Na takvim se matricama izvode razne radnje: one se međusobno množe, pronalaze determinante itd. Matrica- poseban slučaj niza: ako niz može imati bilo koji broj dimenzija, tada se samo dvodimenzionalni niz naziva matricom.
U programiranju, matrica se naziva i dvodimenzionalni niz. Bilo koji od nizova u programu ima ime kao da je jedna varijabla. Da bi se razjasnilo na koju se od ćelija niza misli, kada se spominje u programu, zajedno s varijablom, koristi se broj ćelije u njemu. I dvodimenzionalna matrica i n-dimenzionalni niz u programu mogu sadržavati ne samo numeričke, već i simboličke, nizove, logičke i druge informacije, ali uvijek iste unutar cijelog niza.
Matrice su označene velikim slovima A: MxN, gdje je A naziv matrice, M broj redaka u matrici, a N broj stupaca. Elementi - odgovarajuća mala slova s indeksima koji označavaju njihov broj u retku i stupcu a (m, n).
Najčešće su matrice pravokutne, iako su u dalekoj prošlosti matematičari smatrali i trokutaste. Ako je broj redaka i stupaca matrice isti, naziva se kvadrat. Štoviše, M = N već ima naziv reda matrice. Matrica sa samo jednim redom naziva se red. Matrica sa samo jednim stupcem naziva se stupac. Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su samo elementi koji se nalaze na dijagonali različiti od nule. Ako su svi elementi jednaki jedan, matrica se naziva identičnost, ako je nula - nula.
Ako se redci i stupci zamjene u matrici, ona se transponira. Ako se svi elementi zamijene kompleksno-konjugatom, on postaje kompleksno-konjugat. Osim toga, postoje i druge vrste matrica koje su određene uvjetima koji su nametnuti elementima matrice. Ali većina ovih uvjeta odnosi se samo na kvadratne.
Videi sa sličnim sadržajem
Matrica je pravokutna tablica brojeva koja se sastoji od m iste dužine žica, ili n stupovi jednake duljine.
aij- element matrice koji se nalazi u i -ti red i j th stupac.
Radi kratkoće, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, A ili V.
Općenito, matrica veličine m× n napiši ovako
primjeri: 
Ako je broj redaka u matrici jednak broju stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a broj njegovih redaka ili stupaca se poziva uredno matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njezin je redoslijed 3, a četvrta matrica je njezin redoslijed 1.
Poziva se matrica u kojoj broj redaka nije jednak broju stupaca pravokutan... U primjerima, ovo je prva matrica i treća.
Glavna dijagonala kvadratne matrice mislimo na dijagonalu koja ide od gornjeg lijevog prema donjem desnom kutu.
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli naziva se trokutasta matrica.
.
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim, možda, na glavnoj dijagonali jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.
Zove se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici singl matrica i označava se slovom E. Na primjer, jedinična matrica 3. reda ima oblik.
natrag na sadržaj
(36) 85. Što su linearne operacije nad matricama? Primjeri.
U svim slučajevima, kada se uvode novi matematički objekti, potrebno je dogovoriti pravila djelovanja na njima, a također i odrediti koji se objekti smatraju međusobno jednakim.
Priroda objekata je nebitna. To mogu biti stvarni ili kompleksni brojevi, vektori, matrice, nizovi ili nešto drugo.
Standardne operacije uključuju linearne operacije, i to: množenje brojem i zbrajanje; u ovom konkretnom slučaju, množenje matrice brojem i zbrajanje matrice.
Prilikom množenja matrice brojem, svaki element matrice se množi s tim brojem, a zbrajanje matrice podrazumijeva zbrajanje u paru elemenata koji se nalaze na ekvivalentnim pozicijama.
Terminološki izraz "linearna kombinacija<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.
Matrice A = || a i J|| i B = || a i J|| smatraju se jednakima ako imaju iste dimenzije i ako su im odgovarajući elementi matrice u paru jednaki:
Zbrajanje matrice Operacija zbrajanja definirana je samo za matrice iste veličine. Rezultat zbrajanja matrice A = || a i J|| i B = || b i J|| je matrica C = || c i J|| , čiji su elementi jednaki zbroju odgovarajućih elemenata matrice.
Matrica
dimenzija se naziva tablica brojeva koja sadrži retke i stupce. Brojevi se nazivaju elementi ove matrice, gdje je broj retka, broj stupca na čijem sjecištu ovaj element stoji. Matrica koja sadrži retke i stupce je: 
.
Vrste matrica:
1) u - kvadrat , i oni zovu matrični red ;
2) kvadratna matrica u kojoj su svi izvandijagonalni elementi jednaki nuli
– dijagonala ;
3) dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki
jedinica - singl i označen je sa;
4) u - pravokutan ;
5) za - matrica-red (vektor-red);
6) za - matrica-stupac (vektor-stupac);
7) za sve - nulta matrica.
Imajte na umu da je glavna numerička karakteristika kvadratne matrice njezina determinanta. Determinanta koja odgovara matrici -tog reda također ima -ti red.
Odrednica matrice 1. reda nazvao broj.
Determinanta matrice 2. reda
nazvao broj 
. (1.1)
Odrednica matrice 3. reda
nazvao broj 
. (1.2)
Izložimo definicije potrebne za daljnje izlaganje.
Maloljetni M i J element a i J matrice n- reda A naziva se determinanta matrice ( n-1) - red dobiven iz matrice A brisanjem i-ti red i j th stupac.
Algebarski komplement A i J element a i J matrice n- red A naziva se minor ovog elementa, uzet sa predznakom.
Formulirajmo osnovna svojstva determinanti svojstvena determinantama svih redova i pojednostavljujući njihov izračun.
1. Kada se matrica transponira, njena determinanta se ne mijenja.
2. Nakon permutacije dva reda (stupca) matrice, njezina determinanta mijenja predznak.
3. Odrednica koja ima dva proporcionalna (jednaka) retka (stupca) jednaka je nuli.
4. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg retka (stupca) determinante može se izvaditi izvan predznaka determinante.
5. Ako su elementi bilo kojeg retka (stupca) determinante zbroj dvaju članova, tada se determinanta može rastaviti u zbroj dviju odgovarajućih determinanti.
6. Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi njenog drugog retka (stupca), pomnoženi s bilo kojim brojem, dodaju elementima bilo kojeg njegovog reda (stupca).
7. Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg njezinog reda (stupca) algebarskim komplementima tih elemenata.
Objasnimo ovo svojstvo na primjeru determinante trećeg reda. U ovom slučaju, svojstvo 7 znači da - proširenje determinante elementima 1. retka. Imajte na umu da se za proširenje odabire red (stupac) u kojem nema elemenata nula, budući da članovi koji im odgovaraju u proširenju nestaju.
Svojstvo 7 je teorem dekompozicije za determinantu, koju je formulirao Laplace.
8. Zbroj umnožaka elemenata bilo kojeg retka (stupca) determinante s algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata njegovog drugog reda (stupca) jednak je nuli.
