Uygun üçgen prizma mülkü. Tanım ve Prizma Prizması

Tanım. Prizma- Bu, tüm köşeleri iki paralel düzlemde bulunur ve aynı iki düzlemde, sırasıyla paralel tarafları olan eşit çokgenler ve bunlarda yatmayan tüm kenarlar olan prizmaların iki yüzü vardır. Uçaklar paraleldir.

İki eşit yüz denilen prizmanın Temelleri (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmaların diğer tüm yüzleri denir yan kenarları (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tüm yan yüzler formu yan prizma yüzeyi .

Prizmaların tüm yan yüzleri paralelogramlardır. .

Yerinde yatmayan kaburgalar prizmanın yan kaburgaları denir ( AA 1., Bb 1., CC 1., DD 1., Ee 1.).

Çapraz prizma Bir segment olarak adlandırılır, biter, yüzünden birinin üzerinde yatmayan iki prizma köşesine hizmet eder (AD 1).

Prizmanın tabanını bağlayan ve aynı anda her iki nedene dik olan segmentin uzunluğu denir yükseklik Prizması .

Tanımlama:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Birincisi, bypass sırasına göre, bir bazın köşeleri, ardından aynı sırayla - diğer tarafın köşeleri; her bir yan kenarın uçları aynı harflerle, yalnızca aynı tabak üzerinde yatan köşeleri gösterilir. endeks olmayan harflerle ve diğerinde - indeks ile gösterilir)

Prizmanın adı, örneğin, örneğin, Şekil 1'de, bir pentagonun taban altında olduğu, örneğin, temelinde yatan rakamdaki açıların sayısı ile ilişkilidir, bu nedenle prizma denir pentagonal prizma. Ama çünkü Böyle bir prizma 7 yüzdür, sonra o semighanNik (2 yüz - prizmanın temelleri, 5 yüzler - paralelogramlar, - yan yüzleri)

Doğrudan prizmalar arasında özel bir tür tarafından ayırt edilir: sağ prizmalar.

Doğrudan Prizma denir uygun şekildeeğer tabanı doğru çokgenlerse.

Paralel

Dikdörtgen paralelpiped - Tabanı bir dikdörtgen olan düz paralelepipli.

Özellikler ve teoremler:

,

burada d kare köşegendir;
A - Kare taraf.

Prizmanın sunumu:

• Çeşitli mimari yapılar;
• Çocuk oyuncakları;
• paketleme kutuları;
• tasarımcı nesneleri vb.

Prizmanın tam ve yan yüzeyinin karesi

S Full \u003d S Side + 2S Arazi,

nerede Tam- Tam yüzey alanı, S - alt yüzey, S osn - Temel Alanı

Doğrudan prizmanın yan yüzey alanı, tabanın çevresinin prizmanın yüksekliğine eşittir..

S \u003d P osn * h,

nerede S -Tell Yan Yüzey Doğrudan Prizma,

P osn - tabanın çevresi doğrudan bir prizma,

h, doğrudan bir prizmanın yan kenarına eşit olmasıdır.

Prizma hacmi

Prizmanın hacmi, taban tabanının ürününe eşittir.

Farklı prizmalar birbirinden farklıdır. Aynı zamanda, ortak olarak çok şey var. Prizma Vakfı alanını bulmak için, ne tür olduğunu anlamak gerekli olacaktır.

Genel teori

Prizma, yan taraflarının paralel birogram görüntüsünü içeren herhangi bir polihedrondur. Aynı zamanda, herhangi bir polihedronun kuruluşunda - üçgenden N-Parlamentoya kadar olabilir. Ayrıca, prizmanın temelleri her zaman birbirlerine eşittir. Yan yüzler için ne geçerli değildir - bunlar önemli ölçüde boyutlandırabilirler.

Görevleri çözerken, yalnızca prizma tabanının alanı bulunmaz. Yan yüzeyini, yani, gerekmeyen tüm yüzleri bilmek gerekebilir. Tamamlanan yüzey zaten prizmayı oluşturan tüm yüzlerin birleşimi olacaktır.

