Faktoring polinomları, bir polinomun çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomiyaller) ürününe dönüştürülmesinin bir sonucu olarak bir kimlik dönüşümüdür.
Polinomları çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır.
Yöntem 1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.
Bu dönüşüm, dağıtım çarpma kanununa dayanmaktadır: ac + bc = c(a + b). Dönüşümün özü, söz konusu iki bileşendeki ortak faktörü izole etmek ve onu parantezlerden "çıkarmaktır".
28x3 – 35x4 polinomunu çarpanlarına ayıralım.
Çözüm.
1. 28x3 ve 35x4 elemanlarını bulun ortak bölen. 28 ve 35 için 7; x 3 ve x 4 – x 3 için. Yani ortak çarpanımız 7x3'tür.
2. Her bir unsuru faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz; bunlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Parantezlerin ortak çarpanını çıkarıyoruz
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Yöntem 2. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması. Bu yöntemi kullanmanın “ustalığı”, ifadedeki kısaltılmış çarpma formüllerinden birini fark etmektir.
Polinom x 6 – 1'i çarpanlarına ayıralım.
Çözüm.
1. Kareler farkı formülünü bu ifadeye uygulayabiliriz. Bunu yapmak için x 6'yı (x 3) 2 ve 1'i 1 2 olarak hayal edin, yani. 1. İfade şu şekli alacaktır:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Küplerin toplamı ve farkı formülünü elde edilen ifadeye uygulayabiliriz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Bu yüzden,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Yöntem 3. Gruplandırma. Gruplandırma yöntemi, bir polinomun bileşenlerini, üzerlerinde işlem (toplama, çıkarma, ortak bir faktörün çıkarılması) gerçekleştirmeyi kolaylaştıracak şekilde birleştirmektir.
Polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15'i çarpanlarına ayıralım.
Çözüm.
1. Bileşenleri şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.
(x3 – 3x2) + (5x – 15).
2. Ortaya çıkan ifadede, ortak çarpanları parantezlerden çıkarıyoruz: ilk durumda x 2, ikinci durumda 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Ortak faktör x – 3'ü parantezlerden çıkarırız ve şunu elde ederiz:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Bu yüzden,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Malzemeyi güvence altına alalım.
a 2 – 7ab + 12b 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.
Çözüm.
1. 7ab tek terimlisini 3ab + 4ab toplamı olarak temsil edelim. İfade şu şekli alacaktır:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Parantezleri açalım ve şunu elde edelim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Polinomun bileşenlerini şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.. Şunu elde ederiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Parantez içindeki ortak faktörleri çıkaralım:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Ortak çarpanı (a – 3b) parantezlerden çıkaralım:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Bu yüzden,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Polinomların çarpımını göz önüne aldığımızda birkaç formülü hatırladık: (a + b)² için, (a – b)² için, (a + b) için (a – b), (a + b)³ için ve (a – b)³ için.
Belirli bir polinomun bu formüllerden biriyle çakıştığı ortaya çıkarsa, onu çarpanlara ayırmak mümkün olacaktır. Örneğin, a² – 2ab + b² polinomunun (a – b)² [veya (a – b) · (a – b)'ye eşit olduğunu biliyoruz, yani a² – 2ab + b²'yi 2 faktöre ayırmayı başardık ]; Ayrıca
Bu örneklerden ikincisine bakalım. Burada verilen polinomun, iki sayının farkının karesi alınarak elde edilen formüle uyduğunu görüyoruz (birinci sayının karesi eksi ikinin birinci sayı ile ikincinin çarpımı artı ikinci sayının karesi): x 6 birinci sayının karesidir ve dolayısıyla birinci sayının kendisi x 3'tür, ikinci sayının karesi verilen polinomun son terimidir, yani 1, dolayısıyla ikinci sayının kendisi de 1'dir; ikinin birinci sayı ile ikinci sayının çarpımı –2x 3 terimidir çünkü 2x 3 = 2 x 3 1. Dolayısıyla polinomumuz x 3 ve 1 sayılarının farkının karesi alınarak elde edilmiştir, yani eşittir (x3 – 12. Başka bir 4. örneğe bakalım. Bu a 2 b 2 – 25 polinomunun iki sayının kareleri farkı olarak değerlendirilebileceğini görüyoruz, yani ilk sayının karesi a 2 b 2, dolayısıyla ilk sayının kendisi ab, yani ilk sayının karesi ikinci sayı 25, neden ikinci sayının kendisi 5. Dolayısıyla polinomumuz iki sayının toplamının farklarıyla çarpılmasından elde edilmiş gibi düşünülebilir.
