“Fonksiyonların periyodikliği y = sin x, y = cos x” video dersi, bir fonksiyonun periyodikliği kavramını ortaya koyar, bir fonksiyonun periyodikliği kavramının kullanıldığı problem çözme örneklerinin açıklamasını ele alır. Bu video eğitimi görsel yardım konuyu öğrencilere açıklamak. Ayrıca bu kılavuz dersin bağımsız bir parçası haline gelebilir ve öğretmene öğrencilerle bireysel çalışma yapma olanağı tanır.
Bu konunun sunumunda görünürlük çok önemlidir. Bir fonksiyonun davranışını temsil etmek, bir grafiği çizmek için görselleştirilmesi gerekir. Kara tahta ve tebeşir kullanarak tüm öğrencilerin anlayabileceği şekilde yapılar yapmak her zaman mümkün olmamaktadır. Video eğitiminde çizimin bazı kısımlarını inşa ederken renkle vurgulamak, animasyon kullanarak dönüşümler yapmak mümkündür. Böylece yapılar çoğu öğrenci için daha anlaşılır hale gelir. Ayrıca video ders özellikleri materyalin daha iyi ezberlenmesine katkıda bulunur.
Gösterim, dersin konusunun tanıtılması ve öğrencilere önceki derslerde öğrenilen materyallerin hatırlatılmasıyla başlar. Özellikle y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarında tanımlanan özelliklerin listesi özetlenmiştir. Söz konusu fonksiyonların özellikleri arasında, tanım alanı, değer aralığı, eşlik (tuhaflık), diğer özellikler - sınırlılık, monotonluk, süreklilik, en az (en büyük) değere sahip noktalar not edilmiştir. Öğrencilere bilgi veriliyor bu ders Fonksiyonun başka bir özelliği incelenmektedir - periyodiklik.
Bazı Т≠0 için f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) koşulunun sunulduğu, xϵX olan periyodik bir fonksiyonun tanımı y=f(x). Aksi halde T sayısına fonksiyonun periyodu denir.
Söz konusu sinüs ve kosinüs fonksiyonları için koşulun yerine getirilmesi, indirgeme formülleri kullanılarak kontrol edilir. Sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) özdeşliğinin biçiminin, fonksiyonun periyodiklik koşulunu tanımlayan ifadenin biçimine karşılık geldiği açıktır. için de aynı eşitlik belirtilebilir. kosinüs çünkü(x-2π)= çünkü x= cos (x+2π). Yani veriler trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir.
Ayrıca periyodiklik özelliğinin periyodik fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya nasıl yardımcı olduğu da belirtilmektedir. y = sin x fonksiyonu dikkate alınır. Ekran oluşturuluyor koordinat uçağı, burada apsisler π'lik artışlarla -6π'den 8π'ye kadar işaretlenir. Sinüs grafiğinin bir kısmı, segment üzerindeki bir dalga ile temsil edilen düzlem üzerinde çizilir. Şekil, bir fonksiyonun grafiğinin, oluşturulan parçanın kaydırılmasıyla tüm tanım alanı üzerinde nasıl oluşturulduğunu ve bunun sonucunda uzun bir sinüzoidin elde edildiğini gösterir.
Y = cos x fonksiyonunun bir grafiği, periyodiklik özelliği kullanılarak oluşturulur. Bunu yapmak için, grafiğin bir parçasının gösterildiği şekilde bir koordinat düzlemi oluşturulur. Böyle bir parçanın genellikle [-π/2;3π/2] parçası üzerinde oluşturulduğuna dikkat edilmelidir. Sinüs fonksiyonunun grafiğine benzer şekilde, kosinüs grafiğinin yapısı da parçanın kaydırılmasıyla gerçekleştirilir. İnşaat sonucunda uzun bir sinüzoid oluşur.