Bazen görevlerde yükseklik görünür. Bu nedenle, gerekçelere diktir. Polyhedral diyagonal, bir yüze ait olmayan herhangi bir köşeyi birbirine bağlayan bir segmenttir.

Doğrudan prizmanın temel alanının veya eğiliminin temel alanının, aralarındaki köşeye ve yan bakanlara bağlı olmadığı belirtilmelidir. Üst ve alt kenarlarda aynı rakamlara sahiplerse, karelerine eşit olacaktır.

Üçgen prizma

Üç köşe olan, yani bir üçgen olan bir figürü olan bir rakam var. Farklı olduğu biliniyor. Alanının, katetlerin çalışmalarının yarısı kadar belirlendiğini hatırlamak yeterli ise.

Matematiksel giriş şöyle görünür: S \u003d ½ ab.

Genel formülde tabanın alanını bulmak için, formüller yararlı olacaktır: Geron ve TA, yan tarafın yarısının yapıldığı yüksekliğe alınır.

İlk formül aşağıdaki gibi kaydedilmelidir: S \u003d √ (P (R-C) (P-B) (R-C)). Bu kayıtta, yarım metre (p), yani, üç tarafın toplamı ikiye bölünmüştür.

İkincisi: S \u003d ½ n A * a.

Üçgen prizmanın tabanını bilmek istiyorsanız, doğru olan üçgen prizmanın, daha sonra üçgen eşleşmeleri ortaya çıkıyor. Bunun için kendi formülü var: S \u003d ¼ A 2 * √3.

Dörtgen prizma

Vakfı, tanınmış dörtgenlerin herhangi biridir. Bir dikdörtgen veya kare, paralelpipli veya eşkenar rhombus olabilir. Her durumda, prizmanın temel alanını hesaplamak için formülüne ihtiyaç duyacaktır.

Baz bir dikdörtgen ise, alanı aşağıdaki gibi belirlenir: S \u003d AB, nerede ve, dikdörtgenin yanı.

Dörtgen bir prizma gelince, doğru prizmanın taban alanı, karenin formülü tarafından hesaplanır. Çünkü onun altında yatan. S \u003d a 2.

Bazın paralel olarak olduğu durumlarda, bu tür eşitlik gerekli olacaktır: S \u003d a * n a. Paralelpiped'in ve köşelerden birinin tarafı verildiği olur. Ardından, yüksekliği hesaplamak için, ek formülden yararlanmak için gerekli olacaktır: NA \u003d B * SIN A. ve A açısı "B" tarafına bitişiktir ve H yükseklik ve bu köşeye zıt .

Prizma tabanındaysa, eşkenar dörtgen, daha sonra bir paralelkenar için aynı formüle ihtiyaç duyulacağını belirlemek için (özel durumundan bu yana). Ancak bunu kullanabilirsiniz: S \u003d ½ D 1 d 2. Burada D 1 ve D 2, eşkenar dörtgenin iki köşesidir.

Uygun pentagonal prizma

Bu durum, poligonun üçgenlerin ayrılmasını, alanları öğrenmesi daha kolaydır. Her ne kadar rakamların başka bir köşe ile birlikte olabileceği olsa da.

Prizmanın temeli doğru Pentagon olduğundan, beş eşarj üçgenine ayrılabilir. Daha sonra prizmanın taban alanı, böyle bir üçgenin (formül yukarıda görüntülenebilmesi), beş ile çarpılmasına eşittir.

Uygun altıgen prizma

Pentagonal prizma için tarif edilen prensibe göre, 6 eşkenar üçgen için taban altıgenini kırmak mümkündür. Böyle bir prizmanın temel alanının formülü, öncekine benzer. Sadece içinde altı ile çarpılmalıdır.

Bu şekilde formül gibi görünecek: S \u003d 3/2 A 2 * √3.

Görevler

1. 1 köşegeninin doğru düz çizgi 22 cm'dir, polihedronun yüksekliği 14 cm'dir. Prizmanın ve tüm yüzeyin taban alanını hesaplar.

