Mehanički sustav koji se sastoji od materijalne točke (tijela) koja visi na neprotezljivoj bestežinskoj niti (masa joj je zanemariva u odnosu na težinu tijela) u jednoličnom gravitacijskom polju naziva se matematičko njihalo (drugi naziv je oscilator). Postoje i druge vrste ovog uređaja. Umjesto konca može se koristiti šipka bez težine. Matematičko njihalo može jasno otkriti bit mnogih zanimljive pojave. Kada je amplituda vibracije mala, njeno gibanje se naziva harmonijskim.
Pregled mehaničkog sustava
Formulu za period titranja ovog njihala izveo je nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Ovaj suvremenik I. Newtona bio je vrlo zainteresiran za ovaj mehanički sustav. Godine 1656. stvorio je prvi sat s mehanizmom njihala. Mjerili su vrijeme s iznimnom preciznošću za ono vrijeme. Ovaj izum postao je glavna faza u razvoju fizikalnih eksperimenata i praktičnih aktivnosti.
Ako je njihalo u ravnotežnom položaju (visi okomito), uravnotežit će ga sila napetosti niti. Ravno njihalo na neistegljivoj niti je sustav s dva stupnja slobode sa spregom. Kada promijenite samo jednu komponentu, mijenjaju se karakteristike svih njenih dijelova. Dakle, ako se nit zamijeni šipkom, tada će ovaj mehanički sustav imati samo 1 stupanj slobode. Koja svojstva ima matematičko njihalo? U ovom najjednostavniji sustav Kaos nastaje pod utjecajem periodičnih poremećaja. U slučaju kada se točka ovjesa ne pomiče, već oscilira, visak ima novi ravnotežni položaj. S brzim oscilacijama gore-dolje, ovaj mehanički sustav dobiva stabilan položaj "naglavačke". Ima i svoje ime. Naziva se Kapitsino njihalo.
Svojstva njihala
Matematičko njihalo ima vrlo zanimljiva svojstva. Sve one potvrđuju poznati fizikalni zakoni. Period titranja svakog drugog njihala ovisi o različitim okolnostima, kao što su veličina i oblik tijela, udaljenost između točke ovjesa i težišta te raspodjela mase u odnosu na tu točku. Zato je određivanje razdoblja visljenja tijela dosta težak zadatak. Mnogo je lakše izračunati razdoblje matematičkog njihala, čija će formula biti dana u nastavku. Kao rezultat promatranja sličnih mehaničkih sustava mogu se ustanoviti sljedeći obrasci:
Ako, zadržavajući istu duljinu njihala, objesimo različite utege, tada će period njihovih oscilacija biti isti, iako će njihove mase jako varirati. Posljedično, period takvog njihala ne ovisi o masi tereta.
Ako se pri pokretanju sustava klatno otkloni pod ne prevelikim, ali različitim kutovima, tada će početi oscilirati s istim periodom, ali s različitim amplitudama. Sve dok odstupanja od središta ravnoteže nisu prevelika, titraji će po svom obliku biti vrlo bliski harmoničkim. Period takvog njihala ni na koji način ne ovisi o oscilatornoj amplitudi. Ovo svojstvo određenog mehaničkog sustava naziva se izokronizam (u prijevodu s grčkog "chronos" - vrijeme, "isos" - jednako).
Perioda matematičkog njihala
Ovaj pokazatelj predstavlja period prirodnih oscilacija. Unatoč složenoj formulaciji, sam proces je vrlo jednostavan. Ako je duljina niti matematičkog njihala L, a akceleracija slobodan pad g, tada je ova vrijednost jednaka:
Period malih ni na koji način ne ovisi o masi njihala i amplitudi titraja. U tom se slučaju visak giba kao matematički zadanom duljinom.
Oscilacije matematičkog njihala
Matematičko njihalo oscilira, što se može opisati jednostavnom diferencijalnom jednadžbom:
x + ω2 sin x = 0,
gdje je x (t) nepoznata funkcija (ovo je kut odstupanja od donjeg ravnotežnog položaja u trenutku t, izražen u radijanima); ω je pozitivna konstanta, koja se određuje iz parametara njihala (ω = √g/L, gdje je g akceleracija sile teže, a L duljina matematičkog njihala (ovjesa).
