En küçük ortak kat nasıl çözülür? Ortak bölen ve kat

Cevrimici hesap makinesi hem iki sayının hem de herhangi başka sayıda sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.

GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi

GCD ve LOC'yi bulun

Bulunan GCD ve LOC: 5806

Hesap makinesi nasıl kullanılır?

• Giriş alanına sayıları girin
• Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
• "GCD ve LOC Bul" düğmesini tıklayın

Sayılar nasıl girilir

• Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
• Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil

GCD ve NOC nedir?

En büyük ortak böleni birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En küçük ortak Kat Birkaç sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.

Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler

1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Son rakama bakıyoruz: 8 - bu, sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.

2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı üçe bölünüyor.

3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.

4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.

İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının gcd'si nasıl bulunur

En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.

Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:

1. Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
3. Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

İki sayının LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.

LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:

1. 28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
2. OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bu amaçla en büyük ortak bölen için bulunacak sayılar ayrıştırılır. asal faktörler, daha sonra bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımını bulun. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).

Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.

1. Öncelikle sayıları çarpanlara ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
3. Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
4. Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
5. Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Matematiksel ifadeler ve problemler çok fazla ek bilgi gerektirir. NOC, özellikle lisede konu üzerinde sıklıkla kullanılan ana konulardan biridir ve materyali anlamak özellikle zor değildir; kuvvetleri ve çarpım tablosunu bilen bir kişi, gerekli sayıları tanımlamakta ve sayıları keşfetmekte zorluk çekmeyecektir. sonuç.

Tanım

Ortak kat, aynı anda iki sayıya (a ve b) tamamen bölünebilen bir sayıdır. Çoğu zaman bu sayı, orijinal a ve b sayıları çarpılarak elde edilir. Sayı aynı anda her iki sayıya da sapma olmadan bölünebilmelidir.

NOC kabul edilen tanımdır Kısa isim, ilk harflerden toplandı.

Numara almanın yolları

Sayıları çarpma yöntemi, LCM'yi bulmak için her zaman uygun değildir; basit tek basamaklı veya iki basamaklı sayılar için çok daha uygundur. Faktörlere bölmek gelenekseldir; sayı ne kadar büyük olursa, o kadar fazla faktör olacaktır.

Örnek 1

En basit örnek olarak okullar genellikle asal, tek veya çift haneli sayıları kullanır. Örneğin, aşağıdaki görevi çözmeniz, 7 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını bulmanız gerekiyor, çözüm oldukça basit, sadece bunları çarpmanız gerekiyor. Sonuç olarak 21 sayısı var, daha küçük bir sayı yok.

Örnek No.2

Görevin ikinci versiyonu çok daha zor. 300 ve 1260 sayıları verilmiştir, LOC'yi bulmak zorunludur. Sorunu çözmek için aşağıdaki eylemlerin gerçekleştirildiği varsayılmaktadır:

Birinci ve ikinci sayıların basit faktörlere ayrıştırılması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. İlk aşama tamamlandı.

İkinci aşama, önceden elde edilmiş verilerle çalışmayı içerir. Alınan sayıların her biri nihai sonucun hesaplanmasına katılmalıdır. Her çarpan için en fazla Büyük sayı olaylar. NOC: toplam sayısı bu nedenle sayılardaki faktörlerin, tek bir kopyada mevcut olanlar bile, her birinde tekrarlanması gerekir. Her iki ilk sayı da 2, 3 ve 5 sayılarını içerir. farklı dereceler, 7 sadece bir vakada mevcuttur.

Nihai sonucu hesaplamak için, denklemde temsil edilen kuvvetlerin en büyüğündeki her sayıyı almanız gerekir. Geriye kalan tek şey çarpmak ve cevabı almak; eğer doğru doldurulursa, görev açıklama gerektirmeden iki adıma sığar:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Bütün sorun bu, gerekli sayıyı çarpma yoluyla hesaplamaya çalışırsanız, 300 * 1260 = 378.000 olduğundan cevap kesinlikle doğru olmayacaktır.

Muayene:

6300/300 = 21 - doğru;

6300/1260 = 5 - doğru.

Elde edilen sonucun doğruluğu kontrol edilerek - LCM'nin her iki orijinal sayıya bölünmesiyle belirlenir; eğer sayı her iki durumda da bir tam sayı ise, o zaman cevap doğrudur.

NOC matematikte ne anlama geliyor?

