Tanım.$y = f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını varsayalım. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde $\Delta x $ bir artış verelim. $\Delta y $ fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım ($x_0 $ noktasından $x_0 + \Delta x $ noktasına giderken) ve $\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) $. Bu oranın $\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir. bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) $ $x_0 $ noktasındadır ve $f"(x_0) $'yi gösterir.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Y sembolü genellikle türevi belirtmek için kullanılır. y" = f(x)'in yeni bir fonksiyon olduğunu, ancak doğal olarak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla ilişkili olduğunu unutmayın. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.

Türevin geometrik anlamıŞöyleki. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
$k = f"(a)$

$k = tg(a) $ olduğundan, $f"(a) = tan(a) $ eşitliği doğrudur.

Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. $y = f(x)$ fonksiyonunun belirli bir $x\ noktasında) türevi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, yani $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x$. Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “neredeyse orantılıdır” ve orantı katsayısı belirli bir x noktasında türevin değeridir. Örneğin, $y = x^2$ fonksiyonu için yaklaşık eşitlik $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.

Formüle edelim.

y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?

1. $x$ değerini sabitleyin, $f(x)$'i bulun
2. $x$ argümanına bir artış $\Delta x$ verin, yeni bir $x+ \Delta x $ noktasına gidin, $f(x+ \Delta x) $'yi bulun
3. Fonksiyonun artışını bulun: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.

Bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).

Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?

y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.

Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ sağlanır. Bu eşitlikte ise $\Delta x $ sıfıra yönelirse $\Delta y $ sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.

Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.

Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde süreklidir, özellikle x = 0 noktasında, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.

Bir örnek daha. $y=\sqrt(x)$ fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Eğim katsayısı böyle bir çizgi yok, bu da $f"(0) $'nin de mevcut olmadığı anlamına geliyor

Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?

Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.

Farklılaşma kuralları

Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C - sabit sayı ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Türev karmaşık fonksiyon:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Bazı fonksiyonların türevleri tablosu

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Makalenin içeriği

TÜREV– fonksiyonun türevi sen = F(X), belirli bir aralıkta verilir ( A, B) noktada X Bu aralığın değeri, fonksiyonun artış oranının yöneldiği sınır olarak adlandırılır. F bu noktada argümanın artışı sıfıra yaklaştığında argümanın karşılık gelen artışına.

Türev genellikle şu şekilde gösterilir:

Diğer tanımlamalar da yaygın olarak kullanılmaktadır:

Anlık hız.

Bırakın nokta M düz bir çizgide hareket eder. Mesafe S başlangıç konumundan sayılan hareket noktası M 0 , zamana bağlı T yani S zamanın bir fonksiyonu var T: S= F(T). Zamanın bir noktasında izin ver T hareket noktası M uzaktaydı S başlangıç pozisyonundan M 0 ve bazı durumlarda sonraki an T+D T kendini bir konumda buldu M 1 - mesafeli S+D S başlangıç konumundan ( resme bak.).

Böylece belli bir süre D T mesafe S D miktarı kadar değişti S. Bu durumda D zaman aralığında T büyüklük S alınan artış D S.

Ortalama hız her durumda bir noktanın hareket hızını doğru bir şekilde karakterize edemez. M zamanın bir noktasında T. Örneğin, D aralığının başlangıcındaki cisim Tçok hızlı ve sonunda çok yavaş hareket ederse, ortalama hız noktanın hareketinin belirtilen özelliklerini yansıtamayacak ve o andaki hareketinin gerçek hızı hakkında bir fikir veremeyecek T. Ortalama hızı kullanarak gerçek hızı daha doğru bir şekilde ifade etmek için daha kısa bir zaman dilimi ayırmanız gerekir. T. Çoğu, şu anda bir noktanın hareket hızını tam olarak karakterize eder T D noktasında ortalama hızın yöneldiği sınır T® 0. Bu sınıra hareket hızı denir. şu an:

Böylece, belirli bir andaki hareket hızına yol artış oranının D sınırı denir. S zaman artışına D T, zaman artışı sıfıra yaklaştığında. Çünkü

Türevin geometrik anlamı. Bir fonksiyonun grafiğine teğet.

Teğet doğruların inşası diferansiyel hesabın doğuşuna yol açan problemlerden biridir. Diferansiyel hesapla ilgili olarak Leibniz tarafından yazılan ilk yayınlanmış eser Yeni yöntem maksimumlar ve minimumların yanı sıra kesirli veya irrasyonel miktarların olmadığı teğetler ve bunun için özel bir hesap türü engel teşkil etmez.

