Bazı insanlar "ilerleme" sözcüğünü, bu bölümlerden çok karmaşık bir terim olarak dikkatle ele alıyorlar. yüksek Matematik. Bu arada, en basit aritmetik ilerleme taksi sayacının (hala mevcut oldukları yerde) çalışmasıdır. Ve bir aritmetik dizinin özünü anlamak (ve matematikte "özünü anlamaktan" daha önemli bir şey yoktur), birkaç temel kavramı analiz ettikten sonra o kadar da zor değildir.
Matematiksel sayı dizisi
Sayısal diziye genellikle her biri kendi numarasına sahip olan bir sayı dizisi denir.
a 1 dizinin ilk üyesidir;
ve 2, dizinin ikinci terimidir;
ve 7, dizinin yedinci üyesidir;
ve n, dizinin n'inci üyesidir;
Ancak herhangi bir keyfi sayı ve sayı dizisi bizi ilgilendirmiyor. Dikkatimizi, n'inci terimin değerinin matematiksel olarak açıkça formüle edilebilecek bir ilişki yoluyla sıra numarasıyla ilişkilendirildiği sayısal diziye odaklayacağız. Başka bir deyişle: n'inci sayının sayısal değeri, n'nin bir fonksiyonudur.
a, sayısal bir dizinin bir üyesinin değeridir;
n seri numarasıdır;
f(n), n sayısal dizisindeki sıra numarasının argüman olduğu bir fonksiyondur.
Tanım
Aritmetik ilerlemeye genellikle birbirini takip eden her terimin bir öncekinden aynı sayı kadar büyük (küçük) olduğu sayısal dizi denir. Bir aritmetik dizinin n'inci teriminin formülü aşağıdaki gibidir:
a n - aritmetik ilerlemenin mevcut üyesinin değeri;
bir n+1 - sonraki sayının formülü;
d - fark (belirli bir sayı).
Farkın pozitif olması durumunda (d>0), söz konusu serinin her bir sonraki üyesinin bir öncekinden daha büyük olacağını ve böyle bir aritmetik ilerlemenin artacağını belirlemek kolaydır.
Aşağıdaki grafikte sayı dizisinin neden “artan” olarak adlandırıldığını görmek kolaydır.
Farkın negatif olduğu durumlarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Belirtilen üye değeri
Bazen bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir rastgele teriminin (n) değerini belirlemek gerekir. Bu, ilkinden istenilene kadar aritmetik ilerlemenin tüm üyelerinin değerlerinin sırayla hesaplanmasıyla yapılabilir. Ancak örneğin beş bininci veya sekiz milyonuncu terimin değerini bulmak gerekiyorsa bu yol her zaman kabul edilebilir değildir. Geleneksel hesaplamalar çok zaman alacaktır. Ancak belirli formüller kullanılarak belirli bir aritmetik ilerleme incelenebilir. Ayrıca n'inci terim için de bir formül vardır: Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir teriminin değeri, ilerlemenin ilk teriminin ilerlemenin farkıyla toplamının istenen terimin sayısıyla çarpımı ve eksiltilmesiyle belirlenebilir. bir.
Formül, ilerlemeyi artırmak ve azaltmak için evrenseldir.
Belirli bir terimin değerini hesaplamaya bir örnek
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin değerini bulmayla ilgili aşağıdaki problemi çözelim.
Durum: parametrelerle aritmetik bir ilerleme var:
Dizinin ilk terimi 3'tür;
Sayı serisindeki fark 1,2'dir.
Görev: 214 terimin değerini bulmanız gerekiyor
Çözüm: Belirli bir terimin değerini belirlemek için aşağıdaki formülü kullanırız:
a(n) = a1 + d(n-1)
Sorun ifadesindeki verileri ifadeye koyarsak:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Cevap: Dizinin 214. terimi 258,6'ya eşittir.
Bu hesaplama yönteminin avantajları açıktır - çözümün tamamı 2 satırdan fazla sürmez.
Belirli sayıda terimin toplamı
Çoğu zaman, belirli bir aritmetik seride, bazı bölümlerinin değerlerinin toplamını belirlemek gerekir. Bunu yapmak için her terimin değerlerini hesaplayıp daha sonra toplamaya da gerek yoktur. Toplamı bulunması gereken terim sayısının az olması durumunda bu yöntem uygulanabilir. Diğer durumlarda aşağıdaki formülü kullanmak daha uygundur.
1'den n'ye bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı, birinci ve n'inci terimlerin toplamına eşittir, n terimi sayısıyla çarpılır ve ikiye bölünür. Formülde n'inci terimin değeri makalenin önceki paragrafındaki ifadeyle değiştirilirse şunu elde ederiz:
Hesaplama örneği
Örneğin, aşağıdaki koşullarla ilgili bir problemi çözelim:
Dizinin ilk terimi sıfırdır;
Fark 0,5.
Problem 56'dan 101'e kadar olan serinin terimlerinin toplamının belirlenmesini gerektirmektedir.
Çözüm. İlerleme miktarını belirlemek için formülü kullanalım:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Öncelikle problemimizin verilen koşullarını formülde yerine koyarak ilerlemenin 101 teriminin değerlerinin toplamını belirliyoruz:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Açıkçası, 56. sıradan 101. sıraya ilerlemenin terimlerinin toplamını bulmak için S 101'den S 55'i çıkarmak gerekir.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Dolayısıyla, bu örnek için aritmetik ilerlemenin toplamı şöyledir:
sn 101 - sn 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Aritmetik ilerlemenin pratik uygulamasına örnek
Makalenin sonunda, ilk paragrafta verilen aritmetik dizi örneğine - taksimetreye (taksi araba sayacı) dönelim. Bu örneği ele alalım.
Taksiye binmek (3 km'lik yolculuk dahil) 50 rubleye mal oluyor. Sonraki her kilometre için 22 ruble/km oranında ödeme yapılır. Seyahat mesafesi 30 km'dir. Yolculuğun maliyetini hesaplayın.
1. İniş ücretine dahil olan ilk 3 km’yi bir kenara bırakalım.
30 - 3 = 27 km.
2. Daha fazla hesaplama, bir aritmetik sayı serisinin ayrıştırılmasından başka bir şey değildir.
Üye numarası - kat edilen kilometre sayısı (ilk üç eksi).
Üyenin değeri toplamdır.
Bu problemdeki ilk terim 1 = 50 rubleye eşit olacaktır.
İlerleme farkı d = 22 r.
ilgilendiğimiz sayı aritmetik ilerlemenin (27+1)'inci teriminin değeridir - 27. kilometrenin sonundaki sayaç okuması 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
İsteğe bağlı olarak uzun bir süre için takvim verileri hesaplamaları, belirli sayısal dizileri açıklayan formüllere dayanmaktadır. Astronomide yörüngenin uzunluğu geometrik olarak gök cisminin yıldıza olan uzaklığına bağlıdır. Ayrıca çeşitli sayı serileri istatistikte ve matematiğin diğer uygulamalı alanlarında başarıyla kullanılmaktadır.
Başka bir sayı dizisi türü geometriktir
Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemeye kıyasla daha yüksek değişim oranlarıyla karakterize edilir. Siyasette, sosyolojide ve tıpta belirli bir olgunun, örneğin bir hastalığın salgın sırasındaki yüksek yayılma hızını göstermek için sürecin geometrik ilerlemeyle geliştiğini söylemeleri tesadüf değildir.
Geometrik sayı serisinin N'inci terimi, bazı sabit sayılarla çarpılması bakımından öncekinden farklıdır - payda, örneğin, ilk terim 1'dir, payda buna karşılık olarak 2'ye eşittir, o zaman:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - geometrik ilerlemenin mevcut teriminin değeri;
b n+1 - geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin formülü;
q geometrik ilerlemenin paydasıdır (sabit bir sayı).