Bildiğiniz gibi matematikte tek bir işe yaramaz fonksiyon yoktur, bu da bir istisna değildir. Bu sayının en yaygın amacı kesirleri ortak bir paydaya indirgemektir. Genellikle 5-6. Sınıflarda ne çalışılır? lise. Ayrıca problemde bu tür koşullar mevcutsa, tüm katlar için ortak bir bölendir. Böyle bir ifade, yalnızca iki sayının katını değil, aynı zamanda çok daha büyük bir sayının (üç, beş vb.) katını da bulabilir. Sayı ne kadar fazla olursa, görevdeki eylemler de o kadar fazla olur, ancak karmaşıklık artmaz.

Örneğin, 250, 600 ve 1500 sayıları verildiğinde bunların ortak LCM'sini bulmanız gerekir:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - bu örnek, çarpanlara ayırmayı azaltma olmadan ayrıntılı olarak açıklamaktadır.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Bir ifade oluşturmak için tüm faktörlerden bahsetmek gerekir, bu durumda 2, 5, 3 verilir - tüm bu sayılar için maksimum dereceyi belirlemek gerekir.

Dikkat: Tüm faktörler tamamen sadeleştirilme noktasına getirilmeli, mümkünse tek haneli rakamlara ayrıştırılmalıdır.

Muayene:

1) 3000/250 = 12 - doğru;

2) 3000/600 = 5 - doğru;

3) 3000/1500 = 2 – doğru.

Bu yöntem herhangi bir hile veya dahi düzeyinde yetenek gerektirmez, her şey basit ve açıktır.

Diğer yol

Matematikte birçok şey birbiriyle bağlantılıdır, birçok şey iki veya daha fazla yolla çözülebilir; aynı şey en küçük ortak kat olan LCM'yi bulmak için de geçerlidir. Basit iki basamaklı ve tek basamaklı sayılar söz konusu olduğunda aşağıdaki yöntem kullanılabilir. Çarpanın dikey olarak, çarpanın yatay olarak girildiği ve çarpımın sütunun kesişen hücrelerinde belirtildiği bir tablo derlenir. Tabloyu bir çizgi kullanarak yansıtabilir, bir sayı alıp bu sayıyı 1'den sonsuza kadar tam sayılarla çarpmanın sonuçlarını yazabilirsiniz, bazen 3-5 puan yeterlidir, ikinci ve sonraki sayılar aynı hesaplama sürecinden geçer. Ortak bir kat bulunana kadar her şey olur.

30, 35, 42 sayıları göz önüne alındığında, tüm sayıları birbirine bağlayan LCM'yi bulmanız gerekir:

1) 30'un katları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, vb.

2) 35'in katları: 70, 105, 140, 175, 210, 245, vb.

3) 42'nin katları: 84, 126, 168, 210, 252, vb.

Tüm sayıların oldukça farklı olduğu dikkat çekiyor, aralarındaki tek ortak sayı 210, yani NOC olacak. Bu hesaplamada yer alan süreçler arasında, benzer prensiplere göre hesaplanan ve komşu problemlerde sıklıkla karşılaşılan en büyük ortak bölen de bulunmaktadır. Fark küçük ama oldukça anlamlıdır; LCM, verilen tüm başlangıç ​​değerlerine bölünen bir sayının hesaplanmasını içerir ve GCD, hesaplamayı içerir. en yüksek değer orijinal sayıların bölündüğü yer.

Kat, bölünebilen bir sayıdır verilen numara iz bırakmadan. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (LCM), gruptaki her sayıya kalan bırakmadan bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. LCM ayrıca iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanan bir dizi başka yöntem kullanılarak da hesaplanabilir.

Adımlar

Katlar serisi

Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan küçük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. büyük sayılar, başka bir yöntem kullanın.

• Örneğin 5 ve 8'in en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

1. Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Çarpım tablosunda katlar bulunabilir.

   • Örneğin 5'in katı olan sayılar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. İlk sayının katları olan bir sayı dizisi yazın.İki sayı kümesini karşılaştırmak için bunu ilk sayının katları altında yapın.

   • Örneğin 8'in katı olan sayılar şunlardır: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

3. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayıyı bulun. Toplam sayıyı bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayı, en küçük ortak kattır.

   • Örneğin, en küçük sayı 5 ve 8'in katları serisinde bulunan 40 sayısıdır. Dolayısıyla 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.

   Asal çarpanlara ayırma

   1. Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan büyük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha küçük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.

      • Örneğin 20 ve 84 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

   2. İlk sayıyı asal faktörlere ayırın. Yani, çarpıldığında belirli bir sayıya yol açacak asal sayıları bulmanız gerekir. Asal çarpanları bulduktan sonra bunları eşitlik olarak yazın.

