Ángulos relacionados y verticales. Líneas rectas perpendiculares. ¿Qué ángulos se llaman adyacentes? ¿Cuál es la suma de dos ángulos adyacentes?

Pregunta 1.¿Qué ángulos se llaman adyacentes?
Respuesta.Se llama a dos ángulos adyacentes si tienen un lado en común, y otras partes de estos ángulos son semicírculos adicionales.
En la Figura 31, los ángulos (A 1 B) y (a 2 B) adyacentes. Tienen el lado B en general, y las partes A 1 y A 2 son semicírculos adicionales.

Pregunta 2.Demuestre que la suma de ángulos adyacentes es de 180 °.
Respuesta. Teorema 2.1.La suma de ángulos adyacentes es de 180 °.
Evidencia. Deje un ángulo (A 1 B) y un ángulo (A 2 B): estos ángulos adyacentes (ver Fig.31). El haz B pasa entre los lados de un 1 y un 2 de la esquina desplegada. Por lo tanto, la suma de los ángulos (A 1 B) y (a 2 b) es igual a la esquina desplegada, es decir, 180 °. Q.E.D.

Pregunta 3.Demuestre que si dos ángulos son iguales, los ángulos adyacentes también son iguales.
Respuesta.

Del teorema 2.1 de ello se deduce que si dos ángulos son iguales, entonces los ángulos adyacentes son iguales.
Supongamos que los ángulos (A 1 B) y (C1 D) son iguales. Necesitamos demostrar que los ángulos (a 2 b) y (c 2 d) también son iguales.
La suma de ángulos adyacentes es de 180 °. De esto se deduce de esto que 1 B + A 2 B \u003d 180 ° y C1 D + C 2 D \u003d 180 °. Por lo tanto, un 2 B \u003d 180 ° - A 1 B y C2 D \u003d 180 ° - C 1 D. Dado que los ángulos (A 1 B) y (c 1 d) son iguales, obtenemos que un 2 B \u003d 180 ° - A 1 B \u003d C2 D. Según la propiedad de transitividad del signo de igualdad, se deduce que un 2 b \u003d c 2 D. Q.E.D.

Pregunta 4.¿Qué ángulo se llama directo (nítido, estúpido)?
Respuesta. Un ángulo igual a 90 ° se llama ángulo directo.
Un ángulo de menos de 90 ° se llama un ángulo afilado.
El ángulo mayor que 90 ° y el menor de 180 ° se llama estúpido.

Pregunta 5. Demostrar que el ángulo, adyacente a directo, es un ángulo recto.
Respuesta.Desde el teorema en la suma de ángulos adyacentes, se deduce que el ángulo, adyacente al ángulo directo, es un ángulo directo: x + 90 ° \u003d 180 °, x \u003d 180 ° - 90 °, x \u003d 90 °.

Pregunta 6.¿Qué ángulos se llaman vertical?
Respuesta.Se llaman dos ángulos verticales si los lados del mismo ángulo son lados semi-simplemente simples de la otra.

Pregunta 7.Demostrar que los ángulos verticales son iguales.
Respuesta. Teorema 2.2. Los ángulos verticales son iguales.
Evidencia.Deje (1 b 1) y (a 2 B 2): estos ángulos verticales (Fig. 34). El ángulo (A 1 B 2) es adyacente con un ángulo (A 1 B 1) y con un ángulo (A 2 B 2). De ahí el teorema en la suma de ángulos adyacentes, concluimos que cada uno de los ángulos (A 1 B 1) y (a 2 B 2) complementa el ángulo (A 1 B 2) a 180 °, es decir, Los ángulos (A 1 B 1) y (a 2 B 2) son iguales. Q.E.D.

Pregunta 8.Demuestre que si con la intersección de dos líneas rectas, una de las esquinas de la línea, entonces el ángulo restante también es recto.
Respuesta.Supongamos que la AB y el CD directos se crucen entre sí en el punto O. Supongamos que el ángulo de AOD es 90 °. Dado que la suma de ángulos adyacentes es de 180 °, obtenemos que AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° es 90 ° \u003d 90 °. Ángulo de cañera de ángulo vertical de AOD, por lo que son iguales. Es decir, el ángulo COB \u003d 90 °. COA ÁNGULO VERTICAL BODE, por lo que son iguales. Es decir, el ángulo BOD \u003d 90 °. Por lo tanto, todos los ángulos son 90 °, es decir, todos son directos. Q.E.D.

