Ankstesnėje dalyje apie analizavimą geometrine prasme apibrėžtasis integralas, mes gavome keletą formulių kreivinės trapecijos plotui apskaičiuoti:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neneigiamai funkcijai y = f (x) intervale [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neteigiamai funkcijai y = f (x) intervale [ a ; b ].

Šios formulės pritaikomos sprendžiant gana paprastas problemas. Iš tikrųjų dažnai turėsime dirbti su sudėtingesnėmis figūromis. Šiuo atžvilgiu šį skyrių skirsime algoritmų, skirtų apskaičiuoti figūrų plotą, kurį riboja funkcijos aiškiai išreikšta forma, t.y. kaip y = f(x) arba x = g(y).

Teorema

Tegul funkcijos y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) yra apibrėžtos ir tolydžios intervale [ a ; b ] ir f 1 (x) ≤ f 2 (x) bet kuriai x vertei iš [ a ; b ]. Tada figūros G ploto, apriboto tiesėmis x = a, x = b, y = f 1 (x) ir y = f 2 (x), apskaičiavimo formulė atrodys taip S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Panaši formulė bus taikoma ir figūros plotui, kurį riboja tiesės y = c, y = d, x = g 1 (y) ir x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Įrodymas

Pažvelkime į tris atvejus, kuriems formulė galios.

Pirmuoju atveju, atsižvelgiant į ploto adityvumo savybę, pradinės figūros G ir kreivinės trapecijos G 1 plotų suma yra lygi figūros G 2 plotui. Tai reiškia kad

Todėl S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami trečiąją apibrėžtojo integralo savybę.

Antruoju atveju lygybė yra teisinga: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafinė iliustracija atrodys taip:

Jei abi funkcijos yra neteigiamos, gauname: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafinė iliustracija atrodys taip:

Pereikime prie bendrojo atvejo, kai y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) kerta O x ašį.

Susikirtimo taškus pažymime x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Šie taškai padalija atkarpą [a; b ] į n dalių x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, kur α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Vadinasi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami penktąją apibrėžtojo integralo savybę.

Pavaizduokime bendrą atvejį grafike.

Formulė S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x gali būti laikoma įrodyta.

Dabar pereikime prie figūrų, kurias riboja linijos y = f (x) ir x = g (y), ploto apskaičiavimo pavyzdžių analizės.

Bet kurio iš pavyzdžių svarstymą pradėsime sudarydami grafiką. Vaizdas leis mums pavaizduoti sudėtingas formas kaip paprastesnių formų sąjungas. Jei jums sunku ant jų sudaryti grafikus ir figūras, galite išstudijuoti skyrių apie pagrindines elementariąsias funkcijas, geometrinę funkcijų grafikų transformaciją, taip pat grafikų sudarymą studijuodami funkciją.

1 pavyzdys

Būtina nustatyti figūros plotą, kurį riboja parabolė y = - x 2 + 6 x - 5 ir tiesės y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Sprendimas

Nubrėžkime grafiko linijas Dekarto koordinačių sistemoje.

Ant atkarpos [ 1 ; 4 ] parabolės y = - x 2 + 6 x - 5 grafikas yra virš tiesės y = - 1 3 x - 1 2. Šiuo atžvilgiu, norėdami gauti atsakymą, naudojame anksčiau gautą formulę, taip pat apibrėžtojo integralo apskaičiavimo metodą naudojant Niutono-Leibnizo formulę:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Atsakymas: S(G) = 13

Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį.

2 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y = x + 2, y = x, x = 7.

Sprendimas

IN tokiu atveju turime tik vieną tiesę, lygiagrečią x ašiai. Tai x = 7. Tam reikia patys rasti antrąją integracijos ribą.

Sukurkime grafiką ir nubraižykime jame uždavinio teiginyje pateiktas eilutes.

