Pisanje pogojev problemov z uporabo zapisov, sprejetih v matematiki, vodi do pojava tako imenovanih matematičnih izrazov, ki jih preprosto imenujemo izrazi. V tem članku bomo podrobno govorili o številčno, dobesedni izrazi in izrazi s spremenljivkami: podali bomo definicije in podali primere izrazov vsake vrste.
Navigacija po straneh.
Številski izrazi - kaj so?
Spoznavanje številskih izrazov se začne skoraj od prvih lekcij matematike. Vendar uradno pridobijo svoje ime - številski izrazi - malo kasneje. Na primer, če sledite tečaju M. I. Moro, se to zgodi na straneh učbenika matematike za 2 razreda. Tam je ideja o številskih izrazih podana na naslednji način: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 itd. - to je vse številski izrazi, in če izvedemo navedena dejanja v izrazu, bomo našli vrednost izraza.
Sklepamo lahko, da so na tej stopnji študija matematike številski izrazi zapisi z matematičnim pomenom, sestavljeni iz številk, oklepajev ter znakov za seštevanje in odštevanje.
Nekoliko kasneje, po seznanitvi z množenjem in deljenjem, začnejo zapisi številskih izrazov vsebovati znaka "·" in ":". Navedimo nekaj primerov: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 itd.
In v srednji šoli raznolikost zapisov številskih izrazov raste kot snežna kepa, ki se vali z gore. Vsebujejo navadne in decimalke, mešana števila in negativna števila, potence, korene, logaritme, sinuse, kosinuse itd.
Povzemimo vse informacije v definicijo številskega izraza:
Opredelitev.
Številski izraz - je kombinacija številk, znakov aritmetične operacije, ulomke, korenski znaki (radikali), logaritmi, zapisi za trigonometrične, inverzne trigonometrične in druge funkcije, pa tudi oklepaji in drugi posebni matematični simboli, sestavljeni v skladu s pravili, sprejetimi v matematiki.
Razložimo vse sestavine navedene definicije.
Številski izrazi lahko vključujejo popolnoma poljubna števila: od naravnih do realnih in celo kompleksnih. Se pravi, v številskih izrazih lahko najdemo
Z znaki aritmetičnih operacij je vse jasno - to so znaki seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, ki imajo obliko "+", "−", "·" in ":". Številski izrazi lahko vsebujejo enega od teh znakov, nekatere od njih ali vse naenkrat in poleg tega večkrat. Tu so primeri številskih izrazov z njimi: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.
Kar zadeva oklepaje, obstajajo številski izrazi, ki vsebujejo oklepaje, in izrazi brez njih. Če so v številskem izrazu oklepaji, potem so v bistvu
In včasih imajo oklepaji v številskih izrazih določen, ločeno označen poseben namen. Na primer, lahko najdete oglate oklepaje, ki označujejo cel del števila, tako da številski izraz +2 pomeni, da je število 2 dodano celemu delu števila 1,75.
Iz definicije številskega izraza je tudi jasno, da lahko izraz vsebuje , , log , ln , lg , zapise itd. Tu so primeri številskih izrazov z njimi: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 in 
.
Delitev v številskih izrazih lahko označimo z . V tem primeru pride do številskih izrazov z ulomki. Tu so primeri takih izrazov: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 in 
.
Kot posebne matematične simbole in zapise, ki jih najdemo v številskih izrazih, predstavljamo . Na primer, pokažimo numerični izraz z modulom 
.
Kaj so dobesedni izrazi?
Koncept črkovnih izrazov je podan skoraj takoj po seznanitvi s številskimi izrazi. Vnese se približno takole. V določenem številskem izrazu eno od števil ni zapisano, temveč je namesto njega postavljen krog (ali kvadrat ali kaj podobnega) in rečeno, da lahko krog nadomesti določeno število. Na primer, poglejmo vnos. Če na primer namesto kvadrata postavimo številko 2, dobimo številski izraz 3+2. Torej namesto krogov, kvadratov itd. dogovorili za zapisovanje črk, in takšni izrazi s črkami so bili imenovani dobesedni izrazi. Vrnimo se k našemu primeru, če v tem zapisu namesto kvadrata postavimo črko a, dobimo dobesedni izraz oblike 3+a.