Periyodik bir fonksiyonun grafiğini çizmenin kullanılabilecek özellikleri vardır. Bu nedenle genelleştirilmiş bir biçimde verilmiştir. Böyle bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için öncelikle belirli bir T uzunluğu aralığında grafiğin bir dalının oluşturulduğuna dikkat edilmelidir. Daha sonra oluşturulan dalın T, 2T, 3T kadar sağa ve sola kaydırılması gerekir, vesaire. Aynı zamanda periyodun başka bir özelliğine de dikkat çekiliyor; herhangi bir k≠0 tamsayısı için kT sayısı aynı zamanda fonksiyonun periyodudur. Ancak T, en küçük periyot olduğundan ana periyot olarak adlandırılır. Trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüs için temel periyot 2π'dir. Ancak periyotlar da 4π, 6π vb.'dir.
Daha sonra, y = cos 5x fonksiyonunun ana periyodunun bulunmasının düşünülmesi önerilmektedir. Çözüm, T'nin fonksiyonun periyodu olduğu varsayımıyla başlar. Bu, f(x-T)= f(x)= f(x+T) koşulunun karşılanması gerektiği anlamına gelir. Bu özdeşlikte f(x)= cos 5x ve f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T) olur. Bu durumda cos (5x+5T)= cos 5x, dolayısıyla 5T=2πn olur. Artık T=2π/5'i bulabilirsiniz. Problem çözüldü.
İkinci problemde y=sin(2x/7) fonksiyonunun ana periyodunu bulmanız gerekiyor. Belirli bir fonksiyon için T fonksiyonunun ana periyodunun f(x)= sin(2x/7) olduğu ve bir periyottan sonra f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) olduğu varsayılır. = sin(2x/7 +(2/7)T). indirgemeden sonra (2/7)T=2πn elde ederiz. Ancak ana periyodu bulmamız gerekiyor, bu yüzden en küçük değeri (2/7)T=2π alıyoruz ve buradan T=7π'yi buluyoruz. Problem çözüldü.
Gösterimin sonunda örneklerin sonuçları özetlenerek fonksiyonun temel periyodunun belirlenmesine yönelik bir kural oluşturulur. y=sinkx ve y=coskx fonksiyonları için ana periyotların 2π/k olduğuna dikkat edilmelidir.
Dersin etkililiğini artırmak için geleneksel matematik dersinde “Fonksiyonların periyodikliği y = sin x, y = cos x” video dersi kullanılabilir. Bu materyalin aynı zamanda uygulama yapan öğretmenler tarafından da kullanılması tavsiye edilmektedir. uzaktan Eğitim Açıklamanın netliğini arttırmak için. Video, zorluk çeken bir öğrenciye konuyu anlamalarını derinleştirmek için önerilebilir.
METİN KOD ÇÖZME:
“Fonksiyonların periyodikliği y = cos x, y = sin x.”
y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmak için fonksiyonların özellikleri kullanıldı:
1 tanım alanı,
2 değer alanı,
3 çift veya tek,
4 monotonluk,
5 sınırlama,
6 süreklilik,
7 en yüksek ve en düşük değer.
Bugün başka bir özelliği inceleyeceğiz: bir fonksiyonun periyodikliği.
TANIM. y = f (x) fonksiyonuna, burada x ϵ X (Yunanca, x'in ef'sine eşittir, burada x, x kümesine aittir), sıfırdan farklı bir T sayısı varsa, öyle ki herhangi bir x için periyodik olarak adlandırılır. X kümesinde çift eşitlik geçerlidir: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff x eksi te eşittir x'ten ef ve x artı te'den ef). Bu ikili eşitliği sağlayan T sayısına fonksiyonun periyodu denir.
