Polinomların çarpanlarına ayrılması. Tam bir kare seçme yöntemi. Yöntemlerin kombinasyonu. Polinomlar. Bir polinomun çarpanlara ayrılması: yöntemler, örnekler

Faktoring polinomları kimlik dönüşümü bunun sonucunda polinom çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomiyaller) ürününe dönüştürülür.

Polinomları çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır.

Yöntem 1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Bu dönüşüm, dağıtım çarpma kanununa dayanmaktadır: ac + bc = c(a + b). Dönüşümün özü, söz konusu iki bileşendeki ortak faktörü izole etmek ve onu parantezlerden "çıkarmaktır".

28x3 – 35x4 polinomunu çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. 28x3 ve 35x4 elemanlarını bulun ortak bölen. 28 ve 35 için 7; x 3 ve x 4 – x 3 için. Yani ortak çarpanımız 7x3'tür.

2. Her bir unsuru faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz; bunlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Parantezlerin ortak çarpanını çıkarıyoruz
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Yöntem 2. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması. Bu yöntemi kullanmanın “ustalığı”, ifadedeki kısaltılmış çarpma formüllerinden birini fark etmektir.

Polinom x 6 – 1'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Kareler farkı formülünü bu ifadeye uygulayabiliriz. Bunu yapmak için x 6'yı (x 3) 2 ve 1'i 1 2 olarak hayal edin, yani. 1. İfade şu şekli alacaktır:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Küplerin toplamı ve farkı formülünü elde edilen ifadeye uygulayabiliriz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Bu yüzden,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Yöntem 3. Gruplandırma. Gruplandırma yöntemi, bir polinomun bileşenlerini, üzerlerinde işlem (toplama, çıkarma, ortak bir faktörün çıkarılması) gerçekleştirmeyi kolaylaştıracak şekilde birleştirmektir.

Polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Bileşenleri şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.
(x3 – 3x2) + (5x – 15).

2. Ortaya çıkan ifadede, ortak çarpanları parantezlerden çıkarıyoruz: ilk durumda x 2, ikinci durumda 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Ortak faktör x – 3'ü parantezlerden çıkarırız ve şunu elde ederiz:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Bu yüzden,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Malzemeyi güvence altına alalım.

a 2 – 7ab + 12b 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

1. 7ab tek terimlisini 3ab + 4ab toplamı olarak temsil edelim. İfade şu şekli alacaktır:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Parantezleri açalım ve şunu elde edelim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Polinomun bileşenlerini şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.. Şunu elde ederiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Parantez içindeki ortak faktörleri çıkaralım:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Ortak çarpanı (a – 3b) parantezlerden çıkaralım:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Bu yüzden,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Çarpanlara ayırmak için ifadeleri basitleştirmek gerekir. Daha da azaltılabilmesi için bu gereklidir. Bir polinomun genişlemesi, derecesi ikiden düşük olmadığında anlamlıdır. Birinci dereceye sahip bir polinom doğrusal olarak adlandırılır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Makale, ayrışmanın tüm kavramlarını kapsayacaktır, teorik temel ve bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri.

Teori

Teorem 1

Derecesi n olan herhangi bir polinom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + şeklinde olduğunda. . . + a 1 x + a 0, en yüksek dereceli a n ve n doğrusal faktörlere sahip sabit faktörlü bir çarpım olarak temsil edilir (x - x i), i = 1, 2, ..., n, sonra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , burada x i, i = 1, 2, …, n polinomun kökleridir.

Teorem kökler içindir karmaşık tip x i, i = 1, 2, …, n ve karmaşık katsayılar için a k, k = 0, 1, 2, …, n. Bu, herhangi bir ayrışmanın temelidir.

a k, k = 0, 1, 2, …, n formundaki katsayılar gerçek sayılar olduğunda, karmaşık kökler eşlenik çiftlerde ortaya çıkacaktır. Örneğin, x 1 ve x 2 kökleri P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki bir polinomla ilişkilidir. . . + a 1 x + a 0 karmaşık eşlenik olarak kabul edilirse, diğer kökler gerçek olur ve bundan polinomun P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · formunu aldığını elde ederiz. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, burada x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Yorum

Bir polinomun kökleri tekrarlanabilir. Bezout teoreminin bir sonucu olan cebir teoreminin kanıtını ele alalım.

Cebirin temel teoremi

Teorem 2

Derecesi n olan herhangi bir polinomun en az bir kökü vardır.

Bezout'un teoremi

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki bir polinomu böldükten sonra. . . + a 1 x + a 0 (x - s) üzerinde, sonra s noktasındaki polinoma eşit olan kalanı elde ederiz, sonra şunu elde ederiz:

P n x = bir n x n + bir n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , burada Q n - 1 (x), derecesi n - 1 olan bir polinomdur.

Bezout teoreminin sonucu

P n (x) polinomunun kökü s olarak kabul edilirse P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + olur. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Bu sonuç, çözümü tanımlamak için kullanıldığında yeterlidir.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

a x 2 + b x + c biçimindeki bir kare trinomial, doğrusal faktörlere ayrılabilir. o zaman a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) sonucunu elde ederiz; burada x 1 ve x 2 köklerdir (karmaşık veya gerçek).