Torej, če v številskem izrazu dovolimo prisotnost črk, ki označujejo določene številke, potem dobimo tako imenovani dobesedni izraz. Naj podamo ustrezno definicijo.
Opredelitev.
Izraz, ki vsebuje črke, ki predstavljajo določena števila, se imenuje dobesedni izraz.
Od ta definicija Jasno je, da se dobesedni izraz bistveno razlikuje od številskega izraza po tem, da lahko vsebuje črke. V črkovnih izrazih se običajno uporabljajo male črke latinske abecede (a, b, c, ...), pri označevanju kotov pa male črke grške abecede (α, β, γ, ...).
Torej so lahko dobesedni izrazi sestavljeni iz številk, črk in vsebujejo vse matematične simbole, ki jih najdemo v številskih izrazih, kot so oklepaji, korenski predznaki, logaritmi, trigonometrične in druge funkcije itd. Posebej poudarjamo, da dobesedni izraz vsebuje vsaj eno črko. Lahko pa vsebuje tudi več enakih ali različnih črk.
Zdaj pa navedimo nekaj primerov dobesednih izrazov. Na primer, a+b je dobesedni izraz s črkama a in b. Tukaj je še en primer dobesednega izraza 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. In dajmo primer dobesednega izraza kompleksen tip: 
.
Izrazi s spremenljivkami
Če v dobesednem izrazu črka označuje količino, ki nima ene določene vrednosti, lahko pa jo različne pomene, potem se to pismo imenuje spremenljivka in izraz se imenuje izraz s spremenljivko.
Opredelitev.
Izraz s spremenljivkami je dobesedni izraz, v katerem črke (vse ali nekatere) označujejo količine, ki imajo različne vrednosti.
Na primer, naj črka x v izrazu x 2 −1 sprejme poljubne naravne vrednosti iz intervala od 0 do 10, potem je x spremenljivka, izraz x 2 −1 pa je izraz s spremenljivko x.
Omeniti velja, da je lahko v izrazu več spremenljivk. Na primer, če menimo, da sta x in y spremenljivki, potem izraz 
je izraz z dvema spremenljivkama x in y.
Na splošno se prehod od koncepta dobesednega izraza k izrazu s spremenljivkami zgodi v 7. razredu, ko se začnejo učiti algebro. Do te točke so črkovni izrazi modelirali nekatere posebne naloge. V algebri začnejo gledati na izraz bolj splošno, brez sklicevanja na določeno nalogo, z razumevanjem, da ta izraz ustreza velikemu številu problemov.
Za zaključek te točke bodimo pozorni še na eno točko: glede na videz Iz dobesednega izraza je nemogoče vedeti, ali so črke v njem spremenljivke ali ne. Zato nam nič ne preprečuje, da te črke obravnavamo kot spremenljivke. V tem primeru razlika med izrazoma "dobesedni izraz" in "izraz s spremenljivkami" izgine.
Bibliografija.
- Matematika. 2 razreda Učbenik za splošno izobraževanje ustanove s prid. na elektron nosilec. Ob 14. uri 1. del / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova itd.] - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 2012. - 96 str .: ilustr. - (Ruska šola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Matematika: učbenik za 5. razred. Splošna izobrazba ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra: učbenik za 7. razred Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Vnosi 2 A + 8, 3A + 5b, A 4 – bс imenujemo izrazi s spremenljivkami. Če namesto črk postavimo številke, dobimo številske izraze. Splošni koncept izrazi s spremenljivkami so definirani na povsem enak način kot pojem številskega izraza, le da lahko izrazi s spremenljivkami poleg številk vsebujejo tudi črke.
Pri izrazih s spremenljivko se uporabljajo tudi poenostavitve: ne postavljajte oklepajev, ki vsebujejo samo številko ali črko, ne postavljajte znaka za množenje med črkami, med številkami in črkami itd.
Obstajajo izrazi z enim, dvema, tremi itd. spremenljivke. Določite A(X), IN(x, y) itd.
