Šioje pamokoje mes ir toliau spręsime racionaliąsias nelygybes naudodami intervalų metodą sudėtingesnėms nelygybėms. Apsvarstykite tiesinių trupmeninių ir kvadratinių trupmeninių nelygybių ir susijusių problemų sprendimą.
Dabar grįžkime prie nelygybės
Panagrinėkime kai kurias susijusias užduotis.
Raskite mažiausią nelygybės sprendimą.
Raskite natūralių nelygybės sprendimų skaičių
Raskite intervalų, sudarančių nelygybės sprendinių aibę, ilgį.
2. Portalas Gamtos mokslai ().
3. Elektroninis edukacinis ir metodinis kompleksas 10-11 klasių rengimui informatikos, matematikos, rusų kalbos stojamiesiems egzaminams ().
5. Švietimo centras „Ugdymo technologija“ ().
6. College.ru skyrius apie matematiką ().
1. Mordkovichas A.G. ir kt.. Algebra 9 klasė: Užduočių sąsiuvinis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kiti - 4-asis leidimas. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. 28 (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).
Pirma, keletas dainų žodžių, kad pajustumėte problemą, kurią išsprendžia intervalo metodas. Tarkime, kad turime išspręsti šią nelygybę:
(x – 5) (x + 3) > 0
Kokie variantai? Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą daugumai studentų, yra taisyklės „plius kartus plius daro pliusą“ ir „minusas kartas minusas daro pliusą“. Todėl pakanka nagrinėti atvejį, kai abu skliausteliai yra teigiami: x − 5 > 0 ir x + 3 > 0. Tada taip pat nagrinėjame atvejį, kai abu skliausteliai yra neigiami: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Labiau pažengę mokiniai prisimins (galbūt), kad kairėje yra kvadratinė funkcija, kurios grafikas yra parabolė. Be to, ši parabolė kerta OX ašį taškuose x = 5 ir x = −3. Norėdami atlikti tolesnį darbą, turite atidaryti skliaustus. Mes turime:
x 2 - 2x - 15 > 0
Dabar aišku, kad parabolės šakos nukreiptos į viršų, nes koeficientas a = 1 > 0. Pabandykime nubraižyti šios parabolės diagramą:
Funkcija yra didesnė už nulį ten, kur ji eina virš OX ašies. Mūsų atveju tai yra intervalai (−∞ −3) ir (5; +∞) – tai atsakymas.
Atkreipkite dėmesį, kad paveikslėlyje parodyta tiksliai funkcijų diagrama, o ne jos tvarkaraštis. Nes tikram grafikui reikia skaičiuoti koordinates, skaičiuoti poslinkius ir kitus mėšlungius, kurių mums dabar visai nereikia.
Kodėl šie metodai neveiksmingi?
Taigi, mes svarstėme du tos pačios nelygybės sprendimus. Abu jie pasirodė labai gremėzdiški. Iškyla pirmasis sprendimas – tik pagalvok! yra nelygybių sistemų visuma. Antrasis sprendimas taip pat nėra labai lengvas: reikia atsiminti parabolės grafiką ir krūvą kitų smulkių faktų.
Tai buvo labai paprasta nelygybė. Jis turi tik 2 daugiklius. Dabar įsivaizduokite, kad bus ne 2 daugikliai, o mažiausiai 4. Pavyzdžiui:
(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0
Kaip išspręsti tokią nelygybę? Išnagrinėti visus galimus privalumų ir trūkumų derinius? Taip, mes užmigsime greičiau, nei rasime sprendimą. Grafiko braižymas taip pat nėra išeitis, nes neaišku, kaip tokia funkcija elgiasi koordinačių plokštumoje.
Tokioms nelygybėms reikalingas specialus sprendimo algoritmas, kurį šiandien svarstysime.
Kas yra intervalo metodas
Intervalų metodas yra specialus algoritmas, skirtas sudėtingoms f (x) > 0 ir f (x) formų nelygybėms išspręsti.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Išspręskite lygtį f (x) \u003d 0. Taigi vietoj nelygybės gauname lygtį, kurią išspręsti daug lengviau;
- Visas gautas šaknis pažymėkite koordinačių tiesėje. Taigi tiesi linija bus padalinta į kelis intervalus;
- Raskite funkcijos f (x) ženklą (pliusą arba minusą) kraštutiniame dešiniajame intervale. Norėdami tai padaryti, pakanka f (x) pakeisti bet kurį skaičių, kuris bus dešinėje nuo visų pažymėtų šaknų;
- Pažymėkite žymes ant kitų intervalų. Norėdami tai padaryti, pakanka prisiminti, kad einant per kiekvieną šaknį, ženklas pasikeičia.
Tai viskas! Po to belieka surašyti mus dominančius intervalus. Jie pažymėti „+“ ženklu, jei nelygybė buvo formos f (x) > 0, arba „−“ ženklu, jei nelygybė buvo formos f (x).< 0.
Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad intervalo metodas yra kažkokia skarda. Tačiau praktiškai viskas bus labai paprasta. Reikia šiek tiek pasitreniruoti – ir viskas paaiškės. Pažvelkite į pavyzdžius ir įsitikinkite patys:
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
(x – 2) (x + 7)< 0
Mes dirbame pagal intervalų metodą. 1 veiksmas: pakeiskite nelygybę lygtimi ir išspręskite:
(x – 2) (x + 7) = 0
Produktas yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Turi dvi šaknis. Eikite į 2 veiksmą: pažymėkite šias šaknis koordinačių linijoje. Mes turime:
Dabar 3 veiksmas: funkcijos ženklą randame pačiame dešiniajame intervale (į dešinę nuo pažymėto taško x = 2). Norėdami tai padaryti, paimkite bet kurį skaičių daugiau numerio x = 2. Pavyzdžiui, imkime x = 3 (bet niekas nedraudžia imti x = 4, x = 10 ir net x = 10 000). Mes gauname:
f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;
Gauname, kad f (3) = 10 > 0, todėl dešiniajame intervale dedame pliuso ženklą.
Mes pereiname prie paskutinio taško - būtina atkreipti dėmesį į likusių intervalų ženklus. Atminkite, kad einant per kiekvieną šaknį ženklas turi pasikeisti. Pavyzdžiui, į dešinę nuo šaknies x = 2 yra pliusas (tai įsitikinome ankstesniame žingsnyje), taigi kairėje turi būti minusas.
Šis minusas tęsiasi iki viso intervalo (-7; 2), todėl šaknies x = -7 dešinėje yra minusas. Todėl šaknies x = −7 kairėje yra pliusas. Belieka pažymėti šiuos ženklus koordinačių ašyje. Mes turime:
Grįžkime prie pradinės nelygybės, kuri atrodė taip:
(x – 2) (x + 7)< 0
Taigi funkcija turi būti mažesnė už nulį. Tai reiškia, kad mus domina minuso ženklas, kuris atsiranda tik viename intervale: (−7; 2). Tai bus atsakymas.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0
1 veiksmas: prilyginkite kairę pusę nuliui:
(x + 9) (x - 3) (1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.
Atminkite: produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai kodėl mes turime teisę kiekvieną atskirą skliaustą prilyginti nuliui.
2 veiksmas: pažymėkite visas šaknis koordinačių eilutėje:
3 veiksmas: suraskite dešiniausio tarpo ženklą. Imame bet kokį skaičių, didesnį už x = 1. Pavyzdžiui, galime imti x = 10. Turime:
f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.
