Odmocnina štvorca. Čo je aritmetická druhá odmocnina

Študenti sa vždy pýtajú: „Prečo nemôžem pri skúške z matematiky použiť kalkulačku? Ako extrahovať druhú odmocninu čísla bez kalkulačky? Skúsme si na túto otázku odpovedať.

Ako extrahovať druhú odmocninu čísla bez pomoci kalkulačky?

Akcia odmocnina inverzná k akcii kvadratúry.

√81= 9 9 2 =81

Ak vezmete druhú odmocninu kladného čísla a odmocníte výsledok, dostanete rovnaké číslo.

Od nie veľké čísla, čo sú presné štvorce prirodzené čísla, napríklad 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 odmocničiek možno extrahovať orálne. Zvyčajne v škole učia tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel do dvadsať. Keď poznáte túto tabuľku, je ľahké extrahovať odmocniny z čísel 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel väčších ako 400 ich môžete extrahovať pomocou metódy výberu pomocou niekoľkých tipov. Skúsme sa na túto metódu pozrieť na príklade.

Príklad: Extrahujte koreň čísla 676.

Všimli sme si, že 20 2 = 400 a 30 2 = 900, čo znamená 20< √676 < 900.

Presné druhé mocniny prirodzených čísel končia 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Číslo 6 je dané 4 2 a 6 2.
To znamená, že ak je odmocnina prevzatá z 676, potom je to buď 24 alebo 26.

Zostáva skontrolovať: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odpoveď: √676 = 26 .

Viac príklad: √6889 .

Pretože 80 2 = 6400 a 90 2 = 8100, potom 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dané 3 2 a 7 2, potom √6889 sa rovná buď 83 alebo 87.

Skontrolujeme: 83 2 = 6889.

odpoveď: √6889 = 83 .

Ak zistíte, že je to ťažké vyriešiť pomocou metódy výberu, môžete použiť radikálny výraz.

Napríklad, nájsť √893025.

Zoberme si číslo 893025, pamätajte, že ste to robili v šiestej triede.

Získame: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Viac príklad: √20736. Zoberme si číslo 20736:

Získame √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktorizácia si samozrejme vyžaduje znalosť znakov deliteľnosti a schopnosti faktorizácie.

A nakoniec, existuje pravidlo pre extrakciu odmocnin. Zoznámime sa s týmto pravidlom na príkladoch.

Vypočítajte √279841.

Aby sme extrahovali odmocninu viacciferného celého čísla, rozdelíme ho sprava doľava na plochy obsahujúce 2 číslice (krajný okraj vľavo môže obsahovať jednu číslicu). Píšeme to takto: 27'98'41

Aby sme získali prvú číslicu odmocniny (5), vezmeme druhú odmocninu najväčšieho dokonalého štvorca obsiahnutého v prvej ploche vľavo (27).
Potom sa druhá mocnina prvej číslice odmocniny (25) odčíta od prvej plochy a ďalšia plocha (98) sa pripočíta k rozdielu (odčíta sa).
Naľavo od výsledného čísla 298 napíšte dvojciferné číslo koreňa (10), vydeľte ním počet všetkých desiatok predtým získaného čísla (29/2 ≈ 2), otestujte kvocient (102 ∙ 2 = 204 by nemalo byť väčšie ako 298) a za prvú číslicu koreňa napíšte (2).
Potom sa výsledný kvocient 204 odpočíta od 298 a ďalšia hrana (41) sa pripočíta k rozdielu (94).
Naľavo od výsledného čísla 9441 napíšte dvojitý súčin číslic odmocniny (52 ∙2 = 104), týmto súčinom vydeľte počet všetkých desiatok čísla 9441 (944/104 ≈ 9), otestujte kvocient (1049 ∙9 = 9441) by mal byť 9441 a zapísať ho (9) za druhú číslicu odmocniny.

Dostali sme odpoveď √279841 = 529.

Extrahujte podobne korene desatinných zlomkov. Iba radikálne číslo musí byť rozdelené na tváre tak, aby bola čiarka medzi tvárami.

