Dağılım fonksiyonu rastgele değişken hakkında tam bilgi içerir. Pratikte dağıtım fonksiyonu her zaman kurulamaz; Bazen bu kadar kapsamlı bilgi gerekli değildir. Rastgele bir değişken hakkında kısmi bilgi, bilgi türüne bağlı olarak aşağıdakilere bölünen sayısal özelliklerle sağlanır: aşağıdaki gruplar.
1. Rastgele bir değişkenin sayısal eksen üzerindeki konumunun özellikleri (mod Ay, medyan Ben, beklenen değer M(X)).
2. Rastgele bir değişkenin ortalama değer etrafındaki dağılımının özellikleri (varyans D(X), ortalama standart sapma σ( X)).
3. Eğri Şekli Özellikleri sen = φ( X) (asimetri Gibi, Basıklık Eski).
Bu özelliklerin her birine daha yakından bakalım.
Beklenen değer
rastgele değişken X hepsinin etrafında gruplandığı bazı ortalama değerleri gösterir olası değerler X. Yalnızca sonlu sayıda olası değer alabilen ayrı bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının ve bu değerlerin olasılığının toplamıdır:
. (2.4)
Sürekli bir rastgele değişken için X, belirli bir dağıtım yoğunluğuna sahip φ( X) matematiksel beklenti aşağıdaki integraldir: 
. (2.5)
Burada uygunsuz integralin mutlak yakınsak olduğu varsayılmaktadır; var.
Özellikler matematiksel beklenti:
1. HANIM) = C, Nerede İLE = yapı;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± BENİM), Nerede X Ve e– herhangi bir rastgele değişken;
4. M(X∙e)=M(X)∙BENİM), Nerede X Ve e bağımsız rastgele değişkenlerdir.
İki rastgele değişken denir bağımsız
Bunlardan birinin dağıtım yasası, diğer miktarın hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse.
Moda
ayrık rastgele değişken, belirtilen Ay, en olası değeri olarak adlandırılır (Şekil 2.3) ve sürekli rastgele değişkenin modu, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir (Şekil 2.4). 
Pirinç. 2.3 Şek. 2.4
Medyan
sürekli rastgele değişken X değeri Me olarak ortaya çıkmasının eşit derecede muhtemel olduğu çağrılır rastgele değer daha az veya daha fazla Meh yani
P(X < ben) = P(X > Meh)
Medyan tanımından şu sonuç çıkıyor P(X<Meh) = 0,5, yani F (Meh) = 0,5. Geometrik olarak medyan, koordinatı φ( olan bir apsis olarak yorumlanabilir. X) dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanı yarıya böler (Şekil 2.5). Simetrik bir dağılım durumunda medyan mod ve matematiksel beklentiyle örtüşür (Şekil 2.6). 
Pirinç. 2.5 Şek. 2.6
Dağılım.
Rastgele bir değişkenin varyansı- belirli bir rastgele değişkenin yayılmasının ölçüsü, yani matematiksel beklentiden sapması. Belirlenmiş D[X] Rus edebiyatında ve (İngilizce) varyans) yabancı ülkelerde. İstatistiklerde veya gösterimi sıklıkla kullanılır. Varyansın kareköküne eşit olana standart sapma, standart sapma veya standart yayılma denir. Standart sapma, rastgele değişkenin kendisi ile aynı birimlerle ölçülür ve varyans, bu birimin kareleriyle ölçülür.
Chebyshev'in eşitsizliğinden, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden daha fazla uzaklaştığı sonucu çıkıyor. k Olasılığı 1/'den az olan standart sapmalar k². Örneğin, vakaların en az %75'inde bir rastgele değişken, ortalamasından en fazla iki standart sapma uzaktadır ve yaklaşık %89'unda, en fazla üç standart sapma uzaktadır.
Varyans
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, matematiksel beklentiden sapmasının karesidir.
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Rastgele bir değişkenin varyansı X Aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamak uygundur:
a) ayrı bir miktar için
; (2.6)
b) sürekli bir rastgele değişken için
J( X)D X – 2 . (2.7)
Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. D(C) = 0, burada İLE = yapı;
2. D(C× X) = C2 ∙ D(X);
3. D(X± e) = D(X) + D(e), Eğer X Ve e bağımsız rastgele değişkenler.
Standart sapma
rastgele değişken X varyansın aritmetik kökü denir, yani
σ( X) = .
σ( boyutunun X) rastgele değişkenin kendisinin boyutuyla çakışır X dolayısıyla standart sapma saçılmayı karakterize etmek için daha uygundur.
Rastgele değişkenlerin temel sayısal özelliklerinin bir genellemesi, rastgele değişkenin momentleri kavramıdır.
K. derecenin ilk anı
α k rastgele değişken X miktarın matematiksel beklentisi denir Xk yani a k = M(Xk).
Birinci dereceden başlangıç momenti, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisidir.
K. derecenin merkezi anı
μ k rastgele değişken X değerin matematiksel beklentisi denir ( X–M(X))k yani μ k = M(X–M(X))k.
İkinci dereceden merkezi moment, bir rastgele değişkenin varyansıdır.
Ayrık bir rastgele değişken için başlangıç momenti α toplamı ile ifade edilir. k= ve merkezi olan – μ toplamına göre k = 
Nerede ben = p(X=x ben). Sürekli bir rastgele değişkenin başlangıç ve merkezi momentleri için aşağıdaki eşitlikleri elde edebiliriz:
α k = , μ k = 
,
nerede φ( X) – X rastgele değişkeninin dağılım yoğunluğu.
Büyüklük Gibi= μ 3 / σ 3 denir asimetri katsayısı
.
Asimetri katsayısı negatifse, bu, negatif sapmaların m3 değeri üzerinde büyük bir etki olduğunu gösterir. Bu durumda dağılım eğrisi (Şekil 2.7) sol tarafa doğru daha düzdür. M(X). As katsayısı pozitifse, yani pozitif sapmaların etkisi baskın demektir, o zaman dağılım eğrisi (Şekil 2.7) sağda daha düzdür. Pratikte asimetrinin işareti, dağılım eğrisinin moda göre konumu (diferansiyel fonksiyonun maksimum noktası) ile belirlenir. 
Pirinç. 2.7
Aşırı
Ek miktar denir
Ek= μ 4 / σ 4 – 3.
