Cómo tirar de la raíz de debajo de la raíz. Extracción de raíz cuadrada

En matemáticas, la cuestión de cómo extraer la raíz se considera relativamente simple. Si construye una cantidad de números de una fila natural al cuadrado: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, luego tendremos la siguiente fila de cuadrados: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Una serie de cuadrados son infinitos, y si lo miras cuidadosamente, verás que no hay muchos enteros en ella. Por qué esto está explicando un poco más tarde.

Número raíz: Reglas de cálculo y ejemplos

Entonces, elevamos el número 2 a la plaza, es decir, se multiplicó por sí mismo y fue 4. ¿Y cómo extraer la raíz de 4? Inmediatamente digamos que las raíces pueden ser cuadradas, cúbicas y de cualquier grado hasta el infinito.

El grado de raíz es siempre un número natural, es decir, una ecuación de este tipo no se puede resolver: la raíz al grado de 3.6 fuera de N.

Raíz cuadrada

Volvamos a la pregunta de cómo eliminar el cuadrado de la raíz de 4. Desde que se erigieron el número 2 exactamente en el cuadrado, entonces la raíz extrajo cuadrada. Para eliminar correctamente la raíz de 4, solo necesita elegir el número correctamente, lo que hubiera dado un número 4. y esto, por supuesto, 2. Mirar el ejemplo:

• 2 2 =4
• Raíz de 4 \u003d 2

Este ejemplo es bastante simple. Vamos a tratar de extraer el cuadrado de raíces de 64. ¿Qué número al multiplicarse da 64? Obviamente, es 8.

• 8 2 =64
• Raíz de 64 \u003d 8

Raíz cúbica

Como se dijo anteriormente, las raíces no solo son cuadradas, trataremos de explicar más claramente cómo extraer la raíz cúbica o la raíz del tercer grado. El principio de extraer la raíz cúbica es la misma que en un cuadrado, la única diferencia es que el número deseado se multiplicó inicialmente por sí mismo, no una vez, sino dos veces. Es decir, digamos que tomamos el siguiente ejemplo:

• 3x3x3 \u003d 27.
• Naturalmente, la raíz cúbica de entre los 27 será Troika:
• Raíz 3 de 27 \u003d 3

Supongamos que es necesario encontrar una raíz cúbica de 64. Para resolver esta ecuación, es suficiente encontrar un número que, cuando se haya erigido al tercer grado, daría 64.

• 4 3 =64
• Raíz 3 de 64 \u003d 4

Extraer la raíz del número en la calculadora

Por supuesto, es mejor aprender a extraer cuadrados, cúbicos y raíces de un grado diferente en la práctica, resolviendo muchos ejemplos y memorización de la tabla de cuadrados y cubos de pequeños números. En el futuro, esto facilitará y reducirá enormemente el tiempo de resolver ecuaciones. Aunque se debe tener en cuenta que a veces es necesario extraer la raíz de un número tan grande que será posible elegir un número correcto erigido en un cuadrado, costará obras muy grandes si generalmente es posible. Una calculadora ordinaria vendrá a ayudar a extraer una raíz cuadrada. ¿Cómo extraer la raíz en la calculadora? Muy simplemente ingrese el número de donde desea encontrar el resultado. Ahora mira con cuidado en los botones de la calculadora. Incluso en los más simples de ellos hay una llave con un icono de raíz. Al hacer clic en ella, obtendrá inmediatamente el resultado finalizado.

No de cada número Puede extraer una raíz completa, considere el siguiente ejemplo:

Raíz desde 1859 \u003d 43,116122 ...

Puede en paralelo para tratar de resolver este ejemplo en la calculadora. Como puede ver, el número obtenido no es entero, además, el conjunto de números después de que la coma no sea la final. Se puede dar un resultado más preciso que se le pueden dar calculadoras de ingeniería especiales, en la pantalla, el resultado completo habitual simplemente no se ajusta. Y si continúa, se inició una serie de cuadrados anteriores, no encontrará números 1859 con precisión porque el número que ha estado en el cuadrado para obtenerlo no es entero.

Si necesita extraer la raíz del tercer grado en una calculadora simple, debe hacer clic en el botón con el letrero de la raíz dos veces. Por ejemplo, tomamos el número 1859 utilizado anteriormente y se extrae la extracción de la raíz cúbica:

ROOT 3 de 1859 \u003d 6,5662867 ...

Es decir, si el número es 6.5662867 ... para construir un tercer grado, obtendremos aproximadamente 1859. Por lo tanto, no es difícil extraer las raíces de los números, es suficiente recordar los algoritmos anteriores.

Tienes dependencia de la calculadora? O crees que, además de una calculadora o usar la mesa cuadrada, es muy difícil calcular, por ejemplo,.