Príklad. Nájdite hodnotu √0,00956484.

Len si pamätajte, že ak má desatinný zlomok nepárny počet desatinných miest, nemožno z neho odmocninu.

Takže teraz ste videli tri spôsoby, ako extrahovať koreň. Vyberte si ten, ktorý vám najviac vyhovuje a cvičte. Aby ste sa naučili riešiť problémy, musíte ich riešiť. A ak máte nejaké otázky, prihláste sa na moje lekcie.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Plocha štvorcového pozemku je 81 dm². Nájdite jeho stranu. Predpokladajme, že dĺžka strany štvorca je X decimetre. Potom je plocha pozemku X² štvorcových decimetrov. Keďže podľa podmienky je táto plocha rovná 81 dm², tak X² = 81. Dĺžka strany štvorca je kladné číslo. Kladné číslo, ktorého druhá mocnina je 81, je číslo 9. Pri riešení úlohy bolo potrebné nájsť číslo x, ktorého druhá mocnina je 81, teda vyriešiť rovnicu X² = 81. Táto rovnica má dva korene: X 1 = 9 a X 2 = - 9, pretože 9² = 81 a (- 9)² = 81. Obidve čísla 9 a - 9 sa nazývajú odmocniny z čísla 81.

Všimnite si, že jedna odmocnina X= 9 je kladné číslo. Nazýva sa aritmetická druhá odmocnina z 81 a označuje sa √81, teda √81 = 9.

Aritmetická druhá odmocnina čísla A je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná A.

Napríklad čísla 6 a - 6 sú odmocniny čísla 36. Číslo 6 je však aritmetická odmocnina z 36, pretože 6 je nezáporné číslo a 6² = 36. Číslo - 6 nie je aritmetický koreň.

Aritmetická druhá odmocnina čísla A označené takto: √ A.

Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina; A- nazývaný radikálny výraz. Výraz √ Ačítať takto: aritmetická druhá odmocnina čísla A. Napríklad √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V prípadoch, keď je jasné, že hovoríme o aritmetickej odmocnine, stručne hovoria: „druhá odmocnina z A«.

Akt nájdenia druhej odmocniny čísla sa nazýva odmocnenie. Táto akcia je opakom kvadratúry.

Môžete odmocniť akékoľvek číslo, ale nemôžete získať druhé odmocniny z akéhokoľvek čísla. Napríklad nie je možné extrahovať druhú odmocninu čísla - 4. Ak takýto odmocninec existoval, potom ho označte písmenom X, dostali by sme nesprávnu rovnosť x² = - 4, keďže naľavo je nezáporné číslo a napravo záporné číslo.

Výraz √ A dáva zmysel len vtedy a ≥ 0. Definíciu druhej odmocniny možno stručne zapísať ako: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Rovnosť (√ A)² = A platný na a ≥ 0. Aby sa teda zabezpečilo, že druhá odmocnina nezáporného čísla A rovná sa b, teda v tom, že √ A =b, musíte skontrolovať, či sú splnené nasledujúce dve podmienky: b ≥ 0, b² = A.

Druhá odmocnina zlomku

Poďme počítať. Všimnite si, že √25 = 5, √36 = 6 a skontrolujeme, či platí rovnosť.

Pretože a potom platí rovnosť. takže, .

Veta: Ak A≥ 0 a b> 0, to znamená, že koreň zlomku sa rovná koreňu čitateľa vydelenému odmocninou menovateľa. Je potrebné preukázať, že: a .

Od √ A≥0 a √ b> 0, potom .

O vlastnosti umocnenia zlomku a definícii druhej odmocniny veta je dokázaná. Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Vypočítajte pomocou osvedčenej vety .

Druhý príklad: Dokážte to , Ak A ≤ 0, b < 0. .

Ďalší príklad: Vypočítajte .

.

