En el capítulo anterior se demostró que, eligiendo un determinado sistema de coordenadas en el plano, podemos expresar analíticamente las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la línea considerada mediante una ecuación entre las coordenadas actuales. Así obtenemos la ecuación de la recta. Este capítulo analizará las ecuaciones en línea recta.

Para crear una ecuación para una línea recta en coordenadas cartesianas, es necesario establecer de alguna manera las condiciones que determinan su posición con respecto a los ejes de coordenadas.

Primero, introduciremos el concepto de coeficiente angular de una línea, que es una de las cantidades que caracterizan la posición de una línea en un plano.

Llamemos al ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox el ángulo mediante el cual se debe girar el eje Ox para que coincida con la línea dada (o sea paralelo a ella). Como es habitual, consideraremos el ángulo teniendo en cuenta el signo (el signo está determinado por el sentido de rotación: en sentido contrario a las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj). Dado que una rotación adicional del eje Ox en un ángulo de 180° lo alineará nuevamente con la línea recta, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje no se puede elegir de manera inequívoca (dentro de un término, un múltiplo de ).

La tangente de este ángulo se determina de forma única (ya que cambiar el ángulo no cambia su tangente).

La tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje Ox se llama coeficiente angular de la recta.

El coeficiente angular caracteriza la dirección de la línea recta (aquí no distinguimos entre dos direcciones de la línea recta mutuamente opuestas). Si pendiente La recta es igual a cero, entonces la recta es paralela al eje x. Con un coeficiente angular positivo, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox será agudo (aquí consideramos el más pequeño valor positivoángulo de inclinación) (Fig. 39); Además, cuanto mayor es el coeficiente angular, mayor es el ángulo de su inclinación con respecto al eje Ox. Si el coeficiente angular es negativo, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox será obtuso (Fig. 40). Tenga en cuenta que una línea recta perpendicular al eje Ox no tiene coeficiente angular (la tangente del ángulo no existe).

Ecuación de una recta en un plano.
El vector de dirección es recto. Vector normal

Una línea recta en un avión es una de las más simples. formas geométricas, que te resulta familiar desde la escuela primaria, y hoy aprenderemos a abordarlo utilizando los métodos de la geometría analítica. Para dominar el material, debes poder construir una línea recta; saber qué ecuación define una línea recta, en particular, una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Esta información se puede encontrar en el manual. Gráficas y propiedades de funciones elementales., lo creé para matan, pero la sección sobre función lineal Resultó muy exitoso y detallado. Por eso, queridas teteras, calentad allí primero. Además es necesario tener conocimientos básicos sobre vectores, de lo contrario la comprensión del material será incompleta.

En Esta lección Veremos formas en las que puedes crear una ecuación de una línea recta en un plano. Recomiendo no descuidar los ejemplos prácticos (aunque parezcan muy sencillos), ya que les proporcionaré conocimientos elementales y hechos importantes, metodos tecnicos, que será necesario en el futuro, incluso en otras secciones de matemáticas superiores.

• ¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?
• Cómo ?
• ¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?
• ¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

y comenzamos:

Ecuación de una recta con pendiente

La conocida forma "escolar" de una ecuación en línea recta se llama ecuación de una recta con pendiente. Por ejemplo, si la ecuación da una línea recta, entonces su pendiente es: . Consideremos significado geométrico de este coeficiente y cómo su valor afecta la ubicación de la línea:

En un curso de geometría se demuestra que la pendiente de la recta es igual a tangente del ángulo entre la dirección del eje positivoy esta linea: , y el ángulo “se desenrosca” en sentido antihorario.

Para no saturar el dibujo, dibujé ángulos solo para dos líneas rectas. Consideremos la línea "roja" y su pendiente. Según lo anterior: (el ángulo “alfa” se indica con un arco verde). Para la línea recta "azul" con el coeficiente del ángulo, la igualdad es verdadera (el ángulo "beta" se indica con un arco marrón). Y si se conoce la tangente del ángulo, entonces, si es necesario, es fácil de encontrar. y la esquina misma mediante el uso función inversa– arcotangente. Como suele decirse, una tabla trigonométrica o una microcalculadora en tus manos. De este modo, el coeficiente angular caracteriza el grado de inclinación de la línea recta hacia el eje de abscisas.