Sucede, los escolares están atados a la calculadora e incluso 0.7 a 0.5 se multiplican haciendo clic en los botones preciados. Dicen, bueno, todavía sé cómo calcular, pero ahora ahorraré tiempo ... ese es el examen ... luego y las cepas ...

Así que el hecho es que en el examen y, por lo tanto, habrá un montón de "momentos tensos" ... como dicen, el agua se está afilando. Entonces, en el examinador, si hay muchos de ellos, capaces de cortar ...

Vamos a minimizar el número de posibles problemas.

Retire la raíz cuadrada de un gran número

Ahora hablaremos solo sobre el caso cuando el resultado de la extracción de la raíz cuadrada es un número entero.

Caso 1.

Por lo tanto, en cualquier cosa (por ejemplo, al calcular el discriminante), es necesario calcular la raíz cuadrada de 86436.

Presentaremos el número 86436 para multiplicadores simples. Dividimos en 2, - Obtenemos 43218; Dividimos nuevamente en 2, "obtenemos 21609. 2 más un número no está dividido. Pero como la cantidad de números se divide en 3, entonces el número en sí se divide en 3 (en general, se puede ver que se divide en 9). . Una vez más, dividimos en 3, obtenemos 2401. 2401 a 3, no está dividido. No se divide en cinco (no termina con un número 0 o 5).

Sospechar una división en 7. De hecho, y

Entonces, orden completo!

Caso 2.

Necesitamos ser calculados. Actúa lo mismo que se describe anteriormente, incómodo. Estamos tratando de descomponerse por factores simples ...

En el número 2 de 1849, no está dividido (ni siquiera) ...

3 no está dividido (la cantidad de números no es múltiple 3) ...

5 no está dividido por 5 (último dígito, no 5 y no 0) ...

En 7, no está dividido por 7, no está dividido en 11, no se divide en 13 ... Bueno, y durante mucho tiempo, ¡estamos tan arreglando todos los números simples.

Argumentaremos algo de diferente.

Entendemos eso

Firmamos el círculo de búsqueda. Ahora mueve los números de 41 a 49. Además, está claro que, dado que el último dígito del número es 9, entonces vale la pena detenerse en las opciones 43 o 47, solo estos números en la construcción le darán al último dígito 9 .

Bueno, aquí, por supuesto, nos detenemos a las 43. De hecho,

PD ¿Y cómo, Ksatati, multiplicamos 0.7 a 0.5?

Debe multiplicarse de 5 a 7, no prestar atención a los ceros y los signos, y luego separarse, yendo a la derecha a la derecha, dos signos de la coma. Obtenemos 0.35.

Es hora de desmontar métodos para extraer raíces.. Se basan en las propiedades de las raíces, en particular, en la igualdad, que es válida para cualquier número no negativo B.

A continuación, nos turnamos, miramos las formas básicas de extraer las raíces.

Comencemos con el caso más sencillo, con la extracción de raíces de los números naturales utilizando una mesa cuadrada, tablas de cubos, etc.

Si las mesas cuadradas, cubos, etc. No hay ninguna mano, es lógico usar el método para extraer la raíz que implica la descomposición de un número de eneldo a factores simples.

Por separado, vale la pena detenerse por lo que es posible para las raíces con indicadores impares.

Finalmente, considere un método que le permita encontrar sucesivamente los valores de descarga de la raíz.

Vamos a proceder

Uso de mesa cuadrada, tablas de cubos, etc.

En los casos más simples, eliminar las raíces permiten mesas de cuadrados, cubos, etc. ¿Qué son estas tablas?

La tabla de cuadrados de enteros de 0 a 99 inclusive (se muestra a continuación) consta de dos zonas. La primera zona de la tabla se encuentra en un fondo gris, está utilizando una cierta cadena y una columna específica le permite realizar un número de 0 a 99. Por ejemplo, seleccione una cadena de 8 docenas y columnas 3 unidades, fijamos el número 83. La segunda zona ocupa la parte restante de la tabla. Cada celda está en la intersección de una fila determinada y una columna específica, y contiene el cuadrado del número correspondiente de 0 a 99. En la intersección de la línea seleccionada 8 docenas y las unidades de columna 3 son celulares con un número de 6 889, que es el cuadrado del número 83.

Tablas de cubos, tablas de cuatro grados números de 0 a 99 y así, similares a la tabla de cuadrados, solo en la segunda zona contienen Cuba, cuarta grados, etc. números correspondientes.

Mesas cuadradas, cubos, cuartos grados, etc. Permitir raíces cuadradas, raíces cúbicas, raíces de cuarto grado, etc. En consecuencia, desde los números en estas tablas. Explique el principio de su aplicación al extraer raíces.