Konverzia druhej odmocniny

Odstránenie násobiteľa spod koreňového znaku. Nech je daný výraz. Ak A≥ 0 a b≥ 0, potom pomocou koreňovej vety produktu môžeme napísať:

Táto transformácia sa nazýva odstránenie faktora z koreňového znamienka. Pozrime sa na príklad;

Vypočítajte pri X= 2. Priama substitúcia X= 2 v radikálnom výraze vedie k zložitým výpočtom. Tieto výpočty je možné zjednodušiť, ak najprv odstránite faktory pod koreňovým znakom: . Ak teraz dosadíme x = 2, dostaneme:.

Takže pri odstránení faktora spod koreňového znamienka je radikálny výraz reprezentovaný vo forme súčinu, v ktorom jeden alebo viac faktorov sú druhé mocniny nezáporných čísel. Potom aplikujte vetu o koreni produktu a vezmite koreň každého faktora. Uvažujme o príklade: Zjednodušte výraz A = √8 + √18 - 4√2 vyňatím faktorov v prvých dvoch členoch spod znamienka odmocniny, dostaneme:. Zdôrazňujeme, že rovnosť platí len vtedy A≥ 0 a b≥ 0. ak A < 0, то .

Pred kalkulačkami študenti a učitelia počítali odmocniny ručne. Existuje niekoľko spôsobov, ako manuálne vypočítať druhú odmocninu čísla. Niektoré z nich ponúkajú len približné riešenie, iné uvádzajú presnú odpoveď.

Kroky

Prvotná faktorizácia

Rozdeľte radikálne číslo do faktorov, ktoré sú štvorcovými číslami. V závislosti od radikálneho čísla dostanete približnú alebo presnú odpoveď. Štvorcové čísla sú čísla, z ktorých možno odmocniť celú. Faktory sú čísla, ktoré po vynásobení dávajú pôvodné číslo. Napríklad faktory čísla 8 sú 2 a 4, keďže 2 x 4 = 8, čísla 25, 36, 49 sú štvorcové čísla, pretože √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Štvorcové faktory sú faktory , čo sú štvorcové čísla. Najprv sa pokúste rozdeliť radikálne číslo na štvorcové faktory.

• Napríklad vypočítajte druhú odmocninu zo 400 (ručne). Najprv skúste rozdeliť 400 na štvorcové faktory. 400 je násobok 100, to znamená deliteľné 25 - toto je štvorcové číslo. Vydelením 400 číslom 25 získate 16. Číslo 16 je tiež štvorcové číslo. Čiže 400 možno rozdeliť na štvorcové faktory 25 a 16, teda 25 x 16 = 400.
• Dá sa to zapísať takto: √400 = √(25 x 16).

1. Druhá odmocnina súčinu niektorých členov sa rovná súčinu druhých odmocnín každého člena, teda √(a x b) = √a x √b. Pomocou tohto pravidla zoberte druhú odmocninu každého štvorcového faktora a vynásobte výsledky, aby ste našli odpoveď.

   • V našom príklade vezmite odmocninu z 25 a 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ak sa radikálne číslo nezohľadňuje v dvoch štvorcových faktoroch (a to sa stáva vo väčšine prípadov), nebudete môcť nájsť presnú odpoveď vo forme celého čísla. Problém však môžete zjednodušiť tak, že radikálne číslo rozložíte na štvorcový faktor a obyčajný faktor (číslo, z ktorého sa nedá vziať celá druhá odmocnina). Potom vezmete druhú odmocninu zo štvorcového faktora a odmocníte zo spoločného faktora.

   • Vypočítajte napríklad druhú odmocninu čísla 147. Číslo 147 nemožno rozdeliť na dva štvorcové faktory, ale je možné ho rozložiť na nasledujúce faktory: 49 a 3. Úlohu vyriešte takto:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. V prípade potreby odhadnite hodnotu koreňa. Teraz môžete odhadnúť hodnotu koreňa (nájsť približnú hodnotu) porovnaním s hodnotami koreňov štvorcových čísel, ktoré sú najbližšie (na oboch stranách číselnej osy) k radikálnemu číslu. Získate hodnotu koreňa ako desiatkový, ktoré je potrebné vynásobiť číslom za koreňovým znamienkom.