Posljednje svojstvo često se naziva pseudo-dekompozicija determinante.
Pitanja za samoispitivanje.
1. Što se naziva matrica?
2. Koja se matrica zove kvadratna? Što se podrazumijeva pod njezinom naredbom?
3. Koja matrica se zove dijagonala, jedinica?
4. Koja se matrica naziva matrica redaka i matrica stupaca?
5. Koja je glavna numerička karakteristika kvadratne matrice?
6. Koji se broj naziva determinantom 1., 2. i 3. reda?
7. Što se naziva minor i algebarski komplement matričnog elementa?
8. Koja su glavna svojstva determinanti?
9. Koje se svojstvo može koristiti za izračunavanje determinante bilo kojeg reda?
Matrične operacije(dijagram 2)
Na skupu matrica definiran je niz operacija, od kojih su glavne sljedeće:
1) transpozicija - zamjena redaka matrice stupcima, a stupaca recima;
2) množenje matrice brojem izvodi se element po element, tj 
, gdje ,
;
3) zbrajanje matrica, definirano samo za matrice jedne dimenzije;
4) množenje dviju matrica, definirano samo za podudarne matrice.
Zbroj (razlika) dviju matrica naziva se takva rezultirajuća matrica čiji je svaki element jednak zbroju (razlici) odgovarajućih elemenata matričnih dodataka.
Dvije matrice se nazivaju dogovoren
ako je broj stupaca prvog od njih jednak broju redaka drugog. Umnožak dviju podudarnih matrica
a takva rezultirajuća matrica se zove 
, što , (1.4)
gdje , ... Iz toga slijedi da je element -tog retka i -tog stupca matrice jednak zbroju parnih proizvoda elemenata -tog retka matrice po elementima -tog stupca matrice matrica.
Umnožak matrica nije komutativan, odnosno A . B B . A. Iznimka je, na primjer, umnožak kvadratnih matrica po jedinici A . E = E . A.
Primjer 1.1. Pomnožite matrice A i B ako:
.
Riješenje. Budući da su matrice konzistentne (broj stupaca matrice jednak je broju redaka matrice), koristit ćemo formulu (1.4):
Pitanja za samoispitivanje.
1. Koje se radnje provode na matricama?
2. Što se zove zbroj (razlika) dviju matrica?
3. Što se zove umnožak dviju matrica?
Cramerova metoda za rješavanje kvadratnih linearnih sustava algebarske jednadžbe (dijagram 3)
Navedimo niz potrebnih definicija.
Sustav linearnih jednadžbi naziva se heterogena ako je barem jedan od njegovih slobodnih članova različit od nule, i homogena ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.
Rješavanjem sustava jednadžbi naziva se uređeni skup brojeva, koji, budući da je zamijenjen umjesto varijabli u sustavu, pretvara svaku od njegovih jednadžbi u identitet.
Sustav jednadžbi naziva se zgloba ako ima barem jedno rješenje, i nedosljedan ako nema rješenja.
Zajednički sustav jednadžbi naziva se određeni ako ima jedinstveno rješenje, i nedefiniran ako ima više od jednog rješenja.
Razmotrimo nehomogeni kvadratni sustav linearnih algebarskih jednadžbi, koji ima sljedeći opći oblik:
. (1.5) Glavna matrica sustava
linearne algebarske jednadžbe zvane matrica sastavljena od koeficijenata koji stoje na nepoznanicama: 
.
Determinanta glavne matrice sustava naziva se glavna odrednica a označava se sa.
Pomoćna determinanta dobiva se iz glavne determinante zamjenom th stupca stupcem slobodnih članova.
Teorem 1.1 (Cramerov teorem). Ako je glavna determinanta kvadratnog sustava linearnih algebarskih jednadžbi različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje izračunato po formulama:
Ako je glavna determinanta, tada sustav ili ima beskonačan skup rješenja (za sve nulte pomoćne determinante) ili uopće nema rješenja (ako je barem jedna od pomoćnih determinanti različita od nule)
U svjetlu gornjih definicija, Cramerov se teorem može formulirati drugačije: ako je glavna determinanta sustava linearnih algebarskih jednadžbi različita od nule, tada je sustav zajednički određen i, u isto vrijeme, ; ako je glavna determinanta nula, tada je sustav ili zajednički neodređen (za sve), ili nekonzistentan (ako se barem jedan od njih razlikuje od nule).
Nakon toga trebate provjeriti dobiveno rješenje.
Primjer 1.2. Riješite sustav Cramerovom metodom 
Riješenje. Budući da je glavna odrednica sustava
je različit od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje. Izračunavamo pomoćne determinante
Koristimo Cramerove formule (1.6): 
, ,
Pitanja za samoispitivanje.
1. Što se naziva rješenjem sustava jednadžbi?
2. Koji se sustav jednadžbi naziva zajedničkim, nedosljednim?
3. Koji se sustav jednadžbi naziva definitivnim, neodređenim?
4. Koja se matrica sustava jednadžbi naziva glavnom?
5. Kako izračunati pomoćne determinante sustava linearnih algebarskih jednadžbi?
6. Koja je bit Cramerove metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi?
7. Što može biti sustav linearnih algebarskih jednadžbi ako mu je glavna determinanta jednaka nuli?
Rješavanje kvadratnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi metodom inverzne matrice(dijagram 4)
Matrica s determinantom različitom od nule naziva se nedegenerirani ; imajući determinantu jednaku nuli - degenerirati .
Matrica se naziva inverzna za danu kvadratnu matricu, ako se množenjem matrice s njezinim inverzom, i s desne i s lijeve strane, dobije jedinična matrica, tj. (1.7)
Imajte na umu da je u ovom slučaju umnožak matrica i komutativan.
Teorem 1.2. Neophodan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice za danu kvadratnu matricu je razlika od nule determinante dane matrice
Ako se glavna matrica sustava prilikom provjere pokazala degeneriranom, tada za nju ne postoji inverzna, a metoda koja se razmatra ne može se primijeniti.
Ako je glavna matrica nedegenerirana, odnosno determinanta je 0, tada se za nju može pronaći inverzna matrica pomoću sljedećeg algoritma.
1. Izračunajte algebarske komplemente svih elemenata matrice.
2. Pronađene algebarske komplemente upišite u matricu na transponirani način.
3. Napravite inverznu matricu prema formuli: 
(1.8)
4. Provjerite ispravnost pronađene matrice A-1 prema formuli (1.7). Imajte na umu da se ova provjera može uključiti u završnu provjeru samog rješenja sustava.
Sustav (1.5) linearnih algebarskih jednadžbi može se predstaviti u obliku matrične jednadžbe: gdje je glavna matrica sustava, je stupac nepoznanica, je stupac slobodnih članova. Pomnožimo ovu jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom, dobićemo:
Budući da, prema definiciji inverzne matrice, jednadžba poprima oblik 
ili . (1.9)
Dakle, da biste riješili kvadratni sustav linearnih algebarskih jednadžbi, trebate pomnožiti stupac slobodnih članova s lijeve strane s inverznom matricom za glavnu matricu sustava. Nakon toga trebate provjeriti primljeno rješenje.