Sinüs ve kosinüs tüm sayı doğrusu üzerinde tanımlı olduğundan ve herhangi bir x için sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) eşitlikleri sağlanır (sinüs x eksi iki pi eşittir sinüs x ve eşittir) sinüs x artı iki pi'ye) Ve
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (x'in kosinüsü eksi iki pi eşittir x'in kosinüsüne ve x'in kosinüsü artı iki pi'ye eşittir), bu durumda sinüs ve kosinüs periyodik fonksiyonlardır. 2π periyodu.
Periyodiklik, bir fonksiyonun grafiğini hızlı bir şekilde oluşturmanıza olanak tanır. Aslında, y = sin x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, bir dalgayı (çoğunlukla bir segment üzerinde (sıfırdan iki pi'ye) çizmek ve ardından grafiğin oluşturulmuş kısmını x boyunca kaydırmak yeterlidir) -eksen sağa ve sola 2π, ardından 4π ve böyle devam ederek sinüs dalgası elde edin.
(sağa ve sola kaydırmayı 2π, 4π olarak gösterin)
Benzer şekilde fonksiyonun grafiği için
y = cos x, ancak çoğunlukla [ parçası üzerinde bir dalga oluştururuz; ] (eksi pi bölü ikiden üçe pi bölü iki).
Yukarıdakileri özetleyelim ve bir sonuca varalım: T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, önce grafiğin herhangi bir T uzunluğundaki aralığında bir dalını (veya dalgasını veya kısmını) oluşturmanız gerekir (çoğunlukla bu uçları 0 ve T veya - ve (eksi te iki ve te iki) noktalarında olan bir aralıktır ve sonra bu dalı x(x) ekseni boyunca sağa ve sola T, 2T, 3T vb. kadar hareket ettirin.
Açıkçası, eğer bir fonksiyon T periyodu ile periyodikse, o zaman herhangi bir k0 tamsayısı için (ka sıfıra eşit değildir), kT (ka te) formundaki bir sayı aynı zamanda bu fonksiyonun periyodudur. Genellikle ana dönem adı verilen en küçük pozitif dönemi izole etmeye çalışırlar.
y = cos x, y = sin x fonksiyonlarının periyodu olarak - 4π, 4π, - 6π, 6π vb. alınabilir (eksi dört pi, dört pi, eksi altı pi, altı pi, vb.) . Ancak 2π sayısı her iki fonksiyonun da ana periyodudur.
Örneklere bakalım.
ÖRNEK 1. y = cos5x fonksiyonunun ana periyodunu bulun (y, beş x'in kosinüsüne eşittir).
Çözüm. y = cos5x fonksiyonunun ana periyodu T olsun. Hadi koyalım
f (x) = cos5x, bu durumda f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (eff of x artı te, beşin kosinüsünün x ve te'nin toplamı ile çarpımına eşittir: beş x ve beş te'nin toplamının kosinüsüne eşittir).
cos (5x + 5T) = cos5x. Dolayısıyla 5T = 2πn (beş te eşittir iki pi en), ancak koşula göre ana periyodu bulmanız gerekir, bu da 5T = 2π anlamına gelir. T= elde ederiz
(bu fonksiyonun periyodu iki pi bölü beştir).
Cevap: Ç=.
ÖRNEK 2. y = sin fonksiyonunun ana periyodunu bulun (y, iki x'in yediye bölümünün sinüsüne eşittir).
Çözüm. y = sin fonksiyonunun ana periyodu T olsun. Hadi koyalım
f (x) = sin, bu durumda f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef x artı te, iki yedinin çarpımının sinüsüne ve x toplamına eşittir ve te, yedide iki x ve yedide iki te) toplamının sinüsüne eşittir.
T sayısının fonksiyonun periyodu olması için özdeşliğin sağlanması gerekir
günah (x + T) = günah. Dolayısıyla T= 2πn (yedinci te, iki pi en'e eşittir), ancak koşula göre ana periyodu bulmanız gerekir, bu da T= 2π anlamına gelir. T=7 elde ederiz
(bu fonksiyonun periyodu yedi pi'dir).
Cevap: T=7.