Karar. Prizmanın temeli karedir, ancak tarafı bilinmemektedir. Değerini, prizma köşegen (D) ve yüksekliği (H) ile ilişkili olan kare (x) köşesinden bulmak mümkündür. x 2 \u003d D 2 - H 2. Öte yandan, bu "X" segmenti, kateti meydanın kenarına eşit olan bir üçgendeki bir hipotennedir. Yani, x 2 \u003d a 2 + a 2. Böylece, bir 2 \u003d (D 2 - H2) / 2'nin ortaya çıktığı ortaya çıktı.

D, 22 numaralı ve "H" yerine, değeri - 14 ile değiştirilen, karenin kenarlarının 12 cm olduğu ortaya çıktı. Şimdi taban alanını bulmak kolaydır: 12 * 12 \u003d 144 cm 2.

Tüm yüzeyin alanını bulmak için, temel alanın iki katı değerini ve quaupus tarafını katlamanız gerekir. İkincisi, dikdörtgen formülüyle bulmak kolaydır: Polyhedron'un yüksekliğini ve tabanın tarafını çarpın. Yani, 14 ve 12, bu sayı 168 cm2'ye eşit olacaktır. Prizmanın toplam yüzey alanı 960 cm2'dir.

Cevap. Prizmanın temel alanı 144 cm2'dir. Tüm yüzey 960 cm2'dir.

No. 2. Dana, 6 cm'lik bir tarafı olan bir üçgene dayanır. Aynı zamanda, yan yüzün diyagonalının 10 cm'dir. Alanı hesaplayın: taban ve yan yüzey.

Karar. Prizma doğru olduğundan, üssü bir eşkenar üçgendir. Bu nedenle, alanı, ¼ ile çarpılan bir karede ve kök karenin üzerinde bir karede 6 yaşına gelir. Sade bir hesaplama sonucuna yol açar: 9√3 cm2. Bu, prizmanın bir tabanının alanıdır.

Tüm yan yüzler aynıdır ve 6 ve 10 cm partilerle dikdörtgenlerdir. Alanlarını hesaplamak için bu sayıları çarpmak için yeterlidir. Sonra onları üçüne çarpın, çünkü prizmanın yan bakanları çok fazla. Sonra yan yüzey alanı, 180 cm2'lik yaralanmaya neden olur.

Cevap. Kare: Baz - 9√3 cm2, prizmanın yan yüzeyi - 180 cm2.

Polyhedra

Stereometriyi çalışmanın asıl amacı mekansal gövdelerdir. Vücut Bir yüzey tarafından sınırlandırılmış alanın bir parçasıdır.

Polyhedron Vücut, yüzeyi sınırlı sayıda yassı çokgenden oluşur. Polyhedron, yüzeyinde her yassı çokgen düzleminin bir tarafında bulunursa dışbükey denir. Böyle bir düzlemin toplam kısmı ve polihedronun yüzeyin denir grand. Dışbükey polihedronun kenarları düz dışbükey çokgenlerdir. Yüz yüzü denir bir polihedron kaburgave köşeleri - bir polihedronun köşeleri.

Örneğin, bir küp yüzleri olan altı kareden oluşur. 12 kaburga (karelerin kenarları) ve 8 köşeli (karelerin köşeleri) içerir.

En basit Polyhedra, incelenecek olan prizmalar ve piramitlerdir.

Prizma

Tanım ve Prizma Prizması

Prizma Paralel transfer ile birleştirilen paralel düzlemlerde yatan iki yassı poligontan ve bu çokgenlerin karşılık gelen noktalarını birbirine bağlayan tüm bölümlerden oluşan bir polyhedron. Çokgenler denir prizmanın Temellerive poligonların karşılık gelen köşelerini bağlayan bölümler, - yan kenarlar Prizma.

Yükseklik Prizması Temellerinin düzlemleri () arasındaki mesafe denir. Bir yüze ait olmayan prizmaların iki köşesini bağlayan segment denir Çapraz prizma (). Prizma denir n-kömürVakfı'nda bir N-kare varsa.

Herhangi bir prizma, prizmanın bazlarının paralel transfer ile birleştirildiği gerçeğinden aşağıdaki gibi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Prizmanın temeli eşittir.