Soru 24: Korelasyon
Korelasyon (korelasyon bağımlılığı) - iki veya daha fazla rastgele değişken (veya kabul edilebilir bir doğruluk derecesi ile bu şekilde kabul edilebilecek değişkenler) arasındaki istatistiksel ilişki. Bu durumda, bu niceliklerden bir veya daha fazlasının değerlerindeki değişikliklere, başka veya başka niceliklerin değerlerinde sistematik bir değişiklik eşlik eder. İki rastgele değişken arasındaki korelasyonun matematiksel ölçüsü korelasyon ilişkisi, veya korelasyon katsayısı (veya ) . Bir rastgele değişkendeki değişiklik başka bir rastgele değişkende doğal bir değişikliğe yol açmıyorsa ancak belirli bir rastgele değişkenin başka bir istatistiksel özelliğinde bir değişikliğe yol açıyorsa, bu durumda böyle bir ilişki istatistiksel olmasına rağmen korelasyonel olarak kabul edilmez.
Korelasyon terimi ilk kez 18. yüzyılda Fransız paleontolog Georges Cuvier tarafından bilimsel kullanıma kazandırılmıştır. Canlıların parçalarının ve organlarının “korelasyon yasasını” geliştirdi; bunun yardımıyla fosil bir hayvanın görünümünü eski haline getirmenin mümkün olduğu, kalıntılarının yalnızca bir kısmını elinde bulundurdu. Korelasyon sözcüğü istatistikte ilk kez 19. yüzyılın sonlarında İngiliz biyolog ve istatistikçi Francis Galton tarafından kullanıldı.
Bazı korelasyon katsayıları pozitif veya negatif olabilir (örneğin, bağımsız rastgele değişkenler için istatistiksel bir ilişkinin olmaması da mümkündür). Değişkenlerin değerleri üzerinde kesin bir sıra ilişkisinin belirtildiği varsayılırsa, o zaman Negatif korelasyon- bir değişkendeki artışın başka bir değişkendeki azalmayla ilişkili olduğu ve korelasyon katsayısının negatif olabileceği korelasyon; pozitif korelasyon bu gibi durumlarda, bir değişkendeki artışın başka bir değişkendeki artışla ilişkili olduğu bir korelasyon ve korelasyon katsayısı pozitif olabilir.
Rastgele değişkenlerin ortalama değerleri
Öyleymiş gibi yapalım X– deney sonucunda değerleri alan ayrık rastgele değişken X 1 , X 2 ,…, xn olasılıklarla P 1 , P 2 ,…, pn, . Daha sonra ortalama değer veya değerin matematiksel beklentisi X miktar denir 
yani ağırlıkların olasılık olduğu X'in ağırlıklı ortalama değeri ben.
Örnek. Çok sayıda deneye dayanarak hata olasılığının sabit olduğu tespit edilirse, düzenleme hatası e'nin ortalama değerini belirleyin. ben eşittir:
| e, % | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 |
| ben | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,15 | 0,15 |
1. M[e] = 0,1×0,2 + 0,15×0,2 + 0,2×0,3 + 0,25×0,15 + 0,3×0,15 =
Bu durumda g( X) bir fonksiyondur X(ve bunun olasılığı X = x ben eşittir ben), o zaman fonksiyonun ortalama değeri şu şekilde tanımlanır:
Öyleymiş gibi yapalım X sürekli dağılıma sahip rastgele bir değişkendir ve olasılık yoğunluğu j( ile karakterize edilir. X). O halde X'in arasında olma olasılığı X Ve X+D X:
Bu durumda X'in değeri yaklaşık olarak şu değeri alır: X. D sınırında X® 0, D artışının olduğunu varsayabiliriz X sayısal olarak diferansiyel d'ye eşit X.
D'yi değiştirerek X=d X ortalama değeri hesaplamak için tam formülü elde ederiz X : 
Benzer şekilde g( X): 
Kural olarak bir rastgele değişkenin yalnızca ortalama değerini (matematiksel beklenti) bilmek yeterli değildir. Bir miktarın rastgelelik ölçüsünü değerlendirmek (belirli değerlerin yayılmasını değerlendirmek için) X matematiksel beklentiye göre M[X]) Rastgele bir değişkenin dağılımı kavramı tanıtıldı. Dağılım, X'in her bir spesifik değerinin matematiksel beklentiden kare sapmasının ortalama değeridir. Dağılım ne kadar büyük olursa, değerin matematiksel beklentiden yayılmasının rastgeleliği de o kadar büyük olur. Rasgele değişken kesikli ise, o zaman
Sürekli bir rastgele değişken için varyans benzer şekilde yazılabilir:
Dağılım, değerin yayılmasını iyi açıklamaktadır ancak bir dezavantajı vardır: boyut, boyuta karşılık gelmez X. Bu dezavantajdan kurtulmak için, genellikle belirli uygulamalarda, yalnızca pozitif bir değer olarak kabul edilirler. standart sapma.
1.3.2.1. Matematiksel beklentinin özellikleri
1. Rastgele olmayan bir değerin matematiksel beklentisi bu değerin kendisine eşittir M[C] = C.
2. Rastgele olmayan çarpan İLE matematiksel beklentinin bir işareti olarak alınabilir M[Müşteri Deneyimi] = SANTİMETRE.[X].
3. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, bu rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, bu değişkenlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir (rastgele değişkenlerin bağımsızlık koşulu).
1.3.2.2. Dispersiyon özellikleri
1. Rastgele olmayan bir miktarın dağılımı İLE sıfıra eşit: D[C]=0.
2. Rastgele olmayan bir çarpanın çarpımının varyansı İLE rastgele bir değişkenin çarpımına eşittir İLE Rastgele değişkenin varyansı için 2.
3. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı X 1 ve X 2 terimlerin varyanslarının toplamına eşittir
1.3.3. Rastgele bir değişkenin momentleri
İzin vermek X– sürekli rastgele değişken. Eğer n pozitif bir tam sayı ise ve fonksiyon X n, (–¥; +¥) aralığında integrallenebilirdir, ardından ortalama değer
n = 0, 1,…, N
isminde başlangıç anı n. dereceden rastgele değişken X.
Sıfır dereceli anın olduğu açıktır.
,
Ayrık bir olasılık uzayı üzerinde verilen bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi (ortalama değeri), serinin mutlak yakınsaması durumunda m =M[X]=∑x i p i sayısıdır.
Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(Örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri
- Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
- M=C M[X]
- Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
- Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.
Dispersiyon özellikleri
- Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
- Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma
Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilir; Her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.- Çiftleri birer birer çarpıyoruz: x i x p i .
- Her x i p i çiftinin çarpımını ekleyin.
Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Örnek No.1.
| x ben | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| ben | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematiksel beklentiyi m = ∑x i p ben formülünü kullanarak buluyoruz.
Beklenti M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Varyansı d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formülünü kullanarak buluyoruz.