Supongamos que necesitamos extraer la raíz de un grado N de entre el número A, y el número A está contenido en la tabla de N-Threes. En esta tabla, encontramos el número B de tal que A \u003d B n. Luego Por lo tanto, el número B será la raíz deseada de n-grado.

Como ejemplo, mostraremos cómo se extrae la raíz cúbica de 19.683 utilizando la tabla cúbica. Encontramos el número 19,683 en la tabla de cubos, desde que encontramos que este número es un cubo de números 27, por lo tanto, .

Está claro que las tablas de los hilos N son muy convenientes cuando se eliminan las raíces. Sin embargo, a menudo no están a la mano, y su compilación requiere un cierto tiempo. Además, a menudo es necesario extraer las raíces de los números que no están contenidos en las tablas respectivas. En estos casos, tienes que recurrir a otros métodos de extracción de raíces.

Descomposición de un número subcurrente sobre factores simples

Una forma suficientemente conveniente, lo que permite eliminar la raíz de un número natural (a menos que, por supuesto, la raíz se extraiga), es la descomposición de un número depurado en factores simples. Su la esencia es la siguiente.: Después de que sea lo suficientemente fácil como para imaginar en forma de un grado con el indicador deseado, lo que le permite obtener el valor de la raíz. Expliquemos este momento.

Deje que la raíz de n grado del número natural de A, y su valor sea igual a b. En este caso, la igualdad es A \u003d B N. El número B como cualquier número natural puede representarse como un producto de todos sus simples multiplicadores P 1, P 2, ..., PM en el formulario P 1 · P 2 · ... · PM, y el número de alimentación en Este caso parece ser (p 1 · p 2 · ... · PM) n. Dado que la descomposición del número a factores simples es la única, entonces la descomposición del número de alimentación A en factores simples será del formulario (p 1 · p 2 · ... · p m) n, lo que lo hace posible para calcular el valor de la raíz como.

Tenga en cuenta que si la descomposición en las fábricas simples del número de Guoked no se puede representar en el formulario (P 1 · p 2 · ... · P m) n, entonces la raíz del Grado N no se extrae de tal número.

Nos ocuparemos de esto al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Retire la raíz cuadrada de 144.

Decisión.

Si se pone en contacto con la tabla de los cuadrados dados en el párrafo anterior, se ve claramente que 144 \u003d 12 2, de donde está claro que la raíz cuadrada de 144 es igual a 12.

Pero a la luz de este artículo, estamos interesados \u200b\u200ben cómo se extrae la raíz mediante la descomposición del número guiado 144 a los multiplicadores simples. Analizaremos este método de soluciones.

Declarar 144 en multiplicadores simples:

Es decir, 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Sobre la base de la descomposición obtenida, estas transformaciones se pueden realizar: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d (2 · 2) 2 · 3 2 \u003d (2 · 2 · 3) 2 \u003d 12 2. Por eso, .

Usando el grado y las propiedades de las raíces, la solución podría ser ordenada y un poco diferente :.

Respuesta:

Para asegurar el material, considere soluciones para dos ejemplos más.

Ejemplo.

Calcular el valor de la raíz.

Decisión.

La descomposición en las fábricas simples del número de alimentación 243 tiene un formulario 243 \u003d 3 5. De este modo, .

Respuesta:

Ejemplo.

¿Es el valor de la raíz en un entero?

Decisión.

Para responder a esta pregunta, podamos descomponer el número guiado en multiplicadores simples y veremos si imaginaremos un cubo entero.

Tenemos 285 768 \u003d 2 3 · 3 6 · 7 2. La descomposición resultante no parece en forma de un cubo de un entero, ya que el grado de multiplicador simple 7 no es múltiple. En consecuencia, la raíz cúbica de entre 285.768 no se extrae dirigida.

Respuesta:

No.

Eliminar las raíces de los números fraccionarios

Es hora de averiguar cómo se extrae la raíz de un número fraccional. Deje un número de alimentación fraccional grabado como P / Q. Según la propiedad de la raíz de la privada, la siguiente igualdad es justa. De esta igualdad sigue raíz de raíz de la regla de la fruta.: La raíz de la fracción es igual a la privada de la fisión de la raíz del numerador a la raíz del denominador.

Analizaremos un ejemplo de extraer la raíz de la fracción.

Ejemplo.

Lo que es igual a la raíz cuadrada de la fracción ordinaria 25/169.

Decisión.

En la mesa de los cuadrados, encontramos que la raíz cuadrada del numerador de la fracción original es 5, y la raíz cuadrada del denominador es 13. Luego . En esta extracción de raíz de la fracción ordinaria 25/169 completada.

Respuesta:

La raíz de la fracción decimal o el número mixto se extrae después de reemplazar los números en fracciones ordinarias.

