numérico y expresiones algebraicas. Conversión de expresiones.
¿Qué es una expresión en matemáticas? ¿Por qué necesitamos conversiones de expresiones?
La pregunta, como dicen, es interesante... El hecho es que estos conceptos son la base de todas las matemáticas. Todas las matemáticas se componen de expresiones y sus transformaciones. ¿No está muy claro? Dejame explicar.
Digamos que tienes un mal ejemplo frente a ti. Muy grande y muy complejo. ¡Digamos que eres bueno en matemáticas y no tienes miedo de nada! ¿Puedes dar una respuesta de inmediato?
Tendrás que decidir este ejemplo. Consistentemente, paso a paso, este ejemplo simplificar. Por algunas reglas, naturalmente. Aquellos. hacer conversión de expresión. Cuanto más exitosamente lleves a cabo estas transformaciones, más fuerte serás en matemáticas. Si no sabes cómo hacer las transformaciones correctas, no podrás hacerlas en matemáticas. Nada...
Para evitar un futuro (o presente...) tan incómodo, no está de más entender este tema).
Primero, averigüemos ¿Qué es una expresión en matemáticas?. Qué ha pasado expresión numérica Y lo que es expresión algebraica.
¿Qué es una expresión en matemáticas?
Expresión en matemáticas- Este es un concepto muy amplio. Casi todo lo que tratamos en matemáticas es un conjunto de expresiones matemáticas. Cualquier ejemplo, fórmula, fracción, ecuación, etc., todo consta de expresiones matemáticas.
3+2 es una expresión matemática. c 2 - d 2- Esta también es una expresión matemática. Tanto una fracción saludable como incluso un número son expresiones matemáticas. Por ejemplo, la ecuación es:
5x + 2 = 12
consta de dos expresiones matemáticas conectadas por un signo igual. Una expresión está a la izquierda y la otra a la derecha.
EN vista general término " expresión matemática"Se utiliza, más a menudo, para evitar tararear. ¿Te preguntarán qué es una fracción ordinaria, por ejemplo? ¡¿Y cómo responder?!
Primera respuesta: "Esto es... mmmmmm... tal cosa... en la cual... ¿Puedo escribir mejor una fracción? ¿Cuál quieres?"
Segunda respuesta: " fracción común- esto es (¡con alegría y alegría!) expresión matemática , que consta de un numerador y un denominador!"
La segunda opción será algo más impresionante, ¿verdad?)
Este es el propósito de la frase " expresión matemática "Muy bien. Correcto y sólido. Pero para un uso práctico es necesario tener un buen conocimiento de tipos específicos de expresiones en matemáticas .
El tipo específico es otra cuestión. Este ¡un asunto completamente diferente! Cada tipo de expresión matemática tiene mío un conjunto de reglas y técnicas que deben utilizarse al tomar una decisión. Para trabajar con fracciones: un juego. Para trabajar con expresiones trigonométricas: la segunda. Para trabajar con logaritmos: el tercero. Etcétera. En algún lugar estas reglas coinciden, en algún lugar difieren marcadamente. Pero no tengas miedo de estas aterradoras palabras. Dominaremos logaritmos, trigonometría y otras cosas misteriosas en las secciones correspondientes.
Aquí dominaremos (o repetiremos, según quién...) dos tipos principales de expresiones matemáticas. Expresiones numéricas y expresiones algebraicas.
Expresiones numéricas.
Qué ha pasado expresión numérica? Este es un concepto muy simple. El nombre en sí insinúa que se trata de una expresión con números. Así es como es. Una expresión matemática formada por números, paréntesis y símbolos aritméticos se llama expresión numérica.
7-3 es una expresión numérica.
(8+3.2) 5.4 también es una expresión numérica.
Y este monstruo:
también una expresión numérica, sí...
número regular, fracción, cualquier ejemplo de cálculo sin X y otras letras: todas estas son expresiones numéricas.
signo principal numérico expresiones - en ella sin letras. Ninguno. Sólo números y iconos matemáticos(si es necesario). Es simple, ¿verdad?
¿Y qué puedes hacer con expresiones numéricas? Por lo general, las expresiones numéricas se pueden contar. Para hacer esto, sucede que hay que abrir los corchetes, cambiar los signos, abreviar, intercambiar términos, es decir, hacer conversiones de expresiones. Pero más sobre eso a continuación.
Aquí nos ocuparemos de un caso tan divertido cuando con una expresión numérica. no necesitas hacer nada. Bueno, ¡nada de nada! Esta agradable operación - Hacer nada)- se ejecuta cuando la expresión no tiene sentido.
¿Cuándo una expresión numérica no tiene sentido?
Está claro que si vemos algún tipo de abracadabra frente a nosotros, como
entonces no haremos nada. Porque no está claro qué hacer al respecto. Algún tipo de tontería. Tal vez cuente el número de ventajas...
Pero hay expresiones aparentemente bastante decentes. Por ejemplo este:
(2+3) : (16 - 2 8)
Sin embargo, esta expresión también no tiene sentido! Por la sencilla razón de que en el segundo paréntesis, si cuentas, obtienes cero. ¡Pero no puedes dividir por cero! Ésta es una operación prohibida en matemáticas. Por tanto, tampoco es necesario hacer nada con esta expresión. Para cualquier tarea con dicha expresión, la respuesta siempre será la misma: "¡La expresión no tiene significado!"
Para dar esa respuesta, por supuesto, tuve que calcular lo que estaría entre paréntesis. Y a veces hay muchas cosas entre paréntesis... Bueno, no hay nada que puedas hacer al respecto.