Bu, genişlemenin kendisinin ikinci dereceden denklemin daha sonra çözülmesine indirgendiğini gösterir.

örnek 1

Ayrıştırma gerçekleştirin ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre.

Çözüm

4 x 2 - 5 x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulmak gerekir. Bunu yapmak için, formülü kullanarak diskriminantın değerini bulmanız gerekir, ardından D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 elde ederiz. Buradan şunu anlıyoruz

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Bundan 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 sonucunu elde ederiz.

Kontrolü gerçekleştirmek için parantezleri açmanız gerekir. Daha sonra formun bir ifadesini elde ederiz:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Kontrol ettikten sonra orijinal ifadeye ulaşıyoruz. Yani ayrıştırmanın doğru yapıldığı sonucuna varabiliriz.

Örnek 2

3 x 2 - 7 x - 11 formundaki ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 formunda hesaplamanın gerekli olduğunu bulduk.

Kökleri bulmak için diskriminantın değerini belirlemeniz gerekir. Bunu anlıyoruz

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Bundan 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 sonucunu elde ederiz.

Örnek 3

2 x 2 + 1 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Şimdi ikinci dereceden 2 x 2 + 1 = 0 denklemini çözüp köklerini bulmamız gerekiyor. Bunu anlıyoruz

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ben x 2 = - 1 2 = - 1 2 ben

Bu köklere karmaşık eşlenik denir; bu, genişlemenin kendisinin 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i olarak gösterilebileceği anlamına gelir.

Örnek 4

İkinci dereceden üç terimli x 2 + 1 3 x + 1'i ayrıştırın.

Çözüm

Öncelikle x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz ve köklerini bulmanız gerekir.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ben 2 = - 1 - 35 · ben 6 = - 1 6 - 35 6 · ben

Kökleri elde ettikten sonra yazıyoruz

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ben x - - 1 6 - 35 6 ben = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 ben

Yorum

Diskriminant değeri negatifse polinomlar ikinci dereceden polinomlar olarak kalacaktır. Bundan, onları doğrusal faktörlere genişletmeyeceğimiz sonucu çıkıyor.

Derecesi ikiden yüksek olan bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri

Ayrıştırma sırasında evrensel bir yöntem varsayılır. Tüm vakaların çoğu Bezout teoreminin bir sonucuna dayanmaktadır. Bunu yapmak için, x 1 kökünün değerini seçmeniz ve derecesini bir polinomla 1'e bölerek (x - x 1)'e bölerek derecesini azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan polinomun x 2 kökünü bulması gerekir ve tam bir genişleme elde edene kadar arama süreci döngüseldir.

Kök bulunamazsa, diğer çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılır: gruplama, ek terimler. Bu konu, daha yüksek kuvvetlere ve tam sayı katsayılarına sahip denklemlerin çözülmesini içerir.

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak

Serbest terimin sıfıra eşit olduğu durumu düşünün, bu durumda polinomun formu P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + olur. . . + bir 1 x .

Böyle bir polinomun kökünün x 1 = 0'a eşit olacağı görülebilir, bu durumda polinom P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ifadesi olarak temsil edilebilir. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Bu yöntemin ortak çarpanı parantez dışına çıkardığı kabul edilir.

Örnek 5

Üçüncü dereceden polinomu 4 x 3 + 8 x 2 - x'e ayırın.

Çözüm

x 1 = 0'ın verilen polinomun kökü olduğunu görüyoruz, sonra x'i tüm ifadenin parantezlerinden çıkarabiliriz. Şunu elde ederiz:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Şimdi 4 x 2 + 8 x - 1 kare trinomialinin köklerini bulmaya geçelim. Ayırt ediciyi ve kökleri bulalım:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Sonra şu oluyor

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Başlangıç ​​olarak, P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki tamsayı katsayılarını içeren bir ayrıştırma yöntemini ele alalım. . . + a 1 x + a 0, burada en yüksek derecenin katsayısı 1'dir.

Bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleri olarak kabul edilir.

Örnek 6

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 ifadesini ayrıştırın.

Çözüm

Tam köklerin olup olmadığını düşünelim. - 18 sayısının bölenlerini yazmak gerekir. Bunu ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 olarak alıyoruz. Bu polinomun tamsayı kökleri olduğu sonucu çıkar. Horner'ın şemasını kullanarak kontrol edebilirsiniz. Çok kullanışlıdır ve bir polinomun genişleme katsayılarını hızlı bir şekilde elde etmenizi sağlar:

Bundan, x = 2 ve x = - 3'ün orijinal polinomun kökleri olduğu sonucu çıkar ve bu, formun bir çarpımı olarak temsil edilebilir:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

x 2 + 2 x + 3 formundaki ikinci dereceden üç terimliyi genişletmeye devam ediyoruz.