Izraza s spremenljivko ne moremo imenovati niti izjava niti predikat. Na primer o izrazu 2 A+ 5 ni mogoče reči, ali je resnična ali napačna, zato ni izjava. Če namesto spremenljivke A nadomestnih števil, dobimo različne številske izraze, ki pa tudi niso trditve, torej tudi ta izraz ni predikat.
Vsak izraz s spremenljivko ustreza nizu števil, katerih zamenjava proizvede smiselni numerični izraz. Ta niz se imenuje domena definicije izraza.
Primer. 8: (4 – X) - domena R\(4), ker pri X= 4 izraz 8: (4 – 4) nima smisla.
Če izraz vsebuje več spremenljivk, npr. X in pri, potem domeno definicije tega izraza razumemo kot niz parov števil ( A; b) tako, da pri zamenjavi X na A in pri na b rezultat je številski izraz, ki ima vrednost.
Primer. , domena definicije je množica parov ( A; b) │A≥ b.
Opredelitev. Za dva izraza s spremenljivko pravimo, da sta identično enaka za katero koli vrednost. Spremenljivke iz obsega izrazov imajo ustrezne vrednosti enake.
to. dva izraza A(X), IN(X) identično enaka na množici X, Če
1) nizi sprejemljive vrednosti spremenljivke v teh izrazih so enake;
2) za kogarkoli X 0 njihovih nizov dovoljenih vrednosti, pomene izrazov pri X 0 sovpadajo, tj. A(X 0) = IN(X 0) je pravilna numerična enakost.
Primer. (2 X+ 5) 2 in 4 X 2 + 20X+ 25 – enako enaki izrazi.
Določite A(X) º IN(X). Upoštevajte, da če sta dva izraza identično enaka na neki množici E, potem sta identično enaka na kateri koli podmnožici E 1 M E. Upoštevati je treba tudi, da je izjava o istovetnostni enakosti dveh izrazov s spremenljivko izjava.
Če dva enako enaka izraza na določeni množici povežemo z enačajem, dobimo stavek, ki ga na tej množici imenujemo identiteta.
Prave numerične enakosti se prav tako štejejo za identitete. Identitete so zakoni seštevanja in množenja realnih števil, pravila za odštevanje števila od vsote in vsote od števila, pravila za deljenje vsote s številom itd. Identitete so tudi pravila za delovanje z ničlo in enico.
Zamenjava izraza z drugim, ki mu je identično enak na neki množici, se imenuje identična transformacija tega izraza.
Primer. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - identična transformacija, ni identična transformacija na R.
§ 5. Klasifikacija izrazov s spremenljivko
1) Izraz, sestavljen iz spremenljivk in števil, ki uporablja samo operacije seštevanja, odštevanja, množenja in potenciranja, se imenuje celoštevilski izraz ali polinom.
Primer. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3pri)
2) Racionalno je izraz, sestavljen iz spremenljivk in števil z uporabo operacij seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in potenciranja. Racionalni izraz lahko predstavimo kot razmerje dveh celih izrazov, tj. polinomi. Upoštevajte, da so celoštevilski izrazi poseben primer racionalnih.
Primer. .
3) Iracionalen je izraz, sestavljen iz spremenljivk in števil z uporabo operacij seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja, potenciranja, kot tudi operacije ekstrakcije korena p- stopnja.
Reševanje problemov in nekaterih izrazov ne vodi vedno do čistih numeričnih odgovorov. Tudi v primeru trivialnih izračunov lahko pridemo do določene konstrukcije, imenovane izraz s spremenljivko.
Na primer, razmislite o dveh praktičnih problemih. V prvem primeru imamo neko tovarno, ki vsak dan proizvede 5 ton mleka. Ugotoviti je treba, koliko mleka proizvede rastlina v p dneh.
V drugem primeru je pravokotnik, katerega širina je 5 cm in dolžina p cm Poiščite površino figure.
