Raíces racionales de una ecuación cuadrática. Ecuaciones cuadráticas. La guía completa (2019)

Seguimos estudiando el tema” resolviendo ecuaciones" Ya nos hemos familiarizado con las ecuaciones lineales y estamos pasando a familiarizarnos con ecuaciones cuadráticas.

Primero veremos qué es una ecuación cuadrática y cómo se escribe en vista general, y le daremos definiciones relacionadas. Después de esto, usaremos ejemplos para examinar en detalle cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas. A continuación, pasaremos a resolver ecuaciones completas, obtendremos la fórmula de la raíz, nos familiarizaremos con el discriminante de una ecuación cuadrática y consideraremos soluciones a ejemplos típicos. Finalmente, tracemos las conexiones entre las raíces y los coeficientes.

Navegación de páginas.

¿Qué es una ecuación cuadrática? sus tipos

Primero debes entender claramente qué es una ecuación cuadrática. Por lo tanto, es lógico iniciar una conversación sobre ecuaciones cuadráticas con la definición de ecuación cuadrática, así como las definiciones relacionadas. Después de esto, puedes considerar los tipos principales. ecuaciones cuadráticas: reducidas y no reducidas, así como ecuaciones completas e incompletas.

Definición y ejemplos de ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x 2 +b x+c=0, donde x es una variable, a, b y c son algunos números y a es distinto de cero.

Digamos de inmediato que las ecuaciones cuadráticas a menudo se denominan ecuaciones de segundo grado. Esto se debe a que la ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.

La definición dada nos permite dar ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Entonces 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Números a, b y c se llaman coeficientes de la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0, y el coeficiente a se llama el primero, o el más alto, o el coeficiente de x 2, b es el segundo coeficiente, o el coeficiente de x, y c es el término libre .

Por ejemplo, tomemos una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x −3=0, aquí el coeficiente principal es 5, el segundo coeficiente es igual a −2 y el término libre es igual a −3. Tenga en cuenta que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, como en el ejemplo que acabamos de dar, entonces forma corta escribir una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x−3=0, y no 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vale la pena señalar que cuando los coeficientes a y/o b son iguales a 1 o −1, generalmente no están presentes explícitamente en la ecuación cuadrática, lo que se debe a las peculiaridades de escribir tales . Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 −y+3=0 el coeficiente principal es uno y el coeficiente de y es igual a −1.

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.

Dependiendo del valor del coeficiente principal, se distinguen ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es 1 se llama dada la ecuación cuadrática. De lo contrario, la ecuación cuadrática es intacto.

De acuerdo a esta definición, ecuaciones cuadráticas x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, etc. – dado, en cada uno de ellos el primer coeficiente es igual a uno. A 5 x 2 −x−1=0,etc. - ecuaciones cuadráticas no reducidas, sus coeficientes principales son diferentes de 1.

De cualquier ecuación cuadrática no reducida, dividiendo ambos lados por el coeficiente principal, se puede pasar al reducido. Esta acción es una transformación equivalente, es decir, la ecuación cuadrática reducida obtenida de esta manera tiene las mismas raíces que la ecuación cuadrática original no reducida o, como ésta, no tiene raíces.

Veamos un ejemplo de cómo se realiza la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo.

De la ecuación 3 x 2 +12 x−7=0, pase a la ecuación cuadrática reducida correspondiente.

Solución.

Solo necesitamos dividir ambos lados de la ecuación original por el coeficiente principal 3, que no es cero, para que podamos realizar esta acción. Tenemos (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, que es lo mismo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, y luego (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de donde . Así obtuvimos la ecuación cuadrática reducida, que es equivalente a la original.

Respuesta:

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

La definición de ecuación cuadrática contiene la condición a≠0. Esta condición es necesaria para que la ecuación a x 2 + b x + c = 0 sea cuadrática, ya que cuando a = 0 en realidad se convierte en una ecuación lineal de la forma b x + c = 0.

En cuanto a los coeficientes b y c, pueden ser iguales a cero, tanto individualmente como juntos. En estos casos, la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición.

La ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes b, c es igual a cero.

A su momento

Definición.

Ecuación cuadrática completa es una ecuación en la que todos los coeficientes son diferentes de cero.

Estos nombres no fueron dados por casualidad. Esto quedará claro en las siguientes discusiones.

Si el coeficiente b es cero, entonces la ecuación cuadrática toma la forma a·x 2 +0·x+c=0, y es equivalente a la ecuación a·x 2 +c=0. Si c=0, es decir, la ecuación cuadrática tiene la forma a·x 2 +b·x+0=0, entonces se puede reescribir como a·x 2 +b·x=0. Y con b=0 y c=0 obtenemos la ecuación cuadrática a·x 2 =0. Las ecuaciones resultantes difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. De ahí su nombre: ecuaciones cuadráticas incompletas.

Entonces las ecuaciones x 2 +x+1=0 y −2 x 2 −5 x+0.2=0 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas, y x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

De la información del párrafo anterior se desprende que existe tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

a·x 2 =0, le corresponden los coeficientes b=0 yc=0;
a x 2 +c=0 cuando b=0 ;
y a·x 2 +b·x=0 cuando c=0.

Examinemos en orden cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas de cada uno de estos tipos.

a x 2 = 0

Comencemos resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas en las que los coeficientes b y c son iguales a cero, es decir, con ecuaciones de la forma a x 2 =0. La ecuación a·x 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0, que se obtiene de la original dividiendo ambas partes por un número a distinto de cero. Obviamente, la raíz de la ecuación x 2 =0 es cero, ya que 0 2 =0. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se explica por el hecho de que para cualquier número p distinto de cero se cumple la desigualdad p 2 >0, lo que significa que para p≠0 la igualdad p 2 =0 nunca se logra.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 =0 tiene una raíz única x=0.

Como ejemplo, damos la solución a la ecuación cuadrática incompleta −4 x 2 =0. Es equivalente a la ecuación x 2 =0, su única raíz es x=0, por lo tanto, la ecuación original tiene una sola raíz cero.

Una solución breve en este caso se puede escribir de la siguiente manera:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Ahora veamos cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas en las que el coeficiente b es cero y c≠0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 +c=0. Sabemos que mover un término de un lado de la ecuación al otro con el signo opuesto, así como dividir ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, da una ecuación equivalente. Por tanto, podemos realizar las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0:

mueva c al lado derecho, lo que da la ecuación a x 2 = −c,
y dividimos ambos lados por a, obtenemos .

La ecuación resultante nos permite sacar conclusiones sobre sus raíces. Dependiendo de los valores de a y c, el valor de la expresión puede ser negativo (por ejemplo, si a=1 y c=2, entonces ) o positivo (por ejemplo, si a=−2 y c=6, entonces ), no es cero , ya que por condición c≠0. Veamos los casos por separado.

Si , entonces la ecuación no tiene raíces. Esta afirmación se deriva del hecho de que el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. De esto se deduce que cuando , entonces para cualquier número p la igualdad no puede ser verdadera.

