Tak naprawdę, aby znaleźć pole figury, nie potrzeba aż tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „obliczyć pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z konstruowaniem rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności w zakresie konstruowania rysunków będą znacznie bardziej palącą kwestią. W związku z tym przydatne jest odświeżenie pamięci o wykresach podstawowych funkcji elementarnych i przynajmniej umiejętność skonstruowania linii prostej i hiperboli.
Zakrzywiony trapez to płaska figura ograniczona osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku w tym przedziale. Niech ta liczba zostanie zlokalizowana nie mniej oś x:
Następnie obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy całce oznaczonej. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.
Z punktu widzenia geometrii określona całka- to jest OBSZAR.
Oznacza to, że pewna całka (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą narysować), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.
Przykład 1
Jest to typowa instrukcja przypisania. Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest losowanie. Ponadto rysunek musi być wykonany PRAWIDŁOWO.
Konstruując rysunek, zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest skonstruować wszystkie linie proste (jeśli występują), a dopiero potem parabole, hiperbole i wykresy innych funkcji. Bardziej opłacalne jest konstruowanie wykresów funkcji punkt po punkcie.
W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Narysujmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):
Na odcinku wykres funkcji znajduje się nad osią, zatem:
Odpowiedź:
Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W w tym przypadku„na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Przykład 3
Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.
Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:
Jeśli zakrzywiony trapez znajduje się pod osią (lub przynajmniej nie wyżej danej osi), to jej pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
W tym przypadku:
Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:
1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnej znaczenie geometryczne, wtedy może być negatywny.
2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.
Przykład 4
Znajdź obszar płaska figura, ograniczone liniami , .
Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:
Oznacza to, że dolna granica całkowania to , górna granica całkowania to .
Jeśli to możliwe, lepiej nie stosować tej metody.
O wiele bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice integracji stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.
Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:
A teraz działający wzór: Jeśli w segmencie jakaś funkcja ciągła jest większa lub równa niektórym funkcja ciągła, wówczas obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami , można znaleźć za pomocą wzoru: 
Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią i mniej więcej ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który PONIŻEJ.
W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej
Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:
Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiedź:
Przykład 4
Oblicz pole figury ograniczone liniami , , , .
Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:
Figura, której pole musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko (przyjrzyj się uważnie stanowi - jak bardzo figura jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często pojawia się „błąd”, że trzeba znaleźć obszar zacienionej figury zielony!
Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych.
Naprawdę :
1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;
2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.
Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:
Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?
Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w Wyszukiwarki. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.
Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam Ci skorzystanie z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.
Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) za pomocą prostego kodu możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.
Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:
Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.
Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawiać formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.
Każdy fraktal jest zbudowany według pewna zasada, który jest stosowany sekwencyjnie nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.
Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.
Przejdźmy do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przyjrzymy się typowemu i najczęstszemu problemowi obliczania pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie wszyscy, którzy szukają sensu w wyższa matematyka- oby go znaleźli. Nigdy nie wiesz. Będziemy musieli przybliżyć to w życiu obszar wiejskiego domku funkcje elementarne i znajdź ich pole za pomocą całki oznaczonej.
Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:
1) Zrozum Całka nieoznaczona przynajmniej na średnim poziomie. Zatem manekiny powinny najpierw zapoznać się z lekcją He.
2) Potrafić zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Możesz nawiązać ciepłe, przyjazne relacje z całkami oznaczonymi na stronie Całka oznaczona. Przykłady rozwiązań. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z konstruowaniem rysunku, dlatego ważna będzie także Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe. Musisz przynajmniej umieć skonstruować linię prostą, parabolę i hiperbolę.
Zacznijmy od zakrzywionego trapezu. Zakrzywiony trapez to płaska figura ograniczona wykresem jakiejś funkcji y = F(X), oś WÓŁ i linie X = A; X = B.
Pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe całce oznaczonej
Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Całka oznaczona. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas podać kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE. Oznacza to, że pewna całka (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy całkę oznaczoną
Integrand
definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.
Przykład 1
, , , .
Jest to typowa instrukcja przypisania. Najważniejszy punkt rozwiązania - rysunek. Ponadto rysunek musi być wykonany PRAWIDŁOWO.