   • Vráťme sa k nášmu príkladu. Radikálne číslo je 3. Najbližšie k nemu budú štvorcové čísla 1 (√1 = 1) a 4 (√4 = 2). Hodnota √3 sa teda nachádza medzi 1 a 2. Keďže hodnota √3 je pravdepodobne bližšie k 2 ako k 1, náš odhad je: √3 = 1,7. Túto hodnotu vynásobíme číslom v koreňovom znamienku: 7 x 1,7 = 11,9. Ak si to spočítate na kalkulačke, dostanete 12,13, čo je dosť blízko k našej odpovedi.
     • Táto metóda funguje aj pri veľkých číslach. Zvážte napríklad √35. Radikálne číslo je 35. Najbližšie k nemu budú štvorcové čísla 25 (√25 = 5) a 36 (√36 = 6). Hodnota √35 sa teda nachádza medzi 5 a 6. Keďže hodnota √35 je oveľa bližšie k 6 ako k 5 (pretože 35 je len o 1 menej ako 36), môžeme povedať, že √35 je o niečo menej ako 6 Kontrola na kalkulačke nám dáva odpoveď 5,92 - mali sme pravdu.

4. Ďalším spôsobom je faktor radikálneho čísla do prvočísel. Prvočísla sú čísla, ktoré sú deliteľné iba 1 a samy sebou. Napíš to hlavné faktory v rade a nájdite dvojice rovnakých faktorov. Takéto faktory môžu byť odstránené z koreňového znaku.

   • Napríklad vypočítajte druhú odmocninu z 45. Radikálové číslo rozdelíme na prvočísla: 45 = 9 x 5 a 9 = 3 x 3. Teda √45 = √(3 x 3 x 5). 3 možno vybrať ako odmocninu: √45 = 3√5. Teraz môžeme odhadnúť √5.
   • Pozrime sa na ďalší príklad: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Dostali ste tri násobky 2; vezmite ich pár a presuňte ich za koreňový znak.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Teraz môžete vyhodnotiť √2 a √11 a nájsť približnú odpoveď.

   Ručný výpočet druhej odmocniny

   Použitie dlhého delenia

   1. Táto metóda zahŕňa proces podobný dlhému deleniu a poskytuje presnú odpoveď. Najprv nakreslite zvislú čiaru rozdeľujúcu hárok na dve polovice a potom vpravo a mierne pod horný okraj hárku nakreslite vodorovnú čiaru k zvislej čiare. Teraz rozdeľte radikálne číslo na dvojice čísel, počnúc zlomkovou časťou za desatinnou čiarkou. Takže číslo 79520789182.47897 je napísané ako "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Vypočítajme napríklad druhú odmocninu z čísla 780,14. Nakreslite dve čiary (ako je znázornené na obrázku) a napíšte dané číslo v tvare „7 80, 14“ vľavo hore. Je normálne, že prvá číslica zľava je nespárovaná číslica. Odpoveď (koreň z dané číslo) zapíšete vpravo hore.

   2. Pre prvý pár čísel (alebo jedno číslo) zľava nájdite najväčšie celé číslo n, ktorého druhá mocnina je menšia alebo sa rovná príslušnému páru čísel (alebo jednotlivému číslu). Inými slovami, nájdite druhé číslo, ktoré je najbližšie, ale menšie ako prvý pár čísel (alebo jediné číslo) zľava, a zoberte druhú odmocninu tohto druhého čísla; dostanete číslo n. Napíšte n, ktoré ste našli vpravo hore, a napíšte druhú mocninu n vpravo dole.

      • V našom prípade bude prvé číslo vľavo 7. Ďalej 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odčítajte druhú mocninu čísla n, ktoré ste práve našli, od prvého páru čísel (alebo jedného čísla) vľavo. Výsledok výpočtu zapíšte pod subtrahend (druhá mocnina čísla n).

      • V našom príklade odpočítajte 4 od 7 a dostanete 3.