Jednadžba za male vibracije u blizini ravnotežnog položaja (harmonijska jednadžba) izgleda ovako:
x + ω2 sin x = 0
Oscilatorna gibanja njihala
Matematičko njihalo, koje čini male oscilacije, kreće se duž sinusoide. Diferencijalna jednadžba drugog reda zadovoljava sve zahtjeve i parametre takvog kretanja. Za određivanje putanje potrebno je postaviti brzinu i koordinatu iz kojih se zatim određuju neovisne konstante:
x = A sin (θ 0 + ωt),
gdje je θ 0 početna faza, A je amplituda titranja, ω je ciklička frekvencija određena iz jednadžbe gibanja.
Matematičko njihalo (formule za velike amplitude)
Ovaj mehanički sustav, koji oscilira značajnom amplitudom, podložan je složenijim zakonima gibanja. Za takvo njihalo izračunavaju se prema formuli:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
gdje je sn Jacobijev sinus, koji za u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
gdje je ε = E/mL2 (mL2 je energija njihala).
Period titranja nelinearnog njihala određuje se pomoću formule:
gdje je Ω = π/2 * ω/2K(u), K je eliptički integral, π - 3,14.
Gibanje njihala po separatrisi
Separatriksa je putanja dinamički sustav, koji ima dvodimenzionalni fazni prostor. Matematičko njihalo kreće se duž njega neperiodički. U beskonačno udaljenom trenutku pada s najvišeg položaja na stranu brzinom nula, a zatim je postupno dobiva. Na kraju se zaustavlja, vraćajući se u prvobitni položaj.
Ako se amplituda titraja njihala približi broju π , to znači da se gibanje na faznoj ravnini približava separatrisi. U tom slučaju, pod utjecajem male pogonske periodične sile, mehanički sustav pokazuje kaotično ponašanje.
Kada matematičko njihalo odstupi od ravnotežnog položaja za određeni kut φ, nastaje tangencijalna sila teže Fτ = -mg sin φ. Znak minus znači da je ta tangencijalna komponenta usmjerena u smjeru suprotnom od otklona njihala. Kada se s x označi pomak njihala po kružnom luku polumjera L, njegov kutni pomak jednak je φ = x/L. Drugi zakon, namijenjen projekcijama i sili, dat će željenu vrijednost:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Na temelju ovog odnosa jasno je da je ovo njihalo nelinearan sustav, budući da je sila koja ga nastoji vratiti u ravnotežni položaj uvijek proporcionalna ne pomaku x, već sin x/L.
Samo kada matematičko njihalo izvodi male oscilacije ono je harmonijski oscilator. Drugim riječima, postaje mehanički sustav sposoban izvoditi harmonijske oscilacije. Ova aproksimacija praktički vrijedi za kutove od 15-20°. Oscilacije njihala s velikim amplitudama nisu harmonijske.
Newtonov zakon za male oscilacije njihala
Ako određeni mehanički sustav izvodi male oscilacije, Newtonov 2. zakon će izgledati ovako:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Na temelju toga možemo zaključiti da je matematičko njihalo proporcionalno svom pomaku s predznakom minus. To je uvjet zbog kojeg sustav postaje harmonijski oscilator. Modul koeficijenta proporcionalnosti između pomaka i ubrzanja jednak je kvadratu kružne frekvencije:
ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.
Ova formula odražava prirodnu frekvenciju malih oscilacija ovog tipa njihala. Na temelju toga,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Proračuni temeljeni na zakonu održanja energije
Svojstva njihala mogu se opisati i pomoću zakona održanja energije. Treba uzeti u obzir da je njihalo u gravitacijskom polju jednako:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Ukupno je jednako kinetičkom ili maksimalnom potencijalu: Epmax = Ekmsx = E
Nakon što je zakon održanja energije napisan, uzmite derivaciju desne i lijeve strane jednadžbe:
Kako je derivacija konstantnih veličina jednaka 0, onda je (Ep + Ek)" = 0. Derivacija zbroja jednaka je zbroju derivacija:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
stoga:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Na temelju posljednje formule nalazimo: α = - g/L*x.