Turėdami grafiką prieš akis, galime nesunkiai nustatyti, kad apatinė integravimo riba bus tiesės y = x ir pusiau parabolės y = x + 2 grafiko susikirtimo taško abscisė. Norėdami rasti abscisę, naudojame lygybes:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Pasirodo, kad susikirtimo taško abscisė yra x = 2.

Atkreipiame dėmesį į tai, kad bendrame brėžinio pavyzdyje linijos y = x + 2, y = x susikerta taške (2; 2), todėl tokie smulkūs skaičiavimai gali pasirodyti nereikalingi. Pateikėme tokį išsamų sprendimą tik todėl, kad daugiau sunkių atvejų sprendimas gali būti ne toks akivaizdus. Tai reiškia, kad tiesių susikirtimo koordinates visada geriau skaičiuoti analitiškai.

Ant intervalo [ 2 ; 7] funkcijos y = x grafikas yra virš funkcijos y = x + 2 grafiko. Norėdami apskaičiuoti plotą, pritaikykime formulę:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Atsakymas: S (G) = 59 6

3 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja funkcijų y = 1 x ir y = - x 2 + 4 x - 2 grafikai.

Sprendimas

Nubraižykime linijas grafike.

Apibrėžkime integracijos ribas. Norėdami tai padaryti, mes nustatome linijų susikirtimo taškų koordinates, sulygindami išraiškas 1 x ir - x 2 + 4 x - 2. Su sąlyga, kad x nėra nulis, lygybė 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tampa lygiavertė trečiojo laipsnio lygčiai - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 su sveikųjų skaičių koeficientais. Norėdami atnaujinti atmintį apie tokių lygčių sprendimo algoritmą, galime kreiptis į skyrių „Kubinių lygčių sprendimas“.

Šios lygties šaknis yra x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Padalinę išraišką - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 iš dvinario x - 1, gauname: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x – 1) = 0

Likusias šaknis galime rasti iš lygties x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Radome intervalą x ∈ 1; 3 + 13 2, kuriame G paveikslas yra virš mėlynos ir žemiau raudonos linijos. Tai padeda mums nustatyti figūros plotą:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Atsakymas: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja kreivės y = x 3, y = - log 2 x + 1 ir abscisių ašis.

Sprendimas

Nubraižykime visas grafiko eilutes. Funkcijos y = - log 2 x + 1 grafiką galime gauti iš grafiko y = log 2 x, jei pastatysime jį simetriškai x ašies atžvilgiu ir perkelsime vienu vienetu aukštyn. X ašies lygtis yra y = 0.

Pažymėkime tiesių susikirtimo taškus.

Kaip matyti iš paveikslo, funkcijų y = x 3 ir y = 0 grafikai susikerta taške (0; 0). Taip atsitinka todėl, kad x = 0 yra vienintelė tikroji lygties x 3 = 0 šaknis.

x = 2 yra vienintelė lygties šaknis - log 2 x + 1 = 0, todėl funkcijų y = - log 2 x + 1 ir y = 0 grafikai susikerta taške (2; 0).

x = 1 yra vienintelė lygties šaknis x 3 = - log 2 x + 1 . Šiuo atžvilgiu funkcijų y = x 3 ir y = - log 2 x + 1 grafikai susikerta taške (1; 1). Paskutinis teiginys gali būti neaiškus, tačiau lygtis x 3 = - log 2 x + 1 negali turėti daugiau nei vienos šaknies, nes funkcija y = x 3 griežtai didėja, o funkcija y = - log 2 x + 1 yra griežtai mažėja.

Tolesnis sprendimas apima keletą variantų.