Aritmetik ilerlemenin grafiği düz bir çizgi ise, geometrik ilerleme biraz farklı bir tablo çizer:
Aritmetikte olduğu gibi geometrik ilerlemenin de keyfi bir terimin değeri için bir formülü vardır. Geometrik ilerlemenin herhangi bir n'inci terimi, ilk terimin çarpımına ve n'nin kuvvetine doğru ilerlemenin paydasının bir eksiltilmesine eşittir:
Örnek. İlk terimi 3'e ve ilerlemenin paydası 1,5'e eşit olan geometrik bir ilerlememiz var. İlerlemenin 5. terimini bulalım
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Belirli sayıda terimin toplamı da özel bir formül kullanılarak hesaplanır. Bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı, ilerlemenin n'inci teriminin çarpımı ile paydası ile ilerlemenin ilk terimi arasındaki farkın paydanın bir eksiltilmesiyle bölünmesine eşittir:
Yukarıda tartışılan formül kullanılarak b n değiştirilirse, söz konusu sayı serisinin ilk n teriminin toplamının değeri şu şekli alacaktır:
Örnek. Geometrik ilerleme ilk terimin 1'e eşit olmasıyla başlar. Payda 3'e eşitlenir. İlk sekiz terimin toplamını bulalım.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
I. V. Yakovlev | Matematik materyalleri | MathUs.ru
Aritmetik ilerleme özel bir dizi türüdür. Bu nedenle, aritmetik (ve ardından geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce, önemli sayı dizisi kavramını kısaca tartışmamız gerekiyor.
Alt sıra
Ekranında belirli sayıların birbiri ardına görüntülendiği bir cihaz düşünün. 2 diyelim; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu sayı kümesi tam olarak bir dizi örneğidir.
Tanım. Sayı dizisi, her sayıya benzersiz bir sayının atanabileceği (yani tek bir doğal sayıyla ilişkili)1 bir sayı kümesidir. n sayısına dizinin n'inci terimi denir.
Yani yukarıdaki örnekte ilk sayı 2'dir, bu dizinin ilk üyesidir ve a1 ile gösterilebilir; beş rakamı 6 rakamına sahiptir, serinin beşinci terimidir ve a5 ile gösterilebilir. Kesinlikle, n'inci terim diziler bir (veya bn, cn, vb.) ile gösterilir.
Dizinin n'inci teriminin bir formülle belirlenebildiği durum çok uygun bir durumdur. Örneğin, an = 2n 3 formülü şu diziyi belirtir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü şu sırayı belirtir: 1; 1; 1; 1; : : :
Her sayı kümesi bir dizi değildir. Dolayısıyla bir parça bir dizi değildir; yeniden numaralandırılamayacak kadar çok sayıda sayı içeriyor. Tüm reel sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Aritmetik ilerleme: temel tanımlar
Artık aritmetik ilerlemeyi tanımlamaya hazırız.
Tanım. Aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) önceki terimin ve bazı sabit sayıların (aritmetik ilerlemenin farkı olarak adlandırılır) toplamına eşit olduğu bir dizidir.
Örneğin dizi 2; 5; 8; on bir; : : : ilk terimi 2 ve farkı 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 7; 2; 3; 8; : : : ilk terimi 7 ve farkı 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 3; 3; 3; : : : farkı sıfıra eşit olan bir aritmetik ilerlemedir.
Eşdeğer tanım: an+1 an farkı sabit bir değerse (n'den bağımsız) an dizisine aritmetik ilerleme denir.
Aritmetik ilerlemeye farkı pozitifse artan, farkı negatifse azalan denir.
1 Ancak burada daha kısa bir tanım var: Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, gerçek sayılar dizisi bir f: N fonksiyonudur! R.
Varsayılan olarak dizilerin sonsuz olduğu, yani sonsuz sayıda sayı içerdiği kabul edilir. Ancak hiç kimse bizi sonlu dizileri dikkate alma zahmetine sokmuyor; aslında herhangi bir sonlu sayı kümesine sonlu bir dizi denilebilir. Örneğin bitiş sırası 1'dir; 2; 3; 4; 5 beş sayıdan oluşur.
Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül
Aritmetik ilerlemenin tamamen iki sayı tarafından belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle şu soru ortaya çıkıyor: İlk terimi ve farkı bilerek, aritmetik ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl buluruz?
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için gerekli formülü elde etmek zor değildir. izin ver
farkla aritmetik ilerleme d. Sahibiz: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): |
|
Özellikle şunu yazıyoruz: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
ve şimdi a'nın formülünün şu olduğu ortaya çıkıyor: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
Problem 1. Aritmetik ilerleme 2'de; 5; 8; on bir; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.
Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti
Aritmetik ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede ve herhangi biri için
Başka bir deyişle, bir aritmetik ilerlemenin her üyesi (ikincisinden başlayarak) komşu üyelerinin aritmetik ortalamasıdır.
Kanıt. Sahibiz: |
||||
bir n 1 + bir n+1 |
(ve d) + (an + d) |
|||
gerekli olan da buydu.
Daha genel olarak, aritmetik ilerleme an eşitliği sağlar
bir n = bir n k + bir n+k
herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Formül (2)'nin, dizinin aritmetik bir ilerleme olması için yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olarak hizmet ettiği ortaya çıktı.
Aritmetik ilerleme işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi bir aritmetik ilerlemedir.
Kanıt. Formül (2)'yi şu şekilde yeniden yazalım:
a n a n 1 = a n+1 a n:
Buradan an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını görebiliriz ve bu tam olarak an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.
Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti tek bir ifade biçiminde formüle edilebilir; Kolaylık sağlamak için bunu üç sayı için yapacağız (bu, problemlerde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur).
Aritmetik ilerlemenin karakterizasyonu. Üç a, b, c sayısı ancak ve ancak 2b = a + c ise bir aritmetik ilerleme oluşturur.
Problem 2. (MSU, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sıraya göre 8x, 3x2 ve 4 numaralı üç sayı azalan bir aritmetik dizi oluşturuyor. X'i bulun ve bu ilerlemenin farkını belirtin.
Çözüm. Aritmetik ilerlemenin özelliği gereği elimizde:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Eğer x = 1 ise 6 farkla 8, 2, 4'lük azalan bir ilerleme elde ederiz. Eğer x = 5 ise 40, 22, 4'lük artan bir ilerleme elde ederiz; bu durum uygun değildir.
Cevap: x = 1, fark 6'dır.
Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı
Efsaneye göre bir gün öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyler ve sessizce oturup gazete okur. Ancak birkaç dakika içinde bir çocuk sorunu çözdüğünü söyledi. Bu kişi, daha sonra tarihteki en büyük matematikçilerden biri olacak olan 9 yaşındaki Carl Friedrich Gauss'du.
Küçük Gauss'un fikri şuydu. İzin vermek
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Bu tutarı tersten yazalım:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ve şu iki formülü ekleyin:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Parantez içindeki her terim 101'e eşittir ve toplamda 100 tane terim vardır.
2S = 101 100 = 10100;
Toplam formülünü türetmek için bu fikri kullanırız
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Eğer n'inci terim an = a1 + (n 1)d'nin formülünü yerine koyarsak, formül (3)'ün yararlı bir modifikasyonu elde edilir:
2a1 + (n 1)d |
|||||
Problem 3. 13'e bölünebilen tüm üç basamaklı pozitif sayıların toplamını bulun.
Çözüm. Üç basamaklı sayılar 13'ün katları, birinci terim (104) ve fark (13) ile bir aritmetik ilerleme oluşturur; Bu ilerlemenin n'inci terimi şu şekildedir:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
İlerlememizin kaç terim içerdiğini bulalım. Bunu yapmak için eşitsizliği çözüyoruz:
bir 6 999; 91 + 13n 6 999;
n6 90813 = 691113; numara 6 69:
Yani ilerlememizde 69 üye var. Formül (4)'ü kullanarak gerekli miktarı buluruz:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Örneğin \(2\); dizisi \(5\); \(8\); \(onbir\); \(14\)... aritmetik bir ilerlemedir, çünkü sonraki her öğe bir öncekinden üç kat farklıdır (bir öncekinden üç ekleyerek elde edilebilir):
Bu ilerlemede, \(d\) farkı pozitiftir (\(3\'e eşittir) ve dolayısıyla her bir sonraki terim bir öncekinden daha büyüktür. Bu tür ilerlemelere denir artan.
