Aritmetik ve geometrik ilerlemeler
Teorik bilgiler
Teorik bilgiler
Geometrik ilerleme |
||
Tanım |
Aritmetik ilerleme BİR ikinciden başlayarak her üyenin aynı numaraya eklenen önceki üyeye eşit olduğu bir dizidir D (D- ilerleme farkı) |
Geometrik ilerleme bn her terimi ikinciden başlayarak önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşit olan sıfırdan farklı sayılar dizisidir Q (Q- ilerlemenin paydası) |
Tekrarlama formülü |
Herhangi bir doğal için N |
Herhangi bir doğal için N |
Formül n'inci terim |
bir n = bir 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Karakteristik özellik |  |
|
| İlk n terimin toplamı |  |
 |
Yorum içeren görev örnekleri
1. Egzersiz
Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6, bir 2
N'inci terimin formülüne göre:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 gün
Koşula göre:
1= -6 ise 22= -6 + 21d .
İlerleme farkını bulmak gerekir:
d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Cevap : 22 = -48.
Görev 2
Geometrik ilerlemenin beşinci terimini bulun: -3; 6;....
1. yöntem (n-terim formülünü kullanarak)
Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne göre:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Çünkü b 1 = -3,
2. yöntem (tekrarlayan formülü kullanarak)
İlerlemenin paydası -2 (q = -2) olduğuna göre:
b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Cevap : b5 = -48.
Görev 3
Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir 74 = 34; 76= 156. Bu ilerlemenin yetmiş beşinci terimini bulun.
Aritmetik bir ilerleme için karakteristik özellik şu şekildedir: 
.
Öyleyse:
.
Verileri formülde yerine koyalım:
Cevap: 95.
Görev 4
Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir n= 3n - 4. İlk on yedi terimin toplamını bulun.
Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını bulmak için iki formül kullanılır:
.
Hangisi var bu durumda kullanımı daha mı uygun?
Koşullu olarak, orijinal ilerlemenin n'inci teriminin formülü bilinmektedir ( BİR) BİR= 3n - 4. Hemen bulabilir ve 1, Ve 16 bulmadan d. Bu nedenle ilk formülü kullanacağız.
Cevap: 368.
Görev 5
Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6; bir 2= -8. İlerlemenin yirmi ikinci terimini bulun.
N'inci terimin formülüne göre:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21g.
Koşullara göre ise 1= -6 ise 22= -6 + 21d . İlerleme farkını bulmak gerekir:
d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Cevap : 22 = -48.
Görev 6
Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:
İlerlemenin x etiketli terimini bulun.
Çözerken n'inci terimin formülünü kullanacağız b n = b 1 ∙ q n - 1İçin geometrik ilerlemeler. İlerlemenin ilk dönemi. Q ilerlemesinin paydasını bulmak için, ilerlemenin verilen terimlerinden herhangi birini alıp bir öncekine bölmeniz gerekir. Örneğimizde alıp bölebiliriz. q = 3 elde ederiz. Belirli bir geometrik ilerlemenin üçüncü terimini bulmak gerektiğinden formülde n yerine 3 koyarız.
Bulunan değerleri formülde değiştirerek şunu elde ederiz:
.
Cevap : .
Görev 7
N'inci terimin formülüyle verilen aritmetik ilerlemelerden, koşulun sağlandığı terimi seçin 27 > 9:
İlerlemenin 27. terimi için verilen koşulun sağlanması gerektiğinden, dört ilerlemenin her birinde n yerine 27 koyarız. 4. ilerlemede şunu elde ederiz:
.
Cevap: 4.
Görev 8
Aritmetik ilerlemede 1= 3, d = -1,5. Belirt en yüksek değer n eşitsizliğinin geçerli olduğu yer BİR > -6.
Veya aritmetik, özellikleri bir okul cebir dersinde incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makalede, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusu ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.
Bu nasıl bir ilerleme?
Soruna geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neden bahsettiğimizi anlamakta fayda var.