Örneklerde elde edilen sonuçları özetleyerek şu sonuca varabiliriz: y = sin kx veya y = cos kx fonksiyonlarının ana periyodu (y eşittir sinüs ka x veya y eşittir kosinüs ka x) eşittir (iki pi bölü ka) .
x argümanı, herhangi bir x için F(x + T) = F(x) olacak şekilde bir T sayısı varsa buna periyodik denir. Bu T sayısına fonksiyonun periyodu denir.
Birkaç dönem olabilir. Örneğin, F = const işlevi bağımsız değişkenin herhangi bir değeri için aynı değeri alır ve bu nedenle herhangi bir sayı, onun dönemi olarak kabul edilebilir.
Genellikle bir fonksiyonun sıfırdan farklı en küçük periyoduyla ilgilenirsiniz. Kısaltmak gerekirse, buna sadece nokta denir.
Periyodik fonksiyonların klasik bir örneği trigonometriktir: sinüs, kosinüs ve tanjant. Periyotları aynı ve 2π'ye eşittir, yani sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) vb. Ancak elbette trigonometrik fonksiyonlar tek periyodik fonksiyonlar değildir.
Basit, temel fonksiyonlar için periyodik olup olmadıklarını belirlemenin tek yolu hesaplamadır. Ama için karmaşık işlevler zaten birkaç tane var Basit kurallar.
Eğer F(x) T periyoduna sahipse ve bunun için bir türev tanımlanmışsa, bu durumda f(x) = F′(x) türevi aynı zamanda T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyondur. Sonuçta türevin noktadaki değeri x, antitürevinin grafiğinin bu noktadaki teğet açısının x eksenine olan tanjantına eşittir ve antitürev periyodik olarak tekrarlandığından türevin de tekrarlanması gerekir. Örneğin sin(x) fonksiyonunun türevi cos(x)'e eşittir ve periyodiktir. cos(x)'in türevini almak size –sin(x)'i verir. Frekans değişmeden kalır.
Ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla, f(x) = const fonksiyonu periyodiktir, ancak ters türevi F(x) = const*x + C değildir.
Eğer F(x) periyodu T olan periyodik bir fonksiyon ise, o zaman G(x) = a*F(kx + b) olup, burada a, b ve k sabittir ve k sıfıra eşit değildir - aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur ve periyodu T/k'dir. Örneğin sin(2x) periyodik bir fonksiyondur ve periyodu π'dir. Bu görsel olarak şu şekilde temsil edilebilir: x'i bir sayıyla çarparak, fonksiyonun grafiğini tam olarak bu kadar yatay olarak sıkıştırmış gibi olursunuz.
Eğer F1(x) ve F2(x) periyodik fonksiyonlarsa ve periyotları sırasıyla T1 ve T2'ye eşitse bu fonksiyonların toplamı da periyodik olabilir. Ancak periyodu T1 ve T2 periyotlarının basit bir toplamı olmayacaktır. T1/T2 bölümünün sonucu rasyonel bir sayı ise, fonksiyonların toplamı periyodiktir ve periyodu T1 ve T2 periyotlarının en küçük ortak katına (LCM) eşittir. Örneğin, birinci fonksiyonun periyodu 12, ikincisinin periyodu 15 ise, toplamlarının periyodu şu şekilde olacaktır: LCM'ye eşit (12, 15) = 60.
Bu, görsel olarak şu şekilde temsil edilebilir: işlevler farklı "adım genişlikleriyle" gelir, ancak genişliklerinin oranı rasyonel ise, o zaman er ya da geç (veya daha doğrusu, adımların LCM'si aracılığıyla) tekrar eşit hale geleceklerdir ve onların toplamı başlayacak yeni dönem.