Primjer 1.3. Riješite sustav metodom inverzne matrice
Riješenje. Izračunavamo glavnu determinantu sustava
... Prema tome, matrica je nedegenerirana i postoji njena inverzna matrica.
Nađimo algebarske komplemente svih elemenata glavne matrice:
Zapisujemo algebarske komplemente transponirane u matricu
... Za pronalaženje rješenja sustava koristimo formule (1.8) i (1.9).
Pitanja za samoispitivanje.
1. Koja matrica se zove degenerirana, nedegenerirana?
2. Koja se matrica naziva inverznom za danu? Koji je uvjet za njegovo postojanje?
3. Koji je algoritam za pronalaženje inverzne matrice za danu?
4. Kojoj je matričnoj jednadžbi ekvivalentan sustav linearnih algebarskih jednadžbi?
5. Kako riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi koristeći inverznu matricu za glavnu matricu sustava?
Istraživanje nehomogenih sustava linearnih algebarskih jednadžbi(dijagram 5)
Proučavanje bilo kojeg sustava linearnih algebarskih jednadžbi počinje transformacijom njegove proširene matrice Gaussovom metodom. Neka je dimenzija glavne matrice sustava.
Matrica naziva proširenim matrica sustava , ako uz koeficijente nepoznanica sadrži stupac slobodnih članova. Stoga je dimenzija.
Gaussova metoda temelji se na elementarne transformacije , koji uključuju:
- permutacija redaka matrice;
- množenje redaka matrice brojem koji nije kormilo;
- element po element zbrajanje redaka matrice;
- precrtavanje nulte linije;
- transpozicija matrice (u ovom slučaju transformacije se izvode po stupcima).
Elementarne transformacije dovode izvorni sustav u njemu ekvivalentan sustav. Sustavi nazivaju se ekvivalentnim ako imaju isti skup rješenja.
Po rangu matrice naziva se najvišim redom njegovih minora koji nisu nula. Elementarne transformacije ranga matrice se ne mijenjaju.
Na pitanje o dostupnosti rješenja, ne homogeni sustav linearne jednadžbe odgovaraju sljedećem teoremu.
Teorem 1.3 (Kronecker-Capellijev teorem). Nehomogeni sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sustava jednak rangu njegove glavne matrice, tj. 
Označimo broj preostalih redaka u matrici nakon Gaussove metode sa (sukladno, sustav sadrži jednadžbe). Ove žice matrice se nazivaju Osnovni, temeljni .
Ako tada sustav ima jedinstveno rješenje (zajednički je određen), njegova se matrica elementarnim transformacijama svodi na trokutasti oblik. Takav se sustav može riješiti Cramerovom metodom, korištenjem inverzne matrice, ili univerzalnom Gaussovom metodom.
Ako je (broj varijabli u sustavu veći od jednadžbi), matrica se elementarnim transformacijama svodi na postupni oblik. Takav sustav ima mnogo rješenja i zajednički je neodređen. U tom slučaju, za pronalaženje rješenja za sustav, potrebno je izvršiti niz operacija.
1. Ostavite sustav nepoznanica u lijevoj strani jednadžbe ( osnovne varijable ), prenesite preostale nepoznanice na desne strane ( slobodne varijable ). Nakon podjele varijabli na osnovne i slobodne, sustav dobiva oblik:
. (1.10)
2. Od koeficijenata za osnovne varijable sastavite minor ( bazni mol ), koji mora biti različit od nule.
3. Ako je osnovni minor sustava (1.10) jednak nuli, tada se jedna od osnovnih varijabli zamjenjuje slobodnom; provjerite rezultirajući bazni minor koji nije nula.
4. Primjenom formula (1.6) Cramerove metode, uzimajući desne strane jednadžbe kao njihove slobodne članove, pronaći izraz za osnovne varijable u terminima slobodnih u općem obliku. Rezultirajući uređeni skup varijabli sustava je njegov zajednička odluka .
5. Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim varijablama u (1.10), izračunajte odgovarajuće vrijednosti osnovnih varijabli. Poziva se rezultirajući uređeni skup vrijednosti svih varijabli privatnom odlukom sustava koji odgovaraju zadanim vrijednostima slobodnih varijabli. Sustav ima beskonačan broj posebnih rješenja.
6. Dobiti osnovno rješenje sustavi - određeno rješenje dobiveno pri nultim vrijednostima slobodnih varijabli.
Napominjemo da je broj osnovnih skupova varijabli sustava (1.10) jednak broju kombinacija elemenata po elementima. Budući da svakom osnovnom skupu varijabli odgovara vlastito osnovno rješenje, stoga su i osnovna rješenja za sustav.
Homogeni sustav jednadžbi je uvijek konzistentan, budući da ima barem jedno - nulto (trivijalno) rješenje. Da bi homogeni sustav linearnih jednadžbi s varijablama imao rješenja različita od nule, potrebno je i dovoljno da mu glavna determinanta bude jednaka nuli. To znači da je rang njegove glavne matrice manji broj nepoznanice. U ovom slučaju, proučavanje homogenog sustava jednadžbi za opća i posebna rješenja provodi se slično kao i proučavanje nehomogenog sustava. Rješenja homogenog sustava jednadžbi imaju važno svojstvo: ako su poznata dva različita rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi, onda je i njihova linearna kombinacija rješenje tog sustava. Lako je provjeriti valjanost sljedećeg teorema.
Teorem 1.4. Opće rješenje nehomogenog sustava jednadžbi je zbroj općeg rješenja odgovarajućeg homogenog sustava i nekog posebnog rješenja nehomogenog sustava jednadžbi
Primjer 1.4.
Istražite zadani sustav i pronađite jedno određeno rješenje:
Riješenje. Napišimo proširenu matricu sustava i na nju primijenimo elementarne transformacije:
... Budući da i, onda je prema teoremu 1.3 (Kronecker-Capelli) zadani sustav linearnih algebarskih jednadžbi konzistentan. Broj varijabli, dakle, sustav je nedefiniran. Broj osnovnih skupova varijabli sustava je
... Prema tome, 6 skupova varijabli može biti osnovni:. Razmotrimo jedan od njih. Tada se sustav dobiven kao rezultat Gaussove metode može prepisati kao
... Glavna odrednica 
... Koristeći Cramerovu metodu, tražimo opće rješenje sustava. Pomoćne odrednice
Prema formulama (1.6), imamo
... Ovaj izraz osnovnih varijabli u terminima slobodnih je opće rješenje sustava:
Za konkretne vrijednosti slobodnih varijabli, iz općeg rješenja dobivamo posebno rješenje sustava. Na primjer, određeno rješenje 
odgovara vrijednostima slobodnih varijabli 
... Jer, dobivamo osnovno rješenje sustava 
Pitanja za samoispitivanje.
