Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Raskite paskirstymo funkciją F(x)

Svarstoma diskrečiųjų skirstinių savybė sukelia didelių sunkumų sudarant ir naudojant tokius skirstinius, nes neįmanoma tiksliai išlaikyti tipinių skaitinių pasiskirstymo charakteristikų verčių. Visų pirma, tai pasakytina apie neparametrinių statistinių testų kritines vertes ir reikšmingumo lygius (žr. toliau), nes šių testų statistikos pasiskirstymas yra atskiras.

Užsakymo kvantilis turi didelę reikšmę statistikoje. R= ½. Jis vadinamas mediana (atsitiktinis kintamasis X arba jo paskirstymo funkcija F(x)) ir žymimas Aš (X). Geometrijoje yra „medianos“ sąvoka - tiesi linija, einanti per trikampio viršūnę ir dalijanti jo priešingą kraštinę pusiau. Matematinės statistikos mediana dalija ne trikampio kraštinę, o atsitiktinio dydžio skirstinį: lygybę F(x0,5)= 0,5 reiškia, kad tikimybė patekti į kairę x0.5 ir tikimybė, kad pavyks x0.5(arba tiesiai į x0.5) yra lygūs vienas kitam ir lygūs ½, t.y.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Mediana nurodo pasiskirstymo „centrą“. Vienos iš šiuolaikinių sąvokų – stabilių statistinių procedūrų teorijos – požiūriu, mediana yra geresnė atsitiktinio dydžio charakteristika nei matematinis lūkestis. Apdorojant matavimo rezultatus eilės skalėje (žr. skyrių apie matavimo teoriją), galima naudoti medianą, bet ne matematinį lūkestį.

Tokia atsitiktinio dydžio charakteristika kaip režimas turi aiškią prasmę - atsitiktinio dydžio reikšmė (ar reikšmės), atitinkanti vietinį tikimybės tankio maksimumą nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui arba lokalų tikimybės maksimumą diskrečiam atsitiktinumui. kintamasis.

Jeigu x0 yra atsitiktinio dydžio su tankiu režimas f(x), tada, kaip žinoma iš diferencialinio skaičiavimo, .

Atsitiktinis kintamasis gali turėti daug režimų. Taigi, vienodam paskirstymui (1) kiekvienas taškas X toks kad a< x < b , yra mada. Tačiau tai yra išimtis. Dauguma atsitiktinių dydžių, naudojamų tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose ir kituose taikomuosiuose tyrimuose, turi vieną režimą. Atsitiktiniai dydžiai, tankiai, skirstiniai, turintys vieną režimą, vadinami unimodaliniais.

Matematinis lūkestis dėl diskrečiųjų atsitiktinių dydžių su baigtiniu reikšmių skaičiumi nagrinėjamas skyriuje „Įvykiai ir tikimybės“. Dėl nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikėtina vertė M(X) tenkina lygybę

kuri yra (5) formulės analogas iš skyriaus „Įvykiai ir tikimybės“ 2 teiginio.

5 pavyzdys Matematinis tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio lūkestis X lygus

Šiame skyriuje aptartiems atsitiktiniams dydžiams visos tos matematinių lūkesčių ir dispersijų savybės, kurios anksčiau buvo nagrinėjamos diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams su baigtiniu reikšmių skaičiumi, yra teisingos. Tačiau šių savybių įrodymų nepateikiame, nes jos reikalauja gilinimosi į matematines subtilybes, o tai nėra būtina tikimybinių-statistinių sprendimų priėmimo metodų supratimui ir kvalifikuotam taikymui.

komentuoti.Šiame vadovėlyje sąmoningai vengiama matematinių subtilybių, siejama visų pirma su išmatuojamų aibių ir išmatuojamų funkcijų sąvokomis, įvykių -algebra ir pan. Norintys įsisavinti šias sąvokas turėtų kreiptis į specializuotą literatūrą, ypač į enciklopediją.

Kiekviena iš trijų charakteristikų – matematinė prognozė, mediana, režimas – apibūdina tikimybių pasiskirstymo „centrą“. „Centro“ sąvoka gali būti apibrėžta įvairiai – taigi trys skirtingos charakteristikos. Tačiau svarbiai skirstinių klasei – simetriniam unimodaliniam – visos trys charakteristikos sutampa.

Pasiskirstymo tankis f(x) yra simetrinio skirstinio tankis, jei yra skaičius x 0 toks kad

. (3)

Lygybė (3) reiškia, kad funkcijos grafikas y = f(x) simetriškas vertikalios linijos, einančios per simetrijos centrą, atžvilgiu X = X 0 . Iš (3) išplaukia, kad simetrinio skirstinio funkcija tenkina ryšį

(4)

Simetriškam pasiskirstymui su vienu režimu vidurkis, mediana ir režimas yra vienodi ir vienodi x 0.

Svarbiausias atvejis – simetrija 0 atžvilgiu, t.y. x 0= 0. Tada (3) ir (4) tampa lygybėmis

(6)

atitinkamai. Aukščiau pateikti ryšiai rodo, kad nebūtina pateikti simetrinių skirstinių visiems X, užtenka turėti lenteles x > x0.

Atkreipiame dėmesį į dar vieną simetrinių skirstinių savybę, kuri nuolat naudojama tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose ir kituose taikomuosiuose tyrimuose. Nepertraukiamai paskirstymo funkcijai

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Kur F yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X. Jei paskirstymo funkcija F yra simetriškas 0 atžvilgiu, t.y. formulė (6) galioja, tada

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Dažnai vartojama ir kita nagrinėjamo teiginio formuluotė: jeigu

.