Son posibles los siguientes casos:

1) Si la pendiente es negativa: entonces la línea, en términos generales, va de arriba a abajo. Algunos ejemplos son las líneas rectas “azul” y “frambuesa” del dibujo.

2) Si la pendiente es positiva: entonces la recta va de abajo hacia arriba. Ejemplos: líneas rectas "negras" y "rojas" en el dibujo.

3) Si la pendiente es cero: , entonces la ecuación toma la forma , y la recta correspondiente es paralela al eje. Un ejemplo es la línea recta "amarilla".

4) Para una familia de rectas paralelas a un eje (no hay ningún ejemplo en el dibujo, salvo el propio eje), el coeficiente angular no existe (la tangente de 90 grados no está definida).

Cuanto mayor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más pronunciada será la gráfica de línea recta..

Por ejemplo, considere dos líneas rectas. Por tanto, aquí la recta tiene una pendiente más pronunciada. Permítanme recordarles que el módulo le permite ignorar el letrero, solo nos interesa valores absolutos coeficientes angulares.

A su vez, una línea recta es más pronunciada que las rectas. .

Por el contrario: cuanto menor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más plana será la línea recta.

Para lineas rectas la desigualdad es cierta, por tanto la recta es más plana. Tobogán infantil, para no sufrir hematomas ni golpes.

¿Por qué es esto necesario?

Prolongue su tormento El conocimiento de los hechos anteriores le permite ver de inmediato sus errores, en particular, los errores al construir gráficos, si el dibujo resulta ser "obviamente algo incorrecto". Es aconsejable que usted inmediatamente estaba claro que, por ejemplo, la línea recta es muy empinada y va de abajo hacia arriba, y la línea recta es muy plana, presionada cerca del eje y va de arriba hacia abajo.

En los problemas geométricos suelen aparecer varias rectas, por lo que conviene designarlas de alguna manera.

Designaciones: las líneas rectas se designan pequeñas con letras latinas: . Una opción popular es designarlos utilizando la misma letra con subíndices naturales. Por ejemplo, las cinco líneas que acabamos de ver se pueden denotar como .

Dado que cualquier línea recta está determinada únicamente por dos puntos, se puede denotar mediante estos puntos: etc. La designación implica claramente que los puntos pertenecen a la línea.

Es hora de calentar un poco:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?

Si se conocen un punto que pertenece a una determinada recta y el coeficiente angular de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Ejemplo 1

Escribe una ecuación de una recta con coeficiente angular si se sabe que el punto pertenece a esta recta.

Solución: Compongamos la ecuación de la línea recta usando la fórmula . EN en este caso:

Respuesta:

Examen se hace de forma sencilla. Primero, miramos la ecuación resultante y nos aseguramos de que nuestra pendiente esté en su lugar. En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer esta ecuación. Introduzcámoslos en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que el punto satisface la ecuación resultante.

Conclusión: La ecuación se encontró correctamente.

Un ejemplo más complicado para decisión independiente:

Ejemplo 2

Escribe una ecuación para una recta si se sabe que su ángulo de inclinación con respecto a la dirección positiva del eje es y el punto pertenece a esta recta.

Si tiene alguna dificultad, vuelva a leer el material teórico. Más precisamente, más práctico, me salto mucha evidencia.

Sonó última llamada, ha pasado la fiesta de graduación, y fuera de las puertas de nuestra escuela natal nos espera la propia geometría analítica. Se acabaron las bromas... O tal vez recién están comenzando =)

Con nostalgia agitamos nuestro bolígrafo hacia lo familiar y nos familiarizamos con la ecuación general de una línea recta. Porque en geometría analítica esto es exactamente lo que se usa:

La ecuación general de una recta tiene la forma: , donde están algunos números. Al mismo tiempo, los coeficientes simultáneamente no son iguales a cero, ya que la ecuación pierde su significado.

Vistámonos de traje y relacionemos la ecuación con el coeficiente de pendiente. Primero, muevamos todos los términos al lado izquierdo:

Se debe poner en primer lugar el término con “X”:

En principio, la ecuación ya tiene la forma , pero según las reglas de etiqueta matemática, el coeficiente del primer término (en este caso) debe ser positivo. Cambio de signos:

¡Recuerda esta característica técnica!¡Hacemos que el primer coeficiente (la mayoría de las veces) sea positivo!