4 veiksmas: padėkite likusius ženklus. Atminkite, kad einant per kiekvieną šaknį, ženklas pasikeičia. Dėl to mūsų nuotrauka atrodys taip:
Tai viskas. Belieka tik parašyti atsakymą. Dar kartą pažvelkite į pradinę nelygybę:
(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0
Tai f (x) formos nelygybė< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (–9; 1) ∪ (3; +∞)
Tai yra atsakymas.
Pastaba apie funkcijų ženklus
Praktika rodo, kad didžiausi intervalo metodo sunkumai iškyla paskutiniuose dviejuose žingsniuose, t.y. dedant ženklus. Daugelis studentų pradeda susipainioti: kokius skaičius imti ir kur dėti ženklus.
Norėdami galutinai suprasti intervalo metodą, apsvarstykite dvi pastabas, kuriomis jis pagrįstas:
- Nepertraukiama funkcija keičia ženklą tik taškuose kur jis lygus nuliui. Tokie taškai suskaido koordinačių ašį į gabalus, kurių viduje funkcijos ženklas niekada nesikeičia. Štai kodėl mes išsprendžiame lygtį f (x) \u003d 0 ir pažymime rastas šaknis tiesia linija. Rasti skaičiai yra "ribiniai" taškai, skiriantys pliusus nuo minusų.
- Norint sužinoti funkcijos ženklą bet kuriame intervale, pakanka į funkciją pakeisti bet kurį skaičių iš šio intervalo. Pavyzdžiui, intervalui (-5; 6) galime imti x = -4, x = 0, x = 4 ir net x = 1,29374, jei norime. Kodėl tai svarbu? Taip, nes daugelis studentų pradeda graužti abejones. Pavyzdžiui, kas būtų, jei x = −4 gautume pliusą, o x = 0 – minusą? Nieko panašaus niekada nebus. Visi taškai tame pačiame intervale suteikia tą patį ženklą. Prisimink tai.
Tai viskas, ką reikia žinoti apie intervalų metodą. Žinoma, mes jį daugiausiai išardėme paprasta versija. Yra sudėtingesnių nelygybių – negriežtų, trupmeninių ir su pasikartojančiomis šaknimis. Jiems galite taikyti ir intervalų metodą, tačiau tai atskiros didelės pamokos tema.
Dabar norėčiau paanalizuoti pažangų triuką, kuris drastiškai supaprastina intervalų metodą. Tiksliau, supaprastinimas turi įtakos tik trečiam žingsniui – ženklo apskaičiavimui dešinėje linijos dalyje. Mokyklose ši technika kažkodėl nevyksta (bent jau man to niekas nepaaiškino). Bet veltui – iš tikrųjų šis algoritmas labai paprastas.
Taigi funkcijos ženklas yra dešinėje skaitinės ašies dalyje. Šis gabalas turi formą (a; +∞), kur a yra didžiausia lygties šaknis f (x) = 0. Kad nesugadintumėte mūsų smegenų, apsvarstykite konkretų pavyzdį:
(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;
Turime 3 šaknis. Išvardijame juos didėjančia tvarka: x = −2, x = 1 ir x = 7. Akivaizdu, kad didžiausia šaknis yra x = 7.
Kam lengviau samprotauti grafiškai, koordinačių tiesėje pažymėsiu šias šaknis. Pažiūrėkim, kas nutiks:
Reikia rasti funkcijos f (x) ženklą dešiniajame intervale, t.y. įjungta (7; +∞). Tačiau, kaip jau pažymėjome, norėdami nustatyti ženklą, galite paimti bet kurį skaičių iš šio intervalo. Pavyzdžiui, galite imti x = 8, x = 150 ir kt. O dabar – ta pati technika, kurios nemokoma mokyklose: imkime begalybę kaip skaičių. Tiksliau, plius begalybė, t.y. +∞.
„Ar tu užmėtytas akmenimis? Kaip begalybę pakeisti funkcija? galbūt, paklausite jūs. Tačiau pagalvokite: mums nereikia pačios funkcijos reikšmės, mums reikia tik ženklo. Todėl, pavyzdžiui, reikšmės f (x) = −1 ir f (x) = −938 740 576 215 reiškia tą patį: funkcija šiame intervale yra neigiama. Todėl viskas, ko jums reikia, yra rasti ženklą, kuris atsiranda begalybėje, o ne funkcijos reikšmę.
Tiesą sakant, pakeisti begalybę yra labai paprasta. Grįžkime prie savo funkcijos:
f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)
Įsivaizduokite, kad x yra labai didelis skaičius. Milijardas ar net trilijonas. Dabar pažiūrėkime, kas atsitinka kiekviename skliaustelyje.
Pirmas skliaustas: (x − 1). Kas atsitiks, jei iš milijardo atimsite vieną? Rezultatas bus skaičius, kuris nedaug skirsis nuo milijardo, ir šis skaičius bus teigiamas. Panašiai ir su antruoju skliaustu: (2 + x). Jei prie dviejų pridėsime milijardą, gausime milijardą su kapeikomis – tai teigiamas skaičius. Galiausiai trečiasis skliaustas: (7 − x ). Čia bus minus milijardas, iš kurio „nugraužtas“ apgailėtinas septynetuko pavidalo gabalas. Tie. gautas skaičius nedaug skirsis nuo minus milijardo – jis bus neigiamas.
Belieka surasti viso kūrinio ženklą. Kadangi pirmuose skliausteliuose turėjome pliusą, o paskutiniame – minusą, gauname tokią konstrukciją:
(+) · (+) · (−) = (−)
Galutinis ženklas yra minusas! Nesvarbu, kokia yra pačios funkcijos vertė. Svarbiausia, kad ši reikšmė būtų neigiama, t.y. dešiniajame intervale yra minuso ženklas. Belieka užbaigti ketvirtąjį intervalo metodo žingsnį: sutvarkyti visus ženklus. Mes turime:
Pradinė nelygybė atrodė taip:
(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0
Todėl mus domina minuso ženklu pažymėti intervalai. Išrašome atsakymą:
x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)
Tai yra visas triukas, kurį norėjau papasakoti. Apibendrinant, yra dar viena nelygybė, kuri išsprendžiama intervalo metodu naudojant begalybę. Norėdami vizualiai sutrumpinti sprendimą, žingsnių skaičių ir išsamių komentarų nerašysiu. Parašysiu tik tai, ką tikrai reikia parašyti sprendžiant realias problemas:
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
x (2x + 8) (x - 3) > 0
Nelygybę pakeičiame lygtimi ir išsprendžiame:
x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Visas tris šaknis pažymime koordinačių linijoje (iš karto su ženklais):
Dešinėje koordinačių ašies pusėje yra pliusas, nes funkcija atrodo taip:
f(x) = x(2x + 8)(x − 3)
Ir jei pakeisime begalybę (pavyzdžiui, milijardą), gausime tris teigiamus skliaustus. Kadangi pradinė išraiška turi būti didesnė už nulį, mus domina tik pliusai. Belieka parašyti atsakymą:
x ∈ (–4; 0) ∪ (3; +∞)
Tarpų nustatymo metodas yra paprastas būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias nelygybes. Tai nelygybių, turinčių racionalias (arba trupmenines-racionalias) išraiškas, kurios priklauso nuo kintamojo, pavadinimas.
1. Apsvarstykite, pavyzdžiui, tokią nelygybę
Intervalų metodas leidžia jį išspręsti per porą minučių.
Kairėje šios nelygybės pusėje yra trupmeninė racionali funkcija. Racionalus, nes jame nėra nei šaknų, nei sinusų, nei logaritmų – tik racionalios išraiškos. Dešinėje yra nulis.
Intervalų metodas pagrįstas šia trupmeninės racionalios funkcijos savybe.
Trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kur ji lygi nuliui arba neegzistuoja.