Ejemplo.

Retire la raíz cúbica de la fracción decimal 474.552.

Decisión.

Imagine la fracción decimal original en forma de una fracción ordinaria: 474,552 \u003d 474552/1000. Luego . Queda por extraer raíces cúbicas ubicadas en un numerador y denominador de la fracción resultante. Como 474 552 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 y 1 000 \u003d 10 3, luego y . Sólo sigue siendo completar los cálculos. .

Respuesta:

.

Extracción de la raíz de un número negativo

Por separado, vale la pena detenerse en la extracción de las raíces de los números negativos. Al estudiar las raíces, dijimos que cuando la velocidad de la raíz es un número impar, entonces un número negativo puede estar debajo de la señal raíz. Dichos registros dimos el siguiente significado: para un número negativo de -Un y un indicador de raíz impar 2 · N-1 de manera justa . Esta igualdad da la regla para extraer las raíces de un grado impar de números negativos: Para extraer la raíz de un número negativo, es necesario extraer la raíz del número opuesto opuesto a él, y para poner un signo menos antes del resultado.

Considere la solución del ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra el valor de la raíz.

Decisión.

Transformamos la expresión inicial para que bajo el signo de la raíz resultó ser un número positivo: . Ahora el número mixto es reemplazado por un disparo ordinario: . Aplique la regla de calificación de Fraci ordinary: . Queda por calcular las raíces en el numerador y el denomotor del Fraci resultante: .

Damos un breve registro de la solución: .

Respuesta:

.

Interruptor automático

En general, bajo la raíz, hay un número que, con la ayuda de los métodos desmontados, no es posible estar representado como un número de N. Pero al mismo tiempo es necesario conocer el valor de esta raíz, al menos con una precisión de algún signo. En este caso, para extraer la raíz, puede usar el algoritmo, lo que le permite obtener sucesivamente un número suficiente de valores de las descargas del número deseado.

En el primer paso de este algoritmo, es necesario descubrir cuál es el dígito anterior del valor de la raíz. Para hacer esto, se erigen constantemente en el grado N del número 0, 10, 100, ... hasta el número cuando se obtiene el número que excede el número de alimentación. Luego, el número que se construyó en el grado de N en la etapa anterior indicará la descarga superior apropiada.

Por ejemplo, considere este paso del algoritmo al retirar la raíz cuadrada de cinco. Tomamos los números 0, 10, 100, ... y los erigimos a un cuadrado hasta que obtenemos un número que supera los 5. Tenemos 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, Por lo tanto, la alta descarga será la descarga de unidades. El significado de esta descarga, así como más más joven, se encontrará en los siguientes pasos del algoritmo de extracción de raíz.

Todos los siguientes pasos del algoritmo están destinados a refinar constantemente el valor de la raíz debido al hecho de que los valores de los siguientes dígitos del valor de la raíz deseado están comenzando con los mayores y se mueven a los más jóvenes. Por ejemplo, el valor de la raíz en la primera etapa se obtiene 2, en el segundo - 2.2, en el tercero - 2.23, y así sucesivamente en 2,236067977 .... Describimos cómo se encuentran los valores de descarga.

La búsqueda de descargas se realiza al ingresar a sus posibles valores 0, 1, 2, ..., 9. Al mismo tiempo, los grados NIC de los números correspondientes se calculan en paralelo, y se comparan con un número interno. Si en algún momento, el valor del grado supera al número, se considera que el valor de la descarga correspondiente al valor anterior se considera, y la transición se realiza en la siguiente etapa del algoritmo de extracción de raíz, pero si esto No ocurre, el valor de esta descarga es 9.

Expliquemos todos estos momentos en el mismo ejemplo de la extracción de una raíz cuadrada de cinco.

Primero encontramos el valor de la descarga de unidades. Subiremos los valores de 0, 1, 2, ..., 9, calculando 0 2, 1 2, respectivamente, ..., 9 2 al momento, hasta que obtengan un valor, más Números sin coja 5 . Todos estos cálculos son convenientes para representar en forma de tabla:

Así que el valor de descarga de las unidades es 2 (ya que 2 2<5 , а 2 3 >cinco ). Ir a encontrar el valor de la descarga de las décimas. Al mismo tiempo, se veremos en el cuadrado del número 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparando los valores obtenidos con un número de consulta 5:

Como 2.2 2 2<5 , а 2,3 2 >5, el valor de la descarga de la décima es 2. Puede proceder a encontrar el valor de la descarga de centésimas:

Este es el siguiente valor de la raíz de cinco, es igual a 2.23. Y para que pueda continuar con otros valores: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Para asegurar el material, analizaremos la extracción de la raíz con una precisión de las centésimas con la ayuda del algoritmo considerado.