En geometría analítica, la ecuación de una línea recta casi siempre se dará en forma general. Bueno, si es necesario, se puede reducir fácilmente a la forma "escuela" con un coeficiente angular (con la excepción de las líneas rectas paralelas al eje de ordenadas).

Preguntémonos qué suficiente¿Sabes construir una línea recta? Dos puntos. Pero más sobre este incidente de la infancia, ahora se adhieren a la regla de las flechas. Cada recta tiene una pendiente muy concreta, a la que es fácil “adaptarse”. vector.

Un vector que es paralelo a una recta se llama vector director de esa recta.. Es obvio que cualquier línea recta tiene un número infinito de vectores directores, y todos ellos serán colineales (codireccionales o no, no importa).

Denotaré el vector de dirección de la siguiente manera: .

Pero un vector no es suficiente para construir una línea recta; el vector es libre y no está ligado a ningún punto del plano. Por tanto, es necesario adicionalmente conocer algún punto que pertenezca a la recta.

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector director de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se puede compilar mediante la fórmula:

A veces se llama ecuación canónica de la recta .

que hacer cuando una de las coordenadas es igual a cero, lo entenderemos en los ejemplos prácticos a continuación. Por cierto, tenga en cuenta: ambos a la vez Las coordenadas no pueden ser iguales a cero, ya que el vector cero no especifica una dirección específica.

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Solución: Compongamos la ecuación de una línea recta usando la fórmula. En este caso:

Usando las propiedades de la proporción nos deshacemos de las fracciones:

Y llevamos la ecuación a su forma general:

Respuesta:

Como regla general, no es necesario hacer un dibujo en tales ejemplos, pero para comprender:

En el dibujo vemos el punto inicial, el vector director original (se puede trazar desde cualquier punto del plano) y la recta construida. Por cierto, en muchos casos lo más conveniente es construir una línea recta utilizando una ecuación con un coeficiente angular. Es fácil transformar nuestra ecuación en forma y seleccionar fácilmente otro punto para construir una línea recta.

Como se señaló al principio del párrafo, una línea recta tiene infinitos vectores directores y todos ellos son colineales. Por ejemplo, dibujé tres de esos vectores: . Cualquiera que sea el vector director que elijamos, el resultado siempre será la misma ecuación en línea recta.

Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

Resolviendo la proporción:

Divide ambos lados por –2 y obtén la ecuación familiar:

Los interesados ​​pueden probar vectores de la misma forma. o cualquier otro vector colineal.

Ahora resolvamos el problema inverso:

¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?

Muy simple:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector director de esta recta.

Ejemplos de cómo encontrar vectores de dirección de líneas rectas:

La afirmación nos permite encontrar solo un vector director de un número infinito, pero no necesitamos más. Aunque en algunos casos es recomendable reducir las coordenadas de los vectores directores:

Así, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje y las coordenadas del vector director resultante se dividen convenientemente por –2, obteniendo exactamente el vector base como vector director. Lógico.

De manera similar, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje, y al dividir las coordenadas del vector por 5, obtenemos el vector unitario como vector director.

ahora hagámoslo comprobando el ejemplo 3. El ejemplo subió, así que les recuerdo que en él compilamos la ecuación de una recta usando un punto y un vector director.

En primer lugar, utilizando la ecuación de la recta reconstruimos su vector director: – todo está bien, hemos recibido el vector original (en algunos casos el resultado puede ser un vector colineal al original, y esto suele ser fácil de notar por la proporcionalidad de las coordenadas correspondientes).

En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación. Los sustituimos en la ecuación:

Se obtuvo la igualdad correcta, lo cual nos alegra mucho.

Conclusión: La tarea se completó correctamente.

Ejemplo 4

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La solución y la respuesta están al final de la lección. Es muy recomendable comprobarlo utilizando el algoritmo que acabamos de comentar. Intente siempre (si es posible) consultar un borrador. Es una estupidez cometer errores que se pueden evitar al 100%.

