Reglas para calcular los derivados. Reglas para calcular Derivados Derivado Función compleja

Lección sobre el tema: "¿Qué es un derivado? Definición de la derivada"

Materiales adicionales
¡Estimados usuarios, no se olvide de dejar sus comentarios, comentarios, deseos! Todos los materiales son revisados \u200b\u200bpor el programa antivirus.

Ayudas educativas y simuladores en la tienda en línea "Integral" para el grado 10
Tareas algebraicas con parámetros, clases 9-11.
Software Miércoles "1c: Diseñador matemático 6.1"

Lo que vamos a estudiar:
1. Introducción al concepto de la derivada.
2. Ligeramente historias.

4. Derivado en el gráfico de la función. Derivado de significado geométrico.

6. Diferenciación de la función.
7. Ejemplos.

Introducción al concepto de derivado.

Hay muchas tareas de un significado completamente diferente, pero hay modelos matemáticos que le permiten calcular las soluciones de nuestras tareas de la misma manera. Por ejemplo, si considera tales tareas como:

A) Hay alguna cuenta en el banco, que está cambiando constantemente una vez unos días, la cantidad está creciendo constantemente, es necesario encontrar a qué velocidad está creciendo la factura.
b) La planta produce dulces, hay un aumento permanente en la producción de dulces, encuentre lo rápido que está aumentando el crecimiento de los dulces.
c) Velocidad del vehículo a algún tiempo t, si se conoce la posición del automóvil, y se mueve en línea recta.
d) Se nos da un horario de la función y, en algún momento, se llevó a cabo por una tangente, se requiere encontrar el ángulo tangente de inclinación a la tangente.
La redacción de nuestras tareas es completamente diferente, y parece que se resuelven de manera completamente diferente, pero las matemáticas se les ocurrió cómo resolver todas estas tareas exactamente de la misma manera. Se introdujo el concepto de derivado.

Ligeramente historias

El término derivado introdujo el gran matemático - Lagrange, la traducción al ruso se obtiene de la palabra francesa Derivee, también presentó las designaciones modernas del derivado que veremos más tarde.
Consideramos el concepto de un derivado en sus obras de Leibniz y Newton, el uso de nuestro término que encontraron en geometría y mecánica, respectivamente.
Un poco más tarde, aprendemos que el derivado se determina a través del límite, pero hay una pequeña paradoja en la historia de las matemáticas. Las matemáticas aprendieron a considerar un derivado antes que el concepto de límite introducido y en realidad entendió cuál es el derivado.

Supongamos que la función y \u003d f (x) se determina en algún intervalo que contiene algún punto x0 en el interior. El incremento del argumento ΔX, no sale de nuestro intervalo. Encontraremos el incremento ΔY y ascendiremos a la relación ΔY / Δx, si hay un límite de esta relación en Δx, buscando cero, entonces el límite especificado se llama el derivado de la función y \u003d f (x) en el punto x0 y denota f '(x0).

Tratemos de explicar lo que un derivado no es un lenguaje matemático:
En el lenguaje matemático: el derivado es el límite de la actitud de la función de la función para el incremento de su argumento cuando el argumento aumenta a cero.
En el idioma habitual: derivado: la velocidad del cambio de función en el punto x0.
Veamos los gráficos de tres funciones:

Chicos, ¿qué crees, cuál de las curvas está creciendo más rápido?
La respuesta parece ser obvia para la 1 curva crece más rápido que el resto. Miramos cómo se sube la gráfica de la función. En otras palabras, qué tan rápido cambia la ordenada al cambiar X. La misma función en diferentes puntos puede tener un valor diferente del derivado, es decir, puede cambiar más rápido o más lento.

Derivado en el gráfico de la función. Significado geométrico del derivado.

Ahora veamos cómo encontrar un derivado utilizando las características de la función:


Veamos nuestro horario de la función: dibujo en el punto abscisa x0 a la función gráfica. La tangente y el calendario de nuestra función entran en contacto en el punto A. Necesitamos evaluar cómo enfriar la gráfica es una función. Valor cómodo para este - ángulo de inclinación tangente.

