Rozwiązanie rozszerzonej macierzy metodą Gaussa. Odwróć metodę Gaussa

Metoda Gaussa jest prosta! Czemu? Słynny niemiecki matematyk Johann Karl Friedrich Gauss za życia został uznany za największego matematyka wszechczasów, geniusza, a nawet przydomek „król matematyki”. A wszystko genialne, jak wiesz, jest proste! Nawiasem mówiąc, za pieniądze zarabiają nie tylko frajerzy, ale i geniusze – portret Gaussa znajdował się na banknocie 10 marek niemieckich (przed wprowadzeniem euro), a Gauss wciąż tajemniczo uśmiecha się do Niemców ze zwykłych znaczków pocztowych.

Metoda Gaussa jest prosta, ponieważ wiedza 5-klasisty jest WYSTARCZAJĄCA, aby ją opanować. Musisz umieć dodawać i mnożyć! To nie przypadek, że nauczyciele często rozważają metodę sukcesywnej eliminacji niewiadomych w szkolnych obierankach z matematyki. Paradoksalnie metoda Gaussa jest dla studentów najtrudniejsza. Nic dziwnego – cała sprawa tkwi w metodologii, a ja postaram się opowiedzieć o algorytmie metody w przystępnej formie.

Najpierw trochę systematyzujemy wiedzę o systemach. równania liniowe... Układ równań liniowych może:

1) Miej unikalne rozwiązanie.
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Nie miej żadnych rozwiązań (być niespójny).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej wszechstronnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy Reguła Cramera i metoda macierzowa nieodpowiedni w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niekompatybilny. A metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych w każdym razie doprowadzi nas do odpowiedzi! Na ta lekcja ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie systemu), artykuł jest zarezerwowany dla sytuacji pozycji nr 2-3. Zauważ, że algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach.

Wrócić do najprostszy system z lekcji Jak rozwiązać układ równań liniowych?
i rozwiąż go metodą Gaussa.

Na pierwszym etapie musisz napisać rozszerzona macierz systemu:
... Na jakiej zasadzie są napisane współczynniki, myślę, że każdy może to zobaczyć. Pionowy pasek wewnątrz matrycy nie ma żadnego znaczenia matematycznego - jest tylko podkreśleniem dla łatwości projektowania.

referencja :Polecam zapamiętać warunki algebra liniowa. Macierz systemowa Czy macierz składa się tylko ze współczynników z niewiadomymi, w tym przykładzie macierz układu:. Rozszerzona macierz systemu Czy ta sama macierz systemu plus kolumna wolnych członków, w ta sprawa:. Każdą z macierzy można nazwać po prostu macierzą zwięzłości.

Po zapisaniu rozwiniętej macierzy systemu konieczne jest wykonanie na niej pewnych działań, które również nazywane są przekształcenia elementarne.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce Móc przemieniać miejsca. Na przykład w rozważanej matrycy możesz bezboleśnie zmienić pierwszy i drugi wiersz:

2) Jeśli macierz zawiera (lub pojawia się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku - takie same) wiersze, to wynika z tego kasować z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz ... W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, więc wystarczy zostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawił się wiersz zerowy, to również wynika z tego kasować... Nie będę rysował oczywiście linia zerowa to linia w której jedno zera.

4) Rząd matrycy może być mnożyć (dzielić) dowolną liczbą, niezerowe... Rozważmy na przykład macierz. Tutaj wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez –3, a drugiej linii pomnożenie przez 2: ... Ta akcja jest bardzo przydatna, ponieważ upraszcza dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja jest najtrudniejsza, ale w rzeczywistości nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu matrycy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę niezerowe. Rozważ naszą macierz z praktycznego przykładu:. Najpierw bardzo szczegółowo opiszę konwersję. Pomnóż pierwszy wiersz przez –2: , oraz do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –2: ... Teraz pierwsza linia może zostać podzielona „do tyłu” przez –2:. Jak widać, linia ADD ZAWIETRZNY – się nie zmieniła. Jest zawsze zmienia wiersz NA KTÓRY DODATEK UT.

W praktyce oczywiście nie opisują tak szczegółowo, ale piszą krócej:

Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez –2... Ciąg zwykle mnoży się ustnie lub na szkicu, podczas gdy mentalny przebieg obliczeń wygląda mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszą linię: »

„Najpierw pierwsza kolumna. Na dole muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę jednostkę na górze przez –2: i dodaję pierwszą do drugiej linii: 2 + (–2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz przejdźmy do drugiej kolumny. Powyżej –1 pomnożone przez –2:. Do drugiej linii dodaję pierwszy: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„I trzecia kolumna. Powyżej –5 pomnożone przez –2:. Do drugiej linii dodaję pierwszy: –7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

Proszę, dokładnie zrozum ten przykład i zrozum sekwencyjny algorytm obliczeń, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie w twojej kieszeni. Ale oczywiście będziemy pracować nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: rozważane manipulacje nie można użyć, jeśli otrzymasz zadanie, w którym macierze są podawane „samodzielnie”. Na przykład z „klasycznym” akcje z macierzami W żadnym wypadku nie powinieneś przestawiać czegoś wewnątrz matryc!

Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozbierany na części.

Zapisujemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych redukujemy ją do widok schodkowy:

(1) Pierwsza linia pomnożona przez –2 została dodana do drugiej linii. I znowu: dlaczego pierwsza linia jest mnożona dokładnie przez –2? Aby uzyskać zero na dole, czyli pozbyć się jednej zmiennej w drugim wierszu.

(2) Podziel drugi rząd przez 3.

Cel elementarnych przekształceń – sprowadź macierz do postaci schodkowej: ... W projekcie zadania „drabina” jest zaznaczona prostym ołówkiem, a liczby znajdujące się na „schodach” są zakreślone. Sam termin „typ schodkowy” nie jest całkowicie teoretyczny, w literaturze naukowej i edukacyjnej jest często nazywany widok trapezowy lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń uzyskaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz system trzeba „rozkręcić” w przeciwnym kierunku – od dołu do góry, ten proces nazywa się wsteczna metoda Gaussa.

W dolnym równaniu mamy gotowy wynik:.

Rozważ pierwsze równanie układu i już je wstaw znane znaczenie"Gra":

Rozważmy najczęstszą sytuację, w której do rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi wymagana jest metoda Gaussa.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu:

Teraz natychmiast narysuję wynik, do którego dojdziemy w trakcie rozwiązania:

I znowu naszym celem jest doprowadzenie matrycy do postaci schodkowej za pomocą elementarnych przekształceń. Od czego zacząć akcję?

