawdopodobieństwo, z jakim błąd pomiaru mieści się w tych granicach.
GOST 8.011-72 dopuszcza również inne formy prezentacji wyników pomiarów, które różnią się od powyższych form tym, że wskazują osobno charakterystykę składowych systematycznych i losowych błędu pomiaru. Jednocześnie dla błędu systematycznego wskazano jego charakterystykę probabilistyczną. W tym przypadku główną cechą błędu systematycznego jest oczekiwanie matematyczne M [ Dxc], odchylenia standardowe[ Dxc] i jego przedział ufności. Alokacja składowych systematycznych i losowych błędu jest wskazana, jeżeli wynik pomiaru będzie wykorzystany w dalszym przetwarzaniu danych, np. przy wyznaczaniu wyniku pomiarów pośrednich i ocenie jego dokładności, przy sumowaniu błędów itp.

Każda z form prezentacji wyniku pomiaru, przewidziana przez GOST 8.011-72, musi zawierać niezbędne dane, na podstawie których można określić przedział ufności dla błędu wyniku pomiaru. W ogólnym przypadku przedział ufności można ustalić, jeśli znana jest postać prawa rozkładu błędów i główne cechy liczbowe tego prawa.

W naszych czasach człowiek wynalazł i używa ogromnej różnorodności różnych przyrządów pomiarowych. Ale bez względu na to, jak doskonała jest technologia ich wytwarzania, wszystkie mają większy lub mniejszy błąd. Ten parametr jest z reguły wskazany na samym instrumencie, a aby ocenić dokładność określanej wartości, należy zrozumieć, co oznaczają liczby wskazane na oznaczeniu. Ponadto w złożonych obliczeniach matematycznych nieuchronnie pojawiają się błędy względne i bezwzględne. Jest szeroko stosowany w statystyce, przemyśle (kontrola jakości) oraz w wielu innych dziedzinach. Jak obliczana jest ta wartość i jak interpretować jej wartość - właśnie to zostanie omówione w tym artykule.

Absolutny błąd

Oznaczmy przez x przybliżoną wartość wielkości, otrzymaną np. za pomocą pojedynczego pomiaru, a przez x 0 jej dokładną wartość. Teraz obliczmy moduł różnicy między tymi dwiema liczbami. Błąd bezwzględny to dokładnie wartość, którą otrzymaliśmy w wyniku tej prostej operacji. Wyrażoną w języku formuł definicję tę można zapisać następująco: Δ x = | x - x0 |.

Względny błąd

Odchylenie bezwzględne ma jedną istotną wadę – nie pozwala ocenić stopnia istotności błędu. Na przykład kupujemy na rynku 5 kg ziemniaków, a pozbawiony skrupułów sprzedawca podczas pomiaru wagi popełnił błąd o 50 gramów na swoją korzyść. Oznacza to, że błąd bezwzględny wyniósł 50 gramów. Dla nas takie przeoczenie będzie drobnostką i nawet nie zwrócimy na to uwagi. Wyobraź sobie, co by się stało, gdyby podobny błąd wystąpił przy przygotowywaniu leku? Tutaj wszystko będzie znacznie poważniejsze. A podczas załadunku wagonu towarowego prawdopodobnie wystąpią odchylenia znacznie większe niż ta wartość. Dlatego sam błąd bezwzględny nie jest zbyt pouczający. Oprócz tego bardzo często oblicza się dodatkowo odchylenie względne, równe stosunkowi błędu bezwzględnego do dokładnej wartości liczby. Zapisuje się to następującym wzorem: δ = Δ x / x 0 .

Właściwości błędu

Załóżmy, że mamy dwie niezależne wielkości: x i y. Musimy obliczyć odchylenie przybliżonej wartości ich sumy. W takim przypadku możemy obliczyć błąd bezwzględny jako sumę wcześniej obliczonych odchyleń bezwzględnych każdego z nich. W niektórych pomiarach może się zdarzyć, że błędy w wyznaczeniu wartości x i y znoszą się wzajemnie. A może się też zdarzyć, że w wyniku dodawania odchylenia maksymalnie wzrosną. Dlatego przy obliczaniu całkowitego błędu bezwzględnego należy wziąć pod uwagę najgorszy przypadek. To samo dotyczy różnicy błędów kilku wartości. Ta właściwość jest charakterystyczna tylko dla błędu bezwzględnego i nie można jej zastosować do odchylenia względnego, ponieważ nieuchronnie doprowadzi to do błędnego wyniku. Rozważmy tę sytuację w poniższym przykładzie.

Załóżmy, że pomiary wewnątrz cylindra wykazały, że promień wewnętrzny (R 1) wynosi 97 mm, a zewnętrzny (R 2) 100 mm. Konieczne jest określenie grubości jego ściany. Najpierw znajdź różnicę: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 mm. Jeżeli zadanie nie wskazuje, jaki jest równy błąd bezwzględny, to przyjmuje się go jako połowę działki podziałki przyrządu pomiarowego. Zatem Δ (R 2) \u003d Δ (R 1) \u003d 0,5 mm. Całkowity błąd bezwzględny wynosi: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Teraz obliczamy względne odchylenie wszystkich wielkości:

δ(R 1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

δ(R 1) \u003d 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Jak widać błąd pomiaru obu promieni nie przekracza 5,2%, a błąd obliczenia ich różnicy – grubości ścianki cylindra – wyniósł aż 33,(3)%!

Następująca właściwość mówi: względne odchylenie iloczynu kilku liczb jest w przybliżeniu równe sumie względnych odchyleń poszczególnych czynników:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Co więcej, zasada ta jest prawdziwa niezależnie od liczby oszacowanych wartości. Trzecią i ostatnią właściwością błędu względnego jest względne oszacowanie liczby k-ty stopień w przybliżeniu w | k | razy większy niż względny błąd liczby pierwotnej.

Błąd względny, jak rozwiązać. Obliczanie błędu bezwzględnego i względnego