Vo vzťahu k
možno nastaviť úlohu nájsť ľubovoľné z troch čísel z ďalších dvoch daných. Ak je dané a a potom N, zistíme ich umocnením. Ak N a potom a sú dané prevzatím odmocniny zo stupňa x (alebo jeho umocnením). Teraz zvážte prípad, keď za predpokladu a a N potrebujeme nájsť x.
Nech je číslo N kladné: číslo a je kladné a nerovná sa jednej: .
Definícia. Logaritmus čísla N k základu a je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sa získalo číslo N; logaritmus je označený
V rovnosti (26.1) teda nájdeme exponent ako logaritmus N k základu a. Príspevky
majú rovnaký význam. Rovnosť (26.1) sa niekedy nazýva hlavnou identitou teórie logaritmov; v skutočnosti vyjadruje definíciu pojmu logaritmus. Autor: túto definíciu Základ logaritmu a je vždy kladný a odlišný od jednoty; logaritmické číslo N je kladné. Záporné čísla a nula nemajú logaritmy. Dá sa dokázať, že každé číslo s daným základom má dobre definovaný logaritmus. Preto rovnosť znamená . Všimnite si, že podmienka je tu nevyhnutná; inak by záver nebol opodstatnený, pretože rovnosť platí pre všetky hodnoty x a y.
Príklad 1. Nájdite
Riešenie. Ak chcete získať číslo, musíte zvýšiť základnú 2 na silu Preto.
Pri riešení takýchto príkladov si môžete robiť poznámky v nasledujúcom tvare:
Príklad 2. Nájdite .
Riešenie. Máme
V príkladoch 1 a 2 sme ľahko našli požadovaný logaritmus reprezentovaním logaritmického čísla ako mocniny základu s racionálnym exponentom. Vo všeobecnom prípade, napríklad pre atď., to nemožno urobiť, pretože logaritmus má iracionálnu hodnotu. Venujme pozornosť jednej otázke súvisiacej s týmto tvrdením. V odseku 12 sme uviedli koncept možnosti určenia akejkoľvek skutočnej mocniny daného kladného čísla. Bolo to potrebné na zavedenie logaritmov, ktoré vo všeobecnosti môžu byť iracionálne čísla.
Pozrime sa na niektoré vlastnosti logaritmov.
Vlastnosť 1. Ak sa číslo a základ rovnajú, potom sa logaritmus rovná jednej, a naopak, ak sa logaritmus rovná jednej, potom sa číslo a základ rovnajú.
Dôkaz. Nech Podľa definície logaritmu máme a odkiaľ
Naopak, nech Potom podľa definície
Vlastnosť 2. Logaritmus jedna k ľubovoľnému základu sa rovná nule.
Dôkaz. Podľa definície logaritmu (nulová mocnina akejkoľvek kladnej bázy sa rovná jednej, pozri (10.1)). Odtiaľ
Q.E.D.
Platí aj opačné tvrdenie: ak , potom N = 1. V skutočnosti máme .
Pred formulovaním ďalšej vlastnosti logaritmov sa dohodneme, že dve čísla a a b ležia na rovnakej strane od tretieho čísla c, ak sú obe väčšie ako c alebo menšie ako c. Ak je jedno z týchto čísel väčšie ako c a druhé menšie ako c, potom povieme, že ležia spolu rôzne strany z dediny
Vlastnosť 3. Ak číslo a základ ležia na tej istej strane jednotky, potom je logaritmus kladný; Ak číslo a základ ležia na opačných stranách jednej, potom je logaritmus záporný.
Dôkaz vlastnosti 3 je založený na skutočnosti, že mocnina a je väčšia ako jedna, ak je základ väčší ako jeden a exponent je kladný alebo základ je menší ako jeden a exponent je záporný. Mocnina je menšia ako jedna, ak je základ väčší ako jedna a exponent je záporný alebo ak je základ menší ako jedna a exponent je kladný.
Je potrebné zvážiť štyri prípady:
Obmedzíme sa na analýzu prvého z nich, zvyšok si čitateľ zváži sám.
Nech potom v rovnosti exponent nemôže byť ani záporný, ani rovný nule, preto je kladný, t.
Príklad 3. Zistite, ktoré z nižšie uvedených logaritmov sú kladné a ktoré záporné:
Riešenie, a) keďže číslo 15 a základňa 12 sú umiestnené na rovnakej strane jednej;
b) keďže 1000 a 2 sú umiestnené na jednej strane jednotky; v tomto prípade nie je dôležité, aby bol základ väčší ako logaritmické číslo;
c) keďže 3,1 a 0,8 ležia na opačných stranách jednoty;
G); prečo?
d) ; prečo?