Prisiminkite, kaip įskaičiuojamas kvadratinis trinaris, tai yra formos išraiška.
Kur ir yra šaknys kvadratinė lygtis.
Nubrėžiame ašį ir išdėstome taškus, kuriuose skaitiklis ir vardiklis išnyksta.
Vardiklio ir nuliai yra punkcuoti taškai, nes šiuose taškuose funkcija kairėje nelygybės pusėje nėra apibrėžta (negalite padalinti iš nulio). Skaitiklio ir - nuliai yra nuspalvinti, nes nelygybė nėra griežta. Už ir mūsų nelygybė tenkinama, nes abi jos dalys lygios nuliui.
Šie taškai suskaido ašį į intervalus.
Kiekviename iš šių intervalų nustatykime trupmeninės-racionalios funkcijos ženklą kairėje mūsų nelygybės pusėje. Prisimename, kad trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kur ji lygi nuliui arba neegzistuoja. Tai reiškia, kad kiekviename intervale tarp taškų, kuriuose skaitiklis arba vardiklis išnyksta, išraiškos ženklas kairėje nelygybės pusėje bus pastovus - arba "pliusas" arba "minusas".
Todėl, norėdami nustatyti funkcijos ženklą kiekviename tokiame intervale, imame bet kurį šiam intervalui priklausantį tašką. Tas, kuris mums tinka.
. Paimkite, pavyzdžiui, ir patikrinkite išraiškos ženklą kairėje nelygybės pusėje. Kiekvienas iš „skliaustelių“ yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas.
Kitas intervalas: . Patikrinkime ženklą. Gauname, kad kairioji pusė pakeitė ženklą į .
Paimkime . Kai išraiška yra teigiama, todėl ji yra teigiama visame intervale nuo iki .
Kairė nelygybės pusė yra neigiama.
Ir galiausiai class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Mes nustatėme, kokiais intervalais išraiška yra teigiama. Belieka parašyti atsakymą:
Atsakymas:.
Atkreipkite dėmesį: ženklai ant intervalų kinta. Taip atsitiko todėl, einant per kiekvieną tašką, lygiai vienas iš tiesinių faktorių pakeitė ženklą, o likusieji nepakito.
Matome, kad intervalų metodas yra labai paprastas. Norėdami išspręsti trupmeninę racionalią nelygybę intervalų metodu, pateikiame ją į formą:
Arba class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, arba arba .
(kairėje pusėje - trupmeninė-racionali funkcija, dešinėje - nulis).
Tada - skaičių eilutėje pažymime taškus, kuriuose skaitiklis arba vardiklis išnyksta.
Šie taškai padalija visą skaičių tiesę į intervalus, kurių kiekviename trupmeninė-racionali funkcija išlaiko savo ženklą.
Belieka tik sužinoti jo ženklą kiekviename intervale.
Tai darome patikrindami išraiškos ženklą bet kuriame nurodyto intervalo taške. Po to užrašome atsakymą. Tai viskas.
Tačiau kyla klausimas: ar ženklai visada keičiasi? Ne ne visada! Turime būti atsargūs ir nestatyti ženklų mechaniškai ir neapgalvotai.
2. Pažvelkime į kitą nelygybę.
Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}
Vėl dedame taškus ant ašies. Taškai ir yra punktyriniai, nes jie yra vardiklio nuliai. Taškas taip pat pradurtas, nes nelygybė yra griežta.
Kai skaitiklis yra teigiamas, abu vardiklio veiksniai yra neigiami. Tai lengva patikrinti paimant bet kurį skaičių iš nurodyto intervalo, pavyzdžiui, . Kairėje pusėje yra ženklas:
Kai skaitiklis yra teigiamas; pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis veiksnys yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:
Kai situacija ta pati! Skaitiklis yra teigiamas, pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:
Galiausiai su class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Atsakymas:.
Kodėl veikėjų kaitaliojimas nutrūko? Nes einant per tašką už jį „atsako“ daugiklis ženklo nepakeitė. Vadinasi, ir visa mūsų nelygybės kairioji pusė ženklo nepakeitė.
Išvada: jei tiesinis koeficientas yra lyginiame laipsnyje (pavyzdžiui, kvadrate), tai einant per tašką, kairėje pusėje esančios išraiškos ženklas nesikeičia. Nelyginio laipsnio atveju ženklas, žinoma, pasikeičia.
3. Apsvarstykite daugiau sunkus atvejis. Jis skiriasi nuo ankstesnio, nes nelygybė nėra griežta:
Kairė pusė yra tokia pati kaip ir ankstesnėje užduotyje. Ženklų vaizdas bus toks pat:
Gal atsakymas bus tas pats? Ne! Sprendimas pridedamas Taip yra todėl, kad , tiek kairioji, tiek dešinė nelygybės pusės yra lygios nuliui – todėl šis taškas yra sprendimas.
Atsakymas:.
Su tokia situacija dažnai susiduriama matematikos egzamino uždavinyje. Čia pretendentai patenka į spąstus ir praranda taškus. Būk atsargus!
4. Ką daryti, jei skaitiklio arba vardiklio negalima įtraukti į tiesinius veiksnius? Apsvarstykite šią nelygybę:
Kvadratinis trinaris negali būti koeficientas: diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Bet tai yra gerai! Tai reiškia, kad išraiškos ženklas yra vienodas visiems, o konkrečiai jis yra teigiamas. Daugiau apie tai galite perskaityti straipsnyje apie kvadratinės funkcijos savybes.
Ir dabar mes galime padalyti abi mūsų nelygybės puses iš vertės, kuri yra teigiama visiems. Gauname lygiavertę nelygybę:
Kuris lengvai išsprendžiamas intervalo metodu.
Atkreipkite dėmesį – abi nelygybės puses padalinome iš vertės, kurią tikrai žinojome, kad ji teigiama. Žinoma, bendruoju atveju nereikėtų nelygybės dauginti ar dalyti iš kintamojo, kurio ženklas nežinomas.
5 . Apsvarstykite kitą nelygybę, kuri atrodo gana paprasta:
Taigi noriu padauginti iš . Bet mes jau protingi ir to nedarysime. Juk tai gali būti ir teigiama, ir neigiama. Ir žinome, kad abi nelygybės dalis padauginus iš neigiamos reikšmės, nelygybės ženklas pasikeičia.
Elgsimės kitaip – viską surinksime į vieną dalį ir sujungsime į bendrą vardiklį. Nulis liks dešinėje pusėje:
Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
O po to – taikytina intervalo metodas.
Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl
Jums tereikia suprasti šį metodą ir žinoti jį kaip savo penkis pirštus! Jau vien todėl, kad jis naudojamas racionalioms nelygybėms spręsti ir todėl, kad tinkamai žinant šį metodą, šias nelygybes išspręsti stebėtinai paprasta. Kiek vėliau atskleisiu jums porą paslapčių, kaip sutaupyti laiko sprendžiant šias nelygybes. Na, ar jus suintrigavo? Tada eime!
Metodo esmė yra faktorizuoti nelygybę (pakartokite temą) ir nustatyti ODZ bei veiksnių ženklą, dabar aš viską paaiškinsiu. Paimkime paprasčiausią pavyzdį: .
Sritys leistinos vertės() čia rašyti nereikia, nes nėra padalijimo iš kintamojo, o radikalai (šaknys) čia nepastebimi. Viskas čia mums jau padauginta. Tačiau neatsipalaiduokite, tai viskas, kad primintų pagrindus ir suprastumėte esmę!
