Instrukcje

Jeżeli równanie jest przedstawione w postaci: dy/dx = q(x)/n(y), należy je zaklasyfikować jako równania różniczkowe z rozłącznymi zmiennymi. Można je rozwiązać zapisując warunek w różniczkach w następujący sposób: n(y)dy = q(x)dx. Następnie zintegruj obie strony. W niektórych przypadkach rozwiązanie zapisuje się w postaci całek wziętych ze znanych funkcji. Na przykład w przypadku dy/dx = x/y otrzymujemy q(x) = x, n(y) = y. Zapisz to w postaci ydy = xdx i całkuj. Powinno być y^2 = x^2 + c.

Do liniowego równania powiąż równania z „pierwszym”. Nieznana funkcja wraz z jej pochodnymi wchodzi do takiego równania tylko w pierwszym stopniu. Liniowość ma postać dy/dx + f(x) = j(x), gdzie f(x) i g(x) są funkcjami zależnymi od x. Rozwiązanie zapisuje się przy użyciu całek wziętych ze znanych funkcji.

Proszę zwrócić uwagę, że wiele równania różniczkowe- są to równania drugiego rzędu (zawierające drugie pochodne) Przykładowo jest to równanie prostego ruchu harmonicznego zapisane w postaci ogólnej: md 2x/dt 2 = –kx. Równania takie mają w , rozwiązania szczególne. Równanie prostego ruchu harmonicznego jest przykładem czegoś dość ważnego: liniowych równań różniczkowych o stałym współczynniku.

Jeśli w warunkach problemu istnieje tylko jedno równanie liniowe, oznacza to, że je otrzymałeś dodatkowe warunki, dzięki czemu można znaleźć rozwiązanie. Przeczytaj uważnie problem, aby znaleźć te warunki. Jeśli zmienne x i y oznaczają odległość, prędkość, wagę - możesz ustawić limit x≥0 i y≥0. Jest całkiem możliwe, że x lub y ukrywa liczbę jabłek itp. – wtedy wartości mogą być tylko . Jeżeli x jest wiekiem syna, to jasne jest, że nie może on być starszy od ojca, dlatego należy to wskazać w warunkach zadania.

Źródła:

• jak rozwiązać równanie z jedną zmienną

Problemy rachunku różniczkowego i całkowego to ważne elementy utrwalenie teorii Analiza matematyczna, Sekcja wyższa matematyka, studiował na uniwersytetach. Mechanizm różnicowy równanie rozwiązać metodą całkowania.

Instrukcje

Rachunek różniczkowy bada właściwości . I odwrotnie, całkowanie funkcji pozwala na uzyskanie danych właściwości, tj. pochodne lub różniczki funkcji, aby ją znaleźć. To jest rozwiązanie równania różniczkowego.

Wszystko jest związkiem pomiędzy nieznaną wielkością a znanymi danymi. W przypadku równania różniczkowego rolę niewiadomej pełni funkcja, a znanych wielkości jej pochodne. Dodatkowo relacja może zawierać zmienną niezależną: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, gdzie x jest niewiadomą zmienna, y (x) to funkcja, którą należy wyznaczyć, rząd równania to maksymalny rząd pochodnej (n).

Takie równanie nazywa się równaniem różniczkowym zwyczajnym. Jeżeli zależność zawiera kilka zmiennych niezależnych oraz pochodne cząstkowe (różniczki) funkcji względem tych zmiennych, wówczas równanie nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym i ma postać: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , gdzie z(x, y) jest wymaganą funkcją.

Aby więc nauczyć się rozwiązywać równania różniczkowe, musisz umieć znajdować funkcje pierwotne, tj. rozwiązać zadanie odwrotne do różniczkowania. Na przykład: Rozwiąż równanie pierwszego rzędu y’ = -y/x.

RozwiązanieZamień y’ na dy/dx: dy/dx = -y/x.

Sprowadź równanie do postaci wygodnej do całkowania. Aby to zrobić, pomnóż obie strony przez dx i podziel przez y:dy/y = -dx/x.

Całkuj: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + C.

Rozwiązanie to nazywa się ogólnym równaniem różniczkowym. C jest stałą, której zbiór wartości określa zbiór rozwiązań równania. Dla dowolnej określonej wartości C rozwiązanie będzie unikalne. To rozwiązanie jest częściowym rozwiązaniem równania różniczkowego.

Rozwiązywanie większości równań wyższego rzędu stopni nie ma jasnego wzoru na znalezienie pierwiastka kwadratowego równania. Istnieje jednak kilka metod redukcji, które pozwalają przekształcić równanie wyższego stopnia w formę bardziej wizualną.