No hay tantas operaciones prohibidas en matemáticas. Solo hay uno en este tema. División por cero. Las restricciones adicionales que surgen en raíces y logaritmos se analizan en los temas correspondientes.
Entonces, una idea de lo que es. expresión numérica- consiguió. Concepto la expresión numérica no tiene sentido- comprendió. Vamonos.
Expresiones algebraicas.
Si aparecen letras en una expresión numérica, esta expresión se convierte en... La expresión se convierte en... ¡Sí! Se vuelve expresión algebraica. Por ejemplo:
5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Este tipo de expresiones también se denominan expresiones literales. O expresiones con variables. Es prácticamente lo mismo. Expresión 5a+c, por ejemplo, tanto literal como algebraico, y una expresión con variables.
Concepto expresión algebraica - más amplio que numérico. Él incluye y todas las expresiones numéricas. Aquellos. una expresión numérica también es una expresión algebraica, solo que sin letras. Todo arenque es un pez, pero no todo pez es un arenque...)
Por qué alfabético- Está vacío. Bueno, ya que hay letras... Frase expresión con variables Tampoco es muy desconcertante. Si comprende que los números están ocultos debajo de las letras. Debajo de las letras se pueden ocultar todo tipo de números... Y 5, y -18, y cualquier otra cosa. Es decir, una carta puede ser reemplazar en diferentes numeros. Por eso las letras se llaman variables.
en expresión y+5, Por ejemplo, en- valor variable. O simplemente dicen " variable", sin la palabra "magnitud". A diferencia de cinco, que es un valor constante. O simplemente - constante.
Término expresión algebraica significa que para trabajar con esta expresión es necesario utilizar leyes y reglas álgebra. Si aritmética funciona con números específicos, entonces álgebra- con todos los números a la vez. Un ejemplo sencillo para aclarar.
En aritmética podemos escribir que
Pero si escribimos tal igualdad mediante expresiones algebraicas:
a + b = b + a
decidiremos de inmediato Todo preguntas. Para todos los numeros ataque. Por todo infinito. Porque debajo de las letras A Y b implícito Todo números. Y no sólo números, sino también otras expresiones matemáticas. Así funciona el álgebra.
¿Cuándo una expresión algebraica no tiene sentido?
Todo sobre la expresión numérica está claro. Allí no puedes dividir por cero. Y con letras, ¿es posible saber entre qué dividimos?
Tomemos por ejemplo esta expresión con variables:
2: (A - 5)
¿Tiene sentido? ¿Quién sabe? A- cualquier número...
Cualquiera, cualquiera... Pero hay un significado. A, para lo cual esta expresión exactamente¡No tiene sentido! ¿Y cuál es este número? ¡Sí! ¡Esto es 5! Si la variable A reemplaza (dicen “sustituir”) con el número 5, entre paréntesis obtienes cero. Que no se puede dividir. Entonces resulta que nuestra expresión no tiene sentido, Si un = 5. Pero para otros valores A¿tiene sentido? ¿Puedes sustituir otros números?
Ciertamente. En tales casos simplemente dicen que la expresión
2: (A - 5)
tiene sentido para cualquier valor A, excepto a = 5 .
Todo el conjunto de números que Poder sustituir en una expresión dada se llama región valores aceptables esta expresión.
Como puedes ver, no hay nada complicado. Miremos la expresión con variables y averigüemos: ¿a qué valor de la variable se obtiene la operación prohibida (división por cero)?
Y luego asegúrese de mirar la pregunta de la tarea. ¿Qué están preguntando?
no tiene sentido, nuestro significado prohibido será la respuesta.
Si preguntas a qué valor de una variable la expresión tiene el significado(¡siente la diferencia!), la respuesta será todos los demás números excepto lo prohibido.
¿Por qué necesitamos el significado de la expresión? Él está ahí, él no está... ¡¿Cuál es la diferencia?! La cuestión es que este concepto cobra mucha importancia en la secundaria. ¡Extremadamente importante! Ésta es la base de conceptos tan sólidos como el dominio de valores aceptables o el dominio de una función. Sin esto, no podrás resolver ecuaciones o desigualdades graves en absoluto. Como esto.
Conversión de expresiones. Transformaciones de identidad.
Nos presentaron las expresiones numéricas y algebraicas. Entendimos lo que significa la frase “la expresión no tiene significado”. Ahora tenemos que descubrir qué es. conversión de expresiones. La respuesta es simple, hasta el punto de la vergüenza). Esta es cualquier acción con una expresión. Eso es todo. Has estado haciendo estas transformaciones desde primer grado.
Tomemos la genial expresión numérica 3+5. ¿Cómo se puede convertir? ¡Sí, muy sencillo! Calcular:
Este cálculo será la transformación de la expresión. Puedes escribir la misma expresión de manera diferente:
Aquí no contamos nada de nada. Acabo de escribir la expresión. en una forma diferente. Esta también será una transformación de la expresión. Puedes escribirlo así:
Y esto también es una transformación de una expresión. Puedes realizar tantas transformaciones como quieras.
Cualquier acción sobre la expresión cualquier escribirlo de otra forma se llama transformar la expresión. Y eso es todo. Todo es muy sencillo. Pero hay una cosa aquí regla muy importante. Tan importante que se puede llamar con seguridad. regla principal todas las matemáticas. Rompiendo esta regla inevitablemente conduce a errores. ¿Estamos entrando en ello?)