Najpierw przyjrzymy się liczbie w lewym górnym rogu:

Powinno tu być prawie zawsze jednostka... Ogólnie rzecz biorąc, -1 będzie w porządku (i czasem inne cyfry), ale jakoś stało się to tak tradycyjnie, że zwykle tam się umieszcza jednostkę. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Pierwsza transformacja: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona do końca rozwiązania.... Teraz dobrze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera otrzymujemy właśnie za pomocą "trudnej" transformacji. Najpierw mamy do czynienia z drugą linią (2, –1, 3, 13). Co należy zrobić, aby uzyskać zero na pierwszej pozycji? Niezbędny do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –2... W myślach lub w wersji roboczej pomnóż pierwszą linię przez –2: (–2, –4, 2, –18). I konsekwentnie realizujemy (znowu mentalnie lub na szkicu) dodatek, do drugiej linii dodaj pierwszą linię, już pomnożoną przez –2:

Wynik zapisujemy w drugiej linii:

W ten sam sposób postępujemy z trzecią linią (3, 2, –5, –1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3... W myślach lub w wersji roboczej pomnóż pierwszą linię przez –3: (–3, –6, 3, –27). ORAZ do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3:

Wynik zapisujemy w trzecim wierszu:

W praktyce czynności te są zwykle wykonywane ustnie i rejestrowane w jednym kroku:

Nie musisz liczyć wszystkiego na raz i jednocześnie... Kolejność obliczeń i „zapisywanie” wyników spójny i zwykle tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę, a po cichu nadymamy się - SEKWENCYJNIE i UWAŻNIE:

I omówiłem już mentalny przebieg samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe, dzielimy drugą linię przez –5 (ponieważ wszystkie liczby są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie trzecią linię dzielimy przez –2, bo co mniej liczby, więc łatwiejsze rozwiązanie:

Na finałowy etap przekształcenia elementarne, musisz tutaj uzyskać kolejne zero:

Dla tego do trzeciej linii dodaj drugą linię pomnożoną przez –2:

Spróbuj sam przeanalizować tę akcję - mentalnie pomnóż drugą linię przez –2 i dodaj.

Ostatnią wykonaną czynnością jest fryzura wyniku, podziel trzeci rząd przez 3.

W wyniku przekształceń elementarnych otrzymano równoważny początkowy układ równań liniowych:

Fajny.

Teraz w grę wchodzi odwrotność metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Patrzymy na drugie równanie:. Znaczenie „z” jest już znane, a więc:

I wreszcie pierwsze równanie:. "Ygrek" i "z" są znane, sprawa jest niewielka:

Odpowiedź:

Jak już wielokrotnie zauważono, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście jest to łatwe i szybkie.

Przykład 2

To jest przykład dla niezależna decyzja, próbkę wykończenia i odpowiedź na końcu lekcji.

Należy zauważyć, że twoje kurs decyzyjny może nie pokrywać się z moim przebiegiem decyzji, i to jest cecha metody Gaussa... Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci stopniowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy mieć tam jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma nikogo, więc przestawianie rzędów niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana za pomocą elementarnej transformacji. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Ja to zrobiłem:
(1) Do pierwszej linii dodaj drugą linię pomnożoną przez -1... Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz u góry po lewej „minus jeden”, co idealnie nam odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy ruch ciała: pomnóż pierwszą linię przez –1 (zmień jej znak).

(2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 5 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to dla piękna. Zmieniliśmy również znak trzeciej linii i przenieśliśmy go na drugie miejsce, dzięki czemu w drugim „kroku mamy wymaganą jednostkę.

(4) Drugi rząd pomnożony przez 2 został dodany do trzeciego rzędu.

(5) Trzecia linia została podzielona przez 3.

Złym znakiem wskazującym na błąd w obliczeniach (rzadziej - literówkę) jest „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli na dole mamy coś takiego, a zatem , to z dużym prawdopodobieństwem można argumentować, że w trakcie elementarnych przekształceń popełniono błąd.

Naliczamy skok odwrotny, przy projektowaniu przykładów często sam układ nie jest przepisany, a równania „pobierane są bezpośrednio z podanej macierzy”. Odwrotny ruch, przypominam, działa od dołu do góry. Tak, tutaj prezent okazał się:

Odpowiedź: .

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, nieco bardziej skomplikowane. W porządku, jeśli ktoś się pomyli. Kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części rozważymy niektóre cechy algorytmu Gaussa.
Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach systemu brakuje niektórych zmiennych, na przykład:

Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? O tym momencie mówiłem już na lekcji. Zasada Cramera. Metoda macierzowa... W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera:

Nawiasem mówiąc, jest to dość prosty przykład, ponieważ w pierwszej kolumnie jest już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych przekształceń.

Druga cecha jest następująca. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy -1 lub +1 na „krokach”. Czy mogą tam być inne liczby? W niektórych przypadkach mogą. Rozważmy system: .

Tutaj w lewym górnym „kroku” mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - a pozostałe dwa i sześć. A dwójka w lewym górnym rogu będzie nam odpowiadać! W pierwszym kroku musisz wykonać następujące przekształcenia: dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –1 do drugiej linii; do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez –3. To da nam pożądane zera w pierwszej kolumnie.

Lub inny przykład warunkowy: ... Tutaj trójka na drugim "kroku" również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Należy przeprowadzić następującą transformację: do trzeciego wiersza dodać drugi wiersz pomnożony przez –4, w wyniku czego otrzymamy potrzebne nam zero.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale jest jedna osobliwość. Możesz śmiało nauczyć się rozwiązywać układy innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) dosłownie za pierwszym razem - istnieje bardzo sztywny algorytm. Aby jednak czuć się pewnie w metodzie Gaussa, należy „napełnić rękę” i rozwiązać co najmniej 5-10 układów. Dlatego na początku możliwe są zamieszanie, błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Deszczowa jesienna pogoda za oknem.... Dlatego dla każdego, kto chce więcej złożony przykład dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 5

Rozwiąż układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi metodą Gaussa.

Takie zadanie w praktyce nie jest tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który dokładnie przestudiował tę stronę, algorytm rozwiązania takiego systemu jest intuicyjnie jasny. Zasadniczo wszystko jest takie samo - jest po prostu więcej akcji.

Przypadki, w których system nie ma rozwiązań (niespójne) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań są rozważane na lekcji Niekompatybilne systemy i systemy ze wspólnym rozwiązaniem. Rozważany algorytm metody Gaussa można również tam naprawić.

Życzę Ci sukcesów!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci stopniowej.

Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwsza linia pomnożona przez –2 została dodana do drugiej linii. Pierwsza linia pomnożona przez -1 została dodana do trzeciej linii. Uwaga! Kuszące może być odejmowanie pierwszego od trzeciego wiersza, zdecydowanie odradzam odejmowanie - znacznie zwiększa się ryzyko błędu. Po prostu zsumuj!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Zamieniono drugą i trzecią linię. Notatkaże na „schodkach” zadowala nas nie tylko jeden, ale i –1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Drugi rząd został dodany do trzeciego rzędu pomnożony przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Odwrócić:

Odpowiedź: .

Przykład 4: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci stopniowej:

Wykonane konwersje:
(1) Drugi został dodany do pierwszego wiersza. W ten sposób pożądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”.
(2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 7 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 6 został dodany do trzeciego wiersza.