Instrukcje

Najpopularniejszą metodą rozwiązywania równań wyższego stopnia jest rozwinięcie. Podejście to polega na połączeniu wybierania pierwiastków całkowitych, dzielników wyrazu wolnego i późniejszego podziału wielomianu ogólnego do postaci (x – x0).

Na przykład rozwiąż równanie x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rozwiązanie: Wyraz wolny tego wielomianu wynosi -3, zatem jego dzielnikami całkowitymi mogą być liczby ±1 i ±3. Podstaw je jeden po drugim do równania i dowiedz się, czy otrzymasz tożsamość: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Drugi pierwiastek x = -1. Podziel przez wyrażenie (x + 1). Wynikowe równanie zapisz (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Stopień został zredukowany do sekundy, zatem równanie może mieć jeszcze dwa pierwiastki. Aby je znaleźć, rozwiąż równanie kwadratowe: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Wyróżnik ma wartość ujemną, co oznacza, że ​​równanie nie ma już pierwiastków rzeczywistych. Znajdź pierwiastki zespolone równania: x = (-2 + i·√11)/2 i x = (-2 – i·√11)/2.

Inną metodą rozwiązania równania wyższego stopnia jest zmiana zmiennych tak, aby było ono kwadratowe. Podejście to stosuje się, gdy wszystkie potęgi równania są parzyste, np.: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Teraz znajdź pierwiastki pierwotnego równania: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Wskazówka 10: Jak wyznaczyć równania Redox

Reakcja chemiczna to proces przemiany substancji, który zachodzi wraz ze zmianą ich składu. Substancje, które reagują, nazywane są substancjami początkowymi, a te, które powstają w wyniku tego procesu, nazywane są produktami. Zdarza się, że w trakcie Reakcja chemiczna pierwiastki tworzące substancje wyjściowe zmieniają swój stopień utlenienia. Oznacza to, że mogą przyjąć cudze elektrony i oddać własne. W obu przypadkach zmienia się ich ładunek. Takie reakcje nazywane są reakcjami redoks.

Notatki z wykładów nt

równania różniczkowe

Równania różniczkowe

Wstęp

Przy badaniu pewnych zjawisk często pojawia się sytuacja, gdy procesu nie da się opisać równaniem y=f(x) lub F(x;y)=0. Oprócz zmiennej x i nieznanej funkcji do równania wchodzi pochodna tej funkcji.

Definicja: Nazywa się równanie łączące zmienną x, nieznaną funkcję y(x) i jej pochodne równanie różniczkowe. W ogólna perspektywa równanie różniczkowe wygląda następująco:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Definicja: Rząd równania różniczkowego to rząd najwyższej pochodnej zawartej w nim.

–równanie różniczkowe pierwszego rzędu

–równanie różniczkowe trzeciego rzędu

Definicja: Rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja, która po podstawieniu do równania zamienia ją w tożsamość.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Definicja: Równanie postaci =f(x;y) lub F(x;y; )=0nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.

Definicja: Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego pierwszego rzędu jest funkcja y=γ(x;c), gdzie (c –const), która po podstawieniu do równania zamienia je w tożsamość. Geometrycznie na płaszczyźnie rozwiązanie ogólne odpowiada rodzinie krzywych całkowych w zależności od parametru c.

Definicja: Krzywa całkowa przechodząca przez punkt na płaszczyźnie o współrzędnych (x 0 ; y 0) odpowiada konkretnemu rozwiązaniu równania różniczkowego spełniającego warunek początkowy:

Twierdzenie o istnieniu jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego I rzędu

Biorąc pod uwagę równanie różniczkowe pierwszego rzędu
oraz funkcja f(x;y) jest ciągła wraz z pochodnymi cząstkowymi w pewnym obszarze D płaszczyzny XOY, następnie przez punkt M 0 (x 0 ;y 0) D przechodzi przez jedyną krzywą odpowiadającą konkretnemu rozwiązaniu równania różniczkowego odpowiadającemu warunkowi początkowemu y(x 0)=y 0

Jedna krzywa całkowa przechodzi przez punkt na płaszczyźnie o podanych współrzędnych.

Jeżeli nie jest możliwe otrzymanie ogólnego rozwiązania równania różniczkowego pierwszego rzędu w postaci jawnej, tj.
, to można to uzyskać w sposób dorozumiany:

F(x; y; c) =0 – forma ukryta

Rozwiązanie ogólne w tej postaci nazywa się całka ogólna równanie różniczkowe.