Varyans D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart sapma σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Örnek No.2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Çözüm. a'nın değeri şu ilişkiden bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a , buradan a = 0,08
Örnek No. 3. Varyansı biliniyorsa, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirleyin ve x 1
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96
Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmamız gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 koşulunu sağlayanı seçin
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x1 =6; x2 =9; x3 =12; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
Beklenti, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır
Matematiksel beklenti, tanımı, kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi, örneklem, koşullu beklenti, hesaplama, özellikler, problemler, beklenti tahmini, dağılım, dağılım fonksiyonu, formüller, hesaplama örnekleri
İçeriği genişlet
İçeriği daralt
Matematiksel beklentinin tanımı
Rasgele bir değişkenin değerlerinin veya olasılıklarının dağılımını karakterize eden, matematiksel istatistik ve olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Teknik analizde, sayı serilerinin incelenmesinde, sürekli ve zaman alan süreçlerin incelenmesinde yaygın olarak kullanılır. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir ve kumar teorisinde stratejiler ve oyun taktikleri yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır.
Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı dikkate alınır.
Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin beklentisi X ile gösterilir M(x).
Matematiksel beklenti
Matematiksel beklenti olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.
Matematiksel beklenti bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.
Matematiksel beklenti Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.
Matematiksel beklenti Kumar teorisinde, bir oyuncunun her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumar dilinde buna bazen "oyuncunun avantajı" (eğer oyuncu için pozitifse) veya "ev avantajı" (eğer oyuncu için negatifse) denir.
Matematiksel beklenti kazanç başına kâr yüzdesinin ortalama kârla çarpımı, eksi kayıp olasılığı çarpı ortalama kayıp.
Matematik teorisinde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi
Bir rastgele değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri onun matematiksel beklentisidir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir dizi rastgele değişkeni ele alalım. Sistemin olası değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değeri için tanımlanan fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu fonksiyon herhangi bir olayın olasılığını hesaplamanızı sağlar. Özellikle rastgele değişkenlerin ve kümeden değer alan ortak dağılım yasası, olasılıklarla verilmektedir.
“Matematiksel beklenti” terimi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tarafından ortaya atılmış ve ilk olarak 17. yüzyılda Blaise Pascal ve Christiaan'ın eserlerinde kumar teorisinde ortaya çıkan “kazançların beklenen değeri” kavramından gelmektedir. Huygens. Ancak bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnuty Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından yapılmıştır.
Rastgele sayısal değişkenlerin dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri matematiksel beklenti, varyans, mod ve medyandır.
Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Bazen matematiksel beklentiye ağırlıklı ortalama denir, çünkü çok sayıda deneyde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.
Matematiksel beklentinin basit bir fiziksel anlamı vardır: Bir birim kütleyi düz bir çizgi üzerine yerleştirirseniz, belirli bir kütleyi bazı noktalara yerleştirirseniz (kesikli bir dağılım için) veya onu belirli bir yoğunlukla "yayarsanız" (kesinlikle sürekli bir dağılım için) , o zaman matematiksel beklentiye karşılık gelen nokta "ağırlık merkezi" koordinatının düz olması olacaktır.
Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".
Olasılık teorisinde bir konumun özelliklerinden en önemli rolü, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi oynar.
Rastgele değişkeni düşünün X, olası değerlere sahip x1, x2,…, xn olasılıklarla p1, p2,…, pn. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalamasının” kullanılması doğaldır. xi ve ortalama sırasında her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız X, belirttiğimiz M |X|:
Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematiksel beklenti kavramını dikkate aldık. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Xçok sayıda deneyde rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına tuhaf bir bağımlılıkla bağlanır. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır (olasılıkla yakınsar). Frekans ve olasılık arasındaki bir bağlantının varlığından, aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığı sonucu çıkarılabilir. Aslında rastgele değişkeni düşünün X, bir dağıtım serisiyle karakterize edilir:
Üretilsin N bağımsız deneyler; her birinde değer X belli bir değer alır. Diyelim ki değer x1 göründü m1 zamanlar, değer x2 göründü m2 zamanlar, genel anlam xi birkaç kez göründüm. Matematiksel beklentinin aksine X değerinin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. M|X| biz belirtiyoruz M*|X|:
Artan deney sayısıyla N frekanslar pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M|X| Deney sayısının artmasıyla matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılık açısından yakınlaşacaktır). Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur.
Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve dengelenerek sabit bir değere - matematiksel beklentiye - yaklaşır.
Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi hassas terazide tartarken, tartma sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.
Bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentiye sahiptir.
Pratikte bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, bazen konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele değişkenin modu ve medyanı kullanılır.
Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Şekiller sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.
Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma "multimodal" dağılım denir.
Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir.
Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.
Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin çevrelediği alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir.
Simetrik modal dağılım durumunda medyan, matematiksel beklenti ve mod ile örtüşür.
Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir; bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal bir özelliğidir. En genel anlamda bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır R orijinal olasılık uzayında:
Matematiksel beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. X olasılık dağılımına göre piksel miktarları X:
Sonsuz matematiksel beklentiye sahip rastgele değişken kavramı doğal bir şekilde tanımlanabilir. Tipik bir örnek, bazı rastgele yürüyüşlerin geri dönüş süreleridir.
Matematiksel beklenti kullanılarak, bir dağılımın birçok sayısal ve işlevsel özelliği belirlenir (rastgele bir değişkenin karşılık gelen fonksiyonlarının matematiksel beklentisi olarak), örneğin üretme işlevi, karakteristik işlev, herhangi bir mertebeden momentler, özellikle dağılım, kovaryans .
Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağıtım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin (kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatı) rolüne benzer. Dağılımın genel terimlerle (medyanlar, modlar) tanımlandığı konumun diğer özelliklerinden, matematiksel beklenti, olasılık teorisinin limit teoremlerinde kendisinin ve karşılık gelen saçılma özelliğinin - dağılım - sahip olduğu daha büyük değerde farklılık gösterir. Matematiksel beklentinin anlamı en iyi şekilde büyük sayılar yasası (Chebyshev eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası ile ortaya çıkar.
Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
Birkaç sayısal değerden birini alabilen bir rastgele değişken olsun (örneğin, zar atıldığında puan sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Pratikte genellikle böyle bir değer için şu soru ortaya çıkar: Çok sayıda testle "ortalama olarak" hangi değeri alır? Riskli işlemlerin her birinden ortalama gelirimiz (veya kaybımız) ne olacak?
Diyelim ki bir çeşit piyango var. Katılmanın (hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dört biletten biri kazanan, ödül 300 ruble, herhangi bir biletin fiyatı ise 100 ruble olacak. Sonsuz sayıda katılımla olan şey budur. Kaybedeceğimiz vakaların dörtte üçünde her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir katılım için ortalama 25 ruble kaybediyoruz. Toplamda harabemizin ortalama ücreti bilet başına 25 ruble olacak.