(ab + 5) (ab – 5).
Bazen belirli bir polinomda terimler alıştığımız sıraya göre düzenlenmez.
9a 2 + b 2 + 6ab – ikinci ve üçüncü terimleri zihinsel olarak yeniden düzenleyebiliriz ve o zaman trinomialimizin = (3a + b) 2 olduğu bizim için netleşecektir.
... (birinci ve ikinci terimleri zihinsel olarak yeniden düzenliyoruz).
25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, vb.
Başka bir polinomu ele alalım
a 2 + 2ab + 4b 2 .
İlk teriminin a sayısının karesi ve üçüncü terimin 2b sayısının karesi olduğunu, ancak ikinci terimin ikinin birinci sayının çarpımı olmadığını ve ikinci terimin - böyle bir çarpımın eşit olacağını görüyoruz. 2 a 2b = 4ab. Bu nedenle iki sayının toplamının karesi formülünü bu polinoma uygulamak imkansızdır. Birisi a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 yazsaydı, bu yanlış olurdu - formülleri kullanarak çarpanlara ayırmayı uygulamadan önce polinomun tüm terimleri dikkatlice düşünülmelidir.
40. Her iki tekniğin bir kombinasyonu. Bazen polinomları çarpanlarına ayırırken, hem ortak çarpanı parantezlerden çıkarma tekniğini hem de formül kullanma tekniğini birleştirmeniz gerekir. İşte örnekler:
1. 2a 3 – 2ab 2. Önce parantezlerden 2a ortak faktörünü çıkaralım ve 2a (a 2 – b 2) elde ederiz. a 2 - b 2 faktörü, formüle göre (a + b) ve (a - b) faktörlerine ayrıştırılır.
Bazen formül ayrıştırma tekniğini birden çok kez kullanmanız gerekir:
1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)
İlk a 2 + b 2 faktörünün bilinen formüllerin hiçbirine uymadığını görüyoruz; Ayrıca, özel bölme durumlarını (madde 37) hatırlayarak, a 2 + b 2'nin (iki sayının karelerinin toplamı) hiçbir şekilde çarpanlara ayrılamayacağını tespit edeceğiz. Ortaya çıkan faktörlerden ikincisi a 2 - b 2 (iki sayının karesi farkı), (a + b) ve (a - b) faktörlerine ayrıştırılır. Bu yüzden,
41. Özel bölme durumlarının uygulanması. Paragraf 37'ye dayanarak şunu hemen yazabiliriz, örneğin:
Genel olarak bu görev, yaratıcı bir yaklaşım gerektirir çünkü onu çözmek için evrensel bir yöntem yoktur. Ama birkaç ipucu vermeye çalışalım.
Vakaların ezici çoğunluğunda, bir polinomun çarpanlara ayrılması Bezout teoreminin bir sonucuna dayanır, yani kök bulunur veya seçilir ve polinomun derecesi 'ye bölünerek bir azaltılır. Ortaya çıkan polinomun kökü aranır ve işlem tamamen açılıncaya kadar tekrarlanır.
Kök bulunamazsa, belirli genişletme yöntemleri kullanılır: gruplandırmadan birbirini dışlayan ek terimlerin eklenmesine kadar.