Digamos que transformamos nuestra expresión al azar, así:
¿Conversión? Ciertamente. Escribimos la expresión en una forma diferente, ¿qué hay de malo aquí?
No es así.) La cuestión es que las transformaciones "al azar" no están interesados en las matemáticas en absoluto.) Todas las matemáticas se basan en transformaciones en las que apariencia, pero la esencia de la expresión no cambia. Tres más cinco se pueden escribir de cualquier forma, pero debe ser ocho.
transformaciones, expresiones que no cambian la esencia son llamados idéntico.
Exactamente transformaciones de identidad y permitirnos, paso a paso, transformarnos ejemplo complejo en una expresión simple, manteniendo La esencia del ejemplo. Si nos equivocamos en la cadena de transformaciones, hacemos una transformación NO idéntica, entonces decidiremos otro ejemplo. Con otras respuestas que no están relacionadas con las correctas.)
Ésta es la regla principal para resolver cualquier problema: mantener la identidad de las transformaciones.
Di un ejemplo con la expresión numérica 3+5 para mayor claridad. En expresiones algebraicas, las transformaciones de identidad vienen dadas por fórmulas y reglas. Digamos que en álgebra hay una fórmula:
a(b+c) = ab + ca
Esto significa que en cualquier ejemplo podemos en lugar de la expresión a(b+c) siéntete libre de escribir una expresión ab + ca. Y viceversa. Este transformación idéntica. Las matemáticas nos permiten elegir entre estas dos expresiones. Y cuál escribir depende del ejemplo específico.
Otro ejemplo. Una de las transformaciones más importantes y necesarias es la propiedad básica de una fracción. Puedes ver más detalles en el enlace, pero aquí solo te recordaré la regla: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, o una expresión que no es igual a cero, la fracción no cambiará. A continuación se muestra un ejemplo de transformaciones de identidad que utilizan esta propiedad:
Como probablemente habrás adivinado, esta cadena puede continuar indefinidamente...) Una propiedad muy importante. Esto es lo que te permite convertir todo tipo de monstruos de ejemplo en blancos y esponjosos).
Hay muchas fórmulas que definen transformaciones idénticas. Pero los más importantes son un número bastante razonable. Una de las transformaciones básicas es la factorización. Se utiliza en todas las matemáticas, desde elemental hasta avanzada. Empecemos por él. En la próxima lección.)
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Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Los números y expresiones que componen la expresión original se pueden reemplazar por expresiones idénticamente iguales. Tal transformación de la expresión original conduce a una expresión que es idénticamente igual a ella.
Por ejemplo, en la expresión 3+x, el número 3 se puede reemplazar por la suma 1+2, lo que dará como resultado la expresión (1+2)+x, que es idénticamente igual a la expresión original. Otro ejemplo: en la expresión 1+a 5, la potencia a 5 se puede sustituir por un producto idénticamente igual, por ejemplo, de la forma a·a 4. Esto nos dará la expresión 1+a·a 4 .
Esta transformación es indudablemente artificial y suele ser una preparación para otras transformaciones. Por ejemplo, en la suma 4 x 3 +2 x 2, teniendo en cuenta las propiedades del grado, el término 4 x 3 se puede representar como producto 2 x 2 2 x. Después de esta transformación, la expresión original tomará la forma 2 x 2 2 x+2 x 2. Obviamente, los términos de la suma resultante tienen un factor común de 2 x 2, por lo que podemos realizar la siguiente transformación: poner entre paréntesis. Después llegamos a la expresión: 2 x 2 (2 x+1) .
Sumar y restar el mismo número
Otra transformación artificial de una expresión es la suma y resta simultánea del mismo número o expresión. Esta transformación es idéntica porque es esencialmente equivalente a sumar cero, y sumar cero no cambia el valor.
Veamos un ejemplo. Tomemos la expresión x 2 +2·x. Si le sumas uno y le restas uno, esto te permitirá realizar otra transformación idéntica en el futuro: elevar al cuadrado el binomio: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografía.
- Álgebra: libro de texto para 7mo grado educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edición. - M.: Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G.Álgebra. Séptimo grado. A las 14 h. Parte 1. Libro de texto para estudiantes. Instituciones educacionales/ A. G. Mordkovich. - 17ª ed., añadir. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-02432-3.
Ministerio de Educación de la República de Bielorrusia
Institución educativa
"Gómel Universidad Estatal a ellos. F. Skorina"
Facultad de Matemáticas
Departamento de MPM
Transformaciones idénticas de expresiones y métodos para enseñar a los estudiantes cómo realizarlas.
Ejecutor:
Estudiante Starodubova A.Yu.
Consejero científico:
Candó. fisica y matematicas Ciencias, profesor asociado Lebedeva M.T.
Gómel 2007
Introducción
1 Los principales tipos de transformaciones y etapas de su estudio. Etapas para dominar el uso de transformaciones.
Conclusión
Literatura
Introducción
Las transformaciones más simples de expresiones y fórmulas, basadas en las propiedades de las operaciones aritméticas, se llevan a cabo en escuela primaria y 5to y 6to grados. La formación de habilidades y destrezas para realizar transformaciones se lleva a cabo en un curso de álgebra. Esto se debe tanto al fuerte aumento en el número y variedad de transformaciones que se llevan a cabo, como a la complicación de las actividades para justificarlas y aclarar las condiciones de aplicabilidad, a la identificación y estudio de los conceptos generalizados de identidad, transformación idéntica, transformación equivalente.