Diskriminantın negatif olması gerçek köklerin olmadığı anlamına gelir.

Cevap: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Yorum

Horner şeması yerine kök seçiminin ve bir polinomun polinomla bölünmesinin kullanılmasına izin verilir. P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki tamsayı katsayılarını içeren bir polinomun genişletilmesini dikkate almaya devam edelim. . . + a 1 x + a 0 , en büyüğü bire eşittir.

Bu durum rasyonel kesirler için geçerlidir.

Örnek 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15'i çarpanlarına ayırın.

Çözüm

y = 2x değişkenini değiştirmek gerekiyor, katsayıları en yüksek derecede 1 olan bir polinoma geçmelisiniz. İfadeyi 4 ile çarparak başlamanız gerekir. Bunu anlıyoruz

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formunda elde edilen fonksiyon tamsayı köklere sahip olduğunda, bunların konumu serbest terimin bölenleri arasındadır. Giriş şöyle görünecek:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Sonuç olarak sıfır elde etmek için bu noktalarda g(y) fonksiyonunu hesaplamaya geçelim. Bunu anlıyoruz

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 gr (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 gr (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 gr (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

y = - 5'in, y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formundaki bir denklemin kökü olduğunu bulduk; bu, x = y 2 = - 5 2'nin orijinal fonksiyonun kökü olduğu anlamına gelir.

Örnek 8

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sütununu x + 5 2'ye bölmek gerekir.

Çözüm

Bunu yazalım ve elde edelim:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Bölenleri kontrol etmek çok zaman alacaktır, bu nedenle ortaya çıkan ikinci dereceden üç terimliyi x 2 + 7 x + 3 biçiminde çarpanlara ayırmak daha karlı olur. Sıfıra eşitleyerek diskriminantı buluruz.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Şunu takip ediyor

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Bir polinomun çarpanlarına ayrılması için yapay teknikler

Rasyonel kökler tüm polinomların doğasında yoktur. Bunu yapmak için faktörleri bulmak için özel yöntemler kullanmanız gerekir. Ancak tüm polinomlar genişletilemez veya bir çarpım olarak temsil edilemez.

Gruplandırma yöntemi

Ortak bir faktör bulmak ve onu parantezlerin dışına çıkarmak için bir polinomun terimlerini gruplandırabileceğiniz durumlar vardır.

Örnek 9

Polinom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2'yi çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Katsayılar tam sayı olduğundan köklerin de tam sayı olabileceği düşünülebilir. Kontrol etmek için bu noktalardaki polinomun değerini hesaplamak için 1, - 1, 2 ve - 2 değerlerini alın. Bunu anlıyoruz

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Bu da köklerin olmadığını, başka bir genişletme ve çözüm yönteminin kullanılması gerektiğini gösterir.

Gruplandırmak gereklidir:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Orijinal polinomu grupladıktan sonra, onu iki kare üç terimlinin çarpımı olarak temsil etmeniz gerekir. Bunu yapmak için çarpanlara ayırmamız gerekir. bunu anladık

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Yorum

Gruplandırmanın basitliği, terim seçiminin yeterince kolay olduğu anlamına gelmez. Belirli bir çözüm yöntemi bulunmadığından özel teorem ve kuralların kullanılması gerekmektedir.

Örnek 10

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Verilen polinomun tam sayı kökleri yoktur. Terimler gruplandırılmalıdır. Bunu anlıyoruz

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Çarpanlara ayırdıktan sonra şunu elde ederiz

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Bir polinomu çarpanlara ayırmak için kısaltılmış çarpma formüllerini ve Newton binomunu kullanma

Görünüm çoğu zaman ayrıştırma sırasında hangi yöntemin kullanılması gerektiğini her zaman netleştirmez. Dönüşümler yapıldıktan sonra Pascal üçgeninden oluşan bir çizgi oluşturabilirsiniz, aksi takdirde bunlara Newton binom adı verilir.

Örnek 11

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

İfadeyi forma dönüştürmek gerekir

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Parantez içindeki toplamın katsayılarının sırası x + 1 4 ifadesiyle gösterilir.

Bu, x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3'e sahip olduğumuz anlamına gelir.

Kareler farkını uyguladıktan sonra şunu elde ederiz:

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

İkinci parantez içindeki ifadeyi düşünün. Orada atların olmadığı açık, bu yüzden kareler farkı formülünü tekrar uygulamamız gerekiyor. Formun bir ifadesini alıyoruz

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Örnek 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6'yı çarpanlarına ayırın.

Çözüm

İfadeyi dönüştürmeye başlayalım. Bunu anlıyoruz

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Küpler farkının kısaltılmış çarpımı için formülün uygulanması gerekir. Şunu elde ederiz:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Bir polinomu çarpanlara ayırırken bir değişkeni değiştirme yöntemi

Bir değişkeni değiştirirken derece azaltılır ve polinom çarpanlara ayrılır.