W odniesieniu do równania różniczkowego pierwszego rzędu stawiane są 2 problemy:

1) Znajdź rozwiązanie ogólne (całka ogólna)

2) Znajdź konkretne rozwiązanie (całkę częściową), które spełnia zadany warunek początkowy. Problem ten nazywany jest problemem Cauchy'ego dla równania różniczkowego.

Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Równania postaci:
nazywa się równaniem różniczkowym ze zmiennymi rozdzielnymi.

Zastąpmy

pomnóż przez dx

oddzielmy zmienne

dzielić przez

Uwaga: należy wziąć pod uwagę szczególny przypadek, kiedy

zmienne są oddzielane

scałkujmy obie strony równania

- wspólna decyzja

Równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi można zapisać jako:

Odosobniony przypadek
!

Całkujmy obie strony równania:

1)

2)
początek warunki:

Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu

Definicja: Funkcjonować
nazywa się jednorodnym rzędu n jeśli

Przykład: - funkcja jednorodna rzędu n=2

Definicja: Nazywa się funkcję jednorodną rzędu 0 jednorodny.

Definicja: Równanie różniczkowe
nazywa się jednorodnym jeśli
- funkcja jednorodna, tj.

Zatem jednorodne równanie różniczkowe można zapisać jako:

Korzystanie z zamiennika , gdzie t jest funkcją zmiennej x, jednorodne równanie różniczkowe sprowadza się do równania ze zmiennymi rozłącznymi.

- podstaw do równania

Zmienne rozdzielone, całkujmy obie strony równania

Dokonajmy odwrotnego podstawienia poprzez podstawienie , otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci ukrytej.

Jednorodne równanie różniczkowe można zapisać w postaci różniczkowej.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, gdzie M(x;y) i N(x;y) są funkcjami jednorodnymi tego samego rzędu.

Podziel przez dx i ekspresowo

1)

Równanie różniczkowe zwyczajne jest równaniem łączącym zmienną niezależną, nieznaną funkcję tej zmiennej i jej pochodne (lub różniczki) różnych rzędów.

Rząd równania różniczkowego nazywa się rządem najwyższej zawartej w nim pochodnej.

Oprócz zwykłych badane są również równania różniczkowe cząstkowe. Są to równania odnoszące się do zmiennych niezależnych, nieznanej funkcji tych zmiennych i jej pochodnych cząstkowych względem tych samych zmiennych. Ale rozważymy tylko Równania różniczkowe zwyczajne dlatego dla zachowania zwięzłości pominiemy słowo „zwykły”.

Przykłady równań różniczkowych:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Równanie (1) jest rzędu czwartego, równanie (2) jest rzędu trzeciego, równania (3) i (4) są rzędu drugiego, równanie (5) jest rzędu pierwszego.

Równanie różniczkowe N rząd niekoniecznie musi zawierać funkcję jawną, wszystkie jej pochodne od pierwszego do N-tego rzędu i zmienna niezależna. Nie może wyraźnie zawierać pochodnych określonych rzędów, funkcji lub zmiennej niezależnej.

Na przykład w równaniu (1) wyraźnie nie ma pochodnych trzeciego i drugiego rzędu, a także funkcji; w równaniu (2) - pochodna drugiego rzędu i funkcja; w równaniu (4) - zmienna niezależna; w równaniu (5) - funkcje. Jedynie równanie (3) zawiera jawnie wszystkie pochodne, funkcję i zmienną niezależną.

Rozwiązywanie równania różniczkowego każda funkcja jest wywoływana y = f(x), po podstawieniu do równania staje się tożsamością.

Proces znajdowania rozwiązania równania różniczkowego nazywa się jego integracja.

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci . Rozwiązaniem jest znalezienie funkcji na podstawie jej pochodnej. Funkcja pierwotna, jak wiadomo z rachunku całkowego, jest funkcją pierwotną dla, tj.

To jest to rozwiązanie tego równania różniczkowego . Zmieniając się w nim C, otrzymamy różne rozwiązania. Dowiedzieliśmy się, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań równania różniczkowego pierwszego rzędu.

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego N rząd jest rozwiązaniem, wyrażonym wprost w odniesieniu do nieznanej funkcji i zawierającym N niezależne stałe dowolne, tj.

Rozwiązanie równania różniczkowego z Przykładu 1 jest ogólne.

Częściowe rozwiązanie równania różniczkowego nazywa się rozwiązanie, w którym dowolnym stałym nadawane są określone wartości liczbowe.

Przykład 2. Znajdź rozwiązanie ogólne równania różniczkowego i rozwiązanie szczególne .