Drugi krok jest coraz gorszy , "Kandydaci" to liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jeden, albo -1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki

(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez –1.
(4) Trzecia linia została dodana do drugiej linii pomnożona przez –3.
(3) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza, pomnożony przez 4. Drugi wiersz został dodany do czwartego wiersza, pomnożony przez –1.
(4) Zmieniono znak drugiej linii. Czwarta linia została podzielona przez 3 i umieszczona w miejscu trzeciej linii.
(5) Trzeci wiersz pomnożony przez –5 został dodany do czwartego wiersza.

Odwrócić:

Mówi się, że dwa układy równań liniowych są równoważne, jeśli zbiór wszystkich ich rozwiązań jest zbieżny.

Elementarnymi przekształceniami układu równań są:

Eliminacja trywialnych równań z systemu, tj. te, w których wszystkie współczynniki są równe zeru;

Mnożenie dowolnego równania przez liczbę inną niż zero;

Dodanie do dowolnego i-tego równania dowolnego j-tego równania pomnożonego przez dowolną liczbę.

Zmienną x i nazywamy wolną, jeśli ta zmienna nie jest dozwolona, a cały układ równań jest dozwolony.

Twierdzenie. Przekształcenia elementarne przekształcają układ równań w równoważny.

Znaczenie metody Gaussa polega na przekształceniu oryginalnego układu równań i uzyskaniu równoważnego rozwiązanego lub równoważnego układu niespójnego.

Tak więc metoda Gaussa składa się z następujących kroków:

Rozważ pierwsze równanie. Wybierzmy pierwszy niezerowy współczynnik i podzielmy przez niego całe równanie. Uzyskajmy równanie, w którym jakaś zmienna x i wchodzi ze współczynnikiem równym 1;
Odejmijmy to równanie od wszystkich pozostałych, mnożąc je przez takie liczby, aby współczynniki zmiennej x i w pozostałych równaniach wyniosły zero. Otrzymujemy układ, który jest rozwiązany względem zmiennej x i i jest równoważny oryginalnemu;
Jeśli pojawią się trywialne równania (rzadko, ale tak się dzieje; np. 0 = 0), usuwamy je z systemu. W rezultacie równania stają się o jedno mniej;
Poprzednie kroki powtarzamy nie więcej niż n razy, gdzie n to liczba równań w układzie. Za każdym razem wybieramy nową zmienną do „przetwarzania”. Jeśli pojawią się sprzeczne równania (na przykład 0 = 8), system jest niespójny.

W rezultacie po kilku krokach otrzymujemy albo dozwolony system (być może z wolnymi zmiennymi), albo niekompatybilny. Dozwolone systemy dzielą się na dwa przypadki:

Liczba zmiennych jest równa liczbie równań. Oznacza to, że system jest zdefiniowany;
Liczba zmiennych jest większa niż liczba równań. Zbieramy wszystkie wolne zmienne po prawej - otrzymujemy wzory na dozwolone zmienne. Te formuły są zapisane w odpowiedzi.

To wszystko! Układ równań liniowych rozwiązany! Jest to dość prosty algorytm i aby go opanować, nie musisz kontaktować się z korepetytorem z matematyki w liceum. Rozważmy przykład:

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Opis kroków:

Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego - otrzymamy dozwoloną zmienną x 1;
Drugie równanie mnożymy przez (−1), a trzecie równanie dzielimy przez (−3) - otrzymujemy dwa równania, w których występuje zmienna x 2 o współczynniku 1;
Do pierwszego dodajemy drugie równanie, a od trzeciego odejmujemy. Zdobądźmy dozwoloną zmienną x 2;
Na koniec odejmujemy trzecie równanie od pierwszego - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 3;
Otrzymaliśmy autoryzowany system, spisujemy odpowiedź.

Rozwiązaniem ogólnym połączonego układu równań liniowych jest nowy układ, równoważny z pierwotnym, w którym wszystkie dozwolone zmienne są wyrażone w postaci wolnych.

Kiedy może być potrzebne ogólne rozwiązanie? Jeśli musisz wykonać mniej kroków niż k (k to liczba równań). Jednak powody, dla których proces kończy się na pewnym etapie l< k , может быть две:

Po l -tym kroku otrzymaliśmy układ, który nie zawiera równania z liczbą (l+1). To jest naprawdę dobre, ponieważ autoryzowany system i tak został odebrany - nawet kilka kroków wcześniej.
Po l -tym kroku otrzymano równanie, w którym wszystkie współczynniki dla zmiennych są równe zeru, a wolny współczynnik jest niezerowy. To jest sprzeczne równanie, a zatem system jest niespójny.

Ważne jest, aby zrozumieć, że wystąpienie sprzecznego równania Gaussa jest wystarczającym powodem niespójności. Jednocześnie zauważ, że w wyniku l -tego kroku nie mogą pozostać trywialne równania - wszystkie są usuwane bezpośrednio w procesie.

Opis kroków:

Odejmij pierwsze równanie pomnożone przez 4 od drugiego. A także dodajemy pierwsze równanie do trzeciego - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 1;
Odejmując trzecie równanie pomnożone przez 2 od drugiego otrzymujemy sprzeczne równanie 0 = −5.

Więc system jest niespójny, ponieważ znaleziono sprzeczne równanie.

Zadanie. Zbadaj kompatybilność i znajdź wspólne rozwiązanie dla systemu:

Opis kroków:

Odejmij pierwsze równanie od drugiego (uprzednio pomnożonego przez dwa), a trzecie - otrzymamy dozwoloną zmienną x 1;
Odejmij drugie równanie od trzeciego. Ponieważ wszystkie współczynniki w tych równaniach są takie same, trzecie równanie staje się trywialne. Jednocześnie mnożymy drugie równanie przez (−1);
Odejmij drugie od pierwszego równania - otrzymamy dozwoloną zmienną x 2. Cały układ równań jest teraz również rozwiązany;
Ponieważ zmienne x 3 i x 4 są wolne, przesuwamy je w prawo, aby wyrazić dozwolone zmienne. To jest odpowiedź.

Zatem system jest kompatybilny i nieokreślony, ponieważ istnieją dwie dozwolone zmienne (x 1 i x 2) oraz dwie wolne (x 3 i x 4).

1. System liniowy równania algebraiczne

1.1 Pojęcie układu liniowych równań algebraicznych

Układ równań to warunek polegający na jednoczesnym wykonaniu kilku równań w kilku zmiennych. Układ liniowych równań algebraicznych (dalej - SLAE) zawierający m równań i n niewiadomych jest układem postaci:

gdzie liczby a ij nazywamy współczynnikami układu, liczby b i są wyrazami swobodnymi, ij oraz b ja(i = 1,…, m; b = 1,…, n) to niektóre znane liczby, a x 1, ..., x n- nieznany. W oznaczeniu współczynników ij pierwszy indeks dolny i oznacza numer równania, a drugi j - liczbę niewiadomej, przy której ten współczynnik stoi. Aby znaleźć liczbę x n. Wygodnie jest napisać taki system w zwartej formie macierzowej: AX = B. Tutaj A jest macierzą współczynników układu, zwaną macierzą główną;

Jest wektorem kolumnowym niewiadomych xj.
Jest wektorem kolumnowym wolnych terminów bi.