Primero definimos la descarga mayor. Para hacer esto, se erigen en una lista de números 0, 10, 100, etc. Hasta que recibamos un número que sea superior a 2 151,186. Tenemos 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, por lo tanto, la descarga superior es la descarga de decenas.

Determinar su valor.

Desde 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, el valor de la descarga de docenas es igual a 1. Ir a las unidades.

Por lo tanto, el valor de la descarga de unidades es 2. Ir a la décima.

Dado que incluso 12.9 3 es menor que el número PINTED 2 151,186, el valor de la descarga de la décima es 9. Queda por realizar el último paso del algoritmo, nos dará el valor de la raíz con la precisión requerida.

En esta etapa, el valor de la raíz se encuentra con la precisión de los centésimas: .

En conclusión de este artículo, me gustaría decir que hay muchas otras formas de extraer raíces. Pero para la mayoría de las tareas, hay suficientes que estudiamos anteriormente.

Bibliografía.

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• Gusev v.A., Mordkovich a.g. Matemáticas (subsidios para solicitantes a escuelas técnicas).

Antes de que aparezcan las calculadoras, los estudiantes y los maestros pensaron las raíces cuadradas manualmente. Hay varias formas de calcular el número de raíz cuadrada manualmente. Algunos de ellos ofrecen solo una solución aproximada, otros dan una respuesta precisa.

Pasos

Descomposición de factores simples

Difundir el número de multiplicadores que son números cuadrados. Dependiendo del número pasado, obtendrá una respuesta aproximada o precisa. Los números cuadrados son números a partir de los cuales se puede eliminar la raíz cuadrada completa. Multiplicadores - números que se dan en multiplicados. Por ejemplo, los multiplicadores del número 8 son 2 y 4, como 2 x 4 \u003d 8, los números 25, 36, 49 son números cuadrados, desde √25 \u003d 5, √36 \u003d 6, √49 \u003d 7. Multiplicadores cuadrados Son multiplicadores que son números cuadrados. Primero intente descomponer el número de alimentación en multiplicadores cuadrados.

• Por ejemplo, calcule la raíz cuadrada de 400 (manualmente). Primero intente descomponer a 400 por fallas cuadradas. 400 múltiples 100, es decir, se divide en 25: este es un número cuadrado. Dividiendo 400 a 25, recibirá 16. El número 16 también es un número cuadrado. Por lo tanto, 400 se puede descomponer en fallas cuadradas 25 y 16, es decir, 25 x 16 \u003d 400.
• Esto se puede escribir de la siguiente manera: √400 \u003d √ (25 x 16).

1. La raíz cuadrada del producto de algunos miembros es igual al producto de las raíces cuadradas de cada miembro, es decir, √ (a x b) \u003d √a x √b. Aproveche esta regla y retire la raíz cuadrada de cada multiplicador cuadrado y multiplique los resultados obtenidos para encontrar la respuesta.

   • En nuestro ejemplo, retire la raíz de 25 y de vez en 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16.
     • 5 x 4 \u003d 20

2. Si el número de alimentación no está establecido por dos factores cuadrados (y esto sucede en la mayoría de los casos), no podrá encontrar una respuesta precisa en la forma de un entero. Pero puede simplificar la tarea, colocando un número de alimentación en un factor cuadrado y un multiplicador ordinario (el número desde el cual es imposible extraer la raíz cuadrada completa). Luego, retire la raíz cuadrada del multiplicador cuadrado y extraerá la raíz del factor ordinario.

   • Por ejemplo, calcule la raíz cuadrada de entre el número 147. El número 147 no se puede descomponer en dos factores cuadrados, pero se puede descomponer en los siguientes factores: 49 y 3. Decidir la tarea de la siguiente manera:
     • \u003d √ (49 x 3)
     • \u003d √49 x √3
     • = 7√3

3. Si es necesario, aprecie el valor de la raíz. Ahora puede estimar el valor de la raíz (encontrar un valor aproximado) comparándolo con los valores de los números cuadrados que están más cerca (en ambos lados en una línea numérica) al número guiado. Obtendrá el valor de la raíz en forma de una fracción decimal, que debe multiplicarse por el número detrás de la señal raíz.