En el caso de que una de las coordenadas del vector director sea cero se procede de forma muy sencilla:

Ejemplo 5

Solución: La fórmula no es adecuada ya que el denominador del lado derecho es cero. ¡Hay una salida! Usando las propiedades de la proporción, reescribimos la fórmula en el formulario y el resto rodó por una rutina profunda:

Respuesta:

Examen:

1) Restaurar el vector director de la línea:
– el vector resultante es colineal con el vector de dirección original.

2) Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta.

Conclusión: tarea completada correctamente

Surge la pregunta: ¿por qué molestarse con la fórmula si existe una versión universal que funcionará en cualquier caso? Hay dos razones. Primero, la fórmula está en forma de fracción. mucho mejor recordado. Y en segundo lugar, la desventaja de la fórmula universal es que el riesgo de confundirse aumenta significativamente al sustituir coordenadas.

Ejemplo 6

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

Volvamos a los dos puntos omnipresentes:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando dos puntos?

Si se conocen dos puntos, entonces la ecuación de una línea recta que pasa por estos puntos se puede compilar mediante la fórmula:

De hecho, este es un tipo de fórmula y he aquí por qué: si se conocen dos puntos, entonces el vector será el vector director de la recta dada. En la lección Vectores para tontos Consideramos el problema más simple: cómo encontrar las coordenadas de un vector desde dos puntos. Según este problema, las coordenadas del vector dirección son:

Nota : los puntos se pueden “intercambiar” y se puede utilizar la fórmula . Esta solución será equivalente.

Ejemplo 7

Escribe una ecuación de una línea recta usando dos puntos. .

Solución: Usamos la fórmula:

Combinando los denominadores:

Y baraja la baraja:

Ahora es el momento de deshacerse de los números fraccionarios. En este caso, debes multiplicar ambos lados por 6:

Abre los corchetes y recuerda la ecuación:

Respuesta:

Examen es obvio: las coordenadas de los puntos iniciales deben satisfacer la ecuación resultante:

1) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

2) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

Conclusión: La ecuación de la recta está escrita correctamente.

Si al menos uno de los puntos no satisface la ecuación, busque un error.

Vale la pena señalar que la verificación gráfica en este caso es difícil, ya que construir una línea recta y ver si los puntos le pertenecen , no es tan simple.

Notaré un par de aspectos técnicos más de la solución. Quizás en este problema sea más rentable utilizar la fórmula espejo. y en los mismos puntos hacer una ecuacion:

Menos fracciones. Si quieres puedes llevar a cabo la solución hasta el final, el resultado debe ser la misma ecuación.

El segundo punto es observar la respuesta final y descubrir si se puede simplificar aún más. Por ejemplo, si obtienes la ecuación , entonces es recomendable reducirla a dos: – la ecuación definirá la misma línea recta. Sin embargo, este ya es un tema de conversación sobre posición relativa de las líneas.

Habiendo recibido la respuesta En el ejemplo 7, por si acaso, verifiqué si TODOS los coeficientes de la ecuación son divisibles por 2, 3 o 7. Aunque, la mayoría de las veces, estas reducciones se realizan durante la solución.

Ejemplo 8

Escribe una ecuación para una recta que pasa por los puntos. .

Este es un ejemplo de una solución independiente que le permitirá comprender y practicar mejor las técnicas de cálculo.

Similar al párrafo anterior: si en la fórmula uno de los denominadores (la coordenada del vector de dirección) se vuelve cero, luego lo reescribimos en la forma. Una vez más, observe lo incómoda y confundida que se ve. No veo mucho sentido en dar ejemplos prácticos, ya que ya hemos resuelto este problema (ver No. 5, 6).

Vector normal directo (vector normal)

¿Que es normal? En palabras simples, la normal es perpendicular. Es decir, el vector normal de una recta es perpendicular a una recta dada. Evidentemente, cualquier recta tiene un número infinito de ellos (además de vectores directores), y todos los vectores normales de la recta serán colineales (codireccionales o no, da igual).

Tratarlos será incluso más fácil que con los vectores guía:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector normal de esta recta.

Si es necesario "sacar" cuidadosamente las coordenadas del vector director de la ecuación, entonces las coordenadas del vector normal se pueden "eliminar" simplemente.

El vector normal siempre es ortogonal al vector director de la recta. Verifiquemos la ortogonalidad de estos vectores usando producto escalar:

Daré ejemplos con las mismas ecuaciones que para el vector dirección:

¿Es posible construir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal? Lo siento en mis entrañas, es posible. Si se conoce el vector normal, entonces la dirección de la línea recta en sí está claramente definida: se trata de una "estructura rígida" con un ángulo de 90 grados.

¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector normal de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Aquí todo salió bien sin fracciones ni otras sorpresas. Este es nuestro vector normal. Lo amo. Y respeto =)

Ejemplo 9

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

Solución: Usamos la fórmula:

Se ha obtenido la ecuación general de la recta, comprobemos:

1) “Eliminar” las coordenadas del vector normal de la ecuación: – sí, de hecho, el vector original se obtuvo de la condición (o se debe obtener un vector colineal).

2) Comprobemos si el punto satisface la ecuación:

Verdadera igualdad.

Una vez que estemos convencidos de que la ecuación está compuesta correctamente, realizaremos la segunda, más parte fácil tareas. Sacamos el vector director de la recta:

Respuesta:

En el dibujo la situación se ve así:

Para fines educativos, una tarea similar se puede resolver de forma independiente:

Ejemplo 10

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

La sección final de la lección estará dedicada a tipos de ecuaciones de una línea recta en un plano menos comunes, pero también importantes.

Ecuación de una recta en segmentos.
Ecuación de una recta en forma paramétrica

La ecuación de una recta en segmentos tiene la forma , donde son constantes distintas de cero. Algunos tipos de ecuaciones no se pueden representar de esta forma, por ejemplo, la proporcionalidad directa (ya que el término libre es igual a cero y no hay forma de obtener uno en el lado derecho).

En sentido figurado, se trata de una ecuación de tipo “técnico”. Una tarea común es ecuación general representar una recta en forma de ecuación de una recta en segmentos. ¿Cómo es conveniente? La ecuación de una recta en segmentos permite encontrar rápidamente los puntos de intersección de una recta con ejes de coordenadas, lo que puede ser muy importante en algunas tareas de matemáticas superiores.

Encontremos el punto de intersección de la recta con el eje. Restablecemos la “y” a cero y la ecuación toma la forma. Punto deseado resulta automáticamente: .

Lo mismo con el eje. – el punto en el que la recta corta el eje de ordenadas.

En matemáticas, uno de los parámetros que describe la posición de una recta en el plano cartesiano es el coeficiente angular de esta recta. Este parámetro caracteriza la pendiente de la línea recta hacia el eje de abscisas. Para entender cómo encontrar la pendiente, primero recuerde la forma general de la ecuación de una línea recta en el sistema de coordenadas XY.

EN vista general cualquier línea recta se puede representar mediante la expresión ax+by=c, donde a, b y c son números reales arbitrarios, pero siempre a 2 + b 2 ≠ 0.

Usando transformaciones simples, dicha ecuación se puede llevar a la forma y=kx+d, en la que k y d son números reales. El número k es la pendiente, y la ecuación de una recta de este tipo se llama ecuación con pendiente. Resulta que para encontrar la pendiente, simplemente necesitas reducir la ecuación original a la forma indicada arriba. Para una comprensión más completa, considere un ejemplo específico:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 36x - 18y = 108

Solución: Transformemos la ecuación original.

Respuesta: La pendiente requerida de esta recta es 2.

Si al transformar la ecuación obtuvimos una expresión como x = const y como resultado no podemos representar y en función de x, entonces estamos ante una línea recta paralela al eje X. El coeficiente angular de tal una línea recta es igual al infinito.

Para rectas expresadas por una ecuación como y = const, la pendiente es cero. Esto es típico de líneas rectas paralelas al eje de abscisas. Por ejemplo:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solución: llevemos la ecuación original a su forma general.

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es imposible expresar y a partir de la expresión resultante, por lo tanto, el coeficiente angular de esta línea es igual al infinito y la línea misma será paralela al eje Y.

Significado geométrico

Para una mejor comprensión, veamos la imagen:

En la figura vemos una gráfica de una función como y = kx. Para simplificar, tomemos el coeficiente c = 0. En el triángulo OAB, la relación entre el lado BA y AO será igual al coeficiente angular k. Al mismo tiempo, la relación BA/AO es la tangente del ángulo agudo α en el triángulo rectángulo OAB. Resulta que el coeficiente angular de la recta es igual a la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje de abscisas de la cuadrícula de coordenadas.