Rozwiązanie. Całkujmy obie strony równania tyle razy, ile wynosi rząd równania różniczkowego.

,

.

W rezultacie otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie -

danego równania różniczkowego trzeciego rzędu.

Znajdźmy teraz konkretne rozwiązanie w określonych warunkach. Aby to zrobić, zamień ich wartości zamiast dowolnych współczynników i uzyskaj

.

Jeżeli oprócz równania różniczkowego warunek początkowy podany jest w postaci , wówczas taki problem nazywa się Problem Cauchy’ego . Zastąp wartości i do ogólnego rozwiązania równania i znajdź wartość dowolnej stałej C, a następnie konkretne rozwiązanie równania dla znalezionej wartości C. To jest rozwiązanie problemu Cauchy’ego.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego z przykładu 1 z zastrzeżeniem .

Rozwiązanie. Zastąpmy wartości z warunku początkowego rozwiązaniem ogólnym y = 3, X= 1. Otrzymujemy

Zapisujemy rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla tego równania różniczkowego pierwszego rzędu:

Rozwiązywanie równań różniczkowych, nawet najprostszych, wymaga dobrych umiejętności całkowania i pochodnych, w tym także funkcji złożonych. Można to zobaczyć na poniższym przykładzie.

Przykład 4. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Równanie jest zapisane w takiej formie, że można od razu zintegrować obie strony.

.

Stosujemy metodę całkowania przez zmianę zmiennej (podstawienie). Niech tak będzie.

Wymagane do wzięcia dx i teraz - uwaga - robimy to zgodnie z zasadami różniczkowania funkcji zespolonej, ponieważ X i jest złożona funkcja(„jabłko” - ekstrakcja pierwiastek kwadratowy lub, co jest tym samym - podniesienie do potęgi „połówka” i „mięso mielone” to samo wyrażenie pod rdzeniem):

Znajdujemy całkę:

Wracając do zmiennej X, otrzymujemy:

.

Jest to ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego stopnia.

Do rozwiązywania równań różniczkowych wymagane będą nie tylko umiejętności z poprzednich działów matematyki wyższej, ale także umiejętności z matematyki elementarnej, czyli szkolnej. Jak już wspomniano, w równaniu różniczkowym dowolnego rzędu może nie być zmiennej niezależnej, czyli zmiennej X. Wiedza o proporcjach ze szkoły, która nie została zapomniana (jednak w zależności od kogo) ze szkoły, pomoże rozwiązać ten problem. To jest następny przykład.

Albo zostały już rozwiązane w odniesieniu do pochodnej, albo można je rozwiązać w odniesieniu do pochodnej .

Ogólne rozwiązanie równań różniczkowych typu na przedziale X, który jest dany, można znaleźć, biorąc całkę z obu stron tej równości.

Dostajemy .

Jeśli spojrzysz na właściwości Całka nieoznaczona, następnie znajdujemy pożądane rozwiązanie ogólne:

y = F(x) + C,

Gdzie F(x)- jeden z funkcje pierwotne k(x) pomiędzy X, A Z- dowolna stała.

Należy pamiętać, że w większości problemów interwał X nie wskazują. Oznacza to, że należy znaleźć rozwiązanie dla każdego. X, dla której i żądaną funkcję y, a oryginalne równanie ma sens.

Jeśli chcesz obliczyć konkretne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy y(x 0) = y 0, następnie po obliczeniu całki ogólnej y = F(x) + C, konieczne jest jeszcze określenie wartości stałej C = C 0, używając warunku początkowego. To znaczy stała C = C 0 określone z równania F(x 0) + C = y 0, a pożądane częściowe rozwiązanie równania różniczkowego będzie miało postać:

y = F(x) + C 0.

Spójrzmy na przykład:

Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego i sprawdźmy poprawność wyniku. Znajdźmy szczególne rozwiązanie tego równania, które spełniałoby warunek początkowy.

Rozwiązanie:

Po całkowaniu danego równania różniczkowego otrzymujemy:

.

Weźmy tę całkę, stosując metodę całkowania przez części:

To., jest ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego.

Aby mieć pewność, że wynik jest prawidłowy, wykonajmy sprawdzenie. W tym celu znalezione rozwiązanie podstawiamy do podanego równania:

.

To jest, kiedy pierwotne równanie zamienia się w tożsamość:

zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zostało wyznaczone poprawnie.

Rozwiązanie, które znaleźliśmy, jest rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego dla każdej rzeczywistej wartości argumentu X.

Pozostaje obliczyć konkretne rozwiązanie ODE, które spełniałoby warunek początkowy. Innymi słowy, konieczne jest obliczenie wartości stałej Z, przy czym równość będzie prawdziwa:

.