Ancak \(d\) negatif bir sayı da olabilir. Örneğin, aritmetik ilerlemede \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ilerleme farkı \(d\) eksi altıya eşittir.
Ve bu durumda, sonraki her öğe bir öncekinden daha küçük olacaktır. Bu ilerlemelere denir azalan.
Aritmetik ilerleme gösterimi
İlerleme küçük bir Latin harfiyle gösterilir.
Bir dizi oluşturan sayılara denir üyeler(veya öğeler).
Aritmetik ilerlemeyle aynı harfle gösterilirler, ancak sıradaki öğenin numarasına eşit bir sayısal indeksle gösterilirler.
Örneğin, \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetik ilerlemesi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) vb.
Başka bir deyişle, ilerleme için \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Aritmetik ilerleme problemlerini çözme
Prensip olarak, yukarıda sunulan bilgiler hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini (OGE'de sunulanlar dahil) çözmek için zaten yeterlidir.
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme \(b_1=7; d=4\) koşullarıyla belirtilir. \(b_5\) bulun.
Çözüm:
Cevap: \(b_5=23\)
Örnek (OGE).
Bir aritmetik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: \(62; 49; 36…\) Bu ilerlemenin ilk negatif teriminin değerini bulun.
Çözüm:
|
Bize dizinin ilk elemanları veriliyor ve bunun aritmetik bir ilerleme olduğunu biliyoruz. Yani her element komşusundan aynı sayıda farklılık gösterir. Bir öncekini sonraki elemandan çıkararak hangisi olduğunu bulalım: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Artık ilerlememizi ihtiyacımız olan (ilk olumsuz) unsura geri döndürebiliriz. |
|
|
Hazır. Cevap yazabilirsiniz. |
Cevap: \(-3\)
Örnek (OGE).
Bir aritmetik dizinin ardışık birkaç elemanı verildiğinde: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) harfiyle gösterilen elemanın değerini bulun.
Çözüm:
|
|
\(x\)'i bulmak için bir sonraki elemanın bir öncekinden ne kadar farklı olduğunu yani ilerleme farkını bilmemiz gerekir. Bunu bilinen iki komşu elemandan bulalım: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Artık aradığımız şeyi kolaylıkla bulabiliyoruz: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Hazır. Cevap yazabilirsiniz. |
Cevap: \(7,5\).
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme aşağıdaki koşullarla tanımlanır: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu ilerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulun.
Çözüm:
|
İlerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulmamız gerekiyor. Ama biz onların anlamlarını bilmiyoruz; bize yalnızca ilk unsur veriliyor. Bu nedenle öncelikle bize verilenleri kullanarak değerleri tek tek hesaplıyoruz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Gerekli miktar bulunmuştur. |
Cevap: \(S_6=9\).
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerlemede \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu ilerlemenin farkını bulun.
Çözüm:
Cevap: \(d=7\).
Aritmetik ilerleme için önemli formüller
Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemeyle ilgili birçok problem, asıl meselenin anlaşılmasıyla çözülebilir - aritmetik ilerlemenin bir sayı zinciri olduğu ve bu zincirdeki sonraki her öğenin, aynı sayının bir öncekine eklenmesiyle elde edildiği ( ilerleme farkı).
Ancak bazen "kafa kafaya" karar vermenin çok sakıncalı olduğu durumlar vardır. Örneğin, ilk örnekte beşinci elementi \(b_5\) değil, üç yüz seksen altıncı \(b_(386)\) bulmamız gerektiğini düşünün. Dört \(385\) kez mi eklememiz gerekiyor? Veya sondan bir önceki örnekte ilk yetmiş üç elementin toplamını bulmanız gerektiğini hayal edin. Saymaktan yorulacaksınız...
Dolayısıyla bu gibi durumlarda işleri “birdenbire” çözmezler, aritmetik ilerleme için türetilmiş özel formüller kullanırlar. Ve bunların başlıcaları ilerlemenin n'inci terimi formülü ve \(n\) ilk terimin toplamı formülüdür.
\(n\)'inci terimin formülü: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) ilerlemenin ilk terimidir;
\(n\) – gerekli öğenin numarası;
\(a_n\) – \(n\) sayısıyla ilerlemenin terimi.
Bu formül, yalnızca ilkini ve ilerlemenin farkını bilerek üç yüzüncü veya milyonuncu elementi bile hızlı bir şekilde bulmamızı sağlar.
Örnek.
Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)'ı bulun.
Çözüm:
Cevap: \(b_(246)=1850\).
İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada
\(a_n\) – son toplanan terim;
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme \(a_n=3.4n-0.6\) koşullarıyla belirtilir. Bu ilerlemenin ilk \(25\) teriminin toplamını bulun.
Çözüm:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
İlk yirmi beş terimin toplamını hesaplamak için birinci ve yirmi beşinci terimin değerini bilmemiz gerekir. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Şimdi \(n\) yerine yirmi beş koyarak yirmi beşinci terimi bulalım. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Artık gerekli miktarı kolayca hesaplayabiliriz. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Cevap hazır. |
Cevap: \(S_(25)=1090\).
İlk terimlerin \(n\) toplamı için başka bir formül elde edebilirsiniz: sadece \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \'ye ihtiyacınız var (\cdot 25\ ) \(a_n\) yerine \(a_n=a_1+(n-1)d\) formülünü kullanın. Şunu elde ederiz:
İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada
\(S_n\) – \(n\) ilk elemanın gerekli toplamı;
\(a_1\) – ilk toplanan terim;
\(d\) – ilerleme farkı;
\(n\) – toplam öğe sayısı.
Örnek.
Aritmetik ilerlemenin ilk \(33\)-ex terimlerinin toplamını bulun: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Çözüm:
Cevap: \(S_(33)=-231\).
Daha karmaşık aritmetik ilerleme problemleri
Artık hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini çözmek için ihtiyacınız olan tüm bilgilere sahipsiniz. Sadece formülleri uygulamanız değil, biraz da düşünmeniz gereken problemleri ele alarak konuyu bitirelim (matematikte bu işinize yarayabilir ☺)
Örnek (OGE).
İlerlemedeki tüm negatif terimlerin toplamını bulun: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Çözüm:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Görev bir öncekine çok benzer. Aynı şeyi çözmeye başlıyoruz: önce \(d\)'yi buluyoruz. |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Şimdi toplam formülüne \(d\) koymak istiyorum... ve işte karşıma çıkıyor küçük nüans– \(n\) bilmiyoruz. Başka bir deyişle kaç terimin eklenmesi gerektiğini bilmiyoruz. Nasıl öğrenilir? Düşünelim. İlk pozitif öğeye ulaştığımızda öğe eklemeyi bırakacağız. Yani bu elementin sayısını bulmanız gerekiyor. Nasıl? Bizim durumumuz için aritmetik ilerlemenin herhangi bir elemanını hesaplamak için formülü yazalım: \(a_n=a_1+(n-1)d\). |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Sıfırdan büyük olması için \(a_n\)'a ihtiyacımız var. Bunun ne zaman olacağını \(n\) öğrenelim. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Eşitsizliğin her iki tarafını \(0,3\)'a bölüyoruz. |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
İşaretleri değiştirmeyi unutmadan eksi bir aktarıyoruz |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hadi hesaplayalım... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...ve görünüşe göre ilk pozitif unsur\(66\) numarasına sahip olacaktır. Buna göre son negatif \(n=65\) olur. Her ihtimale karşı şunu kontrol edelim. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Bu yüzden ilk \(65\) elemanını eklememiz gerekiyor. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Cevap hazır. |
Cevap: \(S_(65)=-630.5\).
Örnek (OGE).
Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)th'den \(42\) elemanına kadar olan toplamı bulun.