1. Koji se sustav jednadžbi naziva homogenim, nehomogenim?
2. Koja se matrica naziva proširenom?
3. Navedite osnovne elementarne matrične transformacije. Koja se metoda rješavanja sustava linearnih jednadžbi temelji na tim transformacijama?
4. Što se naziva rangom matrice? Kako to možete izračunati?
5. Što kaže Kronecker-Capellijev teorem?
6. Na koji se oblik može svesti sustav linearnih algebarskih jednadžbi kao rezultat njegovog rješenja Gaussovom metodom? Što to znači?
7. Koji se redovi matrice nazivaju osnovnim?
8. Koje se varijable sustava nazivaju osnovnim, a koje su slobodne?
9. Koje se rješenje nehomogenog sustava naziva privatnim?
10. Koje rješenje se zove osnovno? Koliko osnovnih rješenja ima nehomogeni sustav linearnih jednadžbi?
11. Koje se rješenje nehomogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi naziva općim? Formulirajte teorem o općem rješenju nehomogenog sustava jednadžbi.
12. Koja su glavna svojstva rješenja homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi?
Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda
Matrica A -1 se zove inverzna matrica s obzirom na matricu A, ako je A * A -1 = E, gdje je E jedinična matrica n-tog reda.
Jedinična matrica- takva kvadratna matrica, u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale koji prolaze od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta jedinice, a ostali su nule, na primjer:
inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice s istim brojem redaka i stupaca.
Teorem o uvjetu postojanja inverzne matrice
Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da bude nedegenerirana.
Matrica A = (A1, A2, ... A n) se zove nedegenerirani ako su vektori stupaca linearno neovisni. Broj linearno neovisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Stoga možemo reći da da bi postojalo inverzna matrica, potrebno je i dovoljno da rang matrice bude jednak njezinoj dimenziji, t.j. r = n.
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Zapišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i na desnoj strani (mjesto desne strane jednadžbe) dodijelite matricu E.
- Koristeći Jordanovu transformaciju, svedite matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
- Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) zadnje tablice tako da ispod matrice A izvorne tablice dobijemo jediničnu matricu E.
- Zapišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.
Za matricu A, pronađite inverznu matricu A -1
Rješenje: Zapisujemo matricu A i na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta E. Koristeći Jordanove transformacije, matricu A reduciramo na matricu identiteta E. Proračuni su prikazani u tablici 31.1.
Provjerimo ispravnost proračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.
Kao rezultat množenja matrice, dobiva se jedinična matrica. Stoga su izračuni točni.
Odgovor: 
Rješavanje matričnih jednadžbi
Matrične jednadžbe mogu biti u obliku:
AX = B, XA = B, AXB = C,
gdje su A, B, C navedene matrice, X je tražena matrica.
Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednadžbe s njezinim inverznim matricama.
Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, pomnožite tu jednadžbu s lijevom.
Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.
Ostale jednadžbe rješavaju se slično.
Riješite jednadžbu AX = B ako 
Riješenje: Budući da je inverz matrice (vidi primjer 1)
Matrična metoda u ekonomskoj analizi
Uz druge, primjenu nalaze i u matrične metode... Ove metode se temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve se metode koriste za analizu složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno napraviti usporednu ocjenu funkcioniranja organizacija i njihovih strukturnih jedinica.
U procesu primjene matričnih metoda analize može se izdvojiti nekoliko faza.
U prvoj fazi formira se sustav ekonomskih pokazatelja i na temelju njega sastavlja matrica početnih podataka, a to je tablica u kojoj su brojevi sustava prikazani u zasebnim redovima (i = 1,2, ...., n), a duž okomitih stupaca - brojevi indikatora (j = 1,2, ...., m).
U drugoj fazi za svaki okomiti stupac otkriva se najveća od dostupnih vrijednosti pokazatelja, koja se uzima kao jedinica.
Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.
U trećoj fazi svi sastavni dijelovi matrice su na kvadrat. Ako imaju različitu važnost, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski faktor k... Vrijednost potonjeg utvrđuje se stručnom prosudbom.
na posljednjem, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena R j grupirani su po rastućem ili opadajućem redoslijedu.
Navedene matrične metode treba koristiti, primjerice, u komparativnoj analizi različitih investicijskih projekata, kao i u procjeni drugih ekonomskih pokazatelja aktivnosti organizacija.
Matrice. Vrste matrica. Operacije nad matricama i njihovim svojstvima.
Determinanta matrice n-tog reda. N, Z, Q, R, C,
Matrica reda m * n je pravokutna tablica brojeva koja sadrži m redaka i n stupaca.
Jednakost matrica:
Za dvije matrice se kaže da su jednake ako je broj redaka i stupaca jedne od njih jednak broju redaka i stupaca druge i, prema tome. e-vi ovih matrica su jednaki.
Napomena: El-vi s istim indeksom su prikladni.
Vrste matrica:
Kvadratna matrica: kaže se da je matrica kvadratna ako je broj redaka jednak broju stupaca.
Pravokutni: kaže se da je matrica pravokutna ako broj redaka nije jednak broju stupaca.
Matrica reda: Matrica reda 1 * n (m = 1) ima oblik a11, a12, a13 i naziva se matrica redaka.
Stupac matrice: ………….
Dijagonala: dijagonala kvadratne matrice koja ide od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, odnosno koja se sastoji od elemenata a11, a22 ... ... naziva se glavna dijagonala. (Definirajte: kvadratna matrica, čiji su svi elementi jednaki nuli, osim onih koji se nalaze na glavnoj dijagonali, naziva se dijagonalna matrica.
Identitet: Dijagonalna matrica se naziva identitetom ako se svi elementi nalaze na glavnoj dijagonali i jednaki su 1.
Gornji trokut: A = || aij || naziva se gornja trokutasta matrica ako je aij = 0. Pod uvjetom da i> j.
Donji trokut: aij = 0. i Nula: ovo je matrica čiji je El-you jednak 0. Operacije nad matricama. 1.Transpozicija. 2. Množenje matrice brojem. 3. Zbrajanje matrica.
4. Množenje matrice.
Osnovne sv-va akcije na matrice.
1.A + B = B + A (zamjenjivost)
2.A + (B + C) = (A + B) + C (asocijativnost)
3.a (A + B) = aA + aB (distributivnost)
4. (a + b) A = aA + bA (dist.)
5. (ab) A = a (bA) = b (aA) (izv.)
6.AB ≠ BA (bez kom.)
7.A (BC) = (AB) C (izv.) - izvodi se ako def. Izvode se matrični proizvodi.
8.A (B + C) = AB + AC (distrib.)
(B + C) A = BA + CA (dist.)
9.a (AB) = (aA) B = (aB) A
Determinanta kvadratne matrice - definicija i njezina svojstva. Dekompozicija determinante na retke i stupce. Metode izračunavanja determinanti.