Jei ir yra skirstinio funkcijos eilės kvantiliai ir atitinkamai (žr. (2)), simetriški 0 atžvilgiu, tai iš (6) išplaukia, kad

Nuo padėties charakteristikų – matematinės lūkesčių, medianos, režimo – pereikime prie atsitiktinio dydžio sklaidos charakteristikų. X: dispersija, vidurkis standartinis nuokrypis ir variacijos koeficientas v. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių dispersijos apibrėžimas ir savybės buvo nagrinėjami ankstesniame skyriuje. Dėl nuolatinių atsitiktinių dydžių

Standartinis nuokrypis yra neneigiama dispersijos kvadratinės šaknies reikšmė:

Variacijos koeficientas yra standartinio nuokrypio ir matematinio lūkesčio santykis:

Variacijos koeficientas taikomas, kai M(X)> 0. Jis matuoja skirtumą santykiniais vienetais, o standartinis nuokrypis – absoliučiais vienetais.

6 pavyzdys Tolygiai paskirstytam atsitiktiniam dydžiui X rasti dispersiją, standartinį nuokrypį ir variacijos koeficientą. Sklaida yra tokia:

Kintamasis pakeitimas leidžia rašyti:

Kur c = (b – a)/ 2. Todėl standartinis nuokrypis yra lygus, o variacijos koeficientas yra:

Kiekvienam atsitiktiniam dydžiui X nustatyti dar tris dydžius – centre Y, normalizuotas V ir duota U. Centruotas atsitiktinis kintamasis Y yra skirtumas tarp nurodyto atsitiktinio dydžio X ir jo matematinis lūkestis M(X), tie. Y = X – M(X). Centrinio atsitiktinio kintamojo matematinis lūkestis Y yra lygi 0, o dispersija yra nurodyto atsitiktinio dydžio dispersija: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). paskirstymo funkcija FY(x) centruotas atsitiktinis kintamasis Y susiję su paskirstymo funkcija F(x) pradinis atsitiktinis dydis X santykis:

FY(x) = F(x + M(X)).

Šių atsitiktinių dydžių tankiams lygybė

fY(x) = f(x + M(X)).

Normalizuotas atsitiktinis dydis V yra šio atsitiktinio dydžio santykis X iki jo standartinio nuokrypio , t.y. . Normalizuoto atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija V išreikštas per charakteristikas X Taigi:

,

Kur v yra pradinio atsitiktinio dydžio variacijos koeficientas X. Dėl paskirstymo funkcijos F V(x) ir tankis f V(x) normalizuotas atsitiktinis dydis V mes turime:

Kur F(x) yra pradinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X, A f(x) yra jo tikimybės tankis.

Sumažintas atsitiktinis dydis U yra centruotas ir normalizuotas atsitiktinis kintamasis:

.

Dėl sumažinto atsitiktinio dydžio

Normalizuoti, centruoti ir redukuoti atsitiktiniai dydžiai nuolat naudojami tiek teoriniuose tyrimuose, tiek algoritmuose, programiniuose produktuose, norminėje ir techninėje bei mokomojoje ir metodinėje dokumentacijoje. Visų pirma, nes lygybės leidžia supaprastinti metodų pagrindimą, teoremų formuluotes ir skaičiavimo formules.

Naudojamos atsitiktinių dydžių transformacijos ir kt bendrasis planas. Taigi, jei Y = aX + b, Kur a Ir b tada yra keletas skaičių

7 pavyzdys Jei tada Y yra redukuotas atsitiktinis dydis, o formulės (8) paverčiamos formulėmis (7).

Su kiekvienu atsitiktiniu dydžiu X galite prijungti daugybę atsitiktinių kintamųjų Y pateikta pagal formulę Y = aX + bįvairiuose a> 0 ir b. Šis rinkinys vadinamas masto poslinkio šeima, sugeneruotas atsitiktinio dydžio X. Paskirstymo funkcijos FY(x) sudaro skalės poslinkio skirstinių šeimą, kurią generuoja pasiskirstymo funkcija F(x). Vietoj Y = aX + b dažnai naudojamas žymėjimas

Skaičius Su vadinamas poslinkio parametru ir skaičiumi d- mastelio parametras. Formulė (9) tai rodo X- tam tikro kiekio matavimo rezultatas - patenka į At- tos pačios vertės matavimo rezultatas, jei matavimo pradžia perkeliama į tašką Su, tada naudokite naują matavimo vienetą d kartų didesnis nei senasis.

Skalės poslinkio šeimai (9) skirstinys X vadinamas standartiniu. Tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose ir kituose taikomuosiuose tyrimuose naudojamas standartinis normaliasis skirstinys, standartinis Weibull-Gnedenko skirstinys, standartinis gama skirstinys ir kt. (žr. toliau).

Taip pat naudojamos ir kitos atsitiktinių dydžių transformacijos. Pavyzdžiui, teigiamam atsitiktiniam dydžiui X apsvarstyti Y= žurnalas X, kur lg X yra skaičiaus dešimtainis logaritmas X. Lygybių grandinė

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

susijęs su paskirstymo funkcijomis X Ir Y.

Apdorojant duomenis, naudojamos tokios atsitiktinio dydžio charakteristikos X kaip tvarkos akimirkos q, t.y. matematiniai atsitiktinio dydžio lūkesčiai X q, q= 1, 2, … Taigi pats matematinis lūkestis yra 1 eilės momentas. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui eilės momentas q galima apskaičiuoti kaip

Dėl nuolatinio atsitiktinio dydžio

Tvarkos akimirkos q dar vadinami pradiniais įsakymo momentais q, priešingai nei giminingos charakteristikos – centriniai tvarkos momentai q, pateikta pagal formulę

Taigi, dispersija yra pagrindinis 2 eilės momentas.