Pregunta 9.¿Qué son los directos se llama perpendicular? ¿Qué signo se usa para referirse a la perpendicularidad de directo?
Respuesta.Dos líneas rectas se llaman perpendiculares si se intersecan en ángulos rectos.
La perpendicularidad del Directo se denota por el signo \\ (\\ PERP \\). REGISTRO \\ (A \\ PERP B \\) lee: "Dirige un perpendicular a Direct B".

Pregunta 10.Demuestre que a través de cualquier punto, la persona perpendicular puede llevar a cabo, y solo una.
Respuesta. Teorema 2.3.A través de cada directo se puede realizar directamente, y solo uno.
Evidencia.Deje que sea este directo y un punto. Denote por un 1 de la directa semiconductible A con el punto de partida A (Fig. 38). Postituiremos desde el ángulo semicircular 1 (A 1 B 1), igual a 90 °. Luego, el directo que contiene el haz b 1 será perpendicular a la directa a.

Supongamos que hay otra línea recta, también pasando por el punto A y perpendicular a la línea recta a. Denote por C 1, el semi-eje de esta línea recta, que se encuentra en un medio plano con una viga B 1.
Los ángulos (A 1 B 1) y (a 1 C 1), igual a cada 90 °, se posponen en un medio plano desde el semi-simplicable A 1. Pero desde la semiconducta A 1 en este medio plano, solo un ángulo se puede posponer igual a 90 °. Por lo tanto, no debe ser otro que pase directamente por el punto A y la directa perpendicular a. El teorema está probado.

Pregunta 11.¿Qué es perpendicular a la línea recta?
Respuesta. El perpendicular a este directo se llama línea recta, perpendicular a esto, que tiene uno de sus fijadores su punto de intersección. Este extremo del segmento se llama base Perpendicular.

Pregunta 12.Explica que la prueba de desagradable.
Respuesta. El método de evidencia que aplicamos en el Teorema 2.3 se llama prueba del oponente. Este método de evidencia es que inicialmente hicimos un supuesto que es lo contrario de lo que está aprobado por el teorema. Luego, mediante el razonamiento, confiando en los axiomas y los teoremas probados, llegan a la conclusión, que es contrario a la condición del teorema o uno de los axiomas o un teorema previamente probado. Sobre esta base, concluimos que nuestro supuesto era incorrecto, y por lo tanto, la declaración del teorema es cierta.

Pregunta 13.¿Qué se llama ángulo de bisector?
Respuesta.El bisector del ángulo se llama una viga, que proviene de la parte superior de la esquina, pasa entre sus partes y divide el ángulo por la mitad.

En el proceso de estudiar el curso de la geometría del concepto de "ángulo", "ángulos verticales", "ángulos adyacentes" son bastante comunes. Comprender cada uno de los términos ayudará a descubrir la tarea y resolverlo correctamente. ¿Qué son los ángulos adyacentes y cómo determinarlos?

Ángulos relacionados - Definición de concepto

El término "ángulos adyacentes" caracteriza a dos ángulos formados por un haz compartido y dos semicírculos adicionales que se encuentran en una línea recta. Los tres rayos salen de un punto. La media edad total es simultáneamente el lado de uno y el segundo ángulo.

Ángulos relacionados - Propiedades básicas

1. Basado en la formulación de ángulos adyacentes, no es difícil notar que la suma de tales ángulos siempre forma un ángulo detallado, cuyo grado es de 180 °:

• Si μ y η son ángulos adyacentes, entonces μ + η \u003d 180 °.
• Conocer uno de los ángulos adyacentes (por ejemplo, μ), es fácil calcular el grado de segundo ángulo (η), utilizando la expresión η \u003d 180 ° - μ.

2. Esta propiedad de las esquinas le permite dibujar la siguiente conclusión: un ángulo que es una esquina recta adyacente también será directa.

3. Teniendo en cuenta la función trigonométrica (PECADO, COS, TG, CTG), basado en las fórmulas para ángulos adyacentes μ y η, lo siguiente es cierto:

• sinη \u003d Sin (180 ° - μ) \u003d Sinμ,
• cosη \u003d cos (180 ° - μ) \u003d -cosμ,
• tgη \u003d tg (180 ° - μ) \u003d -tgμ,
• ctgη \u003d ctg (180 ° - μ) \u003d -ctgμ.

Ángulos relacionados - Ejemplos

Ejemplo 1.