Definición. El derivado de la función en el punto x0 es igual a la tangente del ángulo de inclinación de tangente, realizado hasta el gráfico de la función en este punto.

El ángulo de inclinación se selecciona como un ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje de abscisa.
Y así, la derivada de nuestra función es igual a:

Y así, el derivado en el punto x0 es igual a la tangente del ángulo de inclinación, este es un significado geométrico del derivado.

El algoritmo para encontrar la función derivada y \u003d f (x).
a) Fije el valor X, encuentre F (x).
b) Encuentre el incremento del argumento X + ΔX, y el valor de incremento de la función F (x + Δx).
c) Encuentre el incremento de la función ΔY \u003d F (x + Δx) -F (x).
D) Hacer una relación: ΔY / ΔX
D) calcular

Este es el derivado de nuestra función.

Diferenciación de la función.

Si las funciones y \u003d f (x) tiene un derivado en el punto X, se llama diferenciador en el punto X. El proceso de encontrar un derivado se denomina diferenciación de la función y \u003d f (x).
Volvamos a la pregunta de la continuidad de la función. Si la función es diferenciable en algún momento, entonces la función de la función en este punto puede estar tangeada, la función no puede tener un espacio en este punto, luego simplemente observe, es imposible realizar una tangente.
Y así escribe lo anterior como definición:
Definición. Si la función es diferenciable en el punto X, es continuo en este punto.
Sin embargo, si la función es continua en el punto, esto no significa que se diferencia en este punto. Por ejemplo, la función y \u003d | x | En el punto x \u003d 0 es continuo, pero la tangente no se puede llevar a cabo, lo que significa que no hay derivado.

Ejemplos de la derivada.

Encuentra una función derivada: y \u003d 3x
Decisión:
Usaremos el derivado del algoritmo de búsqueda.
1) Para un valor fijo X, el valor de la función y \u003d 3x
2) en el punto x + Δx, y \u003d f (x + Δx) \u003d 3 (x + Δx) \u003d 3x + 3 Δx

3) Encuentre el incremento de la función: ΔY \u003d F (x + Δx) -F (x) \u003d 3x + 3 Δx-3x \u003d 3δ

Si sigue la definición, el derivado de la función en el punto es el límite de la relación de la función de incremento. y al incremento del argumento δ x.:

Parece que todo está claro. Pero intente calcular de acuerdo con esta fórmula, digamos, función derivada f.(x.) = x. 2 + (2x. + 3) · mI. x. · PECADO x.. Si lo haces todo por definición, luego, después de un par de páginas informáticas, simplemente caes. Por lo tanto, hay formas más simples y eficientes.

Para empezar, observamos que las llamadas funciones elementales se pueden distinguir de la variedad de funciones. Estas son expresiones relativamente simples, cuyos derivados han sido calculados y enumerados durante mucho tiempo en la tabla. Tales funciones simplemente recuerdan, junto con sus derivados.

Derivados de funciones elementales.

Las funciones elementales son todo lo que se enumeran a continuación. Los derivados de estas funciones deben ser conocidos por el corazón. Además, para memorizarlos bastante simples, son elementales.

Entonces, derivados de funciones elementales:

Nombre	Función	Derivado
Constante	f.(x.) = C., C. ∈ R.	0 (si si si, cero!)
Racional	f.(x.) = x. nORTE.	nORTE. · x. nORTE. − 1
Seno	f.(x.) \u003d pecado. x.	cos. x.
Coseno	f.(x.) \u003d Cos. x.	- PECADO x. (menos sinusal)
Tangente	f.(x.) \u003d Tg. x.	1 / cos 2 x.
Cotangente	f.(x.) \u003d CTG. x.	- 1 / Sin 2 x.
Logaritmo natural	f.(x.) \u003d ln. x.	1/x.
Logaritmo arbitrario	f.(x.) \u003d Registro. uNA. x.	1/(x. · LN. uNA.)
Funcion exponencial	f.(x.) = mI. x.	mI. x. (nada ha cambiado)

Si la función elemental se multiplica por una constante arbitraria, la derivada de la nueva función también se considera fácilmente:

(C. · f.)’ = C. · f. ’.