Nasledujúce vlastnosti 4-6 sa často nazývajú pravidlá logaritmácie: umožňujú, poznajúc logaritmy niektorých čísel, nájsť logaritmy ich súčinu, kvocient a stupeň každého z nich.
Vlastnosť 4 (pravidlo logaritmu súčinu). Logaritmus súčinu niekoľkých kladných čísel k danému základu rovná súčtu logaritmy týchto čísel na rovnaký základ.
Dôkaz. Nech sú dané čísla kladné.
Pre logaritmus ich súčinu napíšeme rovnosť (26.1), ktorá definuje logaritmus:
Odtiaľto nájdeme
Porovnaním exponentov prvého a posledného výrazu získame požadovanú rovnosť:
Všimnite si, že podmienka je nevyhnutná; logaritmus súčinu dvoch záporných čísel dáva zmysel, ale v tomto prípade dostaneme
Vo všeobecnosti, ak je súčin viacerých faktorov kladný, potom sa jeho logaritmus rovná súčtu logaritmov absolútnych hodnôt týchto faktorov.
Vlastnosť 5 (pravidlo pre logaritmy kvocientov). Logaritmus kvocientu kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa, berúc do úvahy rovnaký základ. Dôkaz. Dôsledne nachádzame
Q.E.D.
Vlastnosť 6 (pravidlo mocninového logaritmu). Logaritmus mocniny ľubovoľného kladného čísla sa rovná logaritmu tohto čísla vynásobenému exponentom.
Dôkaz. Napíšme znova hlavnú identitu (26.1) pre číslo:
Q.E.D.
Dôsledok. Logaritmus odmocniny kladného čísla sa rovná logaritmu radikálu deleného exponentom odmocniny:
Platnosť tohto následku možno preukázať predstavou, ako a použitím vlastnosti 6.
Príklad 4. Zoberte logaritmus na základ a:
a) (predpokladá sa, že všetky hodnoty b, c, d, e sú kladné);
b) (predpokladá sa, že ).
Riešenie, a) V tomto výraze je vhodné prejsť na zlomkové mocniny:
Na základe rovnosti (26,5)-(26,7) môžeme teraz napísať:
Všimli sme si, že s logaritmami čísel sa vykonávajú jednoduchšie operácie ako so samotnými číslami: pri násobení čísel sa ich logaritmy sčítajú, pri delení sa odčítajú atď.
Preto sa vo výpočtovej praxi používajú logaritmy (pozri odsek 29).
Inverzná akcia logaritmu sa nazýva potenciácia, konkrétne: potenciácia je akcia, pri ktorej sa z daného logaritmu čísla zistí samotné číslo. Potenciácia v podstate nie je žiadna špeciálna akcia: ide o zvýšenie základne na mocninu (rovnajúcu sa logaritmu čísla). Pojem "potenciácia" možno považovať za synonymum pojmu "umocnenie".
Pri potencovaní musíte použiť pravidlá inverzné k pravidlám logaritmácie: nahradiť súčet logaritmov logaritmom súčinu, rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu atď. Najmä ak je v popredí faktor znamienka logaritmu, potom sa musí pri potenciácii preniesť na stupne exponentov pod znamienko logaritmu.
Príklad 5. Nájdite N, ak je to známe
Riešenie. V súvislosti s práve uvedeným pravidlom potenciácie prenesieme faktory 2/3 a 1/3 stojace pred znamienkami logaritmov na pravej strane tejto rovnosti do exponentov pod znamienkami týchto logaritmov; dostaneme
Teraz nahradíme rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu:
aby sme získali posledný zlomok v tomto reťazci rovnosti, oslobodili sme predchádzajúci zlomok od iracionality v menovateli (klauzula 25).
Vlastnosť 7. Ak je základňa väčšia ako jedna, tak väčšie číslo má väčší logaritmus (a menšie číslo má menší), ak je základ menší ako jedna, potom väčšie číslo má menší logaritmus (a menšie číslo má väčší).
Táto vlastnosť je tiež formulovaná ako pravidlo pre logaritmy nerovností, ktorých obe strany sú kladné:
Pri logaritmovaní nerovností so základom väčším ako jedna sa znamienko nerovnosti zachová a pri logaritmovaní so základom menším ako jedna sa znamienko nerovnosti zmení na opačné (pozri aj odsek 80).