Si , entonces la situación con las raíces de la ecuación es diferente. En este caso, si recordamos aproximadamente , entonces la raíz de la ecuación inmediatamente se vuelve obvia; es el número, ya que . Es fácil adivinar que el número también es la raíz de la ecuación. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que puede demostrarse, por ejemplo, por contradicción. Vamos a hacerlo.

Denotemos las raíces de la ecuación que acabamos de anunciar como x 1 y −x 1. Supongamos que la ecuación tiene una raíz más x 2, diferente de las raíces indicadas x 1 y −x 1. Se sabe que sustituir sus raíces en una ecuación en lugar de x convierte la ecuación en una igualdad numérica correcta. Para x 1 y −x 1 tenemos , y para x 2 tenemos . Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten realizar restas término por término de igualdades numéricas correctas, por lo que restar las partes correspondientes de las igualdades da x 1 2 −x 2 2 =0. Las propiedades de las operaciones con números nos permiten reescribir la igualdad resultante como (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Sabemos que el producto de dos números es igual a cero si y sólo si al menos uno de ellos es igual a cero. Por lo tanto, de la igualdad resultante se deduce que x 1 −x 2 =0 y/o x 1 +x 2 =0, que es lo mismo, x 2 =x 1 y/o x 2 =−x 1. Entonces llegamos a una contradicción, ya que al principio dijimos que la raíz de la ecuación x 2 es diferente de x 1 y −x 1. Esto prueba que la ecuación no tiene más raíces que y .

Resumamos la información de este párrafo. La ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0 es equivalente a la ecuación que

no tiene raíces si,
tiene dos raíces y , si .

Consideremos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a·x 2 +c=0.

Comencemos con la ecuación cuadrática 9 x 2 +7=0. Después de mover el término libre al lado derecho de la ecuación, tomará la forma 9 x 2 = −7. Dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por 9, llegamos a . Dado que el lado derecho tiene un número negativo, esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la ecuación cuadrática incompleta original 9 x 2 +7 = 0 no tiene raíces.

Resolvamos otra ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0. Movemos el nueve hacia el lado derecho: −x 2 =−9. Ahora dividimos ambos lados por −1, obtenemos x 2 =9. En el lado derecho hay un número positivo, del cual concluimos que o . Luego escribimos la respuesta final: la ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0 tiene dos raíces x=3 o x=−3.

ax2+bx=0

Queda por abordar la solución del último tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas para c=0. Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a x 2 + b x = 0 te permiten resolver método de factorización. Evidentemente podemos, ubicado en el lado izquierdo de la ecuación, para lo cual basta con sacar de paréntesis el factor común x. Esto nos permite pasar de la ecuación cuadrática incompleta original a una ecuación equivalente de la forma x·(a·x+b)=0. Y esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones x=0 y a·x+b=0, la última de las cuales es lineal y tiene una raíz x=−b/a.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 +b·x=0 tiene dos raíces x=0 y x=−b/a.

Para consolidar el material, analizaremos la solución. ejemplo concreto.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Quitando x de los paréntesis se obtiene la ecuación. Es equivalente a dos ecuaciones x=0 y . Resolvemos la ecuación lineal resultante: y dividimos el número mixto entre fracción común, encontramos . Por tanto, las raíces de la ecuación original son x=0 y .

Después de adquirir la práctica necesaria, las soluciones a tales ecuaciones se pueden escribir brevemente:

Respuesta:

x=0 , .

Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Para resolver ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz. vamos a escribirlo fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática: , Dónde D=b 2 −4 a c- llamado discriminante de una ecuación cuadrática. La entrada esencialmente significa eso.

Es útil saber cómo se derivó la fórmula de la raíz y cómo se utiliza para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas. Resolvamos esto.

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Necesitamos resolver la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0. Realicemos algunas transformaciones equivalentes:

Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por un número a distinto de cero, lo que da como resultado la siguiente ecuación cuadrática.
Ahora resaltemos cuadrado perfecto en su lado izquierdo: . Después de esto, la ecuación tomará la forma.
En esta etapa, es posible transferir los dos últimos términos al lado derecho con el signo opuesto, tenemos .
Y transformemos también la expresión del lado derecho: .

Como resultado, llegamos a una ecuación que es equivalente a la ecuación cuadrática original a·x 2 +b·x+c=0.

Ya hemos resuelto ecuaciones de forma similar en los párrafos anteriores, cuando las examinamos. Esto nos permite sacar las siguientes conclusiones con respecto a las raíces de la ecuación:

si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales;
si , entonces la ecuación tiene la forma , por lo tanto , desde la cual su única raíz es visible;
si , entonces o , que es lo mismo que o , es decir, la ecuación tiene dos raíces.

Por tanto, la presencia o ausencia de raíces de la ecuación, y por tanto de la ecuación cuadrática original, depende del signo de la expresión del lado derecho. A su vez, el signo de esta expresión viene determinado por el signo del numerador, ya que el denominador 4·a 2 es siempre positivo, es decir, por el signo de la expresión b 2 −4·a·c. Esta expresión b 2 −4 a c se llamó discriminante de una ecuación cuadrática y designado por la letra D. A partir de aquí, la esencia del discriminante es clara: en función de su valor y signo, concluyen si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y, de ser así, cuál es su número: uno o dos.

Volvamos a la ecuación y reescribamosla usando la notación discriminante: . Y sacamos conclusiones:

si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
si D=0, entonces esta ecuación tiene una raíz única;
finalmente, si D>0, entonces la ecuación tiene dos raíces o, que se pueden reescribir en la forma o, y luego de expandir y llevar las fracciones a un denominador común obtenemos.

Entonces derivamos las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, se ven así, donde el discriminante D se calcula mediante la fórmula D=b 2 −4·a·c.

Con su ayuda, con un discriminante positivo, puedes calcular ambas raíces reales de una ecuación cuadrática. Cuando el discriminante es igual a cero, ambas fórmulas dan el mismo valor de la raíz, correspondiente a una solución única de la ecuación cuadrática. Y con un discriminante negativo, al intentar utilizar la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, nos enfrentamos a extraer la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos lleva más allá del alcance del currículo escolar. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, pero tiene un par complejo conjugado raíces, que se pueden encontrar usando las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz.

En la práctica, al resolver ecuaciones cuadráticas, puedes usar inmediatamente la fórmula raíz para calcular sus valores. Pero esto está más relacionado con encontrar raíces complejas.

Sin embargo, en un curso de álgebra escolar normalmente no hablamos de raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. En este caso, es recomendable, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, encontrar primero el discriminante, asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, podemos concluir que la ecuación no tiene raíces reales), y solo entonces calcular los valores de las raíces.

El razonamiento anterior nos permite escribir algoritmo para resolver una ecuación cuadrática. Para resolver la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, necesitas:

utilizando la fórmula discriminante D=b 2 −4·a·c, calcule su valor;
concluir que una ecuación cuadrática no tiene raíces reales si el discriminante es negativo;
calcular la única raíz de la ecuación usando la fórmula si D=0;
encontrar dos raíces reales de una ecuación cuadrática usando la fórmula de la raíz si el discriminante es positivo.