Praktična primjena matematičkog njihala
Ubrzanje ovisi o zemljopisnoj širini jer gustoća Zemljina kora nije isti na cijelom planetu. Tamo gdje se pojavljuju stijene veće gustoće, ona će biti nešto veća. Ubrzanje matematičkog njihala često se koristi za geološka istraživanja. Koristi se za traženje raznih minerala. Jednostavnim brojanjem broja oscilacija njihala možete otkriti ugljen ili rudu u utrobi Zemlje. To je zbog činjenice da takvi fosili imaju gustoću i masu veću od ispod labavih stijena.
Matematičko njihalo koristili su tako izvrsni znanstvenici kao što su Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih vjerovali su da ovaj mehanički sustav može utjecati na sudbinu i život osobe. Arhimed je u svojim proračunima koristio matematičko njihalo. Danas mnogi okultisti i vidovnjaci koriste ovaj mehanički sustav kako bi ispunili svoja proročanstva ili tražili nestale osobe.
Poznati francuski astronom i prirodoslovac K. Flammarion također je koristio matematičko njihalo za svoja istraživanja. Tvrdio je da je uz njegovu pomoć uspio predvidjeti otkriće novog planeta, izgled Tunguski meteorit i druge važne događaje. Tijekom Drugog svjetskog rata u Njemačkoj (Berlin) djelovao je specijalizirani Pendulum institut. Danas se Münchenski institut za parapsihologiju bavi sličnim istraživanjima. Zaposlenici ove ustanove svoj rad s viskom nazivaju „radiestezijom“.
Period titranja fizičkog njihala ovisi o mnogim okolnostima: o veličini i obliku tijela, o udaljenosti između težišta i točke ovjesa te o rasporedu mase tijela u odnosu na tu točku; stoga je računanje perioda ovješenog tijela prilično težak zadatak. Situacija je jednostavnija za matematičko njihalo. Iz promatranja takvih njihala mogu se ustanoviti sljedeći jednostavni zakoni.
1. Ako, zadržavajući istu duljinu njihala (udaljenost od točke ovjesa do težišta tereta), objesite različite terete, tada će period njihanja biti isti, iako su mase opterećenja su vrlo različita. Period matematičkog njihala ne ovisi o masi tereta.
2. Ako pri pokretanju njihalo otklonimo pod različitim (ali ne prevelikim) kutovima, ono će titrati s istim periodom, ali s različitim amplitudama. Sve dok amplitude nisu prevelike, oscilacije su po svom obliku vrlo bliske harmoničkim (§ 5) i period matematičkog njihala ne ovisi o amplitudi oscilacija. Ovo se svojstvo naziva izokronizam (od grčkih riječi "isos" - jednako, "chronos" - vrijeme).
Ovu činjenicu prvi je 1655. godine utvrdio Galileo, navodno pod sljedećim okolnostima. Galileo je u katedrali u Pisi promatrao njihanje lustera na dugačkom lancu, koji se gurao kad bi se upalio. Tijekom službe ljuljačke su se postupno smanjivale (§ 11), odnosno smanjivala se amplituda vibracija, ali je period ostao isti. Galileo je koristio vlastiti puls kao pokazatelj vremena.
Izvedimo sada formulu za period titranja matematičkog njihala.
Riža. 16. Titranje njihala u ravnini (a) i gibanje po stošcu (b)
Kada se klatno ljulja, teret se ubrzano kreće duž luka (slika 16, a) pod utjecajem povratne sile, koja se mijenja tijekom kretanja. Proračun gibanja tijela pod djelovanjem promjenljive sile prilično je kompliciran. Stoga ćemo radi jednostavnosti postupiti na sljedeći način.
Natjerajmo njihalo da ne oscilira u jednoj ravnini, već opisuje konus tako da se teret kreće u krugu (slika 16, b). Ovo kretanje može se dobiti kao rezultat zbrajanja dviju neovisnih vibracija: jedna - još uvijek u ravnini crteža, a druga - u okomitoj ravnini. Očito je da su periode obiju ovih ravninskih oscilacija iste, budući da se bilo koja ravnina osciliranja ne razlikuje od bilo koje druge. Posljedično, period složenog gibanja - vrtnje njihala duž stošca - bit će isti kao period ljuljanja vodene ravnine. Ovaj se zaključak može lako ilustrirati izravnim iskustvom tako da se uzmu dva identična njihala i da se jedno od njih njiha u ravnini, a drugo vrti duž stošca.