Tarkime, kad nežinote intervalų metodo, kaip spręstumėte šią nelygybę? Būkite logiški ir remkitės tuo, ką jau žinote. Pirma, kairė pusė bus didesnė už nulį, jei abi skliausteliuose pateiktos išraiškos yra didesnės už nulį arba mažesnės už nulį, nes „Pliusas“ ant „pliuso“ daro „pliusą“, o „minusas“ ant „minuso“ daro „pliusą“, tiesa? Ir jei skliausteliuose esančių posakių ženklai skiriasi, tada galiausiai kairioji pusė bus mažesnė už nulį. Bet ko mums reikia norint išsiaiškinti tas reikšmes, kurių išraiškos skliausteliuose bus neigiamos arba teigiamos?
Reikia išspręsti lygtį, ji lygiai tokia pati kaip nelygybė, tik vietoj ženklo bus ženklas, šios lygties šaknys leis mums nustatyti tas ribines reikšmes, nukrypstant nuo kurių faktoriai ir bus didesni arba mažiau nei nulis.
O dabar patys intervalai. Kas yra intervalas? Tai yra tam tikras skaičių eilutės intervalas, tai yra visi įmanomi skaičiai, esantys tarp kokių nors dviejų skaičių – intervalo galų. Ne taip lengva įsivaizduoti šias spragas savo galvoje, todėl įprasta brėžti intervalus, dabar aš jus išmokysiu.
Nubrėžiame ašį, ant jos yra visa skaičių serija nuo ir iki. Ašyje brėžiami taškai, vadinamieji funkcijos nuliai, reikšmės, kuriose išraiška lygi nuliui. Šie taškai yra „išbraukti“, o tai reiškia, kad jie nėra tarp tų vertybių, kurioms būdinga nelygybė. IN Ši byla, jie pradurti. ženklas nelygybėje ir ne, tai yra griežtai didesnis už ir ne didesnis arba lygus.
Noriu pasakyti, kad nebūtina žymėti nulio, čia be apskritimų, bet taip, supratimui ir orientavimuisi išilgai ašies. Gerai, ašis nubrėžta, taškai (tiksliau apskritimai) nustatyti, o kas, kaip tai man padės sprendžiant? - Jūs klausiate. Dabar tiesiog paimkite x reikšmę iš eilės intervalų ir pakeiskite juos į savo nelygybę ir pažiūrėkite, koks ženklas bus daugybos rezultatas.
Trumpai tariant, mes tiesiog paimame pavyzdį, pakeiskite jį čia, paaiškės, o tai reiškia, kad visame intervale (visame intervale) nuo iki, iš kurio mes paėmėme, nelygybė bus teisinga. Kitaip tariant, jei x yra nuo iki, tada nelygybė yra teisinga.
Tą patį darome su intervalu nuo iki, imame arba, pavyzdžiui, pakeičiame, nustatome ženklą, ženklas bus „minusas“. Tą patį darome su paskutiniu, trečiuoju intervalu nuo iki, kur ženklas pasirodys „pliusas“. Išėjo tokia krūva teksto, bet matomumo mažai, tiesa?
Dar kartą pažvelk į nelygybę.
Dabar toje pačioje ašyje taip pat taikome ženklus, kurie bus rezultatas. Nutrūkusi linija, mano pavyzdyje, žymi teigiamas ir neigiamas ašies dalis.
Pažvelkite į nelygybę – į paveikslėlį, vėl į nelygybę – ir vėl į paveikslą ar kas nors aišku? Dabar pabandykite pasakyti, kokiais x intervalais nelygybė bus teisinga. Tiesa, nuo iki nelygybė taip pat bus teisinga nuo iki, o intervale nuo iki nulio nelygybė ir šis intervalas mus mažai domina, nes mes turime ženklą nelygybėje.
Na, kadangi jūs tai supratote, tada jūs turite parašyti atsakymą! Atsakydami rašome tuos intervalus, kurių kairioji pusė yra didesnė už nulį, kuri skaitoma kaip X priklauso intervalui nuo minus begalybės iki minus vieneto ir nuo dviejų iki plius begalybės. Verta paaiškinti, kad skliaustai reiškia, kad reikšmės, kurias riboja intervalas, nėra nelygybės sprendiniai, tai yra, jie neįtraukiami į atsakymą, o tik sako, kad, pavyzdžiui, anksčiau, bet nėra sprendimas.
Dabar pavyzdys, kuriame turėsite nubrėžti ne tik intervalą:
Ką, jūsų nuomone, reikėtų padaryti prieš dedant taškus ant ašies? Taip, atsižvelkite į tai:
Brėžiame intervalus ir dedame ženklus, pastebime taškus, kuriuos pramušėme, nes ženklas griežtai mažesnis už nulį:
Atėjo laikas atskleisti jums vieną paslaptį, kurią pažadėjau šios temos pradžioje! Bet ką daryti, jei aš jums pasakysiu, kad negalite pakeisti kiekvieno intervalo verčių, kad nustatytumėte ženklą, bet galite nustatyti ženklą viename iš intervalų, o kituose - tiesiog kaitaliokite ženklus!
Taip sutaupėme šiek tiek laiko ženklų dėjimui – manau, kad šis egzamine laimėtas laikas nepakenks!
Rašome atsakymą:
Dabar apsvarstykite trupmeninės racionalios nelygybės pavyzdį – nelygybę, kurios abi dalys yra racionalios išraiškos (žr.).
Ką galite pasakyti apie šią nelygybę? Ir jūs žiūrite į tai kaip į trupmeninę racionalią lygtį, ką mes darome pirmiausia? Iš karto matome, kad nėra šaknų, o tai reiškia, kad tai tikrai racionalu, bet tada yra trupmena ir net su nežinomuoju vardiklyje!
Teisingai, ODZ būtinas!
Taigi, eikime toliau, čia visi veiksniai, išskyrus vieną, turi pirmojo laipsnio kintamąjį, tačiau yra veiksnys, kur x turi antrą laipsnį. Paprastai mūsų ženklas pasikeisdavo pravažiavus vieną iš taškų, kuriame kairioji nelygybės pusė įgyja nulinę reikšmę, kuriai mes nustatėme, kas turi būti x kiekviename veiksnyne. Ir čia, todėl tai visada teigiama, nes. bet koks kvadratinis skaičius > nulis ir teigiamas narys.
Kaip manote, kaip tai paveiks nelygybės vertę? Teisingai – nesvarbu! Galime drąsiai padalyti nelygybę į abi dalis ir taip pašalinti šį veiksnį, kad jis nepakenktų mūsų akims.
atėjo laikas braižyti intervalus, tam reikia nustatyti tas ribines reikšmes, nuo kurių nukrypstama daugikliai ir bus didesni ir mažesni už nulį. Bet atkreipkite dėmesį, kad čia ženklas reiškia tašką, kuriame kairioji nelygybės pusė įgauna nulinę reikšmę, mes jos nepertrauksime, nes ji įtraukta į sprendinių skaičių, turime vieną tokį tašką, tai yra taškas kur x lygus vienetui. Ar galime nuspalvinti tašką, kuriame vardiklis yra neigiamas? - Žinoma ne!
Vardiklis neturi būti nulis, todėl intervalas atrodys taip:
Pagal šią schemą jau nesunkiai galite parašyti atsakymą, galiu tik pasakyti, kad dabar jūsų dispozicijoje yra naujo tipo kronšteinas - kvadratas! Čia yra laikiklis [ sako, kad reikšmė yra sprendinio intervale, t.y. yra atsakymo dalis, šis skliaustas atitinka užpildytą (neišmuštą) ašies tašką.
Taigi, ar gavote tą patį atsakymą?