Aquí solo observamos que si el discriminante es igual a cero, también puedes usar la fórmula; te dará el mismo valor que .

Puede pasar a ejemplos de uso del algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Consideremos soluciones a tres ecuaciones cuadráticas con un discriminante positivo, negativo y cero. Habiendo entendido su solución, por analogía será posible resolver cualquier otra ecuación cuadrática. Vamos a empezar.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +2·x−6=0.

Solución.

En este caso, tenemos los siguientes coeficientes de la ecuación cuadrática: a=1, b=2 y c=−6. Según el algoritmo, primero es necesario calcular el discriminante, para ello sustituimos los indicados a, b y c en la fórmula discriminante, tenemos D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Como 28>0, es decir, el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz, obtenemos , aquí puedes simplificar las expresiones resultantes haciendo moviendo el multiplicador más allá del signo raíz seguido de la reducción de la fracción:

Respuesta:

Pasemos al siguiente ejemplo típico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solución.

Empezamos encontrando el discriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene una única raíz, que encontramos como , es decir,

Respuesta:

x=3,5.

Queda por considerar la resolución de ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación 5·y 2 +6·y+2=0.

Solución.

Aquí están los coeficientes de la ecuación cuadrática: a=5, b=6 y c=2. Sustituimos estos valores en la fórmula discriminante, tenemos D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. El discriminante es negativo, por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales.

Si necesita indicar raíces complejas, aplicamos la conocida fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática y realizamos operaciones con números complejos:

Respuesta:

no existen raíces reales, las raíces complejas son: .

Notemos una vez más que si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, entonces en la escuela generalmente escriben inmediatamente una respuesta en la que indican que no hay raíces reales y que no se encuentran raíces complejas.

Fórmula raíz para segundos coeficientes pares

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, donde D=b 2 −4·a·c te permite obtener una fórmula de una forma más compacta, permitiéndote resolver ecuaciones cuadráticas con un coeficiente par para x (o simplemente con un coeficiente que tiene la forma 2·n, por ejemplo, o 14· ln5=2·7·ln5 ). Saquémosla.

Digamos que necesitamos resolver una ecuación cuadrática de la forma a x 2 +2 n x+c=0. Encontremos sus raíces usando la fórmula que conocemos. Para ello calculamos el discriminante. D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), y luego usamos la fórmula raíz:

Denotemos la expresión n 2 −a c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 n tomará la forma , donde D 1 =n 2 −a·c.

Es fácil ver que D=4·D 1, o D 1 =D/4. En otras palabras, D 1 es la cuarta parte del discriminante. Está claro que el signo de D 1 es el mismo que el signo de D . Es decir, el signo D 1 también es un indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.

Entonces, para resolver una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente 2·n, necesitas

Calcular D 1 =n 2 −a·c ;
Si D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Si D 1 =0, entonces calcule la única raíz de la ecuación usando la fórmula;
Si D 1 >0, entonces encuentre dos raíces reales usando la fórmula.

Consideremos resolver el ejemplo usando la fórmula raíz obtenida en este párrafo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática 5 x 2 −6 x −32=0 .

Solución.

El segundo coeficiente de esta ecuación se puede representar como 2·(−3). Es decir, puedes reescribir la ecuación cuadrática original en la forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aquí a=5, n=−3 y c=−32, y calcular la cuarta parte de la discriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Como su valor es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz adecuada:

Tenga en cuenta que era posible utilizar la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso sería necesario realizar más trabajo computacional.

Respuesta:

Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces, antes de empezar a calcular las raíces de una ecuación cuadrática mediante fórmulas, no está de más hacerse la pregunta: “¿Es posible simplificar la forma de esta ecuación?” Acepte que en términos de cálculos será más fácil resolver la ecuación cuadrática 11 x 2 −4 x−6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0.

Normalmente, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se logra multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, en el párrafo anterior se pudo simplificar la ecuación 1100 x 2 −400 x −600=0 dividiendo ambos lados entre 100.

Una transformación similar se lleva a cabo con ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes no lo son. En este caso, ambos lados de la ecuación suelen dividirse por los valores absolutos de sus coeficientes. Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 12 x 2 −42 x+48=0. valores absolutos de sus coeficientes: MCD(12, 42, 48)= MCD(MCD(12, 42), 48)= MCD(6, 48)=6. Dividiendo ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6, llegamos a la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 −7 x+8=0.

Y normalmente se multiplican ambos lados de una ecuación cuadrática para deshacerse de los coeficientes fraccionarios. En este caso, la multiplicación se realiza por los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si ambos lados de la ecuación cuadrática se multiplican por MCM(6, 3, 1)=6, entonces tomará la forma más simple x 2 +4·x−18=0.

Como conclusión de este punto, observamos que casi siempre eliminan el menos en el coeficiente más alto de una ecuación cuadrática cambiando los signos de todos los términos, lo que corresponde a multiplicar (o dividir) ambos lados por −1. Por ejemplo, normalmente uno pasa de la ecuación cuadrática −2 x 2 −3 x+7=0 a la solución 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática

La fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes. Con base en la fórmula de la raíz, puedes obtener otras relaciones entre raíces y coeficientes.

Las fórmulas más conocidas y aplicables del teorema de Vieta son de la forma y. En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, al observar la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 −7 x + 22 = 0, podemos decir inmediatamente que la suma de sus raíces es igual a 7/3 y el producto de las raíces es igual a 22. /3.

Usando las fórmulas ya escritas, puede obtener otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Por ejemplo, puedes expresar la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática a través de sus coeficientes: .

Bibliografía.

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Justo. Según fórmulas y reglas claras y sencillas. En la primera etapa

es necesario llevar la ecuación dada a una forma estándar, es decir a la forma:

Si ya se le ha proporcionado la ecuación en este formulario, no es necesario que realice la primera etapa. Lo más importante es hacerlo bien.

determinar todos los coeficientes, A, b Y C.

Fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante . Como puedes ver, para encontrar X, tenemos

usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de ecuación cuadrática. Simplemente colóquelo con cuidado

valores a, b y c Calculamos en esta fórmula. Sustituimos con su¡señales!

Por ejemplo, en la ecuación:

A =1; b = 3; C = -4.

Sustituimos los valores y escribimos:

El ejemplo está casi resuelto:

Esta es la respuesta.

Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b Y Con. O mejor dicho, con sustitución

valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Una grabación detallada de la fórmula viene al rescate aquí.

con números específicos. Si tienes problemas con los cálculos, ¡hazlo!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; b = -5; C = -1

Te lo describimos todo detalladamente, con cuidado, sin perdernos nada con todas las señales y paréntesis:

Las ecuaciones cuadráticas a menudo se ven ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores.

Primera cita. No seas perezoso antes resolviendo una ecuación cuadrática llevarlo a la forma estándar.

¿Qué quiere decir esto?

Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c.

Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:

Deshazte del menos. ¿Cómo? Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo.