Ali period revolucije "konusnog" njihala jednak je duljini kruga opisanog opterećenjem, podijeljenom s brzinom:
Ako je kut odstupanja od okomice mali (male amplitude), tada možemo pretpostaviti da je povratna sila usmjerena duž polumjera kruga, tj. jednaka centripetalnoj sili:
S druge strane, iz sličnosti trokuta slijedi da je . Od tada odavde
Izjednačujući oba izraza jedan s drugim, dobivamo za brzinu cirkulacije
Konačno, zamjenjujući ovo u periodni izraz, nalazimo
Dakle, period matematičkog njihala ovisi samo o ubrzanju gravitacije io duljini njihala, odnosno udaljenosti od točke ovjesa do težišta tereta. Iz dobivene formule proizlazi da period njihala ne ovisi o njegovoj masi i amplitudi (pod uvjetom da je dovoljno mali). Drugim riječima, proračunom smo dobili one temeljne zakonitosti koje smo prethodno utvrdili iz promatranja.
Ali naš teorijski zaključak daje nam više: on nam omogućuje da uspostavimo kvantitativni odnos između perioda njihala, njegove duljine i ubrzanja gravitacije. Period matematičkog njihala proporcionalan je kvadratnom korijenu omjera duljine njihala i ubrzanja sile teže. Koeficijent proporcionalnosti je.
Vrlo precizna metoda za određivanje ovog ubrzanja temelji se na ovisnosti perioda njihala o ubrzanju sile teže. Mjerenjem duljine njihala i utvrđivanjem iz veliki broj period oscilacije, možemo izračunati pomoću dobivene formule. Ova metoda ima široku primjenu u praksi.
Poznato je (vidi I. svezak, §53) da ubrzanje slobodnog pada ovisi o geografska širina mjesta (na polu i na ekvatoru). Promatranja perioda njihanja određenog standardnog njihala omogućuju proučavanje raspodjele gravitacijskog ubrzanja po geografskoj širini. Ova je metoda toliko precizna da se može koristiti za otkrivanje suptilnijih razlika u značenju Zemljina površina. Ispostavilo se da su čak i na istoj paraleli vrijednosti na različitim točkama na zemljinoj površini različite. Ove anomalije u raspodjeli gravitacijskog ubrzanja povezane su s neravnomjernom gustoćom zemljine kore. Koriste se za proučavanje distribucije gustoće, posebno za otkrivanje prisutnosti bilo kojeg minerala u zemljinoj kori. Opsežne gravimetrijske promjene, koje su omogućile prosuđivanje o pojavi gustih masa, provedene su u SSSR-u u području takozvane Kurske magnetske anomalije (vidi Svezak II, § 130) pod vodstvom sovjetskog fizičara Petra Petroviča. Lazarev. U sprezi s podacima o anomaliji Zemljine magnetsko polje Ovi gravimetrijski podaci omogućili su utvrđivanje distribucije pojavljivanja željeznih masa koje određuju Kursk magnetske i gravitacijske anomalije.
Matematičko njihalo je materijalna točka obješena na bestežinsku i nerastezljivu nit koja se nalazi u Zemljinom gravitacijskom polju. Matematičko njihalo je idealizirani model koji ispravno opisuje stvarno njihalo samo pod određenim uvjetima. Pravo njihalo se može smatrati matematičkim ako je duljina niti mnogo veća od veličine tijela koje visi na njoj, masa niti je zanemariva u usporedbi s masom tijela, a deformacije niti su tako male da se mogu posve zanemariti.
Oscilatorni sustav u u ovom slučaju tvore nit, na nju pričvršćeno tijelo i Zemlja, bez koje ovaj sustav ne bi mogao služiti kao njihalo.
Gdje A x – ubrzanje, g - ubrzanje gravitacije, x- pomak, l– duljina niti njihala.
Ova se jednadžba zove jednadžba slobodnih oscilacija matematičkog njihala. Ispravno opisuje predmetne vibracije samo kada su ispunjene sljedeće pretpostavke:
2) razmatraju se samo mali titraji njihala s malim kutom njihanja.