1. Principales tipos de transformaciones y etapas de su estudio. Etapas para dominar el uso de transformaciones.
1. Inicios del álgebra
Se utiliza un sistema indiviso de transformaciones, representado por reglas para realizar acciones en una o ambas partes de la fórmula. El objetivo es lograr fluidez en la realización de tareas de resolución de ecuaciones simples, simplificación de fórmulas que definen funciones y realización racional de cálculos basados en las propiedades de las acciones.
Ejemplos típicos:
Resolver ecuaciones:
A) ; b) ; V).
Transformación idéntica (a); equivalentes e idénticos (b).
2. Formación de habilidades en la aplicación de tipos específicos de transformaciones.
Conclusiones: fórmulas de multiplicación abreviadas; transformaciones asociadas con la exponenciación; transformaciones asociadas con varias clases de funciones elementales.
Organización de un sistema integral de transformaciones (síntesis)
El objetivo es crear un aparato flexible y potente adecuado para resolver una variedad de tareas educativas.. La transición a esta etapa se realiza durante la repetición final del curso en el curso de la comprensión del material ya conocido aprendido en partes; para ciertos tipos de transformaciones, se agregan transformaciones de expresiones trigonométricas a los tipos previamente estudiados. Todas estas transformaciones pueden denominarse “algebraicas”; las transformaciones “analíticas” incluyen aquellas que se basan en reglas de diferenciación e integración y transformación de expresiones que contienen pasajes a límites. La diferencia de este tipo está en la naturaleza del conjunto por el que recorren las variables de las identidades (ciertos conjuntos de funciones).
Las identidades que se estudian se dividen en dos clases:
I – identidades de multiplicación abreviada válidas en un anillo conmutativo e identidades
feria en el campo.
II – identidades que conectan operaciones aritméticas y funciones elementales básicas.
2 Características de la organización del sistema de tareas al estudiar transformaciones de identidad.
El principio fundamental para organizar un sistema de tareas es presentarlas de simples a complejas.
ciclo de ejercicio– combinar en una secuencia de ejercicios varios aspectos del estudio y técnicas de disposición del material. Al estudiar las transformaciones de identidad, al estudio de una identidad se asocia un ciclo de ejercicios, en torno al cual se agrupan otras identidades que están en conexión natural con ella. El ciclo, junto con los ejecutivos, incluye tareas, exigir el reconocimiento de la aplicabilidad de la identidad en cuestión. La identidad en estudio se utiliza para realizar cálculos en varios dominios numéricos. Las tareas de cada ciclo se dividen en dos grupos.. A primero Estas incluyen tareas realizadas durante el conocimiento inicial de la identidad. Sirven material educativo durante varias lecciones consecutivas unidas por un tema.
Segundo grupo Los ejercicios conectan la identidad que se estudia con diversas aplicaciones. Este grupo no forma una unidad compositiva: los ejercicios aquí están dispersos sobre varios temas.
Las estructuras del ciclo descritas se refieren a la etapa de desarrollo de habilidades para aplicar transformaciones específicas.
En la etapa de síntesis, los ciclos cambian, los grupos de tareas se combinan en la dirección de la complicación y la fusión de ciclos relacionados con varias identidades, lo que ayuda a aumentar el papel de las acciones para reconocer la aplicabilidad de una identidad particular.
Ejemplo.
Ciclo de tareas para la identidad:
Grupo de tareas:
a) presente en forma de producto:
b) Comprobar la igualdad:
c) Ampliar los paréntesis en la expresión:
.
d) Calcular:
e) Factorizar:
f) simplificar la expresión:
.
Los estudiantes acaban de familiarizarse con la formulación de una identidad, su notación en forma de identidad y su demostración.
La tarea a) está asociada a fijar la estructura de la identidad en estudio, a establecer una conexión con conjuntos numéricos(comparación de estructuras de signos de identidad y expresión transformada; sustitución de una letra por un número en una identidad). En el último ejemplo, todavía tenemos que reducirlo a la forma que estamos estudiando. En los siguientes ejemplos (e y g) hay una complicación causada por el papel aplicado de la identidad y la complicación de la estructura del signo.
Las tareas del tipo b) tienen como objetivo desarrollar habilidades de reemplazo. 
en . El papel de la tarea c) es similar.
Ejemplos del tipo d), en los que es necesario elegir una de las direcciones de transformación, completan el desarrollo de esta idea.
Las tareas del grupo I se centran en dominar la estructura de una identidad, la operación de sustitución en los casos más simples, fundamentalmente más importantes, y la idea de la reversibilidad de las transformaciones llevadas a cabo por una identidad. También es muy importante el enriquecimiento de los medios lingüísticos que muestran diversos aspectos de la identidad. Los textos de los trabajos dan una idea de estos aspectos.
II grupo de tareas.
g) Usando la identidad para , factoriza el polinomio .
h) Eliminar la irracionalidad en el denominador de la fracción.
i) Demuestre que si es un número impar, entonces es divisible por 4.
j) La función viene dada por una expresión analítica.
.
Deshágase del signo del módulo considerando dos casos: , .
k) Resuelve la ecuación 
.
Estas tareas están dirigidas en la medida de lo posible. uso completo y teniendo en cuenta las características específicas de esta identidad en particular, presupone la formación de habilidades en el uso de la identidad que se está estudiando para la diferencia de cuadrados. El objetivo es profundizar la comprensión de la identidad considerando sus diversas aplicaciones en Diferentes situaciones, combinado con el uso de material relacionado con otros temas del curso de matemáticas.
o 
.