Decide por ti mismo. Ahora deberías tener las raíces 2 y -1.

Recepción segunda.¡Comprueba las raíces! Por teorema de vieta.

Para resolver las ecuaciones cuadráticas dadas, es decir si el coeficiente

x 2 +bx+c=0,

Entoncesx 1 x 2 = c

x 1 +x 2 =-b

Para una ecuación cuadrática completa en la que a≠1:

x2 +bx+C=0,

dividir toda la ecuación por A:

→ →

Dónde x1 Y X 2 - raíces de la ecuación.

Recepción tercero. Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplicar

ecuación con denominador común.

Conclusión. Consejo practico:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos. Bien.

2. Si delante de la X al cuadrado hay un coeficiente negativo, lo eliminamos multiplicando todo

ecuaciones por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el correspondiente

factor.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente mediante

Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios y a ≠ 0.

Antes de estudiar métodos de solución específicos, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:

No tener raíces;
Tener exactamente una raíz;
Tienen dos raíces diferentes.

Esta es una diferencia importante entre ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.

discriminante

Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.

Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:

Si D< 0, корней нет;
Si D = 0, hay exactamente una raíz;
Si D > 0, habrá dos raíces.

Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:

Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?

x2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

El discriminante es cero; la raíz será uno.

Tenga en cuenta que se han escrito coeficientes para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.

Raíces de una ecuación cuadrática

Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:

Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.

Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:

Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]

Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

x2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:

La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.

Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.

Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:

desde la aritmética Raíz cuadrada existe sólo a partir de un número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:

Si en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0 se satisface la desigualdad (−c /a) ≥ 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
Si (−c/a)< 0, корней нет.

Como puede ver, no se requería el discriminante: en ecuaciones cuadráticas incompletas no hay cálculos complejos. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:

Sacando el factor común de paréntesis

El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:

Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:

x2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Continuando con el tema “Resolver ecuaciones”, el material de este artículo le presentará las ecuaciones cuadráticas.

Veamos todo en detalle: la esencia y notación de una ecuación cuadrática, definamos los términos que la acompañan, analicemos el esquema para resolver ecuaciones completas e incompletas, nos familiaricemos con la fórmula de raíces y el discriminante, establezcamos conexiones entre raíces y coeficientes. y por supuesto daremos una solución visual a ejemplos prácticos.

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Ecuación cuadrática, sus tipos.

Definición 1

Ecuación cuadrática es una ecuación escrita como a x 2 + b x + c = 0, Dónde X– variable, a, b y C– algunos números, mientras a no es cero.

A menudo, las ecuaciones cuadráticas también se denominan ecuaciones de segundo grado, ya que en esencia una ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.

Pongamos un ejemplo para ilustrar la definición dada: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.

Definición 2

Números a, b y C son los coeficientes de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, mientras que el coeficiente a se llama el primero, o mayor, o coeficiente en x 2, b - el segundo coeficiente, o coeficiente en X, A C llamado miembro gratuito.

Por ejemplo, en la ecuación cuadrática 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 el coeficiente principal es 6, el segundo coeficiente es − 2 , y el término libre es igual a − 11 . Prestemos atención al hecho de que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, entonces se utiliza una forma corta de la forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, pero no 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Aclaremos también este aspecto: si los coeficientes a y/o b igual 1 o − 1 , entonces es posible que no participen explícitamente en la redacción de la ecuación cuadrática, lo que se explica por las peculiaridades de escribir los coeficientes numéricos indicados. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 − y + 7 = 0 el coeficiente principal es 1 y el segundo coeficiente es − 1 .

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.

Según el valor del primer coeficiente, las ecuaciones cuadráticas se dividen en reducidas y no reducidas.

Definición 3

Ecuación cuadrática reducida es una ecuación cuadrática donde el coeficiente principal es 1. Para otros valores del coeficiente principal, la ecuación cuadrática no está reducida.

Pongamos ejemplos: ecuaciones cuadráticas x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 se reducen, en cada una de las cuales el coeficiente principal es 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- ecuación cuadrática no reducida, donde el primer coeficiente es diferente de 1 .

Cualquier ecuación cuadrática no reducida se puede convertir en una ecuación reducida dividiendo ambos lados por el primer coeficiente (transformación equivalente). La ecuación transformada tendrá las mismas raíces que la ecuación no reducida dada o tampoco tendrá ninguna raíz.

La consideración de un ejemplo específico nos permitirá demostrar claramente la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo 1

Dada la ecuación 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Es necesario convertir la ecuación original a la forma reducida.

Solución

Según el esquema anterior, dividimos ambos lados de la ecuación original por el coeficiente principal 6. Entonces obtenemos: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, y esto es lo mismo que: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 y además: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aquí: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Se obtiene así una ecuación equivalente a la dada.

Respuesta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

Pasemos a la definición de ecuación cuadrática. En él especificamos que un ≠ 0. Una condición similar es necesaria para la ecuación. a x 2 + b x + c = 0 era precisamente cuadrado, ya que en un = 0 esencialmente se transforma en una ecuación lineal segundo x + c = 0.

En el caso de que los coeficientes b Y C son iguales a cero (lo cual es posible, tanto individualmente como en conjunto), la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición 4

Ecuación cuadrática incompleta- tal ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, donde al menos uno de los coeficientes b Y C(o ambos) es cero.

Ecuación cuadrática completa– una ecuación cuadrática en la que todos los coeficientes numéricos no son iguales a cero.

Analicemos por qué los tipos de ecuaciones cuadráticas reciben exactamente estos nombres.

Cuando b = 0, la ecuación cuadrática toma la forma a x 2 + 0 x + c = 0, que es lo mismo que a x 2 + c = 0. En c = 0 la ecuación cuadrática se escribe como a x 2 + b x + 0 = 0, que es equivalente a x 2 + b x = 0. En segundo = 0 Y c = 0 la ecuación tomará la forma a x 2 = 0. Las ecuaciones que obtuvimos se diferencian de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. En realidad, este hecho dio el nombre a este tipo de ecuación: incompleta.

Por ejemplo, x 2 + 3 x + 4 = 0 y − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 son ecuaciones cuadráticas completas; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

La definición dada anteriormente permite distinguir los siguientes tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

a x 2 = 0, esta ecuación corresponde a los coeficientes segundo = 0 y c = 0;
a · x 2 + c = 0 en b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 en c = 0.

Consideremos secuencialmente la solución de cada tipo de ecuación cuadrática incompleta.

Solución de la ecuación a x 2 =0

Como se mencionó anteriormente, esta ecuación corresponde a los coeficientes b Y C, igual a cero. La ecuacion a x 2 = 0 se puede convertir en una ecuación equivalente x2 = 0, que obtenemos dividiendo ambos lados de la ecuación original por el número a, no igual a cero. El hecho obvio es que la raíz de la ecuación x2 = 0 esto es cero porque 0 2 = 0 . Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que puede explicarse por las propiedades del grado: para cualquier número pag, no es igual a cero, la desigualdad es verdadera pag 2 > 0, de lo que se deduce que cuando pag ≠ 0 igualdad pag 2 = 0 nunca se logrará.