Daha ileri sunum, tamsayı katsayılarıyla daha yüksek dereceli denklemleri çözme becerisine dayanmaktadır.
Ortak çarpanı parantez içine almak.
Serbest terimin sıfıra eşit olduğu, yani polinomun şu şekle sahip olduğu en basit durumla başlayalım.
Açıkçası böyle bir polinomun kökü dır, yani polinomu şeklinde temsil edebiliriz.
Bu yöntem başka bir şey değil ortak çarpanı parantez dışına koymak.
Örnek.
Üçüncü dereceden bir polinomu çarpanlarına ayırın.
Çözüm.
Açıkçası polinomun kökü nedir? X parantezlerden çıkarılabilir:
İkinci dereceden üç terimlinin köklerini bulalım 
Böylece, 
Sayfanın başı
Rasyonel kökleri olan bir polinomun çarpanlara ayrılması.
İlk olarak, bir polinomu formun tamsayı katsayılarıyla genişletme yöntemini düşünelim, en yüksek derecenin katsayısı bire eşittir.
Bu durumda, eğer bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleridir.
Örnek.
Çözüm.
Sağlam kök olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için sayının bölenlerini yazın -18
: . Yani bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar yazılı sayılar arasındadır. Horner'ın şemasını kullanarak bu sayıları sırayla kontrol edelim. Kolaylığı aynı zamanda sonunda polinomun genişleme katsayılarını elde etmemiz gerçeğinde de yatmaktadır: 
Yani, x=2 Ve x=-3 orijinal polinomun kökleridir ve bunu bir çarpım olarak temsil edebiliriz:
Geriye kalan tek şey parçalanmak ikinci dereceden üç terimli.
Bu üç terimlinin diskriminantı negatif olduğundan gerçek kökleri yoktur.
Cevap:
Yorum:
Horner'ın şeması yerine, kökün seçilmesi ve ardından polinomun bir polinomla bölünmesi kullanılabilir.
Şimdi bir polinomun tamsayı katsayıları biçimindeki açılımını düşünün ve en yüksek derecenin katsayısı bire eşit değildir.
Bu durumda polinom kesirli rasyonel köklere sahip olabilir.
Örnek.
İfadeyi çarpanlarına ayırın.
Çözüm.
Değişken değişikliği gerçekleştirerek y=2x, katsayısı en yüksek derecede bire eşit olan bir polinoma geçelim. Bunu yapmak için önce ifadeyi şununla çarpın: 4
.
Ortaya çıkan fonksiyonun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleri arasındadır. Bunları yazalım:
Fonksiyonun değerlerini sırasıyla hesaplayalım g(y) sıfıra ulaşılana kadar bu noktalarda. 
Ne oldu çarpanlara ayırma? Bu, uygunsuz ve karmaşık bir örneği basit ve hoş bir örnek haline getirmenin bir yoludur.) Çok çok güçlü hareket! Hem temel hem de yüksek matematiğin her adımında bulunur.
Matematik dilinde bu tür dönüşümlere ifadelerin özdeş dönüşümleri denir. Bilmeyenler için linke bir göz atın. Çok az, basit ve kullanışlıdır.) Herhangi birinin anlamı kimlik dönüşümü ifadenin bir kaydıdır başka bir biçimdeözünü korurken.
Anlam çarpanlara ayırma son derece basit ve net. Adından itibaren. Çarpanın ne olduğunu unutabilirsiniz (ya da bilmiyor olabilirsiniz), ancak bu kelimenin “çarpma” kelimesinden geldiğini anlayabilirsiniz.) Faktoring şu anlama gelir: bir şeyi bir şeyle çarpma biçimindeki bir ifadeyi temsil eder. Matematik ve Rus dili beni affetsin...) Bu kadar.