Slobodne vibracije bilo kojeg sustava opisuju se u svim slučajevima sličnim jednadžbama.
Uzroci slobodnih oscilacija matematičkog njihala su:
1. Djelovanje napetosti i gravitacije na visak, sprječavajući ga da se pomakne iz ravnotežnog položaja i tjera ga da ponovno padne.
2. Inercija njihala, zbog koje se ono, zadržavajući svoju brzinu, ne zaustavlja u ravnotežnom položaju, već prolazi kroz njega dalje.
Period slobodnih oscilacija matematičkog njihala
Period slobodnog titranja matematičkog njihala ne ovisi o njegovoj masi, već je određen samo duljinom niti i ubrzanjem sile teže na mjestu gdje se njihalo nalazi.
Pretvorba energije tijekom harmonijskih oscilacija
Pri harmonijskom titranju opružnog njihala potencijalna energija elastično deformiranog tijela pretvara se u kinetička energija, Gdje k – koeficijent elastičnosti, X - modul pomaka njihala iz ravnotežnog položaja, m- masa njihala, v- njegova brzina. Prema jednadžbi harmonijske vibracije:
,
.
Ukupna energija opružnog njihala:
.
Ukupna energija za matematičko njihalo:
U slučaju matematičkog njihala
Transformacije energije tijekom oscilacija opružnog njihala odvijaju se u skladu sa zakonom održanja mehaničke energije ( 
). Kada se njihalo pomiče prema dolje ili prema gore iz svog ravnotežnog položaja, njegova se potencijalna energija povećava, a kinetička energija smanjuje. Kada njihalo prijeđe položaj ravnoteže ( x= 0), njegova potencijalna energija je nula, a najveću vrijednost ima kinetička energija njihala, jednaka njegovoj ukupnoj energiji.
Dakle, u procesu slobodnih oscilacija njihala, njegova potencijalna energija prelazi u kinetičku, kinetička u potencijalnu, potencijalna pa opet u kinetičku itd. Ali ukupna mehanička energija ostaje nepromijenjena.
Prisilne vibracije. Rezonancija.
Oscilacije koje se javljaju pod utjecajem vanjske periodične sile nazivaju se prisilne oscilacije. Vanjska periodična sila, koja se naziva pogonska sila, daje dodatnu energiju oscilatornom sustavu, koja ide za popunjavanje gubitaka energije koji nastaju uslijed trenja. Ako se pokretačka sila tijekom vremena mijenja prema zakonu sinusa ili kosinusa, tada će prisilne oscilacije biti harmonične i neprigušene.
Za razliku od slobodnih oscilacija, kada sustav prima energiju samo jednom (kada je sustav izbačen iz ravnoteže), u slučaju prisilnih oscilacija sustav tu energiju kontinuirano apsorbira iz izvora vanjske periodične sile. Ta energija nadoknađuje gubitke utrošene na svladavanje trenja, pa stoga ukupna energija oscilatornog sustava ostaje nepromijenjena.
Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je frekvenciji pogonske sile. U slučaju kada frekvencija pogonske sile υ poklapa se s vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava υ 0 , postoji nagli porast amplitude prisilnih oscilacija - rezonancija. Rezonancija nastaje zbog činjenice da kada υ = υ 0 vanjska sila, djelujući u vremenu sa slobodnim titrajima, uvijek je usklađena s brzinom tijela koje oscilira i vrši pozitivan rad: energija tijela koje oscilira raste, a amplituda njegovih oscilacija postaje velika. Graf amplitude prisilnih oscilacija A T na frekvenciji pokretačke sile υ prikazan na slici, ovaj graf se naziva krivulja rezonancije:
Fenomen rezonancije igra važnu ulogu u nizu prirodnih, znanstvenih i industrijskih procesa. Na primjer, potrebno je uzeti u obzir fenomen rezonancije pri projektiranju mostova, zgrada i drugih konstrukcija koje doživljavaju vibracije pod opterećenjem, inače pod određenim uvjetima te strukture mogu biti uništene.
(lat. amplituda- magnituda) je najveće odstupanje tijela koje oscilira od ravnotežnog položaja.