Normalusis skirstinys ir centrinės ribos teorema. Tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose dažnai kalbame apie normalųjį skirstinį. Kartais jie bando jį naudoti modeliuodami pradinių duomenų pasiskirstymą (šie bandymai ne visada pagrįsti – žr. toliau). Dar svarbiau, kad daugelis duomenų apdorojimo metodų yra pagrįsti tuo, kad apskaičiuotų verčių pasiskirstymas yra artimas normaliam.

Leisti X 1 , X 2 ,…, X n M(X i) = m ir dispersijos D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Kaip matyti iš ankstesnio skyriaus rezultatų,

Apsvarstykite sumažintą atsitiktinį kintamąjį U n už sumą , būtent,

Kaip matyti iš (7) formulių, M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(dėl vienodai paskirstytų terminų). Leisti X 1 , X 2 ,…, X n, … yra nepriklausomi identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais M(X i) = m ir dispersijos D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Tada bet kuriam x yra riba

Kur F(x) yra standartinė normalaus pasiskirstymo funkcija.

Daugiau apie funkciją F(x) –žemiau (skaitoma „fi iš x“, nes F– graikų didžioji raidė „phi“).

Centrinės ribos teorema (CLT) pavadinta dėl to, kad tai yra pagrindinis, dažniausiai naudojamas matematinis tikimybių teorijos ir matematinės statistikos rezultatas. CLT istorija trunka apie 200 metų – nuo ​​1730 m., kai anglų matematikas A. De Moivre'as (1667-1754) paskelbė pirmąjį rezultatą, susijusį su CLT (žr. toliau apie Moivre-Laplace teoremą), iki dvidešimtojo – trisdešimtojo dešimtmečio. dvidešimtojo amžiaus, kai suomis J.W. Lindebergas, prancūzas Paulas Levy (1886-1971), jugoslavas V. Felleris (1906-1970), rusas A.Ya. Khinchinas (1894-1959) ir kiti mokslininkai gavo būtinas ir pakankamas sąlygas klasikinės centrinės ribos teoremos galiojimui.

Nagrinėjamo dalyko raida tuo nė kiek nesustojo – buvo tiriami atsitiktiniai dydžiai, kurie neturi dispersijos, t.y. tie, kuriems

(akademikas B. V. Gnedenko ir kt.), situacija, kai sumuojami sudėtingesnio pobūdžio atsitiktiniai dydžiai (tiksliau atsitiktiniai elementai) nei skaičiai (akademikai Ju. V. Prochorovas, A. A. Borovkovas ir jų bendražygiai) ir kt. .d.

paskirstymo funkcija F(x) suteikia lygybė

,

kur yra standartinio normaliojo skirstinio tankis, kurio išraiška gana sudėtinga:

.

Čia \u003d 3,1415925 ... yra geometrijoje žinomas skaičius, lygus apskritimo ir skersmens santykiui, e \u003d 2,718281828 ... - natūraliųjų logaritmų pagrindas (norėdami atsiminti šį skaičių, atkreipkite dėmesį, kad 1828 m. yra rašytojo Levo Tolstojaus gimimo metai). Kaip žinoma iš matematinė analizė,

Apdorojant stebėjimų rezultatus normaliojo skirstinio funkcija neskaičiuojama pagal aukščiau pateiktas formules, o randama naudojant specialias lenteles ar kompiuterines programas. Geriausias rusų kalba „Matematinės statistikos lenteles“ sudarė SSRS mokslų akademijos nariai korespondentai L. N. Bolševas ir N. V. Smirnovas.

Standartinio normaliojo skirstinio tankio forma išplaukia iš matematinės teorijos, kurios čia negalime nagrinėti, taip pat iš CLT įrodymo.

Iliustracijai pateikiame mažas paskirstymo funkcijos lenteles F(x)(2 lentelė) ir jo kvantiliai (3 lentelė). Funkcija F(x) yra simetriškas 0 atžvilgiu, tai atsispindi 2-3 lentelėse.

2 lentelė.

Standartinio normaliojo skirstinio funkcija.

Jei atsitiktinis dydis X turi paskirstymo funkciją F(x), Tai M(X) = 0, D(X) = 1. Šis teiginys įrodytas tikimybių teorijoje, remiantis tikimybių tankio forma. Jis sutinka su panašiu teiginiu dėl redukuoto atsitiktinio dydžio charakteristikų U n, o tai visiškai natūralu, nes CLT teigia, kad be galo padidėjus terminų skaičiui, pasiskirstymo funkcija U n linksta į standartinę normalaus pasiskirstymo funkciją F(x), ir bet kokiam X.

3 lentelė

Standartinio normaliojo skirstinio kvantliai.

Pateikiame normaliųjų skirstinių šeimos sampratą. Pagal apibrėžimą normalusis skirstinys yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymas X, kuriam redukuoto atsitiktinio dydžio skirstinys yra F(x). Kaip matyti iš bendrųjų mastelio poslinkių skirstinių šeimų savybių (žr. aukščiau), normalusis skirstinys yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymas.

Kur X yra atsitiktinis dydis su pasiskirstymu F(X), ir m = M(Y), = D(Y). Normalus pasiskirstymas su poslinkio parametrais m o mastelis dažniausiai žymimas N(m, ) (kartais užrašas N(m, ) ).

Kaip matyti iš (8), normaliojo skirstinio tikimybės tankis N(m, ) Yra

Normalūs skirstiniai sudaro mastelio poslinkių šeimą. Šiuo atveju skalės parametras yra d= 1/ , ir poslinkio parametras c = - m/ .