Iloczyn macierzy A * X jest zdefiniowany, ponieważ w macierzy A jest tyle kolumn, ile jest wierszy w macierzy X (n sztuk).

Rozszerzona macierz systemu to macierz A systemu uzupełniona o kolumnę wyrazów wolnych

1.2 Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych

Rozwiązaniem układu równań jest uporządkowany zbiór liczb (wartości zmiennych), po podstawieniu zamiast zmiennych każde z równań układu zamienia się w prawdziwą równość.

Rozwiązanie układu nazywa się n wartościami niewiadomych х1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn, przy podstawieniu których wszystkie równania układu zamieniają się w prawdziwe równości. Dowolne rozwiązanie systemu można zapisać w postaci macierzy kolumnowej

Układ równań nazywamy spójnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niezgodnym, jeśli nie ma rozwiązania.

Wspólny system nazywany jest określonym, jeśli ma jedno rozwiązanie, i nieokreślonym, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie. W tym drugim przypadku każde z jego rozwiązań nazywane jest konkretnym rozwiązaniem systemu. Zbiór wszystkich rozwiązań szczegółowych nazywamy rozwiązaniem ogólnym.

Rozwiązanie systemu polega na ustaleniu, czy jest on kompatybilny, czy niespójny. Jeśli system jest kompatybilny, znajdź jego ogólne rozwiązanie.

Dwa systemy nazywane są równoważnymi (ekwiwalentnymi), jeśli mają to samo rozwiązanie ogólne. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Transformacja, której zastosowanie przekształca system w nowy system równoważny pierwotnemu, nazywana jest transformacją równoważną lub równoważną. Przykładami przekształceń równoważnych są następujące przekształcenia: permutacja dwóch równań układu, permutacja dwóch niewiadomych wraz ze współczynnikami wszystkich równań, pomnożenie obu części dowolnego równania układu przez liczbę niezerową.

Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, jeśli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru:

System jednorodny jest zawsze kompatybilny, ponieważ x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 jest rozwiązaniem systemu. To rozwiązanie nazywa się zerowym lub trywialnym.

2. Metoda eliminacji Gaussa

2.1 Istota metody eliminacji Gaussa

Klasyczną metodą rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych jest metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych - Metoda Gaussa(nazywana również metodą eliminacji Gaussa). Jest to metoda sukcesywnej eliminacji zmiennych, gdy za pomocą przekształceń elementarnych układ równań sprowadza się do równoważnego układu o postaci krokowej (lub trójkątnej), z którego wszystkie inne zmienne są znajdowane sekwencyjnie, zaczynając od ostatniej (przez liczba) zmienne.

Proces rozwiązania Gaussa składa się z dwóch etapów: ruchów do przodu i do tyłu.

1. Kurs bezpośredni.

W pierwszym etapie wykonuje się tak zwany ruch bezpośredni, gdy za pomocą elementarnych przekształceń po liniach układ zostaje doprowadzony do kształtu schodkowego lub trójkątnego, albo zostanie stwierdzone, że układ jest niezgodny. Mianowicie spośród elementów pierwszej kolumny macierzy wybierz niezerową, przesuń ją na najwyższą pozycję permutując wiersze i odejmij pierwszy wiersz uzyskany po permutacji od pozostałych wierszy, mnożąc go przez wartość równą stosunek pierwszego elementu każdego z tych wierszy do pierwszego elementu pierwszego wiersza, zerując w ten sposób kolumnę pod nim.

Po wykonaniu wskazanych przekształceń, pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są mentalnie przekreślane i kontynuowane, aż macierz pozostanie zerowy rozmiar... Jeśli w niektórych iteracjach wśród elementów pierwszej kolumny nie zostanie znaleziona wartość niezerowa, przejdź do następnej kolumny i wykonaj podobną operację.

W pierwszym etapie (bieg bezpośredni) system zostaje zredukowany do formy schodkowej (w szczególności trójkątnej).

Poniższy system jest schodkowy:

Współczynniki aii nazywane są głównymi (wiodącymi) elementami systemu.

(jeśli a11 = 0, przestawiamy wiersze macierzy tak, aby a 11 nie było równe 0. Jest to zawsze możliwe, ponieważ w przeciwnym razie macierz zawiera kolumnę zerową, jej wyznacznikiem jest zero, a system jest niespójny).

Przekształcamy system, eliminując niewiadomą x1 we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego (używając elementarnych przekształceń systemu). Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez

i dodaj wyraz po wyrazie do drugiego równania układu (lub odejmij pierwsze, pomnożone przez, od drugiego równania wyraz po wyrazie). Następnie mnożymy obie strony pierwszego równania przez i dodajemy je do trzeciego równania układu (lub od trzeciego odejmujemy pierwsze pomnożone przez). W ten sposób kolejno mnożymy pierwszy wiersz przez liczbę i dodajemy do i linia, dla ja = 2, 3, …,n.

Kontynuując ten proces, otrzymujemy równoważny system:

- nowe wartości współczynników dla niewiadomych i wyrazów swobodnych w ostatnich równaniach m-1 układu, które są określone wzorami:

Zatem w pierwszym kroku wszystkie współczynniki pod pierwszym wiodącym elementem a 11

0, w drugim kroku elementy, które leżą pod drugim elementem wiodącym a 22 (1) (jeśli 22 (1) 0) są niszczone itd. Kontynuując ten proces dalej, ostatecznie, w kroku (m-1), redukujemy pierwotny układ do układu trójkątnego.

Jeśli w procesie redukcji systemu do postaci stopniowej pojawiają się równania zerowe, tj. równości postaci 0 = 0, są odrzucane. Jeśli pojawi się równanie postaci

to wskazuje na niezgodność systemu.

Na tym kończy się bezpośredni przebieg metody Gaussa.

2. Odwróć.

W drugim etapie wykonuje się tzw. ruch odwrotny, którego istotą jest wyrażenie wszystkich otrzymanych zmiennych podstawowych w kategoriach niepodstawowych i skonstruowanie fundamentalnego układu rozwiązań lub, jeśli wszystkie zmienne są podstawowe, wyrażenie w postaci numerycznej jedyne rozwiązanie układu równań liniowych.

Ta procedura zaczyna się od ostatniego równania, z którego wyrażona jest odpowiednia zmienna podstawowa (jest w niej tylko jedna) i podstawiona do poprzednich równań i tak dalej, wspinając się po „stopniach”.

Każdy wiersz odpowiada dokładnie jednej zmiennej podstawowej, dlatego na każdym kroku, z wyjątkiem ostatniego (najwyższego), sytuacja dokładnie powtarza przypadek ostatniego wiersza.

Uwaga: w praktyce wygodniej jest pracować nie z systemem, ale z jego rozszerzoną macierzą, wykonując wszystkie podstawowe przekształcenia w jego wierszach. Wygodnie jest, aby współczynnik a11 był równy 1 (przeorganizuj równania lub podziel obie strony równania przez a11).