Za njihalo, to je maksimalna udaljenost na koju se kuglica udalji od svog ravnotežnog položaja (slika ispod). Za oscilacije s malim amplitudama takva se udaljenost može uzeti kao duljina luka 01 ili 02, te duljine tih segmenata.
Amplituda oscilacija mjeri se u jedinicama duljine - metrima, centimetrima itd. Na grafikonu oscilacija amplituda je definirana kao maksimalna (modulo) ordinata sinusne krivulje (vidi sliku dolje).
Period oscilacije.
Period oscilacije- to je najkraće vremensko razdoblje kroz koje se sustav oscilirajući ponovno vraća u isto stanje u kojem se nalazio u početnom trenutku vremena, proizvoljno odabranom.
Drugim riječima, period oscilacije ( T) je vrijeme tijekom kojeg se dogodi jedna potpuna oscilacija. Na primjer, na donjoj slici, ovo je vrijeme koje je potrebno da se malj njihala pomakne iz ekstremne prava točka kroz točku ravnoteže OKO do krajnje lijeve točke i natrag kroz točku OKO opet krajnje desno.
Tijekom punog perioda titranja tijelo tako prijeđe put jednak četirima amplitudama. Period titranja mjeri se u jedinicama vremena - sekundama, minutama itd. Period titranja može se odrediti iz dobro poznatog grafa oscilacija (vidi sliku ispod).
Koncept "perioda titranja", strogo govoreći, vrijedi samo kada se vrijednosti oscilirajuće veličine točno ponavljaju nakon određenog vremenskog razdoblja, tj. za harmonijske oscilacije. Međutim, ovaj se koncept također primjenjuje na slučajeve približno ponavljajućih količina, na primjer, za prigušene oscilacije.
Frekvencija osciliranja.
Frekvencija osciliranja- ovo je broj oscilacija izvedenih po jedinici vremena, na primjer, u 1 s.
SI jedinica frekvencije je imenovana herc(Hz) u čast njemačkog fizičara G. Hertza (1857.-1894.). Ako je frekvencija osciliranja ( v) jednako je 1 Hz, to znači da svake sekunde postoji jedna oscilacija. Frekvencija i period oscilacija povezani su relacijama:
U teoriji oscilacija također koriste koncept ciklički, ili kružna frekvencija ω . Povezan je s normalnom frekvencijom v i period oscilacije T omjeri:
.
Ciklička frekvencija je broj oscilacija izvedenih po 2π sekundi
Matematičko njihalo nazivamo materijalnu točku obješenu na bestežinsku i nerastezljivu nit pričvršćenu na ovjes i koja se nalazi u polju gravitacije (ili druge sile).
Proučavajmo oscilacije matematičkog njihala u inercijalnom referentnom okviru, u odnosu na koji točka njegova ovjesa miruje ili se giba jednoliko pravocrtno. Silu otpora zraka (idealno matematičko njihalo) zanemarit ćemo. U početku visak miruje u ravnotežnom položaju C. U tom slučaju sila teže \(\vec F\) koja na njega djeluje i elastična sila \(\vec F_(ynp)\) niti su međusobno nadoknađeno.
Maknimo visak iz ravnotežnog položaja (otklonom, na primjer, u položaj A) i pustimo ga bez početne brzine (sl. 13.11). U ovom slučaju sile \(\vec F\) i \(\vec F_(ynp)\) nisu u ravnoteži jedna s drugom. Tangencijalna komponenta gravitacije \(\vec F_\tau\), koja djeluje na njihalo, govori tangencijalno ubrzanje\(\vec a_\tau\) (komponenta ukupne akceleracije usmjerena tangentom na putanju matematičkog njihala), te se njihalo počinje gibati prema ravnotežnom položaju brzinom koja raste u apsolutnoj vrijednosti. Tangencijalna komponenta gravitacije \(\vec F_\tau\) je stoga povratna sila. Normalna komponenta \(\vec F_n\) sile gravitacije usmjerena je duž niti protiv elastične sile \(\vec F_(ynp)\). Rezultanta sila \(\vec F_n\) i \(\vec F_(ynp)\) pripisuje normalno ubrzanje \(~a_n\) njihalu, koje mijenja smjer vektora brzine, te se njihalo kreće duž luka ABCD.