Normaliojo skirstinio trečios ir ketvirtos eilės centrinių momentų lygybės yra teisingos

Šios lygybės grindžiamos klasikiniais metodais, kuriais tikrinama, ar stebėjimų rezultatai atitinka normalųjį pasiskirstymą. Šiuo metu normalumą paprastai rekomenduojama tikrinti pagal kriterijų WŠapiro – Vilka. Normalumo patikrinimo problema aptariama toliau.

Jei atsitiktiniai dydžiai X 1 Ir X 2 turi paskirstymo funkcijas N(m 1 , 1) Ir N(m 2 , 2) atitinkamai tada X 1+ X 2 turi paskirstymą Todėl jei atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , tada jų aritmetinis vidurkis

turi paskirstymą N(m, ) . Šios normalaus skirstinio savybės nuolat naudojamos įvairiuose tikimybinių-statistinių sprendimų priėmimo metoduose, ypač atliekant statistinę technologinių procesų kontrolę ir statistinio priėmimo kontrolę kiekybiniu požymiu.

Normalus skirstinys apibrėžia tris skirstinius, kurie dabar dažniausiai naudojami apdorojant statistinius duomenis.

Pasiskirstymas (chi – kvadratas) – atsitiktinio dydžio pasiskirstymas

kur atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 ,…, X n yra nepriklausomi ir turi tą patį pasiskirstymą N(0,1). Šiuo atveju terminų skaičius, t.y. n, vadinamas chi kvadrato skirstinio „laisvės laipsnių skaičiumi“.

Paskirstymas t Studentas yra atsitiktinio dydžio skirstinys

kur atsitiktiniai dydžiai U Ir X nepriklausomas, U turi standartinį normalųjį pasiskirstymą N(0,1) ir X– paskirstymas chi – kvadratas su n laisvės laipsniai. Kuriame n vadinamas Studento skirstinio „laisvės laipsnių skaičiumi“. Tokį skirstymą 1908 metais įvedė anglų statistikas W. Gossetas, dirbęs alaus fabrike. Tikimybiniais-statistiniais metodais buvo padaryta ekonominė ir techniniai sprendimaišioje gamykloje, todėl jos vadovybė uždraudė V. Gossetui publikuoti mokslinius straipsnius savo vardu. Apsaugotas tokiu būdu prekybos paslaptis, „know-how“ V. Gosseto sukurtų tikimybinių-statistinių metodų pavidalu. Tačiau jis galėjo publikuoti slapyvardžiu „Studentas“. Gosset-Student istorija rodo, kad dar šimtą metų didysis ekonominis efektyvumas tikimybiniai-statistiniai sprendimų priėmimo metodai.

Fišerio skirstinys yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymas

kur atsitiktiniai dydžiai X 1 Ir X 2 yra nepriklausomi ir turi chi skirstinius – kvadratą su laisvės laipsnių skaičiumi k 1 Ir k 2 atitinkamai. Tuo pačiu metu pora (k 1 , k 2 ) yra Fišerio skirstinio „laisvės laipsnių skaičių“ pora, būtent, k 1 yra skaitiklio laisvės laipsnių skaičius ir k 2 yra vardiklio laisvės laipsnių skaičius. Atsitiktinio dydžio F skirstinys pavadintas didžiojo anglų statistiko R. Fisherio (1890-1962), kuris jį aktyviai naudojo savo darbe, vardu.

Specialiojoje literatūroje galima rasti či - kvadrato, Studento ir Fišerio pasiskirstymo funkcijų išraiškas, jų tankius ir charakteristikas bei lenteles (žr., pvz.,).

Kaip jau minėta, normalūs skirstiniai šiuo metu dažnai naudojami tikimybiniuose modeliuose įvairiose taikomosiose srityse. Kodėl ši dviejų parametrų paskirstymo šeima tokia plačiai paplitusi? Ją paaiškina tokia teorema.

Centrinės ribos teorema(skirtingai paskirstytiems terminams). Leisti X 1 , X 2 ,…, X n,… yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), … ir dispersijos D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), … atitinkamai. Leisti

Tada, esant tam tikroms sąlygoms, užtikrinančioms bet kurio iš sąlygų įnašo mažumą U n,

bet kam X.

Aptariamos sąlygos čia nebus suformuluotos. Juos galima rasti specializuotoje literatūroje (žr., pavyzdžiui,). „CPT veiklos sąlygų išaiškinimas yra iškilių Rusijos mokslininkų A. A. Markovo (1857–1922) ir ypač A. M. Lyapunovo (1857–1918) nuopelnas“.

Centrinė ribinė teorema rodo, kad tuo atveju, kai matavimo (stebėjimo) rezultatas susidaro veikiant daugeliui priežasčių, kurių kiekviena įneša tik nedidelį indėlį, o kaupiamasis rezultatas nustatomas papildomai, t.y. pridedant, tada matavimo (stebėjimo) rezultato pasiskirstymas yra artimas normaliam.

Kartais manoma, kad norint, kad pasiskirstymas būtų normalus, pakanka, kad matavimo (stebėjimo) rezultatas X susidarė veikiant daugeliui priežasčių, kurių kiekviena turi nedidelį poveikį. Tai yra blogai. Svarbu, kaip šios priežastys veikia. Jei priedas, tada X turi maždaug normalųjį pasiskirstymą. Jeigu dauginamuoju būdu(tai yra, atskirų priežasčių veiksmai dauginami, o ne sumuojami), tada paskirstymas X ne artima normaliai, o vadinamajai. logaritmiškai normalus, t.y. Ne X, o lg X pasiskirstymas yra maždaug normalus. Jei nėra pagrindo manyti, kad veikia vienas iš šių dviejų galutinio rezultato formavimo mechanizmų (ar koks nors kitas gerai apibrėžtas mechanizmas), tai apie paskirstymą X nieko aiškaus pasakyti negalima.