1 variantas

Figūrą G galime įsivaizduoti kaip dviejų kreivių trapecijų, esančių virš x ašies, sumą, iš kurių pirmoji yra žemiau vidurinės linijos atkarpoje x ∈ 0; 1, o antrasis yra žemiau raudonos linijos atkarpoje x ∈ 1; 2. Tai reiškia, kad plotas bus lygus S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Variantas Nr.2

G paveikslą galima pavaizduoti kaip dviejų figūrų skirtumą, iš kurių pirmoji yra virš x ašies ir žemiau mėlynos linijos atkarpoje x ∈ 0; 2, o antrasis tarp raudonos ir mėlynos linijų atkarpoje x ∈ 1; 2. Tai leidžia mums rasti sritį taip:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Šiuo atveju, norėdami rasti plotą, turėsite naudoti formulę, kurios forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Tiesą sakant, figūrą ribojančios linijos gali būti pavaizduotos kaip argumento y funkcijos.

Išspręskime lygtis y = x 3 ir - log 2 x + 1 x atžvilgiu:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Gauname reikiamą plotą:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Atsakymas: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Sprendimas

Raudona linija braižome tiesę, apibrėžtą funkcija y = x. Liniją y = - 1 2 x + 4 nubrėžiame mėlyna spalva, o liniją y = 2 3 x - 3 juoda spalva.

Pažymėkime susikirtimo taškus.

Raskime funkcijų y = x ir y = - 1 2 x + 4 grafikų susikirtimo taškus:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Patikrinkite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Ar lygties sprendimas x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 yra lygties ⇒ (4; 2) susikirtimo taškas i y = x ir y = - 1 2 x sprendinys + 4

Raskime funkcijų y = x ir y = 2 3 x - 3 grafikų susikirtimo tašką:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Patikrinkite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 yra lygties ⇒ (9 ; 3) sprendinys taškas a s y = x ir y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Lygties sprendinio nėra

Raskime tiesių y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3 susikirtimo tašką:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) susikirtimo taškas y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3

1 metodas

Įsivaizduokime norimos figūros plotą kaip atskirų figūrų plotų sumą.

Tada figūros plotas yra:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

2 metodas

Pradinės figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip dviejų kitų figūrų suma.

Tada išsprendžiame tiesės lygtį x atžvilgiu ir tik po to pritaikome figūros ploto apskaičiavimo formulę.

y = x ⇒ x = y 2 raudona linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 juoda linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Taigi sritis yra:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 m + 9 2 - - 2 m + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 m + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 3 3 2 m. + 9 2 - y 2 d. = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kaip matote, vertės yra vienodos.

Atsakymas: S (G) = 11 3

Rezultatai

Norėdami rasti figūros plotą, kurį riboja nurodytos linijos, turime sukonstruoti linijas plokštumoje, rasti jų susikirtimo taškus ir pritaikyti formulę plotui rasti. Šiame skyriuje išnagrinėjome dažniausiai pasitaikančius užduočių variantus.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį plokštumos figūros ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą. Pagaliau visi ieško prasmės aukštoji matematika- Tegul jie jį suranda. Niekada nežinai. Mes turėsime tai priartinti gyvenime kaimo kotedžų rajonas elementariąsias funkcijas ir suraskite jos plotą naudodami apibrėžtąjį integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprask neapibrėžtas integralas bent jau vidutinio lygio. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir skaičiuoti apibrėžtasis integralas. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai taip pat bus aktualus klausimas. Bent jau turite mokėti sukurti tiesią liniją, parabolę ir hiperbolę.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos. Išlenkta trapecija yra plokščia figūra, apribotas kokios nors funkcijos grafiku y = f(x), ašis JAUTIS ir linijos x = a; x = b.

Kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme yra lygus apibrėžtajam integralui

Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai sakėme, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS. Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

Integrand

apibrėžia kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

, , , .

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstrukcija. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Konstravimo taškas po taško techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.

Padarykime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis y= 0 nurodo ašį JAUTIS):

Išlenktos trapecijos neužtemdysime, čia akivaizdu, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:

Atkarpoje [-2; 1] funkcijų grafikas y = x 2 + 2 yra virš ašiesJAUTIS, Štai kodėl:

Atsakymas: .