Ancak periyotların oranı irrasyonel ise toplam fonksiyon hiç periyodik olmayacaktır. Örneğin, F1(x) = x mod 2 (x, 2'ye bölündüğünde kalan) ve F2(x) = sin(x) olsun. Burada T1 2'ye, T2 ise 2π'ye eşit olacaktır. Dönemlerin oranı irrasyonel bir sayı olan π'ye eşittir. Bu nedenle sin(x) + x mod 2 fonksiyonu periyodik değildir.
>> Fonksiyonların periyodikliği y = sin x, y = cos x
§ 11. Fonksiyonların periyodikliği y = sin x, y = cos x
Önceki paragraflarda fonksiyonların yedi özelliğini kullandık: tanım kümesi, çift veya tek, monotonluk, sınırlılık, en büyük ve en küçük değer, süreklilik, fonksiyon aralığı. Bu özellikleri ya bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için (bu, örneğin § 9'da oldu) ya da oluşturulan grafiği okumak için (bu, örneğin § 10'da oldu) kullandık. Şimdi, yukarıda oluşturulan y = sin x (bkz. Şekil 37), y = cos x (bkz. Şekil 41) fonksiyonlarının grafiklerinde açıkça görülebilen, fonksiyonların başka bir (sekizinci) özelliğini tanıtmak için uygun an geldi.
Tanım. Kümelerdeki herhangi bir x için çift eşitliği sağlayacak şekilde sıfırdan farklı bir T sayısı varsa, bir fonksiyona periyodik denir:
Belirtilen koşulu sağlayan T sayısına y = f(x) fonksiyonunun periyodu denir.
Herhangi bir x için eşitlikler geçerli olduğundan şu sonuç çıkar:
o zaman y = sin x, y = cos x fonksiyonları periyodiktir ve sayı 2'dir P her iki işlev için de bir dönem görevi görür.
Bir fonksiyonun periyodikliği, fonksiyonların vaat edilen sekizinci özelliğidir.
Şimdi y = sin x fonksiyonunun grafiğine bakın (Şekil 37). Bir sinüs dalgası oluşturmak için, dalgalarından birini (bir segment üzerinde) çizmek ve ardından bu dalgayı x ekseni boyunca kaydırmak yeterlidir. Sonuç olarak, bir dalga kullanarak tüm grafiği oluşturacağız.
y = cos x fonksiyonunun grafiğine de aynı açıdan bakalım (Şekil 41). Burada bir grafik çizmek için önce bir dalgayı çizmenin yeterli olduğunu görüyoruz (örneğin segment üzerinde)
Daha sonra onu x ekseni boyunca hareket ettirin
Özetleyerek aşağıdaki sonuca varıyoruz.
Eğer y = f(x) fonksiyonu bir T periyoduna sahipse, fonksiyonun bir grafiğini oluşturmak için öncelikle grafiğin herhangi bir T uzunluğundaki aralıkta bir dalını (dalga, parçası) oluşturmanız gerekir (çoğunlukla uçları olan bir aralık alır) noktalarda tutun ve ardından bu dalı x ekseni boyunca sağa ve sola T, 2T, ZT vb.'ye kaydırın.
Periyodik bir fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır: T bir periyot ise, o zaman 2T bir periyottur ve ZT bir periyottur ve -T bir periyottur; Genel olarak bir periyot, KT formundaki herhangi bir sayıdır; burada k = ±1, ±2, ±3... Genellikle mümkünse en küçük pozitif periyodu izole etmeye çalışırlar; buna ana periyot denir.
Yani, 2pk formundaki herhangi bir sayı, burada k = ±1, ± 2, ± 3, y = sinn x, y = cos x fonksiyonlarının periyodudur; 2n her iki fonksiyonun da ana periyodudur.
Örnek. Fonksiyonun ana periyodunu bulun:
a) y = sin x fonksiyonunun ana periyodu T olsun. Hadi koyalım
T sayısının bir fonksiyonun periyodu olması için özdeşlik Ama ana periyodu bulmaktan bahsettiğimiz için şunu elde ederiz:
b) T, y = cos 0,5x fonksiyonunun ana periyodu olsun. f(x)=cos 0,5x koyalım. O halde f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).