Zarları atıyoruz. Hile değilse (ağırlık merkezini kaydırmadan vb.), o zaman bir seferde ortalama kaç puanımız olacak? Her seçeneğin olasılığı eşit olduğundan, aritmetik ortalamayı alıp 3,5 elde ederiz. Bu ORTALAMA olduğundan, belirli bir atışın 3,5 puan vermeyeceğine kızmaya gerek yok - bu küpün böyle bir sayıya sahip bir yüzü yok!
Şimdi örneklerimizi özetleyelim:
Şimdi verilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımını gösteren bir tablo var. X değeri n olası değerden birini alabilir (en üst satırda gösterilir). Başka bir anlamı olamaz. Olası her değerin altında olasılığı aşağıda yazılmıştır. Sağda M(X)'in matematiksel beklenti olarak adlandırıldığı formül bulunmaktadır. Bu değerin anlamı, çok sayıda testle (büyük bir örneklemle) ortalama değerin aynı matematiksel beklentiye yöneleceğidir.
Tekrar aynı oyun küpüne dönelim. Atış sırasındaki puan sayısının matematiksel beklentisi 3,5'tir (bana inanmıyorsanız formülü kullanarak kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. Sonuçlar 4 ve 6 oldu. Ortalama 5 oldu, bu da 3,5'un çok uzağında. Bir kez daha attılar, 3 aldılar, yani ortalama (4+6+3)/3 = 4.3333... Matematiksel beklentinin biraz uzağında. Şimdi çılgın bir deney yapın; küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3,5 olmasa bile ona yakın olacaktır.
Yukarıda anlatılan piyango için matematiksel beklentiyi hesaplayalım. Plaka şöyle görünecek:
O zaman matematiksel beklenti yukarıda belirlediğimiz gibi olacaktır:
Başka bir şey de, daha fazla seçenek olsaydı, bunu formül olmadan "parmaklarda" yapmanın zor olacağıdır. Diyelim ki %75'i kaybedilen biletler, %20'si kazanan biletleri ve %5'i özellikle kazanan biletleri olacaktır.
Şimdi matematiksel beklentinin bazı özellikleri.
Bunu kanıtlamak kolaydır:
Sabit faktör matematiksel beklentinin bir işareti olarak çıkarılabilir, yani:
Bu, matematiksel beklentinin doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.
Matematiksel beklentinin doğrusallığının bir başka sonucu:
yani rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, Daha sonra:
Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi bir rastgele değişkendir ve eğer başlangıç değerleri alınabilirse N Ve M buna göre değerler, o zaman XY nm değerlerini alabilir. Her bir değerin olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması esasına göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz:
Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi
Sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) gibi bir özelliği vardır. Temel olarak, rastgele bir değişkenin gerçek sayılar kümesinden bazı değerleri daha sık, bazılarını ise daha az alması durumunu karakterize eder. Örneğin şu grafiği düşünün:
Burada X- gerçek rastgele değişken, f(x)- dağıtım yoğunluğu. Bu grafiğe bakılırsa, deneyler sırasında değer X genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. Şanslar aşıldı 3 veya daha küçük ol -3 oldukça tamamen teorik.
Örneğin, düzgün bir dağılım olsun:
Bu sezgisel anlayışla oldukça tutarlıdır. Diyelim ki, eğer tekdüze bir dağılıma sahip çok sayıda rastgele gerçek sayı alırsak, segmentlerin her biri |0; 1| o zaman aritmetik ortalama yaklaşık 0,5 olmalıdır.
Ayrık rastgele değişkenler için geçerli olan matematiksel beklenti özellikleri - doğrusallık vb. burada da geçerlidir.
Matematiksel beklenti ile diğer istatistiksel göstergeler arasındaki ilişki
İstatistiksel analizde, matematiksel beklentinin yanı sıra, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan birbirine bağlı göstergeler sistemi vardır. Varyasyon göstergelerinin çoğunlukla bağımsız bir anlamı yoktur ve daha ileri veri analizi için kullanılır. Bunun istisnası, değerli bir istatistiksel özellik olan, verilerin homojenliğini karakterize eden varyasyon katsayısıdır.
İstatistik biliminde süreçlerin değişkenlik veya kararlılık derecesi çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.
Bir rastgele değişkenin değişkenliğini karakterize eden en önemli gösterge Dağılım matematiksel beklentiyle en yakından ve doğrudan ilişkili olandır. Bu parametre diğer istatistiksel analiz türlerinde (hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi vb.) aktif olarak kullanılır. Ortalama doğrusal sapma gibi varyans da verilerin ortalama değer etrafındaki yayılma boyutunu yansıtır.
İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Dağılımın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Sihirli "dağılım" kelimesinin cevabı sadece üç kelimede yatıyor.
Ancak aritmetik ortalama veya indeks gibi saf haliyle dağılım kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir.
Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?
Veya zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti Mx. Bu durumda Mx = 3,5.
Bu değeri nasıl elde ettiniz? Bırak girsin N testler n1 1 puan aldığınızda, n2 bir kez - 2 puan vb. Daha sonra bir puanın düştüğü sonuçların sayısı:
Benzer şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığında elde edilen sonuçlar için de geçerlidir.
Şimdi x rastgele değişkeninin dağılım yasasını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2, ..., olasılıklarıyla x1, x2, ..., xk değerlerini alabileceğini bildiğimizi varsayalım. pk.
Bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi Mx şuna eşittir:
Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Bu nedenle, ortalama maaşı tahmin etmek için medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha büyük olduğu bir değeri kullanmak daha mantıklı olacaktır.
Rastgele değişken x'in x1/2'den küçük olma olasılığı p1 ile rastgele değişken x'in x1/2'den büyük olma olasılığı p2 aynı ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz olarak belirlenmemektedir.
Standart veya Standart Sapma istatistikte gözlemsel veri veya kümelerin ORTALAMA değerinden sapma derecesine denir. S veya s harfleriyle gösterilir. Küçük bir standart sapma, verilerin ortalamanın etrafında kümelendiğini gösterirken, büyük bir standart sapma, başlangıç verilerinin ortalamadan uzakta bulunduğunu gösterir. Standart sapma, varyans adı verilen bir miktarın kareköküne eşittir. Ortalama değerden sapan başlangıç verilerinin kare farklarının toplamının ortalamasıdır. Bir rastgele değişkenin standart sapması varyansın kareköküdür:
Örnek. Test koşulları altında bir hedefe ateş ederken rastgele değişkenin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:
varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine değerlerin varyantları denir. Ortalama değerin popülasyonu tam olarak karakterize etmedeki yetersizliği, bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar. Değişim katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin maksimum değerleri arasındaki farkı gösterdiğinden, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında en genel fikri verir. Bir özelliğin uç değerlerine bağımlılık, varyasyonun kapsamına kararsız, rastgele bir karakter kazandırır.
Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modülo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:
Kumar teorisinde matematiksel beklenti
Matematiksel beklenti Bir kumarbazın belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu oyuncu için çok önemli bir kavramdır çünkü çoğu oyun durumunun değerlendirilmesinde temeldir. Matematiksel beklenti aynı zamanda temel kart düzenlerini ve oyun durumlarını analiz etmek için de en uygun araçtır.
Diyelim ki bir arkadaşınızla jetonlu bir oyun oynuyorsunuz ve ne olursa olsun her seferinde eşit miktarda 1$ bahis koyuyorsunuz. Yazı kazandığınız, tura kaybettiğiniz anlamına gelir. Yazının gelme ihtimali bire birdir, bu yüzden 1 ila 1 dolar arasında bahis oynarsınız. Dolayısıyla matematiksel beklentiniz sıfırdır çünkü Matematiksel açıdan bakıldığında, iki atıştan sonra mı yoksa 200 atıştan sonra mı önde olacağınızı ya da kaybedeceğinizi bilemezsiniz.
Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saatte 500 kez yazı tura atabilirsiniz ama kazanamazsınız ya da kaybedemezsiniz çünkü... şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir oyuncu açısından baktığınızda bu bahis sistemi fena değil. Ancak bu sadece zaman kaybıdır.
Ancak diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'ınıza karşı 2$ bahis oynamak istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. Neden 50 sent? Ortalama olarak bir bahis kazanırsınız ve ikincisini kaybedersiniz. İlk dolara bahis yaparsanız 1 $ kaybedersiniz, ikinciye bahis yaparsanız 2 $ kazanırsınız. İki kez 1$ bahis oynarsınız ve 1$ önde olursunuz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 sent kazandırdı.
Bir saat içinde bir jeton 500 kez ortaya çıkarsa saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü... Ortalama olarak 250 kez bir dolar kaybettiniz ve 250 kez iki dolar kazandınız. 500$ eksi 250$ eşittir 250$, bu da toplam kazançtır. Bahis başına kazandığınız ortalama miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. Bir dolara 500 kez bahis oynayarak 250 dolar kazandınız, bu da bahis başına 50 sente eşittir.
Matematiksel beklentinin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahis oynamaya karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajına sahip olduğunuzdan, diğer her şey eşit olduğunda, herhangi bir 1$'lık bahisten 50 sent kazanacaksınız. durumlar. Masrafları rahatça karşılamaya yetecek kadar paranız olduğu sürece, bir veya birden fazla bahis kazanmanız veya kaybetmeniz hiç fark etmez. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, uzun bir süre boyunca kazancınız bireysel bahislerdeki beklentilerin toplamına yaklaşacaktır.
En iyi bahisi (uzun vadede kârlı olabilecek bir bahis) her yaptığınızda, oranlar lehinize olduğunda, kaybetseniz de kaybetmeseniz de, bu bahisten bir şeyler kazanmanız kaçınılmazdır. el verildi. Tersine, eğer şanslar aleyhinizeyken zayıf bir bahis (uzun vadede kârsız olan bir bahis) yaparsanız, eli kazansanız da kaybetseniz de bir şeyler kaybedersiniz.
Beklentiniz olumlu ise en iyi sonuca sahip bir bahis oynarsınız ve oranlar sizin tarafınızdaysa olumludur. En kötü sonuçla bahis oynadığınızda, olumsuz bir beklentiye sahip olursunuz ve bu da oranlar aleyhinize olduğunda ortaya çıkar. Ciddi oyuncular yalnızca en iyi sonuç üzerine bahis oynarlar; en kötü sonuç olursa pas geçerler. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanmanız mümkündür. Gerçek tura gelme ihtimali 1'e 1'dir, ancak oran oranı nedeniyle 2'ye 1 elde edersiniz. Bu durumda ihtimaller sizin lehinizedir. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklentiyle kesinlikle en iyi sonucu alırsınız.
İşte matematiksel beklentinin daha karmaşık bir örneği. Bir arkadaşınız birden beşe kadar sayıları yazıyor ve sizin bu sayıyı tahmin edemeyeceğinize dair 1 dolarınıza karşılık 5 dolar bahse giriyor. Böyle bir iddiayı kabul etmeli misiniz? Buradaki beklenti nedir?
Ortalama olarak dört kez yanılacaksınız. Buna dayanarak, sayıyı tahmin etme ihtimaliniz 4'e 1'dir. Tek denemede bir dolar kaybetme ihtimaliniz. Ancak, 5'e 1 kazanırsınız ve 4'e 1 kaybetme ihtimaliniz de vardır. Yani oranlar sizin lehinizedir, bahisi kabul edebilir ve en iyi sonucu umabilirsiniz. Bu bahsi beş kez yaparsanız, ortalama olarak dört kez 1$ kaybedersiniz ve bir kez 5$ kazanırsınız. Buna dayanarak, beş denemenin tümü için, bahis başına 20 sentlik pozitif matematiksel beklentiyle 1 $ kazanacaksınız.
Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanacak olan oyuncu şansını denemektedir. Tam tersine, bahse girdiğinden daha az kazanmayı umarak şansını mahveder. Bir bahisçinin olumlu ya da olumsuz bir beklentisi olabilir, bu da kazanma ya da kazanma şansına bağlıdır.
Eğer 4'e 1 kazanma şansıyla 10$ kazanmak için 50$ bahis oynarsanız, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz çünkü Ortalama olarak dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 50$ kaybedersiniz, bu da bahis başına kaybın 10$ olacağını gösterir. Ancak 10$ kazanmak için 30$ bahis oynarsanız ve 4'e 1 kazanma ihtimaliniz aynıysa, o zaman bu durumda 2$'lık pozitif bir beklentiniz olur, çünkü yine dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 30$ kaybedersiniz ve 10$ kar elde edersiniz. Bu örnekler ilk bahsin kötü, ikincisinin ise iyi olduğunu göstermektedir.
Matematiksel beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezinde yer alır. Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10$ kazanmak için 11$ bahis yapmaya teşvik ettiğinde, her 10$ için 50 sentlik olumlu bir beklentiye sahiptir. Eğer kumarhane barbutta geçiş hattından eşit miktarda para ödüyorsa, o zaman kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$ olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiye bahis yapan herkesin ortalama %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünya çapındaki kumarhane sahiplerine muazzam karlar getiren şey, görünüşte asgari düzeyde olan bu olumlu beklentidir. Vegas World kumarhanesinin sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, "yeterince uzun bir mesafede yüzde birin binde biri negatif olasılık, dünyanın en zengin adamını mahvedecektir."