Dôkaz je založený na vlastnostiach 5 a 3. Uvažujme prípad, keď If , then a logaritmovaním dostaneme
(a a N/M ležia na rovnakej strane jednoty). Odtiaľ
V nasledujúcom prípade na to čitateľ príde sám.
hlavné vlastnosti.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
rovnaké dôvody
Log6 4 + Log6 9.
Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.
Príklady riešenia logaritmov
Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:
Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x >
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Prechod na nový základ
Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Pozri tiež:
Základné vlastnosti logaritmu
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého.
Základné vlastnosti logaritmov
Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.
Príklady pre logaritmy
Logaritmické výrazy
Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Pomocou vlastností 3.5 vypočítame 
2.
3. 
4. 
Kde 
.
Príklad 2. Nájdite x ak
Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov
Vypočítajte log(x), ak
Základné vlastnosti logaritmov
Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale pretože logaritmy nie sú presné pravidelné čísla, platia tu pravidlá, ktoré sú tzv hlavné vlastnosti.
Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.
Sčítanie a odčítanie logaritmov
Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový bod je tu rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!
Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:
Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.
Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.
Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.
Extrahovanie exponentu z logaritmu
Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.
Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.
Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:
Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.
Logaritmické vzorce. Logaritmické riešenia príkladov.
Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.
Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.
Prechod na nový základ
Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?
Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:
Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:
Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:
Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.
Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v konvenčných číselné výrazy. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.
Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.
Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Teraz „otočme“ druhý logaritmus:
Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.
Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:
Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:
Základná logaritmická identita
V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:
V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.
Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .
Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.
Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:
Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)
Logaritmická jednotka a logaritmická nula
Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.
- logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
- loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.
To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.
Pozri tiež:
Logaritmus b na základ a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť mocninu x (), pri ktorej je splnená rovnosť
Základné vlastnosti logaritmu
Je potrebné poznať vyššie uvedené vlastnosti, pretože takmer všetky problémy a príklady súvisiace s logaritmami sú riešené na ich základe. Zvyšok exotických vlastností možno odvodiť matematickými manipuláciami s týmito vzorcami
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Pri výpočte vzorca pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) narazíte pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.
Bežné prípady logaritmov
Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dva.
Logaritmus na základ desať sa zvyčajne nazýva desiatkový logaritmus a jednoducho sa označuje lg(x).
Z nahrávky je zrejmé, že základy nie sú napísané v nahrávke. Napríklad
Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).
Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.
A ďalší dôležitý logaritmus k základu dva je označený
Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou
Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený vzťahom
Daný materiál vám postačí na riešenie širokej triedy problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Aby som vám pomohol pochopiť materiál, uvediem len niekoľko bežných príkladov z školské osnovy a univerzity.
Príklady pre logaritmy
Logaritmické výrazy
Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Pomocou vlastností 3.5 vypočítame
2.
Vlastnosťou rozdielu logaritmov máme
3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme
4. Kde .
Zdanlivo zložitý výraz je zjednodušený na formu pomocou množstva pravidiel
Nájdenie hodnôt logaritmu
Príklad 2. Nájdite x ak
Riešenie. Pre výpočet použijeme na posledný termín 5 a 13 nehnuteľností
Dáme to na záznam a smútime
Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy
Logaritmy. Prvá úroveň.
Nech je uvedená hodnota logaritmov
Vypočítajte log(x), ak
Riešenie: Zoberme si logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet jej členov
Toto je len začiatok nášho oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – vedomosti, ktoré získate, budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše znalosti o ďalšie dôležitá téma- logaritmické nerovnosti...
Základné vlastnosti logaritmov
Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.
Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.
Sčítanie a odčítanie logaritmov
Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový bod je tu rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!
Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.
Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.
Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.
Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.
Extrahovanie exponentu z logaritmu
Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:
Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.
Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu.
Ako riešiť logaritmy
To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.
Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:
Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.
Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.
Prechod na nový základ
Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?
Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:
Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:
Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:
Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.
Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.
Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.
Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Teraz „otočme“ druhý logaritmus:
Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.
Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:
Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:
Základná logaritmická identita
V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:
V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.
Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .
Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.
Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:
Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)
Logaritmická jednotka a logaritmická nula
Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.
- logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
- loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.
To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.
Ako sa spoločnosť rozvíjala a výroba sa stávala zložitejšou, rozvíjala sa aj matematika. Pohyb od jednoduchého k zložitému. Od bežného účtovania metódou sčítania a odčítania sme s ich opakovaným opakovaním dospeli k pojmu násobenie a delenie. Zníženie opakovanej operácie násobenia sa stalo konceptom umocňovania. Prvé tabuľky závislosti čísel od základne a počtu umocnení zostavil už v 8. storočí indický matematik Varasena. Z nich môžete spočítať čas výskytu logaritmov.