   4. Zložte druhú dvojicu čísel a zapíšte ju vedľa hodnoty získanej v predchádzajúcom kroku. Potom zdvojnásobte číslo vpravo hore a výsledok napíšte vpravo dole s pridaním „_×_=".

      • V našom príklade je druhý pár čísel "80". Za 3 napíšte „80“. Potom zdvojnásobením čísla vpravo hore získate 4. Vpravo dole napíšte „4_×_=".

   5. Vyplňte prázdne miesta na pravej strane.

      • V našom prípade, ak namiesto pomlčiek dáme číslo 8, potom 48 x 8 = 384, čo je viac ako 380. Preto je 8 príliš veľké číslo, ale 7 bude stačiť. Napíšte 7 namiesto pomlčiek a získajte: 47 x 7 = 329. Napíšte 7 vpravo hore - to je druhá číslica v želanej druhej odmocnine čísla 780,14.

   6. Odčítajte výsledné číslo od aktuálneho čísla vľavo. Výsledok z predchádzajúceho kroku zapíšte pod aktuálne číslo vľavo, nájdite rozdiel a zapíšte ho pod podtlačník.

      • V našom príklade odpočítajte 329 od 380, čo sa rovná 51.

   7. Opakujte krok 4. Ak je prenášaný pár čísel zlomkovou časťou pôvodného čísla, potom vložte oddeľovač (čiarku) medzi celé číslo a zlomkovú časť v požadovanej druhej odmocnine vpravo hore. Naľavo znížte ďalší pár čísel. Zdvojnásobte číslo vpravo hore a výsledok napíšte vpravo dole s pridaním "_×_=".

      • V našom príklade bude ďalšou dvojicou čísel, ktorá sa má odstrániť, zlomková časť čísla 780,14, preto umiestnite oddeľovač celého čísla a zlomkovej časti do požadovanej druhej odmocniny vpravo hore. Zložte 14 a napíšte ho vľavo dole. Dvojité číslo vpravo hore (27) je 54, takže napíšte "54_×_=" vpravo dole.

   8. Opakujte kroky 5 a 6. Nájdite jednu najväčší počet namiesto pomlčiek vpravo (namiesto pomlčiek je potrebné dosadiť rovnaké číslo), aby výsledok násobenia bol menší alebo rovný aktuálnemu číslu vľavo.

      • V našom príklade je 549 x 9 = 4941, čo je menej ako aktuálne číslo vľavo (5114). Vpravo hore napíšte 9 a od aktuálneho čísla vľavo odčítajte výsledok násobenia: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ak potrebujete nájsť viac desatinných miest pre druhú odmocninu, napíšte pár núl naľavo od aktuálneho čísla a zopakujte kroky 4, 5 a 6. Opakujte kroky, kým nezískate presnosť odpovede (počet desatinných miest). potrebu.

      Pochopenie procesu

      1. Na asimiláciu túto metódu myslite na číslo, ktorého druhú odmocninu chcete nájsť, ako plochu štvorca S. V tomto prípade budete hľadať dĺžku strany L takéhoto štvorca. Hodnotu L vypočítame tak, že L² = S.

         Ku každému číslu v odpovedi uveďte písmeno. Označme A prvú číslicu hodnoty L (požadovaná druhá odmocnina). B bude druhá číslica, C tretia a tak ďalej.

         Zadajte písmeno pre každý pár prvých číslic. Označme S a prvú dvojicu číslic v hodnote S, S b druhú dvojicu číslic atď.

         Pochopte súvislosť medzi touto metódou a dlhým delením. Rovnako ako pri delení, kde nás vždy zaujíma iba ďalšia číslica čísla, ktoré delíme, pri výpočte druhej odmocniny postupujeme postupne cez dvojicu číslic (aby sme dostali ďalšiu číslicu v hodnote druhej odmocniny) .