Önceki her sayıya bir değer eklenerek (çıkarılarak) elde edilen herhangi bir gerçek sayı dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Bu tanım matematik diline çevrildiğinde şu şekli alır:
Burada i, a i satırının elemanının seri numarasıdır. Böylece yalnızca bir başlangıç numarasını bilerek tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.
Söz konusu sayı dizisi için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolaylıkla gösterilebilir:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Yani n'inci elemanın değerini sırasıyla bulmak için d farkını ilk eleman a'ya 1 n-1 kez eklemelisiniz.
Aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül
Belirtilen miktarın formülünü vermeden önce basit bir özel durumu dikkate almakta fayda var. İlerleme veriliyor doğal sayılar 1'den 10'a kadar toplamlarını bulmanız gerekir. İlerlemede (10) az sayıda terim olduğundan, sorunu doğrudan çözmek, yani tüm unsurları sırayla toplamak mümkündür.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Göz önünde bulundurmaya değer bir şey İlginç bir şey: her terim bir sonrakinden aynı d = 1 değeri kadar farklı olduğundan, birincinin onuncuyla, ikincinin dokuzuncuyla vb. ikili toplamı şunu verecektir: aynı sonuç. Gerçekten mi:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 adet var, yani serinin eleman sayısından tam iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak ilk örnekte elde edilen sonuca ulaşacaksınız.
Bu argümanları genelleştirirsek aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:
S n = n * (bir 1 + bir n) / 2.
Bu ifade, bir satırdaki tüm elemanların toplamının hiç de gerekli olmadığını, ilk a 1 ve sonuncu a n'nin değerini bilmenin yeterli olduğunu göstermektedir. toplam sayısı n terim.
Belirli bir soruna çözüm ararken bu eşitliği ilk düşünenin Gauss olduğuna inanılıyor. okul öğretmeni görev: ilk 100 tam sayıyı toplayın.
m'den n'ye kadar elemanların toplamı: formül
Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik ilerlemenin (ilk öğeler) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna yanıt verir, ancak çoğu zaman problemlerde ilerlemenin ortasında bir sayı dizisinin toplanması gerekir. Nasıl yapılır?
Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'den n'ye kadar terimlerin toplamını bulmamız gereksin. Sorunu çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye kadar verilen bölümünü yeni bir sayı dizisi biçiminde sunmalısınız. böyle m'inci temsil a m terimi ilk olacak ve bir n, n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda, toplam için standart formülün uygulanmasıyla aşağıdaki ifade elde edilecektir:
S m n = (n - m + 1) * (bir m + bir n) / 2.
Formül kullanma örneği
Aritmetik ilerlemenin toplamını nasıl bulacağınızı bildiğinizden, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.
Aşağıda verilmiştir sayı dizisi, 5'inciden başlayıp 12'nci ile biten terimlerinin toplamını bulmalısınız:
Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu göstermektedir. n'inci eleman ifadesini kullanarak ilerlemenin 5. ve 12. terimlerinin değerlerini bulabilirsiniz. Görünüşe göre:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Verilen sayıların uçlarındaki sayıların değerlerini bilmek cebirsel ilerleme ve ayrıca satırda hangi sayıları işgal ettiklerini bilerek, önceki paragrafta elde edilen tutarın formülünü kullanabilirsiniz. Ortaya çıkacak:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Bu değerin farklı şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 öğenin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın, ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın.
Aritmetik ilerlemenin toplamı.
Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuyla ilgili her türlü görev var. Temelden oldukça sağlama.
Öncelikle miktarın anlamını ve formülünü anlayalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Miktarın anlamı möö kadar basittir. Aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm terimlerini dikkatlice eklemeniz yeterlidir. Bu terimler azsa formül kullanmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok ya da çok varsa... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül imdadımıza yetişir.
Miktarın formülü basittir:
Formülde ne tür harflerin yer aldığını bulalım. Bu, işleri büyük ölçüde açıklığa kavuşturacaktır.
Sn - aritmetik ilerlemenin toplamı. Toplama sonucu herkesüyeleri ile Birinciİle son. Bu önemli. Tam olarak topluyorlar Tümüyeleri atlamadan veya atlamadan arka arkaya. Ve tam olarak şundan başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinci ila yirminci terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)
1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.