Iš to, kas pasakyta, darytina išvada, kad konkrečioje taikomoje problemoje matavimų (stebėjimų) rezultatų normalumas, kaip taisyklė, negali būti nustatytas iš bendrų samprotavimų, jis turėtų būti tikrinamas naudojant statistinius kriterijus. Arba naudoti neparametrinius statistinius metodus, kurie nėra pagrįsti prielaidomis apie vienai ar kitai parametrų šeimai priklausančių matavimo rezultatų (stebėjimų) pasiskirstymo funkcijas.

Tikimybinių-statistinių sprendimų priėmimo metoduose naudojami nuolatiniai skirstiniai. Be normaliųjų skirstinių mastelio poslinkio šeimos, plačiai naudojamos dar kelios skirstinio šeimos – logaritminės normaliosios, eksponentinės, Weibull-Gnedenko, gama skirstiniai. Pažvelkime į šias šeimas.

Atsitiktinė vertė X turi logaritminį normalųjį skirstinį, jei atsitiktinis kintamasis Y= žurnalas X turi normalų pasiskirstymą. Tada Z=ln X = 2,3026…Y taip pat turi normalųjį pasiskirstymą N(a 1 ,σ 1), kur ln X - natūralusis logaritmas X. Log-normalaus skirstinio tankis yra:

Iš centrinės ribinės teoremos išplaukia, kad sandauga X = X 1 X 2 … X n nepriklausomi teigiami atsitiktiniai dydžiai X i, i = 1, 2,…, n, laisvėje n galima aproksimuoti pagal logaritminį normalųjį skirstinį. Visų pirma, multiplikacinis darinio modelis darbo užmokesčio arba pajamos veda prie rekomendacijos darbo užmokesčio ir pajamų paskirstymus apytiksliai log-normaliais dėsniais. Rusijai ši rekomendacija pasirodė pagrįsta – tai patvirtina statistika.

Yra ir kitų tikimybinių modelių, kurie veda prie log-normaliojo dėsnio. Klasikinį tokio modelio pavyzdį pateikia A.N. rutuliniai malūnai turi loginį normalų pasiskirstymą.

Pereikime prie kitos skirstinių šeimos, plačiai naudojamos įvairiuose tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose ir kituose taikomuosiuose tyrimuose – eksponentinių skirstinių šeimos. Pradėkime nuo tikimybinio modelio, kuris veda į tokius skirstinius. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite „įvykių srautą“, t.y. įvykių seka, vykstanti vienas po kito tam tikru laiko momentu. Pavyzdžiai: skambučių srautas telefono stotyje; įrangos gedimų srautas technologinėje grandinėje; gaminio gedimų srautas gaminio testavimo metu; klientų užklausų srautas į banko skyrių; pirkėjų, besikreipiančių dėl prekių ir paslaugų, srautai ir kt. Įvykių srautų teorijoje galioja teorema, panaši į centrinę ribinę teoremą, tačiau joje kalbama ne apie atsitiktinių dydžių sumavimą, o su įvykių srautų sumavimu. Mes laikome bendrą srautą, kurį sudaro didelis skaičius nepriklausomi srautai, kurių nė vienas neturi vyraujančios įtakos bendram srautui. Pavyzdžiui, į telefono stotį patenkančių skambučių srautas susideda iš daugybės nepriklausomų skambučių srautų, gaunamų iš atskirų abonentų. Įrodyta, kad tuo atveju, kai srautų charakteristikos nepriklauso nuo laiko, bendras srautas visiškai apibūdinamas vienu skaičiumi - srauto intensyvumu. Bendram srautui apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X- laiko intervalo tarp einančių įvykių trukmė. Jo paskirstymo funkcija turi formą

(10)

Šis skirstinys vadinamas eksponentiniu skirstiniu, nes (10) formulė apima eksponentinę funkciją e -λ x. Vertė 1/λ yra skalės parametras. Kartais taip pat įvedamas poslinkio parametras Su, eksponentinis yra atsitiktinio dydžio skirstinys X + c, kur paskirstymas X pateikiama pagal (10) formulę.

Eksponentiniai skirstiniai yra ypatingas vadinamasis atvejis. Weibull - Gnedenko paskirstymai. Jie pavadinti inžinieriaus W. Weibullo, įvedusio šiuos skirstinius į nuovargio testų rezultatų analizės praktiką, ir matematiko B. V. Gnedenko (1912-1995), gavusio tokius skirstinius kaip ribojančius tiriant testo maksimumą, vardu. rezultatus. Leisti X- atsitiktinis dydis, apibūdinantis gaminio, kompleksinės sistemos, elemento (t. y. ištekliaus, veikimo laiką iki ribinės būsenos ir kt.) veikimo trukmę, įmonės veiklos ar gyvos būtybės gyvavimo trukmę, ir tt Nesėkmės rodiklis vaidina svarbų vaidmenį

(11)

Kur F(x) Ir f(x) - atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija ir tankis X.

Apibūdinkime tipišką gedimo dažnio elgesį. Visą laiko intervalą galima suskirstyti į tris periodus. Pirmajame iš jų – funkcija λ(x) Tai turi didelės vertės ir aiški mažėjimo tendencija (dažniausiai ji mažėja monotoniškai). Tai galima paaiškinti tuo, kad nagrinėjamoje partijoje yra produktų vienetų, turinčių akivaizdžių ir paslėptų defektų, dėl kurių šie gaminio vienetai gana greitai sugenda. Pirmasis laikotarpis vadinamas „įsilaužimo“ (arba „įsilaužimo“) periodu. Paprastai tai apima garantinį laikotarpį.