Ako matrica A ima red m> 1, tada je determinanta ove matrice broj.
Algebarski komplement Aij elementa aij matrice A je manji Mij pomnožen brojem
TEOREM 1: Determinanta matrice A jednaka je zbroju umnožaka svih elemenata proizvoljnog retka (stupca) njihovim algebarskim dopunama.
Osnovna svojstva determinanti.
1. Determinanta matrice se neće promijeniti kada se transponira.
2. Kada su dva retka (stupca) permutirana, determinanta mijenja predznak, ali se njena apsolutna vrijednost ne mijenja.
3. Determinanta matrice koja ima dva identična reda (stupca) jednaka je 0.
4. Prilikom množenja reda (stupca) matrice brojem, njegova se determinanta množi s tim brojem.
5. Ako se jedan od redaka (stupaca) matrice sastoji od 0, tada je determinanta ove matrice jednaka 0.
6. Ako su svi elementi i-tog retka (stupca) matrice prikazani kao zbroj dvaju članova, tada se njezina determinanta može predstaviti kao zbroj determinanti dviju matrica.
7. Determinanta se neće promijeniti ako se elementi jednog stupca (retka) dodaju redom elementima drugog stupca (retka) i prethodno pomnože. istim brojem.
8. Zbroj proizvoljnih elemenata bilo kojeg stupca (retka) determinante za odgovarajući algebarski komplement elemenata drugog stupca (retka) jednak je 0.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif "width =" 46 "height =" 27 ">
Metode za izračun determinante:
1. Po definiciji ili teoremu 1.
2. Redukcija na trokutasti oblik.
Definicija i svojstva inverzne matrice. Proračun inverzne matrice. Matrične jednadžbe.
Definicija: Kvadratna matrica reda n naziva se inverzna matrici A istog reda i označava se
Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da je determinanta matrice A različita od 0.
Svojstva inverzne matrice:
1. Jedinstvenost: za danu matricu A njezin je inverz jedini.
2.determinanta matrice
3. Operacija uzimanja transpozicije i uzimanja inverzne matrice.
Matrične jednadžbe:
Neka su A i B dvije kvadratne matrice istog reda.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif "width =" 163 "height =" 11 src = ">
Koncept linearni odnos i neovisnost stupaca matrice. Svojstva linearne ovisnosti i linearne neovisnosti stupnog sustava.
Stupci A1, A2 ... An nazivaju se linearno ovisnima ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. stupcu.
Stupci A1, A2 ... An nazivaju se linearno neovisni ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. stupcu.
Linearna kombinacija naziva se trivijalna ako su svi koeficijenti C (l) jednaki 0, a inače nisu trivijalni.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif "width =" 88 "height =" 24 ">
2. da bi stupci bili linearno ovisni, potrebno je i dovoljno da bilo koji stupac bude linearna kombinacija drugih stupaca.
Neka 1 od stupaca https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif "width =" 13 "height =" 23 src = "> bude linearna kombinacija drugih stupaca.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif "width =" 79 "height =" 24 "> su linearno ovisni, tada su svi stupci linearno ovisni.
4. Ako je sustav stupaca linearno neovisan, tada je i bilo koji njegov podsustav linearno neovisan.
(Sve što je rečeno o stupcima vrijedi i za retke.)
Minori matrice. Osnovni maloljetnici. Rang matrice. Metoda graničnih minora za izračunavanje ranga matrice.
Mali red k matrice A je determinanta čiji se elementi nalaze na sjecištu k-redova i k-stupaca matrice A.
Ako su svi minori k-tog reda matrice A = 0, tada je svaki minor reda k + 1 također jednak 0.
Osnovni mol.
Rang matrice A je red njenog osnovnog minora.
Metoda obrubljivanja minora: - Odaberite element matrice A koji nije nula (ako takav element ne postoji, tada je rang A = 0)
Obrubi prethodni mol 1. reda s molom 2. reda. (Ako ovaj minor nije jednak 0, tada je rang> = 2) Ako je rang ovog minora 0, tada graničimo odabrani minor 1. reda s ostalim minorima 2. reda. (Ako su svi minori 2. reda = 0, tada je rang matrice = 1).
Rang matrice. Metode za određivanje ranga matrice.
Rang matrice A je red njenog osnovnog minora.
Metode izračuna:
1) Metoda obrubljivanja minora: -Odaberimo element matrice A koji nije nula (ako takvog elementa nema, onda je rang = 0) - Obrubimo prethodni minor 1. reda s minorom 2. reda..gif " širina =" 40 "visina =" 22 " > r + 1 Mr + 1 = 0.
2) Svođenje matrice na stepenasti oblik: ova metoda se temelji na elementarnim transformacijama. Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.
Sljedeće transformacije nazivaju se elementarnim transformacijama:
Permutacija dva reda (stupca).
Množenje svih elemenata određenog stupca (retka) brojem koji nije = 0.
Dodavanje svim elementima određenog stupca (retka) elemenata drugog stupca (retka), prethodno pomnoženih istim brojem.
Osnovni mali teorem. Neophodan i dovoljan uvjet za nestajanje determinante.
Osnovni minor matrice A je minor najvećeg k-tog reda osim 0.
Osnovni manji teorem:
Osnovni redovi (stupci) linearno su neovisni. Bilo koji red (stupac) matrice A je linearna kombinacija osnovnih redaka (stupaca).
Napomene: Redovi i stupci na čijem se presjeku nalazi osnovni minor nazivaju se osnovnim redovima, odnosno stupcima.
a11 a12 ... a1r a1j
a21 a22 ... .a2r a2j
a31 a32 ... .a3r a3j
ar1 ar2… .arr arj
ak1 ak2… ..akr akj
Potrebni i dovoljni uvjeti za nestanak determinante:
Za determinantu n-tog reda = 0, potrebno je i dovoljno da njeni redovi (stupci) budu linearno ovisni.
Sustavi linearnih jednadžbi, njihova klasifikacija i označavanje. Cramerovo pravilo.
Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif "alt =" (! LANG: l14image048" width="64" height="38 id=">!}
zove se determinanta sustava.
Sastavimo još tri determinante na sljedeći način: zamijenimo u odrednici D sukcesivno 1, 2 i 3 stupca stupcem slobodnih članova
https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif "alt =" (! LANG: l14image052" width="93" height="22 id=">!}
Dokaz. Dakle, razmotrimo sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožimo 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A11 elementa a11, 2. jednadžbu s A21 i treću s A31:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif "alt =" (! LANG: l14image056" width="247" height="31 id=">!}
Pogledajmo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Po teoremu o proširenju determinante po elementima 1. stupca
https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif "alt =" (! LANG: l14image060" width="324" height="42 id=">!}
Slično, može se pokazati da i.
Konačno, to je lako vidjeti 
Tako dobivamo jednakost:.
Stoga, .
Jednakosti i izvode se na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teorema.