Seveda, če obrat proizvede pet ton na dan, potem bo v p dneh, po najenostavnejši matematični logiki, proizvedel 5p ton mleka. Po drugi strani pa je površina pravokotnika enaka zmnožku njegovih strani - to je v v tem primeru, je 5 rubljev. Z drugimi besedami, v dveh trivialnih problemih z različnimi pogoji je odgovor en cel izraz - 5p. Takšni monomi se imenujejo izrazi s spremenljivko, saj poleg številskega dela vsebujejo določeno črko, imenovano neznanka ali spremenljivka. Tak element označujemo z malimi črkami latinice, najpogosteje x ali y, čeprav to ni pomembno.
Posebnost spremenljivke je, da lahko v praksi zavzame poljubno vrednost. Nadomeščanje različne številke, bomo dobili končno rešitev za naše težave, na primer za prvo:
p = 2 dni, obrat proizvede 5p = 10 ton mleka;
p = 4 dni, obrat proizvede 5p = 20 ton mleka;
Ali pa za drugo:
p = 10 cm, površina slike je 5p = 50 cm2
p = 20 cm, površina slike je 5p = 100 cm2
Pomembno je razumeti, da p ni niz nekaterih posameznih vrednosti, ampak celoten niz, ki bo matematično ustrezal pogojem problema. Glavna vloga spremenljivke je nadomestiti manjkajoči element v pogoju. Vsak matematični problem mora vsebovati nekaj konstrukcij in prikazati razmerje med temi konstrukcijami v pogoju. Če vrednost predmeta manjka, se namesto nje uvede spremenljivka. Poleg tega gre za abstraktno zamenjavo samega elementa pogoja (količine nečesa, ki ga predstavlja število ali izraz), in ne funkcionalnih povezav.
Če izraz v obliki 5p obravnavamo kot nevtralen in neodvisen objekt, potem lahko vrednost p v njem zavzame poljubne vrednosti; pravzaprav je p tukaj enak množici vseh realnih števil.
Toda v naših nalogah je odgovor v obliki 5p predmet določenih matematičnih omejitev, ki izhajajo iz pogojev. Na primer, dnevi in dnevi ne morejo biti negativni, zato je p v obeh problemih vedno enak nič ali večji od nje. Poleg tega dnevi ne morejo biti delni - za prvo težavo so veljavne samo tiste vrednosti p, ki so pozitivna cela števila.
V prvem problemu: p je enak končni množici vseh pozitivnih celih števil;
V drugi nalogi: p je enak končni množici vseh pozitivnih števil.
Izrazi lahko vključujejo dve spremenljivki hkrati, na primer:
V tem primeru je binom predstavljen z dvema monoma, od katerih ima vsak v svoji sestavi spremenljivko, ti spremenljivki pa sta različni, torej neodvisni druga od druge. Vrednost tega izraza je mogoče v celoti izračunati le, če sta na voljo vrednosti obeh spremenljivk. Na primer, če je x = 2 in y = 4, potem:
2x + 3y = 4 + 12 = 16 (pri čemer je x = 2, y = 4)
Omeniti velja, da v tem izrazu ni nobenih matematičnih ali logičnih omejitev vrednosti spremenljivke - tako x kot y pripadata celotnemu nizu realnih števil.
IN na splošno, množico vseh števil, pri zamenjavi katerih namesto spremenljivke izraz ohrani svoj pomen in veljavnost, imenujemo domena definicije (ali vrednosti) spremenljivke.
V abstraktnih primerih, ki niso povezani z resničnimi problemi, je domena definicije spremenljivke najpogosteje enaka celotnemu nizu realnih števil ali omejena na določene konstrukcije, na primer ulomek. Kot veste, ko je delitelj enak nič, celoten ulomek postane brez pomena. Zato je spremenljivka v izrazu oblike:
ne more biti enako pet, ker potem:
7x/(x - 5) = 7x/0 (za x = 5)
In ulomek bo izgubil svoj pomen. Zato ima spremenljivka x za ta izraz domeno definicije - nabor vseh števil razen 5.
Naša video vadnica izpostavlja tudi poseben primer uporabe spremenljivk, ko označujejo število istega reda. Na primer, števila 54, 30, 78 je mogoče določiti s spremenljivko a ali s konstrukcijo ab (z vodoravno črto na vrhu, da se razlikuje od produkta), kjer b določa enote (oziroma 4, 0, 8), in - desetice (oziroma 5, 3, 7).