Poker oynarken beklenti
Poker oyunu, matematiksel beklenti teorisi ve özelliklerinin kullanılması açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.
Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu her zaman olumlu beklenen değere sahip hamleleri kabul etmektir.
Poker oynarken matematiksel beklentinin matematiksel anlamı, karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki bahis turlarında hangi kartların geleceğini bilmiyoruz). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örnekle, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisine yöneleceğini belirten büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.
Matematiksel beklentiyi hesaplamaya yönelik özel formüller arasında aşağıdakiler pokerde en uygulanabilir olanıdır:
Poker oynarken hem bahisler hem de çağrılar için beklenen değer hesaplanabilir. İlk durumda kat özsermayesi, ikincisinde ise bankanın kendi oranları dikkate alınmalıdır. Belirli bir hamlenin matematiksel beklentisini değerlendirirken, pasın her zaman sıfır beklentisi olduğunu unutmamalısınız. Bu nedenle kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hamleden daha karlı bir karar olacaktır.
Beklenti, riske attığınız her dolar için ne bekleyebileceğinizi (kar veya zarar) anlatır. Kumarhaneler para kazanır çünkü içlerinde oynanan tüm oyunların matematiksel beklentisi kumarhanenin lehinedir. Yeterince uzun bir oyun serisiyle müşterinin parasını kaybetmesini bekleyebilirsiniz, çünkü "olasılıklar" kumarhanenin lehinedir. Bununla birlikte, profesyonel casino oyuncuları oyunlarını kısa sürelerle sınırlandırır, böylece şanslar kendi lehlerine artar. Aynı şey yatırım için de geçerli. Eğer beklentiniz olumlu ise kısa sürede çok sayıda işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. Beklenti, kazanç başına kar yüzdenizin ortalama kârınızla çarpımı, eksi kayıp olasılığınızın ortalama kaybınızla çarpımıdır.
Poker aynı zamanda matematiksel beklenti açısından da değerlendirilebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için bu en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı pokerde tam bir sayıya ulaştınız. Rakibiniz bir bahis yapar. Bahsi artırırsanız karşılık vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle yükseltme en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız kalan iki oyuncu kesinlikle pas geçecektir. Ancak ararsanız arkanızdaki diğer iki oyuncunun da aynısını yapacağına güveniniz tamdır. Bahsinizi arttırdığınızda bir birim, sadece gördüğünüzde ise iki birim alırsınız. Bu nedenle, aramak size daha yüksek bir olumlu beklenen değer verir ve en iyi taktik olacaktır.
Matematiksel beklenti aynı zamanda hangi poker taktiklerinin daha az karlı, hangilerinin daha karlı olduğu konusunda da fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynuyorsanız ve kaybınızın ante dahil ortalama 75 sent olacağını düşünüyorsanız o eli oynamalısınız çünkü Bu, bahis tutarı 1$ olduğunda pas geçmekten daha iyidir.
Beklenen değer kavramını anlamanın bir diğer önemli nedeni, bahsi kazansanız da kazanmasanız da size gönül rahatlığı vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya doğru zamanda pas geçtiyseniz, kazandığınızı veya kazandığınızı bileceksiniz. zayıf oyuncunun biriktiremeyeceği bir miktar para biriktirdi. Rakibiniz daha güçlü bir el çektiği için üzülürseniz pas geçmeniz çok daha zordur. Tüm bunlarla birlikte bahis yerine oynamayarak tasarruf ettiğiniz para, gece veya ay boyunca kazancınıza eklenir.
Elinizi değiştirseniz rakibinizin sizi çağıracağını unutmayın ve Pokerin Temel Teoremi makalesinde de göreceğiniz gibi bu, avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu gerçekleştiğinde mutlu olmalısınız. Hatta bir eli kaybetmenin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz çünkü sizin konumunuzdaki diğer oyuncuların çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.
Başta jeton oyunu örneğinde de bahsettiğimiz gibi saatlik kar oranı matematiksel beklenti ile bağlantılıdır ve bu kavram özellikle profesyonel oyuncular için önemlidir. Poker oynamaya gittiğinizde, bir saatlik oyunda ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda sezgilerinize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecektir, ancak biraz matematikten de yararlanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10$ bahis oynadığını ve ardından iki kart takas ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10$ bahis oynadıklarında yaklaşık 2$ kaybettiklerini anlayabilirsiniz. Her biri bunu saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Yaklaşık olarak eşit olan geri kalan dört oyuncudan birisiniz, dolayısıyla bu dört oyuncunun (ve aralarında sizin de) her biri saatte 12 $ kar elde edecek şekilde 48 $'ı bölmesi gerekir. Bu durumda saatlik şansınız, üç kötü oyuncunun bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınıza eşittir.
Uzun bir süre boyunca oyuncunun toplam kazancı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kazanırsınız ve tam tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak saatlik kazancınızı maksimuma çıkarabilmeniz için olumlu beklentinizi maksimuma çıkarabilecek veya olumsuz beklentinizi boşa çıkarabilecek bir oyun seçmelisiniz.
Oyun stratejisinde olumlu matematiksel beklenti
Kart saymayı biliyorsanız, sizi fark edip dışarı atmadıkları sürece kumarhaneye göre avantajlı olabilirsiniz. Kumarhaneler sarhoş oyuncuları sever ve kart sayma oyuncularına tolerans göstermez. Bir avantaj, zaman içinde kaybettiğinizden daha fazla kazanmanıza olanak tanır. Beklenen değer hesaplamalarını kullanan iyi para yönetimi, avantajınızdan daha fazla kâr elde etmenize ve kayıplarınızı azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantajınız yoksa parayı hayır kurumuna vermeniz daha iyi olur. Borsadaki oyunda kayıplardan, fiyat farklarından ve komisyonlardan daha fazla kazanç sağlayan oyun sistemi sayesinde avantaj sağlanıyor. Hiçbir para yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtaramaz.
Pozitif beklenti sıfırdan büyük bir değer olarak tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa istatistiksel beklenti de o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse matematiksel beklenti de negatif olacaktır. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfırsa, bekleme başa baş demektir. Ancak olumlu bir matematiksel beklentiniz ve makul bir oyun sisteminiz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgilerle oynamak felakete yol açar.