Sustavi linearnih jednadžbi. Uvjet kompatibilnosti za linearne jednadžbe. Kronecker-Capellijev teorem.
Rješenje sustava algebarskih jednadžbi je skup od n brojeva C1, C2, C3 …… Cn, koji, kada se zamijeni u izvorni sustav umjesto x1, x2, x3… ..xn, pretvara sve jednadžbe sustava u identitete.
Sustav linearnih algebarskih jednadžbi naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje.
Zajednički sustav naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima beskonačan broj rješenja.
Uvjeti kompatibilnosti za sustave linearnih algebarskih jednadžbi.
a11 a12 …… a1n x1 b1
a21 a22 …… a2n x2 b2
……………….. .. = ..
am1 am2… ..amn xn bn
TEOREM: Da bi sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica bio kompatibilan, potrebno je i dovoljno da rang proširene matrice bude jednak rangu matrice A.
Napomena: Ovaj teorem samo daje kriterije za postojanje rješenja, ali ne ukazuje na način pronalaženja rješenja.
10 pitanje.
Sustavi linearnih jednadžbi. Osnovna manja metoda - opća metoda pronalaženje svih rješenja sustava linearnih jednadžbi.
A = a21 a22… ..a2n
Osnovna manja metoda:
Neka je sustav konzistentan i RgA = RgA '= r. Neka je osnovni mol naslikan u gornjem lijevom kutu matrice A.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif "width =" 22 "height =" 23 src = ">… ... gif" širina = "23" visina = "23 src = ">… ... gif" širina = "22" visina = "23 src =">… ... gif "width =" 46 "visina =" 23 src = "> -… ..- a
d2 b2-a (2r + 1) x (r + 1) -..- a (2n) x (n)
… = …………..
Dr br-a (rr + 1) x (r + 1) -..- a (rn) x (n)
https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif "width =" 33 "height =" 22 src = ">
Napomene: Ako je rang glavne matrice i matrice koja se razmatra jednak r = n, tada je u ovom slučaju dj = bj i sustav ima jedinstveno rješenje.
Homogeni sustavi linearnih jednadžbi.
Sustav linearnih algebarskih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.
AX = 0 - homogeni sustav.
AX = B - nehomogeni sustav.
Homogeni sustavi su uvijek kompatibilni.
X1 = x2 = .. = xn = 0
Teorem 1.
Homogeni sustavi imaju nehomogena rješenja kada je rang matrice sustava manji od broja nepoznanica.
Teorem 2.
Homogeni sustav n-linearne jednadžbe s n-nepoznatima ima rješenje različito od nule kada je determinanta matrice A jednaka nuli. (detA = 0)
Svojstva rješenja homogenih sustava.
Svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sustava sama je rješenje za ovaj sustav.
α1C1 + α2C2; α1 i α2 su neki brojevi.
A (α1C1 + α2C2) = A (α1C1) + A (α2C2) = α1 (A C1) + α2 (AC2) = 0, tj. do (A Cl) = 0; (AC2) = 0
Ovo svojstvo ne vrijedi za heterogeni sustav.
Temeljni sustav odlučivanja.
Teorem 3.
Ako je rang matričnog sustava jednadžbe s n-nepoznatima jednak r, tada ovaj sustav ima n-r linearno neovisno rješenja.
Neka osnovni mol bude u gornjem lijevom kutu. Ako je r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr
C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1.0..0)
C2 = (C21 C22 .. C2r, 0, 1..0)<= Линейно-независимы.
……………………..
Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr, 0, 0..1)
Sustav n-r linearno neovisnih rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi s n-nepoznanicama ranga r naziva se temeljni sustav rješenja.
Teorem 4.
Svako rješenje sustava linearnih jednadžbi linearna je kombinacija rješenja temeljnog sustava.
S = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r
Ako je r Pitanje 12. Opće rješenje za heterogeni sustav. Spavanje (općenito neuniformno) = Soo + Mf (privatno) AX = B (heterogeni sustav); AX = 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, budući da je (ASoo) = 0 Spavanje = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Srednji Gaussova metoda. Ovo je metoda uzastopnog eliminiranja nepoznanica (varijabli) - sastoji se u tome da se pomoću elementarnih transformacija izvorni sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni sustav postupnog oblika, iz kojeg se sve ostale varijable pronalaze uzastopno, počevši od posljednje varijable. Neka je a ≠ 0 (ako to nije slučaj, onda se preuređivanjem jednadžbi to postiže). 1) isključimo varijablu x1 iz druge, treće ... n-te jednadžbe, pomnožimo prvu jednadžbu odgovarajućim brojevima i dobijene rezultate dodamo 2., 3. ... n-oj jednadžbi, tada dobivamo: Dobivamo sustav ekvivalentan izvornom. 2) isključiti varijablu x2 3) izuzimamo varijablu x3, itd. Nastavljajući proces uzastopne eliminacije varijabli x4;x5 ... xr-1, dobivamo za (r-1) -ti korak. Broj nula posljednjeg n-r u jednadžbi znači da njihova lijeva strana ima oblik: 0x1 + 0x2 + .. + 0xn Ako barem jedan od brojeva br + 1, br + 2 ... nije jednak nuli, tada je odgovarajuća jednakost kontradiktorna i sustav (1) nije kompatibilan. Dakle, za bilo koji kompatibilni sustav, ovaj br + 1…bm je jednak nuli. Posljednja n-r jednadžba u sustavu (1; r-1) su identiteti i mogu se zanemariti. Moguća su dva slučaja: a) broj jednadžbi sustava (1; r-1) jednak je broju nepoznanica, tj. r = n (u ovom slučaju sustav ima trokutasti oblik). b) r Prijelaz iz sustava (1) u ekvivalentni sustav (1; r-1) naziva se izravni tijek Gaussove metode. Pronalaženje varijable iz sustava (1; r-1) - obrnuto od Gaussove metode. Prikladno je provesti Gaussove transformacije, ne izvodeći ih s jednadžbama, već s proširenom matricom njihovih koeficijenata. Pitanje 13. Slične matrice. Razmotrit ćemo samo kvadratne matrice reda n / Matrica A naziva se slično matrici B (A ~ B) ako postoji takva nesingularna matrica S takva da je A = S-1BS. Svojstva takvih matrica. 1) Matrica A je slična sebi. (A ~ A) Ako je S = E, tada je EAE = E-1AE = A 2) Ako je A ~ B, onda je B ~ A Ako je A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B 3) Ako je A ~ B i istovremeno B ~ C, onda je A ~ C Dato je da je A = S1-1BS1, i B = S2-1CS2 => A = (S1-1 S2-1) C (S2 S1) = (S2 S1) -1C (S2 S1) = S3-1CS3, gdje je S3 = S2S1 4) Determinante takvih matrica su jednake. S obzirom da je A ~ B, potrebno je dokazati da je detA = detB. A = S-1 BS, detA = det (S-1 BS) = detS-1 * detB * detS = 1 / detS * detB * detS (skraćeno) = detB. 5) Redovi takvih matrica su isti. Vlastiti vektori i vlastite vrijednosti matrica. Broj λ naziva se svojstvena vrijednost matrice A ako postoji vektor X različit od nule (stupac matrice) takav da je AX = λ X, vektor X se naziva vlastitim vektorom matrice A, a skup svih svojstvenih vrijednosti je naziva se spektar matrice A. Svojstva vlastitih vektora. 