Örneğin 12 sayısını genişletmeniz gerekiyor. Güvenle yazabilirsiniz:
Bu yüzden 12 sayısını 3'ün 4'le çarpımı olarak sunduk. Sağdaki sayıların (3 ve 4) soldakilerden (1 ve 2) tamamen farklı olduğunu lütfen unutmayın. Ama 12 ve 3 4'ün çok iyi anlıyoruz Aynı. 12 sayısının dönüşümden özü değişmedi.
12'yi farklı şekilde ayrıştırmak mümkün mü? Kolayca!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Ayrıştırma seçenekleri sonsuzdur.
Sayıları çarpanlarına ayırmak yararlı bir şeydir. Örneğin köklerle çalışırken çok yardımcı olur. Ancak cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmak yalnızca yararlı olmakla kalmaz, aynı zamanda gerekli!Örnek olarak:
Basitleştirin:
Bir ifadeyi nasıl çarpanlara ayıracağını bilmeyenler kenarda durur. Nasıl yapılacağını bilenler - basitleştirin ve elde edin:
Etkisi muhteşem, değil mi?) Bu arada çözüm oldukça basit. Aşağıda kendiniz göreceksiniz. Veya örneğin bu görev:
Denklemi çözün:
x 5 - x 4 = 0
Bu arada, akılla karar verilir. Çarpanlara ayırmanın kullanılması. Bu örneği aşağıda çözeceğiz. Cevap: x1 = 0; x 2 = 1.
Veya aynı şey, ancak daha yaşlı olanlar için):
Denklemi çözün:
Bu örneklerde gösterdim ana amaççarpanlara ayırma: kesirli ifadeleri basitleştirme ve bazı denklem türlerini çözme. İşte hatırlamanız gereken temel bir kural:
Eğer önümüzde korkutucu bir kesirli ifade varsa pay ve paydayı çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz. Çoğu zaman kesir azaltılır ve basitleştirilir.
Önümüzde sağda sıfır ve solda ne olduğunu anlamıyorum, sol tarafı çarpanlara ayırmayı deneyebiliriz. Bazen yardımcı olur).
Temel çarpanlara ayırma yöntemleri.
İşte en popüler yöntemler:
4. İkinci dereceden bir üç terimlinin genişletilmesi.
Bu yöntemlerin hatırlanması gerekir. Tam olarak bu sırayla. Karmaşık örnekler kontrol edilir hepsi için olası yollar ayrışma. Ve kafanızın karışmaması için sırayla kontrol etmekte fayda var... O halde sırayla başlayalım.)
1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.
Basit ve güvenilir yol. Ondan kötü bir şey gelmez! Ya iyi olur ya da hiç olmaz.) Bu yüzden önce o gelir. Hadi çözelim.
Herkes şu kuralı biliyor (inanıyorum!):
a(b+c) = ab+ac
Yada daha fazla Genel görünüm:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Tüm eşitlikler hem soldan sağa hem de sağdan sola doğru çalışır. Yazabilirsin:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmanın asıl amacı budur.
Sol tarafta A - ortak çarpan tüm şartlar için. Var olan her şeyle çarpılır). En sağdaki A zaten yer alıyor parantezlerin dışında.
Pratik kullanımÖrnekler kullanarak yönteme bakalım. İlk başta seçenek basit, hatta ilkel.) Ancak bu seçeneğe dikkat edeceğim ( yeşil) Çok önemli noktalar herhangi bir çarpanlara ayırma için.
Çarpanlara ayırın:
ah+9x
Hangi genelçarpan her iki terimde de görünüyor mu? Tabii ki X! Bunu parantezlerin dışına çıkaracağız. Bunu yapalım. Hemen parantezlerin dışına X yazıyoruz:
balta+9x=x(
Ve parantez içinde bölme sonucunu yazıyoruz her dönem tam da bu X'te. Sırayla:
Bu kadar. Tabi bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, bu iş akılla yapılıyor. Ancak neyin ne olduğunu anlamanız tavsiye edilir). Belleğe kaydediyoruz:
Ortak çarpanı parantezlerin dışına yazıyoruz. Tüm terimleri bu ortak faktöre bölmenin sonuçlarını parantez içinde yazıyoruz. Sırayla.