Örnek 13

x 6 + 5 x 3 + 6 formunun polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Koşula göre y = x 3 yerine koymanın gerekli olduğu açıktır. Şunu elde ederiz:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin kökleri y = - 2 ve y = - 3'tür, o zaman

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Küp toplamının kısaltılmış çarpımı için formülün uygulanması gerekir. Formun ifadelerini alıyoruz:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Yani istenilen ayrıştırmayı elde ettik.

Yukarıda tartışılan durumlar, bir polinomun farklı şekillerde dikkate alınmasına ve çarpanlara ayrılmasına yardımcı olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir çarpım elde etmek için polinomları genişletmek bazen kafa karıştırıcı görünebilir. Ancak süreci adım adım anlarsanız o kadar da zor değil. Makale, ikinci dereceden bir trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını ayrıntılı olarak açıklamaktadır.

Birçok kişi kare trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını ve bunun neden yapıldığını anlamıyor. İlk başta faydasız bir egzersiz gibi görünebilir. Ama matematikte hiçbir şey boşuna yapılmaz. İfadenin basitleştirilmesi ve hesaplama kolaylığı için dönüşüm gereklidir.

– ax²+bx+c biçiminde bir polinom, ikinci dereceden trinomial denir."A" terimi negatif veya pozitif olmalıdır. Uygulamada bu ifadeye ikinci dereceden denklem denir. Bu nedenle bazen farklı söylüyorlar: ikinci dereceden bir denklemin nasıl genişletileceği.

İlginç! Bir polinom, en büyük derecesi olan kareden dolayı kare olarak adlandırılır. Ve bir trinomial - 3 bileşenden dolayı.

Diğer bazı polinom türleri:

• doğrusal binom (6x+8);
• kübik dörtgen (x³+4x²-2x+9).

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Öncelikle ifade sıfıra eşit, ardından x1 ve x2 köklerinin değerlerini bulmanız gerekiyor. Kökü olmayabilir, bir veya iki kökü olabilir. Köklerin varlığı diskriminant tarafından belirlenir. Formülünü ezbere bilmeniz gerekiyor: D=b²-4ac.

D sonucu negatif ise kök yoktur. Pozitif ise iki kök vardır. Sonuç sıfır ise kök birdir. Kökler ayrıca formül kullanılarak hesaplanır.

Diskriminant hesaplanırken sonuç sıfırsa formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz. Uygulamada formül basitçe kısaltılmıştır: -b / 2a.

için formüller Farklı anlamlar diskriminantlar farklıdır.

D pozitif ise:

D sıfır ise:

Çevrimiçi hesap makineleri

İnternette var cevrimici hesap makinesi. Çarpanlara ayırma işlemi yapmak için kullanılabilir. Bazı kaynaklar çözümü adım adım görüntüleme fırsatı sağlar. Bu tür hizmetler konunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olur ancak konuyu iyi anlamaya çalışmanız gerekir.

Faydalı video: İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlara ayrılması

Örnekler

Sizi görmeye davet ediyoruz basit örnekler, ikinci dereceden bir denklemin nasıl çarpanlara ayrılacağı.

örnek 1

Bu açıkça sonucun iki x olduğunu gösteriyor çünkü D pozitif. Formülde değiştirilmeleri gerekir. Kökler negatif çıkarsa formüldeki işaret ters yönde değişir.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırma formülünü biliyoruz: a(x-x1)(x-x2). Değerleri parantez içine alıyoruz: (x+3)(x+2/3). Üslü kuvvetlerde terimden önce sayı yoktur. Demek ki orada biri var, aşağı iniyor.

Örnek 2

Bu örnek, tek kökü olan bir denklemin nasıl çözüleceğini açıkça göstermektedir.

Ortaya çıkan değeri değiştiririz:

Örnek 3

Verilen: 5x²+3x+7

Öncelikle önceki durumlarda olduğu gibi diskriminantı hesaplayalım.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant negatiftir, yani kökleri yoktur.

Sonucu aldıktan sonra parantezleri açıp sonucu kontrol etmelisiniz. Orijinal trinomial görünmelidir.

Alternatif çözüm

Bazı insanlar ayrımcıyla hiçbir zaman arkadaşlık kuramadı. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırmanın başka bir yolu var. Kolaylık sağlamak için yöntem bir örnekle gösterilmiştir.

Verilen: x²+3x-10

2 parantez almamız gerektiğini biliyoruz: (_)(_). İfade şu şekilde göründüğünde: x²+bx+c, her parantezin başına x: (x_)(x_) koyarız. Kalan iki sayı “c”yi veren çarpımdır, yani bu durumda -10. Bunların hangi sayılar olduğunu bulmanın tek yolu seçimdir. Değiştirilen sayılar kalan süreye karşılık gelmelidir.

Örneğin aşağıdaki sayıların çarpılması -10 değerini verir:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. HAYIR.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. HAYIR.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. HAYIR.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Uyar.

Bu, x2+3x-10 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (x-2)(x+5).

Önemli!İşaretleri karıştırmamaya dikkat etmelisiniz.

Karmaşık bir trinomiyalin genişletilmesi

Eğer “a” birden büyükse zorluklar başlar. Ancak her şey göründüğü kadar zor değil.