Resolviendo el problema de cómo encontrar el coeficiente angular de una línea recta, encontramos la tangente del ángulo entre ella y el eje X de la cuadrícula de coordenadas. Los casos límite, cuando la línea en cuestión es paralela a los ejes de coordenadas, confirman lo anterior. De hecho, para una línea recta descrita por la ecuación y=const, el ángulo entre ella y el eje de abscisas es cero. La tangente del ángulo cero también es cero y la pendiente también es cero.

Para líneas rectas perpendiculares al eje x y descritas por la ecuación x=const, el ángulo entre ellas y el eje x es de 90 grados. Tangente ángulo recto es igual al infinito, y el coeficiente angular de rectas similares también es igual al infinito, lo que confirma lo escrito anteriormente.

pendiente tangente

Una tarea común que se encuentra a menudo en la práctica es también encontrar la pendiente de una tangente a la gráfica de una función en un punto determinado. Una tangente es una recta, por lo que también le es aplicable el concepto de pendiente.

Para saber cómo encontrar la pendiente de una tangente, necesitaremos recordar el concepto de derivada. La derivada de cualquier función en un punto determinado es una constante numéricamente igual a la tangente del ángulo que se forma entre la tangente en el punto especificado a la gráfica de esta función y el eje de abscisas. Resulta que para determinar el coeficiente angular de la tangente en el punto x 0, necesitamos calcular el valor de la derivada de la función original en este punto k = f"(x 0). Veamos el ejemplo:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta tangente a la función y = 12x 2 + 2xe x en x = 0,1.

Solución: encuentre la derivada de la función original en forma general.

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Respuesta: La pendiente requerida en el punto x = 0,1 es 4,831

Aprenda a tomar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un punto determinado que se encuentra en la gráfica de esta función. En este caso, la gráfica puede ser una línea recta o curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un momento específico. Recordar reglas generales, mediante el cual se toman las derivadas, y solo entonces se pasa al siguiente paso.

• Leer el artículo.
• Cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, derivada ecuación exponencial, descrito. Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos allí descritos.

Aprender a distinguir problemas en los que se debe calcular la pendiente mediante la derivada de una función. Los problemas no siempre piden que encuentres la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, es posible que le pidan que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A(x,y). También te pueden pedir que encuentres la pendiente de la tangente en el punto A(x,y). En ambos casos es necesario tomar la derivada de la función.

Calcula la derivada de la función que te dieron. No es necesario construir una gráfica aquí; solo necesitas la ecuación de la función. En nuestro ejemplo, tomemos la derivada de la función. Tome el derivado según los métodos descritos en el artículo mencionado anteriormente:

• Derivado:

Sustituye las coordenadas del punto que te dieron en la derivada encontrada para calcular la pendiente. La derivada de una función es igual a la pendiente en un punto determinado. En otras palabras, f"(x) es la pendiente de la función en cualquier punto (x,f(x)). En nuestro ejemplo:

• Encuentra la pendiente de la función. f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) en el punto A(4,2).
• Derivada de una función:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Sustituye el valor de la coordenada “x” de este punto:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Encuentra la pendiente:
• Función de pendiente f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) en el punto A(4,2) es igual a 22.

Si es posible, verifica tu respuesta en una gráfica. Recuerde que la pendiente no se puede calcular en todos los puntos. El cálculo diferencial examina funciones complejas y gráficos complejos, donde la pendiente no se puede calcular en todos los puntos y, en algunos casos, los puntos no se encuentran en los gráficos en absoluto. Si es posible, usa una calculadora gráfica para verificar que la pendiente de la función que te dan sea correcta. De lo contrario, dibuja una tangente a la gráfica en el punto que se te dio y piensa si el valor de la pendiente que encontraste coincide con lo que ves en la gráfica.

• La tangente tendrá la misma pendiente que la gráfica de la función en un punto determinado. Para dibujar una tangente en un punto determinado, muévase hacia la izquierda/derecha en el eje X (en nuestro ejemplo, 22 valores a la derecha) y luego hacia arriba uno en el eje Y. Marque el punto y luego conéctelo al punto que se te ha dado. En nuestro ejemplo, conecta los puntos con coordenadas (4,2) y (26,3).