      • Örneğin, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ve 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Buna göre 20 sayısının asal çarpanları 2, 2 ve 5 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

   3. İkinci sayıyı asal faktörlere ayırın. Bunu, ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız şekilde yapın, yani çarpıldığında verilen sayıyı verecek asal sayıları bulun.

      • Örneğin, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ve 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Buna göre 84 sayısının asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

   4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız.Çarpma işlemi gibi çarpanları yazın. Her faktörü yazarken, her iki ifadede de (sayıların asal çarpanlara ayrılmasını açıklayan ifadeler) bunun üzerini çizin.

      • Örneğin, her iki sayının da ortak çarpanı 2'dir, bu nedenle şunu yazın: 2 × (\displaystyle 2\times) ve her iki ifadede de 2'nin üzerini çizin.
      • Her iki sayının da ortak noktası 2'nin bir çarpanı daha, o halde yazın 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.

   5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar her iki ifadede de üstü çizili olmayan faktörlerdir, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.

      • Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Her iki iki (2) de ortak çarpanlar oldukları için üzeri çizilmiştir. 5 faktörünün üzeri çizili değildir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • İfadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) her iki ikilinin (2) de üzeri çizilir. 7 ve 3 çarpanlarının üzeri çizili değildir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. En küçük ortak katı hesaplayın. Bunu yapmak için yazılı çarpma işlemindeki sayıları çarpın.

      • Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Yani 20 ile 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.

   Ortak faktörleri bulma

   1. Tic-tac-toe oyununa benzer bir ızgara çizin. Böyle bir ızgara, başka iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu size üç satır ve üç sütun verecektir (ızgara, # simgesine çok benzer). İlk sayıyı birinci satıra ve ikinci sütuna yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.

      • Örneğin 18 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Birinci satır ve ikinci sütuna 18 sayısını, birinci satır ve üçüncü sütuna 30 sayısını yazın.

   2. Her iki sayının ortak bölenini bulun. Bunu ilk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal faktörleri aramak daha iyidir, ancak bu bir gereklilik değildir.

      • Örneğin 18 ve 30 çift ​​sayılar yani ortak çarpanları 2 olacaktır. O halde ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.

   3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü uygun sayının altına yazın. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur.

      • Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), yani 18'in altında 9 yazın.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15) 30'un altında 15 yazın.

   4. Her iki bölümün ortak bölenini bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi halde ikinci satıra ve birinci sütuna böleni yazın.

      • Örneğin 9 ve 15 3'e bölünebildiği için ikinci satıra ve ilk sütuna 3 yazın.

   5. Her bölümü ikinci bölenine bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.

      • Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3) yani 3'ü 9'un altına yazın.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5) 15'in altına 5 yazın.

   6. Gerekirse ızgaraya ek hücreler ekleyin. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar açıklanan adımları tekrarlayın.

   7. Tablonun ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Daha sonra seçilen sayıları çarpma işlemi olarak yazın.

      • Örneğin 2 ve 3 sayıları ilk sütunda, 3 ve 5 sayıları ise son satırda olduğundan çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Sayıları çarpmanın sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.

      • Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Yani 18 ile 30'un en küçük ortak katı 90'dır.

   Öklid algoritması

   1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi unutmayın. Temettü, bölünen sayıdır. Bölen, bölünen sayıdır. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur. Kalan, iki sayının bölünmesinden kalan sayıdır.

      • Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 temettü
        6 bir bölendir
        2 bölümdür
        Geriye kalan 3'tür.

Tanım. a ve b sayılarını kalansız olarak bölen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen (GCD) bu sayılar.

24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır; 35'in bölenleri ise 1, 5, 7, 35 sayılarıdır.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir karşılıklı olarak asal.

Tanım. Doğal sayılara denir karşılıklı olarak asal, eğer en büyük ortak bölenleri (GCD) 1 ise.

En Büyük Ortak Bölen (GCD) verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.

48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırdığımızda şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayılardan ilkinin açılımında yer alan faktörlerden, ikinci sayının açılımında yer almayanları (yani iki ikiyi) çıkarıyoruz.
Geriye kalan çarpanları 2*2*3'tür. Çarpımları 12'ye eşittir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olur. Üç veya daha fazla sayının da en büyük ortak böleni bulunur.

Bulmak en büyük ortak böleni

2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.

Verilen sayıların tümü bunlardan birine bölünebiliyorsa bu sayı en büyük ortak böleni verilen rakamlar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 15 sayısıdır, çünkü diğer tüm sayılar ona bölünebilir: 45, 75 ve 180.