Características de los ciclos de tareas relacionadas con identidades para funciones elementales:
1) se estudian a partir de material funcional;
2) las identidades del primer grupo aparecen más tarde y se estudian utilizando habilidades ya desarrolladas para realizar transformaciones identitarias.
El primer grupo de tareas del ciclo debería incluir tareas para establecer conexiones entre estas nuevas áreas numéricas y el área original de números racionales.
Ejemplo.
Calcular:
;
.
El objetivo de estas tareas es dominar las características de las entradas, incluidos los símbolos de nuevas operaciones y funciones, y desarrollar habilidades matemáticas del habla.
Una parte importante del uso de transformaciones de identidad asociadas con funciones elementales recae en la solución de ecuaciones irracionales y trascendentales. Secuencia de pasos:
a) encuentre la función φ para la cual la ecuación dada f(x)=0 se puede representar como:
b) sustituye y=φ(x) y resuelve la ecuación
c) resolver cada una de las ecuaciones φ(x)=y k, donde y k es el conjunto de raíces de la ecuación F(y)=0.
Cuando se utiliza el método descrito, el paso b) a menudo se realiza implícitamente, sin introducir una notación para φ(x). Además, los estudiantes suelen preferir diferentes caminos que conduce a encontrar la respuesta, elija la que conduzca a la ecuación algebraica de forma más rápida y sencilla.
Ejemplo. Resuelve la ecuación 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (paso a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3) = 0; 2x-3=0. (paso b)
Ejemplo. Resuelve la ecuación:
a) 2 2x -3*2x +2=0;
b) 2 2x-3*2x-4=0;
c) 2 2x -3*2x +1=0.
(Sugerir una solución independiente).
Clasificación de tareas en ciclos relacionados con la solución de ecuaciones trascendentales, incluyendo funcion exponencial:
1) ecuaciones que se reducen a ecuaciones de la forma a x =y 0 y tienen una respuesta general simple:
2) ecuaciones que se reducen a ecuaciones de la forma a x = a k, donde k es un número entero, o a x = b, donde b≤0.
3) ecuaciones que se reducen a ecuaciones de la forma a x =y 0 y requieren un análisis explícito de la forma en que el número y 0 está escrito explícitamente.
Las tareas en las que se utilizan transformaciones de identidad para construir gráficos y al mismo tiempo simplificar fórmulas que definen funciones son de gran beneficio.
a) Grafica la función y=;
b) Resuelve la ecuación lgx+lg(x-3)=1
c) ¿En qué conjunto la fórmula log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) es una identidad?
El uso de transformaciones de identidad en los cálculos (Revista de Matemáticas en la Escuela, No. 4, 1983, p. 45).
Tarea número 1. La función viene dada por la fórmula y=0,3x 2 +4,64x-6. Encuentra los valores de la función en x=1.2
y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.
Tarea número 2. Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo si la longitud de su hipotenusa es de 3,6 cm y el otro cateto mide 2,16 cm.
Tarea número 3. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular que tiene dimensiones a) 0,64 m y 6,25 m; b) 99,8 my 2,6 m?
a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;
b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Estos ejemplos permiten identificar uso práctico transformaciones de identidad. El estudiante debe estar familiarizado con las condiciones de viabilidad de la transformación (ver diagramas).
| |
- Imagen de un polinomio, donde cualquier polinomio encaja en contornos redondos (Diagrama 1).
-
Se da la condición de factibilidad de transformar el producto de un monomio y una expresión que permite la transformación en una diferencia de cuadrados. (esquema 2)
-
aquí los sombreados significan monomios iguales y se da una expresión que se puede convertir en una diferencia de cuadrados (Esquema 3).
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| |
- una expresión que permite un factor común.
Las habilidades de los estudiantes para identificar condiciones se pueden desarrollar utilizando los siguientes ejemplos:
¿Cuál de las siguientes expresiones se puede transformar quitando el factor común de paréntesis?
2) 
3) 0,7a2 +0,2b2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;
7) 0,21+0,22+0,23.
La mayoría de los cálculos en la práctica no satisfacen las condiciones de satisfacibilidad, por lo que los estudiantes necesitan las habilidades para reducirlos a una forma que permita el cálculo de transformaciones. En este caso, las siguientes tareas son apropiadas:
al estudiar sacando el factor común de paréntesis:
convierta esta expresión, si es posible, en una expresión que se muestra en el diagrama 4:
4) 2a*a 2 *a 2;
5) 2norte 4 +3norte 6 +norte 9 ;
8) 15ab2 +5a2b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
Al formar el concepto de "transformación idéntica", debe recordarse que esto significa no solo que la expresión dada y resultante como resultado de la transformación toman valores iguales para cualquier valor de las letras incluidas en ella, pero también que durante la misma transformación pasamos de la expresión que define una forma de calcular a una expresión que define otra forma de calcular el mismo valor.
El esquema 5 (la regla para convertir el producto de un monomio y un polinomio) se puede ilustrar con ejemplos.
0,5a(b+c) o 3,8(0,7+).
Ejercicios para aprender a sacar un factor común de paréntesis:
Calcula el valor de la expresión:
a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
b) a+bc en a=0,96; b=4,8; c=9,8.
c) a(a+c)-c(a+b) con a=1,4; b=2,8; c=5,2.