Definición 5

Por tanto, para la ecuación cuadrática incompleta a x 2 = 0 existe una raíz única x = 0.

Ejemplo 2

Por ejemplo, resolvamos una ecuación cuadrática incompleta. − 3 x 2 = 0. Es equivalente a la ecuación x2 = 0, su única raíz es x = 0, entonces la ecuación original tiene una raíz única: cero.

Brevemente, la solución se escribe de la siguiente manera:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Resolviendo la ecuación a x 2 + c = 0

La siguiente en la fila es la solución de ecuaciones cuadráticas incompletas, donde b = 0, c ≠ 0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 + c = 0. Transformemos esta ecuación moviendo un término de un lado de la ecuación al otro, cambiando el signo al opuesto y dividiendo ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero:

transferir C al lado derecho, lo que da la ecuación una x 2 = - c;
dividir ambos lados de la ecuación por a, terminamos con x = - c a .

Nuestras transformaciones son equivalentes, en consecuencia, la ecuación resultante también es equivalente a la original, y este hecho permite sacar conclusiones sobre las raíces de la ecuación. De cuáles son los valores a Y C el valor de la expresión - c a depende: puede tener un signo menos (por ejemplo, si un = 1 Y c = 2, entonces - c a = - 2 1 = - 2) o un signo más (por ejemplo, si un = - 2 Y c = 6, entonces - c a = - 6 - 2 = 3); no es cero porque c ≠ 0. Detengámonos con más detalle en situaciones en las que - c a< 0 и - c a > 0 .

En el caso cuando - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа pag la igualdad p 2 = - c a no puede ser cierta.

Todo es diferente cuando - c a > 0: recuerda la raíz cuadrada, y resultará obvio que la raíz de la ecuación x 2 = - c a será el número - c a, ya que - c a 2 = - c a. No es difícil entender que el número - - c a es también la raíz de la ecuación x 2 = - c a: de hecho, - - c a 2 = - c a.

La ecuación no tendrá otras raíces. Podemos demostrar esto usando el método de la contradicción. Para empezar, definamos las notaciones para las raíces encontradas arriba como x1 Y −x1. Supongamos que la ecuación x 2 = - c a también tiene raíz x2, que es diferente de las raíces x1 Y −x1. Sabemos que sustituyendo en la ecuación X sus raíces, transformamos la ecuación en una igualdad numérica justa.

Para x1 Y −x1 escribimos: x 1 2 = - c a , y para x2- x 2 2 = - c a . Basándonos en las propiedades de las igualdades numéricas, restamos una igualdad correcta término por término de otra, lo que nos dará: x 1 2 − x 2 2 = 0. Usamos las propiedades de las operaciones con números para reescribir la última igualdad como (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se sabe que el producto de dos números es cero si y sólo si al menos uno de los números es cero. De lo anterior se deduce que x 1 − x 2 = 0 y/o x1 + x2 = 0, que es lo mismo x2 = x1 y/o x 2 = - x 1. Surgió una contradicción obvia, porque al principio se acordó que la raíz de la ecuación x2 difiere de x1 Y −x1. Entonces, hemos demostrado que la ecuación no tiene más raíces que x = - c a y x = - - c a.

Resumamos todos los argumentos anteriores.

Definición 6

Ecuación cuadrática incompleta a x 2 + c = 0 es equivalente a la ecuación x 2 = - c a, la cual:

no tendrá raíces en - c a< 0 ;
tendrá dos raíces x = - c a y x = - - c a para - c a > 0.

Demos ejemplos de resolución de ecuaciones. a x 2 + c = 0.

Ejemplo 3

Dada una ecuación cuadrática 9 x 2 + 7 = 0. Es necesario encontrar una solución.

Solución

Movamos el término libre al lado derecho de la ecuación, entonces la ecuación tomará la forma 9 x 2 = − 7.
Dividamos ambos lados de la ecuación resultante por 9 , llegamos a x 2 = - 7 9 . En el lado derecho vemos un número con un signo menos, lo que significa: la ecuación dada no tiene raíces. Entonces la ecuación cuadrática original incompleta 9 x 2 + 7 = 0 no tendrá raíces.

Respuesta: la ecuacion 9 x 2 + 7 = 0 no tiene raíces.

Ejemplo 4

La ecuación debe ser resuelta. − x 2 + 36 = 0.

Solución

Movamos 36 hacia el lado derecho: − x 2 = − 36.
Dividamos ambas partes por − 1 , obtenemos x2 = 36. En el lado derecho hay un número positivo, del cual podemos concluir que x = 36 o x = - 36 .
Extraigamos la raíz y anotemos el resultado final: ecuación cuadrática incompleta − x 2 + 36 = 0 tiene dos raíces x=6 o x = - 6.

Respuesta: x=6 o x = - 6.

Solución de la ecuación a x 2 +b x=0

Analicemos el tercer tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando c = 0. Para encontrar una solución a una ecuación cuadrática incompleta a x 2 + b x = 0, usaremos el método de factorización. Factoricemos el polinomio que está en el lado izquierdo de la ecuación, quitando el factor común de paréntesis X. Este paso permitirá transformar la ecuación cuadrática incompleta original en su equivalente x (a x + b) = 0. Y esta ecuación, a su vez, equivale a un conjunto de ecuaciones x = 0 Y ax + b = 0. La ecuacion ax + b = 0 lineal y su raíz: x = − segundo un.

Definición 7

Por tanto, la ecuación cuadrática incompleta a x 2 + b x = 0 tendrá dos raíces x = 0 Y x = − segundo un.

Reforcemos el material con un ejemplo.

Ejemplo 5

Es necesario encontrar una solución a la ecuación 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solución

lo sacaremos X fuera de los corchetes obtenemos la ecuación x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Esta ecuación es equivalente a las ecuaciones x = 0 y 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ahora debes resolver la ecuación lineal resultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Escriba brevemente la solución de la ecuación de la siguiente manera:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Respuesta: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Para encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz:

Definición 8

x = - b ± D 2 · a, donde re = segundo 2 − 4 a c– el llamado discriminante de una ecuación cuadrática.

Escribir x = - b ± D 2 · a esencialmente significa que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sería útil comprender cómo se derivó esta fórmula y cómo aplicarla.

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Enfrentémonos a la tarea de resolver una ecuación cuadrática. a x 2 + b x + c = 0. Realicemos una serie de transformaciones equivalentes:

dividir ambos lados de la ecuación por un número a, distinto de cero, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Seleccionemos el cuadrado completo en el lado izquierdo de la ecuación resultante:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c un
Después de esto, la ecuación tomará la forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Ahora es posible trasladar los dos últimos términos al lado derecho, cambiando el signo al contrario, tras lo cual obtenemos: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Finalmente, transformamos la expresión escrita al lado derecho de la última igualdad:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Así, llegamos a la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente a la ecuación original a x 2 + b x + c = 0.