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę

kreiptis į paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą xy = 4, x = 2, x= 4 ir ašis JAUTIS.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimiJAUTIS?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = e-x, x= 1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi JAUTIS , tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:

Tokiu atveju:

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklos uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x – x 2 , y = -x.

Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Konstruojant brėžinį ploto uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus y = 2x – x 2 ir tiesiai y = -x. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba a= 0, viršutinė integravimo riba b= 3. Dažnai pelningiau ir greičiau konstruoti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Pakartokime, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai nustatomos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė:

Jei segmente [ a; b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kai kurie nuolatinė funkcija g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl nuo 2 x – x 2 reikia atimti - x.

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė y = 2x – x 2 viršuje ir tiesiai y = -xžemiau.

2 segmente x – x 2 ≥ -x. Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: .

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos apatinėje pusplokštumoje (žr. pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis.

Kadangi ašis JAUTIS pateikta lygtimi y= 0, ir funkcijos grafikas g(x), esantis žemiau ašies JAUTIS, Tai

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl neatsargumo... Buvo rastas netinkamos figūros plotas.

7 pavyzdys

Pirmiausia padarykime piešinį:

Figūra, kurios sritį turime rasti, nuspalvinta mėlynai(įdėmiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatsargumo jie dažnai nusprendžia, kad reikia rasti tamsesnę figūros sritį žalias!

Šis pavyzdys taip pat naudingas, nes jis apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje [-1; 1] virš ašies JAUTIS grafikas yra tiesiai y = x+1;

2) Atkarpoje virš ašies JAUTIS yra hiperbolės grafikas y = (2/x).

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Pateikime lygtis „mokyklos“ forma

ir nupieškite tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: b = 1.

Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra?

Gal būt, a=(-1/3)? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti a=(-1/4). Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime grafikų susikirtimo taškus

Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, a=(-1/3).

Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nepainioti keitimų ir ženklų. Skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi. Ant segmento

, ,

pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Norėdami piešti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidės. Apskritai pravartu žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinusines reikšmes. Juos galima rasti verčių lentelėje trigonometrinės funkcijos . Kai kuriais atvejais (pavyzdžiui, šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integracijos ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos:

– „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Atkarpoje – funkcijos grafikas y= nuodėmė 3 x esantis virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:

(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Trigonometrinių funkcijų integralai. Nuskabome vieną sinusą.

(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę

(3) Pakeiskime kintamąjį t= cos x, tada: yra virš ašies, todėl:

Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip čia imamas kubo liestinės integralas; trigonometrinė tapatybė

Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį – kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Pagaliau tie, kurie ieško prasmės aukštojoje matematikoje – tegul ją randa. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai apskaičiuoti vasarnamio sklypą naudodami elementarias funkcijas ir rasti jo plotą naudodami apibrėžtą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti atmintį apie pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus ir bent jau turėti galimybę sukurti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daugeliui tai būtina) naudojant metodinė medžiaga ir straipsniai apie geometrines grafų transformacijas.

Tiesą sakant, visi yra susipažinę su užduotimi rasti sritį naudojant apibrėžtąjį integralą nuo mokyklos laikų, ir mes daug toliau neisime. mokyklos mokymo programa. Šio straipsnio galėjo ir nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo nekenčiamos mokyklos ir entuziastingai įvaldo aukštosios matematikos kursą.

Šio seminaro medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos.

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir funkcijos grafikas, ištisinis intervale, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau x ašis:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaičiais lygus apibrėžtajam integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmiausia ir svarbiausias momentas sprendimai – piešimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Užbaikime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Neužtemdysiu lenktos trapecijos, čia akivaizdu, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, , ir ašimi, plotą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu išsidėsčiusi lenkta trapecija po ašimi(ar bent jau ne aukščiau nurodyta ašis), tada jos plotą galima rasti naudojant formulę:
Tokiu atveju:

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklos uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis , plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra , viršutinė integracijos riba yra .
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė: Jei segmente yra kokia nors ištisinė funkcija didesnis arba lygus tam tikrą ištisinę funkciją , tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir linijos , galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. . Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

...Ech, piešinys išėjo mėšlas, bet viskas lyg ir įskaitoma.