BİR- son ilerlemenin üyesi. Serinin son sayısı. Çok tanıdık bir isim değil ama miktara uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.
N - son üyenin numarası. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısıyla örtüşür.
Konsepti tanımlayalım sonüye BİR. Zor soru: Hangi üye olacak sonuncu eğer verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?)
Kendinize güvenerek cevap verebilmek için aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve... görevi dikkatlice okumanız gerekir!)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde her zaman son terim görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), ki bu sınırlı olmalıdır. Aksi takdirde, nihai, belirli bir miktar basitçe mevcut değil.Çözüm için ilerlemenin verilip verilmediği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayı ya da n'inci terim için bir formül.
En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk döneminden sayı içeren döneme kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında formülün tam adı şuna benzer: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca göreve göre belirlenir. Bir görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet... Ama boş verin, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkarıyoruz.)
Aritmetik ilerlemenin toplamı ile ilgili görev örnekleri.
Öncelikle, yardımcı bilgi:
Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren görevlerdeki temel zorluk, doğru tanım formülün unsurları.
Görev yazarları bu unsurları sınırsız hayal gücüyle şifreler.) Burada asıl önemli olan korkmamaktır. Elementlerin özünü anlamak, onları basitçe deşifre etmek yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.
1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a n = 2n-3,5. İlk 10 teriminin toplamını bulun.
Aferin. Kolay.) Formülü kullanarak miktarı belirlemek için neyi bilmemiz gerekiyor? İlk üye 1, son dönem BİR, evet son üyenin numarası N.
Son üyenin numarasını nereden alabilirim? N? Evet, şartla orada! Diyor ki: toplamı bul ilk 10 üye. Peki hangi numarayla olacak? son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR Formülde yerine koyacağız 10 ve bunun yerine N- on. Tekrar ediyorum, son üye sayısı üye sayısıyla örtüşüyor.
Belirlemek için kalır 1 Ve 10. Bu, problem tanımında verilen n'inci terim formülü kullanılarak kolayca hesaplanır. Bunu nasıl yapacağınızı bilmiyor musunuz? Önceki derse katılın, bu olmadan hiçbir yolu yoktur.
1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10=2·10 - 3,5 =16,5
Sn = S10.
Aritmetik ilerlemenin toplamı formülündeki tüm öğelerin anlamını bulduk. Geriye kalan tek şey bunları değiştirmek ve saymaktır:
Bu kadar. Cevap: 75.
GIA'ya dayanan başka bir görev. Biraz daha karmaşık:
2. Farkı 3,7 olan aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; a 1 =2,3. İlk 15 teriminin toplamını bulun.
Hemen toplam formülünü yazıyoruz:
Bu formül herhangi bir terimin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:
15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Aritmetik ilerlemenin toplamı için formüldeki tüm unsurları yerine koymak ve cevabı hesaplamak kalır:
Cevap: 423.
Bu arada, eğer toplam formülünde yerine BİR Formülü n'inci terimin yerine koyarız ve şunu elde ederiz:
Benzerlerini sunalım ve bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı için yeni bir formül elde edelim:
 |
Gördüğünüz gibi burada gerekli değil n'inci terim BİR. Bazı problemlerde bu formül çok işe yarıyor evet... Bu formülü hatırlarsınız. Veya buradaki gibi doğru zamanda görüntüleyebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülünü ve n'inci terimin formülünü her zaman hatırlamanız gerekir.)
Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):
3. Tüm pozitiflerin toplamını bulun çift haneli sayılar, üçün katları.
Vay! Ne ilk üyeniz, ne son üyeniz, ne de ilerlemeniz... Nasıl yaşanır!?
Kafanızla düşünmeniz ve durumdan aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayıların ne olduğunu biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) İki basamaklı sayı ne olacak? Birinci? 10, muhtemelen.) A son şeyçift haneli sayı mı? 99 elbette! Üç haneli olanlar onu takip edecek...