Çözüm:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Bu problemde ayrıca elemanların toplamını bulmanız gerekir, ancak ilkinden değil \(26\)'dan başlayarak. Böyle bir durum için elimizde bir formül yok. Nasıl karar verilir? |
|
|
İlerlememiz için \(a_1=-33\) ve fark \(d=4\) (sonuçta, bir sonrakini bulmak için dördünü önceki öğeye ekleriz). Bunu bilerek ilk \(42\)-y elemanlarının toplamını buluyoruz. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Şimdi ilk \(25\) elemanların toplamı. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ve son olarak cevabı hesaplıyoruz. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Cevap: \(S=1683\).
Aritmetik ilerleme için, pratik kullanışlılığının düşük olması nedeniyle bu makalede dikkate almadığımız birkaç formül daha vardır. Ancak bunları kolayca bulabilirsiniz.
Evet evet: aritmetik ilerleme sizin için bir oyuncak değil :) Pekala arkadaşlar, eğer bu metni okuyorsanız, o zaman iç kanıt bana aritmetik ilerlemenin ne olduğunu henüz bilmediğinizi, ancak gerçekten (hayır, böyle: Çooook!) bilmek istediğinizi söylüyor. Bu nedenle uzun tanıtımlarla sizi sıkmayacağım ve doğrudan konuya gireceğim.
Öncelikle birkaç örnek. Birkaç sayı kümesine bakalım:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Tüm bu setlerin ortak noktası nedir? İlk bakışta hiçbir şey yok. Ama aslında bir şey var. Yani: sonraki her öğe öncekinden aynı sayıda farklıdır.
Kendiniz karar verin. İlk küme, her biri bir öncekinden bir fazla olan ardışık sayılardan oluşur. İkinci durumda seriler arasındaki fark ayakta sayılar zaten beşe eşit ama bu fark hala sabit. Üçüncü durumda ise tamamen kökler vardır. Bununla birlikte, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ve $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yani. ve bu durumda, sonraki her öğe $\sqrt(2)$ kadar artar (ve bu sayının irrasyonel olduğundan korkmayın).
Yani: bu tür dizilerin tümüne aritmetik ilerlemeler denir. Kesin bir tanım verelim:
Tanım. Her birinin bir öncekinden tam olarak aynı miktarda farklı olduğu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir. Sayıların farklı olduğu miktara ilerleme farkı denir ve çoğunlukla $d$ harfiyle gösterilir.
Gösterim: $\left(((a)_(n)) \right)$ ilerlemenin kendisidir, $d$ onun farkıdır.
Ve sadece birkaç önemli not. İlk olarak, ilerleme yalnızca dikkate alınır sipariş edildi sayıların sırası: kesinlikle yazıldıkları sıraya göre okunmalarına izin verilir - başka hiçbir şeye izin verilmez. Sayılar yeniden düzenlenemez veya değiştirilemez.
İkincisi, dizinin kendisi sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, (1; 2; 3) kümesi açıkça sonlu bir aritmetik ilerlemedir. Ancak (1; 2; 3; 4; ...) ruhuyla bir şey yazarsanız, bu zaten sonsuz bir ilerlemedir. Dörtten sonraki üç nokta, daha pek çok sayının geleceğini ima ediyor gibi görünüyor. Örneğin sonsuz sayıda. :)
İlerlemelerin artabileceğini veya azalabileceğini de belirtmek isterim. Artanları zaten gördük - aynı küme (1; 2; 3; 4; ...). İşte azalan ilerlemelerin örnekleri:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Tamam tamam: son örnek aşırı karmaşık görünebilir. Ama gerisini sanırım anlıyorsunuz. Bu nedenle yeni tanımlar sunuyoruz:
Tanım. Aritmetik ilerlemeye denir:
- her bir sonraki öğe bir öncekinden büyükse artar;
- aksine, sonraki her öğe bir öncekinden daha azsa azalır.
Ek olarak, "durağan" diziler de vardır - bunlar aynı tekrar eden sayıdan oluşur. Örneğin, (3; 3; 3; ...).
Geriye tek bir soru kalıyor: Artan ilerlemeyi azalan ilerlemeden nasıl ayırt edebiliriz? Neyse ki, buradaki her şey yalnızca $d$ sayısının işaretine bağlıdır, yani. ilerleme farklılıkları:
- $d \gt 0$ ise ilerleme artar;
- Eğer $d \lt 0$ ise ilerleme açıkça azalıyor demektir;
- Son olarak, $d=0$ durumu vardır - bu durumda tüm ilerleme aynı sayıların sabit bir dizisine indirgenir: (1; 1; 1; 1; ...), vb.
Yukarıda verilen üç azalan ilerleme için $d$ farkını hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için herhangi iki bitişik öğeyi (örneğin birinci ve ikinci) alıp soldaki sayıyı sağdaki sayıdan çıkarmak yeterlidir. Bunun gibi görünecek:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Gördüğümüz gibi her üç durumda da fark aslında negatif çıktı. Artık tanımları az çok anladığımıza göre, ilerlemelerin nasıl tanımlandığını ve hangi özelliklere sahip olduğunu anlamanın zamanı geldi.
İlerleme terimleri ve yineleme formülü
Dizilerimizin elemanları değiştirilemediği için numaralandırılabilirler:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Sağ\)\]
Bu kümenin bireysel elemanlarına bir ilerlemenin üyeleri denir. Bir sayı ile gösterilirler: birinci üye, ikinci üye vb.
Ek olarak, zaten bildiğimiz gibi, ilerlemenin komşu terimleri aşağıdaki formülle ilişkilidir:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Kısacası, bir ilerlemenin $n$th terimini bulmak için $n-1$th terimini ve $d$ farkını bilmeniz gerekir. Bu formüle yinelenen denir, çünkü onun yardımıyla herhangi bir sayıyı yalnızca bir öncekini (ve aslında tüm öncekileri) bilerek bulabilirsiniz. Bu çok sakıncalıdır, bu nedenle hesaplamaları ilk terime ve farka indirgeyen daha kurnaz bir formül vardır:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Muhtemelen bu formülle zaten karşılaşmışsınızdır. Her türlü referans kitaplarında ve çözüm kitaplarında bunu vermekten hoşlanıyorlar. Ve herhangi bir mantıklı matematik ders kitabında ilklerden biridir.
Ancak biraz pratik yapmanızı öneririm.
Görev No.1. Aritmetik ilerlemenin ilk üç terimini $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ yazın.
Çözüm. Yani, ilk terimi $((a)_(1))=8$ ve $d=-5$ ilerlemesinin farkını biliyoruz. Az önce verilen formülü kullanalım ve $n=1$, $n=2$ ve $n=3$ yerine koyalım:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizala)\]
Cevap: (8; 3; −2)
Bu kadar! Lütfen dikkat: ilerlememiz azalıyor.
Tabii ki, $n=1$ değiştirilemez - ilk terim bizim tarafımızdan zaten bilinmektedir. Ancak birliği yerine koyarak formülümüzün ilk terim için bile işe yaradığına ikna olduk. Diğer durumlarda her şey banal aritmetiğe indirgeniyordu.
Görev No.2. Bir aritmetik dizinin yedinci terimi -40'a ve on yedinci terimi -50'ye eşitse ilk üç terimini yazın.
Çözüm. Sorunun durumunu tanıdık terimlerle yazalım:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Sağ.\]
Sistem işaretini koydum çünkü bu gereksinimlerin aynı anda karşılanması gerekiyor. Şimdi şunu belirtelim ki ikinci denklemden birinciyi çıkarırsak (sistemimiz olduğu için bunu yapmaya hakkımız var) şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizala)\]
İlerleme farkını bulmak işte bu kadar kolay! Geriye kalan tek şey, bulunan sayıyı sistemdeki denklemlerden herhangi birine koymaktır. Örneğin, ilkinde:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]
Şimdi ilk terimi ve farkı bildiğimize göre, ikinci ve üçüncü terimleri bulmaya devam ediyoruz:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizala)\]
Hazır! Problem çözüldü.