Ilustremos con ejemplos la formación de habilidades en cálculos y transformaciones de identidad.(zh. Matemáticas en la escuela, núm. 5, 1984, p. 30)
1) las habilidades y capacidades se adquieren más rápido y se conservan por más tiempo si su formación se produce de forma consciente (el principio didáctico de la conciencia).
1) Puedes formular una regla para sumar fracciones con denominadores similares o preliminarmente ejemplos específicos Considere la esencia de sumar partes iguales.
2) Al factorizar sacando el factor común de entre paréntesis, es importante ver este factor común y luego aplicar la ley de distribución. Al realizar los primeros ejercicios, es útil escribir cada término del polinomio como un producto, uno de cuyos factores es común a todos los términos:
3a 3 -15a 2 segundo+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Es especialmente útil hacer esto cuando uno de los monomios de un polinomio está fuera de paréntesis:
II. Primera etapa formación de habilidades: dominio de una habilidad (los ejercicios se realizan con explicaciones detalladas y notas)
(el tema del cartel se resuelve primero)
Segunda fase– la etapa de automatización de la habilidad eliminando algunas operaciones intermedias
III. La fortaleza de las habilidades se logra resolviendo ejemplos que son variados tanto en contenido como en forma.
Tema: “Sacar el factor común de paréntesis”.
1. Escribe el factor que falta en lugar del polinomio:
2. Factoriza de modo que antes de los paréntesis haya un monomio con coeficiente negativo:
3. Factoriza para que el polinomio entre paréntesis tenga coeficientes enteros:
4. Resuelve la ecuación:
IV. El desarrollo de habilidades es más eficaz cuando algunos cálculos o transformaciones intermedias se realizan de forma oral.
(oralmente);
V. Las destrezas y habilidades que se desarrollen deberán formar parte del sistema de conocimientos, destrezas y habilidades previamente formado de los estudiantes.
Por ejemplo, cuando se enseña a factorizar polinomios usando fórmulas de multiplicación abreviadas, se ofrecen los siguientes ejercicios:
Factorizar:
VI. La necesidad de una ejecución racional de cálculos y transformaciones.
V) simplifica la expresión:
La racionalidad radica en abrir el paréntesis, porque
VII. Conversión de expresiones que contienen exponentes.
No. 1011 (Alg.9) Simplifique la expresión:
No. 1012 (Alg.9) Retire el multiplicador de debajo del signo raíz:
No. 1013 (Alg.9) Ingrese un factor debajo del signo raíz:
No. 1014 (Alg.9) Simplifique la expresión:
En todos los ejemplos, primero realice la factorización o la resta del factor común, o "vea" la fórmula de reducción correspondiente.
No. 1015 (Alg.9) Reducir la fracción:
Muchos estudiantes experimentan algunas dificultades al transformar expresiones que contienen raíces, en particular cuando estudian igualdad:
Por lo tanto, describa en detalle expresiones de la forma o 
o ir a un grado con exponente racional.
No. 1018 (Alg.9) Encuentra el valor de la expresión:
No. 1019 (Alg.9) Simplifique la expresión:
2.285 (Skanavi) Simplifica la expresión
y luego trazar la función y Para
No. 2.299 (Skanavi) Verificar la validez de la igualdad:
La transformación de expresiones que contienen un título es una generalización de las habilidades y destrezas adquiridas en el estudio de transformaciones idénticas de polinomios.
No. 2.320 (Skanavi) Simplifica la expresión:
El curso de Álgebra 7 proporciona las siguientes definiciones.
Def. Dos expresiones cuyos valores correspondientes son iguales para los valores de las variables se dicen que son idénticamente iguales.
Def. La igualdad es cierta para cualquier valor de las variables llamadas. identidad.
No. 94 (Alg.7) Es la igualdad:
a) 
C) 
d) 
Definición de descripción: Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación idéntica o simplemente transformación de una expresión. Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.
No. (Alg.7) Entre las expresiones
Encuentre aquellos que sean idénticamente iguales.
Tema: “Transformaciones idénticas de expresiones” (técnica de la pregunta)
El primer tema de "Álgebra-7" - "Expresiones y sus transformaciones" ayuda a consolidar las habilidades computacionales adquiridas en los grados 5-6, sistematizar y generalizar información sobre transformaciones de expresiones y soluciones a ecuaciones.
Encontrar los valores de numérico y expresiones literales permite repetir con los estudiantes las reglas de operación con números racionales. Habilidad para realizar operaciones aritmeticas con números racionales son la base de todo el curso de álgebra.
Al considerar las transformaciones de expresiones, las habilidades formales y operativas se mantienen en el mismo nivel que se logró en los grados 5 y 6.
Sin embargo, aquí los estudiantes alcanzan un nuevo nivel en el dominio de la teoría. Se introducen los conceptos de “expresiones idénticamente iguales”, “identidad”, “transformaciones idénticas de expresiones”, cuyo contenido se irá revelando y profundizando constantemente al estudiar las transformaciones de diversas expresiones algebraicas. Se enfatiza que la base de las transformaciones de identidad son las propiedades de las operaciones con números.
Al estudiar el tema "Polinomios", se forman habilidades operativas formales de transformaciones idénticas de expresiones algebraicas. Las fórmulas de multiplicación abreviadas contribuyen a un proceso posterior de desarrollo de la capacidad de realizar transformaciones idénticas de expresiones enteras; la capacidad de aplicar fórmulas tanto para la multiplicación abreviada como para la factorización de polinomios se utiliza no solo para transformar expresiones enteras, sino también en operaciones con fracciones y raíces. , potencias con exponente racional .