Pri pouku algebre v šoli naletimo na izraze različne vrste. Ko se učite nove snovi, postane snemanje izrazov bolj raznoliko in zapleteno. Na primer, seznanili smo se s potencami - potence so se pojavile v izrazih, preučevali smo ulomke - pojavili so se ulomki itd.
Zaradi lažjega opisovanja gradiva so izrazi, sestavljeni iz podobnih elementov, dobili posebna imena, da bi jih razlikovali od celotne raznolikosti izrazov. V tem članku se bomo seznanili z njimi, torej bomo podali pregled osnovnih izrazov, ki se preučujejo pri pouku algebre v šoli.
Navigacija po straneh.
Monomi in polinomi
Začnimo z izrazi, imenovanimi monomi in polinomi. V času tega pisanja se pogovor o monomih in polinomih začne pri pouku algebre v 7. razredu. Tam so podane naslednje definicije.
Opredelitev.
Monomištevilke, spremenljivke, njihove moči imenujemo naravni indikator, kot tudi vsa dela, sestavljena iz njih.
Opredelitev.
Polinomi je vsota monomov.
Na primer, število 5, spremenljivka x, potenca z 7, produkta 5 x in 7 x x 2 7 z 7 so vsi monomi. Če vzamemo vsoto monomov, na primer 5+x ali z 7 +7+7·x·2·7·z 7, potem dobimo polinom.
Delo z monomi in polinomi pogosto vključuje opravljanje stvari z njimi. Tako je na množici monomov definirano množenje monomov in dvig monoma na potenco, v smislu, da kot rezultat njihove izvedbe dobimo monom.
Seštevanje, odštevanje, množenje in potenciranje so definirani na množici polinomov. Kako so ta dejanja določena in po kakšnih pravilih se izvajajo, bomo govorili v članku Dejanja s polinomi.
Če govorimo o polinomih z eno spremenljivko, potem ima pri delu z njimi deljenje polinoma s polinomom pomemben praktični pomen in pogosto je treba takšne polinome predstaviti kot produkt; to dejanje se imenuje faktoring polinoma.
Racionalni (algebraični) ulomki
V 8. razredu se začne učenje izrazov, ki vsebujejo deljenje z izrazom s spremenljivkami. In prvi takšni izrazi so racionalni ulomki, ki ga nekateri avtorji imenujejo algebrski ulomki.
Opredelitev.
Racionalni (algebrski) ulomek je ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma, zlasti monoma in števila.
Tukaj je nekaj primerov racionalnih ulomkov: in 
. Mimogrede, vsak navaden ulomek je racionalen (algebraični) ulomek.
Seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in potenciranje so predstavljeni na različnih algebrskih ulomkih. Kako se to naredi, je pojasnjeno v članku Dejanja z algebrskimi ulomki.
Pogosto je treba izvajati transformacije algebrskih ulomkov, med katerimi sta najpogostejši redukcija in redukcija na nov imenovalec.
Racionalni izrazi
Opredelitev.
Izrazi s potencami (potencialni izrazi) so izrazi, ki v svojem zapisu vsebujejo stopnje.
Tukaj je nekaj primerov izrazov s potencami. Ne smejo vsebovati spremenljivk, na primer 2 3 , 
. Obstajajo tudi izrazi moči s spremenljivkami: 
in tako naprej.
Ne bi škodilo, če bi se seznanili s tem, kako se to naredi. pretvarjanje izrazov s potencami.
Iracionalni izrazi, izrazi s koreni
Opredelitev.
Izrazi, ki vsebujejo logaritme, se imenujejo logaritemskih izrazov.
Primeri logaritemskih izrazov so log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , 
.
Zelo pogosto izrazi vsebujejo tako potence kot logaritme, kar je razumljivo, saj je logaritem po definiciji eksponent. Posledično so izrazi, kot je ta, videti naravni: .
Če želite nadaljevati temo, glejte gradivo pretvorbo logaritemskih izrazov.