Cevap: (−34; −35; −36)
İlerlemeyle ilgili keşfettiğimiz ilginç özelliğe dikkat edin: $n$th ve $m$th terimlerini alıp bunları birbirinden çıkarırsak, ilerlemenin farkını $n-m$ sayısıyla çarparak elde ederiz:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Basit ama çok kullanışlı özellik Kesinlikle bilmeniz gereken - onun yardımıyla birçok ilerleme sorununun çözümünü önemli ölçüde hızlandırabilirsiniz. İşte bunun açık bir örneği:
Görev No.3. Bir aritmetik ilerlemenin beşinci terimi 8,4, onuncu terimi ise 14,4'tür. Bu ilerlemenin on beşinci terimini bulun.
Çözüm. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ve $((a)_(15))$'ı bulmamız gerektiğinden, şunu not ediyoruz:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizala)\]
Ancak $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ koşuluna göre, dolayısıyla $5d=6$, bundan şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizala)\]
Cevap: 20.4
Bu kadar! Herhangi bir denklem sistemi oluşturmamıza ve ilk terimi ve farkı hesaplamamıza gerek yoktu; her şey sadece birkaç satırda çözüldü.
Şimdi başka bir problem türüne bakalım: ilerlemenin negatif ve pozitif terimlerini bulmaya. İlerleme artarsa ve ilk terimi negatifse, er ya da geç olumlu terimlerin içinde görüneceği bir sır değildir. Ve bunun tersi de geçerlidir: azalan ilerlemenin koşulları er ya da geç olumsuz hale gelecektir.
Aynı zamanda unsurları sırayla geçerek bu anı “kafa kafaya” bulmak her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman problemler öyle bir şekilde yazılır ki formülleri bilmeden hesaplamalar birkaç sayfa kağıt alır; biz cevabı bulurken uykuya dalarız. Bu nedenle bu sorunları daha hızlı çözmeye çalışalım.
Görev No.4. Aritmetik ilerlemede kaç tane negatif terim var −38,5; −35,8; ...?
Çözüm. Yani, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan farkı hemen buluruz:
Farkın pozitif olduğunu, dolayısıyla ilerlemenin arttığını unutmayın. İlk terim negatiftir, dolayısıyla bir noktada pozitif sayılara rastlayacağız. Tek soru bunun ne zaman olacağıdır.
Hadi şunu bulmaya çalışalım: ne zamana kadar (yani ne zamana kadar) doğal sayı$n$) terimlerin olumsuzluğu korunur:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizala)\]
Son satır biraz açıklama gerektiriyor. Yani $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu biliyoruz. Öte yandan, sayının yalnızca tamsayı değerleriyle yetiniyoruz (ayrıca: $n\in \mathbb(N)$), dolayısıyla izin verilen en büyük sayı tam olarak $n=15$'dır ve hiçbir durumda 16 değildir. .
Görev No.5. Aritmetik ilerlemede $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu ilerlemenin ilk pozitif teriminin sayısını bulun.
Bu, bir öncekiyle tamamen aynı problem olacaktır, ancak $((a)_(1))$'ı bilmiyoruz. Ancak komşu terimler biliniyor: $((a)_(5))$ ve $((a)_(6))$, böylece ilerlemenin farkını kolayca bulabiliriz:
Ayrıca standart formülü kullanarak beşinci terimi birinci ve fark üzerinden ifade etmeye çalışalım:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizala)\]
Şimdi önceki göreve benzeterek ilerliyoruz. Pozitif sayıların dizimizin hangi noktasında görüneceğini öğrenelim:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(hizala)\]
Bu eşitsizliğin minimum tamsayı çözümü 56 sayısıdır.
Lütfen unutmayın: son görevde her şey katı eşitsizlik yani $n=55$ seçeneği bize uymayacaktır.
Artık basit problemleri nasıl çözeceğimizi öğrendiğimize göre, daha karmaşık problemlere geçelim. Ama önce, aritmetik ilerlemelerin bize çok fazla zaman kazandıracak ve gelecekte eşit olmayan hücrelere sahip olmamızı sağlayacak çok yararlı başka bir özelliğini inceleyelim. :)
Aritmetik ortalama ve eşit girintiler
Artan aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimini ele alalım $\left(((a)_(n)) \right)$. Bunları sayı doğrusunda işaretlemeye çalışalım:
Sayı doğrusunda aritmetik ilerlemenin terimleriÖzellikle $((a)_(n-3))),...,((a)_(n+3))$ gibi keyfi terimleri işaretledim, $((a)_(1)) ,\'yi değil. ((a)_(2))),\ ((a)_(3))$, vb. Çünkü şimdi anlatacağım kural her “segment” için aynı şekilde işliyor.
Ve kural çok basit. Tekrarlanan formülü hatırlayalım ve işaretli tüm terimler için yazalım:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizala)\]
Ancak bu eşitlikler farklı şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizala)\]
Peki ne olmuş? Ve $((a)_(n-1))$ ve $((a)_(n+1))$ terimlerinin $((a)_(n)) $'dan aynı uzaklıkta olması . Ve bu mesafe $d$'a eşittir. Aynı şey $((a)_(n-2))$ ve $((a)_(n+2))$ terimleri için de söylenebilir - bunlar aynı zamanda $((a)_(n) öğesinden de kaldırılmıştır. )$ aynı mesafede $2d$'a eşittir. Sonsuza kadar devam edebiliriz, ancak anlam resimde çok iyi gösterilmiştir.
İlerleme koşulları merkezden aynı uzaklıkta yer alır Bu bizim için ne anlama geliyor? Bu, eğer komşu sayılar biliniyorsa $((a)_(n))$ öğesinin bulunabileceği anlamına gelir:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1))))(2)\]
Mükemmel bir ifade elde ettik: Bir aritmetik ilerlemenin her terimi, komşu terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir! Üstelik: $((a)_(n))$'dan sola ve sağa bir adım değil, $k$ adımlarla geri adım atabiliriz - ve formül yine de doğru olacaktır:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]
Onlar. $((a)_(100))$ ve $((a)_(200))$ $'ı biliyorsak, bazı $((a)_(150))$'ları kolayca bulabiliriz, çünkü $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200))))(2)$. İlk bakışta bu gerçeğin bize hiçbir faydası olmadığı düşünülebilir. Ancak pratikte birçok problem aritmetik ortalamayı kullanacak şekilde özel olarak uyarlanmıştır. Bir göz at:
Görev No. 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ve $14+4((x)^(2))$ sayılarının ardışık terimler olduğu tüm $x$ değerlerini bulun. aritmetik ilerleme (belirtilen sıraya göre).
Çözüm. Bu sayılar bir ilerlemenin üyeleri olduğundan, aritmetik ortalama koşulu onlar için karşılanmıştır: merkezi öğe $x+1$ komşu öğeler cinsinden ifade edilebilir:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizala)\]
Klasik çıktı ikinci dereceden denklem. Kökleri: $x=2$ ve $x=-3$ yanıtlardır.
Cevap: −3; 2.
Görev No.7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ sayılarının aritmetik bir ilerleme oluşturduğu (bu sırayla) $$ değerlerini bulun.
Çözüm. Ortadaki terimi yine komşu terimlerin aritmetik ortalaması üzerinden ifade edelim:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizala)\]
Tekrar ikinci dereceden denklem. Ve yine iki kök var: $x=6$ ve $x=1$.
Cevap 1; 6.
Bir sorunu çözme sürecinde bazı acımasız rakamlarla karşılaşırsanız veya bulunan cevapların doğruluğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman kontrol etmenize olanak tanıyan harika bir teknik var: sorunu doğru çözdük mü?
Diyelim ki 6 numaralı problemde -3 ve 2 cevaplarını aldık. Bu cevapların doğru olduğunu nasıl kontrol edebiliriz? Bunları orijinal durumuna takalım ve ne olacağını görelim. Bir aritmetik ilerleme oluşturması gereken üç sayımız ($-6(()^(2))$, $+1$ ve $14+4(()^(2))$) olduğunu hatırlatmama izin verin. $x=-3$ yerine koyalım:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(hizala)\]
−54 sayısını aldık; −2; Farkı 52 olan 50 sayısı şüphesiz bir aritmetik ilerlemedir. Aynı şey $x=2$ için de olur:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(hizala)\]
Yine ilerleme oldu ama 27'lik bir farkla. Böylece sorun doğru bir şekilde çözüldü. İsteyen ikinci sorunu kendi başına kontrol edebilir ama hemen söyleyeyim: orada da her şey doğru.