Viską faktorizuojame ir perkeliame į vieną pusę, nes dešinėje tereikia palikti nulį, kad galėtume su juo palyginti:
Atkreipiu jūsų dėmesį į tai, kad paskutinėje transformacijoje, norėdamas patekti į skaitiklį ir vardiklį, abi nelygybės dalis padauginu iš. Atminkite, kad padauginus abi nelygybės puses iš nelygybės ženklas pasikeičia!!!
Rašome ODZ:
Priešingu atveju vardiklis pasisuks į nulį ir, kaip prisimenate, negalite padalyti iš nulio!
Sutikite, susidariusioje nelygybėje kyla pagunda sumažinti skaitiklį ir vardiklį! Jūs negalite to padaryti, galite prarasti kai kuriuos sprendimus arba ODZ!
Dabar pabandykite patys išdėstyti taškus ant ašies. Tik pažymėsiu, kad braižant taškus reikia atkreipti dėmesį į tai, kad taškas su reikšme, kuri pagal ženklą, atrodytų, turėtų būti nubrėžta ant ašies, kaip užpildyta, nebus pildomas. , jis bus išmuštas! Kodėl tavęs klausi? O tu prisimeni ODZ, taip iš nulio nesidalinsi?
Atminkite, kad ODZ yra aukščiau visko! Jei visos nelygybės ir lygybės ženklai sako viena, o ODZ sako kitą, pasitikėkite ODZ, didingu ir galingu! Na, jūs sukūrėte intervalus, aš tikiu, kad pasinaudojote mano patarimu apie kaitaliojimą ir gavote taip (žr. paveikslėlį žemiau) Dabar perbraukite ir daugiau nekartokite šios klaidos! Kokia klaida? - Jūs klausiate.
Faktas yra tas, kad šioje nelygybėje veiksnys buvo pakartotas du kartus (pamenate, kaip jūs vis dar bandėte jį sumažinti?). Taigi, jei koks nors veiksnys nelygybėje kartojasi lyginį skaičių kartų, tada einant per ašies tašką, kuris šį koeficientą paverčia nuliu (šiuo atveju taškas), ženklas nepasikeis, jei nelyginis, tada ženklas keičiasi!
Ši ašis su intervalais ir ženklais bus teisinga:
Ir atkreipkite dėmesį, kad mūsų nedomina ženklas, kuris buvo pradžioje (kai tik pamatėme nelygybę, ženklas buvo), po transformacijų ženklas pasikeitė į, o tai reiškia, kad mus domina tarpai su ženklu .
Atsakymas:
Taip pat pasakysiu, kad yra situacijų, kai yra nelygybės šaknų, kurios nėra įtrauktos į jokią spragą, atsakant jos rašomos garbanotuose skliaustuose, pavyzdžiui, taip:. Daugiau apie tokias situacijas galite paskaityti straipsnyje Vidutinis lygis.
Apibendrinkime, kaip išspręsti nelygybes naudojant intervalų metodą:
- Viską perkeliame į kairę pusę, dešinėje paliekame tik nulį;
- Randame ODZ;
- Ant ašies dedame visas nelygybės šaknis;
- Iš vieno iš intervalų paimame savavališką ir nustatome ženklą intervale, kuriam priklauso šaknis, kaitaliojame ženklus, atkreipdami dėmesį į šaknis, kurios kelis kartus kartojasi nelygybėje, tai priklauso nuo lyginio ar nelyginio skaičiaus. jų pasikartojimo laikas, nesvarbu, ar ženklas keičiasi važiuojant pro juos, ar ne;
- Atsakydami rašome intervalus, stebėdami išmuštus ir neišmuštus taškus (žr. ODZ), tarp jų sudėdami reikiamus skliaustų tipus.
Ir galiausiai, mūsų mėgstamiausia skiltis „pasidaryk pats“!
Pavyzdžiai:
Atsakymai:
INTERVALO METODAS. VIDUTINIS LYGIS
Linijinė funkcija
Formos funkcija vadinama tiesine. Paimkime funkciją kaip pavyzdį. Jis yra teigiamas ir neigiamas. Taškas yra funkcijos () nulis. Parodykime šios funkcijos ženklus realioje ašyje:
Mes sakome, kad „funkcija keičia ženklą eidama per tašką“.
Matyti, kad funkcijos ženklai atitinka funkcijos grafiko padėtį: jei grafikas yra virš ašies, ženklas yra “ “, jei žemiau – “ “.
Jei gautą taisyklę apibendrinsime iki savavališkos tiesinė funkcija, gauname tokį algoritmą:
- Randame funkcijos nulį;
- Pažymime jį ant skaitinės ašies;
- Funkcijos ženklą nustatome pagal skirtingos pusės nuo nulio.
kvadratinė funkcija
Tikiuosi, prisimenate, kaip sprendžiamos kvadratinės nelygybės? Jei ne, skaitykite temą. Prisiminkite bendrą vaizdą kvadratinė funkcija: .
Dabar prisiminkime, kokius ženklus užima kvadratinė funkcija. Jos grafikas yra parabolė, o funkcija paima ženklą " " tiems, kuriuose parabolė yra virš ašies, ir " " - jei parabolė yra žemiau ašies:
Jei funkcija turi nulius (reikšmes, kuriose), parabolė kerta ašį dviejuose taškuose - atitinkamos kvadratinės lygties šaknyse. Taigi ašis suskirstyta į tris intervalus, o funkcijos ženklai einant pro kiekvieną šaknį kinta pakaitomis.
Ar įmanoma kažkaip nustatyti ženklus kiekvieną kartą nenubrėžiant parabolės?
Prisiminkite, kad kvadratinį trinarį galima koeficientuoti:
Pavyzdžiui: .
Atkreipkite dėmesį į šaknis ant ašies:
Prisimename, kad funkcijos ženklas gali keistis tik einant per šaknį. Mes naudojame šį faktą: kiekvienam iš trijų intervalų, į kuriuos ašis dalijama šaknimis, funkcijos ženklą pakanka nustatyti tik viename savavališkai pasirinktame taške: kituose intervalo taškuose ženklas bus tas pats.
Mūsų pavyzdyje: abi išraiškos skliausteliuose yra teigiamos (pakeičiame, pavyzdžiui:). Ant ašies dedame ženklą "":
Na, jei (pavyzdžiui, pakaitalas) abu skliaustai yra neigiami, tada produktas yra teigiamas:
Štai kas yra intervalo metodas: žinodami kiekvieno intervalo veiksnių požymius, nustatome viso gaminio ženklą.
Taip pat panagrinėkime atvejus, kai funkcija neturi nulių arba ji yra tik viena.
Jei jų nėra, vadinasi, nėra ir šaknų. Tai reiškia, kad nebus „praėjimo per šaknį“. Tai reiškia, kad funkcija visoje skaičių ašyje užima tik vieną ženklą. Tai lengva nustatyti pakeičiant ją funkcija.
Jei yra tik viena šaknis, parabolė liečia ašį, todėl funkcijos ženklas einant per šaknį nekinta. Kokios taisyklės taikomos tokioms situacijoms?
Jei išskirsime tokią funkciją, gausime du identiškus veiksnius:
Ir bet kokia kvadratinė išraiška yra neneigiama! Todėl funkcijos ženklas nesikeičia. Tokiais atvejais pasirinksime šaknį, per kurią važiuojant ženklas nesikeičia, apjuosdami ją kvadratu:
Tokia šaknis bus vadinama kartotiniu.
Intervalų metodas nelygybėse
Dabar bet kokią kvadratinę nelygybę galima išspręsti nenubrėžiant parabolės. Užtenka tik ant ašies sudėti kvadratinės funkcijos ženklus, o intervalus pasirinkti priklausomai nuo nelygybės ženklo. Pavyzdžiui:
Išmatuojame šaknis ant ašies ir išdėstome ženklus:
Mums reikia ašies dalies su ženklu ""; kadangi nelygybė nėra griežta, į sprendimą įtraukiamos ir pačios šaknys:
Dabar apsvarstykite racionalią nelygybę – nelygybę, kurios abi dalys yra racionalios išraiškos (žr.).