En general, se pueden hacer constantes para un signo del derivado. Por ejemplo:

(2x. 3) '\u003d 2 · ( x. 3) '\u003d 2 · 3 x. 2 = 6x. 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden doblar entre sí, multiplicadas, divididas, y mucho más. Así que aparecerán nuevas funciones, ya no elementales, sino también diferenciables según ciertas reglas. Estas reglas se discuten a continuación.

Derivado de la cantidad y la diferencia.

Deja que se dan las funciones. f.(x.) I. gRAMO.(x.), los derivados de los cuales somos conocidos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales que se discuten anteriormente. Luego, puede encontrar el derivado de la suma y la diferencia de estas funciones:

1. (f. + gRAMO.)’ = f. ’ + gRAMO. ’
2. (f. − gRAMO.)’ = f. ’ − gRAMO. ’

Por lo tanto, el derivado de la cantidad (diferencia) de las dos funciones es igual a la cantidad (diferencia) de derivados. Los componentes pueden ser mayores. Por ejemplo, ( f. + gRAMO. + h.)’ = f. ’ + gRAMO. ’ + h. ’.

Hablando estrictamente, en álgebra no hay concepto de "resta". Hay un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto, la diferencia f. − gRAMO. puede reescribir como suma f. + (-1) · gRAMO., y luego solo una fórmula permanecerá, un derivado de la cantidad.

f.(x.) = x. 2 + sin x; gRAMO.(x.) = x. 4 + 2x. 2 − 3.

Función f.(x.) - Esta es la suma de dos funciones elementales, por lo que:

f. ’(x.) = (x. 2 + pecado. x.)’ = (x. 2) '+ (pecado x.)’ = 2x. + Cos x;

Del mismo modo, discutimos para la función. gRAMO.(x.). Solo ya hay tres términos (desde el punto de vista de la álgebra):

gRAMO. ’(x.) = (x. 4 + 2x. 2 − 3)’ = (x. 4 + 2x. 2 + (−3))’ = (x. 4)’ + (2x. 2)’ + (−3)’ = 4x. 3 + 4x. + 0 = 4x. · ( x. 2 + 1).

Respuesta:
f. ’(x.) = 2x. + Cos x;
gRAMO. ’(x.) = 4x. · ( x. 2 + 1).

Trabajo derivado

Matemáticas: la ciencia es lógica, muchas creen que si el derivado de la cantidad es igual a la cantidad de derivados, entonces la derivada del trabajo huelga."\u003e Es igual al producto de derivados. Pero la Fig. ¡Tú! El derivado del trabajo se considera bastante en otra fórmula. A saber:

(f. · gRAMO.) ’ = f. ’ · gRAMO. + f. · gRAMO. ’

La fórmula es simple, pero a menudo se olvida. Y no solo a los escolares, sino también a los estudiantes. El resultado se resuelve incorrectamente las tareas.

Una tarea. Buscar funciones derivadas: f.(x.) = x. 3 · cos x; gRAMO.(x.) = (x. 2 + 7x. - 7) · mI. x. .

Función f.(x.) Es un producto de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:

f. ’(x.) = (x. 3 · cos. x.)’ = (x. 3) '· COS x. + x. 3 · (cos x.)’ = 3x. 2 · cos. x. + x. 3 · (- pecado x.) = x. 2 · (3cos x. − x. · PECADO x.)