Konstruując rysunek, zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest skonstruować wszystkie linie proste (jeśli takie istnieją), a dopiero potem parabole, hiperbole i wykresy innych funkcji. Technikę konstrukcji punktowej można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i właściwości funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również bardzo przydatny materiał do naszej lekcji - jak szybko zbudować parabolę.
W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Zróbmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie y= 0 określa oś WÓŁ):
Nie będziemy cieniować zakrzywionego trapezu, tutaj jest oczywiste, o jakim obszarze mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:
Na odcinku [-2; 1] wykres funkcji y = X 2 + 2 umieszczone nad osią WÓŁ, Dlatego:
Odpowiedź: .
Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza
,
Zapoznaj się z wykładem Całka oznaczona. Przykłady rozwiązań. Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku liczbę komórek na rysunku liczymy „na oko” - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Przykład 2
Oblicz pole figury ograniczone liniami xy = 4, X = 2, X= 4 i oś WÓŁ.
To jest przykład dla niezależna decyzja. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Co zrobić, jeśli pod osią znajduje się zakrzywiony trapez WÓŁ?
Przykład 3
Oblicz pole figury ograniczone liniami y = były, X= 1 i osie współrzędnych.
Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:
Jeśli zakrzywiony trapez znajduje się całkowicie pod osią WÓŁ, to jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
W tym przypadku:
.
Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:
1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.
2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.
Przykład 4
Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y = 2X – X 2 , y = -X.
Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Konstruując rysunek w problemach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli y = 2X – X 2 i prosto y = -X. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:
Oznacza to, że dolna granica całkowania A= 0, górna granica całkowania B= 3. Często bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice całkowania stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:
Powtórzmy, że przy konstruowaniu punktowym granice całkowania wyznaczane są najczęściej „automatycznie”.
A teraz działający wzór:
Jeśli w segmencie [ A; B] jakaś funkcja ciągła F(X) jest większa lub równa jakiejś funkcji ciągłej G(X), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru:
Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią, ale ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który PONIŻEJ.
W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, a zatem od 2 X – X 2 należy odjąć – X.
Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:
Pożądana liczba jest ograniczona parabolą y = 2X – X 2 na górze i prosto y = -X poniżej.
W segmencie 2 X – X 2 ≥ -X. Zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiedź: .
W rzeczywistości szkolny wzór na obszar krzywoliniowego trapezu w dolnej półpłaszczyźnie (patrz przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem wzoru
.
Ponieważ oś WÓŁ dane równaniem y= 0 i wykres funkcji G(X) umieszczonego poniżej osi WÓŁ, To
.
A teraz kilka przykładów własnego rozwiązania
Przykład 5
Przykład 6
Znajdź obszar figury ograniczony liniami
Podczas rozwiązywania problemów związanych z obliczaniem pola za pomocą całki oznaczonej czasami zdarza się zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były prawidłowe, jednak przez nieostrożność... znaleziono obszar niewłaściwej figury.
Przykład 7
Najpierw zróbmy rysunek:
Figura, której pole musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko (przyjrzyj się uważnie stanowi - jak bardzo figura jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi ludzie często decydują, że muszą znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!
Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:
1) Na odcinku [-1; 1] powyżej osi WÓŁ wykres leży prosto y = X+1;
2) Na odcinku powyżej osi WÓŁ znajduje się wykres hiperboli y = (2/X).
Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:
Odpowiedź:
Przykład 8
Oblicz pole figury ograniczone liniami
Przedstawmy równania w formie „szkolnej”.
i wykonaj rysunek punkt po punkcie:
Z rysunku jasno wynika, że nasza górna granica jest „dobra”: B = 1.
Ale jaka jest dolna granica?! Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co to jest?
Może, A=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że rysunek zostanie wykonany z doskonałą dokładnością, może się to okazać A=(-1/4). A co jeśli nieprawidłowo zbudowaliśmy wykres?
W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie wyjaśnić granice integracji.
Znajdźmy punkty przecięcia wykresów
W tym celu rozwiązujemy równanie:
.