Eğri fonksiyonun grafiği olsun sen =F(X) dikdörtgen bir koordinat sisteminde ( santimetre. pirinç.).

Bir miktar değerde X fonksiyon önemlidir sen =F(X). Bu değerler X Ve sen eğri üzerindeki nokta karşılık gelir M 0(X, sen). Eğer argüman X vermek artış D X, ardından bağımsız değişkenin yeni değeri X+D X yeni fonksiyon değerine karşılık gelir y+ D sen = F(X + D X). Eğrinin karşılık gelen noktası nokta olacaktır M 1(X+D X,sen+D sen). Bir sekant çizerseniz M 0M 1 ve j ile gösterilir eksenin pozitif yönü ile bir çaprazın oluşturduğu açı ÖküzŞekilden bu hemen anlaşılıyor.

eğer şimdi D X sıfıra eğilimlidir, o zaman nokta M 1 eğri boyunca hareket ederek noktaya yaklaşır M 0 ve açı J D ile değişir X. Şu tarihte: Dx® 0 j açısı belirli bir a sınırına ve noktadan geçen düz çizgiye yönelir M 0 ve x ekseninin pozitif yönü olan a açısına sahip bileşen istenen teğet olacaktır. Eğimi:

Buradan, F´( X) = tga

onlar. türev değeri F´( X) belirli bir argüman değeri için X fonksiyonun grafiğine teğetin oluşturduğu açının tanjantına eşittir F(X) karşılık gelen noktada M 0(X,sen) pozitif eksen yönü ile Öküz.

Fonksiyonların türevlenebilirliği.

Tanım. Eğer fonksiyon sen = F(X) noktasında bir türevi vardır X = X 0 ise fonksiyon bu noktada türevlenebilirdir.

Türevi olan bir fonksiyonun sürekliliği. Teorem.

Eğer fonksiyon sen = F(X) bir noktada türevlenebilir X = X 0 ise bu noktada süreklidir.

Dolayısıyla fonksiyonun süreksizlik noktalarında türevi olamaz. Bunun tersi sonuç yanlıştır, yani. bir noktada olduğu gerçeğinden X = X 0 işlevi sen = F(X) sürekli olması bu noktada türevlenebilir olduğu anlamına gelmez. Örneğin, fonksiyon sen = |X| herkes için sürekli X(–Ґ x x = 0'ın türevi yoktur. Bu noktada grafiğe teğet yoktur. Sağ teğet ve sol teğet vardır ancak bunlar çakışmaz.

Türevlenebilir fonksiyonlarla ilgili bazı teoremler. Türevin köklerine ilişkin teorem (Rolle teoremi). Eğer fonksiyon F(X) segment üzerinde süreklidir [A,B], bu segmentin tüm iç noktalarında ve uçlarında türevlenebilir X = A Ve X = B sıfıra gider ( F(A) = F(B) = 0), o zaman segmentin içinde [ A,B] en az bir nokta var X= İle, A c b, burada türev Fў( X) sıfıra gider, yani Fў( C) = 0.

Sonlu artış teoremi (Lagrange teoremi). Eğer fonksiyon F(X) aralıkta süreklidir [ A, B] ve bu parçanın tüm iç noktalarında, ardından parçanın içinde türevlenebilir [ A, B] en az bir nokta var İle, A cb bu

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

İki fonksiyonun artışlarının oranına ilişkin teorem (Cauchy teoremi). Eğer F(X) Ve G(X) – segment üzerinde sürekli iki fonksiyon [A, B] ve bu segmentin tüm iç noktalarında türevlenebilir ve Gў( X) bu segmentin içinde herhangi bir yerde kaybolmaz, ardından segmentin içinde [ A, B] böyle bir nokta var X = İle, A cb bu

Çeşitli derecelerin türevleri.

Fonksiyona izin ver sen =F(X) belirli bir aralıkta türevlenebilirdir [ A, B] Türev değerler F ў( X), genel olarak konuşursak, bağlıdır X yani türev F ў( X) aynı zamanda bir fonksiyonudur X. Bu fonksiyonun türevini alırken, fonksiyonun ikinci türevini elde ederiz. F(X), belirtilen F ўў ( X).

Türev N- fonksiyonun sırası F(X) türevinin (birinci dereceden) türevi olarak adlandırılır N- 1- th ve sembolü ile gösterilir sen(N) = (sen(N– 1))ў.

Çeşitli siparişlerin diferansiyelleri.