Matematiksel beklenti ve hisse senedi ticareti
Matematiksel beklenti, finansal piyasalarda döviz ticareti yapılırken oldukça yaygın olarak kullanılan ve popüler bir istatistiksel göstergedir. Öncelikle bu parametre ticaretin başarısını analiz etmek için kullanılır. Bu değer ne kadar yüksek olursa, incelenen ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar çok neden olduğunu tahmin etmek zor değil. Elbette bir yatırımcının çalışmalarının analizi tek başına bu parametre kullanılarak gerçekleştirilemez. Bununla birlikte, hesaplanan değer, işin kalitesini değerlendirmenin diğer yöntemleriyle birlikte analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.
Matematiksel beklenti genellikle ticari hesap izleme hizmetlerinde hesaplanır ve bu, para yatırma işleminde gerçekleştirilen işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar arasında "uzakta" kâr getirmeyen alım satımları kullanan stratejiler yer alır. Bir tüccar bir süreliğine şanslı olabilir ve bu nedenle işinde hiç kayıp olmayabilir. Bu durumda çalışmada kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece matematiksel beklentiye göre yönlendirmek mümkün olmayacaktır.
Piyasa ticaretinde, matematiksel beklenti çoğunlukla herhangi bir ticaret stratejisinin kârlılığını tahmin ederken veya bir tüccarın önceki ticaretinden elde edilen istatistiksel verilere dayanarak gelirini tahmin ederken kullanılır.
Para yönetimine gelince, olumsuz beklentilerle işlem yaparken kesinlikle yüksek kar getirebilecek bir para yönetimi planının olmadığını anlamak çok önemlidir. Bu koşullar altında borsada oynamaya devam ederseniz, paranızı nasıl yönetirseniz yönetin, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun hesabınızın tamamını kaybedersiniz.
Bu aksiyom yalnızca olumsuz beklentili oyunlar veya işlemler için değil, aynı zamanda eşit şansa sahip oyunlar için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede kar elde etme şansınızın olduğu tek zaman pozitif beklenen değere sahip işlemler yapmanızdır.
Olumsuz beklenti ile olumlu beklenti arasındaki fark yaşamla ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da ne kadar olumsuz olduğu önemli değil; Önemli olan olumlu mu olumsuz mu olduğudur. Bu nedenle para yönetimini düşünmeden önce olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısınız.
Eğer o oyuna sahip değilseniz, o zaman dünyadaki tüm para yönetimi sizi kurtaramayacaktır. Öte yandan olumlu bir beklentiniz varsa, doğru para yönetimiyle bunu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşmeye dayalı bir ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. İşlem başına sözleşme başına 10$ kazanan bir sisteminiz varsa (komisyonlar ve kaymalardan sonra), işlem başına ortalama 1.000$ kazanan bir sistemden (komisyonlar ve kaymalar düşüldükten sonra) daha karlı hale getirmek için para yönetimi tekniklerini kullanabilirsiniz.
Önemli olan sistemin ne kadar kârlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kâr göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle bir yatırımcının yapabileceği en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir beklenen değer göstermesini sağlamaktır.
Gelecekte pozitif bir beklenen değere sahip olmak için sisteminizin serbestlik derecelerini sınırlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametrelerin sayısının ortadan kaldırılması veya azaltılmasıyla değil, aynı zamanda mümkün olduğu kadar çok sistem kuralının azaltılmasıyla da sağlanır. Eklediğiniz her parametre, koyduğunuz her kural, sisteme yaptığınız her küçük değişiklik, serbestlik derecesi sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazarda sürekli olarak küçük karlar üretecek oldukça ilkel ve basit bir sistem kurmanız gerekir. Tekrar belirtmek isterim ki sistemin karlı olduğu sürece ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. Ticarette kazandığınız para, etkili para yönetimi sayesinde kazanılacaktır.
Bir ticaret sistemi, para yönetimini kullanabilmeniz için size pozitif bir beklenen değer veren bir araçtır. Yalnızca bir veya birkaç pazarda çalışan (en azından minimum kar gösteren) veya farklı pazarlar için farklı kurallara veya parametrelere sahip olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak yeterince uzun süre çalışmayacaktır. Teknik odaklı yatırımcıların çoğunun sorunu, ticaret sisteminin çeşitli kurallarını ve parametre değerlerini optimize etmek için çok fazla zaman ve çaba harcamalarıdır. Bu tamamen zıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin kârını artırmak için enerjinizi ve bilgisayar zamanınızı boşa harcamak yerine, enerjinizi minimum kâr elde etmenin güvenilirlik düzeyini artırmaya yönlendirin.
Para yönetiminin yalnızca olumlu beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunu olduğunu bilen bir tüccar, hisse senedi ticaretinin "kutsal kasesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu, olumlu beklentiler verip vermediğini öğrenebilir. Herhangi bir, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine uygulanan uygun para yönetimi yöntemleri, işin geri kalanını kendileri halledecektir.
Herhangi bir yatırımcının işinde başarılı olması için en önemli üç görevi yerine getirmesi gerekir: . Başarılı işlem sayısının kaçınılmaz hata ve yanlış hesaplamalardan fazla olmasını sağlamak; Ticaret sisteminizi mümkün olduğunca sık para kazanma fırsatına sahip olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızdan istikrarlı ve olumlu sonuçlar elde edin.
Ve burada biz çalışan tüccarlar için matematiksel beklenti çok yardımcı olabilir. Bu terim olasılık teorisindeki anahtar terimlerden biridir. Onun yardımıyla, bazı rastgele değerlerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Olası tüm olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal ederseniz, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ağırlık merkezine benzer.
Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, kârın (veya zararın) matematiksel beklentisi çoğunlukla stratejinin etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirli kar ve zarar seviyelerinin çarpımlarının toplamı ve bunların oluşma olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm işlemlerin %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalan %63'ünün kârsız olacağını varsaymaktadır. Aynı zamanda başarılı bir işlemden elde edilecek ortalama gelir 7$, ortalama kayıp ise 1,4$ olacaktır. Bu sistemi kullanarak ticaretin matematiksel beklentisini hesaplayalım:
Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama 1.708$ alacağımızı söylüyor. Ortaya çıkan verimlilik derecesi sıfırdan büyük olduğundan böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Hesaplama sonucunda matematiksel beklenti negatif çıkarsa, bu zaten ortalama bir kaybı gösterir ve bu tür bir ticaret yıkıma yol açacaktır.
İşlem başına kazanç miktarı % şeklinde göreceli bir değer olarak da ifade edilebilir. Örneğin:
– 1 işlem başına gelir yüzdesi - %5;
– başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi - %62;
– 1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;
– başarısız işlemlerin yüzdesi – %38;
Yani ortalama ticaret %1,96 getirecek.
Kârsız ticaretlerin baskın olmasına rağmen MO>0 olduğundan olumlu sonuç üretecek bir sistem geliştirmek mümkündür.