Što se visak više približava ravnotežnom položaju C, to je vrijednost tangencijalne komponente \(~F_\tau = F \sin \alpha\) manja. U ravnotežnom položaju je nula, a brzina doseže maksimalna vrijednost, a visak se po inerciji kreće dalje, dižući se u luku prema gore. U ovom slučaju komponenta \(\vec F_\tau\) je usmjerena protiv brzine. S povećanjem kuta otklona a modul sile \(\vec F_\tau\) raste, a modul brzine opada te u točki D brzina njihala postaje jednaka nuli. Njihalo se na trenutak zaustavi, a zatim se počne kretati u suprotnom smjeru od ravnotežnog položaja. Prošavši ga ponovno po inerciji, njihalo će, usporavajući svoje kretanje, doći do točke A (nema trenja), tj. dovršit će potpuni zamah. Nakon toga će se kretanje njihala ponoviti već opisanim slijedom.
Dobijmo jednadžbu koja opisuje slobodne oscilacije matematičkog njihala.
Pustite visak unutra ovaj trenutak vrijeme je u točki B. Njegov pomak S od ravnotežnog položaja u ovom trenutku jednak je duljini luka SV (tj. S = |SV|). Označimo duljinu ovjesne niti l, a masa njihala je m.
Sa slike 13.11 jasno je da \(~F_\tau = F \sin \alpha\), gdje je \(\alpha =\frac(S)(l).\) Pod malim kutovima \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Znak minus u ovoj se formuli stavlja jer je tangencijalna komponenta sile teže usmjerena prema ravnotežnom položaju, a pomak se računa od ravnotežnog položaja.
Prema drugom Newtonovom zakonu \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projicirajmo vektorske veličine ove jednadžbe na smjer tangente na putanju matematičkog njihala
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Iz ovih jednadžbi dobivamo
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - dinamička jednadžba gibanja matematičkog njihala. Tangencijalno ubrzanje matematičkog njihala proporcionalno je njegovom pomaku i usmjereno je prema položaju ravnoteže. Ova se jednadžba može napisati kao\. Uspoređujući je s jednadžbom harmonijskih oscilacija \(~a_x + \omega^2x = 0\) (vidi § 13.3), možemo zaključiti da matematičko njihalo izvodi harmonijske oscilacije. A budući da su se razmatrani titraji njihala događali pod utjecajem samo unutarnjih sila, to su bili slobodni titraji njihala. Stoga, slobodni titraji matematičkog njihala s malim odstupanjima su harmonijski.
Označimo \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Odakle je \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) ciklička frekvencija njihala.
Period titranja njihala je \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Prema tome,
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Ovaj izraz se zove Huygensova formula. Određuje period slobodnih oscilacija matematičkog njihala. Iz formule proizlazi da pri malim kutovima odstupanja od ravnotežnog položaja period titranja matematičkog njihala: 1) ne ovisi o njegovoj masi i amplitudi oscilacija; 2) proporcionalan kvadratnom korijenu duljine njihala i obrnuto proporcionalan kvadratnom korijenu ubrzanja sile teže. To je u skladu s eksperimentalnim zakonima malih oscilacija matematičkog njihala, koje je otkrio G. Galileo.
Naglašavamo da se ovom formulom može izračunati period ako su istovremeno ispunjena dva uvjeta: 1) oscilacije njihala moraju biti male; 2) točka ovjesa njihala mora mirovati ili se gibati jednoliko pravocrtno u odnosu na inercijski referentni okvir u kojem se nalazi.
Ako se točka vješanja matematičkog njihala giba ubrzano \(\vec a\), tada se mijenja sila napetosti niti, što dovodi do promjene povratne sile, a posljedično i frekvencije i perioda oscilacija. Kao što izračuni pokazuju, razdoblje oscilacije njihala u ovom slučaju može se izračunati pomoću formule
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
gdje je \(~g"\) "efektivna" akceleracija njihala u neinercijalnom referentnom okviru. Jednaka je geometrijskom zbroju akceleracije sile teže \(\vec g\) i vektora suprotnog od vektor \(\vec a\), tj. može se izračunati pomoću formule
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Književnost
Aksenovich L. A. Fizika u srednjoj školi: teorija. Zadaci. Testovi: Udžbenik. dodatak za ustanove općeg obrazovanja. okoliš, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; ur. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.