Examinamos la solución de tales ecuaciones en los párrafos anteriores (resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas). La experiencia ya adquirida permite sacar una conclusión sobre las raíces de la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

con b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
cuando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 la ecuación es x + b 2 · a 2 = 0, entonces x + b 2 · a = 0.

Desde aquí la única raíz x = - b 2 · a es obvia;

para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, se cumplirá lo siguiente: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , que es lo mismo que x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , es decir la ecuación tiene dos raíces.

Es posible concluir que la presencia o ausencia de raíces de la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (y por tanto de la ecuación original) depende del signo de la expresión b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 escrito en el lado derecho. Y el signo de esta expresión viene dado por el signo del numerador, (denominador 4 un 2 siempre será positivo), es decir, el signo de la expresión segundo 2 - 4 a c. Esta expresión segundo 2 - 4 a c se da el nombre: el discriminante de la ecuación cuadrática y la letra D se define como su designación. Aquí puede escribir la esencia del discriminante: en función de su valor y signo, pueden concluir si la ecuación cuadrática tendrá raíces reales y, de ser así, cuál es el número de raíces: una o dos.

Volvamos a la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Reescribámoslo usando notación discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulemos nuevamente nuestras conclusiones:

Definición 9

en D< 0 la ecuación no tiene raíces reales;
en D=0 la ecuación tiene una sola raíz x = - b 2 · a ;
en D > 0 la ecuación tiene dos raíces: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 o x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Según las propiedades de los radicales, estas raíces se pueden escribir en la forma: x = - b 2 · a + D 2 · a o - b 2 · a - D 2 · a. Y, cuando abrimos los módulos y llevamos las fracciones a un denominador común, obtenemos: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Entonces, el resultado de nuestro razonamiento fue la derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calculado por la fórmula re = segundo 2 − 4 a c.

Estas fórmulas permiten determinar ambas raíces reales cuando el discriminante es mayor que cero. Cuando el discriminante es cero, la aplicación de ambas fórmulas dará como única solución la misma raíz a la ecuación cuadrática. En el caso de que el discriminante sea negativo, si intentamos utilizar la fórmula de la raíz cuadrática, nos enfrentaremos a la necesidad de sacar la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos llevará más allá del ámbito de los números reales. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tendrá raíces reales, pero es posible un par de raíces conjugadas complejas, determinadas por las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz.

Es posible resolver una ecuación cuadrática usando inmediatamente la fórmula de la raíz, pero esto generalmente se hace cuando es necesario encontrar raíces complejas.

En la mayoría de los casos, esto generalmente significa buscar no raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. Entonces lo óptimo, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, es determinar primero el discriminante y asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, concluiremos que la ecuación no tiene raíces reales), y luego proceder a calcular el valor de las raíces.

El razonamiento anterior permite formular un algoritmo para resolver una ecuación cuadrática.

Definición 10

Para resolver una ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, necesario:

según la fórmula re = segundo 2 − 4 a c encontrar el valor discriminante;
en D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
para D = 0, encuentre la única raíz de la ecuación usando la fórmula x = - b 2 · a ;
para D > 0, determine dos raíces reales de la ecuación cuadrática usando la fórmula x = - b ± D 2 · a.

Tenga en cuenta que cuando el discriminante es cero, puede usar la fórmula x = - b ± D 2 · a, dará el mismo resultado que la fórmula x = - b 2 · a.

Veamos ejemplos.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Demos una solución a los ejemplos de diferentes significados discriminante.

Ejemplo 6

Necesitamos encontrar las raíces de la ecuación. x 2 + 2 x - 6 = 0.

Solución

Anotemos los coeficientes numéricos de la ecuación cuadrática: a = 1, b = 2 y c = - 6. A continuación procedemos según el algoritmo, es decir. Empecemos a calcular el discriminante, por el que sustituiremos los coeficientes a, b Y C en la fórmula discriminante: re = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Entonces obtenemos D > 0, lo que significa que la ecuación original tendrá dos raíces reales.
Para encontrarlos utilizamos la fórmula raíz x = - b ± D 2 · a y, sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos: x = - 2 ± 28 2 · 1. Simplifiquemos la expresión resultante quitando el factor del signo de la raíz y luego reduciendo la fracción:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7

Respuesta: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Ejemplo 7

Necesidad de resolver una ecuación cuadrática. − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solución

Definamos el discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Con este valor del discriminante, la ecuación original tendrá una sola raíz, determinada por la fórmula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Respuesta: x = 3,5.

Ejemplo 8

La ecuación debe ser resuelta. 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Solución

Los coeficientes numéricos de esta ecuación serán: a = 5, b = 6 y c = 2. Usamos estos valores para encontrar el discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4. El discriminante calculado es negativo, por lo que la ecuación cuadrática original no tiene raíces reales.

En el caso de que la tarea sea indicar raíces complejas, aplicamos la fórmula de la raíz, realizando acciones con números complejos:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 yo 10 o x = - 6 - 2 yo 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i o x = - 3 5 - 1 5 · i.

Respuesta: no hay raíces reales; las raíces complejas son las siguientes: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

EN currículum escolar No existe un requisito estándar para buscar raíces complejas, por lo tanto, si durante la solución se determina que el discriminante es negativo, inmediatamente se anota la respuesta de que no existen raíces reales.

Fórmula raíz para segundos coeficientes pares

La fórmula raíz x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permite obtener otra fórmula, más compacta, que permite encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas con coeficiente par para x ( o con un coeficiente de la forma 2 · n, por ejemplo, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Muestremos cómo se deriva esta fórmula.

Enfrentémonos a la tarea de encontrar una solución a la ecuación cuadrática a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedemos según el algoritmo: determinamos el discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), y luego usamos la fórmula raíz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Denotemos la expresión n 2 − a · c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 · n tomará la forma:

x = - n ± D 1 a, donde D 1 = n 2 − a · c.

Es fácil ver que D = 4 · D 1, o D 1 = D 4. En otras palabras, D 1 es una cuarta parte del discriminante. Obviamente, el signo de D 1 es el mismo que el signo de D, lo que significa que el signo de D 1 también puede servir como indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.

Definición 11

Por tanto, para encontrar una solución a una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente de 2 n, es necesario:

encontrar D 1 = n 2 − a · c ;
en D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
cuando D 1 = 0, determine la única raíz de la ecuación usando la fórmula x = - n a;
para D 1 > 0, determine dos raíces reales usando la fórmula x = - n ± D 1 a.

Ejemplo 9

Es necesario resolver la ecuación cuadrática 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solución

Podemos representar el segundo coeficiente de la ecuación dada como 2 · (− 3) . Luego reescribimos la ecuación cuadrática dada como 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, donde a = 5, n = − 3 y c = − 32.

Calculemos la cuarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. El valor resultante es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos raíces reales. Determinemoslos usando la fórmula raíz correspondiente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 o x = - 2

Sería posible realizar cálculos utilizando la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso la solución sería más engorrosa.

Respuesta: x = 3 1 5 o x = - 2 .

Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces es posible optimizar la forma de la ecuación original, lo que simplificará el proceso de cálculo de las raíces.

Por ejemplo, la ecuación cuadrática 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 es claramente más conveniente de resolver que 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Más a menudo, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se lleva a cabo multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, arriba mostramos una representación simplificada de la ecuación 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtenida dividiendo ambos lados por 100.

Esta transformación es posible cuando los coeficientes de la ecuación cuadrática no son números coprimos. Entonces normalmente dividimos ambos lados de la ecuación por el mayor común divisor valores absolutos de sus coeficientes.

Como ejemplo, usamos la ecuación cuadrática 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Determinemos el MCD de los valores absolutos de sus coeficientes: MCD (12, 42, 48) = MCD(MCD (12, 42), 48) = MCD (6, 48) = 6. Dividamos ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6 y obtengamos la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Al multiplicar ambos lados de una ecuación cuadrática, normalmente te deshaces de los coeficientes fraccionarios. En este caso, se multiplican por el mínimo común múltiplo de los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si cada parte de la ecuación cuadrática 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 se multiplica por MCM (6, 3, 1) = 6, entonces se escribirá en más en forma sencilla x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Finalmente, observamos que casi siempre nos deshacemos del menos en el primer coeficiente de una ecuación cuadrática cambiando los signos de cada término de la ecuación, lo que se logra multiplicando (o dividiendo) ambos lados por − 1. Por ejemplo, de la ecuación cuadrática − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puedes pasar a su versión simplificada 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relación entre raíces y coeficientes

La fórmula para las raíces de ecuaciones cuadráticas, que ya conocemos, x = - b ± D 2 · a, expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes numéricos. Basándonos en esta fórmula, tenemos la oportunidad de especificar otras dependencias entre las raíces y los coeficientes.

La fórmula más famosa y aplicable es el teorema de Vieta:

x 1 + x 2 = - b a y x 2 = c a.

En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es el segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, al observar la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, es posible determinar inmediatamente que la suma de sus raíces es 7 3 y el producto de las raíces es 22 3.

También puedes encontrar otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Por ejemplo, la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática se puede expresar en términos de coeficientes:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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EN sociedad moderna la capacidad de realizar operaciones con ecuaciones que contienen una variable al cuadrado puede resultar útil en muchas áreas de actividad y se utiliza ampliamente en la práctica en los desarrollos científicos y técnicos. Prueba de ello se puede encontrar en el diseño de embarcaciones marítimas y fluviales, aviones y misiles. Usando tales cálculos, las trayectorias de movimiento de los más diferentes cuerpos, incluidos los objetos espaciales. Los ejemplos con solución de ecuaciones cuadráticas se utilizan no solo en la previsión económica, en el diseño y construcción de edificios, sino también en las circunstancias cotidianas más comunes. Pueden ser necesarios en excursiones de senderismo, en eventos deportivos, en las tiendas a la hora de realizar compras y en otras situaciones muy habituales.

Dividamos la expresión en sus factores componentes.

El grado de la ecuación se determina. valor máximo grado de la variable que contiene esta expresión. Si es igual a 2, entonces dicha ecuación se llama cuadrática.

Si hablamos en el lenguaje de las fórmulas, entonces las expresiones indicadas, sin importar cómo se vean, siempre pueden adoptar la forma cuando el lado izquierdo de la expresión consta de tres términos. Entre ellos: ax 2 (es decir, una variable al cuadrado con su coeficiente), bx (una incógnita sin cuadrado con su coeficiente) y c (una componente libre, es decir numero regular). Todo esto en el lado derecho es igual a 0. En el caso de que a dicho polinomio le falte uno de sus términos constituyentes, con excepción de ax 2, se le llama ecuación cuadrática incompleta. Primero se deben considerar ejemplos con la solución de tales problemas, cuyos valores de las variables son fáciles de encontrar.

Si parece que la expresión tiene dos términos en el lado derecho, más precisamente ax 2 y bx, la forma más fácil de encontrar x es poniendo la variable entre paréntesis. Ahora nuestra ecuación se verá así: x(ax+b). A continuación, resulta obvio que x=0 o el problema se reduce a encontrar una variable a partir de la siguiente expresión: ax+b=0. Esto viene dictado por una de las propiedades de la multiplicación. La regla establece que el producto de dos factores da como resultado 0 sólo si uno de ellos es cero.

Ejemplo

x=0 o 8x - 3 = 0

Como resultado, obtenemos dos raíces de la ecuación: 0 y 0,375.

Ecuaciones de este tipo pueden describir el movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad, que comenzaron a moverse desde un determinado punto tomado como origen de coordenadas. Aquí la notación matemática toma la siguiente forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Sustituyendo los valores necesarios, igualando el lado derecho a 0 y encontrando posibles incógnitas, puedes averiguar el tiempo que pasa desde que el cuerpo sube hasta que cae, así como muchas otras cantidades. Pero hablaremos de esto más tarde.

Factorizar una expresión

La regla descrita anteriormente permite resolver estos problemas de forma más casos difíciles. Veamos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas de este tipo.

X 2 - 33x + 200 = 0

Este trinomio cuadrático Esta completo. Primero, transformemos la expresión y factoricémosla. Hay dos: (x-8) y (x-25) = 0. Como resultado, tenemos dos raíces 8 y 25.

Los ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas en el noveno grado permiten que este método encuentre una variable en expresiones no solo de segundo, sino incluso de tercer y cuarto orden.

Por ejemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Al factorizar el lado derecho en factores con una variable, hay tres, es decir, (x+1), (x-3) y (x+ 3).

Como resultado, resulta obvio que esta ecuación tiene tres raíces: -3; -1; 3.

Raíz cuadrada

Otro caso ecuación incompleta el segundo orden es una expresión representada en el lenguaje de las letras de tal manera que el lado derecho se construye a partir de los componentes ax 2 y c. Aquí, para obtener el valor de la variable, el término libre se transfiere a lado derecho, y luego se toma la raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad. Cabe señalar que en en este caso Generalmente hay dos raíces de la ecuación. Las únicas excepciones pueden ser las igualdades que no contienen ningún término con, donde la variable es igual a cero, así como variantes de expresiones cuando el lado derecho resulta negativo. En este último caso, no hay solución alguna, ya que las acciones anteriores no se pueden realizar con raíces. Deben considerarse ejemplos de soluciones a ecuaciones cuadráticas de este tipo.

En este caso, las raíces de la ecuación serán los números -4 y 4.

Cálculo de la superficie terrestre.

La necesidad de este tipo de cálculos apareció en la antigüedad, porque el desarrollo de las matemáticas en aquellos tiempos lejanos estuvo determinado en gran medida por la necesidad de determinar con la mayor precisión las áreas y perímetros de las parcelas de tierra.

También deberíamos considerar ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas basadas en problemas de este tipo.

Entonces, digamos que hay un terreno rectangular, cuya longitud es 16 metros mayor que su ancho. Debes encontrar el largo, ancho y perímetro del sitio si sabes que su área es de 612 m2.