En küçük ortak kat (LCM)

Tanım. En küçük ortak kat (LCM) doğal sayılar a ve b, hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: 75 = 3 * 5 * 5 ve 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımında eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekleyelim (yani çarpanları birleştirelim).
Çarpımı 300 olan 2 * 2 * 3 * 5 * 5 şeklinde beş çarpan elde ederiz. Bu sayı, 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.

Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını da bulurlar.

İle en küçük ortak katları bul birkaç doğal sayıya ihtiyacınız var:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğunu unutmayın.
Örneğin 12, 15, 20 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır çünkü bu sayıların tümüne bölünebilir.

Pisagor (MÖ VI. yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Sayı, toplamına eşit Tüm bölenlerine (sayı hariç) mükemmel sayı adını verdiler. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33,550,336'dır. Pisagorcular yalnızca ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. N. e. Beşincisi (33.550.336) 15. yüzyılda bulundu. 1983 yılına gelindiğinde 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak bilim adamları hala tek mükemmel sayıların mı yoksa en büyük mükemmel sayıların mı olduğunu bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da asal sayıların bir çarpımı olarak temsil edilebilmesinden kaynaklanmaktadır; yani. asal sayılar, diğer doğal sayıların inşa edildiği tuğlalar gibidir.
Muhtemelen doğal sayılar dizisindeki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - serinin bazı kısımlarında daha fazla, bazılarında ise daha az vardır. Ancak sayı dizisinde ne kadar ilerlersek, asal sayılar o kadar az yaygın olur. Şu soru ortaya çıkıyor: Son (en büyük) bir asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan “Elementler” adlı kitabında sonsuz sayıda asal sayının olduğunu, yani her asal sayının arkasında daha büyük bir asal sayının bulunduğunu kanıtladı. sayı.
Asal sayıları bulmak için aynı dönemdeki bir başka Yunan matematikçi Eratosthenes bu yöntemi ortaya attı. 1'den bir sayıya kadar tüm sayıları yazdı, sonra ne asal ne de bileşik sayı olan bir sayının üzerini çizdi, sonra 2'den sonra gelen tüm sayıların (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8, vb.). 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tü. Daha sonra ikiden sonra 3'ten sonra gelen tüm sayıların (3'ün katı olan sayılar yani 6, 9, 12 vb.) üzeri çizildi. sonunda yalnızca asal sayılar çaprazlanmadan kaldı.

Aşağıda sunulan materyal, LCM - en az ortak kat, tanım, örnekler, LCM ile GCD arasındaki bağlantı başlıklı makaledeki teorinin mantıksal bir devamıdır. Burada konuşacağız En küçük ortak katı bulma (LCM), Ve Özel dikkatÖrnekleri çözmeye odaklanalım. Öncelikle iki sayının LCM'sinin bu sayıların OBE'sini kullanarak nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Daha sonra sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaya bakacağız. Bundan sonra üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sini hesaplamaya da dikkat edeceğiz.

Sayfada gezinme.

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ile GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ile GCD arasındaki mevcut bağlantı, bilinen bir en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tam sayının en küçük ortak katını hesaplamamıza olanak tanır. İlgili formül LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b) . Verilen formülü kullanarak LCM'yi bulma örneklerine bakalım.

Örnek.

126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a=126 , b=70 . Aşağıdaki formülle ifade edilen LCM ile GCD arasındaki bağlantıyı kullanalım. LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyor, ardından yazılı formülü kullanarak bu sayıların LCM'sini hesaplayabiliriz.

Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(126, 70)'i bulalım: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dolayısıyla OBEB(126, 70)=14.

Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: OBEB(126, 70)=126·70:OBEB(126, 70)= 126.70:14=630.

Cevap:

LCM(126, 70)=630 .

Örnek.

LCM(68, 34) neye eşittir?

Çözüm.

Çünkü 68, 34'e bölünebilirse OBEB(68, 34)=34 olur. Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: OBEB(68, 34)=68·34:OBEB(68, 34)= 68.34:34=68.

Cevap:

LCM(68, 34)=68 .

Önceki örneğin, pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a sayısı b'ye bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

En küçük ortak katı bulmanın bir başka yolu, sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Verilen sayıların tüm asal çarpanlarından bir çarpım oluşturursanız ve ardından bu sayıların ayrıştırmalarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsanız, ortaya çıkan çarpım, verilen sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır. .

LCM'yi bulmak için belirtilen kural eşitlikten kaynaklanmaktadır LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Aslında a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Buna karşılık, OBEB(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin çarpımına eşittir (sayıların asal çarpanlara açılmasını kullanarak OBE'yi bulma bölümünde anlatıldığı gibi).