.

Potem podmienianie C = 2 w rozwiązanie ogólne ODE otrzymujemy rozwiązanie szczególne równania różniczkowego spełniające warunek początkowy:

.

Równanie różniczkowe zwyczajne można rozwiązać dla pochodnej, dzieląc 2 strony równania przez k(x). Ta transformacja będzie równoważna, jeśli k(x) w żadnym wypadku nie spada do zera X z przedziału całkowania równania różniczkowego X.

Są prawdopodobne sytuacje, gdy dla niektórych wartości argumentu X ∈ X Funkcje k(x) I g(x) jednocześnie stać się zerem. Dla podobnych wartości X ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego jest dowolna funkcja y, co jest w nich zdefiniowane, ponieważ .

Jeśli dla niektórych wartości argumentów X ∈ X warunek jest spełniony, co oznacza, że ​​w tym przypadku ODE nie ma rozwiązań.

Dla wszystkich innych X z interwału X ogólne rozwiązanie równania różniczkowego wyznacza się z przekształconego równania.

Spójrzmy na przykłady:

Przykład 1.

Znajdźmy ogólne rozwiązanie ODE: .

Rozwiązanie.

Z właściwości podstawowych funkcji elementarnych wynika, że ​​funkcja naturalny logarytm jest zdefiniowany dla nieujemnych wartości argumentów, więc zakres wyrażenia wynosi ln(x+3) jest przerwa X > -3 . Oznacza to, że dane równanie różniczkowe ma sens X > -3 . W przypadku tych wartości argumentów wyrażenie x+3 nie znika, więc możesz rozwiązać ODE dla pochodnej, dzieląc 2 części przez x + 3.

Dostajemy .

Następnie całkujemy otrzymane równanie różniczkowe rozwiązane względem pochodnej: . Aby wziąć tę całkę, używamy metody podciągnięcia jej pod znak różniczkowy.

Treść artykułu

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE. Wiele praw fizycznych rządzących pewnymi zjawiskami zapisanych jest w formie równanie matematyczne, wyrażający pewną zależność między pewnymi wielkościami. Często mówimy o zależności pomiędzy wielkościami zmieniającymi się w czasie, np. sprawność silnika, mierzona dystansem, jaki samochód może przejechać na jednym litrze paliwa, zależy od prędkości samochodu. Odpowiednie równanie zawiera jedną lub więcej funkcji i ich pochodnych i nazywa się równaniem różniczkowym. (Szybkość zmiany drogi w czasie zależy od prędkości; zatem prędkość jest pochodną odległości; podobnie przyspieszenie jest pochodną prędkości, ponieważ przyspieszenie określa szybkość zmiany prędkości w czasie.) Bardzo ważne, które równania różniczkowe mają dla matematyki, a zwłaszcza dla jej zastosowań, tłumaczy się faktem, że badanie wielu problemów fizycznych i technicznych sprowadza się do rozwiązywania takich równań. Równania różniczkowe odgrywają również znaczącą rolę w innych naukach, takich jak biologia, ekonomia i elektrotechnika; w istocie powstają one wszędzie tam, gdzie zachodzi potrzeba ilościowego (numerycznego) opisu zjawisk (wg świat zmiany w czasie i warunki zmieniają się w zależności od miejsca).

Przykłady.

Poniższe przykłady pozwalają lepiej zrozumieć, jak różne problemy są formułowane w języku równań różniczkowych.

1) Prawo rozpadu niektórych substancji promieniotwórczych mówi, że szybkość rozpadu jest proporcjonalna do dostępnej ilości tej substancji. Jeśli X– ilość substancji w określonym momencie T, to prawo to można zapisać w następujący sposób:

Gdzie dx/dt jest szybkością zaniku, oraz k– pewna dodatnia stała charakteryzująca daną substancję. (Wskazuje na to znak minus po prawej stronie X maleje z czasem; znak plus, zawsze sugerowany, gdy znak nie jest wyraźnie określony, oznaczałby to X wzrasta z biegiem czasu.)