2.2 Przykłady rozwiązywania SLAE metodą Gaussa

W tej sekcji, korzystając z trzech różnych przykładów, pokazujemy, w jaki sposób można użyć metody Gaussa do rozwiązywania SLAE.

Przykład 1. Rozwiąż SLAE trzeciego rzędu.

Wyzerujmy współczynniki w

w drugim i trzecim wierszu. Aby to zrobić, pomnóż je odpowiednio przez 2/3 i 1 i dodaj je do pierwszego wiersza:

W niniejszym artykule metoda jest traktowana jako sposób rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda jest analityczna, czyli pozwala napisać algorytm rozwiązania w ogólna perspektywa, a następnie podstawić tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej lub formuł Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można pracować z tymi, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Albo w ogóle go nie masz.

Co to znaczy rozwiązywać metodą Gaussa?

Najpierw musisz napisać nasz układ równań w Wygląda to tak. System jest pobierany:

Współczynniki zapisane są w formie tabeli, a po prawej stronie, w osobnej kolumnie, wolne terminy. Kolumna z wolnymi członkami jest dla wygody oddzielona, a macierz, która zawiera tę kolumnę, nazywa się rozszerzoną.

Ponadto główna macierz ze współczynnikami musi zostać zredukowana do górnej trójkątnej postaci. To jest główny punkt rozwiązywania systemu metodą Gaussa. Mówiąc najprościej, po pewnych manipulacjach macierz powinna wyglądać tak, aby w jej dolnej lewej części były tylko zera:

Następnie, jeśli ponownie zapiszesz nową macierz jako układ równań, możesz zauważyć, że ostatni wiersz zawiera już wartość jednego z pierwiastków, który jest następnie podstawiony do powyższego równania, znajduje się inny pierwiastek i tak dalej .

Jest to w większości opis rozwiązania metodą Gaussa Ogólny zarys... Co się stanie, jeśli system nagle nie znajdzie rozwiązania? A może jest ich nieskończona liczba? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy użyte do rozwiązania metody Gaussa.

Macierze, ich właściwości

W matrycy nie ma ukrytego znaczenia. To po prostu wygodny sposób na zapisywanie danych do późniejszej manipulacji. Nawet dzieci w wieku szkolnym nie muszą się ich bać.

Matryca jest zawsze prostokątna, bo tak jest wygodniej. Nawet w metodzie Gaussa, gdzie wszystko sprowadza się do zbudowania macierzy trójkątnej, w zapisie pojawia się prostokąt, tylko z zerami w miejscu, gdzie nie ma liczb. Zera nie muszą być pisane, ale są domniemane.

Matryca jest wielkości. Jego „szerokość” to liczba rzędów (m), a „długość” to liczba kolumn (n). Wtedy wielkość macierzy A (zazwyczaj są one oznaczane kapitałem) listy) będzie oznaczane jako A m × n. Jeśli m = n, to macierz ta jest kwadratowa, a m = n jest jej porządkiem. W związku z tym każdy element macierzy A może być oznaczony numerem jego wiersza i kolumny: a xy; x - numer wiersza, zmiana, y - numer kolumny, zmiana.

B nie jest głównym punktem decyzji. W zasadzie wszystkie operacje można wykonać bezpośrednio z samych równań, ale zapis okaże się znacznie bardziej nieporęczny i znacznie łatwiej będzie się w nim pomylić.

Wyznacznik

Macierz ma też wyznacznik. To bardzo ważna cecha. Nie warto teraz odkrywać jego znaczenia, wystarczy pokazać, jak jest obliczane, a następnie powiedzieć, jakie właściwości macierzy definiuje. Najłatwiej znaleźć wyznacznik przez przekątne. W macierzy narysowane są urojone przekątne; elementy na każdym z nich są mnożone, a następnie dodawane są powstałe produkty: przekątne ze spadkiem w prawo - ze znakiem plus, ze spadkiem w lewo - ze znakiem minus.

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następujące czynności: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczbę kolumn (niech będzie to k), a następnie w dowolny sposób zaznaczyć k kolumn i k wierszy w macierzy. Elementy na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nowy macierz kwadratowa... Jeśli wyznacznikiem takiej macierzy jest liczba niezerowa, będzie ona nazywana podstawą mniejszą pierwotnej macierzy prostokątnej.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania układu równań metodą Gaussa nie przeszkadza to w obliczeniu wyznacznika. Jeśli okaże się, że jest zero, to możemy od razu powiedzieć, że macierz ma albo nieskończoną liczbę rozwiązań, albo nie ma ich wcale. W takim smutnym przypadku trzeba iść dalej i dowiedzieć się o randze matrycy.

Klasyfikacja systemu

Istnieje coś takiego jak ranga macierzy. Jest to maksymalny rząd jej niezerowego wyznacznika (jeśli przypomnimy sobie podstawową podrzędną, możemy powiedzieć, że rząd macierzy jest rządem podstawowego podrzędnego).

Nawiasem mówiąc, rzeczy mają się z rangą, SLAE można podzielić na:

Wspólny. Posiadać kompatybilnych układów, rząd macierzy głównej (składającej się tylko ze współczynników) pokrywa się z rządem rozszerzonej (z kolumną wolnych elementów). Takie systemy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego systemy złączy dodatkowo dzielą się na:
- pewny- posiadanie jednego rozwiązania. W niektórych systemach ranga macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, które są takie same) są równe;
- nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy w takich układach jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
Niekompatybilny. Posiadać takich systemów, szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązań.

Metoda Gaussa jest dobra, ponieważ pozwala uzyskać albo jednoznaczny dowód niezgodności układu (bez obliczania wyznaczników dużych macierzy), albo rozwiązanie ogólne dla układu o nieskończonej liczbie rozwiązań.

Transformacje elementarne

Zanim przejdziesz bezpośrednio do rozwiązania systemu, możesz uczynić go mniej uciążliwym i wygodniejszym do obliczeń. Osiąga się to poprzez elementarne przekształcenia – takie, aby ich realizacja w żaden sposób nie zmieniała ostatecznej odpowiedzi. Należy zauważyć, że niektóre z powyższych elementarnych przekształceń dotyczą tylko macierzy, których źródłem był właśnie SLAE. Oto lista tych przekształceń:

Permutacja linii. Oczywiście, jeśli zmienisz kolejność równań w notacji układu, nie wpłynie to w żaden sposób na rozwiązanie. W związku z tym w macierzy tego systemu można również zamieniać wierszami, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych członków.
Mnożenie wszystkich elementów linii przez pewien współczynnik. Bardzo pomocne! Może służyć do skracania duże liczby w matrycy lub usuń zera. Wiele rozwiązań jak zwykle się nie zmieni, a dalsze operacje staną się wygodniejsze. Najważniejsze, że współczynnik nie jest równy zeru.
Usuń wiersze ze współczynnikami proporcjonalnymi. Wynika to częściowo z poprzedniego punktu. Jeśli dwa lub więcej wierszy w macierzy ma współczynniki proporcjonalne, to podczas mnożenia / dzielenia jednego z wierszy przez współczynnik proporcjonalności uzyskuje się dwa (lub ponownie) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
Usuwanie linii zerowej. Jeżeli w trakcie przekształceń gdzieś wyszedł ciąg, w którym wszystkie elementy, łącznie z wyrazem wolnym, mają wartość zero, to taki ciąg można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
Dodawanie do elementów jednego rzędu elementów drugiego (zgodnie z odpowiednimi kolumnami), pomnożone przez określony współczynnik. Najbardziej nieoczywiste i najbardziej ważna transformacja ze wszystkich. Warto przyjrzeć się temu bardziej szczegółowo.