Función gRAMO.(x.) El primer factor es un poco más complicado, pero el esquema general no cambia de esto. Obviamente, la primera función de factor. gRAMO.(x.) Es un polinomio, y su derivado es un derivado de la cantidad. Tenemos:

gRAMO. ’(x.) = ((x. 2 + 7x. - 7) · mI. x.)’ = (x. 2 + 7x. - 7) '· mI. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · ( mI. x.)’ = (2x. + 7) · mI. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · mI. x. = mI. x. · (2. x. + 7 + x. 2 + 7x. −7) = (x. 2 + 9x.) · mI. x. = x.(x. + 9) · mI. x. .

Respuesta:
f. ’(x.) = x. 2 · (3cos x. − x. · PECADO x.);
gRAMO. ’(x.) = x.(x. + 9) · mI. x. .

Tenga en cuenta que en el último paso, la derivada disminuye a los multiplicadores. Formalmente, esto no es necesario hacerlo, pero la mayoría de los derivados se calculan por sí mismos, pero para explorar la función. Por lo tanto, además, la derivada será equiparada a cero, sus signos se aclararán y así sucesivamente. Para tal caso, es mejor tener una expresión establecida en multiplicadores.

Si hay dos funciones f.(x.) I. gRAMO.(x.), y gRAMO.(x.) ≠ 0 En el conjunto de interés para nosotros, puede definir una nueva característica h.(x.) = f.(x.)/gRAMO.(x.). Para tal función, también puede encontrar un derivado:

Notlabo, ¿sí? ¿De dónde viene los menos? Por qué gRAMO. 2? ¡Así es como! Esta es una de las fórmulas más difíciles, sin una botella no se dispersará. Por lo tanto, es mejor estudiarlo en ejemplos específicos.

Una tarea. Buscar funciones derivadas:

En el numerador y el denominador de cada fracción hay funciones elementales, por lo que todo lo que necesitamos es la fórmula de un derivado privado:

Por tradición, difundir el numerador a los multiplicadores, esto simplificará significativamente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una longitud de fórmula en medio acicalómetro. Por ejemplo, es suficiente para tomar una función. f.(x.) \u003d pecado. x. y reemplazar la variable x., digamos x. 2 + ln. x.. Cuando sea f.(x.) \u003d pecado ( x. 2 + ln. x.) - Esta es una función compleja. Ella también tiene un derivado, pero no será posible encontrarlo de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente.

¿Cómo ser? En tales casos, ayuda a reemplazar la variable y la fórmula de la función compleja derivada:

f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ', si un x. Reemplazado por t.(x.).

Como regla general, con una comprensión de esta fórmula, la situación es aún más tristemente que con un derivado privado. Por lo tanto, también es mejor explicar a ejemplos específicos, con una descripción detallada de cada paso.

Una tarea. Buscar funciones derivadas: f.(x.) = mI. 2x. + 3 ; gRAMO.(x.) \u003d pecado ( x. 2 + ln. x.)

Tenga en cuenta que si en la función f.(x.) en lugar de expresión 2 x. + 3 será solo x.Luego resulta una función elemental. f.(x.) = mI. x. . Por lo tanto, hacemos un reemplazo: Let 2 x. + 3 = t., f.(x.) = f.(t.) = mI. t. . Estamos buscando un derivado de la función compleja por la fórmula:

f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (mI. t.)’ · t. ’ = mI. t. · t. ’

Y ahora - ¡Atención! Realizar un reemplazo inverso: t. = 2x. + 3. Recibimos:

f. ’(x.) = mI. t. · t. ’ = mI. 2x. + 3 · (2 x. + 3)’ = mI. 2x. + 3 · 2 \u003d 2 · mI. 2x. + 3

Ahora vamos a tratar con la función. gRAMO.(x.). Obviamente, necesitas reemplazar x. 2 + ln. x. = t.. Tenemos:

gRAMO. ’(x.) = gRAMO. ’(t.) · t. '\u003d (Pecado t.)’ · t. '\u003d Cos. t. · t. ’

Reemplazo inverso: t. = x. 2 + ln. x.. Luego:

gRAMO. ’(x.) \u003d Cos ( x. 2 + ln. x.) · ( x. 2 + ln. x.) '\u003d Cos ( x. 2 + ln. x.) · (2 x. + 1/x.).