1) Prilikom množenja svojstvenog vektora brojem, dobivamo svojstveni vektor s istom svojstvenom vrijednošću. AX = λ X; X ≠ 0 α X => A (α X) = α (AX) = α (λ X) = = λ (αX) 2) Vlastiti vektori s parno različitim svojstvenim vrijednostima su linearno neovisni λ1, λ2, .. λk. Neka se sustav sastoji od 1. vektora, napravimo induktivni korak: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - pomnožite s A. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0 C1 λ1 X1 + C2 λ2 X2 + .. + Cn λn Xn = 0 Pomnožite s λn + 1 i oduzmite C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn + 1 Xn + 1 = 0 C1 λ1 X1 + C2 λ2 X2 + .. + Cn λn Xn + Cn + 1 λn + 1 Xn + 1 = 0 C1 (λ1 –λn + 1) X1 + C2 (λ2 –λn + 1) X2 + .. + Cn (λn –λn + 1) Xn + Cn + 1 (λn + 1 –λn + 1) Xn + 1 = 0 C1 (λ1 –λn + 1) X1 + C2 (λ2 –λn + 1) X2 + .. + Cn (λn –λn + 1) Xn = 0 Potrebno je da je C1 = C2 = ... = Cn = 0 Sn + 1 Xn + 1 λn + 1 = 0 Karakteristična jednadžba. A-λE se zove karakteristična matrica za matricu A. Da bi vektor X različit od nule bio svojstveni vektor matrice A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ, potrebno je da bude rješenje homogenog sustava linearno-algebarskih jednadžbi (A - λE) X = 0 Sustav ima netrivijalno rješenje kada je det (A - XE) = 0 - ovo je karakteristična jednadžba. Izjava! Karakteristične jednadžbe takvih matrica poklapaju se. det (S-1AS - λE) = det (S-1AS - λ S-1ES) = det (S-1 (A - λE) S) = det S-1 det (A - λE) detS = det (A - λE) Karakteristični polinom. det (A - λE) je funkcija s obzirom na parametar λ det (A - λE) = (-1) n Xn + (- 1) n-1 (a11 + a22 + .. + ann) λn-1 + .. + detA Ovaj polinom naziva se karakteristični polinom matrice A. Posljedica: 1) Ako su matrice A ~ B, tada se zbroj njihovih dijagonalnih elemenata poklapa. a11 + a22 + .. + ann = b11 + b22 + .. + bnn 2) Skup svojstvenih vrijednosti takvih matrica se poklapa. Ako su karakteristične jednadžbe matrica iste, onda nisu nužno slične. Za matricu A Za matricu B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif "width =" 92 "height =" 38 "> Det (Ag-λE) = (λ11 - λ) (λ22 - λ) ... (λnn - λ) = 0 Da bi se matrica A reda n mogla dijagonalizirati, potrebno je da postoje linearno neovisni vlastiti vektori matrice A. Posljedica. Ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A različite, onda je ona dijagonalizirana. Algoritam za pronalaženje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti. 1) sastavljamo karakterističnu jednadžbu 2) pronaći korijene jednadžbi 3) sastavljamo sustav jednadžbi za određivanje svojstvenog vektora. λi (A-λi E) X = 0 4) pronaći temeljni sustav odluke x1, x2..xn-r, gdje je r rang karakteristične matrice. r = Rg (A - λi E) 5) svojstveni vektor, svojstvene vrijednosti λi se zapisuju kao: X = C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, gdje je C12 + C22 +… C2n ≠ 0 6) provjeriti može li se matrica svesti na dijagonalni oblik. 7) pronaći Ag Ag = S-1AS S = 15 pitanje. Osnova ravne linije, ravnine, prostora. DIV_ADBLOCK371 "> Modul vektora je njegova duljina, odnosno udaljenost između A i B (││, ││). Modul vektora je nula, onda kada je ovaj vektor nula (│ō│ = 0) 4.Ort vektor. Jedinični vektor zadanog vektora je vektor koji je usmjeren na isti način s danim vektorom i ima modul jednak jedan. Jednaki vektori imaju jednake jedinične vektore. 5. Kut između dva vektora. Ovo je manji dio područja, ograničen s dvije zrake koje izlaze iz iste točke i usmjerene na isti način kao i ovi vektori. Zbrajanje vektora. Množenje vektora brojem. 1) Zbrajanje dvaju vektora https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "visina =" 11 "> + │≤│ │ + │ │ 2) Množenje vektora skalarom. Umnožak vektora i skalara je novi vektor koji ima: a) = umnožak modula vektora s apsolutnom vrijednošću skalara. b) smjer je isti s vektorom koji se množi, ako je skalar pozitivan, a suprotan, ako je skalar negativan. λ a (vektor) => │ λ │ = │ λ │ = │ λ ││ │ Svojstva linearnih operacija nad vektorima. 1. Zakon o komunalnosti. 2. Zakon asocijativnosti. 3. Zbrajanje s nulom. a (vektor) + ō = a (vektor) 4. Zbrajanje s suprotnim. 5. (αβ) = α (β) = β (α) 6; 7. Zakon raspodjele. Izraz vektora u smislu njegovog modula i ort. Maksimalni broj linearno neovisnih vektora naziva se baza. Osnova na liniji je bilo koji vektor različit od nule. Osnova na ravnini su bilo koja dva nekalenarna vektora. Osnova u prostoru je sustav bilo koja tri nekoplanarna vektora. Koeficijent proširenja vektora u nekoj bazi naziva se komponente ili koordinate vektora u ovoj bazi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src ="> izvršiti radnju zbrajanja i množenja skalarom, tada kao rezultat dobivamo bilo koji broj takvih radnji: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "visina =" 11 src = "> + ... gif" visina = "11 src =">. gif "visina =" 11 src = "> nazivaju se linearno ovisnima ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "visina =" 11 src = "> + ... gif" visina = "11 src =">. gif "visina =" 11 src = "> nazivaju se linearno NE ovisni ako njihova netrivijalna linearna kombinacija ne postoji. Svojstva linearno ovisni i neovisni vektori: 1) vektorski sustav koji sadrži nulti vektor linearno je ovisan. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "visina =" 11 src = "> + ... gif" visina = "11 src =">. gif "visina =" 11 src = "> su linearno ovisni, potrebno je da bilo koji vektor bude linearna kombinacija drugih vektora. 3) ako su neki od vektora iz sustava a1 (vektor), a2 (vektor) ... ak (vektor) linearno ovisni, tada su i svi vektori linearno ovisni. 4) ako su svi vektori https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif "height =" 11 src = ">. Gif" širina = "75" visina = "11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif "visina =" 11 src = ">. gif" visina = "11 src =">) Linearne operacije u koordinatama. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif "height =" 12 src = ">. gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> .gif "visina =" 11 src = "> + (λa3) DIV_ADBLOCK374"> Točkasti proizvod 2 vektora je broj jednak umnošku vektora i kosinusa kuta između njih. https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif "width =" 48 "height =" 13 "> 3. (a; b) = 0 ako i samo ako su vektori ortogonalni ili je neki od vektora jednak 0. 