Stąd, A=(-1/3).
Dalsze rozwiązanie jest banalne. Najważniejsze, aby nie pomylić się z podstawieniami i znakami. Obliczenia w tym przypadku nie należą do najprostszych. Na segmencie
, 
,
według odpowiedniego wzoru:
Odpowiedź: 
Na zakończenie lekcji spójrzmy na dwa trudniejsze zadania.
Przykład 9
Oblicz pole figury ograniczone liniami
Rozwiązanie: Przedstawmy tę figurę na rysunku.
Aby narysować rysunek punkt po punkcie, musisz wiedzieć wygląd sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, przydatna jest znajomość wykresów wszystkich funkcji elementarnych, a także niektórych wartości sinusoidalnych. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne. W niektórych przypadkach (na przykład w tym przypadku) możliwe jest zbudowanie schematycznego rysunku, na którym powinny być zasadniczo poprawnie wyświetlane wykresy i granice całkowania.
Nie ma tu problemów z granicami całkowania, wynikają one wprost z warunku:
– „x” zmienia się z zera na „pi”. Podejmijmy dalszą decyzję:
Na segmencie wykres funkcji y= grzech 3 X umieszczony nad osią WÓŁ, Dlatego:
(1) Całkę sinusów i cosinusów do potęg nieparzystych możesz zobaczyć na lekcji Całki funkcji trygonometrycznych. Uszczypujemy jedną zatokę.
(2) W formie używamy głównej tożsamości trygonometrycznej
(3) Zmieńmy zmienną T=co X, to: znajduje się powyżej osi, zatem:
.
.
Uwaga: zwróć uwagę na to, jak obliczana jest całka stycznej do sześcianu; zastosowano tutaj wniosek z całki głównej tożsamość trygonometryczna
.
Zastosowanie całki do rozwiązywania problemów stosowanych
Obliczanie powierzchni
Całka oznaczona ciągłej nieujemnej funkcji f(x) jest liczbowo równa powierzchni krzywoliniowego trapezu ograniczonego krzywą y = f(x), osią O x i liniami prostymi x = a i x = b. Zgodnie z tym wzór na powierzchnię zapisuje się w następujący sposób:
Spójrzmy na kilka przykładów obliczania pól figur płaskich.
Zadanie nr 1. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Rozwiązanie. Skonstruujmy figurę, której pole będziemy musieli obliczyć.
y = x 2 + 1 to parabola, której ramiona są skierowane w górę, a parabola jest przesunięta w górę o jedną jednostkę w stosunku do osi O y (rysunek 1).
Rysunek 1. Wykres funkcji y = x 2 + 1
Zadanie nr 2. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 – 1, y = 0 w zakresie od 0 do 1.
 |
Rozwiązanie. Wykres tej funkcji jest parabolą gałęzi skierowanych w górę, przy czym parabola jest przesunięta względem osi O y w dół o jedną jednostkę (rysunek 2).
Rysunek 2. Wykres funkcji y = x 2 – 1
Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami
y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.
Rozwiązanie. Pierwsza z tych dwóch linii to parabola z ramionami skierowanymi w dół, ponieważ współczynnik x 2 jest ujemny, a druga linia to linia prosta przecinająca obie osie współrzędnych.
Aby skonstruować parabolę, znajdujemy współrzędne jej wierzchołka: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – odcięta wierzchołka; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 to jego rzędna, N(1;9) to wierzchołek.
Znajdźmy teraz punkty przecięcia paraboli i prostej, rozwiązując układ równań:
Zrównywanie prawych stron równania, którego lewe strony są równe.
Otrzymujemy 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 lub x 2 – 12 = 0, skąd 
.
Zatem punkty są punktami przecięcia paraboli i linii prostej (rysunek 1).
Rysunek 3 Wykresy funkcji y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4
Konstruujemy prostą y = 2x – 4. Przechodzi ona przez punkty (0;-4), (2;0) na osiach współrzędnych.