2. Yan kenarlar Prizma paralel ve eşittir.

Prizmanın yüzeyi zeminlerden oluşur ve yan yüzey. Prizmanın yan yüzeyi paralelogramlardan oluşur (bu prizmanın özelliklerinden ötürü). Prizmanın yan yüzey alanı, yan yüzlerin toplamı olarak adlandırılır.

Doğrudan prizma

Prizma denir düzYan kaburgaları gerekçelere dik ise. Aksi takdirde prizma denir eğimli.

Doğrudan prizmanın kenarları dikdörtgenlerdir. Doğrudan prizmanın yüksekliği yan taraflarına eşittir.

Prizmanın tam yüzeyi Yan yüzey alanının ve baz alanının toplamı denir.

Uygun prizma Tabandaki sağ çokgen ile doğrudan prizma denir.

Teorem 13.1.. Doğrudan prizmanın yan yüzey alanı, çevresin prizmanın yüksekliğine (veya yan kenardaki aynı şeyin) çalışmasına eşittir.

Kanıt. Doğrudan prizmanın yan yüzleri dikdörtgenlerdir, bunlar prizmanın temellerinde çokgenler için taraflardır ve yüksekliklerin prizmanın yan kaburgalarıdır. Ardından yan yüzey alanını belirlemek için:

,

doğrudan prizmanın tabanının çevresi nerede.

Paralel

Prizma tamamen paralelogramlar ise, denir paralel. Par Allepipeda tüm kenarlara sahiptir - paralelogramlar. Bu durumda, paralelpipli paralel ve eşitlerin karşı yüzleri.

Teorem 13.2.. Paralellemenin köşegeninin bir noktada kesişmesidir ve kesişme noktası yarıya bölünür.

Kanıt. Örneğin, iki keyfi diyagonali düşünün ve. Çünkü Parallelepiped'in yerleri paralelogramlardır, bu da yaklaşık iki doğrudan paralel thirds anlamına gelir. Ek olarak, bu, aynı düzlemde (uçak) düz ve yalan söylüyor. Bu uçak paralel düzlemleri geçer ve doğrudan ve paraleldir. Böylece, dörtgen paralelogramlardır ve paralelogramın özelliğine göre çapraz olarak ve kesişmeli ve kesişme noktası, kanıtlaması gereken yarıya bölünmüştür.

Dikdörtgen olarak adlandırılan doğrudan paralelpiped, denir dikdörtgen paralelpiped. Dikdörtgen paralelefed, tüm yüzler dikdörtgenlerdir. Dikdörtgen paralellemenin paralel olmayan kenarlarının uzunlukları, doğrusal boyutları (ölçümler) denir. Bu boyutlar üç (genişlik, yükseklik, uzunluk).

Teorem 13.3.. Dikdörtgen bir paralelpipedde, herhangi bir diyagonal kare, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir. (t pytagora'nın iki yönlü kullanımı ile kanıtlanmıştır).

Tüm kaburgaların eşit olduğu dikdörtgen paralelpiped, küba.

Görevler

13.1 Ne kadar köşegen var? n.Calus prizma

13.2 Yan kaburgalar arasındaki mesafenin eğimli üçgen prizması 37, 13 ve 40'a eşittir. Daha büyük yan yüz ve karşı kenara arasındaki mesafeyi bulun.

13.3 Doğru üçgen prizmanın alt tabanının kenarını temizleme, yan tarafları bölümlerle kesişen bir düzlem, arası açı yapıldı. Bu düzlemin eğim açısını prizmanın tabanına bulun.