Se establece un triángulo con los vértices M, P, Q es Δmpq. Encuentra las esquinas, ángulos adyacentes ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Extenderemos cada lado del triángulo recto.
• Sabiendo que los ángulos adyacentes se complementan entre sí al ángulo ampliado, descubra que:

adyacente al ángulo ∠QMP será ∠LMP,

adyacente al ángulo ∠mpq será ∠spq,

relacionado con el ángulo ∠pqm será ∠hqp.

Ejemplo 2.

El valor de un ángulo adyacente es de 35 °. ¿Cuál es el grado del segundo ángulo adyacente?

• Dos ángulos adyacentes en la cantidad de 180 °.
• Si ∠μ \u003d 35 °, entonces el adyacente ∠η \u003d 180 ° - 35 ° \u003d 145 °.

Ejemplo 3.

Determine los valores de ángulos adyacentes, si se sabe que el grado de uno de los tres veces más abajo, más grado del otro ángulo.

• Denota el valor de un ángulo (más pequeño) a través de - ∠μ \u003d λ.
• Luego, de acuerdo con la condición del problema, el valor del segundo ángulo será igual a ∠η \u003d 3λ.
• Basado en las propiedades básicas de ángulos adyacentes, μ + η \u003d 180 ° sigue

λ + 3λ \u003d μ + η \u003d 180 °,

λ \u003d 180 ° / 4 \u003d 45 °.

Por lo tanto, el primer ángulo ∠μ \u003d λ \u003d 45 °, y el segundo ángulo ∠η \u003d 3λ \u003d 135 °.

La capacidad de apelar la terminología, así como el conocimiento de las propiedades básicas de los ángulos adyacentes ayudará a hacer frente a la solución de muchas tareas geométricas.

G l a v a I.

Conceptos básicos.

§once. Ángulos relacionados y verticales.

1. Ángulos relacionados.

Si continuamos hasta el lado de alguna esquina por su parte superior, obtendremos dos ángulos (Maldición 72): / Y sol I. / Twds, que tienen un lado de la aeronave en general, y los otros dos AVI CD conforman una línea recta.

Dos ángulos, en los que un lado es general, y los otros dos componen una línea recta, se llaman ángulos adyacentes.

Se pueden obtener ángulos relacionados y, por lo tanto,: si hay una viga de algún punto (sin mentir en esta línea), obtenemos ángulos adyacentes.
Por ejemplo, / Adf I. / FDV - ángulos adyacentes (Maldición 73).

Los ángulos relacionados pueden tener una variedad de posiciones (características. 74).

Ángulos adyacentes en suma constituyen un ángulo extendido, por lo que con umma de dos ángulos adyacentes es igual2d.

Desde aquí, un ángulo recto se puede definir como un ángulo igual a su esquina adyacente.

Conocer la magnitud de uno de los ángulos adyacentes, podemos encontrar el tamaño de otra esquina contaminada con ella.

Por ejemplo, si uno de los ángulos adyacentes es 3/5 d.Luego el segundo ángulo será igual:

2d.- 3 / 5 d. \u003d L 2/5 d..

2. Ángulos verticales.

Si continuamos el lado de la esquina por su parte superior, obtendremos ángulos verticales. En el dibujo 75 EOF Ángulos y AOS verticales; Las esquinas son OO y CO, también verticales.

Se llaman dos ángulos verticales si los lados del mismo ángulo son la continuación de los lados del otro ángulo.

Permitir / 1 = 7 / 8 d. (Maldita sea 76). Adyacente a él / 2 será igual a 2 d.- 7 / 8 d., es decir, 1 1/8 d..

De la misma manera, puedes calcular lo que es igual. / 3 I. / 4.
/ 3 = 2d. - 1 1 / 8 d. = 7 / 8 d.; / 4 = 2d. - 7 / 8 d. = 1 1 / 8 d. (Maldición 77).

Vemos eso / 1 = / 3 I. / 2 = / 4.

Puede resolver algunas más de las mismas tareas, y cada vez se obtendrá el mismo resultado: los ángulos verticales son iguales entre sí.

Sin embargo, para asegurarse de que los ángulos verticales siempre sean iguales entre sí, no es suficiente considerar ejemplos numéricos separados, ya que las conclusiones hechas sobre la base de ejemplos privados a veces pueden ser erróneos.

Asegúrese de que la justicia de las propiedades de los ángulos verticales sea necesaria por razonamiento, por evidencia.

La prueba se puede realizar de la siguiente manera (Maldición 78):

/ a +./ c. = 2d.;
/ b +./ c. = 2d.;

(Dado que la suma de ángulos adyacentes es igual a 2 d.).

/ a +./ c. = / b +./ c.