Yani ifadeyi genişlettik ah+9xçarpanlara göre. Bunu x ile çarpmaya dönüştürdüm (a+9). Orijinal ifadede ayrıca bir çarpım olduğunu, hatta iki olduğunu not ediyorum: a·x ve 9·x. Ama o çarpanlara ayrılmamıştı!Çünkü bu ifadede çarpmanın yanı sıra toplama yani “+” işareti de vardı! Ve ifadede x(a+9) Çarpmadan başka bir şey yok!
Nasıl yani!? - İnsanların öfkeli sesini duyuyorum - Ve parantez içinde!?)
Evet parantez içinde ekleme var. Ancak işin püf noktası şu ki, parantezler açılmadığı sürece onları dikkate alıyoruz bir harf gibi. Ve tüm eylemleri tamamen parantezlerle yapıyoruz, tek harfle olduğu gibi. Bu anlamda ifadede x(a+9)Çarpma dışında hiçbir şey yoktur. Çarpanlara ayırmanın asıl amacı budur.
Bu arada, her şeyi doğru yapıp yapmadığımızı bir şekilde kontrol etmek mümkün mü? Kolayca! Çıkardığınız şeyi (x) parantezlerle çarpmanız ve işe yarayıp yaramadığını görmeniz yeterlidir. orijinal ifade? Eğer işe yararsa, her şey harika!)
x(a+9)=ax+9x
Olmuş.)
Bu ilkel örnekte hiçbir sorun yoktur. Ancak birkaç terim varsa ve hatta farklı işaretler... Kısacası her üç öğrenciden biri berbat durumda). Öyleyse:
Gerekirse ters çarpma yoluyla çarpanlara ayırmayı kontrol edin.
Çarpanlara ayırın:
3ax+9x
Ortak bir faktör arıyoruz. Peki, X ile her şey açık, çıkarılabilir. Daha fazla var mı genel faktör? Evet! Bu bir üç. İfadeyi şu şekilde yazabilirsiniz:
3ax+3 3x
Burada ortak faktörün olacağı hemen açıktır. 3x. İşte onu çıkarıyoruz:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Yayılmak.
çıkarsan ne olur sadece x mi?Özel birşey yok:
3ax+9x=x(3a+9)
Bu aynı zamanda bir çarpanlara ayırma olacaktır. Ancak bu büyüleyici süreçte, fırsat varken her şeyi sınırlarına kadar ortaya koymak gelenekseldir. Burada parantez içinde üç koyma fırsatı var. Ortaya çıkacak:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Aynı şey, yalnızca ekstra bir eylemle.) Unutmayın:
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarırken, çıkarmaya çalışıyoruz maksimum ortak faktör.
Eğlenceye devam edelim mi?)
İfadeyi çarpanlarına ayırın:
3ah+9х-8а-24
Neyi götüreceğiz? Üç, X? Hayır... Yapamazsın. Sana sadece dışarı çıkabileceğini hatırlatırım genelçarpan yani tümünde ifadenin şartları. Bu yüzden o genel. Burada öyle bir çarpan yok... Ne yani genişletmene gerek yok!? Evet, çok mutluyduk... Tanışın:
2. Gruplandırma.
Aslında gruba isim vermek zor bağımsız bir şekildeçarpanlara ayırma. Bu daha çok dışarı çıkmanın bir yolu karmaşık örnek.) Her şeyin yolunda gitmesi için terimleri gruplandırmamız gerekiyor. Bu ancak örnek olarak gösterilebilir. Yani, şu ifadeye sahibiz:
3ah+9х-8а-24
Bazı ortak harf ve sayıların olduğu görülebilir. Ancak... Genel her açıdan olacak bir çarpan yoktur. Kalbimizi kaybetmeyelim ve ifadeyi parçalara ayırın. Gruplandırma. Yani her parçanın ortak bir faktörü var, çıkarılacak bir şey var. Nasıl kırarız? Evet, sadece parantez koyduk.