      2. Zvážte prvý pár číslic Sa čísla S (v našom príklade Sa = 7) a nájdite jeho druhú odmocninu. V tomto prípade prvá číslica A požadovanej druhej odmocniny bude číslica, ktorej druhá mocnina je menšia alebo rovná S a (to znamená, že hľadáme A také, že nerovnosť A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Povedzme, že potrebujeme deliť 88962 číslom 7; tu bude prvý krok podobný: zvážime prvú číslicu deliteľného čísla 88962 (8) a vyberieme najväčšie číslo, ktoré po vynásobení číslom 7 dáva hodnotu menšiu alebo rovnú 8. To znamená, že hľadáme číslo d, pre ktoré platí nerovnosť: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. V duchu si predstavte štvorec, ktorého plochu musíte vypočítať. Hľadáte L, teda dĺžku strany štvorca, ktorého obsah je S. A, B, C sú čísla v čísle L. Môžete to napísať rôzne: 10A + B = L (pre dvojciferné číslo) alebo 100A + 10V + C = L (napr trojciferné číslo) a tak ďalej.

         • Nechaj (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamätajte, že 10A+B je číslo, v ktorom číslica B znamená jednotky a číslica A znamená desiatky. Napríklad, ak A=1 a B=2, potom 10A+B sa rovná číslu 12. (10A+B)² je plocha celého námestia, 100A²- plocha veľkého vnútorného námestia, B²- plocha malého vnútorného štvorca, 10A×B- plocha každého z dvoch obdĺžnikov. Sčítaním plôch opísaných obrázkov získate plochu pôvodného štvorca.

Pomerne často sa pri riešení problémov stretávame s veľkými číslami, z ktorých musíme vyťažiť Odmocnina. Mnohí študenti sa rozhodnú, že ide o chybu a začnú celý príklad riešiť znova. V žiadnom prípade to nerobte! Sú na to dva dôvody:

1. V problémoch sa objavujú korene veľkých čísel. Najmä v textových;
2. Existuje algoritmus, pomocou ktorého sa tieto korene vypočítavajú takmer ústne.

Tento algoritmus dnes zvážime. Možno sa vám niektoré veci budú zdať nepochopiteľné. Ale ak budete venovať pozornosť tejto lekcii, dostanete silnú zbraň proti odmocniny.

Takže, algoritmus:

1. Obmedzte požadovaný koreň nad a pod na čísla, ktoré sú násobkami 10. Zredukujeme teda rozsah vyhľadávania na 10 čísel;
2. Z týchto 10 čísel vyraďte tie, ktoré rozhodne nemôžu byť koreňmi. V dôsledku toho zostanú 1-2 čísla;
3. Odmocni tieto 1-2 čísla. Ten, ktorého druhá mocnina sa rovná pôvodnému číslu, bude odmocninou.

Pred uvedením tohto algoritmu do praxe sa pozrime na každý jednotlivý krok.

Obmedzenie koreňa

V prvom rade musíme zistiť, medzi ktorými číslami sa nachádza náš koreň. Je veľmi žiaduce, aby čísla boli násobky desiatich:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dostaneme sériu čísel:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Čo nám tieto čísla hovoria? Je to jednoduché: dostávame hranice. Vezmime si napríklad číslo 1296. Leží medzi 900 a 1600. Preto jeho koreň nemôže byť menší ako 30 a väčší ako 40:

[Popis k obrázku]

To isté platí pre akékoľvek iné číslo, z ktorého môžete nájsť druhú odmocninu. Napríklad 3364:

[Popis k obrázku]

Namiesto nezrozumiteľného čísla tak dostaneme veľmi špecifický rozsah, v ktorom leží pôvodný koreň. Ak chcete ďalej zúžiť oblasť vyhľadávania, prejdite na druhý krok.

Odstránenie zjavne nepotrebných čísel

Takže máme 10 čísel - kandidátov na koreň. Získali sme ich veľmi rýchlo, bez zložitého premýšľania a násobenia v stĺpci. Je čas pohnúť sa.

Verte či neverte, teraz znížime počet kandidátskych čísel na dve – a opäť bez akýchkoľvek zložité výpočty! Stačí poznať špeciálne pravidlo. Tu je:

Posledná číslica štvorca závisí len od poslednej číslice pôvodné číslo.