Fonksiyon diferansiyeli sen = F(X), Nerede X– bağımsız değişken, evet ölmek = F ў( X)dx, bazı işlevler X, ama nereden X yalnızca ilk faktör bağlı olabilir F ў( X), ikinci faktör ( dx) bağımsız değişkenin artışıdır X ve bu değişkenin değerine bağlı değildir. Çünkü ölmek bir fonksiyon var X O zaman bu fonksiyonun diferansiyelini belirleyebiliriz. Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline, bu fonksiyonun ikinci diferansiyeli veya ikinci dereceden diferansiyeli denir ve şöyle gösterilir: D 2sen:

D(dx) = D 2sen = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferansiyel N- birinci dereceden diferansiyelin birinci diferansiyeli denir N- 1- sıra:

d n y = D(d n–1sen) = F(N)(X)dx(N).

Kısmi türev.

Bir fonksiyon bir argümana değil birden fazla argümana bağlıysa x ben(Ben 1 ila 1 arasında değişir N,Ben= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… xn), daha sonra diferansiyel hesaplamada, yalnızca bir argüman değiştiğinde birkaç değişkenli bir fonksiyonun değişim oranını karakterize eden kısmi türev kavramı tanıtılır, örneğin, x ben. 1. mertebeden kısmi türev x ben sıradan bir türev olarak tanımlanır ve dışındaki tüm argümanların olduğu varsayılır. x ben, değerleri sabit tutun. Kısmi türevler için gösterim tanıtıldı

Bu şekilde tanımlanan 1. dereceden kısmi türevler (aynı argümanların fonksiyonları olarak) da kısmi türevlere sahip olabilir, bunlar ikinci dereceden kısmi türevlerdir, vb. Farklı argümanlardan alınan bu tür türevlere karışık denir. Aynı mertebeden sürekli karışık türevler, türev alma sırasına bağlı değildir ve birbirine eşittir.

Anna Chugainova

Tarih: 20.11.2014

Türev nedir?

Türev tablosu.

Türev ana kavramlardan biridir yüksek Matematik. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan birbirimizi tanıyalım.

Bu tanıdık şunları yapmanızı sağlayacaktır:

Türevlerle ilgili basit görevlerin özünü anlayın;

Bu sorunları başarıyla çözmek zor görevler;

Türevlerle ilgili daha ciddi derslere hazırlanın.

İlk olarak - hoş bir sürpriz.)

Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve olay oldukça karmaşıktır. Bu çok üzücü. Ancak türevlerin pratik uygulaması kural olarak bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!

Okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi başarıyla tamamlamak için şunu bilmek yeterlidir: sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Bu kadar. Bu beni mutlu ediyor.

Hadi tanışmaya başlayalım mı?)

Terimler ve tanımlar.

İlköğretim matematikte birçok farklı matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklerseniz temel matematik daha da yükselir. Bu yeni operasyon isminde farklılaşma. Bu operasyonun tanımı ve anlamı ayrı derslerde tartışılacaktır.

Burada farklılaşmanın bir fonksiyon üzerinde basit bir matematiksel işlem olduğunu anlamak önemlidir. Herhangi bir işlevi alırız ve onu belirli kurallara göre dönüştürürüz. Sonuç yeni bir fonksiyon olacaktır. Bu yeni fonksiyonun adı: türev.

Farklılaşma- bir fonksiyon üzerinde eylem.

Türev- bu eylemin sonucu.

Tıpkı örneğin, toplam- toplamanın sonucu. Veya özel- bölmenin sonucu.

Terimleri bildiğiniz için en azından görevleri anlayabilirsiniz.) Formülasyonlar aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulma; türevini alalım; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla ve benzeri. Hepsi bu Aynı. Elbette türevi bulmanın (farklılaşmanın) problemin çözümündeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.

Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen" veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.

Okuma igrek vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, yani anlıyor musun...)

Bir asal aynı zamanda belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" vesaire. Türevler genellikle diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste bu tür gösterimleri dikkate almayacağız.

Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye sadece bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek kalıyor.) Bir kez daha hatırlatayım: türevi bulmak Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi.Şaşırtıcı bir şekilde, bu kuralların çok azı var.

Bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. İşte bu üç sütun:

1. Türev tablosu (farklılaşma formülleri).

3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosuna bakacağız.

Türev tablosu.

Dünyada sonsuz sayıda fonksiyon vardır. Bu setin içinde en önemli fonksiyonlar bulunmaktadır. pratik uygulama. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında bulunur. Bu işlevlerden, tıpkı tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu fonksiyon sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.