(Ya que el lado izquierdo de esta igualdad es 2 d., y su parte correcta también es igual a 2. d.).

Esta igualdad incluye el mismo ángulo. de.

Si somos iguales a los valores iguales de igual, permanecerá igualmente. Como resultado, resultará: / uNA. = / b., es decir, los ángulos verticales son iguales entre sí.

Al considerar el tema de los ángulos verticales, primero explicamos qué esquinas se llaman vertical, es decir, Dali definición ángulos verticales.

Luego expresamos el juicio (aprobación) sobre la igualdad de ángulos verticales y en la justicia de esta sentencia se convenció de evidencia. Tales juicios, cuya justicia se debe probar. teoremas.. Por lo tanto, en este párrafo, dimos la definición de ángulos verticales, y también expresamos y demostramos el teorema sobre su propiedad.

En el futuro, al estudiar la geometría, tendremos que cumplir constantemente con definiciones y evidencia de los teoremas.

3. La suma de los ángulos que tienen un vértice total.

En el dibujo 79. / 1, / 2, / 3 I. / 4 se encuentran en un lado derecho y tienen un vértice común en este recto. En la cantidad de estos ángulos constituyen un ángulo extendido, es decir,
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d..

En el dibujo 80. / 1, / 2, / 3, / 4 I. / 5 tienen un vértice total. En la cantidad de estos ángulos constituyen un ángulo completo, es decir, / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d..

Ejercicios.

1. Uno de los ángulos adyacentes es 0.72. d. Calcule el ángulo compilado por los bisectorios de estos ángulos adyacentes.

2. Demuestre que el bisector de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto.

3. Demuestre que si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes son iguales.

4. ¿Cuántos ángulos adyacentes en el dibujo 81?

5. ¿Puede un par de ángulos adyacentes consisten en dos esquinas afiladas? De los dos ángulos estúpidos? ¿De un rincón recto y estúpido? ¿De un ángulo recto y agudo?

6. Si uno de los ángulos adyacentes es recto, entonces lo que se puede decir sobre la magnitud del ángulo adyacente con él?

7. Si con la intersección de dos líneas rectas, una esquina es directa, ¿qué se puede decir sobre la magnitud de las otras tres esquinas?

¿Cómo encontrar un ángulo adyacente?

Matemáticas: la antigua ciencia precisa, que se aprende necesariamente en escuelas, colegios, institutos y universidades. Sin embargo, el conocimiento básico siempre se coloca en la escuela. A veces, se le pide a la niña tareas bastante complejas, y los padres no pueden ayudar, porque simplemente olvidaron algunas cosas de las matemáticas. Por ejemplo, cómo encontrar un ángulo adyacente en la magnitud del ángulo principal, etc. La tarea es simple, pero puede causar dificultades para resolver debido a la ignorancia de qué ángulos se llaman relacionados y cómo encontrarlos.

Considere con más detalle la definición y las propiedades de los ángulos adyacentes, así como cómo calcularlos de acuerdo con los datos en la tarea.

Definición y propiedades de ángulos adyacentes.

Dos vigas que emanan de un punto forman una figura llamada "ángulo plano". En este punto, este punto se llama el pico del ángulo, y los rayos son sus partes. Si continúa uno de los rayos en el punto de inicio en una línea recta, se forma otro ángulo, que se llama adyacente. En cada esquina, en este caso, hay dos ángulos adyacentes, ya que el lado del ángulo es equivalente. Es decir, siempre hay un ángulo adyacente de 180 grados.

Las propiedades principales de los ángulos adyacentes son

• Los ángulos de adjuntos tienen un vértice total y un lado;
• La suma de los ángulos adyacentes es siempre de 180 grados o el número de PI si el cálculo se lleva a cabo en radianes;
• Los senos de ángulos adyacentes son siempre iguales;
• Los coseros y tangentes de ángulos adyacentes son iguales, pero tienen signos opuestos.

Cómo encontrar ángulos adyacentes

Se dan tres variaciones de las tareas para encontrar la magnitud de los ángulos adyacentes.

• Se da la magnitud del ángulo principal;
• Se da la proporción del ángulo principal y adyacente;
• Ángulo vertical de Dana.

Cada versión de la tarea tiene su propia solución. Considerarlos.

La magnitud del ángulo principal.

Si el ángulo principal se especifica en la tarea, entonces el ángulo adyacente es muy simple. Para hacer esto, es suficiente de 180 grados para restar la magnitud del ángulo principal, y recibirá el ángulo adyacente. Esta solución procede de las propiedades del ángulo adyacente: la suma de los ángulos adyacentes siempre es de 180 grados.