Pavyzdys:
Visi veiksniai, išskyrus vieną - čia yra "linijiniai", tai yra, juose yra tik pirmojo laipsnio kintamasis. Tokių tiesinių faktorių mums reikia intervalo metodo taikymui – ženklas keičiasi eidamas per jų šaknis. Tačiau daugiklis iš viso neturi šaknų. Tai reiškia, kad jis visada yra teigiamas (patikrinkite patys), todėl neturi įtakos visos nelygybės ženklui. Tai reiškia, kad galite padalyti į ją kairę ir dešinę nelygybės puses ir taip jos atsikratyti:
Dabar viskas taip pat, kaip buvo kvadratinės nelygybės: nustatome, kuriuose taškuose išnyksta kiekvienas veiksnys, pažymime šiuos taškus ašyje ir išdėstome ženklus. Atkreipiu jūsų dėmesį į labai svarbų faktą:
Atsakymas:. Pavyzdys: .
Norint taikyti intervalo metodą, būtina, kad vienoje iš nelygybės dalių būtų. Todėl mes perkeliame dešinę pusę į kairę:
Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį koeficientą, bet mes neskubame jo mažinti! Galų gale, mes galime pamiršti išryškinti šį tašką. Šią šaknį geriau pažymėti kaip kartotinį, tai yra, einant pro ją, ženklas nepasikeis: 
Atsakymas:.
Ir dar vienas labai iliustruojantis pavyzdys:
Vėlgi, mes nesumažiname tų pačių skaitiklio ir vardiklio veiksnių, nes jei sumažinsime, turėsime konkrečiai prisiminti, kad reikia dėti tašką.
- : kartoti kartus;
- : laikai;
- : kartus (skaitiklyje ir vienas vardiklyje).
Lyginio skaičiaus atveju elgiamės taip pat, kaip ir anksčiau: tašką apjuosiame kvadratu, o eidami per šaknį ženklo nekeičiame. Tačiau nelyginio skaičiaus atveju ši taisyklė neįvykdoma: einant per šaknį ženklas vis tiek pasikeis. Todėl su tokia šaknimi papildomai nieko nedarome, tarsi tai nebūtų mūsų kartotinis. Aukščiau pateiktos taisyklės taikomos visoms lyginėms ir nelyginėms galioms. 
Ką rašome atsakyme?
Jei pažeidžiamas ženklų kaitaliojimas, turite būti labai atsargūs, nes esant ne griežtai nelygybei, atsakymas turėtų apimti visi užpildyti taškai. Tačiau kai kurie iš jų dažnai stovi atskirai, tai yra, jie nepatenka į šešėlinę zoną. Tokiu atveju pridedame juos prie atsakymo kaip atskirus taškus (garbanotuose skliaustuose):
Pavyzdžiai (spręskite patys):
Atsakymai:
- Jei tarp veiksnių tai paprasta - tai yra šaknis, nes ją galima pavaizduoti kaip.
.
INTERVALO METODAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ
Racionaliosioms nelygybėms spręsti naudojamas intervalų metodas. Jį sudaro gaminio ženklo nustatymas iš veiksnių ženklų skirtingais intervalais.
Racionaliųjų nelygybių sprendimo intervalų metodu algoritmas.
- Viską perkeliame į kairę pusę, dešinėje paliekame tik nulį;
- Randame ODZ;
- Ant ašies dedame visas nelygybės šaknis;
- Iš vieno iš intervalų paimame savavališką ir nustatome ženklą intervale, kuriam priklauso šaknis, kaitaliojame ženklus, atkreipdami dėmesį į šaknis, kurios kelis kartus kartojasi nelygybėje, tai priklauso nuo lyginio ar nelyginio skaičiaus. jų pasikartojimo laikas, nesvarbu, ar ženklas keičiasi važiuojant pro juos, ar ne;
- Atsakydami rašome intervalus, stebėdami išmuštus ir neišmuštus taškus (žr. ODZ), tarp jų sudėdami reikiamus skliaustų tipus.
Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.
Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!
Dabar svarbiausia.
Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.
Problema ta, kad to gali nepakakti...
Kam?
Dėl sėkmingas pristatymas Vieningas valstybinis egzaminas, stojant į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.
Aš niekuo jūsų neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką ...
Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.
Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.
Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...
Bet pagalvok pats...
Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?
UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.
Egzamine jums nebus klausiama teorijos.
Jums reikės laiku išspręsti problemas.
Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.
Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.
Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!
Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.
Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.
Kaip? Yra dvi parinktys:
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai
Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.
Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.
Apibendrinant...
Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.
„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.
Raskite problemas ir spręskite!
Intervalų metodas laikomas universaliu nelygybėms spręsti. Kartais šis metodas dar vadinamas tarpo metodu. Jis gali būti naudojamas tiek sprendžiant racionalias nelygybes su vienu kintamuoju, tiek sprendžiant kitų tipų nelygybes. Savo medžiagoje stengėmės atkreipti dėmesį į visus problemos aspektus.
Kas tavęs laukia šioje rubrikoje? Išanalizuosime spragų metodą ir apsvarstysime jį naudojant nelygybių sprendimo algoritmus. Palieskime teoriniai aspektai kuriais grindžiamas metodo taikymas.
Ypatingą dėmesį skiriame temos niuansams, kurie paprastai nėra aptariami mokyklos mokymo programa. Pavyzdžiui, apsvarstykite ženklų dėjimo ant intervalų taisykles ir intervalų metodą bendras vaizdas nesusiejant jos su racionaliomis nelygybėmis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritmas
Kas prisimena, kaip mokykliniame algebros kurse įvedamas spragų metodas? Paprastai viskas prasideda nuo f (x) formos nelygybių sprendimo< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >arba ≥). Čia f(x) gali būti daugianario arba daugianario santykis. Savo ruožtu daugianomas gali būti pavaizduotas taip:
- tiesinių dvinarių sandauga su koeficientu 1 kintamajam x;
- dirbti kvadratiniai trinariai su pirmuoju koeficientu 1 ir su neigiamu jų šaknų diskriminantu.
Štai keletas tokių nelygybių pavyzdžių:
(x + 3) (x 2 - x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,
(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0,
(x – 5) (x + 5) ≤ 0,
(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .
Surašome algoritmą tokio pobūdžio nelygybių sprendimui, kaip pateikėme pavyzdžiuose, naudodami intervalų metodą:
- randame skaitiklio ir vardiklio nulius, tam kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklį ir vardiklį prilyginame nuliui ir išsprendžiame gautas lygtis;
- nustatyti taškus, atitinkančius rastus nulius, ir pažymėti juos brūkšneliais koordinačių ašyje;
- apibrėžti išraiškos ženklus f(x) iš kairės išspręstos nelygybės kiekviename intervale ir padėkite jas į grafiką;
- taikykite perbraukimą ant norimų grafiko dalių, vadovaudamiesi kita taisyklė: jei nelygybė turi ženklų< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >arba ≥ , tada su šešėliavimu pasirenkame „+“ ženklu pažymėtas sritis.
Brėžinys, su kuriuo dirbsime, gali turėti scheminį vaizdą. Pernelyg didelės detalės gali perkrauti piešinį ir apsunkinti apsisprendimą. Mes mažai domėsimės mastu. Užteks klijuoti teisinga vieta taškus, kai didėja jų koordinačių reikšmės.