Çarpanlara ayırmak için öncelikle herhangi bir şeyin çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağını görmeniz gerekir.

Örneğin şu ifade verilmiştir: 3x²+9x-30. Burada 3 rakamı parantezden çıkarılmıştır:

3(x²+3x-10). Sonuç zaten iyi bilinen üçlü terimdir. Cevap şuna benzer: 3(x-2)(x+5)

Karedeki terim negatif ise nasıl ayrıştırılır? İÇİNDE bu durumda-1 sayısı parantezlerden çıkarılmıştır. Örneğin: -x²-10x-8. Daha sonra ifade şu şekilde görünecektir:

Şema öncekinden çok az farklı. Sadece birkaç yeni şey var. Diyelim ki ifade verildi: 2x²+7x+3. Cevap ayrıca (_)(_) doldurulması gereken 2 parantez içinde yazılmıştır. 2. parantez içinde x, 1. parantez içinde kalan şey yazılır. Şuna benzer: (2x_)(x_). Aksi takdirde önceki şema tekrarlanır.

3 sayısı sayılarla verilmektedir:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Denklemleri bu sayıları değiştirerek çözüyoruz. Son seçenek uygundur. Bu, 2x²+7x+3 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (2x+1)(x+3).

Diğer durumlar

Bir ifadeyi dönüştürmek her zaman mümkün değildir. İkinci yöntemle denklemin çözülmesine gerek yoktur. Ancak terimlerin ürüne dönüştürülme olasılığı yalnızca diskriminant aracılığıyla kontrol edilir.

Karar vermek için pratik yapmaya değer ikinci dereceden denklemler böylece formülleri kullanırken hiçbir zorluk yaşanmaz.

Faydalı video: bir trinomial'ı çarpanlarına ayırma

Çözüm

Bunu herhangi bir şekilde kullanabilirsiniz. Ancak her ikisi de otomatik hale gelinceye kadar pratik yapmak daha iyidir. Ayrıca hayatını matematikle birleştirmeyi planlayanlar için ikinci dereceden denklemleri ve faktör polinomlarını iyi çözmeyi öğrenmek gereklidir. Aşağıdaki matematik konularının tümü bunun üzerine inşa edilmiştir.

Cebirde “polinom” ve “polinomun çarpanlara ayrılması” kavramlarıyla çok sık karşılaşılır, çünkü büyük hesaplamaları kolayca yapabilmek için bunları bilmeniz gerekir. çok basamaklı sayılar. Bu makale birkaç ayrıştırma yöntemini açıklayacaktır. Hepsinin kullanımı oldukça kolaydır; yalnızca her özel durum için doğru olanı seçmeniz gerekir.

Polinom kavramı

Bir polinom, tek terimlilerin, yani yalnızca çarpma işlemini içeren ifadelerin toplamıdır.

Örneğin, 2 * x * y bir monomdur, ancak 2 * x * y + 25, 2 monomdan oluşan bir polinomdur: 2 * x * y ve 25. Bu tür polinomlara binom denir.

Bazen, çok değerli değerlere sahip örnekleri çözmenin kolaylığı için, bir ifadenin dönüştürülmesi, örneğin belirli sayıda faktöre, yani aralarında çarpma işleminin gerçekleştirildiği sayılara veya ifadelere ayrıştırılması gerekir. Bir polinomu çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır. İlkokulda kullanılan en ilkel olandan başlayarak bunları dikkate almaya değer.

Gruplandırma (genel biçimde kayıt)

Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlarına ayırma formülü Genel görünüm buna benzer:

ac + bd + bc + reklam = (ac + bc) + (reklam + bd)

Tek terimlileri, her grubun ortak bir çarpanı olacak şekilde gruplandırmak gerekir. İlk parantez içinde bu c faktörüdür ve ikincisinde - d. Bu, daha sonra onu braketten çıkarmak ve böylece hesaplamaları basitleştirmek için yapılmalıdır.

Belirli bir örnek kullanarak ayrıştırma algoritması

Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlarına ayırmanın en basit örneği aşağıda verilmiştir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

İlk parantez içinde ortak olacak a faktörü ve ikincisinde b faktörü ile terimleri almanız gerekir. Bitmiş ifadedeki + ve - işaretlerine dikkat edin. Tek terimlinin önüne ilk ifadedeki işareti koyduk. Yani 25a ifadesiyle değil -25 ifadesiyle çalışmanız gerekiyor. Eksi işareti, arkasındaki ifadeye "yapıştırılmış" gibi görünüyor ve hesaplama sırasında her zaman dikkate alınıyor.

Bir sonraki adımda ortak olan çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekiyor. Gruplandırmanın amacı da tam olarak budur. Parantez dışına koymak, parantez içindeki tüm terimlerde tam olarak tekrarlanan tüm faktörleri parantezden önce (çarpma işaretini atlayarak) yazmak anlamına gelir. Bir parantez içinde 2 değil 3 veya daha fazla terim varsa, bunların her birinde ortak çarpan bulunmalıdır, aksi takdirde parantez dışına çıkarılamaz.