Ulomki
V tem razdelku si bomo ogledali izraze posebna vrsta- ulomki.
Ulomek razširi koncept. Ulomki imajo tudi števec in imenovalec, ki se nahajata nad in pod vodoravno ulomkovo črto (levo in desno od poševne ulomkove črte). Samo za razliko navadni ulomki, lahko števec in imenovalec vsebujeta ne samo cela števila, temveč tudi vse druge številke, pa tudi vse izraze.
Torej, definirajmo ulomek.
Opredelitev.
Ulomek je izraz, sestavljen iz števca in imenovalca, ločenih z ulomkom, ki predstavljata nekatere številske ali abecedne izraze ali števila.
Ta definicija vam omogoča podati primere ulomkov.
Začnimo s primeri ulomkov, katerih števci in imenovalci so števila: 1/4, 
, (−15)/(−2) . Števec in imenovalec ulomka lahko vsebujeta tako številske kot abecedne izraze. Tu so primeri takih ulomkov: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), 
.
Toda izrazi 2/5−3/7 niso ulomki, čeprav vsebujejo ulomke v svojih zapisih.
Splošni izrazi
V srednji šoli, zlasti pri problemih povečane težavnosti in problemih skupine C na Enotnem državnem izpitu iz matematike, boste naleteli na izraze zapletene oblike, ki v svojem zapisu hkrati vsebujejo korenine, potence, logaritme in trigonometrične funkcije, in tako naprej. na primer 
oz 
. Zdi se, da ustrezajo več zgoraj navedenim vrstam izrazov. Vendar običajno niso razvrščeni kot eden izmed njih. Upoštevani so izrazi splošni pogled
, pri opisovanju pa preprosto povedo izraz, brez dodajanja dodatnih pojasnil.
V zaključku članka bi rad povedal, da če je določen izraz okoren in če niste povsem prepričani, kateri vrsti pripada, potem je bolje, da ga poimenujete preprosto izraz, kot pa izraz, ki ni .
Bibliografija.
- Matematika: učbenik za 5. razred. Splošna izobrazba ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: poučna. za splošno izobraževanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin in drugi]. - 22. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: učbenik za 7. razred Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. razred: poučna. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Izobraževanje, 2004. - 384 str .: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.
ALGEBRA
Pouk za 7. razred
Lekcija št. 14
Predmet. Izrazi s spremenljivkami
Cilj: izboljšati sposobnost učencev za delo z izrazi, ki vsebujejo spremenljivke (računanje vrednosti izrazov, iskanje ODZ izrazov s spremenljivkami).
Vrsta lekcije: uporaba veščin.
Med poukom
I. Preverjanje Domača naloga
@ Posebej skrbno preveri izpolnitev nalog št. 2 (sestaviti izraz s spremenljivkami) in št. 3 (poiskati ODZ spremenljivke v izrazu).
Št. 2. Izraz izgleda takole: 6n - 50m. Če je m = 2, n = 30, potem
6 30 - 2 50 = 180 - 100 = 80 (k).
Odgovori. Za 80 kopejk.
@ Št. 3. Za učence je precej težak trenutek prehoda iz pogoja, pod katerim izraz nima smisla (delitelj ali imenovalec je enak nič), v pogoje, ko je izraz smiseln (torej iz niza poljubnih števil izključimo tiste vrednosti spremenljivke, za katere izraz nima smisla):
1) 2x - 5 je smiselno za katero koli vrednost x, ker je celoštevilski izraz;
2) je smiselna za vse x razen 0;
3) je smiselna za vse x razen x = -3, za x = -3 x + 3 = 0;
4) je smiselno za katero koli vrednost x, ker je celoten izraz.
II. Posodabljanje referenčnega znanja
@ Namesto rutinskega (in premalo učinkovitega) frontalnega spraševanja lahko organizirate delo v parih (ali skupinah) s takšno nalogo.
Podani izrazi so: ; 25: (3,5 + a); (3,5 + a) : 25.