Genel olarak son problemleri çözerken başka bir şeyle karşılaştık ilginç gerçekşunu da unutmamak lazım:
Eğer üç sayı ikincisi ortada olacak şekilde ise önce aritmetik ve son olarak bu sayılar aritmetik bir ilerleme oluşturur.
Gelecekte bu ifadeyi anlamak, sorunun koşullarına dayalı olarak gerekli ilerlemeleri kelimenin tam anlamıyla "inşa etmemize" olanak tanıyacaktır. Ancak böyle bir "inşaa" girişmeden önce, daha önce tartışılanlardan doğrudan çıkan bir gerçeğe daha dikkat etmeliyiz.
Öğeleri gruplama ve toplama
Tekrar sayı eksenine dönelim. Burada ilerlemenin birkaç üyesini not edelim, belki bunlar arasında. diğer birçok üyeye değer:
Sayı doğrusunda 6 eleman işaretlenmiştir“Sol kuyruğu” $((a)_(n))$ ve $d$ aracılığıyla ve “sağ kuyruğu” $((a)_(k))$ ve $d$ aracılığıyla ifade etmeye çalışalım. Çok basit:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizala)\]
Şimdi aşağıdaki miktarların eşit olduğunu unutmayın:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(hizala)\]
Basitçe söylemek gerekirse, ilerlemenin toplamda $S$ sayısına eşit olan iki unsurunu başlangıç olarak düşünürsek ve sonra bu unsurlardan zıt yönlerde (birbirine doğru veya tam tersi uzaklaşmak için) adım atmaya başlarsak, Daha sonra rastlayacağımız elementlerin toplamları da eşit olacak$S$. Bu en açık şekilde grafiksel olarak gösterilebilir:
Eşit girintiler eşit miktarlar verir Anlamak bu gerçek yukarıda düşündüklerimizden temelde daha yüksek düzeyde karmaşıklığa sahip sorunları çözmemize olanak tanıyacak. Örneğin, bunlar:
Görev No. 8. İlk terimi 66 olan ve ikinci ve onikinci terimlerin çarpımının mümkün olan en küçük olduğu aritmetik ilerlemenin farkını belirleyin.
Çözüm. Bildiğimiz her şeyi yazalım:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(hizala)\]
Yani $d$ ilerleme farkını bilmiyoruz. Aslında, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ çarpımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceğinden, çözümün tamamı fark etrafında inşa edilecektir:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(hizala)\]
Tanktakiler için: İkinci gruptan toplam 11 çarpanını çıkardım. Dolayısıyla istenen çarpım $d$ değişkenine göre ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu nedenle, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ fonksiyonunu düşünün - grafiği, dalları yukarıya doğru olan bir parabol olacaktır, çünkü parantezleri genişletirsek şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Gördüğünüz gibi en yüksek terimin katsayısı 11'dir - bu pozitif bir sayıdır, yani aslında yukarı doğru dalları olan bir parabolle uğraşıyoruz:
takvim ikinci dereceden fonksiyon- parabol
Lütfen unutmayın: Bu parabol minimum değerini tepe noktasında $((d)_(0))$ $((d)_(0))$ ile alır. Elbette, bu apsisi standart şemayı kullanarak hesaplayabiliriz ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formülü vardır), ancak bunu not etmek çok daha mantıklı olacaktır. istenen tepe noktası parabolün eksen simetrisi üzerinde yer alır, bu nedenle $((d)_(0))$ noktası $f\left(d \right)=0$ denkleminin köklerinden eşit uzaklıktadır:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizala)\]
Bu yüzden parantezleri açmak için özel bir acelem yoktu: orijinal hallerinde kökleri bulmak çok çok kolaydı. Bu nedenle apsis ortalamaya eşittir aritmetik sayılar−66 ve −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Keşfedilen sayı bize ne veriyor? Bununla birlikte gerekli ürün alınır en küçük değer(bu arada $((y)_(\min ))$'ı asla hesaplamadık - bu bizim için gerekli değil). Aynı zamanda bu sayı orijinal ilerlemenin farkıdır, yani. Cevabı bulduk. :)
Cevap: −36
Görev No.9. $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac(1)(6)$ sayıları arasına üç sayı ekleyin, böylece bu sayılarla birlikte bir aritmetik ilerleme oluştursunlar.
Çözüm. Temel olarak, ilk ve son sayı zaten bilinen beş sayıdan oluşan bir dizi oluşturmamız gerekiyor. Eksik sayıları $x$, $y$ ve $z$ değişkenleriyle gösterelim:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
$y$ sayısının dizimizin "ortası" olduğuna dikkat edin - $x$ ve $z$ sayılarından ve $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac sayılarından eşit uzaklıkta (1)(6)$. Ve eğer $x$ ve $z$ sayılarından içindeysek şu an$y$ alamıyoruz, o zaman ilerlemenin sonlarında durum farklıdır. Aritmetik ortalamayı hatırlayalım:
Şimdi $y$'ı bildiğimize göre kalan sayıları bulacağız. $x$'ın az önce bulduğumuz $-\frac(1)(2)$ ve $y=-\frac(1)(3)$ sayıları arasında yer aldığını unutmayın. Bu yüzden
Benzer akıl yürütmeyi kullanarak kalan sayıyı buluruz:
Hazır! Üç sayıyı da bulduk. Bunları orijinal sayıların arasına yerleştirilmesi gereken sırayla cevapta yazalım.
Cevap: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Görev No. 10. 2 ile 42 sayıları arasına, eklenen sayıların birinci, ikinci ve sonuncusunun toplamının 56 olduğunu biliyorsanız, bu sayılarla birlikte aritmetik bir ilerleme oluşturan birkaç sayı ekleyin.
Çözüm. Hatta daha fazla zor görev ancak bu, öncekilerle aynı şemaya göre aritmetik ortalama yoluyla çözülür. Sorun şu ki, kaç sayının eklenmesi gerektiğini tam olarak bilmiyoruz. Bu nedenle, kesin olarak, her şeyi yerleştirdikten sonra tam olarak $n$ sayıların olacağını ve bunların ilkinin 2 ve sonuncusunun 42 olduğunu varsayalım. Bu durumda gerekli aritmetik ilerleme şu şekilde gösterilebilir:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Ancak $((a)_(2))$ ve $((a)_(n-1))$ sayılarının kenarlardaki 2 ve 42 sayılarından birbirine bir adım yaklaşarak elde edildiğini unutmayın, yani. dizinin merkezine. Ve bu şu anlama geliyor
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ancak bu durumda yukarıda yazılan ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizala)\]
$((a)_(3))$ ve $((a)_(1))$'ı bildiğimiz için ilerlemenin farkını kolayca bulabiliriz:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ok d=5. \\ \end(hizala)\]
Geriye kalan tek şey kalan terimleri bulmak:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizala)\]
Böylece, zaten 9. adımda dizinin sol ucuna ulaşacağız - 42 sayısı. Toplamda yalnızca 7 sayının eklenmesi gerekiyordu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Cevap: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
İlerlemelerle ilgili kelime problemleri
Sonuç olarak, nispeten basit birkaç sorunu ele almak istiyorum. Bu kadar basit: Okulda matematik eğitimi alan ve yukarıda yazılanları okumayan çoğu öğrenci için bu problemler zor görünebilir. Yine de bunlar matematikte OGE ve Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan problem türleridir, bu yüzden bunlara aşina olmanızı öneririm.
Görev No.11. Ekip Ocak ayında 62 parça üretti ve sonraki her ayda bir önceki aya göre 14 parça daha fazla üretti. Ekip Kasım ayında kaç parça üretti?