Ancak tek başına beklemek yeterli değildir. Sistem çok az işlem sinyali verirse para kazanmak zordur. Bu durumda karlılığı banka faiziyle karşılaştırılabilir olacaktır. Her operasyon ortalama sadece 0,5 dolar üretsin ama sistem yılda 1000 operasyon içeriyorsa ne olur? Bu, nispeten kısa bir süre içinde çok önemli bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak, iyi bir ticaret sisteminin bir diğer ayırt edici özelliğinin, kısa süreli pozisyon tutma olarak değerlendirilebileceği sonucu çıkar.
Kaynaklar ve bağlantılar
dic.academic.ru – akademik çevrimiçi sözlük
math.ru – matematik alanında eğitici web sitesi
nsu.ru - Novosibirsk Devlet Üniversitesi'nin eğitim web sitesi
webmath.ru öğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için bir eğitim portalıdır.
expponenta.ru eğitici matematik web sitesi
ru.tradimo.com – ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu
crypto.hut2.ru – multidisipliner bilgi kaynağı
poker-wiki.ru – ücretsiz poker ansiklopedisi
sernam.ru – Seçilmiş doğa bilimleri yayınlarından oluşan bilimsel kütüphane
reshim.su – web sitesi Test ödevi sorunlarını çözeceğiz
unfx.ru – UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi
slovopedia.com – Büyük Ansiklopedik Sözlük Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasındaki rehberiniz
statanaliz.info – bilgi blogu “İstatistiksel veri analizi”
forex-trader.rf – Forex-Trader portalı
megafx.ru – güncel Forex analizleri
fx-by.com – bir yatırımcı için her şey
– 10 yeni doğan bebekteki erkek çocukların sayısı.
Bu sayının önceden bilinmediği kesinlikle açıktır ve doğacak sonraki on çocuk şunları içerebilir:
Veya çocuklar - bir ve tek listelenen seçeneklerden.
Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:
– uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).
Bunu bir spor ustası bile tahmin edemez :)
Ancak hipotezleriniz?
2) Sürekli rastgele değişken – kabul eder Tüm bazı sonlu veya sonsuz aralıktaki sayısal değerler.
Not : DSV ve NSV kısaltmaları eğitim literatüründe popülerdir
İlk önce ayrık rastgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman yasa bir tabloda yazılır: 
Terim oldukça sık karşımıza çıkıyor sıra
dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu yüzden "yasaya" bağlı kalacağım.
Ve şimdi çok önemli bir nokta: rastgele değişkenden beri mutlaka kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve bunların meydana gelme olasılıklarının toplamı bire eşittir:
veya özet olarak yazılmışsa:
Örneğin, bir zarın üzerine atılan noktaların olasılık dağılımı yasası aşağıdaki biçimdedir: 
Yorum yok.
Ayrık bir rastgele değişkenin yalnızca "iyi" tam sayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. Bu yanılsamayı ortadan kaldıralım; her şey olabilirler:
örnek 1
Bazı oyunlarda aşağıdaki kazanan dağıtım yasası vardır: 
...muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyordunuz :) Size bir sır vereceğim; ben de. Özellikle çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.
Çözüm: Bir rastgele değişken üç değerden yalnızca birini alabildiğinden, karşılık gelen olaylar oluşur tam grup Bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir: 
“Partizanı” ifşa etmek: 
– dolayısıyla konvansiyonel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.
Kontrol: Emin olmamız gereken şey buydu.
Cevap:
Kendi başınıza bir dağıtım kanunu hazırlamanız gerekmesi alışılmadık bir durum değildir. Bunun için kullanıyorlar olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma/toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:
Örnek 2
Kutuda 12'si kazanan, 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - her biri 100 ruble olmak üzere 50 piyango bileti bulunuyor. Rastgele bir değişkenin dağıtımı için bir yasa hazırlayın - eğer kutudan rastgele bir bilet çekilirse kazancın büyüklüğü.
Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerleri genellikle artan sırada. Bu nedenle en küçük kazançlarla yani ruble ile başlıyoruz.
Toplamda bu tür 50 bilet var - 12 = 38 ve buna göre klasik çözünürlüklü:
– rastgele çekilen bir biletin kaybetme olasılığı.
Diğer durumlarda her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:
Kontrol edin: – ve bu, bu tür görevlerin özellikle keyifli bir anıdır!
Cevap: Kazançların dağıtımında arzu edilen yasa: 
Aşağıdaki görev kendi başınıza çözmeniz içindir:
Örnek 3
Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.
...onu özlediğini biliyordum :) Hatırlayalım çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Dağıtım kanunu tamamen bir rastgele değişkeni tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek faydalı olabilir (ve bazen daha faydalı olabilir) sayısal özellikler .
Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
Basit bir ifadeyle bu ortalama beklenen değer Test birçok kez tekrarlandığında. Rastgele değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin 
sırasıyla. O zaman bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: ürünlerin toplamı tüm değerleri karşılık gelen olasılıklara göre:
veya çöktü: 
Örneğin, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, yani bir zarın üzerine atılan puan sayısını hesaplayalım:
Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım: 
Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak hiç karlı mı? ...kimlerin izlenimi var? Yani bunu “hazırlıksız” söyleyemezsiniz! Ancak bu soru matematiksel beklentinin hesaplanmasıyla kolaylıkla cevaplanabilir: ağırlıklı ortalama kazanma olasılığına göre:
Dolayısıyla bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.
Gösterimlerinize güvenmeyin; sayılara güvenin!
Evet burada 10 hatta 20-30 kez üst üste kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz bir yıkım bizi bekliyor. Ve sana bu tür oyunlar oynamanı tavsiye etmem :) Peki, belki sadece eğlence için.
Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin artık RASTGELE bir değer olmadığı sonucu çıkmaktadır.
Bağımsız araştırma için yaratıcı görev:
Örnek 4
Bay X, Avrupa ruletini aşağıdaki sistemi kullanarak oynuyor: "kırmızı" üzerine sürekli olarak 100 ruble bahis oynuyor. Rastgele bir değişkenin kazançlarının dağılım yasasını çizin. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve bunu en yakın kopeğe yuvarlayın. Kaç tane ortalama Oyuncu bahis oynadığı her yüz için kaybeder mi?
Referans : Avrupa ruletinde 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (“sıfır”) bulunur. Eğer “kırmızı” görünürse, oyuncuya bahsin iki katı ödeme yapılır, aksi halde bahis kumarhanenin gelirine gider.
Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi de vardır. Ancak herhangi bir dağıtım kanununa veya tablosuna ihtiyacımız olmadığında durum böyledir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak tespit edilmiştir. Sistemden sisteme değişen tek şey