2) Pojemnik zawiera początkowo 10 kg soli rozpuszczonej w 100 m 3 wody. Jeśli czysta woda wlewa się do pojemnika z prędkością 1 m 3 na minutę i równomiernie miesza z roztworem, a powstały roztwór wypływa z pojemnika z tą samą prędkością, to ile soli będzie w pojemniku w dowolnym kolejnym momencie? Jeśli X– ilość soli (w kg) jednorazowo w pojemniku T, następnie w dowolnym momencie T 1 m 3 roztworu w pojemniku zawiera X/100 kg soli; dlatego ilość soli zmniejsza się w pewnym tempie X/100 kg/min lub

3) Niech na ciele będą masy M zawieszony na końcu sprężyny, siła przywracająca działa proporcjonalnie do wielkości napięcia sprężyny. Pozwalać X– wielkość odchylenia ciała od położenia równowagi. Następnie, zgodnie z drugim prawem Newtona, które stwierdza, że ​​przyspieszenie (druga pochodna X według czasu, wyznaczonego D 2 X/dt 2) proporcjonalne do siły:

Prawa strona ma znak minus, ponieważ siła przywracająca zmniejsza rozciągnięcie sprężyny.

4) Prawo wychładzania ciała mówi, że ilość ciepła w ciele zmniejsza się proporcjonalnie do różnicy temperatur ciała i środowisko. Jeśli filiżanka kawy podgrzana do temperatury 90°C stoi w pomieszczeniu, w którym panuje temperatura 20°C, to

Gdzie T– temperatura kawy w danym momencie T.

5) Minister spraw zagranicznych stanu Blefuscu twierdzi, że przyjęty przez Lilliputa program zbrojeniowy zmusza jego kraj do maksymalnego zwiększenia wydatków wojskowych. Podobne stwierdzenia wypowiada Minister Spraw Zagranicznych Lilliputu. Powstałą sytuację (w najprostszej interpretacji) można dokładnie opisać dwoma równaniami różniczkowymi. Pozwalać X I y- wydatki na uzbrojenie Lilliputów i Blefuscu. Zakładając, że Lilliput zwiększa swoje wydatki na zbrojenia w tempie proporcjonalnym do tempa wzrostu wydatków na uzbrojenie Blefuscu i odwrotnie, otrzymujemy:

gdzie są członkowie topór I - przez opisać wydatki wojskowe każdego kraju, k I l są stałymi dodatnimi. (Problem ten po raz pierwszy sformułował w ten sposób w 1939 roku L. Richardson.)

Po zapisaniu problemu w języku równań różniczkowych należy spróbować je rozwiązać, tj. znajdź wielkości, których szybkości zmian są uwzględnione w równaniach. Czasami rozwiązania można znaleźć w postaci jednoznacznych wzorów, częściej jednak można je przedstawić jedynie w formie przybliżonej lub można uzyskać o nich informacje jakościowe. Często trudno jest ustalić, czy rozwiązanie w ogóle istnieje, nie mówiąc już o jego znalezieniu. Ważną część teorii równań różniczkowych stanowią tak zwane „twierdzenia o istnieniu”, w których udowadnia się istnienie rozwiązania tego lub innego rodzaju równania różniczkowego.

Oryginalne matematyczne sformułowanie problemu fizycznego zwykle zawiera założenia upraszczające; kryterium ich zasadności może być stopień zgodności rozwiązania matematycznego z dostępnymi obserwacjami.

Rozwiązania równań różniczkowych.

Równanie różniczkowe, na przykład dy/dx = X/y, jest spełniony nie przez liczbę, ale przez funkcję, w tym konkretnym przypadku taką, że jej wykres w dowolnym punkcie, na przykład w punkcie o współrzędnych (2,3), ma styczną do nachylenie równy stosunkowi współrzędnych (w naszym przykładzie 2/3). Łatwo to sprawdzić, jeśli budujesz duża liczba punkty i od każdego z nich odłóż krótki odcinek o odpowiednim nachyleniu. Rozwiązaniem będzie funkcja, której wykresem każdy ze swoich punktów styka się z odpowiednim segmentem. Jeśli punktów i odcinków jest wystarczająco dużo, możemy w przybliżeniu nakreślić przebieg krzywych rozwiązania (trzy takie krzywe pokazano na ryc. 1). Przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa rozwiązania y Nie. 0. Każde indywidualne rozwiązanie nazywa się częściowym rozwiązaniem równania różniczkowego; jeśli można znaleźć wzór zawierający wszystkie rozwiązania szczegółowe (z możliwym wyjątkiem kilku specjalnych), to mówimy, że otrzymano rozwiązanie ogólne. Konkretne rozwiązanie reprezentuje jedną funkcję, natomiast rozwiązanie ogólne reprezentuje całą ich rodzinę. Rozwiązanie równania różniczkowego oznacza znalezienie jego rozwiązania szczególnego lub ogólnego. W rozważanym przez nas przykładzie ogólne rozwiązanie ma postać y 2 – X 2 = C, Gdzie C- Jakikolwiek numer; szczególne rozwiązanie przechodzące przez punkt (1,1) ma postać y = X i okazuje się, kiedy C= 0; konkretne rozwiązanie przechodzące przez punkt (2,1) ma postać y 2 – X 2 = 3. Warunek wymagający przejścia krzywej rozwiązania np. przez punkt (2,1) nazywany jest warunkiem początkowym (ponieważ określa punkt początkowy krzywej rozwiązania).