Tanım 1. Prizmatik yüzey
Teorem 1. Prizmatik yüzeyin paralel kesitlerinde
Tanım 2. Prizmatik yüzeyin dik hücreleri
Tanım 3. Prizma
Tanım 4. Prizma Yüksekliği
Tanım 5. Doğrudan Prizma
Teorem 2. Yan taraf yüzey prizması

PAR ALLATICED:
Tanım 6. Par AlmaPiped
Teorem 3. Parallelepipli köşegenlerin kesiştiği üzerine
Tanım 7. Doğrudan Parallelepipli
Tanım 8. Dikdörtgen Parallelepipli
Tanım 9. Parallelepipli Ölçümler
Tanım 10. Küp
Tanım 11. Rombohedron
Teorem 4. Dikdörtgen paralelefedin köşegenleri üzerinde
Teorem 5. Prizma
Teorem 6. Doğrudan prizmanın hacmi
Teorem 7. Dikdörtgen paralellemenin hacmi

Prizma Bir polihedron, paralel düzlemlerde iki yüz (baz) denir ve bu yüzlerde yatan kaburgalar kendileri arasında paraleldir.
Yüzler denir yan.
Yan yüzlerin ve gerekçelerin yanı denir kaburga prizması, kaburgaların uçları denir köşeleri prizma. Yan kaburga Topraklara ait olmayan kaburga denir. Yan yüzlerin birliği denir prizmanın yan yüzeyive tüm yüzlerin birliği denir prizmanın tam yüzeyi. Yükseklik Prizması Dik, üst baz noktasından düşük taban düzlemine veya bu dikin uzunluğuna düşürülür. Doğrudan prizmabir prizma, taban uçaklarına dik lateral kaburga olarak adlandırılır. Sağ Doğrudan bir prizma, sağ poligonun yattığı tabanında (Şekil 3) denir.

Adımlar:
L - yan kenar;
P, tabanın çevresidir;
S O - Baz alanı;
H - yükseklik;
P ^ perimetin dikey kesitidir;
S B - Yan yüzey alanı;
V - hacim;
S P - Prizmanın tam yüzey alanı.

Tanım 2. . Prizmatik yüzeyin dikey kesiti, bu yüzeyin enine kesiti, yönergelerine dik düzlem tarafından denir. Önceki teoremize dayanarak, aynı prizmatik yüzeyin tüm dikey kesitleri çokgenlere eşit olacaktır.

Tanım 3. . Prizma, prizmatik yüzey ve iki uçakla sınırlı, birbirlerine paralel (ancak prizmatik yüzeyin paralel olmayan kültürler) olarak adlandırılır.
Bu son uçaklarda yatan yüzler denir prizmanın Temelleri; Prizmatik yüzeye ait yüzler - yan kenarları; Ribr Prizmatik Yüzey - yan kaburga prizması. Önceki teorem sayesinde, prizmanın temeli - eşit çokgenler. Tüm taraflar prizmalar yüzleşir - polipogram; Tüm yan kaburgalar birbirine eşittir.
Abcde Prizmanın temeli ve Rokber AA'dan birinin büyük ve yönünde, o zaman bir prizma inşa ederek, BB ", SS", .., eşit ve paralel rbra AA'yı oluşturabileceği açıktır. "

Tanım 4. . Prizmanın yüksekliği, bazlarının düzlemleri (NH ") arasındaki mesafedir.

Tanım 5. . Bazları prizmatik yüzeyin dikey kesitleri ise, prizma doğrudan denir. Bu durumda, prizmanın yüksekliği elbette, ona hizmet eder. yan kaburga; Yan yüzler olacak dikdörtgenler.
Prizmalar, üssü olarak hizmet eden, poligonun taraflarının sayısına eşit yanal yüzlerin sayısına göre sınıflandırılabilir. Böylece, prizmalar üçgen, çivi, beşgen vb. Olabilir.

Teorem 2. . Prizmanın yan yüzey alanı, perimeter dikey kesiti üzerindeki yan kenarın ürününe eşittir.
ABCDEA "B" C "D" e "- bu prizma ve abcde - dikey kesiti, böylece AB, BC'nin bölümleri. Yan kaburgalara dik olarak. AVA" B "çizgisi bir paralelogramdır; alanı AA temelinin ürününe eşittir "ab ile çakışan yüksekliğe; GVV'nin "" ile "olması, BB tabanının ürününe eşittir" BC'nin yüksekliğine vb. Bu nedenle, yan yüzey (yani yan yüzlerin miktarı) ürüne eşittir. Yan kenardan, başka bir deyişle, AA ", BB" bölümlerinin toplam uzunluğu, AB + BC + CD + DE + EA tutarında.