   • Volvamos a nuestro ejemplo. El número 3. Los números cuadrados más cercanos serán los números 1 (√1 \u003d 1) y 4 (√4 \u003d 2). Por lo tanto, el valor de √3 se encuentra entre 1 y 2. Es como un valor de √3, probablemente más cercano a 2 que a 1, luego nuestra calificación: √3 \u003d 1.7. Multiplicamos este valor por el número en el signo raíz: 7 x 1,7 \u003d 11.9. Si realiza cálculos en la calculadora, obtendrá 12.13, lo que está muy cerca de nuestra respuesta.
     • Este método también funciona con grandes números. Por ejemplo, considere √35. Ansidando el número 35. Los números cuadrados más cercanos a los números 25 (√25 \u003d 5) y 36 (√36 \u003d 6). Por lo tanto, el valor de √35 se encuentra entre 5 y 6. Dado que el valor de √35 está mucho más cerca de 6 que K 5 (porque 35 solo 1 es menos de 36), se puede declarar que √35 es un poco menor Más de 6. La verificación de la calculadora nos da una respuesta 5.92: estábamos correctos.

4. Otra forma es difundir el número de factores ordinarios. Los factores simples son números que comparten solo 1 y ellos mismos. Escriba multiplicadores simples en una fila y encuentre los pares de los mismos multiplicadores. Tales multiplicadores se pueden alcanzar para la señal de la raíz.

   • Por ejemplo, calcule la raíz cuadrada de 45. Desbloquee el número de alimentación en multiplicadores simples: 45 \u003d 9 x 5, y 9 \u003d 3 x 3. Por lo tanto, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 se puede alcanzar por la señal raíz: √45 \u003d 3√5. Ahora puedes estimar √5.
   • Considere otro ejemplo: √88.
     • \u003d √ (2 x 44)
     • \u003d √ (2 x 4 x 11)
     • \u003d √ (2 x 2 x 2 x 11). Recibiste tres factores 2; Tómese un par de ellos y prestó una raíz.
     • \u003d 2√ (2 x 11) \u003d 2√2 x √11. Ahora puede estimar √2 y √11 y encontrar una respuesta aproximada.

   Cálculo de la raíz cuadrada manualmente.

   Usando la división en la columna

   1. Este método incluye un proceso similar a la división en una columna y da una respuesta precisa. Primero, pase la línea vertical dividiendo la lámina en dos mitad, y luego a la derecha y ligeramente debajo del borde superior de la hoja a la línea vertical. Gire la línea horizontal. Ahora divida el número guiado en los pares de números, comenzando con la parte fraccionaria después de la coma. Por lo tanto, el número 79520789182.47897 está escrito como "7 95 20 78 91 82, 47,89 70".

      • Por ejemplo, calcule la raíz cuadrada del número 780.14. Dibuje dos líneas (como se muestra en la figura) y de la izquierda anterior, escriba este número en el formulario "7 80, 14". Es normal que el primer número de la izquierda sea un dígito no pareado. La respuesta (raíz de este número) se registrará a la derecha.

   2. Para los primeros pares de números (o un número), encuentre el número entero mayor, el cuadrado de los cuales sea menor o es igual al par de números (o un número). En otras palabras, encuentre un número cuadrado más cercano al primer par de números (o un número), pero menos que eso, y retire la raíz cuadrada de este número cuadrado; Recibirás el número N. Escriba el N encontrado desde arriba a la derecha, y el cuadrado N se registre desde la parte inferior derecha.

      • En nuestro caso, el primer número de la izquierda será el número 7. más, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Elimine el cuadrado del número N que acaba de encontrar, desde el primer par de números (o un número). El resultado del cálculo se registra respetable (cuadrado N).

      • En nuestro ejemplo, deduce 4 de 7 y consigue 3.

   4. Snemeice el segundo par de números y escríbelo alrededor del valor obtenido en el paso anterior. Luego, doble el número en la parte superior a la derecha y escriba el resultado de la parte inferior a la parte inferior con la adición de "_ × _ \u003d".

      • En nuestro ejemplo, el segundo par de números es "80". Escriba "80" después de 3. Luego, se duplicó en la parte superior de la derecha le da 4. Registre "4_ × _ \u003d" desde la parte inferior a la derecha.

   5. Llene el combustible a la derecha.

      • En nuestro caso, si en lugar de rígidos ponen el número 8, luego 48 x 8 \u003d 384, que es más de 380. Por lo tanto, 8 es demasiado, pero 7 se adaptarán. Escriba 7 en lugar de rigidez y obtenga: 47 x 7 \u003d 329. Registre 7 desde arriba a la derecha: este es el segundo dígito en la raíz cuadrada buscada del número 780.14.

   6. Elimine el número resultante del número actual a la izquierda. Anote el resultado de la etapa anterior en el número actual a la izquierda, busque la diferencia y escríbala debajo de Listo.

      • En nuestro ejemplo, deduce 329 de 380, lo que es igual a 51.

   7. Repita el paso 4. Si un par de números fraccional es una parte fraccional del número original, luego coloque el separador (coma) de las partes completas y fraccionadas en la raíz cuadrada buscada a la derecha. A la izquierda, demolen la siguiente pareja de números. Doble el número desde arriba a la derecha y escriba el resultado de la parte inferior a la parte inferior a la adición de "_ × _ \u003d".