Tada ateina normalaus veikimo laikotarpis, kuriam būdingas maždaug pastovus ir palyginti mažas gedimų dažnis. Gedimų pobūdis šiuo laikotarpiu yra staigus (nelaimingi atsitikimai, eksploatuojančio personalo klaidos ir kt.) ir nepriklauso nuo gaminio bloko veikimo trukmės.

Galiausiai paskutinis veikimo laikotarpis yra senėjimo ir susidėvėjimo laikotarpis. Gedimų pobūdis šiuo laikotarpiu yra negrįžtami fiziniai, mechaniniai ir cheminiai medžiagų pokyčiai, dėl kurių laipsniškai blogėja gamybos vieneto kokybė ir galutinai sugenda.

Kiekvienas laikotarpis turi savo funkcijų tipą λ(x). Apsvarstykite galios priklausomybių klasę

λ(х) = λ0bxb -1 , (12)

Kur λ 0 > 0 ir b> 0 – kai kurie skaitmeniniai parametrai. Vertybės b < 1, b= 0 ir b> 1 atitinka gedimų tipą atitinkamai įvažiavimo, įprasto veikimo ir senėjimo laikotarpiais.

Ryšys (11) tam tikram gedimų dažniui λ(x)- funkcijos atžvilgiu diferencialinė lygtis F(x). Iš teorijos diferencialines lygtis seka tuo

(13)

Pakeitę (12) į (13), gauname tai

(14)

(14) formule pateiktas skirstinys vadinamas Weibull – Gnedenko skirstiniu. Nes

tada iš (14) formulės išplaukia, kad kiekis A, pateiktas pagal (15) formulę, yra mastelio keitimo parametras. Kartais įvedamas ir poslinkio parametras, t.y. Vadinamos Weibull – Gnedenko paskirstymo funkcijos F(x - c), kur F(x) yra pateikta formule (14), kai λ 0 ir b.

Weibull – Gnedenko pasiskirstymo tankis turi formą

(16)

Kur a> 0 – skalės parametras, b> 0 – formos parametras, Su- poslinkio parametras. Šiuo atveju parametras A iš (16) formulės yra susijusi su parametru λ 0 iš (14) formulės pagal (15) formulėje nurodytą santykį.

Eksponentinis skirstinys yra labai ypatingas Weibull-Gnedenko skirstinio atvejis, atitinkantis formos parametro reikšmę b = 1.

Weibull – Gnedenko skirstinys taip pat naudojamas kuriant tikimybinius situacijų modelius, kai objekto elgesį lemia „silpniausia grandis“. Numanoma analogija su grandine, kurios saugumą lemia ta grandis, kurios stiprumas yra mažiausias. Kitaip tariant, tegul X 1 , X 2 ,…, X n yra nepriklausomi identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai,

X(1)=min( X 1 , X 2 ,…, X n), X(n)=max( X 1 , X 2 ,…, X n).

Daugelyje taikomųjų problemų svarbus vaidmuo tenka X(1) Ir X(n) ypač tiriant maksimalias galimas tam tikrų verčių vertes („įrašus“), pavyzdžiui, draudimo išmokas ar nuostolius dėl komercinės rizikos, tiriant plieno elastingumo ir patvarumo ribas, daugybę patikimumo charakteristikų, ir tt Parodyta, kad dideliems n skirstiniai X(1) Ir X(n) , kaip taisyklė, yra gerai aprašyti Weibull – Gnedenko skirstiniuose. Pagrindinis indėlis į pasiskirstymo tyrimą X(1) Ir X(n) pristatė sovietų matematikas B.V.Gnedenko. V. Weibull, E. Gumbel, V.B. Nevzorova, E.M. Kudlajevas ir daugelis kitų specialistų.

Pereikime prie gama skirstinių šeimos. Jie plačiai naudojami ekonomikoje ir vadyboje, patikimumo ir testavimo teorijoje ir praktikoje, įvairiose technologijos srityse, meteorologijoje ir kt. Visų pirma, daugeliu atvejų gama pasiskirstymas priklauso nuo tokių dydžių kaip bendras gaminio eksploatavimo laikas, laidžių dulkių dalelių grandinės ilgis, laikas, per kurį gaminys pasiekia ribinę būseną korozijos metu, veikimo laikas. laikas iki k atsisakymas, k= 1, 2, … ir tt Pacientų gyvenimo trukmė lėtinės ligos, laikas pasiekti tam tikrą gydymo efektą kai kuriais atvejais turi gama pasiskirstymą. Šis skirstinys yra adekvatiausias paklausai apibūdinti ekonominiuose ir matematiniuose atsargų valdymo (logistikos) modeliuose.

Gama pasiskirstymo tankis turi formą

(17)

Tikimybių tankis (17) formulėje nustatomas pagal tris parametrus a, b, c, Kur a>0, b>0. Kuriame a yra formos parametras, b- mastelio parametras ir Su- poslinkio parametras. veiksnys 1/Γ(а) yra normalizavimas, jis įvedamas siekiant

Čia Γ(а)- vienas naudojamas matematikoje specialios funkcijos, vadinamoji „gama funkcija“, pagal kurią taip pat pavadintas skirstinys, pateiktas pagal formulę (17),

Esant fiksuotam A formulė (17) apibrėžia mastelio poslinkio skirstinių šeimą, kurią generuoja skirstinys su tankiu

(18)

Formos (18) skirstinys vadinamas standartiniu gama skirstiniu. Jis gaunamas iš (17) formulės su b= 1 ir Su= 0.