Parantezlerin istediğiniz yere ve istediğiniz şekilde yerleştirilebileceğini hatırlatmama izin verin. Sadece örneğin özü değişmedi.Örneğin şunu yapabilirsiniz:
3ah+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
Lütfen ikinci parantezlere dikkat edin! Önlerinde bir eksi işareti bulunur ve 8a Ve 24 pozitif çıktı! Kontrol etmek için parantezleri tekrar açarsak işaretler değişecek ve şunu elde edeceğiz: orijinal ifade. Onlar. parantez içindeki ifadenin özü değişmedi.
Ancak işaret değişikliğini hesaba katmadan parantez eklediyseniz, örneğin şu şekilde:
3ah+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
bu bir hata olurdu. Sağda - zaten diğer ifade. Parantezleri açın ve her şey görünür hale gelecektir. Daha fazla karar vermenize gerek yok, evet…)
Ama çarpanlara ayırmaya dönelim. İlk parantezlere bakalım (3ax+9x) ve çıkarabileceğimiz bir şey var mı diye düşünüyoruz? Peki bu örneği yukarıda çözdük, alabiliriz 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
İkinci parantezleri inceleyelim, oraya bir sekiz ekleyebiliriz:
(8a+24)=8(a+3)
İfademizin tamamı şu şekilde olacaktır:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Faktoringli mi? HAYIR. Ayrıştırmanın sonucu şöyle olmalıdır: sadece çarpma ama bizde eksi işareti her şeyi bozar. Ama... Her iki terimin de ortak bir çarpanı var! Bu (a+3). Tüm parantezlerin sanki tek harf olduğunu söylemem boşuna değildi. Bu, bu braketlerin braketlerin dışına çıkarılabileceği anlamına gelir. Evet, kulağa tam olarak böyle geliyor.)
Yukarıda anlatıldığı gibi yapıyoruz. Ortak çarpanı yazıyoruz (a+3) ikinci parantez içine terimleri bölmenin sonuçlarını yazıyoruz (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Tüm! Sağda çarpma dışında hiçbir şey yok! Bu, çarpanlara ayırmanın başarıyla tamamlandığı anlamına gelir!) İşte:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Grubun özünü kısaca tekrarlayalım.
Eğer ifade yoksa genel için çarpan herkes ifadeyi parantezlere ayırıyoruz, böylece parantezlerin içindeki ortak faktör öyleydi. Onu çıkarıyoruz ve ne olacağını görüyoruz. Şanslıysanız ve parantez içinde tamamen aynı ifadeler kaldıysa bu parantezleri parantezlerin dışına taşıyoruz.
Gruplamanın yaratıcı bir süreç olduğunu ekleyeceğim). Her zaman ilk seferde işe yaramaz. Önemli değil. Bazen başarılı bir seçenek bulana kadar terimleri değiştirmeniz ve farklı gruplandırma seçeneklerini düşünmeniz gerekir. Buradaki en önemli şey cesaretinizi kaybetmemek!)
Örnekler.
Artık kendinizi bilgiyle zenginleştirdikten sonra zor örnekleri çözebilirsiniz.) Dersin başında bunlardan üçü vardı...
Basitleştirin:
Aslında bu örneği zaten çözdük. Kendimizden habersiz.) Size şunu hatırlatayım: Eğer bize çok kötü bir kesir verilirse, pay ve paydayı çarpanlarına ayırmaya çalışırız. Diğer basitleştirme seçenekleri kesinlikle hayır.