Para comenzar, primero creemos la ecuación necesaria. Denotemos por x el ancho del área, luego su longitud será (x+16). De lo escrito se deduce que el área está determinada por la expresión x(x+16), que, según las condiciones de nuestro problema, es 612. Esto significa que x(x+16) = 612.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas, y esta expresión es exactamente eso, no se puede hacer de la misma manera. ¿Por qué? Aunque el lado izquierdo todavía contiene dos factores, su producto no es igual a 0 en absoluto, por lo que aquí se utilizan métodos diferentes.

discriminante

Primero que nada, hagamos las transformaciones necesarias, luego apariencia de esta expresión se verá así: x 2 + 16x - 612 = 0. Esto significa que hemos recibido una expresión en una forma correspondiente al estándar especificado anteriormente, donde a=1, b=16, c=-612.

Este podría ser un ejemplo de resolución de ecuaciones cuadráticas usando un discriminante. Aquí cálculos necesarios se producen según el esquema: D = b 2 - 4ac. Esta cantidad auxiliar no sólo permite encontrar las cantidades requeridas en una ecuación de segundo orden, sino que también determina la cantidad opciones posibles. Si D>0, hay dos; para D=0 hay una raíz. En el caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre las raíces y su fórmula.

En nuestro caso, el discriminante es igual a: 256 - 4(-612) = 2704. Esto sugiere que nuestro problema tiene respuesta. Si conoce k, la solución de ecuaciones cuadráticas debe continuar usando la siguiente fórmula. Te permite calcular las raíces.

Esto significa que en el caso presentado: x 1 =18, x 2 =-34. La segunda opción en este dilema no puede ser una solución, porque las dimensiones del terreno no se pueden medir en cantidades negativas, lo que significa que x (es decir, el ancho del terreno) es 18 m, a partir de aquí calculamos el largo: 18 +16=34, y el perímetro 2(34+ 18)=104(m2).

Ejemplos y tareas

Continuamos nuestro estudio de ecuaciones cuadráticas. A continuación se darán ejemplos y soluciones detalladas de varios de ellos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Movamos todo al lado izquierdo de la igualdad, hacemos una transformación, es decir, obtenemos el tipo de ecuación que generalmente se llama estándar y la igualamos a cero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sumando similares, determinamos el discriminante: D = 49 - 48 = 1. Esto significa que nuestra ecuación tendrá dos raíces. Calculémoslos según la fórmula anterior, lo que significa que el primero de ellos será igual a 4/3 y el segundo a 1.

2) Ahora resolvamos acertijos de otro tipo.

Averigüemos si hay raíces aquí x 2 - 4x + 5 = 1. Para obtener una respuesta completa, reduzcamos el polinomio a la forma habitual correspondiente y calculemos el discriminante. En el ejemplo anterior, no es necesario resolver la ecuación cuadrática, porque ésta no es la esencia del problema en absoluto. En este caso, D = 16 - 20 = -4, lo que significa que realmente no hay raíces.

teorema de vieta

Es conveniente resolver ecuaciones cuadráticas utilizando las fórmulas anteriores y el discriminante, cuando la raíz cuadrada se toma del valor de este último. Pero esto no siempre sucede. Sin embargo, existen muchas formas de obtener los valores de las variables en este caso. Ejemplo: resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta. Lleva el nombre de quien vivió en Francia en el siglo XVI e hizo una brillante carrera gracias a su talento matemático y sus conexiones en la corte. Su retrato se puede ver en el artículo.

El patrón que notó el famoso francés fue el siguiente. Demostró que las raíces de la ecuación suman numéricamente -p=b/a, y su producto corresponde a q=c/a.

Ahora veamos tareas específicas.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, transformemos la expresión:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Usemos el teorema de Vieta, esto nos dará lo siguiente: la suma de las raíces es -7 y su producto es -18. De aquí obtenemos que las raíces de la ecuación son los números -9 y 2. Después de verificar, nos aseguraremos de que estos valores de variables realmente encajen en la expresión.

Gráfico de parábola y ecuación.

Los conceptos de función cuadrática y ecuaciones cuadráticas están estrechamente relacionados. Ya se han dado ejemplos de esto anteriormente. Ahora veamos algunos acertijos matemáticos con un poco más de detalle. Cualquier ecuación del tipo descrito se puede representar visualmente. Esta relación, dibujada en forma de gráfica, se llama parábola. Sus distintos tipos se presentan en la siguiente figura.

Toda parábola tiene un vértice, es decir, un punto del que emergen sus ramas. Si a>0, aumentan hasta el infinito, y cuando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Las representaciones visuales de funciones ayudan a resolver cualquier ecuación, incluidas las cuadráticas. Este método se llama gráfico. Y el valor de la variable x es la coordenada de abscisas en los puntos donde la línea gráfica se cruza con 0x. Las coordenadas del vértice se pueden encontrar usando la fórmula que acabamos de dar x 0 = -b/2a. Y sustituyendo el valor resultante en la ecuación original de la función, puedes encontrar y 0, es decir, la segunda coordenada del vértice de la parábola, que pertenece al eje de ordenadas.

La intersección de las ramas de una parábola con el eje de abscisas.

Hay muchos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas, pero también hay patrones generales. Mirémoslos. Está claro que la intersección de la gráfica con el eje 0x para a>0 sólo es posible si y 0 toma valores negativos. y por un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. De lo contrario D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir de la gráfica de la parábola también puedes determinar las raíces. Lo opuesto también es cierto. Es decir, si no es fácil obtener una representación visual de una función cuadrática, puedes igualar el lado derecho de la expresión a 0 y resolver la ecuación resultante. Y conociendo los puntos de intersección con el eje 0x, es más fácil construir una gráfica.

De la historia

Utilizando ecuaciones que contienen una variable al cuadrado, antiguamente no sólo hacían cálculos matemáticos y determinaban las áreas de figuras geométricas. Los antiguos necesitaban estos cálculos para grandes descubrimientos en los campos de la física y la astronomía, así como para hacer pronósticos astrológicos.

Como sugieren los científicos modernos, los habitantes de Babilonia estuvieron entre los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió cuatro siglos antes de nuestra era. Por supuesto, sus cálculos eran radicalmente diferentes de los aceptados actualmente y resultaron mucho más primitivos. Por ejemplo, los matemáticos mesopotámicos no tenían idea de la existencia de números negativos. Tampoco estaban familiarizados con otras sutilezas que cualquier escolar moderno conoce.

Quizás incluso antes que los científicos de Babilonia, el sabio indio Baudhayama comenzó a resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió unos ocho siglos antes de la era de Cristo. Es cierto que las ecuaciones de segundo orden, cuyos métodos de resolución dio, eran las más simples. Además de él, antiguamente también los matemáticos chinos se interesaban por cuestiones similares. En Europa, las ecuaciones cuadráticas comenzaron a resolverse solo a principios del siglo XIII, pero luego fueron utilizadas en sus trabajos por grandes científicos como Newton, Descartes y muchos otros.