      • En nuestro ejemplo, el siguiente par de números enviado será la parte fraccionaria del número 780.14, así que coloque el separador de las piezas enteras y fraccionadas en la raíz cuadrada articular en la parte superior de la derecha. Regístrese 14 y escribe a la izquierda. Un número duplicado desde arriba a la derecha (27) será de 54, por lo que escribe "54_ × _ \u003d" desde la parte inferior a la derecha.

   8. Repita los pasos 5 y 6. Encuentre un número más grande en el satélite a la derecha (en lugar de rígidos, debe sustituir el mismo número) para que el resultado de la multiplicación sea menor o igual que el número actual a la izquierda.

      • En nuestro ejemplo, 549 x 9 \u003d 4941, que es menor que el número actual a la izquierda (5114). Escriba 9 en la parte superior a la derecha y deduce el resultado de la multiplicación del número actual a la izquierda: 5114 - 4941 \u003d 173.

   9. Si por una raíz cuadrada debe encontrar señales más plagadas, escriba un par de ceros desde el número actual en la izquierda y repita los pasos 4, 5 y 6. Repita los pasos hasta que reciba la precisión de la respuesta (número de punto y coma).

   Entendiendo el proceso

   Para asimilar este método, imagine la raíz cuadrada de la cual es necesario encontrar como el cuadrado cuadrado S. en este caso, buscará la longitud del lado L de tal cuadrado. Calcule tal valor de L en el que l² \u003d S.

   Establezca la letra para cada dígito en respuesta. Denote por un primer dígito en el valor L (la raíz cuadrada deseada). B será el segundo dígito, C es el tercero y así sucesivamente.

   Establezca la letra para cada par de los primeros dígitos. Denote por S A El primer par de números en el valor S, a través de S B - el segundo par de números y así sucesivamente.

   Calcule la conexión de este método con la división en una columna. Como en la operación de la División, donde cada vez estamos interesados \u200b\u200ben el siguiente dígito del número de división, al calcular la raíz cuadrada, estamos trabajando constantemente con un par de números (para obtener un siguiente dígito en el valor de la raíz cuadrada).

   1. Considere el primer par de números SA (SA \u003d 7 en nuestro ejemplo) y encuentre su raíz cuadrada. En este caso, el primer dígito del valor deseado de la raíz cuadrada será tal dígito, cuyo cuadrado es menor o igual a s a (es decir, estamos buscando un A² ≤ SA.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Supongamos que necesitas dividir 88962 por 7; Aquí, el primer paso será similar: consideramos el primer dígito del número de división 88962 (8) y seleccionamos un número más grande, que, al multiplicar, da un valor menor o igual a 8. Es decir, estamos mirando Para tal número D, en el que la desigualdad es cierta: 7 × D ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imagine mentalmente la plaza, cuyo área necesita calcular. Está buscando L, es decir, la longitud de los lados del cuadrado, cuyo área es S. A, B, C, los números entre L. Escríbelo posible de otra manera: 10A + B \u003d L (para por un número de dos dígitos) o 100A + 10V + C \u003d L (para tres dígitos) y así sucesivamente.

      • Permitir (10A + B) ² \u003d L² \u003d S \u003d 100A² + 2 × 10A × B + B². Recuerde que 10A + B es un número de este tipo en el que la Figura B significa unidades, y la figura A es docenas. Por ejemplo, si A \u003d 1 y B \u003d 2, entonces 10A + B es igual al número 12. (10A + B) ² - Este es el área de todo el cuadrado, 100A² - Cuadrado de una gran plaza interna, B² - Pequeño cuadrado interno cuadrado, 10A × B. - El área de cada uno de los dos rectángulos. Doblando el cuadrado de las figuras descritas, encontrará el área cuadrada de origen.

Instrucción

Seleccione un multiplicador de este tipo para elegir un multiplicador de un bajo raíz Realmente la expresión, de lo contrario, la operación perderá. Por ejemplo, si está bajo el signo raíz con un indicador igual a tres (raíz cúbica), número 128, entonces desde el signo se puede hacer, por ejemplo, número 5. Al mismo tiempo. número 128 Tendrá que dividirse en 5 en Cuba: ³√128 \u003d 5 * ³√ (128 / 5³) \u003d 5 * ³√ (128/125) \u003d 5 * ³√1.024. Si la presencia de un número fraccional es familiar. raíz No contradice las condiciones de la tarea, entonces en este formulario. Si necesita una opción más sencilla, primero dispersa una expresión en tales multiplicadores de enteros, la raíz cúbica de la cual será númerom. Por ejemplo: ³√128 \u003d ³√ (64 * 2) \u003d ³√ (4³ * 2) \u003d 4 * ³√2.