Dodanie wiersza pomnożone przez współczynnik

Dla ułatwienia zrozumienia warto przeprowadzić ten proces krok po kroku. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a 21 za 22 ... za 2n | b 2

Załóżmy, że konieczne jest dodanie pierwszego do drugiego pomnożonego przez współczynnik „-2”.

a „21 = a 21 + -2 × a 11

„22 = 22 + -2 × 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

Następnie drugi rząd w matrycy zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje bez zmian.

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Należy zauważyć, że mnożnik można dobrać w taki sposób, aby w wyniku dodania dwóch wierszy jeden z elementów nowego wiersza był równy zero. Dlatego możesz otrzymać równanie w układzie, w którym będzie jedna niewiadoma mniej. A jeśli dostaniesz dwa takie równania, to operację można wykonać ponownie i uzyskać równanie, które będzie już zawierało dwie niewiadome mniej. A jeśli za każdym razem, gdy zwrócisz do zera jeden współczynnik dla wszystkich wierszy, które są niższe od oryginału, możesz, podobnie jak kroki, zejść na sam dół macierzy i uzyskać równanie z jedną niewiadomą. Nazywa się to rozwiązywaniem systemu metodą Gaussa.

Ogólnie

Niech system istnieje. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Można go zapisać w następujący sposób:

Główna macierz składa się ze współczynników systemowych. Kolumna wolnych członków jest dodawana do rozszerzonej macierzy i jest oddzielona dla wygody paskiem.

pierwszy wiersz macierzy jest mnożony przez współczynnik k = (-a 21 / a 11);
dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodawania z poprzedniego akapitu;
teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim wierszu to 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz wykonywana jest ta sama seria przekształceń, tylko pierwsza i trzecia linia są zaangażowane. W związku z tym na każdym etapie algorytmu element a 21 jest zastępowany przez 31. Następnie wszystko jest powtarzane dla 41, ... a m1. Wynikiem jest macierz, w której pierwszy element w wierszach jest równy zero. Teraz musimy zapomnieć o wierszu numer jeden i wykonać ten sam algorytm, zaczynając od drugiego wiersza:

współczynnik k = (-a 32 / a 22);
druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii "bieżącej";
wynik dodawania jest podstawiony w trzecim, czwartym itd. wierszu, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają bez zmian;
w wierszach macierzy pierwsze dwa elementy są już równe zero.

Algorytm należy powtarzać, aż pojawi się współczynnik k = (-a m, m-1 / a mm). Oznacza to, że ostatnim razem algorytm był wykonywany tylko dla dolnego równania. Macierz wygląda teraz jak trójkąt lub ma schodkowy kształt. Dolny wiersz zawiera równość a mn × x n = b m. Współczynnik i punkt przecięcia są znane, a pierwiastek jest przez nie wyrażony: x n = b m / a mn. Wynikowy korzeń jest podstawiony w górnym wierszu, aby znaleźć x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. I tak dalej przez analogię: w każdym kolejnym wierszu jest nowy root, a gdy dojdziesz do „szczytu” systemu, możesz znaleźć wiele rozwiązań. To będzie jedyny.

Kiedy nie ma rozwiązań

Jeżeli w jednym z wierszy macierzy wszystkie elementy poza wyrazem swobodnym są równe zero, to równanie odpowiadające temu wierszowi wygląda tak: 0 = b. Nie ma rozwiązania. A skoro takie równanie jest zawarte w układzie, to zbiór rozwiązań całego układu jest pusty, czyli zdegenerowany.

Gdy rozwiązania są nieograniczone

Może się okazać, że w zredukowanej macierzy trójkątnej nie ma wierszy o jednym współczynniku pierwiastkowym równania i jednym członie swobodnym. Są tylko takie wiersze, które po przepisaniu miałyby postać równania z dwiema lub więcej zmiennymi. Oznacza to, że system ma nieskończoną ilość rozwiązań. W takim przypadku odpowiedź można udzielić w postaci rozwiązania ogólnego. Jak to zrobić?

Wszystkie zmienne w macierzy podzielone są na podstawowe i darmowe. Podstawowe to te, które znajdują się „na krawędzi” wierszy w macierzy schodkowej. Reszta jest bezpłatna. W ogólnym rozwiązaniu zmienne podstawowe są zapisywane przez wolne.

Dla wygody macierz jest najpierw przepisywana z powrotem do układu równań. Następnie w ostatniej z nich, gdzie dokładnie pozostaje tylko jedna zmienna podstawowa, pozostaje po jednej stronie, a wszystko inne zostaje przeniesione na drugą. Odbywa się to dla każdego równania z jedną zmienną bazową. Następnie, jeśli to możliwe, otrzymane dla niego wyrażenie jest zastępowane w pozostałych równaniach, tam gdzie to możliwe, zamiast zmiennej bazowej. Jeśli wynik ponownie pojawi się jako wyrażenie zawierające tylko jedną zmienną podstawową, jest on ponownie wyrażany stamtąd i tak dalej, aż każda zmienna podstawowa zostanie zapisana jako wyrażenie z wolnymi zmiennymi. To jest ogólne rozwiązanie SLAE.

Można również znaleźć podstawowe rozwiązanie systemu - podać dowolne wartości zmiennym wolnym, a następnie, dla tego konkretnego przypadku, obliczyć wartości zmiennych podstawowych. Prywatnych rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Rozwiązanie na podstawie konkretnych przykładów

Oto układ równań.

Dla wygody lepiej od razu skomponować jego matrycę

Wiadomo, że przy rozwiązywaniu metodą Gaussa równanie odpowiadające pierwszej linii pozostanie niezmienione na końcu przekształceń. Dlatego bardziej opłaca się, jeśli lewy górny element macierzy będzie najmniejszy – wtedy znikną pierwsze elementy pozostałych wierszy po operacjach. Oznacza to, że w skompilowanej macierzy korzystne będzie zastąpienie pierwszego wiersza drugim.

druga linia: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a „22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a „23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b „2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

trzecia linia: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a „3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a „3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a „3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b „3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Teraz, aby się nie pomylić, należy napisać macierz z pośrednimi wynikami przekształceń.

Oczywiście taką macierz można uczynić bardziej czytelną za pomocą pewnych operacji. Na przykład możesz usunąć wszystkie „minusy” z drugiego wiersza, mnożąc każdy element przez „-1”.

Warto również zauważyć, że w trzecim wierszu wszystkie elementy są wielokrotnościami trzech. Następnie można skrócić ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez "-1/3" (minus - jednocześnie usunąć wartości ujemne).