Bir örnek verelim. 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7 olduğunu bize bildirin. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturalım: 2·3·3·5·5·5·7 . Şimdi bu çarpımdan hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri hariç tutuyoruz (bu çarpanlar 3 ve 5'tir), o zaman çarpım 2·3·5·5·7 formunu alacaktır. . Bu çarpımın değeri 75 ve 210'un en küçük ortak katına eşittir, yani: NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Örnek.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlara ayırın ve bu sayıların en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

441=3·3·7·7 ve 700=2·2·5·5·7 elde ederiz.

Şimdi bu sayıların açılımında yer alan tüm faktörlerden bir çarpım oluşturalım: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Her iki genişlemede aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu çarpımdan hariç tutalım (böyle bir faktör vardır - bu 7 sayısıdır): 2·2·3·3·5·5·7·7. Böylece, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Cevap:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Sayıları asal çarpanlara ayırmayı kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı şekilde formüle edilebilir. B sayısının açılımındaki eksik faktörler, a sayısının açılımındaki faktörlere eklenirse, ortaya çıkan çarpımın değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..

Örnek olarak aynı 75 ve 210 sayılarını ele alalım, asal çarpanlarına ayrıştırmaları şu şekildedir: 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7. 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına 210 sayısının açılımından eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını eklersek değeri 2·3·5·5·7 sonucunu elde ederiz: LCM(75, 210)'a eşittir.

Örnek.

84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ediyoruz. 84=2·2·3·7 ve 648=2·2·2·3·3·3·3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik olan 2, 3, 3 ve 3 çarpanlarını eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 sonucunu elde ederiz, bu da 4 536'ya eşittir. Dolayısıyla 84 ile 648'in istenen en küçük ortak katı 4,536'dır.

Cevap:

LCM(84, 648)=4,536 .

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sinin sırayla bulunmasıyla bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayalım.

Teorem.

Pozitif tam sayılar a 1 , a 2 , …, a k verilse, bu sayıların en küçük ortak katı m k sırasıyla m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) hesaplanarak bulunur. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğini kullanarak bu teoremin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

140, 9, 54 ve 250 olmak üzere dört sayının LCM'sini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

İlk önce buluyoruz m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(140, 9)'u belirliyoruz, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dolayısıyla GCD(140, 9)=1 , buradan OBEB(140, 9)=140 9:OBEB(140, 9)= 140.9:1=1.260. Yani m2 =1 260.

Şimdi bulduk m3 = LOC (m2, a3) = LOC (1 260, 54). Bunu da Öklid algoritmasını kullanarak belirlediğimiz OBEB(1 260, 54) aracılığıyla hesaplayalım: 1 260=54·23+18, 54=18·3. O zaman gcd(1,260, 54)=18, buradan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yani m3 =3 780.

Geriye kalan tek şey bulmak m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(3,780, 250)'yi buluyoruz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dolayısıyla GCM(3,780, 250)=10, dolayısıyla GCM(3,780, 250)= 3 780 250: OBEB(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yani m4 =94.500.

Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.

Cevap:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Çoğu durumda, verilen sayıların asal çarpanlara ayrılması kullanılarak üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak uygundur. Bu durumda uymanız gerekenler sonraki kural. Birkaç sayının en küçük ortak katı, şu şekilde oluşan çarpıma eşittir: ikinci sayının açılımından elde edilen eksik faktörler, birinci sayının açılımından elde edilen tüm faktörlere eklenir; üçüncü sayı ortaya çıkan faktörlere eklenir ve bu şekilde devam eder.

Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğine bakalım.

Örnek.

84, 6, 48, 7, 143 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle bu sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 asal bir sayıdır, çakışır) asal çarpanlara ayrıştırılmasıyla) ve 143=11·13.

Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk 84 sayısının çarpanlarına (bunlar 2, 2, 3 ve 7'dir), ikinci sayı 6'nın açılımındaki eksik faktörleri eklemeniz gerekir. 6 sayısının ayrıştırılması eksik faktörleri içermiyor çünkü ilk 84 sayısının ayrıştırılmasında hem 2 hem de 3 zaten mevcut. Daha sonra, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına, üçüncü sayı 48'in açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını eklersek, 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarından oluşan bir set elde ederiz. Bir sonraki adımda bu sete çarpan eklemenize gerek kalmayacak çünkü 7 zaten içinde yer alıyor. Son olarak 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 numaralı çarpanlara 143 sayısının açılımındaki eksik 11 ve 13 numaralı çarpanları ekliyoruz. 2·2·2·2·3·7·11·13 çarpımını elde ederiz, bu da 48,048'e eşittir.