Do skonstruowania paraboli można także wykorzystać jej punkty przecięcia z osią 0x, czyli pierwiastki równania 8 + 2x – x 2 = 0 lub x 2 – 2x – 8 = 0. Korzystając z twierdzenia Viety, jest to łatwe znaleźć pierwiastki: x 1 = 2, x 2 = 4.
Rysunek 3 pokazuje figurę (odcinek paraboliczny M 1 N M 2) ograniczoną tymi liniami.
Drugą częścią problemu jest znalezienie obszaru tej figury. Jego pole można obliczyć korzystając z całki oznaczonej ze wzoru 
.
Zastosowano do ten warunek, otrzymujemy całkę: 
2 Obliczanie objętości ciała wirującego
Objętość ciała otrzymaną z obrotu krzywej y = f(x) wokół osi O x oblicza się ze wzoru:
Przy obrocie wokół osi O y formuła wygląda następująco:
Zadanie nr 4. Wyznacz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego liniami prostymi x = 0 x = 3 i krzywą y = wokół osi O x.
Rozwiązanie. Narysujmy obrazek (ryc. 4).
Rysunek 4. Wykres funkcji y =
Wymagana objętość to 
Zadanie nr 5. Oblicz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego krzywą y = x 2 i liniami prostymi y = 0 i y = 4 wokół osi O y.
Rozwiązanie. Mamy:
Przejrzyj pytania
W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy właśnie zakończyliśmy naukę całek oznaczonych i przyszedł czas na geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.
Zatem, co jest potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:
- Umiejętność wykonywania kompetentnych rysunków;
- Umiejętność rozwiązania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
- Możliwość „dostrzeżenia” bardziej opłacalnej opcji rozwiązania – tj. rozumiesz, jak wygodniej będzie przeprowadzić integrację w tym czy innym przypadku? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
- Cóż, gdzie bylibyśmy bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać całki innego rodzaju i prawidłowe obliczenia numeryczne.
Algorytm rozwiązywania problemu obliczania pola figury ograniczonego liniami:
1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w kratkę, na dużą skalę. Nazwę tej funkcji podpisujemy ołówkiem nad każdym wykresem. Podpisywanie wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu żądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice całkowania zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.
2. Jeżeli granice całkowania nie są wyraźnie określone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne z analitycznym.
3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od układu wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważmy różne przykłady o znalezieniu obszaru figury za pomocą całek.
3.1. Najbardziej klasyczna i najprostsza wersja problemu polega na tym, że trzeba znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Co to jest zakrzywiony trapez? Jest to figura płaska ograniczona osią x (y = 0), liniami prostymi x = a, x = b i dowolną krzywą ciągłą w przedziale od a do b. Co więcej, liczba ta nie jest ujemna i nie znajduje się poniżej osi x. W tym przypadku pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe pewnej całce obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:
Przykład 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Jakimi liniami ograniczona jest figura? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, która znajduje się powyżej osi OX, jest nieujemna, ponieważ mają wszystkie punkty tej paraboli wartości dodatnie. Następnie podane są linie proste x = 1 i x = 3, które biegną równolegle do osi wzmacniacza operacyjnego i stanowią linie graniczne figury po lewej i prawej stronie. Cóż, y = 0, co jest również osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa figura jest zacieniowana, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład zakrzywionego trapezu, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.
3.2. W poprzednim akapicie 3.1 zbadaliśmy przypadek, gdy zakrzywiony trapez znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki zadania są takie same, z tą różnicą, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Poniżej zastanowimy się, jak rozwiązać taki problem.
Przykład 2. Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
W tym przykładzie mamy parabolę y = x2 + 6x + 2, która wychodzi spod osi OX, prostych x = -4, x = -1, y = 0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną liczbę z góry. Proste x = -4 i x = -1 to granice, w obrębie których zostanie obliczona całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia pola figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła na przedziale [-4; -1] . Co masz na myśli mówiąc, że nie jest pozytywny? Jak widać z rysunku, liczba znajdująca się w obrębie podanych x ma wyłącznie współrzędne „ujemne”, co musimy zobaczyć i zapamiętać przy rozwiązywaniu problemu. Pole figury szukamy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.
Artykuł nie jest ukończony.