Bizim durumumuzda parantez içinde sadece 2 terim var. Genel çarpan hemen görülebilir. İlk parantezde a, ikincide b. Burada dijital katsayılara dikkat etmeniz gerekiyor. Birinci parantez içinde her iki katsayı da (10 ve 25) 5'in katıdır. Bu sadece a'nın değil 5a'nın da parantezden çıkarılabileceği anlamına gelir. Parantezden önce 5a yazın ve ardından parantez içindeki terimlerin her birini çıkarılan ortak faktöre bölün ve + ve - işaretlerini unutmadan bölümü parantez içine yazın.İkinci parantez için de aynısını yapın, 7b'yi ve 14 ile 7'nin katı olan 35'i çıkarın.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

2 terimimiz var: 5a(2c - 5) ve 7b(2c - 5). Her biri ortak bir faktör içerir (parantez içindeki ifadenin tamamı burada aynıdır, yani ortak bir faktördür): 2c - 5. Onun da parantezden çıkarılması gerekir, yani 5a ve 7b terimleri kalır ikinci parantez içinde:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Yani tam ifade şu şekildedir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Böylece, 10ac + 14bc - 25a - 35b polinomu 2 faktöre ayrıştırılır: (2c - 5) ve (5a + 7b). Yazarken aralarındaki çarpım işareti atlanabilir

Bazen bu türden ifadeler vardır: 5a 2 + 50a 3, burada yalnızca a veya 5a'yı değil, 5a 2'yi bile parantezlerin dışına çıkarabilirsiniz. Her zaman en büyük ortak çarpanı parantez dışında tutmaya çalışmalısınız. Bizim durumumuzda, her terimi ortak bir faktöre bölersek şunu elde ederiz:

5a2 / 5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(eşit tabanlara sahip birden fazla kuvvetin bölümü hesaplanırken taban korunur ve üs çıkarılır). Böylece birim parantez içinde kalır (parantez içindeki terimlerden birini çıkarırsanız hiçbir durumda yazmayı unutmazsınız) ve bölme bölümü: 10a. Şekline dönüştü:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kare formüller

Hesaplama kolaylığı için çeşitli formüller türetilmiştir. Bunlara kısaltılmış çarpma formülleri denir ve oldukça sık kullanılır. Bu formüller, kuvvet içeren polinomların çarpanlarına ayrılmasına yardımcı olur. Bu başka bir tane etkili yolçarpanlara ayırma. İşte buradalar:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -“toplamın karesi” adı verilen bir formül, çünkü kareye ayrıştırma sonucunda parantez içindeki sayıların toplamı alınır, yani bu toplamın değeri kendisiyle 2 kez çarpılır ve bu nedenle a çarpan.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Farkın karesi formülü öncekine benzer. Sonuç, parantez içine alınmış ve karenin kuvvetinin içerdiği farktır.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- bu, kareler farkı için bir formüldür, çünkü başlangıçta polinom, aralarında çıkarma işleminin yapıldığı 2 kare sayı veya ifadeden oluşur. Belki de bahsedilen üçünden en sık kullanılanıdır.

Kare formülleri kullanan hesaplama örnekleri

Onlar için hesaplamalar oldukça basittir. Örneğin:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - “toplamın karesi” formülünü kullanın.
2. 25x2, 5x'in karesidir. 20xy, 2*(5x*2y)'nin çift çarpımıdır ve 4y 2, 2y'nin karesidir.
3. Böylece, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Bu polinom 2 faktöre ayrıştırılır (faktörler aynıdır, dolayısıyla karenin kuvveti olan bir ifade olarak yazılır).

Kareler fark formülü kullanılarak yapılan işlemler de bunlara benzer şekilde gerçekleştirilir. Geriye kalan formül kareler farkıdır. Bu formülün örneklerini diğer ifadeler arasında tanımlamak ve bulmak çok kolaydır. Örneğin:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). 25a 2 = (5a) 2 ve 400 = 20 2 olduğundan
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2 ve 25y 2 = (5y 2) olduğundan
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 olduğundan

Terimlerin her birinin bir ifadenin karesi olması önemlidir. Daha sonra bu polinomun kareler farkı formülü kullanılarak çarpanlara ayrılması gerekir. Bunun için ikinci derecenin sayının üzerinde olması şart değildir. Büyük dereceler içeren ancak yine de bu formüllere uyan polinomlar vardır.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Bu örnekte 8, (a 4) 2, yani belirli bir ifadenin karesi olarak temsil edilebilir. 25, 5 2'dir ve 10a, 4'tür - bu 2 * a 4 * 5 terimlerinin çift çarpımıdır. Yani bu ifade, büyük üslü derecelerin varlığına rağmen, daha sonra onlarla çalışmak için 2 faktöre ayrıştırılabilir.