Historický náčrt
Oživenie Európy v 16. storočí podnietilo aj rozvoj mechaniky. T vyžadovalo veľké množstvo výpočtov súvisí s násobením a delením viacciferné čísla. Staroveké stoly mali skvelú službu. Povolili výmenu zložité operácie na jednoduchšie - sčítanie a odčítanie. Veľkým krokom vpred bola práca matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roku 1544, v ktorej realizoval myšlienku mnohých matematikov. To umožnilo použiť tabuľky nielen pre mocniny vo forme prvočísel, ale aj pre ľubovoľné racionálne.
V roku 1614 Škót John Napier, ktorý rozvíjal tieto myšlienky, prvýkrát zaviedol nový termín „logaritmus čísla“. Boli zostavené nové komplexné tabuľky na výpočet logaritmov sínusov a kosínusov, ako aj dotyčníc. To značne znížilo prácu astronómov.
Začali sa objavovať nové tabuľky, ktoré vedci úspešne používali už tri storočia. Predtým prešlo veľa času nová prevádzka v algebre nadobudol hotovú podobu. Bola daná definícia logaritmu a boli študované jeho vlastnosti.
Až v 20. storočí, s príchodom kalkulačky a počítača, ľudstvo opustilo staroveké tabuľky, ktoré úspešne fungovali počas 13. storočia.
Dnes nazývame logaritmus b na základe čísla x, ktoré je mocninou a na vytvorenie b. Toto je napísané ako vzorec: x = log a(b).
Napríklad log 3(9) by sa rovnalo 2. To je zrejmé, ak budete postupovať podľa definície. Ak zvýšime 3 na 2, dostaneme 9.
Formulovaná definícia teda stanovuje len jedno obmedzenie: čísla a a b musia byť reálne.
Typy logaritmov
Klasická definícia sa nazýva reálny logaritmus a je vlastne riešením rovnice a x = b. Možnosť a = 1 je hraničná a nie je zaujímavá. Pozor: 1 na akúkoľvek mocninu sa rovná 1.
Skutočná hodnota logaritmu definované iba vtedy, keď základ a argument sú väčšie ako 0 a základ sa nesmie rovnať 1.
Osobitné miesto v oblasti matematiky hrať logaritmy, ktoré budú pomenované v závislosti od veľkosti ich základne:
Pravidlá a obmedzenia
Základnou vlastnosťou logaritmov je pravidlo: logaritmus súčinu sa rovná logaritmickému súčtu. log abp = log a(b) + log a(p).
Ako variant tohto tvrdenia bude: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocientová funkcia sa rovná rozdielu funkcií.
Z predchádzajúcich dvoch pravidiel je ľahké vidieť, že: log a(b p) = p * log a(b).
Medzi ďalšie vlastnosti patrí:
Komentujte. Nie je potrebné robiť bežnú chybu - logaritmus súčtu sa nerovná súčtu logaritmov.
Po mnoho storočí bola operácia hľadania logaritmu pomerne časovo náročná úloha. Matematici použili dobre známy vzorec logaritmickej teórie expanzie polynómov:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kde n - prirodzené číslo väčší ako 1, čo určuje presnosť výpočtu.
Logaritmy s inými bázami boli vypočítané pomocou vety o prechode z jednej bázy na druhú a vlastnosti logaritmu súčinu.
Keďže táto metóda je veľmi náročná na prácu a pri riešení praktických problémov náročné na implementáciu sme použili vopred zostavené tabuľky logaritmov, čo výrazne urýchlilo celú prácu.
V niektorých prípadoch boli použité špeciálne navrhnuté grafy logaritmov, ktoré poskytli menšiu presnosť, ale výrazne urýchlili hľadanie požadovanej hodnoty. Krivka funkcie y = log a(x), vytvorená cez niekoľko bodov, umožňuje pomocou bežného pravítka nájsť hodnotu funkcie v akomkoľvek inom bode. Inžinieri dlho Na tieto účely sa používal takzvaný milimetrový papier.
V 17. storočí sa objavili prvé pomocné analógové výpočtové podmienky, ktoré 19. storočie získal hotový vzhľad. Najúspešnejšie zariadenie sa nazývalo posuvné pravítko. Napriek jednoduchosti zariadenia jeho vzhľad výrazne urýchlil proces všetkých inžinierske výpočty, a to je ťažké preceňovať. V súčasnosti pozná toto zariadenie len málo ľudí.