4. Distributivnost (αa + βb; c) = α (a; c) + β (b; c) 5. Izraz umnoška a i b kroz njihove koordinate https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif "width =" 40 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif "width =" 254 "height =" 13 src = "> Pod uvjetom (), h, l = 1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif "width =" 176 "height =" 21 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "height =" 11 "> i zove se treći vektor koji zadovoljava sljedeće jednadžbe: 3. - desno Vektorska svojstva proizvoda: 4. Vektorski umnožak vektora koordinatnih jedinica Ortonormalna osnova. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif "width =" 41 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif "width =" 41 "height =" 11 src = "> Često se 3 simbola koriste za označavanje jediničnih vektora ortonormalne baze https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif "width =" 77 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif "width =" 549 "height =" 32 src = "> Ako je ortonormalna baza, onda DIV_ADBLOCK375 "> Ravna crta na ravnini. Međusobni raspored 2 ravne linije. Udaljenost od točke do ravne linije. Kut između dvije ravne linije. Uvjet paralelnosti i okomitosti 2 pravca. 1. Izvanredan slučaj rasporeda 2 crte na ravnini. 1) - jednadžba ravne linije paralelne s osi OX 2) - jednadžba ravne linije paralelne s OU osi 2. Zamjena rasporeda 2 ravne linije. Teorem 1. Neka su jednadžbe pravih zadane s obzirom na afini koordinatni sustav A) Tada nužni i dovoljni uvjet kada se sijeku ima oblik: B) Tada je nužan i dovoljan uvjet da su linije paralelne uvjet: B) Tada je nužan i dovoljan uvjet da se linije spoje u jedan uvjet: 3. Udaljenost od točke do ravne linije. Teorema. Udaljenost od točke do ravne linije u odnosu na kartezijanski koordinatni sustav: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif "width =" 34 "height =" 11 src = "> 4. Kut između dvije ravne crte. Uvjet okomitosti. Neka su 2 reda zadana s obzirom na kartezijanski koordinatni sustav općim jednadžbama. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif "width =" 103 "height =" 11 src = "> Ako, onda su ravne linije okomite. Pitanje 24. Avion u svemiru. Uvjet da vektor i ravnina budu koponarni. Udaljenost od točke do ravnine. Uvjet paralelnosti i okomitosti dviju ravnina. 1. Uvjet da vektor i ravnina budu koponarni. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg "alt =" (! LANG: Unnamed4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif "width =" 86 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif "width =" 148 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg "alt =" (! LANG: Unnamed5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif "width =" 31 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif "width =" 328 "height =" 24 src = "> 3. Kut između 2 ravnine. Uvjet okomitosti. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif "width =" 132 "height =" 11 src = "> Ako, tada su ravnine okomite. Pitanje 25. Ravna linija u prostoru. Različite vrste jednadžbe ravne u prostoru. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif "width =" 111 "height =" 19 "> 2. Vektorska jednadžba ravne u prostoru. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif "width =" 44 "height =" 29 src = "> 4. Kanonska jednadžba je izravna. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif "width =" 34 "height =" 18 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg "alt =" (! LANG: Unnamed3.jpg" width="56" height="51">
!} Pitanje 28. Elipsa. Derivacija kanonske jednadžbe elipse. Oblik. Svojstva Elipsa je mjesto točaka za koje je zbroj udaljenosti od dvije fiksne udaljenosti, koje se nazivaju žarišta, zadani broj 2a veća od udaljenosti 2c između žarišta. na slici 2 r1 = a + ex r2 = a-ex Razina tangente elipse DIV_ADBLOCK378 "> Kanonička hiperbola jednadžba Forma i sv-va y = ± b / a puta korijen od (x2-a2) Os simetrije hiperbole - njezina os Segment 2a - realna os hiperbole Ekscentricitet e = 2c / 2a = c / a Ako je b = a dobivamo jednakokračnu hiperbolu Asimptom je ravna crta ako, uz neograničenu udaljenost od točke M1 duž krivulje, udaljenost od točke do ravne crte teži nuli. lim d = 0 za x-> ∞ d = ba2 / (x1 + (x21-a2) 1/2 / c) tangentna hiperbola xx0 / a2 - yy0 / b2 = 1 parabola - mjesto točaka jednako udaljenih od točke koja se zove fokus i zadane ravne linije koja se zove direktrisa Jednadžba kanonske parabole Svojstva os simetrije parabole prolazi kroz njezin fokus i okomito na direktrisu ako zarotirate parabolu dobivate eliptični paraboloid sve su parabole slične pitanje 30. Proučavanje jednadžbe općeg oblika krivulje drugog reda. Vrsta krivulje def. sa starijim članovima A1, B1, C1 A1x12 + 2Bx1y1 + C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0 1.AC = 0 -> parabolična krivulja A = C = 0 => 2Dx + 2Ey + F = 0 A ≠ 0 C = 0 => Ax2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 Ako je E = 0 => Ax2 + 2Dx + F = 0 tada se x1 = x2 - spaja u jedno x1 ≠ x2 - pravci su paralelni Ou x1 ≠ x2 i korijeni su imaginarni, nema geometrijsku sliku S ≠ 0 A = 0 => C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0 Zaključak: krivulja paraboličkog tipa je ili parabola, ili 2 paralelna pravca, ili imaginarna, ili se spajaju u jednu. 2.AC> 0 -> krivulja eliptičnog tipa Dopunjujući izvornu jednadžbu punim kvadratom, transformiramo je u kanonski, zatim dobivamo slučajeve (x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = 1 - elipsa (x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = -1 - imaginarna elipsa (x-x0) 2 / a2-(y-y0) 2 / b2 = 0 - točka s koordinatom x0 y0 Zaključak: e-krivulja kao da je ili elipsa, ili imaginarna, ili točka 3. AC<0 - кривая гиперболического типа (x-x0) 2 / a2-(y-y0) 2 / b2 = 1 hiperbola, realna os je paralelna s Ox (x-x0) 2 / a2-(y-y0) 2 / b2 = -1 hiperbola, realna os paralelna s Oy (x-x0) 2 / a2-(y-y0) 2 / b2 = 0 razina dvije linije Zaključak: krivulja hiperboličkog tipa je ili hiperbola ili dvije ravne linije
https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif "alt =" (! LANG: image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="slika 043" width="81 height=44" height="44"> 0=!} 