Si la magnitud del ángulo principal se da en radianes y en la tarea, se requiere encontrar un ángulo adyacente en radianes, entonces es necesario restar del número del ángulo principal, ya que la magnitud del ángulo total expandido de 180 grados es igual al número de PI.

La proporción del ángulo principal y adyacente.

El problema se puede administrar la proporción del ángulo principal y adyacente en lugar de grados y el radián de la magnitud del ángulo principal. En este caso, la solución se verá como la ecuación de proporción:

1. Indicamos la proporción del ángulo principal como la variable "Y".
2. La parte relacionada con el ángulo adyacente se conoce como la variable "X".
3. El número de grados que ocurren en cada proporción, denotamos, por ejemplo, "A".
4. La fórmula general se verá así: a * x + a * y \u003d 180 o a * (x + y) \u003d 180.
5. Encontramos el factor general de la ecuación "A" de acuerdo con la fórmula A \u003d 180 / (x + y).
6. Luego, el valor obtenido del factor general "A" se multiplica por un ángulo que debe determinarse.

Por lo tanto, podemos encontrar el tamaño del ángulo adyacente en grados. Sin embargo, si es necesario encontrar la cantidad en radianes, entonces solo necesita traducir títulos en radianes. Para hacer esto, multiplique un ángulo en grados al número PI y divida todos los 180 grados. El valor resultante será en radianes.

Valor de ángulo vertical

Si el problema no se le da el valor del ángulo principal, pero se da el valor del ángulo vertical, entonces el ángulo adyacente se puede calcular de acuerdo con la misma fórmula que en el primer párrafo donde se administra el ángulo principal.

El ángulo vertical es un ángulo que proviene del mismo punto que el principal, pero se dirige en una dirección estrictamente opuesta. Por lo tanto, resulta un reflejo de espejo. Esto significa que el ángulo vertical es igual al principal. A su vez, el ángulo adyacente del ángulo vertical es igual al ángulo adyacente del ángulo principal. Debido a esto, puede calcular el ángulo adyacente del ángulo principal. Para hacer esto, simplemente reste de 180 grados el valor de la vertical y obtenga el valor del ángulo adyacente del ángulo principal en grados.

Si se da el valor en radianes, entonces es necesario restar del número del valor del ángulo vertical, ya que la magnitud del ángulo total expandido de 180 grados es igual al número de PI.

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ángulo Antes de que se despliegue, es decir, igual a 180 °, por lo tanto, para encontrarlos, deducirlo de esto, el valor conocido del ángulo principal α₁ \u003d α₂ \u003d 180 °--α.

De esto hay. Si dos ángulos son simultáneamente y adyacentes, y iguales, entonces son rectos. Si uno de los ángulos adyacentes es directo, es decir, es de 90 grados, entonces otro ángulo también es recto. Si uno de los ángulos adyacentes es afilado, entonces el otro será contundente. De manera similar, si uno de los ángulos es estúpido, entonces el segundo, respectivamente, será agudo.

Un ángulo afilado es un grado de un grado de menos de 90 grados, pero más de 0. Un ángulo estúpido tiene un grado durante más de 90 grados, pero menos de 180.

Otra propiedad de ángulos adyacentes se formula de la siguiente manera: Si dos esquinas son iguales, entonces los ángulos, adyacentes a ellos, también son iguales. Es que si hay dos ángulos, el grado para el cual coincide (por ejemplo, es de 50 grados) y al mismo tiempo tiene un ángulo adyacente, los valores de estos ángulos adyacentes también coinciden (en el ejemplo de su La medida de grado será de 130 grados).

Fuentes:

• Gran Diccionario Enciclopédico - Corners Relacionados
• Ángulo de 180 grados

La palabra "" tiene varias interpretaciones. En el ángulo de geometría hay una parte de un plano delimitado por dos rayos que vienen de un punto: los vértices. Cuando se trata de ángulos directos, afilados, desplegados, se entienden los ángulos geométricos.

Como cualquier figura en la geometría, los ángulos se pueden comparar. La igualdad de ángulos está determinada por el movimiento. El ángulo es fácil de dividir en dos partes iguales. Es un poco más complicado dividir en tres partes, pero aún así esto se puede hacer usando un gobernante y la circulación. Por cierto, esta tarea parecía bastante difícil. Describa que un ángulo es mayor o menor que el otro, geométricamente fácil.

Como unidad de medida de ángulos, pasó - 1/180