Ypatingas gama pasiskirstymo atvejis A= 1 yra eksponentinis skirstinys (su λ = 1/b). Su natūraliu A Ir Su=0 gama skirstiniai vadinami Erlango skirstiniais. Iš danų mokslininko K.A.Erlango (1878-1929), Kopenhagos telefonų kompanijos darbuotojo, studijavusio 1908-1922 m., darbų. pradėjo veikti telefono tinklai, pradėta kurti eilių teorija. Ši teorija užsiima tikimybiniu-statistiniu sistemų, kuriose aptarnaujamas užklausų srautas, modeliavimu, siekiant priimti optimalius sprendimus. Erlang skirstiniai naudojami tose pačiose taikymo srityse kaip ir eksponentinis skirstinys. Tai pagrįsta šiuo matematiniu faktu: k nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma, eksponentiškai pasiskirsčiusių su tais pačiais parametrais λ ir Su, turi gama pasiskirstymą su formos parametru a =k, mastelio parametras b= 1/λ ir poslinkio parametras kc. At Su= 0 gauname Erlang skirstinį.

Jei atsitiktinis dydis X turi gama pasiskirstymą su formos parametru A toks kad d = 2 a- sveikasis skaičius, b= 1 ir Su= 0, tada 2 X turi chi kvadrato skirstinį su d laisvės laipsniai.

Atsitiktinė vertė X su gvmma paskirstymu turi šias charakteristikas:

Tikėtina vertė M(X) =ab + c,

dispersija D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Variacijos koeficientas

asimetrija

Perteklius

Normalusis skirstinys yra kraštutinis gama pasiskirstymo atvejis. Tiksliau, tegul Z yra atsitiktinis dydis su standartiniu gama skirstiniu, pateiktu pagal (18) formulę. Tada

bet kuriam realiam skaičiui X, Kur F(x)- standartinė normalaus pasiskirstymo funkcija N(0,1).

Taikomuosiuose tyrimuose taip pat naudojamos ir kitos parametrinės skirstinių šeimos, iš kurių labiausiai žinomos Pirsono kreivės sistema, Edgeworth ir Charlier serijos. Į juos čia neatsižvelgiama.

Diskretus skirstiniai, naudojami tikimybiniuose-statistiniuose sprendimų priėmimo metoduose. Dažniausiai naudojamos trys diskrečiųjų skirstinių šeimos – binominis, hipergeometrinis ir Puasono, taip pat kai kurios kitos šeimos – geometrinė, neigiama dvinarė, daugianarė, neigiama hipergeometrinė ir kt.

Kaip jau minėta, dvinarinis skirstinys vyksta nepriklausomais bandymais, kurių kiekviename su tikimybe R pasirodo įvykis A. Jeigu iš viso bandymai n duota, tada bandymų skaičius Y, kuriame pasirodė įvykis A, turi binominį skirstinį. Binominiam skirstiniui – tikimybė būti priimtam kaip atsitiktiniam dydžiui Y vertybes y nustatoma pagal formulę

Derinių skaičius nuo n elementai pagal yžinomas iš kombinatorikos. Visiems y, išskyrus 0, 1, 2, …, n, mes turime P(Y= y)= 0. Binominis skirstinys su fiksuotu imties dydžiu n nustatomas pagal parametrą p, t.y. binominiai skirstiniai sudaro vieno parametro šeimą. Jie naudojami tiriant pavyzdinius tyrimo duomenis, ypač tiriant vartotojų pageidavimus, atliekant atrankinę prekių kokybės kontrolę pagal vieno etapo kontrolės planus, tiriant individų populiacijas demografijos, sociologijos, medicinos, biologijos ir kt.

Jeigu Y 1 Ir Y 2 - nepriklausomi dvinariai atsitiktiniai dydžiai su tuo pačiu parametru p 0 nustatomi mėginiais su tūriais n 1 Ir n 2 atitinkamai tada Y 1 + Y 2 - binominis atsitiktinis dydis su skirstiniu (19) su R = p 0 Ir n = n 1 + n 2 . Ši pastaba išplečia dvinario skirstinio pritaikomumą, leidžianti sujungti kelių testų grupių rezultatus, kai yra pagrindo manyti, kad tas pats parametras atitinka visas šias grupes.

Binominio skirstinio charakteristikos buvo apskaičiuotos anksčiau:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- p).

Skyriuje „Įvykiai ir tikimybės“ dvinariui atsitiktiniam dydžiui įrodytas didelių skaičių dėsnis:

bet kam. Centrinės ribos teoremos pagalba galima patikslinti didelių skaičių dėsnį nurodant kaip Y/ n skiriasi nuo R.

De Moivre-Laplaso teorema. Bet kokiems skaičiams a ir b, a< b, mes turime

Kur F(X) yra standartinė normalaus pasiskirstymo funkcija, kurios vidurkis yra 0 ir dispersija 1.

Norėdami tai įrodyti, pakanka naudoti reprezentaciją Y kaip nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma, atitinkanti atskirų bandymų rezultatus, formulės M(Y) Ir D(Y) ir centrinės ribos teorema.

Ši teorema skirta šiam atvejui R= ½ įrodė anglų matematikas A. Moivre'as (1667-1754) 1730 m. Aukščiau pateiktoje formuluotėje jį 1810 metais įrodė prancūzų matematikas Pierre'as Simonas Laplasas (1749-1827).

Hipergeometrinis skirstymas vyksta selektyviai valdant baigtinę N tūrio objektų aibę pagal alternatyvų požymį. Kiekvienas valdomas objektas klasifikuojamas kaip turintis atributą A, arba neturintys šios funkcijos. Hipergeometrinis skirstinys turi atsitiktinį kintamąjį Y, lygus skaičiui objektai, turintys atributą A atsitiktine tūrio imtimi n, Kur n< N. Pavyzdžiui, skaičius Y sugedusių gaminių vienetų atsitiktine tūrio imtimi n nuo partijos tūrio N turi hipergeometrinį pasiskirstymą, jei n< N. Kitas pavyzdys – loterija. Tegul ženklas A bilietas yra ženklas „laimėti“. Tegul visi bilietai N, ir kažkoks asmuo įgijo n jų. Tada šio asmens laimėtų bilietų skaičius yra hipergeometrinis.