Küp formülleri

Küp içeren polinomları çarpanlara ayırmak için aynı formüller mevcuttur. Kareli olanlardan biraz daha karmaşıktırlar:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- Bu formüle küplerin toplamı denir, çünkü ilk biçiminde polinom bir küp içine alınmış iki ifadenin veya sayının toplamıdır.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -öncekinin aynısı olan bir formül küplerin farkı olarak tanımlanır.
• bir 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - bir toplamın küpü, hesaplamalar sonucunda sayıların veya ifadelerin toplamı parantez içine alınır ve kendisiyle 3 kez çarpılır, yani bir küpün içine yerleştirilir
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Bir öncekine benzetilerek derlenen, matematiksel işlemlerin yalnızca bazı işaretlerini (artı ve eksi) değiştiren formüle “fark küpü” denir.

Son iki formül, karmaşık oldukları için bir polinomu çarpanlara ayırmak amacıyla pratikte kullanılmaz ve bu formüller kullanılarak çarpanlara ayrılabilmeleri için tam olarak bu yapıya tam olarak karşılık gelen polinomları bulmak yeterince nadirdir. Ancak yine de bunları bilmeniz gerekir, çünkü ters yönde çalışırken - parantezleri açarken gerekli olacaklardır.

Küp formüllerine örnekler

Bir örneğe bakalım: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Burada oldukça basit sayılar alınmıştır, böylece 64a 3'ün (4a) 3 ve 8b 3'ün (2b) 3 olduğunu hemen görebilirsiniz. Böylece bu polinom küp farkı formülüne göre 2 faktöre genişletilir. Küplerin toplamı formülünü kullanan eylemler analoji yoluyla gerçekleştirilir.

Tüm polinomların en az bir şekilde genişletilemeyeceğini anlamak önemlidir. Ancak kare veya küpten daha büyük kuvvetler içeren ifadeler vardır, ancak bunlar aynı zamanda kısaltılmış çarpma biçimlerine de genişletilebilir. Örneğin: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Bu örnek 12. derece kadar içeriyor. Ancak küp toplamı formülü kullanılarak bile çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için x 12'yi (x 4) 3 olarak, yani bir ifadenin küpü olarak hayal etmeniz gerekir. Şimdi formülde a yerine onu kullanmanız gerekiyor. 125y 3 ifadesi 5y'nin küpüdür. Daha sonra formülü kullanarak ürünü oluşturmanız ve hesaplamalar yapmanız gerekir.

İlk başta veya şüphe durumunda her zaman ters çarpma ile kontrol edebilirsiniz. Ortaya çıkan ifadede parantezleri açıp benzer terimlerle işlemler yapmanız yeterli. Bu yöntem listelenen tüm indirgeme yöntemleri için geçerlidir: hem ortak bir faktörle ve gruplandırmayla çalışmak hem de küp formülleri ve ikinci dereceden kuvvetlerle çalışmak için.

Bir denklemi çarpanlarına ayırma işlemi, çarpıldığında ilk denklemi sağlayan terimleri veya ifadeleri bulma işlemidir. Faktoring, temel cebir problemlerini çözmek için yararlı bir beceridir ve ikinci dereceden denklemler ve diğer polinomlarla çalışırken neredeyse gerekli hale gelir. Faktoring, cebirsel denklemleri basitleştirerek çözümlerini kolaylaştırmak için kullanılır. Faktoring, bir denklemi elle çözdüğünüzden daha hızlı bir şekilde belirli olası cevapları ortadan kaldırmanıza yardımcı olabilir.

Adımlar

Sayıları çarpanlarına ayırma ve temel cebirsel ifadeler

1. Sayıları faktoring etmek.Çarpanlara ayırma kavramı basittir ancak pratikte çarpanlara ayırma yapılabilir. kolay bir iş değil(eğer karmaşık bir denklem verilmişse). O halde önce sayıları örnek olarak kullanarak çarpanlara ayırma kavramına bakalım, basit denklemlerle devam edelim, ardından karmaşık denklemlere geçelim. Çarpanlar verilen numara- Bunlar çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 12 sayısının çarpanları sayılardır: 1, 12, 2, 6, 3, 4, çünkü 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Aynı şekilde bir sayının çarpanlarını o sayının bölenleri, yani sayının bölünebildiği sayılar olarak düşünebilirsiniz.
   • 60 sayısının tüm çarpanlarını bulun. 60 sayısını sıklıkla kullanırız (örneğin, saatte 60 dakika, dakikada 60 saniye vb.) ve bu sayı oldukça çok sayıdaçarpanlar.
     • 60 çarpan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60.

2. Hatırlamak: Bir katsayı (sayı) ve bir değişken içeren bir ifadenin terimleri de çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için değişkenin katsayı faktörlerini bulun. Denklem terimlerini nasıl çarpanlara ayıracağınızı bildiğinizden, bu denklemi kolayca basitleştirebilirsiniz.

   • Örneğin 12x terimi 12 ile x'in çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca 12x'i 3(4x), 2(6x), vb. şeklinde de yazabilir ve 12'yi sizin için en uygun faktörlere ayırabilirsiniz.
     • Art arda birden çok kez 12x dağıtabilirsiniz. Başka bir deyişle 3(4x) veya 2(6x)'te durmamalısınız; genişletmeye devam edin: 3(2(2x)) veya 2(3(2x)) (belli ki 3(4x)=3(2(2x)) vb.)