Dirbdami su griežtomis nelygybėmis, naudosime taško žymėjimą apskritimo su neužpildytu (tuščiu) centru. Negriežtų nelygybių atveju taškai, atitinkantys vardiklio nulius, bus rodomi kaip tušti, o visi kiti - kaip įprasti juodi.
Pažymėti taškai padalija koordinačių liniją į kelis skaitinius intervalus. Tai leidžia mums gauti geometrinį skaičių aibės vaizdą, kuris iš tikrųjų yra nurodytos nelygybės sprendimas.
Spragų metodo mokslinis pagrindas
Metodas, kuriuo grindžiamas spragų metodas, yra pagrįstas tokia savybe nuolatinė funkcija: funkcija išlieka pastovi intervale (a , b), kuriame ši funkcija yra ištisinė, ir neišnyksta. Ta pati savybė būdinga skaičių spinduliams (− ∞ , a) ir (a , +∞).
Aukščiau nurodytą funkcijos savybę patvirtina Bolzano-Cauchy teorema, kuri pateikiama daugelyje vadovų, skirtų pasiruošti stojamiesiems egzaminams.
Taip pat galima pagrįsti ženklo pastovumą intervaluose remiantis skaitinių nelygybių savybėmis. Pavyzdžiui, paimkite nelygybę x - 5 x + 1 > 0 . Jei rasime skaitiklio ir vardiklio nulius ir patalpinsime juos į skaičių eilutę, gausime spragų seriją: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) ir (5 , + ∞) .
Paimkime bet kurį intervalą ir parodykime, kad visame intervale išraiška iš kairės nelygybės pusės turės pastovų ženklą. Tegul tai yra intervalas (− ∞ , − 1) . Paimkime bet kurį skaičių t iš šio intervalo. Jis tenkins sąlygas t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Naudodami ir gautas nelygybes, ir skaitinių nelygybių savybę, galime daryti prielaidą, kad t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t intervale (− ∞ , − 1) .
Naudodami neigiamų skaičių padalijimo taisyklę galime teigti, kad išraiškos t - 5 t + 1 reikšmė bus teigiama. Tai reiškia, kad išraiškos x - 5 x + 1 reikšmė bus teigiama bet kuriai reikšmei x iš tarpo (− ∞ , − 1) . Visa tai leidžia teigti, kad intervale, paimtame kaip pavyzdys, išraiška turi pastovų ženklą. Mūsų atveju tai yra „+“ ženklas.
Skaitiklio ir vardiklio nulių radimas
Nulių radimo algoritmas paprastas: reiškinius nuo skaitiklio ir vardiklio prilyginame nuliui ir išsprendžiame gautas lygtis. Jei turite kokių nors sunkumų, galite kreiptis į temą „Lygčių sprendimas faktoringo būdu“. Šiame skyriuje apsiribojame pavyzdžiu.
Apsvarstykite trupmeną x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Norėdami rasti skaitiklio ir vardiklio nulius, juos prilyginame nuliui, kad gautume ir išspręstume lygtis: x (x − 0, 6) = 0 ir x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.
Pirmuoju atveju galime pereiti prie dviejų lygčių aibės x = 0 ir x − 0 , 6 = 0 , iš kurios gauname dvi šaknis 0 ir 0 , 6 . Tai yra skaitiklio nuliai.
Antroji lygtis yra lygi trijų lygčių rinkiniui x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Atliekame eilę transformacijų ir gauname x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Pirmosios lygties šaknis yra 0, antroji lygtis neturi šaknų, nes turi neigiamą diskriminantą, trečiosios lygties šaknis yra 5. Tai yra vardiklio nuliai.
0 šiuo atveju yra ir skaitiklio nulis, ir vardiklio nulis.
Bendruoju atveju, kai kairėje nelygybės pusėje yra trupmena, kuri nebūtinai yra racionali, skaitiklis ir vardiklis taip pat prilyginami nuliui, kad būtų gautos lygtys. Spręsdami lygtis, galite rasti skaitiklio ir vardiklio nulius.
Nustatyti intervalo ženklą paprasta. Norėdami tai padaryti, bet kurio savavališkai pasirinkto taško iš nurodyto intervalo nelygybės kairėje galite rasti išraiškos reikšmę. Gautas išraiškos reikšmės ženklas savavališkai pasirinktame intervalo taške sutaps su viso intervalo ženklu.
Pažvelkime į šį teiginį su pavyzdžiu.
Paimkite nelygybę x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklyje nėra nulių. Nulinis vardiklis bus skaičius - 3 . Skaičių eilutėje gauname du tarpus (− ∞ , − 3) ir (- 3 , + ∞) .
Norėdami nustatyti intervalų požymius, apskaičiuojame išraiškos x 2 - x + 4 x + 3 reikšmę kiekviename intervale savavališkai paimtiems taškams.
Nuo pirmo intervalo (− ∞ , − 3) paimk - 4. At x = -4 mes turime (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Mes turime neigiama prasmė, todėl visas intervalas bus su ženklu „-“.
Dėl span (− 3 , + ∞) atlikime skaičiavimus su tašku, kurio koordinatė yra nulinė. Jei x = 0, turime 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Gavau teigiama vertė, o tai reiškia, kad visas tarpas bus su „+“ ženklu.
Galite naudoti kitą būdą ženklams apibrėžti. Norėdami tai padaryti, galime rasti ženklą viename iš intervalų ir jį išsaugoti arba pakeisti, kai einame per nulį. Norint viską padaryti teisingai, reikia laikytis taisyklės: eidami per vardiklio nulį, bet ne skaitiklį, arba skaitiklį, bet ne vardiklį, ženklą galime pakeisti į priešingą, jei vardiklio laipsnis išraiška, suteikianti šį nulį, yra nelyginė, ir mes negalime pakeisti ženklo, jei laipsnis yra lyginis. Jei gavome tašką, kuris yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis, tai pakeisti ženklą į priešingą galima tik tuo atveju, jei reiškinių, duodančių šį nulį, galių suma yra nelyginė.
Jei prisiminsime nelygybę, kurią svarstėme šios medžiagos pirmosios pastraipos pradžioje, tada dešiniajame intervale galime įdėti „+“ ženklą.
Dabar pereikime prie pavyzdžių.
Paimkite nelygybę (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 ir išspręskite ją intervalų metodu. Norėdami tai padaryti, turime rasti skaitiklio ir vardiklio nulius ir pažymėti juos koordinačių eilutėje. Skaitiklio nuliai bus taškai 2 , 3 , 4 , taško vardiklis 1 , 3 , 4 . Juos koordinačių ašyje pažymime brūkšneliais.
Vardiklio nuliai pažymėti tuščiais taškais.
Kadangi susiduriame su negriežta nelygybe, likusius brūkšnelius pakeičiame įprastais taškais.
Dabar padėkime taškus ant intervalų. Dešinysis intervalas (4, +∞) bus + ženklas.
Judėdami iš dešinės į kairę, pažymėsime likusius tarpus. Pravažiuojame tašką, kurio koordinatė 4 . Tai yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis. Apibendrinant, šie nuliai suteikia išraiškas (x – 4) 2 Ir x - 4. Sudedame jų laipsnius 2 + 1 = 3 ir gauname nelyginį skaičių. Tai reiškia, kad perėjimo ženklas šiuo atveju pasikeičia į priešingą. Intervale (3, 4) bus minuso ženklas.
Per tašką, kurio koordinatė 3, pereiname į intervalą (2, 3). Tai taip pat yra nulis tiek skaitikliui, tiek vardikliui. Gavome tai dėka dviejų išraiškų (x − 3) 3 ir (x – 3) 5, kurio laipsnių suma yra 3 + 5 = 8 . Gavus lyginį skaičių, galime palikti intervalo ženklą nepakeistą.