Primerjajte jih in poiščite čim več razlik. Med predstavitvijo rezultatov dela učenci reproducirajo vsebino glavnih konceptov teme:
1. Številski izrazi in izrazi s spremenljivkami.
2. Pomen številskih izrazov in izrazov s spremenljivkami.
3. Izrazi, ki nimajo smisla
III. Izboljšanje veščin
@ V tej lekciji nadaljujemo z delom na izboljšanju spretnosti učencev:
a) izračunajte vrednosti izrazov s spremenljivkami;
b) poiščite vrednosti spremenljivk, pri katerih je izraz smiseln;
c) sestavljajo izraze z določenimi pogoji.
Izberemo višjo raven nalog.
Izvajanje pisnih vaj
1. Poiščite vrednost izraza, če:
1) x = 4; in = 1,5;
2) x = -1; y = ;
3) x = 1,4; y = 0;
4) x = 1,3; y = -2,6.
2. Znano je, da je a - b = 6; c = 5. Poiščite vrednost izraza:
1) a - b + 3 c ;
3. 2) c (b - a);
4.
3)
;
5. 4) .
6. Pri katerih vrednostih spremenljivke je izraz smiseln:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6)
;
7)
?
@ Ker učenci še nimajo sposobnosti reševanja enačb s faktoriziranjem polinomov, reševanja ulomkov, sistemov enačb, rešujemo naloge s sklepanjem s približno naslednjo vsebino: ker je spremenljivka v imenovalcu izraza (izraz je ulomek). ), potem je za smiselnost izraza potrebno, da imenovalec ni enak 0. Ker pa x2 ne more biti negativno število, vsota x 2 + 1 ne more biti enaka 0 za nobeno vrednost x, torej x2 + 1 ni enako 0 za nobeno vrednost x.
Zato je izraz smiseln za vsak x (itd.).
7. Napišite izraz za rešitev naloge.
a) Obseg pravokotnika je 16 cm, ena njegova stranica je m cm. Kolikšna je ploščina pravokotnika?
b) Iz dveh mest, med katerima je razdalja S km, sta drug drugemu nasproti pripeljala dva avtomobila. Hitrost enega od njiju je v 1 km/h, hitrost drugega pa v 2 km/h. Čez koliko ur se bosta srečala?
8. Zapišite kot izraz:
1) vsoto zmnožka števil a in b ter števila c;
2) razlika med številom c in deležem števil a in b;
3) zmnožek razlike med številoma x in y ter njuno vsoto;
4) delež vsote a in b ter njune razlike.
IV. Diagnostika asimilacije
Samostojno delo (večstopenjsko)
1. Poiščite pomen izraza:
A. 3 x - 5, če je x = -1. (2 točki)
B., če je a = 3,5. (3 6.)
B. 
, če je m + n = 8, je r = 3. (4 6.)
2. Sestavite izraz, ki ustreza pogoju:
A. Razlika števil 5 in 7b. (2 točki)
B. Analiza zmnožka števil -0,2 in a ter števila 0,8. (Po besedah b.)
B. Hitrost čolna v mirni vodi je v km/h. Hitrost rečnega toka v km/h. Kako dolgo bo čoln prepotoval S km po reki? (4 točke)
3. Ugotovite, pri katerih vrednostih spremenljive mase je izraz smiseln:
A. 2a + 5. (2 b.)
B. . (3 točke)
IN.. (4 točke)
@ Pri delu morajo učenci izbrati le eno nalogo (A, B, C) izmed treh predlaganih. Ocenjujemo ustrezno: A - 2 točki, B - 3 točke; B - 4 točke. (Učenec ima pravico izbrati naloge različnih ravni, npr. št. 1 - A, št. 2 - B, št. 3 - B.)
V. Odsev
Preverjamo, ali so naloge pravilno opravljene. (Učenci prejmejo tabelo z rešitvami in odgovori ter preverijo svoje delo.)
Naloga št. |
Pogoj (izraz) |
Spremenljiva vrednost |
Številski izraz |
Vrednost izraza |
Število točk |
|
|
||||||
|
m + n = 8 |
|||||
5a - 7b |
||||||
(-0,2 in -0,8) |
||||||
= -16