Üçün katları... Hımm... Bunlar üçe bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünür! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Sorunun koşullarına göre zaten bir dizi yazabilirsiniz:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bu seri aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç farklılık gösterir. Bir terime 2 veya 4 eklerseniz sonuç; yeni sayı artık 3'e bölünemez. Aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3.İşinize yarayacaktır!)
Böylece bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:
Sayı ne olacak? N son üye? 99'un ölümcül bir yanılgı olduğunu düşünenler... Rakamlar hep arka arkaya gidiyor ama üyelerimiz üçün üzerine atlıyor. Eşleşmiyorlar.
Burada iki çözüm var. Bunun bir yolu süper çalışkanlar içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini yazabilir ve üye sayısını parmağınızla sayabilirsiniz.) İkinci yol düşünceli olanlar içindir. N'inci dönemin formülünü hatırlamanız gerekiyor. Formülü problemimize uygularsak 99'un ilerlemenin otuzuncu terimi olduğunu buluruz. Onlar. n = 30.
Aritmetik ilerlemenin toplamının formülüne bakalım:
Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorun ifadesinden tutarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:
1= 12.
30= 99.
Sn = S 30.
Geriye kalan tek şey temel aritmetiktir. Sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:
Cevap: 1665
Başka bir popüler bulmaca türü:
4. Aritmetik ilerleme verildiğinde:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Yirmiden otuz dörde kadar terimlerin toplamını bulun.
Miktarın formülüne bakıyoruz ve... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatayım, tutarı hesaplıyor. birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekiyor yirminci yüzyıldan beri... Formül işe yaramayacak.
Elbette tüm ilerlemeyi bir seri halinde yazabilir ve 20'den 34'e kadar terimler ekleyebilirsiniz. Ama... bu biraz aptalca ve uzun zaman alıyor, değil mi?)
Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki parçaya ayıralım. İlk bölüm olacak ilk dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmiden otuz dörde kadar.İlk bölümün terimlerinin toplamını hesaplarsak açıktır ki S 1-19, ikinci bölümün terimlerinin toplamını ekleyelim S 20-34, birinci dönemden otuz dördüncü döneme kadar olan ilerlemenin toplamını elde ederiz S1-34. Bunun gibi:
S 1-19 + S 20-34 = S1-34
Bundan toplamı bulduğumuzu görebiliriz. S 20-34 basit çıkarma işlemiyle yapılabilir
S 20-34 = S1-34 - S 1-19
Sağ taraftaki her iki miktar da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlara oldukça uygulanabilir. Başlayalım?
İlerleme parametrelerini problem ifadesinden çıkarıyoruz:
d = 1,5.
1= -21,5.
İlk 19 ve ilk 34 terimin toplamını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları problem 2'deki gibi n'inci terim formülünü kullanarak hesaplıyoruz:
19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Hiçbirşey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Cevap: 262.5
Önemli bir not! Bu sorunu çözmenin çok faydalı bir hilesi var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacınız var (S 20-34), saydık ihtiyaç duyulmayan bir şey - S 1-19. Ve sonra karar verdiler S 20-34 gereksiz olanı sonuçtan çıkararak. Bu tür bir "kulak yanıltması" çoğu zaman sizi kötü sorunlardan kurtarır.)
Bu derste aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemlere baktık. Birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)
Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren herhangi bir problemi çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.
N'inci terimin formülü:
Bu formüller size sorunu çözmek için neye bakmanız ve hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.
Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.
5. Üçe bölünemeyen iki basamaklı tüm sayıların toplamını bulun.
Harika mı?) İpucu 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.
6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. İlk 24 teriminin toplamını bulun.
Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür sorunlara Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanır.
7. Vasya tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevdiğim kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinize hiçbir şeyi inkar etmeden güzel yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Ta ki para bitene kadar. Vasya'nın kaç günü mutluluk vardı?
Zor mu?) 2. problemdeki ek formül yardımcı olacaktır.
Cevaplar (karışıklık içinde): 7, 3240, 6.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