¡Eso es todo! Como se puede ver desde la última expresión, toda la tarea se reduce al cálculo del derivado.

Respuesta:
f. ’(x.) \u003d 2 · mI. 2x. + 3 ;
gRAMO. ’(x.) = (2x. + 1/x.) · Cos ( x. 2 + ln. x.).

Muy a menudo en sus lecciones en lugar del término "derivado", uso la palabra "bar". Por ejemplo, la barra de la cantidad es igual a la suma de los trazos. Tan claro? Bueno, eso es bueno.

Por lo tanto, el cálculo del derivado se reduce a deshacerse de estas guías de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Como el último ejemplo, volveremos a un grado de derivado con un indicador racional:

(x. nORTE.)’ = nORTE. · x. nORTE. − 1

Pocos saben lo que hay en nORTE. Bien puede actuar un número fraccional. Por ejemplo, la raíz es x. 0.5. ¿Y qué pasa si debajo de la raíz habrá algo difícil? Nuevamente, se obtiene una función compleja: tales estructuras que les encanta dar en pruebas y exámenes.

Una tarea. Encuentra una función derivada:

Para empezar, reescriba la raíz en forma de grado con un indicador racional:

f.(x.) = (x. 2 + 8x. − 7) 0,5 .

Ahora hacemos un reemplazo: deja x. 2 + 8x. − 7 = t.. Encuentra un derivado de la fórmula:

f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (t. 0.5) '· t. '\u003d 0,5 · t. -0,5 · t. ’.

Hacemos reemplazo: t. = x. 2 + 8x. - 7. Tenemos:

f. ’(x.\u003d 0.5 · ( x. 2 + 8x. - 7) -0,5 · ( x. 2 + 8x. - 7) '\u003d 0.5 · (2 x. + 8) · ( x. 2 + 8x. − 7) −0,5 .

Finalmente, volvemos a las raíces:

Derivado

El cálculo del derivado de la función matemática (diferenciación) es una tarea muy frecuente cuando se resuelve las matemáticas más altas. Para las funciones matemáticas simples (elementales), esta es una cuestión bastante simple, ya que las tablas de derivados para funciones elementales se han preparado y fácilmente accesible. Sin embargo, el hallazgo de una función matemática compleja derivada no es una tarea trivial y, a menudo, requiere un esfuerzo considerable y los costos de tiempo.

Encuentra un derivado en línea

Nuestro servicio en línea le permite deshacerse de la computación larga sin sentido y encuentra un derivado en línea Por un momento Y usando nuestro servicio ubicado en el sitio www.syt.Puedes calcular derivado en línea Ambos de la función elemental y de un complejo, no resolver en forma analítica. Las principales ventajas de nuestro sitio en comparación con otras son: 1) No existen requisitos estrictos para el método para ingresar una función matemática para calcular el derivado (por ejemplo, al ingresar a la función Xinus, puede ingresarla como pecado x o pecado ( x) o pecado [x] y t. d.); 2) El cálculo en línea derivado ocurre instantáneamente en modo en línea Y absolutamente está libre; 3) Le permitimos encontrar un derivado de la función. de cualquier orden, cambiar el orden del derivado es muy fácil y comprensible; 4) Le permitimos encontrar un derivado casi desde cualquier función matemática en línea, incluso muy difícil, inaccesible para resolver otros servicios. La respuesta es siempre precisa y no puede contener errores.

El uso de nuestro servidor le permitirá 1) calcular un derivado en línea para usted, habiendo salvado de la computación larga y tediosa, durante la cual podría hacer un error o error. 2) Si calcula la derivada de la función matemática usted mismo, le brindamos la capacidad de comparar el resultado con los cálculos de nuestro servicio y asegurarse de que la solución sea LOYRTAIN o encuentre el error roto; 3) Use nuestro servicio en lugar de usar tablas de diferentes funciones, donde a menudo es necesario encontrar la función deseada.