Można wykazać, że w przykładzie (1) rozwiązanie ogólne ma postać X = ce –kt, Gdzie C– stała, którą można wyznaczyć np. poprzez wskazanie ilości substancji w T= 0. Równanie z przykładu (2) jest szczególnym przypadkiem równania z przykładu (1), odpowiadającym k= 1/100. Stan początkowy X= 10 o godz T= 0 daje szczególne rozwiązanie X = 10mi –T/100 . Równanie z przykładu (4) ma rozwiązanie ogólne T = 70 + ce –kt i rozwiązanie prywatne 70 + 130 – kt; aby określić wartość k potrzebne są dodatkowe dane.

Równanie różniczkowe dy/dx = X/y nazywa się równaniem pierwszego rzędu, ponieważ zawiera pierwszą pochodną (za rząd równania różniczkowego uważa się zwykle rząd najwyższej pochodnej w nim zawartej). W przypadku większości (choć nie wszystkich) równań różniczkowych pierwszego rodzaju pojawiających się w praktyce przez każdy punkt przechodzi tylko jedna krzywa rozwiązania.

Istnieje kilka ważnych typów równań różniczkowych pierwszego rzędu, które można rozwiązać w postaci wzorów zawierających tylko funkcje elementarne - potęgi, wykładniki, logarytmy, sinusy i cosinusy itp. Takie równania obejmują następujące.

Równania ze zmiennymi rozłącznymi.

Równania postaci dy/dx = F(X)/G(y) można rozwiązać, zapisując je w różnicach G(y)dy = F(X)dx i zintegrowanie obu części. W najgorszym przypadku rozwiązanie można przedstawić w postaci całek znanych funkcji. Na przykład w przypadku równania dy/dx = X/y mamy F(X) = X, G(y) = y. Pisząc to w formularzu ydy = xdx i całkując, otrzymujemy y 2 = X 2 + C. Do równań ze zmiennymi rozłącznymi zaliczają się równania z przykładów (1), (2), (4) (można je rozwiązać w sposób opisany powyżej).

Równania w różniczkach całkowitych.

Jeżeli równanie różniczkowe ma postać dy/dx = M(X,y)/N(X,y), Gdzie M I N są dwiema danymi funkcjami, to można to przedstawić jako M(X,y)dx – N(X,y)dy= 0. Jeśli lewa strona jest różnicą jakiejś funkcji F(X,y), wówczas równanie różniczkowe można zapisać jako dF(X,y) = 0, co jest równoważne równaniu F(X,y) = stała Zatem krzywe rozwiązania równania są „liniami stałych poziomów” funkcji lub zbiorem punktów spełniających równania F(X,y) = C. Równanie ydy = xdx(Rys. 1) - ze zmiennymi rozłącznymi i to samo - w różniczkach całkowitych: aby upewnić się co do tego ostatniego, zapisujemy to w postaci ydy – xdx= 0, tj. D(y 2 – X 2) = 0. Funkcja F(X,y) w tym przypadku jest równe (1/2)( y 2 – X 2); Niektóre z jego linii stałego poziomu pokazano na ryc. 1.

Równania liniowe.

Równania liniowe są równaniami „pierwszego stopnia” – nieznana funkcja i jej pochodne występują w takich równaniach tylko do pierwszego stopnia. Zatem liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu ma postać dy/dx + P(X) = Q(X), Gdzie P(X) I Q(X) – funkcje zależne tylko od X. Jego rozwiązanie można zawsze zapisać wykorzystując całki znanych funkcji. Wiele innych typów równań różniczkowych pierwszego rzędu rozwiązuje się za pomocą specjalnych technik.

Równania wyższego rzędu.