Hipergeometrinio skirstinio atveju tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis Y įgis y reikšmę, turi formą

(20)

Kur D yra objektų, turinčių atributą, skaičius A, nagrinėjamame tūrio rinkinyje N. Kuriame y paima reikšmes iš max(0, n - (N - D)) iki min( n, D), su kitu y tikimybė formulėje (20) lygi 0. Taigi hipergeometrinis skirstinys nustatomas pagal tris parametrus – bendrosios populiacijos tūrį N, objektų skaičius D joje, turėdamas nagrinėjamą požymį A ir imties dydį n.

Paprasta atsitiktinė atranka n nuo bendro tūrio N vadinama imtimi, gauta atsitiktinės atrankos būdu, kurioje bet kuri iš aibių iš n objektai turi tokią pat tikimybę būti atrinkti. Mokomuosiuose-metodiniuose ir normatyviniuose-techniniuose dokumentuose aptariami atsitiktinės respondentų (apklaustųjų) imčių arba vienetinių gaminių vienetų atrankos metodai. Vienas iš atrankos būdų yra toks: objektai parenkami vienas iš kito ir kiekviename žingsnyje kiekvienas iš likusių rinkinio objektų turi tokią pačią galimybę būti pasirinktam. Literatūroje nagrinėjamam mėginių tipui taip pat vartojami terminai „atsitiktinė imtis“, „atsitiktinė imtis be pakeitimo“.

Kadangi bendrosios populiacijos apimtys (partijos) N ir pavyzdžiai n yra plačiai žinomi, tada reikia įvertinti hipergeometrinio pasiskirstymo parametrą D. Statistiniuose gaminių kokybės valdymo metoduose D- paprastai sugedusių vienetų skaičius partijoje. Įdomu ir paskirstymo charakteristika D/ N- defektų lygis.

Hipergeometriniam pasiskirstymui

Paskutinis dispersijos išraiškos veiksnys yra artimas 1 if N>10 n. Jei tuo pačiu metu atliekame pakeitimą p = D/ N, tada matematinio lūkesčio ir hipergeometrinio skirstinio dispersijos išraiškos virs dvinario skirstinio matematinio lūkesčio ir dispersijos išraiškomis. Tai nėra atsitiktinumas. Galima parodyti, kad

adresu N>10 n, Kur p = D/ N. Ribinis santykis galioja

ir šis ribojantis santykis gali būti naudojamas N>10 n.

Trečiasis plačiai naudojamas diskretinis skirstinys yra Puasono skirstinys. Atsitiktinis dydis Y turi Puasono skirstinį, jei

,

kur λ yra Puasono pasiskirstymo parametras ir P(Y= y)= 0 visiems kitiems y(jei y=0, žymima 0!=1). Dėl Puasono paskirstymo

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Šis skirstinys pavadintas prancūzų matematiko C. D. Puasono (1781–1840) vardu, kuris pirmą kartą jį išvedė 1837 m. Puasono skirstinys yra kraštutinis dvinario skirstinio atvejis, kai tikimybė R renginio įgyvendinimas nedidelis, bet bandymų skaičius n puiku ir np= λ. Tiksliau, ribinis santykis

Todėl Puasono skirstinys (senąja terminija „paskirstymo įstatymas“) dažnai dar vadinamas „retų įvykių dėsniu“.

Puasono skirstinys atsiranda įvykių srautų teorijoje (žr. aukščiau). Įrodyta, kad paprasčiausiam pastovaus intensyvumo Λ srautui įvykių (iškvietimų), įvykusių per laiką, skaičius t, turi Puasono skirstinį su parametru λ = Λ t. Todėl tikimybė, kad laiku t joks įvykis neįvyks e - Λ t, t.y. intervalo tarp įvykių ilgio pasiskirstymo funkcija yra eksponentinė.

Puasono skirstinys naudojamas analizuojant vartotojų atrankinės rinkodaros apklausų rezultatus, apskaičiuojant statistinių priėmimo kontrolės planų eksploatacines charakteristikas esant mažoms defektų priimtinumo lygio reikšmėms, apibūdinti gedimų skaičių. statistiškai kontroliuojamo technologinio proceso per laiko vienetą, eilių sistemoje per laiko vienetą patenkančių „paslaugų reikalavimų“ skaičių, statistinius nelaimingų atsitikimų dėsningumus ir retos ligos ir kt.

Kitų parametrinių diskrečiųjų skirstinių šeimų aprašymas ir jų galimybės praktinis naudojimas svarstoma literatūroje.

Kai kuriais atvejais, pavyzdžiui, tiriant kainas, produkcijos apimtis ar bendrą laiką tarp gedimų patikimumo problemose, pasiskirstymo funkcijos yra pastovios tam tikrais intervalais, kuriais tiriamųjų atsitiktinių dydžių reikšmės negali nukristi.

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija yra funkcija F(x), išreiškianti kiekvieno x tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, mažesnis x

2.5 pavyzdys. Duota atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilė

Raskite ir grafiškai pavaizduokite jo paskirstymo funkciją. Sprendimas. Pagal apibrėžimą

F(jc) = 0 X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 prie 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 at X > 5.

Taigi (žr. 2.1 pav.):

Paskirstymo funkcijos savybės:

1. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra neneigiama funkcija, esanti tarp nulio ir vieneto:

2. Atsitiktinio dydžio skirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija visoje skaičiaus ašyje, t.y. adresu X 2 >x

3. Esant minus begalybei pasiskirstymo funkcija lygi nuliui, plius begalybei – vienetui, t.y.