En 8º grado se practican las habilidades adquiridas de transformaciones de identidad en operaciones con fracciones algebraicas, raíz cuadrada y expresiones que contienen potencias con exponente entero.
En el futuro, las técnicas de transformación de identidad se reflejarán en expresiones que contengan un grado con exponente racional.
grupo especial transformaciones idénticas son expresiones trigonométricas y expresiones logarítmicas.
Los resultados de aprendizaje obligatorios para un curso de álgebra en los grados 7 a 9 incluyen:
1) transformaciones de identidad de expresiones enteras
a) abrir y cerrar soportes;
b) traer miembros similares;
c) suma, resta y multiplicación de polinomios;
d) factorizar polinomios poniendo el factor común entre paréntesis y fórmulas de multiplicación abreviadas;
e) descomposición trinomio cuadrático por multiplicadores.
“Matemáticas en la escuela” (B.U.M.) p.110
2) transformaciones idénticas de expresiones racionales: suma, resta, multiplicación y división de fracciones, así como aplicar las habilidades enumeradas al realizar transformaciones combinadas simples [p. 111]
3) los estudiantes deberían poder realizar transformaciones de expresiones simples que contengan grados y raíces. (págs. 111-112)
Se consideraron los principales tipos de problemas, cuya capacidad de resolución permite al estudiante recibir una calificación positiva.
Uno de los aspectos más importantes de la metodología para estudiar las transformaciones de identidad es el desarrollo por parte del estudiante de metas para realizar transformaciones de identidad.
1) 
- simplificación del valor numérico de la expresión
2) cuál de las transformaciones se debe realizar: (1) 
o (2) El análisis de estas opciones es una motivación (preferible (1), ya que en (2) el alcance de la definición se reduce)
3) Resuelve la ecuación:
Factorizar al resolver ecuaciones.
4) Calcular:
Apliquemos la fórmula de multiplicación abreviada:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Encuentra el valor de la expresión:
Para encontrar el valor, multiplica cada fracción por su conjugado:
6) Grafica la función:
Seleccionemos la parte completa: .
La prevención de errores al realizar transformaciones de identidad se puede lograr mediante diversos ejemplos de su implementación. En este caso se practican técnicas “pequeñas” que, como componentes, se incluyen en un proceso de transformación mayor.
Por ejemplo:
Dependiendo de las direcciones de la ecuación, se pueden considerar varios problemas: multiplicación de polinomios de derecha a izquierda; de izquierda a derecha - factorización. El lado izquierdo es múltiplo de uno de los factores del lado derecho, etc.
Además de variar los ejemplos, puedes utilizar Apología entre identidades e igualdades numéricas.
Próxima cita– explicación de identidades.
Para aumentar el interés de los estudiantes, podemos incluir la búsqueda de varias maneras resolución de problemas.
Las lecciones sobre el estudio de las transformaciones de la identidad serán más interesantes si las dedicas a buscando una solución al problema .
Por ejemplo: 1) reducir la fracción:
3) demostrar la fórmula del “radical complejo”
Considerar:
Transformemos el lado derecho de la igualdad:
-
la suma de expresiones conjugadas. Se podrían multiplicar y dividir por su conjugado, pero tal operación nos llevaría a una fracción cuyo denominador es la diferencia de los radicales.
Observa que el primer término de la primera parte de la identidad es un número mayor que el segundo, por lo que podemos elevar ambas partes al cuadrado:
Lección practica №3.
Tema: Transformaciones idénticas de expresiones (técnica de la pregunta).
Literatura: “Taller sobre MPM”, págs. 87-93.
Un signo de una alta cultura de cálculos y transformaciones de identidad entre los estudiantes es un sólido conocimiento de las propiedades y algoritmos de las operaciones con cantidades exactas y aproximadas y su hábil aplicación; métodos racionales de cálculos y transformaciones y su verificación; la capacidad de justificar el uso de métodos y reglas de cálculos y transformaciones, habilidades automáticas de ejecución sin errores de operaciones computacionales.
¿En qué grado deberían los estudiantes comenzar a trabajar en el desarrollo de las habilidades enumeradas?
La línea de transformaciones idénticas de expresiones comienza con la aplicación de técnicas de cálculo racional. Comienza con la aplicación de técnicas de cálculo racional para los valores de expresiones numéricas. (5to grado)
Al estudiar estos temas en un curso de matemáticas escolar, es necesario prestarles atención. Atención especial!
La implementación consciente de las transformaciones de identidad por parte de los estudiantes se ve facilitada por la comprensión del hecho de que las expresiones algebraicas no existen por sí solas, sino que en conexión inseparable con un determinado conjunto numérico, son registros generalizados de expresiones numéricas. Las analogías entre expresiones algebraicas y numéricas (y sus transformaciones) son lógicas; su uso en la enseñanza ayuda a evitar que los estudiantes cometan errores.
Las transformaciones de identidad no son ninguna un tema separado curso de matemáticas escolar, se estudian a lo largo del curso de álgebra y los inicios del análisis matemático.
El programa de matemáticas para los grados 1 a 5 es material propedéutico para estudiar transformaciones idénticas de expresiones con una variable.
En el curso de álgebra de séptimo grado. Se introduce la definición de identidad y transformaciones de identidad.
Def. Se llaman dos expresiones cuyos valores correspondientes son iguales para cualquier valor de las variables. idénticamente iguales.
AOD. Una igualdad que es verdadera para cualquier valor de las variables se llama identidad.
El valor de la identidad radica en que permite sustituir una expresión determinada por otra idénticamente igual a ella.