Nástup kalkulačiek a počítačov spôsobil, že používanie akýchkoľvek iných zariadení bolo zbytočné.
Rovnice a nerovnice
Na riešenie rôznych rovníc a nerovníc pomocou logaritmov sa používajú tieto vzorce:
- Prechod z jednej bázy na druhú: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- V dôsledku predchádzajúcej možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).
Na riešenie nerovností je užitočné vedieť:
- Hodnota logaritmu bude kladná iba vtedy, ak základ aj argument sú väčšie alebo menšie ako jedna; ak je porušená aspoň jedna podmienka, hodnota logaritmu bude záporná.
- Ak je logaritmická funkcia aplikovaná na pravú a ľavú stranu nerovnosti a základňa logaritmu je väčšia ako jedna, potom sa znamienko nerovnosti zachová; inak sa to mení.
Príklady problémov
Zvážme niekoľko možností použitia logaritmov a ich vlastností. Príklady riešenia rovníc:
Zvážte možnosť umiestniť logaritmus do mocniny:
- Úloha 3. Vypočítajte 25^log 5(3). Riešenie: v podmienkach problému je zadanie podobné nasledujúcemu (5^2)^log5(3) alebo 5^(2 * log 5(3)). Napíšme to inak: 5^log 5(3*2), alebo druhú mocninu čísla ako argument funkcie môžeme zapísať ako druhú mocninu samotnej funkcie (5^log 5(3))^2. Použitím vlastností logaritmov sa tento výraz rovná 3^2. Odpoveď: ako výsledok výpočtu dostaneme 9.
Praktické využitie
Zdá sa, že ide o čisto matematický nástroj skutočný životže logaritmus náhle nadobudol veľký význam opísať objekty skutočného sveta. Je ťažké nájsť vedu, kde sa nepoužíva. Toto je in naplno sa týka nielen prírodných, ale aj humanitných oblastí poznania.
Logaritmické závislosti
Tu je niekoľko príkladov numerických závislostí:
Mechanika a fyzika
Historicky sa mechanika a fyzika vždy rozvíjali pomocou matematických výskumných metód a zároveň slúžili ako stimul pre rozvoj matematiky, vrátane logaritmov. Teória väčšiny fyzikálnych zákonov je napísaná v jazyku matematiky. Uveďme len dva príklady opisu fyzikálnych zákonov pomocou logaritmu.
Problém výpočtu takého zložitého množstva, ako je rýchlosť rakety, možno vyriešiť pomocou vzorca Tsiolkovského, ktorý položil základ pre teóriu prieskumu vesmíru:
V = I * ln (M1/M2), kde
- V je konečná rýchlosť lietadla.
- I – špecifický impulz motora.
- M 1 – počiatočná hmotnosť rakety.
- M 2 – výsledná hmotnosť.
Ďalší dôležitý príklad- to je použité vo vzorci iného veľkého vedca Maxa Plancka, ktorý slúži na vyhodnotenie rovnovážneho stavu v termodynamike.
S = k * ln (Ω), kde
- S – termodynamická vlastnosť.
- k – Boltzmannova konštanta.
- Ω je štatistická váha rôznych stavov.
Chémia
Menej zrejmé je použitie vzorcov v chémii obsahujúcich pomer logaritmov. Uveďme len dva príklady:
- Nernstova rovnica, stav redoxného potenciálu prostredia vo vzťahu k aktivite látok a rovnovážnej konštante.
- Výpočet takých konštánt, ako je index autolýzy a kyslosť roztoku, sa tiež nezaobíde bez našej funkcie.
Psychológia a biológia
A vôbec nie je jasné, čo s tým má psychológia spoločné. Ukazuje sa, že silu vnemu táto funkcia dobre popisuje ako inverzný pomer hodnoty intenzity stimulu k nižšej hodnote intenzity.
Po vyššie uvedených príkladoch už nie je prekvapujúce, že téma logaritmov je v biológii široko používaná. O biologických formách zodpovedajúcich logaritmickým špirálam by sa dali písať celé zväzky.
Ostatné oblasti
Zdá sa, že existencia sveta je nemožná bez spojenia s touto funkciou a riadi všetky zákony. Najmä vtedy, keď súvisia prírodné zákony geometrická progresia. Stojí za to obrátiť sa na webovú stránku MatProfi a existuje veľa takýchto príkladov v nasledujúcich oblastiach činnosti:
Zoznam môže byť nekonečný. Po zvládnutí základných princípov tejto funkcie sa môžete ponoriť do sveta nekonečnej múdrosti.