3. Çarpmanın dağılma özelliğini çarpan cebirsel denklemlere uygulayın. Sayıları ve ifade terimlerini (değişkenli katsayılar) nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilerek, basit işlemleri basitleştirebilirsiniz. cebirsel denklemler, ifadenin sayı ve teriminin ortak çarpanını bulma. Tipik olarak bir denklemi basitleştirmek için en büyük ortak faktörü (GCD) bulmanız gerekir. Bu basitleştirme sayesinde mümkündür dağılma özelliğiçarpma: herhangi bir a, b, c sayısı için a(b+c) = ab+ac eşitliği doğrudur.

   • Örnek. 12x + 6 denklemini çarpanlarına ayırın. İlk önce 12x ve 6'nın brüt değerini bulun. 6 en büyük sayı, hem 12x'i hem de 6'yı böler, böylece bu denklemi şu şekilde çarpanlara ayırabilirsiniz: 6(2x+1).
   • Bu süreç aynı zamanda negatif ve kesirli terimleri olan denklemler için de geçerlidir. Örneğin, x/2+4, 1/2(x+8)'e ayrılabilir; örneğin -7x+(-21), -7(x+3) çarpanlarına ayrılabilir.

   İkinci Dereceden Denklemlerin Faktoringlenmesi

   1. Denklemin ikinci dereceden formda verildiğinden emin olun (ax 2 + bx + c = 0).İkinci dereceden denklemler şu şekildedir: ax 2 + bx + c = 0, burada a, b, c 0'dan farklı sayısal katsayılardır. Size tek değişkenli (x) bir denklem verilirse ve bu denklemde bir veya daha fazla terim varsa ikinci dereceden bir değişkenle denklemin tüm terimlerini denklemin bir tarafına taşıyabilir ve sıfıra eşitleyebilirsiniz.

      • Örneğin, verilen denklem: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Bu, ikinci dereceden bir denklem olan x 2 + 6x + 9 = 0 denklemine dönüştürülebilir.
      • Büyük dereceli x değişkenine sahip denklemler, örneğin x 3, x 4, vb. ikinci dereceden denklemler değildir. Bunlar kübik denklemler, dördüncü dereceden denklemler vb.'dir (bu tür denklemler, x değişkeninin 2'ye yükseltildiği ikinci dereceden denklemlere basitleştirilemediği sürece).

   2. a = 1 olan ikinci dereceden denklemler, d*e=c ve d+e=b olmak üzere (x+d)(x+e) şeklinde genişletilir. Size verilen ikinci dereceden denklem şu şekildeyse: x 2 + bx + c = 0 (yani, x 2'nin katsayısı 1'dir), o zaman böyle bir denklem yukarıdaki faktörlere genişletilebilir (ancak garanti edilmez). Bunu yapmak için çarpıldığında “c”, toplandığında “b” veren iki sayı bulmanız gerekir. Bu iki sayıyı (d ve e) bulduğunuzda, bunları aşağıdaki ifadeyle değiştirin: (x+d)(x+e), bu, parantezleri açtığınızda orijinal denklemi sağlar.

      • Örneğin, ikinci dereceden bir denklem verildiğinde x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ve 3+2=5, yani bu denklemi (x+3)(x+2) şeklinde çarpanlara ayırabilirsiniz.
      • Negatif terimler için çarpanlara ayırma sürecinde aşağıdaki küçük değişiklikleri yapın:
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx+c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x-_)(x-_).
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx-c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x+_)(x-_).
      • Not: Boşluklar kesirlerle veya ondalık sayılarla değiştirilebilir. Örneğin, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 denklemi (x+10)(x+1/2) şeklinde genişletilir.

   3. Deneme yanılma yoluyla çarpanlara ayırma. Basit ikinci dereceden denklemler, sayıları basitçe yerine koyarak çarpanlara ayrılabilir. Muhtemel çözümler bulana kadar doğru karar. Denklem ax 2 +bx+c biçimindeyse (a>1), olası çözümler (dx +/- _)(ex +/- _) biçiminde yazılır; burada d ve e sıfır olmayan sayısal katsayılardır. , çarpıldığında a verir. d veya e (veya her iki katsayı) 1'e eşit olabilir. Her iki katsayı da 1'e eşitse yukarıda açıklanan yöntemi kullanın.

      • Örneğin, 3x 2 - 8x + 4 denklemi verilmiştir. Burada 3'ün yalnızca iki çarpanı vardır (3 ve 1), dolayısıyla olası çözümler (3x +/- _)(x +/- _) şeklinde yazılır. Bu durumda boşluk yerine -2 koyarsanız doğru cevabı bulursunuz: -2*3x=-6x ve -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ve -2*-2=4 yani parantezleri açarken böyle bir genişleme orijinal denklemin terimlerine yol açacaktır.