Use para la selección de fábricas del número de alimentación, si no es posible calcular el grado del número. Esto es especialmente fiel a raízm con un indicador de grado más de dos. Si tiene acceso a Internet, puede calcular las computadoras de Google y Nigma integradas en los motores de búsqueda. Por ejemplo, si necesita encontrar el multiplicador de enteros más grandes, que se puede sacar del signo de cúbico raíz Para el número 250, luego haga clic en el sitio de Google, ingrese la solicitud "6 ^ 3" para verificar si es imposible hacer fuera del signo raíz Seis. El motor de búsqueda mostrará el resultado igual a 216. Aloy, 250 no se puede dividir sin un equilibrio número. Luego ingrese la solicitud 5 ^ 3. El resultado será de 125, y esto le permite dividir 250 en multiplicadores 125 y 2, lo que significa llevar a cabo desde debajo del signo raíz número 5, dejando allí número 2.

Fuentes:

• cómo sacar fuera de la raíz
• Raíz cuadrada del trabajo

Sacar de debajo raíz Uno de los factores es necesario en situaciones en las que es necesario simplificar la expresión matemática. Hay casos en que es imposible realizar los cálculos deseados utilizando la calculadora. Por ejemplo, si en lugar de números, se utilizan designaciones alfabéticas de variables.

Instrucción

Difundir la expresión pegajosa en fallas ordinarias. Mira a la cual los factores se repiten al mismo tiempo, indicados en los indicadores. raíz, o más. Por ejemplo, debe extraer la raíz de entre el cuarto grado. En este caso, el número se puede representar como un * A * A * A \u003d A * (A * A * A) \u003d A * A3. Indicador raíz En este caso, corresponderá a factor A3. Necesita ser sacado.

Retire la raíz de la pasta resultante por separado donde es posible. Extracción raíz Es un efecto algebraico, revertir el ejercicio. Extracción raíz Un grado aleatorio de entre el número para encontrar un número de este tipo que, al usarlo en este grado arbitrario, resultará en un número dado. Si la extracción raíz Es imposible producir, deje una expresión de alimentación bajo el signo. raíz como están las cosas. Como resultado de las acciones enumeradas, hará una abolladura de debajo. firmar raíz.

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Nota

Tenga cuidado al escribir una expresión de alimentación en forma de factores: un error en esta etapa conducirá a resultados incorrectos.

Consejo útil

Al retirar las raíces, es conveniente usar tablas especiales o tabletas de raíces logarítmicas, por esto, reduce significativamente el tiempo para encontrar la solución correcta.

Fuentes:

• señal de extracción de raíz en 2019

Se requiere la simplificación de las expresiones algebraicas en muchas secciones de las matemáticas, incluso para resolver las ecuaciones de grados, diferenciación e integración más altos. Esto utiliza varios métodos, incluida la descomposición en multiplicadores. Para aplicar este método, debe encontrar y hacer un común. factor por soportes.

Instrucción

Haciendo un factor común para soportes - Una de las formas más comunes de descomposición. Esta técnica se utiliza para simplificar la estructura de las largas expresiones algebraicas, es decir, polinomios. Común puede ser un número, soltero o retorcido, y la propiedad de distribución de multiplicación se utiliza para buscarla.

Número. Mire con cuidado sobre los coeficientes en cada polinomio, es posible dividirlos al mismo número. Por ejemplo, en la expresión 12 z³ + 16 z² - 4 obvio es factor 4. Después de la transformación, 4 (3 z³ + 4 z² es 1). Otro, este número es el divisor entero común más pequeño de todos los coeficientes.

Soltero. Detalles, ya sean la misma variable en cada uno de los componentes del polinomio. Supongamos que es así, ahora mira los coeficientes, como en el caso anterior. Ejemplo: 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Cada elemento de este polinomio contiene una variable Z. Además, todos los coeficientes son números, múltiples 3. En consecuencia, se sinojará un factor total con 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Bravucón soportes común factor De dos, variable y número, que es un polinomio total. Por lo tanto, si factor- No es obvio, entonces necesitas encontrar al menos una raíz. Resalte un miembro libre del polinomio, este es un coeficiente sin una variable. Ahora aplique el método de sustitución en la expresión general de todos los divisores de miembros gratuitos de enteros.

Considere: Z ^ 4 - 2 Z³ + Z² - 4 Z + 4. Verifique si alguno de los divisores completos del número 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² es 4 z + 4 \u003d 0. Encuentra una simple sustitución Z1 \u003d 1 y z2 \u003d 2, significa que soportes Puede soportar retorcido (Z - 1) y (Z - 2). Para encontrar la expresión restante, use la división secuencial en la columna.