Fonksiyonların "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. Türevin tanımı ve limitler teorisine göre bu oldukça emek yoğun bir şeydir. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece kendilerinin (ve bizim) hayatlarımızı basitleştirdiler. Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türevler tablosudur.)

İşte burada, en popüler işlevlere yönelik bu plaka. Solda temel bir fonksiyon, sağda ise onun türevi var.

	İşlev sen	y fonksiyonunun türevi sen"
1	C (sabit değer)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - herhangi bir sayı)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	günah x	(sin x)" = cosx
	çünkü x	(çünkü x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	ark sin x
	arkcos x
	arktan x
	arkctg x
4	A X
4	e X
5	kayıt A X
5	lx ( a = e)

Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi öneririm. Türev güç fonksiyonu- en yaygın olmasa da en yaygın formüllerden biri! İpucunu anladınız mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmeniz tavsiye edilir. Bu arada, bu göründüğü kadar zor değil. Daha fazla örnek çözmeye çalışın, tablonun kendisi hatırlanacaktır!)

Türevin tablo değerini bulmak, anladığınız gibi, en zor iş değildir. Bu nedenle, bu tür görevlerde sıklıkla ek çipler bulunur. Ya görevin ifadesinde ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevinde...

Birkaç örneğe bakalım:

1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3

Tabloda böyle bir fonksiyon bulunmamaktadır. Ancak güç fonksiyonunun bir türevi var Genel görünüm(üçüncü grup). Bizim durumumuzda n=3. Bu yüzden n yerine üç koyuyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Bu kadar.

Cevap: y" = 3x 2

2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir x = 0 bu türevin içine. Tam olarak bu sırayla! Aksi takdirde, orijinal fonksiyonun yerine hemen sıfır koyarlar... Bizden orijinal fonksiyonun değerini değil, değerini bulmamız isteniyor. onun türevi. Türev, hatırlatmama izin verin, yeni bir fonksiyondur.

Tableti kullanarak sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:

y" = (sin x)" = cosx

Sıfırı türevin yerine koyarız:

y"(0) = çünkü 0 = 1

Cevap bu olacak.

3. Fonksiyonu farklılaştırın:

Ne, ilham veriyor mu?) Türev tablosunda böyle bir fonksiyon yok.

Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmaktan ibaret olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız fonksiyonumuzun türevini aramak oldukça zahmetlidir. Tablonun hiçbir faydası yok...

Ama eğer fonksiyonumuzun olduğunu görürsek çift açılı kosinüs, o zaman her şey hemen daha iyi olur!

Evet evet! Orijinal işlevi dönüştürmenin farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve bu hayatı çok daha kolay hale getiriyor. Çift açılı kosinüs formülünü kullanarak:

Onlar. bizim zorlu fonksiyonumuz bundan başka bir şey değil y = cosx. Ve bu bir tablo fonksiyonudur. Hemen şunu alıyoruz:

Cevap: y" = - sin x.

İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:

4. Fonksiyonun türevini bulun:

Türev tablosunda elbette böyle bir fonksiyon yoktur. Ama temel matematiği, kuvvetlerle yapılan işlemleri hatırlarsanız... O zaman bu fonksiyonu basitleştirmek oldukça mümkün. Bunun gibi:

Ve x'in onda bir kuvveti zaten bir tablo fonksiyonudur! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre yazıyoruz:

Bu kadar. Cevap bu olacak.

Umarım türev almanın ilk ayağı olan türev tablosuyla ilgili her şey açıktır. Geriye kalan iki balinayla ilgilenmeye devam ediyor. Bir sonraki dersimizde türev almanın kurallarını öğreneceğiz.

Tanımı takip ederseniz, bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının limitidir. sen argüman artışına Δ X:

Her şey açık görünüyor. Ancak fonksiyonun türevini hesaplamak için bu formülü kullanmayı deneyin. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanımı gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle daha basit ve etkili yollar var.

Başlangıç olarak, tüm fonksiyon çeşitliliğinden, temel fonksiyonlar olarak adlandırılanları ayırt edebildiğimizi not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tablolaştırılan nispeten basit ifadelerdir. Bu tür fonksiyonların türevleriyle birlikte hatırlanması oldukça kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenenlerin tamamıdır. Bu fonksiyonların türevlerinin ezbere bilinmesi gerekir. Üstelik bunları ezberlemek hiç de zor değil; bu yüzden temel düzeydedirler.