Çözüm. Açıkçası, aya göre listelenen parça sayısı artan bir aritmetik ilerlemeyi temsil edecektir. Dahası:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Kasım yılın 11. ayı olduğundan $((a)_(11))$ bulmamız gerekiyor:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Dolayısıyla kasım ayında 202 parça üretilecek.
Görev No. 12. Ciltleme atölyesinde Ocak ayında 216 kitap ciltlendi ve sonraki her ayda bir önceki aya göre 4 kitap daha ciltlendi. Atölye Aralık ayında kaç kitap ciltledi?
Çözüm. Hepsi aynı:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Aralık yılın son 12. ayı olduğundan $((a)_(12))$ ifadesini arıyoruz:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Cevap bu: Aralık ayında 260 kitap ciltlenecek.
Buraya kadar okuduysanız sizi tebrik etmek için acele ediyorum: “elbette genç savaşçı"Aritmetik ilerlemelerde başarıyla geçtiniz. İlerleme toplamı formülünü ve bunun önemli ve çok faydalı sonuçlarını inceleyeceğimiz bir sonraki derse güvenle geçebilirsiniz.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Aritmetik ilerleme, her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.
Bu konu çoğu zaman karmaşık ve anlaşılmaz görünmektedir. Harflerin indeksleri, ilerlemenin n'inci terimi, ilerlemenin farkı - bunların hepsi bir şekilde kafa karıştırıcı, evet... Aritmetik ilerlemenin anlamını çözelim ve her şey hemen daha iyi hale gelecektir.)
Aritmetik ilerleme kavramı.
Aritmetik ilerleme çok basit ve açık bir kavramdır. Herhangi bir şüpheniz var mı? Boşuna.) Kendiniz görün.
Bitmemiş bir sayı dizisi yazacağım:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bu seriyi uzatabilir misiniz? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes... uh... kısacası herkes bundan sonra 6, 7, 8, 9 vb. sayıların geleceğini anlayacak.
Görevi karmaşıklaştıralım. Size bitmemiş bir sayı dizisi veriyorum:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Deseni yakalayabilecek, seriyi genişletebilecek ve isim verebileceksiniz. yedinci satır numarası?
Bu sayının 20 olduğunu fark ettiyseniz tebrikler! Sadece hissetmedin aritmetik ilerlemenin kilit noktaları, ama aynı zamanda bunları iş hayatında da başarıyla kullandı! Eğer çözemediyseniz okumaya devam edin.
Şimdi duyumlardaki önemli noktaları matematiğe çevirelim.)
İlk önemli nokta.
Aritmetik ilerleme sayı dizileriyle ilgilidir. Bu ilk başta kafa karıştırıcıdır. Denklem çözmeye, grafik çizmeye falan alışığız... Ama burada seriyi genişletiyoruz, serinin numarasını buluyoruz...
Önemli değil. Sadece ilerlemeler matematiğin yeni bir dalıyla ilk tanışmadır. Bu bölüme "Seriler" adı verilir ve özellikle sayı ve ifade dizileriyle çalışır. Alışmak.)
İkinci önemli nokta.
Aritmetik ilerlemede herhangi bir sayı bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.
İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, bir öncekinin bir fazlasıdır. İkincisinde - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinden üç fazladır. Aslında bize kalıbı kavrama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatını veren de bu andır.
Üçüncü önemli nokta.
Bu an çok çarpıcı değil evet... Ama çok ama çok önemli. İşte burada: Her ilerleme numarası yerindedir. Birinci sayı var, yedinci var, kırk beşinci var vs. Bunları rastgele karıştırırsanız desen kaybolur. Aritmetik ilerleme de ortadan kalkacaktır. Geriye sadece bir dizi sayı kaldı.
Bütün mesele bu.
Elbette yeni bir konuda yeni terimler ve tanımlar ortaya çıkıyor. Onları bilmeniz gerekiyor. Aksi halde görevi anlayamazsınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermeniz gerekecek:
a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.
İlham verici mi?) Mektuplar, bazı dizinler... Ve bu arada, görev daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve tanımların anlamını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuya hakim olacağız ve göreve döneceğiz.
Terimler ve tanımlar.
Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.
Bu miktara denir . Bu konsepte daha detaylı bakalım.
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme sayısının ne kadar olduğu Dahaönceki.
Bir önemli nokta. Lütfen söze dikkat edin "Daha". Matematiksel olarak bu, her ilerleme sayısının toplayarakönceki sayıya aritmetik ilerleme farkı.
Hesaplamak için diyelim ki ikinci serinin numaraları, yapmanız gereken Birinci sayı eklemek aritmetik ilerlemenin tam da farkı. Hesaplama için beşinci- fark gerekli eklemekİle dördüncü, peki vb.
Aritmetik ilerleme farkı Belki pozitif, o zaman serideki her sayının gerçek olduğu ortaya çıkacak öncekinden daha fazla. Bu ilerlemeye denir artan.Örneğin:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Burada her sayı elde edilir toplayarak pozitif sayı, bir öncekine +5.
Fark olabilir olumsuz, o zaman serideki her sayı öncekinden daha az. Bu ilerlemeye denir (buna inanmayacaksınız!) azalıyor.
Örneğin:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Burada her sayı da elde edilir toplayarak bir öncekine göre, ancak zaten negatif bir sayı, -5.
Bu arada, ilerlemeyle çalışırken, ister artıyor ister azalıyor olsun, doğasını hemen belirlemek çok faydalıdır. Bu, karar vermenize, hatalarınızı tespit etmenize ve çok geç olmadan bunları düzeltmenize çok yardımcı olur.
Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir D.
Nasıl bulunur D? Çok basit. Serideki herhangi bir sayıdan çıkarma yapmak gerekir öncesi sayı. Çıkar. Bu arada çıkarma sonucuna "fark" denir.)
Örneğin şunu tanımlayalım: D aritmetik ilerlemeyi artırmak için:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Dizide istediğimiz herhangi bir sayıyı alıyoruz örneğin 11. Ondan çıkarıyoruz önceki numara onlar. 8:
Bu doğru cevap. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.
Alabilirsin herhangi bir ilerleme numarası,Çünkü belirli bir ilerleme için D-her zaman aynı. En azından sıranın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Yalnızca ilk sayıyı alamazsınız. Basitçe çünkü ilk sayı önceki yok.)
Bu arada bunu bilerek d=3 Bu ilerlemenin yedinci sayısını bulmak çok basittir. Beşinci sayıya 3 ekleyelim - altıncıyı elde ederiz, 17 olur. Altıncı sayıya üç ekleyelim, yedinci sayıyı - yirmiyi elde ederiz.
Hadi tanımlayalım D azalan aritmetik ilerleme için:
8; 3; -2; -7; -12; .....
İşaretler ne olursa olsun, belirlemeniz gerektiğini size hatırlatırım. D herhangi bir numaradan lazım öncekini götür. Herhangi bir ilerleme numarasını seçin, örneğin -7. Önceki numarası -2'dir. Daha sonra:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmetik ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, kesirli, irrasyonel, herhangi bir sayı.
Diğer terimler ve tanımlar.
Dizideki her sayıya denir aritmetik ilerlemenin üyesi.
İlerlemenin her üyesi kendi numarası vardır. Rakamlar hiçbir hile olmaksızın kesinlikle sıralıdır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, 2, 5, 8, 11, 14, ... diziliminde ilk terim iki, ikinci terim beş, dördüncü terim onbir, yani anlıyor musunuz...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendisi kesinlikle herhangi bir şey olabilir, bütün, kesirli, negatif, her ne olursa olsun, ama sayıların numaralandırılması- kesinlikle sırayla!
bir ilerleme nasıl yazılır Genel görünüm? Sorun değil! Bir dizideki her sayı bir harf olarak yazılır. Aritmetik ilerlemeyi belirtmek için genellikle harf kullanılır A. Üye numarası sağ altta bir indeksle gösterilir. Terimleri virgülle (veya noktalı virgülle) ayırarak şu şekilde yazarız:
bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....
1- bu ilk sayı, 3- üçüncü vb. Süslü bir şey yok. Bu seriyi kısaca şu şekilde yazabiliriz: (BİR).