Wygląda znacznie ładniej. Teraz musimy zostawić pierwszą linię w spokoju i pracować z drugą i trzecią. Zadanie polega na dodaniu drugiej do trzeciej linii pomnożonej przez taki współczynnik, aby element a 32 stał się równy zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3 / 7 wspólny ułamek, a dopiero potem, po otrzymaniu odpowiedzi, zdecyduj, czy warto zaokrąglić i przetłumaczyć na inną formę zapisu)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a „33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b „3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matryca jest ponownie zapisywana nowymi wartościami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Jak widać, wynikowa macierz ma już formę schodkową. Dlatego dalsze przekształcenia systemu metodą Gaussa nie są wymagane. To, co możesz tutaj zrobić, to usunąć ogólny współczynnik „-1/7” z trzeciego wiersza.

Teraz wszystko jest piękne. Sprawa jest niewielka - ponownie napisać macierz w postaci układu równań i obliczyć pierwiastki

x + 2 lata + 4z = 12 (1)

7 lat + 11 z = 24 (2)

Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem wstecznym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

A pierwsze równanie pozwala znaleźć x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Mamy prawo nazywać taki system wspólnym, a nawet definitywnym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest napisana w następującej formie:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Przykład niezdefiniowanego systemu

Przeanalizowano wariant rozwiązania pewnego układu metodą Gaussa, teraz należy rozważyć przypadek, w którym układ jest nieokreślony, czyli można znaleźć dla niego nieskończenie wiele rozwiązań.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Już sama forma systemu jest niepokojąca, bo liczba niewiadomych n = 5, a ranga macierzy systemu jest już dokładnie mniejsza od tej liczby, bo liczba wierszy to m = 4, czyli największy rząd wyznacznika-kwadrat to 4. Jest więc nieskończenie wiele rozwiązań i trzeba szukać jego ogólnego wyglądu. Umożliwia to metoda Gaussa dla równań liniowych.

Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest rozszerzona macierz.

Drugi wiersz: współczynnik k = (-a 21 / a 11) = -3. W trzecim wierszu pierwszy element jest jeszcze przed przekształceniami, więc nie musisz niczego dotykać, musisz go pozostawić bez zmian. Czwarty wiersz: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Mnożąc elementy pierwszego wiersza przez każdy z ich współczynników po kolei i dodając je do wymaganych wierszy, otrzymujemy macierz o następującej postaci:

Jak widać, druga, trzecia i czwarta linia składają się z elementów proporcjonalnych do siebie. Drugi i czwarty są generalnie takie same, więc jeden z nich można usunąć od razu, a drugi można pomnożyć przez współczynnik „-1” i uzyskać wiersz numer 3. I znowu pozostaw jeden z dwóch identycznych wierszy .

Rezultatem jest taka macierz. System nie został jeszcze spisany, konieczne jest tutaj określenie podstawowych zmiennych - stojących o współczynnikach a 11 = 1 i a 22 = 1, oraz wolnych - całej reszty.

W drugim równaniu jest tylko jedna zmienna bazowa - x 2. Stąd może być wyrażona stamtąd poprzez zapisanie w postaci zmiennych x 3, x 4, x 5, które są wolne.

Zastąp otrzymane wyrażenie w pierwszym równaniu.

Wynikiem jest równanie, w którym jedyną zmienną bazową jest x 1. Zróbmy z nim to samo, co z x 2.

Wszystkie podstawowe zmienne, z których są dwie, są wyrażone w postaci trzech wolnych, teraz możesz napisać odpowiedź w formie ogólnej.

Możesz również określić jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach z reguły jako wartości wolnych zmiennych wybierane są zera. Wtedy odpowiedź byłaby:

16, 23, 0, 0, 0.

Przykład niespójnego systemu

Najszybsze jest rozwiązywanie niespójnych układów równań metodą Gaussa. Kończy się, gdy tylko na jednym z etapów otrzymamy równanie, które nie ma rozwiązania. Oznacza to, że znika etap z obliczaniem korzeni, który jest dość długi i ponury. Uwzględniany jest następujący system:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jak zwykle sporządzana jest macierz:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I sprowadza się do widoku schodkowego:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pierwszej transformacji trzeci wiersz zawiera równanie postaci

nie mając rozwiązania. Dlatego system jest niespójny, a odpowiedzią jest pusty zestaw.

Zalety i wady metody

Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą długopisu, to metoda omówiona w tym artykule wygląda najbardziej atrakcyjnie. Transformacje elementarne są znacznie trudniejsze do pomylenia niż w przypadku ręcznego wyszukiwania wyznacznika lub jakiejś sprytnej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszy kalkulacyjnych, okazuje się, że takie programy mają już algorytmy obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, pobocznych, odwrotności i tak dalej. A jeśli masz pewność, że maszyna sama obliczy te wartości i nie pomyli się, to bardziej celowe jest zastosowanie metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich stosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierze odwrotne.

Podanie

Ponieważ rozwiązanie Gaussa jest algorytmem, a macierz jest w rzeczywistości tablicą dwuwymiarową, można ją wykorzystać w programowaniu. Ale ponieważ artykuł pozycjonuje się jako przewodnik „dla manekinów”, należy powiedzieć, że najprostszym miejscem, w którym można wepchnąć metodę, są arkusze kalkulacyjne, na przykład Excel. Ponownie, każdy SLAE wprowadzony do tabeli w postaci macierzy będzie traktowany przez Excel jako tablica dwuwymiarowa. A do operacji na nich jest wiele fajnych poleceń: dodawanie (można dodać tylko macierze tej samej wielkości!), Mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy (również z pewnymi ograniczeniami), znajdowanie macierzy odwrotnych i transponowanych, a przede wszystkim co ważne, obliczenie wyznacznika. Jeśli to żmudne zadanie zastąpimy jednym poleceniem, można znacznie szybciej określić rangę macierzy, a co za tym idzie, ustalić jej zgodność lub niespójność.

W niniejszym artykule metoda jest traktowana jako sposób rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda ma charakter analityczny, czyli pozwala napisać algorytm rozwiązania w postaci ogólnej, a następnie podstawić tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej lub formuł Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można pracować z tymi, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Albo w ogóle go nie masz.

Co to znaczy rozwiązywać metodą Gaussa?

Najpierw musisz napisać nasz układ równań w Wygląda to tak. System jest pobierany:

Jest to bardzo ogólny opis rozwiązania Gaussa. Co się stanie, jeśli system nagle nie znajdzie rozwiązania? A może jest ich nieskończona liczba? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy użyte do rozwiązania metody Gaussa.

Macierze, ich właściwości

W matrycy nie ma ukrytego znaczenia. To po prostu wygodny sposób na zapisywanie danych do późniejszej manipulacji. Nawet dzieci w wieku szkolnym nie muszą się ich bać.