Def. Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación idéntica o simplemente transformación expresiones.
Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.
La base de las transformaciones de identidad puede considerarse transformaciones equivalentes.
AOD. Se llaman dos oraciones, cada una de las cuales es una consecuencia lógica de la otra. equivalente.
AOD. Se llama oración con variables A. consecuencia de una oración con variables B, si el dominio de verdad B es un subconjunto del dominio de verdad A.
Se puede dar otra definición de oraciones equivalentes: dos oraciones con variables son equivalentes si sus dominios de verdad coinciden.
a) B: x-1=0 sobre R; A: (x-1) 2 sobre R => A~B, porque áreas de verdad (solución) coinciden (x=1)
b) A: x=2 sobre R; B: x 2 =4 sobre R => dominio de verdad A: x = 2; dominio de verdad B: x=-2, x=2; porque el dominio de verdad de A está contenido en B, entonces: x 2 =4 es consecuencia de la proposición x = 2.
La base de las transformaciones de identidad es la capacidad de representar el mismo número en diferentes formas. Por ejemplo,
-
Esta representación ayudará al estudiar el tema "propiedades básicas de las fracciones".
Las habilidades para realizar transformaciones de identidad comienzan a desarrollarse al resolver ejemplos similares al siguiente: “Encuentra el valor numérico de la expresión 2a 3 +3ab+b 2 con a = 0.5, b = 2/3”, que se ofrecen a los estudiantes de grado. 5 y permiten el concepto propedéutico de función.
Al estudiar fórmulas de multiplicación abreviadas, debes prestar atención a su profunda comprensión y fuerte asimilación. Para ello, puede utilizar la siguiente ilustración gráfica:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Pregunta: ¿Cómo explicar a los estudiantes la esencia de las fórmulas dadas basándose en estos dibujos?
Un error común es confundir las expresiones “cuadrado de la suma” y “suma de cuadrados”. La indicación del profesor de que estas expresiones difieren en el orden de operación no parece significativa, ya que los estudiantes creen que estas acciones se realizan sobre los mismos números y por lo tanto el resultado no cambia al cambiar el orden de las acciones.
Tarea: Crear ejercicios orales para desarrollar las habilidades de los estudiantes en el uso de las fórmulas anteriores sin errores. ¿Cómo podemos explicar en qué se parecen estas dos expresiones y en qué se diferencian entre sí?
La gran variedad de transformaciones idénticas dificulta que los estudiantes se orienten en cuanto al propósito para el cual se realizan. El conocimiento confuso del propósito de llevar a cabo las transformaciones (en cada caso específico) tiene un impacto negativo en su conciencia y sirve como fuente de errores masivos entre los estudiantes. Esto sugiere que explicar a los estudiantes los objetivos de realizar varias transformaciones idénticas es una parte importante de la metodología para estudiarlas.
Ejemplos de motivaciones para transformaciones de identidad:
1. simplificación de la búsqueda del valor numérico de una expresión;
2. elegir una transformación de la ecuación que no conduzca a la pérdida de la raíz;
3. Al realizar una transformación, puedes marcar su área de cálculo;
4. uso de transformaciones en los cálculos, por ejemplo, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Para gestionar el proceso de decisión, es importante que el profesor tenga la capacidad de dar una descripción precisa de la esencia del error cometido por el alumno. La caracterización precisa del error es clave para la elección correcta acciones posteriores realizadas por el docente.
Ejemplos de errores de estudiantes:
1. realizar la multiplicación: el estudiante recibió -54abx 6 (7 celdas);
2. Al elevar a una potencia (3x 2) 3 el estudiante recibió 3x 6 (7 notas);
3. transformando (m+n) 2 en un polinomio, el estudiante recibió m 2 +n 2 (séptimo grado);
4. Reduciendo la fracción que recibió el estudiante (8 notas);
5. realizar restas: 
, el estudiante escribe (8vo grado)
6. Al representar una fracción en forma de fracciones, el alumno recibió: 
(8 grados);
7. Eliminación raíz aritmética el estudiante recibió x-1 (grado 9);
8. resolver la ecuación (noveno grado);
9. transformando la expresión, el alumno recibe: (9º grado).
Conclusión
El estudio de las transformaciones de identidad se lleva a cabo en estrecha relación con los conjuntos numéricos estudiados en una clase particular.
Al principio, se debe pedir al alumno que explique cada paso de la transformación, que formule las reglas y leyes que se aplican.
En transformaciones idénticas de expresiones algebraicas se utilizan dos reglas: sustitución y reemplazo por iguales. La sustitución se utiliza con mayor frecuencia porque Se basa en fórmulas de cálculo, es decir. encuentre el valor de la expresión a*b con a=5 y b=-3. Muy a menudo, los estudiantes descuidan los paréntesis cuando realizan operaciones de multiplicación, creyendo que el signo de multiplicación está implícito. Por ejemplo, es posible la siguiente entrada: 5*-3.
Literatura
1. I.A. Azárov, S.A. Barvenov “Métodos funcionales y gráficos para resolver problemas de examen”, Mn.Aversev, 2004
2. EN. Piryutko "Errores típicos en las pruebas centralizadas", Mn.Aversev, 2006
3. I.A. Azárov, S.A. Barvenov “Tareas trampa en pruebas centralizadas”, Mn.Aversev, 2006
4. I.A. Azárov, S.A. Barvenov “Métodos para resolver problemas trigonométricos”, Mn.Aversev, 2005