Inými slovami, stačí sa pozrieť na poslednú číslicu štvorca a hneď pochopíme, kde končí pôvodné číslo.

Na poslednom mieste môže byť iba 10 číslic. Pokúsme sa zistiť, na čo sa premenia pri štvorci. Pozrite sa na tabuľku:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Táto tabuľka je ďalším krokom k výpočtu koreňa. Ako vidíte, čísla v druhom riadku sa ukázali ako symetrické vzhľadom na päť. Napríklad:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Ako vidíte, posledná číslica je v oboch prípadoch rovnaká. To znamená, že napríklad koreň 3364 musí končiť na 2 alebo 8. Na druhej strane si pamätáme obmedzenie z predchádzajúceho odseku. Dostaneme:

[Popis k obrázku]

Červené štvorce naznačujú, že tento údaj ešte nepoznáme. Ale koreň leží v rozsahu od 50 do 60, na ktorom sú iba dve čísla končiace na 2 a 8:

[Popis k obrázku]

To je všetko! Zo všetkých možných koreňov sme nechali len dve možnosti! A to je v najťažšom prípade, pretože posledná číslica môže byť 5 alebo 0. A potom bude len jeden kandidát na korene!

Záverečné výpočty

Zostali nám teda 2 čísla kandidátov. Ako viete, ktorý z nich je koreň? Odpoveď je zrejmá: odmocni obe čísla. Tá, ktorá odmocnina dáva pôvodné číslo, bude koreňom.

Napríklad pre číslo 3364 sme našli dve kandidátske čísla: 52 a 58. Odmocnime ich:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3 600 − 2 60 2 + 4 = 3 364.

To je všetko! Ukázalo sa, že koreň je 58! Zároveň som pre zjednodušenie výpočtov použil vzorec pre druhé mocniny súčtu a rozdielu. Vďaka tomu som ani nemusel násobiť čísla do stĺpca! Toto je ďalšia úroveň optimalizácie výpočtu, ale, samozrejme, je úplne voliteľná :)

Príklady výpočtu koreňov

Teória je samozrejme dobrá. Poďme si to však overiť v praxi.

[Popis k obrázku]

Najprv zistíme, medzi ktorými číslami leží číslo 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Teraz sa pozrime na posledné číslo. Rovná sa 6. Kedy sa to stane? Iba ak koreň končí na 4 alebo 6. Získame dve čísla:

Zostáva len odmocniť každé číslo a porovnať ho s originálom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Skvelé! Ukázalo sa, že prvý štvorec sa rovná pôvodnému číslu. Takže toto je koreň.

Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:

[Popis k obrázku]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pozrime sa na poslednú číslicu:

1369 → 9;
33; 37.

Štvorec:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1 600 − 2 40 3 + 9 = 1 369.

Tu je odpoveď: 37.

Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:

[Popis k obrázku]

Obmedzujeme počet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pozrime sa na poslednú číslicu:

2704 → 4;
52; 58.

Štvorec:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dostali sme odpoveď: 52. Druhé číslo už nebude potrebné odmocňovať.

Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:

[Popis k obrázku]

Obmedzujeme počet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pozrime sa na poslednú číslicu:

4225 → 5;
65.

Ako vidíte, po druhom kroku zostáva len jedna možnosť: 65. Toto je požadovaný koreň. Ale poďme to urobiť na druhú a skontrolujte:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Všetko je správne. Odpoveď zapíšeme.

Záver

Bohužiaľ, o nič lepšie. Pozrime sa na dôvody. Sú dve z nich:

• Pri akejkoľvek bežnej skúške z matematiky, či už ide o štátnu skúšku alebo jednotnú štátnu skúšku, je používanie kalkulačiek zakázané. A ak si na hodinu prinesiete kalkulačku, ľahko vás zo skúšky vyhodia.
• Nebuďte ako hlúpi Američania. Ktoré nie sú ako odmocniny – nedokážu sčítať dve prvočísla. A keď vidia zlomky, vo všeobecnosti začnú byť hysterické.