Wiele równań różniczkowych, z którymi spotykają się fizycy, to równania drugiego rzędu (tj. równania zawierające drugie pochodne), jak np. równanie prostego ruchu harmonicznego z przykładu (3), md 2 X/dt 2 = –kx. Ogólnie rzecz biorąc, możemy spodziewać się, że równanie drugiego rzędu ma rozwiązania częściowe, które spełniają dwa warunki; na przykład można wymagać, aby krzywa rozwiązania przechodziła przez dany punkt w określonym kierunku. W przypadkach, gdy równanie różniczkowe zawiera pewien parametr (liczbę, której wartość zależy od okoliczności), rozwiązania wymaganego typu istnieją tylko dla pewnych wartości tego parametru. Rozważmy na przykład równanie md 2 X/dt 2 = –kx i tego będziemy wymagać y(0) = y(1) = 0. Funkcja yє 0 jest oczywiście rozwiązaniem, ale jeśli jest wielokrotnością całkowitą P, tj. k = M 2 N 2 P 2, gdzie N jest liczbą całkowitą, ale w rzeczywistości tylko w tym przypadku istnieją inne rozwiązania, a mianowicie: y= grzech np. Wartości parametrów, dla których równanie ma specjalne rozwiązania, nazywane są charakterystycznymi lub wartości własne; odgrywają ważną rolę w wielu zadaniach.

Równanie prostego ruchu harmonicznego jest przykładem ważnej klasy równań, a mianowicie liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. Bardziej ogólnym przykładem (również drugiego rzędu) jest równanie

Gdzie A I B– dane stałe, F(X) jest daną funkcją. Takie równania można rozwiązać różne sposoby na przykład za pomocą całkowej transformaty Laplace'a. To samo można powiedzieć o równaniach liniowych wyższych rzędów o stałych współczynnikach. One również odgrywają ważną rolę równania liniowe ze zmiennymi kursami.

Nieliniowe równania różniczkowe.

Równania zawierające nieznane funkcje i ich pochodne do potęg wyższych niż pierwsza lub w bardziej złożony sposób nazywane są nieliniowymi. W ostatnie lata przyciągają coraz większą uwagę. Faktem jest, że równania fizyczne są zwykle liniowe tylko w pierwszym przybliżeniu; Dalsze i dokładniejsze badania z reguły wymagają stosowania równań nieliniowych. Ponadto wiele problemów ma charakter nieliniowy. Ponieważ rozwiązania równań nieliniowych są często bardzo złożone i trudne do przedstawienia za pomocą prostych wzorów, znaczna część współczesna teoria poświęcony czemuś analiza jakościowa ich zachowanie, tj. rozwój metod, które pozwalają bez rozwiązywania równania powiedzieć coś istotnego o naturze rozwiązań jako całości: na przykład, że wszystkie są ograniczone, mają charakter okresowy lub w określony sposób zależą od współczynniki.

Przybliżone rozwiązania równań różniczkowych można znaleźć numerycznie, ale wymaga to dużo czasu. Wraz z pojawieniem się szybkich komputerów czas ten znacznie się skrócił, co otworzyło nowe możliwości numerycznego rozwiązania wielu problemów, które wcześniej były nierozwiązywalne dla takiego rozwiązania.

Twierdzenia o istnieniu.

Twierdzenie o istnieniu to twierdzenie, które stwierdza, że ​​w pewnych warunkach dane równanie różniczkowe ma rozwiązanie. Istnieją równania różniczkowe, które nie mają rozwiązań lub mają ich więcej niż oczekiwano. Celem twierdzenia o istnieniu jest przekonanie nas, że dane równanie rzeczywiście ma rozwiązanie, a najczęściej zapewnienie, że ma ono dokładnie jedno rozwiązanie wymaganego typu. Na przykład równanie, które już spotkaliśmy dy/dx = –2y ma dokładnie jedno rozwiązanie przechodzące przez każdy punkt płaszczyzny ( X,y), a ponieważ znaleźliśmy już jedno takie rozwiązanie, w ten sposób całkowicie rozwiązaliśmy to równanie. Z drugiej strony równanie ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 ma wiele rozwiązań. Wśród nich są hetero y = 1, y= –1 i krzywe y= grzech( X + C). Rozwiązanie może składać się z kilku odcinków tych prostych i krzywych, przechodzących w siebie w punktach styku (rys. 2).

Równania różniczkowe cząstkowe.

Równanie różniczkowe zwyczajne to stwierdzenie dotyczące pochodnej nieznanej funkcji jednej zmiennej. Częściowe równanie różniczkowe zawiera funkcję dwóch lub więcej zmiennych oraz pochodne tej funkcji w odniesieniu do co najmniej dwóch różnych zmiennych.

W fizyce przykładami takich równań są równania Laplace'a

X, y) wewnątrz okręgu, jeśli wartości ty określone w każdym punkcie okręgu ograniczającego. Ponieważ problemy z więcej niż jedną zmienną są w fizyce raczej regułą niż wyjątkiem, łatwo sobie wyobrazić, jak obszerny jest temat teorii równań różniczkowych cząstkowych.