İlerlemeler oluyor sonlu ve sonsuz.
Nihai ilerlemenin sınırlı sayıda üyesi vardır. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama bu sonlu bir sayı.
Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)
Son ilerlemeyi bunun gibi bir seri aracılığıyla, tüm terimleri ve sonunda bir noktayı yazabilirsiniz:
1, 2, 3, 4, 5.
Veya çok sayıda üye varsa şöyle:
bir 1, bir 2, ... bir 14, bir 15.
Kısa girişte ayrıca üye sayısını da belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:
(bir n), n = 20
Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta ile sonsuz bir ilerleme fark edilebilir.
Artık görevleri çözebilirsiniz. Görevler basit, yalnızca aritmetik ilerlemenin anlamını anlamaya yönelik.
Aritmetik ilerlemeyle ilgili görev örnekleri.
Yukarıda verilen göreve ayrıntılı olarak bakalım:
1. a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.
Görevi anlaşılır bir dile çeviriyoruz. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verilmiştir. Bu ilerlemenin ikinci sayısı biliniyor: 2 = 5.İlerleme farkı biliniyor: d = -2,5. Bu ilerlemenin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı terimlerini bulmamız gerekiyor.
Netlik sağlamak için sorunun koşullarına göre bir dizi yazacağım. İkinci terimin beş olduğu ilk altı terim:
1, 5, 3, 4, 5, 6,...
3 = bir 2 + D
İfadede yerine koyma bir 2 = 5 Ve d = -2,5. Eksileri unutma!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Üçüncü terimin ikinciden daha küçük olduğu ortaya çıktı. Her şey mantıklı. Sayı öncekinden büyükse olumsuz değer, bu da sayının kendisinin öncekinden daha az olacağı anlamına gelir. İlerleme azalıyor. Tamam, dikkate alalım.) Serimizin dördüncü dönemini sayıyoruz:
4 = 3 + D
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + D
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + D
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplandı. Sonuç aşağıdaki seridir:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Geriye ilk terimi bulmak kalıyor 1 iyi bilinen ikinciye göre. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Yani, aritmetik ilerlemenin farkı D eklenmemelidir bir 2, A götürmek:
1 = bir 2 - D
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Bu kadar. Ödev cevabı:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Bu arada, bu görevi çözdüğümüzü belirtmek isterim. tekrarlayan yol. Bu korkunç kelime yalnızca ilerlemenin bir üyesinin aranması anlamına gelir önceki (bitişik) numaraya göre. Aşağıda ilerlemeyle çalışmanın diğer yollarına bakacağız.
Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.
Hatırlamak:
Bir aritmetik ilerlemenin en az bir terimini ve farkını biliyorsak, bu ilerlemenin herhangi bir terimini bulabiliriz.
Hatırlıyor musun? Bu basit sonuç, okul kursunun bu konudaki sorunlarının çoğunu çözmenize olanak sağlar. Tüm görevler üç ana parametre etrafında döner: Bir aritmetik ilerlemenin üyesi, bir ilerlemenin farkı, ilerlemenin bir üyesinin sayısı. Tüm.
Elbette önceki cebirlerin tümü iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye bağlıdır. Ancak ilerlemenin kendisine göre- her şey üç parametre etrafında dönüyor.
Örnek olarak bu konuyla ilgili bazı popüler görevlere bakalım.
2. n=5, d = 0,4 ve a 1 = 3,6 ise sonlu aritmetik ilerlemeyi bir seri olarak yazın.
Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Bir aritmetik dizinin üyelerinin nasıl sayıldığını hatırlamanız, saymanız ve yazmanız gerekir. Görev koşullarındaki kelimeleri kaçırmamanız tavsiye edilir: “final” ve “ n=5". Yüzün tamamen morarıncaya kadar saymamak için.) Bu ilerlemede yalnızca 5 (beş) üye var:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
bir 3 = bir 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Cevabı yazmaya devam ediyor:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Başka bir görev:
3. 7 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmayacağını belirleyin: a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hımm... Kim bilir? Bir şey nasıl belirlenir?
Nasıl-nasıl... İlerlemeyi bir seri halinde yazın ve orada yedi olup olmayacağını görün! Sayarız:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Şimdi sadece yedi kişi olduğumuz açıkça görülüyor doğru kaymış 6,5 ile 7,7 arasında! Yedi, sayı dizimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen ilerlemenin bir üyesi olmayacak.
Cevap: hayır.
İşte buna dayalı bir sorun gerçek seçenek- GIA:
4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılır:
...; 15; X; 9; 6; ...
İşte sonu ve başlangıcı olmayan yazılmış bir seri. Üye sayısı yok, fark yok D. Önemli değil. Sorunu çözmek için aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Hadi bakalım ve neyin mümkün olduğunu görelim bilmek bu seriden mi? Üç ana parametre nedir?
Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.
Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "tutarlı" durumda. Bu, sayıların boşluksuz, kesinlikle sıralı olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane mi var? komşu bilinen numaralar? Evet bende var! Bunlar 9 ve 6'dır. Dolayısıyla aritmetik ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! Altıdan çıkar öncesi sayı, yani dokuz:
Geriye sadece önemsiz şeyler kaldı. X'in bir önceki sayısı hangi sayı olacak? On beş. Bu, X'in basit toplama işlemiyle kolayca bulunabileceği anlamına gelir. Aritmetik ilerlemenin farkını 15'e ekleyin:
Bu kadar. Cevap: x=12
Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu problemler formüllere dayalı değildir. Sırf aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi rakam ve harf yazıyoruz, bakıp anlıyoruz.
5. a 5 = -3 ise aritmetik ilerlemenin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.
6. 5,5 sayısının aritmetik ilerlemenin (an n) bir üyesi olduğu bilinmektedir; burada a 1 = 1,6; d = 1,3. Bu üyenin n sayısını belirleyin.
7. Aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 = 15,1. 3'ü bulun.
8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:
...; 15.6; X; 3.4; ...
İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.
9. Tren, hızını dakikada 30 metre artırarak istasyondan hareket etmeye başladı. Beş dakika sonra trenin hızı ne olacak? Cevabınızı km/saat cinsinden verin.
10. Aritmetik ilerlemede a 2 = 5 olduğu bilinmektedir; a 6 = -5. 1'i bul.
Cevaplar (karışıklık içinde): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.
Her şey yolunda gitti mi? İnanılmaz! Daha fazlası için aritmetik ilerlemede ustalaşabilirsiniz yüksek seviye, aşağıdaki derslerde.
Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. Özel Bölüm 555'te tüm bu sorunlar parça parça sıralanmıştır.) Ve elbette, bu tür görevlerin çözümünü bir bakışta net, net bir şekilde hemen vurgulayan basit pratik bir teknik anlatılmaktadır!
Bu arada, tren bulmacasında insanların sıklıkla karşılaştığı iki sorun var. Biri tamamen ilerleme açısından, ikincisi ise matematik ve fizikteki herhangi bir problem için geneldir. Bu, boyutların birinden diğerine çevrilmesidir. Bu sorunların nasıl çözülmesi gerektiğini gösteriyor.
Bu derste aritmetik ilerlemenin temel anlamına ve ana parametrelerine baktık. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Eklemek D sayılara seri yaz her şey çözülecek.
Parmak çözümü, bu dersteki örneklerde olduğu gibi, sıranın çok kısa parçaları için işe yarar. Seri uzunsa hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, eğer sorudaki 9. problemde yerine koyarsak "Beş dakika" Açık "otuz beş dakika" sorun önemli ölçüde daha da kötüleşecektir.)
Ayrıca özünde basit ancak hesaplamalar açısından saçma olan görevler de vardır, örneğin:
Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.
Peki 1/6'yı defalarca mı toplayacağız? Kendini öldürebilirsin!?
Yapabilirsiniz.) Bu tür görevleri bir dakika içinde çözebileceğiniz basit bir formül bilmiyorsanız. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve bu sorun orada çözüldü. Bir dakika içinde.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