Yani buradaki payda genişletilmemiş ama pay... Derste zaten pay'ı genişletmiştik! Bunun gibi:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Açılımın sonucunu kesrin payına yazıyoruz:
Kesirleri azaltma kuralına göre (bir kesrin temel özelliği), payı ve paydayı (aynı anda!) aynı sayıya veya ifadeye bölebiliriz. Bundan kesir değişmez. Yani pay ve paydayı ifadeye böleriz (3x-8). Ve orada burada birer tane alacağız. Son sonuç basitleştirmeler:
Özellikle vurgulamak isterim ki, bir kesri azaltmak, ifadeleri çarpmanın yanı sıra, ancak pay ve paydada ise mümkündür. bir şey yok. Toplamın (farkın) dönüştürülmesinin nedeni budur. çarpma işlemi basitleştirme açısından çok önemlidir. Tabii eğer ifadeler farklı, o zaman hiçbir şey azalmayacaktır. O olacak. Fakat çarpanlara ayırma şans verir. Ayrışma olmadan bu şans kesinlikle mevcut değil.
Denklemli örnek:
Denklemi çözün:
x 5 - x 4 = 0
Ortak çarpanı çıkarıyoruz x 4 parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:
x 4 (x-1)=0
Faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğunu biliyoruz. o zaman ve ancak o zaman, bunlardan herhangi biri sıfır olduğunda. Eğer şüpheniz varsa, bana çarpıldığında sıfır verecek birkaç sıfır olmayan sayı bulun.) O halde ilk olarak ilk çarpanı yazıyoruz:
Böyle bir eşitlik varken ikinci faktör bizi ilgilendirmiyor. Herkes olabilir, ama sonunda yine de sıfır olacaktır. Sıfırın dördüncü kuvveti kaç sayıyı verir? Sadece sıfır! Ve başkası yok... Bu nedenle:
İlk faktörü bulduk ve bir kök bulduk. İkinci faktöre bakalım. Artık ilk faktörü umursamıyoruz.):
Burada bir çözüm bulduk: x1 = 0; x 2 = 1. Bu köklerden herhangi biri denklemimize uyuyor.
Çok önemli bir not. Lütfen denklemi çözdüğümüzü unutmayın. parça parça! Her faktör sıfıra eşitti, diğer faktörlerden bağımsız olarak. Bu arada, böyle bir denklemde bizimki gibi iki değil, üç, beş, istediğiniz kadar faktör varsa çözeceğiz. benzer. Parça parça. Örneğin:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Parantezleri açıp her şeyi çarpan kişi sonsuza kadar bu denklemde takılıp kalacaktır.) Doğru bir öğrenci, solda çarpma dışında hiçbir şey olmadığını, sağda ise sıfırın olmadığını hemen görecektir. Ve (zihninde!) tüm parantezleri sıfıra eşitlemeye başlayacak. Ve alacak (10 saniye içinde!) doğru karar: x1 = 1; x2 = -5; x3 = 3; x4 = -2.
Harika, değil mi?) Denklemin sol tarafında ise böylesine zarif bir çözüm mümkün olabilir. çarpanlara ayrılmış.İpucunu aldın mı?)
Büyükler için son bir örnek):
Denklemi çözün:
Biraz öncekine benziyor, öyle değil mi?) Elbette. Yedinci sınıf cebirinde sinüslerin, logaritmaların ve diğer her şeyin harflerin altında gizlenebileceğini hatırlamanın zamanı geldi! Faktoring matematik boyunca çalışır.
Ortak çarpanı çıkarıyoruz lg4x parantezlerin dışında. Şunu elde ederiz:
günlük 4x=0
Bu bir kök. İkinci faktöre bakalım.
İşte son cevap: x1 = 1; x 2 = 10.
Umarım kesirleri basitleştirmede ve denklem çözmede çarpanlara ayırmanın gücünü fark etmişsinizdir.)
Bu dersimizde ortak çarpanlara ayırma ve gruplandırmayı öğrendik. Kısaltılmış çarpma ve ikinci dereceden üç terimli formülleri anlamak için kalır.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