Todo lo que necesita es necesario para encuentra un derivado en línea - Es utilizado por nuestro servicio en

Recuerda muy fácil.

Bueno, no vayamos lejos, consideraremos inmediatamente la función inversa. ¿Qué función es la inversa para una función indicativa? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es el número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con una base) se llama "natural", y para ello usamos una designación especial: en lugar de escribir.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

El derivado del logaritmo natural también es muy simple:

Ejemplos:

1. Encontrar la función derivada.
2. ¿Cuál es la función derivada igual?

Respuestas: Expositor y logaritmo natural: las funciones son únicamente simples desde el punto de vista del derivado. Las funciones de intercambio y logarítmico con cualquier otra base tendrán otro derivado, lo que analizaremos más tarde, después de pasar las reglas de diferenciación.

Reglas de diferenciación

Reglas ¿Qué? De nuevo el nuevo término, otra vez ?! ...

Diferenciación - Este es el proceso de encontrar un derivado.

Solo y todo. ¿Y de la forma en que nombrar este proceso en una palabra? No es una producción de ... El diferencial de las matemáticas se llama el mayor incremento de la función en. Este término está sucediendo desde la diferencia latina. Aquí.

Al mostrar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Total Hay 5 reglas.

La constante está hecha de la señal de la derivada.

Si - algún tipo de número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla funciona para la diferencia :.

Probamos. Dejar, o más fácil.

Ejemplos.

Buscar funciones derivadas:

1. en el punto;
2. en el punto;
3. en el punto;
4. en el punto.

Soluciones:

1. (El derivado es el mismo en todos los puntos, ya que esta es una función lineal, ¿recuerda?);

Trabajo derivado

Aquí todo es similar: introducimos una nueva función y encontramos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

1. Encontrar derivados de funciones y;
2. Encuentra la función derivada en el punto.

Soluciones:

Función indicativa derivada

Ahora, su conocimiento es suficiente para aprender a encontrar un derivado de cualquier función indicativa, y no solo a los expositores (¡no olvidados lo que es?).

Entonces, ¿dónde está algún número?

Ya conocemos la función derivada, así que tratemos de traer nuestra función a una base nueva:

Para hacer esto, usamos una regla simple :. Luego:

Bueno, resultó. Ahora trate de encontrar un derivado, y no olvide que esta característica es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruebe:

La fórmula resultó ser muy similar a la exhibición derivada: como era, permaneció, solo apareció un multiplicador, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Buscar funciones derivadas:

Respuestas:

Esto es solo un número que no se puede contar sin una calculadora, es decir, no grabar en forma más sencilla. Por lo tanto, en respuesta a esta forma y deje.

Tenga en cuenta que hay dos funciones privadas aquí, por lo tanto, aplican la regla de diferenciación apropiada:

En este ejemplo, el producto de dos funciones:

Función logarítmica derivada

Aquí es similar: ya conoces el derivado del logaritmo natural:

Por lo tanto, para encontrar un arbitrario del logaritmo con otra razón, por ejemplo:

Necesitas traer este logaritmo a la base. ¿Y cómo cambiar la base del logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Solo ahora en su lugar escribiremos:

En el denominador, resultó solo un constante (número constante, sin una variable). El derivado es muy simple:

Los derivados de las funciones indicativas y logarítmicas casi no se encuentran en el examen, pero no será superfluo conocerlos.

Función compleja derivada.

¿Qué es una "función compleja"? No, no es un logaritmo, y no es arcthangence. Estas funciones pueden ser complejas para la comprensión (aunque si el logaritmo le parece difícil, lea el tema "logaritmos" y todo pasará), pero desde el punto de vista de las matemáticas, la palabra "complejo" no significa "difícil".

Imagina un pequeño transportador: dos personas están sentadas y tienen algún tipo de acciones con algunos objetos. Por ejemplo, la primera envuelve un chocolate en la envoltura, y el segundo lo implica con una cinta. Resulta tal objeto integral: un chocolate, envuelto y forrado con una cinta. Para comer un chocolate, debe hacer una acción inversa en orden inverso.