Yani, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	F(X) = C, C ∈ R	0 (evet, sıfır!)
Rasyonel üslü kuvvet	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinüs	F(X) = günah X	çünkü X
Kosinüs	F(X) = çünkü X	−günah X(eksi sinüs)
Teğet	F(X) = tg X	1/çünkü 2 X
Kotanjant	F(X) = ctg X	− 1/günah 2 X
Doğal logaritma	F(X) = günlük X	1/X
Keyfi logaritma	F(X) = günlük A X	1/(X içinde A)
Üstel fonksiyon	F(X) = e X	e X(hiçbirşey değişmedi)

Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolaylıkla hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası yapılabilir. Artık özellikle basit olmayan, aynı zamanda aşağıdakilere göre türevlenebilir yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacak: belirli kurallar. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

Fonksiyonlar verilsin F(X) Ve G(X), türevleri tarafımızca bilinmektedir. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. “Negatif unsur” diye bir kavram var. Bu nedenle fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(X) = X 2 + günah x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:

F ’(X) = (X 2 + günah X)’ = (X 2)’ + (günah X)’ = 2X+ çünkü x;

İşlev için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz G(X). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Cevap:
F ’(X) = 2X+ çünkü x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, pek çok kişi bir toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda çarpımın türevinin alınacağına inanır. çarpmak">türevlerin çarpımına eşittir. Ama canınız cehenneme! Bir çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 çünkü x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun ürünüdür, dolayısıyla her şey basittir:

F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (− günah X) = X 2 (3cos X − X günah X)

İşlev G(X) ilk faktör biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bu değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(X) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.

İki fonksiyon varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede tanımlayabiliriz yeni özellik H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bunun gibi! Bu en çok biri karmaşık formüller- Şişe olmadan çözemezsin. Bu nedenle, üzerinde çalışmak daha iyidir spesifik örnekler.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonlar içerir, bu nedenle ihtiyacımız olan tek şey bölümün türevinin formülüdür:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayıralım - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyonun mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu almanız yeterli F(X) = günah X ve değişkeni değiştirin X diyelim ki X 2 + ln X. Bu işe yarayacak F(X) = günah ( X 2 + ln X) - bu karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kuralları kullanarak onu bulmak mümkün olmayacak.

Ne yapmalıyım? Bu gibi durumlarda, karmaşık bir fonksiyonun türevi için bir değişkeni ve formülü değiştirmek yardımcı olur:

F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer Xşununla değiştirilir: T(X).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha da üzücüdür. Bu nedenle spesifik örneklerle açıklamak daha doğru olacaktır. Detaylı Açıklama her adım.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2 + ln X)

Fonksiyonda ise şunu unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X sonra temel bir fonksiyon elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle bir değişiklik yapıyoruz: 2 olsun X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini ararız:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor X 2 + ln X = T. Sahibiz:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = X 2 + ln X. Daha sonra:

G ’(X) = çünkü ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = çünkü ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı üzere bütün sorun türev toplamının hesaplanmasına indirgenmiştir.

Cevap:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2 + ln X).

Derslerimde sıklıkla "türev" terimi yerine "asal" kelimesini kullanıyorum. Örneğin, miktardan bir asal sayı toplamına eşit vuruşlar. Bu daha açık mı? Tamam bu harika.

Dolayısıyla türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre aynı vuruşlardan kurtulmak anlamına gelir. Son bir örnek olarak rasyonel üslü türev gücüne dönelim:

(X N)’ = N · X N − 1

Bu rolde çok az kişi bunu biliyor N kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök X 0,5. Ya kökün altında süslü bir şey varsa? Sonuç yine karmaşık bir işlev olacaktır; bu tür yapıları testler ve sınavlar.

Görev. Fonksiyonun türevini bulun:

Öncelikle kökü rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formülü kullanarak buluyoruz:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Ters değiştirme işlemini yapalım: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Son olarak köklere dönelim:

Türev bilgisi ve onu hesaplama yöntemleri olmadan fiziksel problemleri veya matematikteki örnekleri çözmek tamamen imkansızdır. Türev en önemli kavramlardan biridir matematiksel analiz. Bugünkü makalemizi bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı Bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.

Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.

Fiziksel anlam türev: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Belirli bir süredeki ortalama hız:

Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabit belirleyin

Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.

Fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

İÇİNDE bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.

Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. Arka kısa vadeli Daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testleri çözmenize ve problemleri çözmenize yardımcı olacağız.