Taškas, kurio koordinatė 2, yra skaitiklio nulis. Išraiškos laipsnis x - 2 yra lygus 1 (nelyginis). Tai reiškia, kad važiuojant per šį tašką ženklas turi būti apverstas.
Mums paliekamas paskutinis intervalas (− ∞ , 1) . Taškas, kurio koordinatė 1, yra nulinis vardiklis. Jis buvo gautas iš išraiškos (x – 1) 4, su lygiu laipsniu 4 . Todėl ženklas išlieka tas pats. Galutinis piešinys atrodys taip:
Intervalų metodo naudojimas ypač efektyvus tais atvejais, kai išraiškos reikšmės apskaičiavimas yra susijęs su dideliu darbo kiekiu. Pavyzdys galėtų būti poreikis įvertinti išraiškos vertę
x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)
bet kuriame intervalo 3-3 4, 3-2 4 taške.
Dabar įgytas žinias ir įgūdžius pritaikykime praktikoje.
1 pavyzdys
Išspręskite nelygybę (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .
Sprendimas
Nelygybei išspręsti patartina taikyti intervalų metodą. Raskite skaitiklio ir vardiklio nulius. Skaitiklio nuliai yra 1 ir - 5 , vardiklio nuliai yra 7 ir 1 . Pažymėkime juos skaičių eilutėje. Turime reikalą su negriežta nelygybe, todėl vardiklio nulius pažymėsime tuščiais taškais, skaitiklio nulis - 5 bus pažymėtas įprastu užpildytu tašku.
Tarpų ženklus užrašome vadovaudamiesi ženklo keitimo taisyklėmis, kai pravažiuojame per nulį. Pradėkime nuo labiausiai dešiniojo intervalo, kuriam apskaičiuojame išraiškos reikšmę iš kairės nelygybės pusės taške, savavališkai paimtame iš intervalo. Gauname „+“ ženklą. Iš eilės pereikime per visus koordinačių linijos taškus, padėdami ženklus ir gaukime:
Dirbame su negriežta nelygybe, kurios ženklas ≤ . Tai reiškia, kad tarpelius, pažymėtus „-“ ženklu, turime pažymėti atspalviu.
Atsakymas: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
Racionaliųjų nelygybių sprendimas daugeliu atvejų reikalauja išankstinio jų transformavimo į tinkamos rūšies. Tik tada atsiranda galimybė naudoti intervalų metodą. Tokių transformacijų atlikimo algoritmai nagrinėjami medžiagoje „Racionaliųjų nelygybių sprendimas“.
Apsvarstykite kvadratinių trinalių konvertavimo į nelygybes pavyzdį.
2 pavyzdys
Raskite nelygybės (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 sprendimą.
Sprendimas
Pažiūrėkime, ar kvadratinių trinalių diskriminantai nelygybės įraše yra tikrai neigiami. Tai leis mums nustatyti, ar šios nelygybės forma leidžia sprendiniui taikyti intervalo metodą.
Apskaičiuokite trinario diskriminantą x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Dabar apskaičiuokime trinalio x 2 + 2 x - 8 diskriminantą: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Kaip matote, nelygybė reikalauja išankstinės transformacijos. Norėdami tai padaryti, pavaizduojame trinarį x 2 + 2 x − 8 kaip (x + 4) (x - 2), o tada taikykite intervalų metodą, kad išspręstumėte nelygybę (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .
Atsakymas: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
Apibendrintas tarpo metodas naudojamas f (x) formos nelygybėms išspręsti.< 0 (≤ , >, ≥) , kur f (x) yra savavališka išraiška su vienu kintamuoju x.
Visi veiksmai atliekami pagal tam tikrą algoritmą. Šiuo atveju nelygybių sprendimo apibendrinto intervalo metodu algoritmas šiek tiek skirsis nuo to, ką analizavome anksčiau:
- rasti funkcijos f sritį ir šios funkcijos nulius;
- pažymėti ribinius taškus koordinačių ašyje;
- nubrėžkite funkcijos nulius skaičių tiesėje;
- nustatyti intervalų požymius;
- taikome perinti;
- užrašykite atsakymą.
Skaičių eilutėje taip pat būtina pažymėti atskirus apibrėžimo srities taškus. Pavyzdžiui, funkcijos sritis yra aibė (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Tai reiškia, kad turime pažymėti taškus koordinatėmis − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 Ir 10 . taškų − 5 ir 7 rodomi kaip tušti, likusius galima paryškinti spalvotu pieštuku, kad būtų atskirti nuo funkcijos nulių.
Funkcijos nuliai negriežtų nelygybių atveju žymimi įprastais (tamsuotais) taškais, o griežtoms nelygybėms – tuščiais taškais. Jei nuliai sutampa su ribiniais taškais arba atskirais apibrėžimo srities taškais, tada juos galima perspalvinti juoda spalva, padarant juos tuščius arba užpildytus, priklausomai nuo nelygybės tipo.
Atsakymo įrašas yra numerių rinkinys kuri apima:
- nubrozdinti tarpai;
- atskirkite domeno taškus pliuso ženklu, jei kalbame su nelygybe, kurios ženklas yra > arba ≥ arba minuso ženklu, jei nelygybėje yra ženklų< или ≤ .
Dabar tapo aišku, kad algoritmas, kurį pateikėme pačioje temos pradžioje, yra ypatingas apibendrinto intervalo metodo taikymo algoritmo atvejis.
Apsvarstykite apibendrinto intervalo metodo taikymo pavyzdį.
3 pavyzdys
Išspręskite nelygybę x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .
Sprendimas
Pateikiame tokią funkciją f, kad f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Raskite funkcijos domeną f:
x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4, 7) ∪ (7, + ∞).
Dabar suraskime funkcijos nulius. Norėdami tai padaryti, išspręsime neracionalią lygtį:
x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0
Gauname šaknį x = 12 .
Norėdami pažymėti ribinius taškus koordinačių ašyje, naudojame oranžinė spalva. Taškai - 6, 4 bus užpildyti, o 7 liks tušti. Mes gauname:
Funkcijos nulį pažymime tuščiu juodu tašku, nes dirbame su griežta nelygybe.
Ženklus nustatome atskirais intervalais. Norėdami tai padaryti, paimkite vieną tašką iš kiekvieno intervalo, pavyzdžiui, 16 , 8 , 6 Ir − 8 , ir apskaičiuokite juose esančios funkcijos reikšmę f:
f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0
Mes dedame ženklus, kuriuos ką tik apibrėžėme, o ant tarpų pritaikome perėjimą su minuso ženklu:
Atsakymas bus dviejų intervalų junginys su ženklu "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Atsakydami įtraukėme tašką su koordinate - 6 . Tai ne funkcijos nulis, kurio neįtrauktume į atsakymą spręsdami griežtą nelygybę, o apibrėžimo srities ribinis taškas, kuris įeina į apibrėžimo sritį. Funkcijos reikšmė šiame taške yra neigiama, o tai reiškia, kad ji tenkina nelygybę.
Į atsakymą neįtraukėme 4 punkto, kaip ir viso intervalo [4, 7) . Šiuo metu, kaip ir visame nurodytame intervale, funkcijos reikšmė yra teigiama, o tai netenkina sprendžiamos nelygybės.
Parašykime dar kartą, kad sužinotumėte daugiau aiškus supratimas: spalvoti taškai turi būti įtraukti į atsakymą šiais atvejais:
- šie taškai yra išbrokuoto tarpo dalis,
- šie taškai yra atskiri funkcijos srities taškai, kurių funkcijos reikšmės tenkina nelygybę.
Atsakymas: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