T sayısının fonksiyonun bir periyodu olması için cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x özdeşliğinin sağlanması gerekir.
Bu 0,5t = 2pp anlamına gelir. Ancak ana periyodu bulmaktan bahsettiğimiz için 0,5T = 2 l, T = 4 l elde ederiz.
Örnekte elde edilen sonuçların genelleştirilmesi şu ifadedir: Fonksiyonun ana periyodu 
A.G. Mordkovich Cebiri 10. sınıf
Ders içeriğiçerçeveyi destekleyen ders notları ders sunumu hızlandırma yöntemleri etkileşimli teknolojiler Pratik görevler ve alıştırmalar kendi kendine test atölyeleri, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışma soruları öğrencilerden gelen retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler, grafikler, tablolar, diyagramlar, mizah, anekdotlar, şakalar, çizgi romanlar, benzetmeler, sözler, bulmacalar, alıntılar Eklentilerözetler makaleler meraklılar için ipuçları sayfalar ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesi ders kitabındaki hataların düzeltilmesi ders kitabının bir bölümünün güncellenmesi derste yenilik unsurları eski bilgilerin yenileriyle değiştirilmesi Sadece öğretmenler için yıl için ideal ders takvimi planı yönergeler tartışma programları Entegre DerslerTemmuz 2020'de NASA, Mars'a bir keşif gezisi başlatacak. Uzay aracı, Mars'a tüm kayıtlı keşif katılımcılarının adlarının yer aldığı elektronik bir ortam sunacak.
Katılımcıların kayıtları açıktır. Bu bağlantıyı kullanarak Mars'a biletinizi alın.
Bu gönderi sorununuzu çözdüyse veya beğendiyseniz, bağlantıyı sosyal ağlarda arkadaşlarınızla paylaşın.
Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.
MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.
Yine bir yılbaşı gecesi... ayaz hava ve pencere camındaki kar taneleri... Bütün bunlar beni tekrar yazmaya sevk etti... fraktallar ve Wolfram Alpha'nın bu konuda bildikleri. Bu konuyla ilgili iki boyutlu fraktal yapı örneklerini içeren ilginç bir makale var. Burada daha fazlasına bakacağız karmaşık örneklerüç boyutlu fraktallar.
Bir fraktal, geometrik bir şekil veya cisim olarak görsel olarak temsil edilebilir (tanımlanabilir), yani her ikisinin de bir küme olduğu anlamına gelir. bu durumda ayrıntıları orijinal şeklin kendisi ile aynı şekle sahip olan bir dizi nokta. Yani bu, ayrıntılarını incelediğimizde büyütüldüğünde büyütülmeden aynı şekli göreceğimiz, kendine benzeyen bir yapıdır. Oysa sıradan bir durumda geometrik şekil(fraktal değil), yakınlaştırıldığında daha fazlasını içeren ayrıntıları göreceğiz basit biçim orijinal figürün kendisinden daha. Örneğin, yeterince yüksek bir büyütmede elipsin bir kısmı düz bir çizgi parçası gibi görünür. Fraktallarda bu olmaz: Fraktallardaki herhangi bir artışla, her artışta tekrar tekrar tekrarlanacak olan aynı karmaşık şekli tekrar göreceğiz.
Fraktal biliminin kurucusu Benoit Mandelbrot, Fraktallar ve Bilim Adına Sanat adlı makalesinde şöyle yazmıştır: “Fraktallar geometrik şekiller genel biçimleriyle olduğu kadar ayrıntılarıyla da aynı derecede karmaşıktır. Yani bir fraktalın bir kısmı bütünün boyutuna kadar büyütülürse, ya tam olarak ya da belki biraz deformasyonla bütün olarak görünecektir."