Matryca jest wielkości. Jego „szerokość” to liczba rzędów (m), a „długość” to liczba kolumn (n). Wtedy rozmiar macierzy A (do ich oznaczenia zwykle używa się wielkich liter łacińskich) zostanie oznaczony jako A m × n. Jeśli m = n, to macierz ta jest kwadratowa, a m = n jest jej porządkiem. W związku z tym każdy element macierzy A może być oznaczony numerem jego wiersza i kolumny: a xy; x - numer wiersza, zmiana, y - numer kolumny, zmiana.

Wyznacznik

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następujące czynności: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczbę kolumn (niech będzie to k), a następnie w dowolny sposób zaznaczyć k kolumn i k wierszy w macierzy. Elementy na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nową macierz kwadratową. Jeśli wyznacznikiem takiej macierzy jest liczba niezerowa, będzie ona nazywana podstawą mniejszą pierwotnej macierzy prostokątnej.

Klasyfikacja systemu

Nawiasem mówiąc, rzeczy mają się z rangą, SLAE można podzielić na:

Wspólny. Posiadać kompatybilnych układów, rząd macierzy głównej (składającej się tylko ze współczynników) pokrywa się z rządem rozszerzonej (z kolumną wolnych elementów). Takie systemy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego systemy złączy dodatkowo dzielą się na:
- pewny- posiadanie jednego rozwiązania. W niektórych systemach ranga macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, które są takie same) są równe;
- nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy w takich układach jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
Niekompatybilny. Posiadać takich systemów, szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązań.

Transformacje elementarne

Permutacja linii. Oczywiście, jeśli zmienisz kolejność równań w notacji układu, nie wpłynie to w żaden sposób na rozwiązanie. W związku z tym w macierzy tego systemu można również zamieniać wierszami, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych członków.
Mnożenie wszystkich elementów linii przez pewien współczynnik. Bardzo pomocne! Może być używany do zmniejszania dużych liczb w macierzy lub usuwania zer. Wiele rozwiązań jak zwykle się nie zmieni, a dalsze operacje staną się wygodniejsze. Najważniejsze, że współczynnik nie jest równy zeru.
Usuń wiersze ze współczynnikami proporcjonalnymi. Wynika to częściowo z poprzedniego punktu. Jeśli dwa lub więcej wierszy w macierzy ma współczynniki proporcjonalne, to podczas mnożenia / dzielenia jednego z wierszy przez współczynnik proporcjonalności uzyskuje się dwa (lub ponownie) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
Usuwanie linii zerowej. Jeżeli w trakcie przekształceń gdzieś wyszedł ciąg, w którym wszystkie elementy, łącznie z wyrazem wolnym, mają wartość zero, to taki ciąg można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
Dodawanie do elementów jednego rzędu elementów drugiego (zgodnie z odpowiednimi kolumnami), pomnożone przez określony współczynnik. Najbardziej subtelna i najważniejsza przemiana ze wszystkich. Warto przyjrzeć się temu bardziej szczegółowo.

Dodanie wiersza pomnożone przez współczynnik

Dla ułatwienia zrozumienia warto przeprowadzić ten proces krok po kroku. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a 21 za 22 ... za 2n | b 2

Załóżmy, że konieczne jest dodanie pierwszego do drugiego pomnożonego przez współczynnik „-2”.

a „21 = a 21 + -2 × a 11

„22 = 22 + -2 × 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

Następnie drugi rząd w matrycy zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje bez zmian.

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Ogólnie

Niech system istnieje. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Można go zapisać w następujący sposób:

Główna macierz składa się ze współczynników systemowych. Kolumna wolnych członków jest dodawana do rozszerzonej macierzy i jest oddzielona dla wygody paskiem.

pierwszy wiersz macierzy jest mnożony przez współczynnik k = (-a 21 / a 11);
dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodawania z poprzedniego akapitu;
teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim wierszu to 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

współczynnik k = (-a 32 / a 22);
druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii "bieżącej";
wynik dodawania jest podstawiony w trzecim, czwartym itd. wierszu, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają bez zmian;
w wierszach macierzy pierwsze dwa elementy są już równe zero.

Kiedy nie ma rozwiązań

Gdy rozwiązania są nieograniczone

Rozwiązanie na podstawie konkretnych przykładów

Oto układ równań.

Dla wygody lepiej od razu skomponować jego matrycę

druga linia: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a „22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a „23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b „2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

trzecia linia: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a „3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a „3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a „3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b „3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Teraz, aby się nie pomylić, należy napisać macierz z pośrednimi wynikami przekształceń.

Warto również zauważyć, że w trzecim wierszu wszystkie elementy są wielokrotnościami trzech. Następnie można skrócić ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez „-1/3” (minus - jednocześnie usuwając wartości ujemne).

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 ułamków i dopiero wtedy po otrzymaniu odpowiedzi zdecyduj, czy warto zaokrąglać i tłumaczyć na inną formę zapisu)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a „33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b „3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matryca jest ponownie zapisywana nowymi wartościami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Teraz wszystko jest piękne. Sprawa jest niewielka - ponownie napisać macierz w postaci układu równań i obliczyć pierwiastki

x + 2 lata + 4z = 12 (1)

7 lat + 11 z = 24 (2)

Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem wstecznym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

A pierwsze równanie pozwala znaleźć x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Mamy prawo nazywać taki system wspólnym, a nawet definitywnym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest napisana w następującej formie:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Przykład niezdefiniowanego systemu

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest rozszerzona macierz.

Mnożąc elementy pierwszego wiersza przez każdy z ich współczynników po kolei i dodając je do wymaganych wierszy, otrzymujemy macierz o następującej postaci:

W drugim równaniu jest tylko jedna zmienna bazowa - x 2. Stąd może być wyrażona stamtąd poprzez zapisanie w postaci zmiennych x 3, x 4, x 5, które są wolne.

Zastąp otrzymane wyrażenie w pierwszym równaniu.

Wynikiem jest równanie, w którym jedyną zmienną bazową jest x 1. Zróbmy z nim to samo, co z x 2.

Wszystkie podstawowe zmienne, z których są dwie, są wyrażone w postaci trzech wolnych, teraz możesz napisać odpowiedź w formie ogólnej.

Możesz również określić jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach z reguły jako wartości wolnych zmiennych wybierane są zera. Wtedy odpowiedź byłaby:

16, 23, 0, 0, 0.

Przykład niespójnego systemu

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jak zwykle sporządzana jest macierz:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I sprowadza się do widoku schodkowego:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pierwszej transformacji trzeci wiersz zawiera równanie postaci

nie mając rozwiązania. Dlatego system jest niespójny, a odpowiedzią jest pusty zestaw.

Zalety i wady metody

Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą długopisu, to metoda omówiona w tym artykule wygląda najbardziej atrakcyjnie. Transformacje elementarne są znacznie trudniejsze do pomylenia niż w przypadku ręcznego wyszukiwania wyznacznika lub jakiejś sprytnej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszy kalkulacyjnych, okazuje się, że takie programy mają już algorytmy obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, pobocznych, odwrotności i tak dalej. A jeśli masz pewność, że maszyna sama obliczy te wartości i nie pomyli się, to bardziej celowe jest zastosowanie metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich zastosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierzy odwrotnych.