Vamos a crear un transportador matemático similar: primero encontraremos un coseno del número, y luego el número resultante debe erigirse en un cuadrado. Entonces, le damos un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltura), y luego serás erigido por lo que hice, en un cuadrado (empate a la cinta). ¿Qué sucedió? Función. Este es un ejemplo de una función compleja: cuándo encontrar sus significados, hacemos la primera acción directamente con la variable, y luego otra acción con lo que sucedió como resultado de la primera.

En otras palabras, una función compleja es una función, cuyo argumento es otra característica.: .

Por nuestro ejemplo,.

Podemos hacer completamente las mismas acciones y en el orden inverso: primero se vendrá en un cuadrado, y luego estoy buscando un coseno del número resultante :. Es fácil adivinar que el resultado será casi siempre diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el procedimiento, la función cambia.

El segundo ejemplo: (lo mismo). .

Acción que hacemos que este último llamará. Función "externa", y la acción realizada primero, respectivamente. Función "interna" (Estos son nombres informales, los uso solo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Trate de determinarme en qué función es externa, y que es interna:

Respuestas:La separación de las funciones internas y externas es muy similar al reemplazo de las variables: por ejemplo, en función

1. ¿Primero realizaremos qué acción? Primero, considere el seno, pero solo luego se erige en el cubo. Entonces, la función interna, y la externa.
   Y la función inicial es su composición :.
2. Interno:; Externo :.
   Cheque :.
3. Interno:; Externo :.
   Cheque :.
4. Interno:; Externo :.
   Cheque :.
5. Interno:; Externo :.
   Cheque :.

producimos un reemplazo de variables y obtenezcamos una función.

Bueno, ahora obtendremos nuestro chocolate de chocolate, busque un derivado. El procedimiento siempre es revertido: primero estamos buscando un derivado de la función externa, luego multiplique el resultado en la derivada de la función interna. Con respecto al ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulamos la regla oficial:

El algoritmo para encontrar una función compleja derivada:

Parece que todo es simple, ¿sí?

Compruebe los ejemplos:

Soluciones:

1) interno:;

Externo:;

2) interno:;

(¡Solo no pienses ahora para cortarlo! Desde debajo del coseno, no se hace nada, recuerda?)

3) Interno :;

Externo:;

De inmediato, está claro que aquí se encuentra una función compleja de tres niveles: después de todo, ya es la función compleja en sí, y todavía está eliminando la raíz de ella, es decir, realizamos la tercera acción (chocolate en la envoltura y con Una cinta puesta en la cartera). Pero no hay razón para tener miedo: todo el mismo "desempaquetar" esta función estará en el mismo orden, como de costumbre: desde el final.

Es decir, primero usa la raíz, luego el coseno, y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego todas estas variables.

En tales casos, es conveniente de numerar las acciones. Es decir, imagina que somos conocidos. ¿Qué orden vamos a realizar acciones para calcular el valor de esta expresión? Examinaremos en el ejemplo:

Cuanto más tarde se produce la acción, cuanto más la "externa" será la función correspondiente. Secuencia de acciones - como antes:

Aquí el anidamiento es generalmente de 4 niveles. Determinemos el procedimiento.

1. Expresión forzada. .

2. Root. .

3. SINUSO. .

4. cuadrado. .

5. Recolectamos todo en un montón:

DERIVADO. Brevemente sobre lo principal

Función derivada - la proporción del incremento de la función al incremento del argumento con un incremento infinitamente pequeño del argumento:

Derivados básicos:

Reglas de diferenciación:

La constante está hecha para el signo del derivado:

Cantidad derivada:

Trabajo de producción:

Derivado privado:

Función compleja derivada:

Algoritmo para encontrar un derivado de la función compleja:

1. Definimos la función "interna", encontramos su derivado.
2. Definimos la función "externa", encontramos su derivado.
3. Multiplica los resultados del primer y segundo artículo.