Figūra, kurios sritį turime rasti, nuspalvinta mėlynai(įdėmiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai nutinka „gedimas“, kai reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie kitos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokyklos“ forma ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , ,

Sprendimas: Pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir, atsiprašau, nenorėjau perdaryti nuotraukos. Ne piešimo diena, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)

Norint sukurti tašką po taško, būtina žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:

Šiame straipsnyje sužinosite, kaip rasti figūros plotą, apribotą linijomis, naudojant integralinius skaičiavimus. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai ką tik baigėme apibrėžtųjų integralų studijas ir atėjo laikas praktiškai pradėti geometrinę įgytų žinių interpretaciją.

Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto, naudojant integralus, problemą:

Gebėjimas atlikti kompetentingus brėžinius;
Gebėjimas išspręsti apibrėžtąjį integralą naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnizo formulę;
Galimybė „pamatyti“ pelningesnį sprendimo variantą – t.y. supranti, kaip vienu ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
Na, kur mes būtume be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.

Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo problemos sprendimo algoritmas:

1. Mes statome brėžinį. Patartina tai daryti ant languoto popieriaus lapo, dideliu mastu. Šios funkcijos pavadinimą pasirašome pieštuku virš kiekvieno grafiko. Grafikai pasirašomi tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus aišku, kokios integracijos ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau atsitinka taip, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antrojo veiksmo.

2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nurodytos, randame grafikų susikirtimo taškus tarpusavyje ir pažiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas su analitiniu.

3. Toliau reikia išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip išdėstyti funkcijų grafikai, yra įvairių būdų, kaip rasti figūros plotą. Pasvarstykime skirtingi pavyzdžiai kaip rasti figūros plotą naudojant integralus.

3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti lenktos trapecijos plotą. Kas yra lenkta trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis (y = 0), tiesus x = a, x = b ir bet kuri kreivė ištisinė intervale nuo a prieš b. Be to, šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau x ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus tam tikram integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:

1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kokiomis linijomis riboja figūra? Mes turime parabolę y = x2 – 3x + 3, kuris yra virš ašies OI, tai neneigiama, nes turi visi šios parabolės taškai teigiamas vertes. Toliau pateiktos tiesios linijos x = 1 Ir x = 3, kurie eina lygiagrečiai ašiai OU, yra figūros ribinės linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, tai taip pat yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta figūra yra užtamsinta, kaip matyti iš paveikslo kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas išlenktos trapecijos pavyzdys, kurį toliau sprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

3.2. Ankstesnėje 3.1 pastraipoje nagrinėjome atvejį, kai lenkta trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Toliau apsvarstysime, kaip išspręsti tokią problemą.

2 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Šiame pavyzdyje turime parabolę y = x2 + 6x + 2, kuris kilęs iš ašies OI, tiesus x = -4, x = -1, y = 0. Čia y = 0 riboja norimą figūrą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 Ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto nustatymo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su 1 pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad pateikta funkcija nėra teigiama, o taip pat yra ištisinė intervale [-4; -1] . Ką reiškia ne teigiama? Kaip matyti iš paveikslo, figūra, esanti duotųjų x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti spręsdami problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik su minuso ženklu pradžioje.

Straipsnis nebaigtas.

Užduotis Nr. 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Integralo taikymas taikomųjų uždavinių sprendimui

Ploto skaičiavimas

Tolydžios neneigiamos funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas skaitiniu požiūriu lygus kreivinės trapecijos plotas, apribotas kreivės y = f(x), O x ašies ir tiesių x = a ir x = b. Atsižvelgiant į tai, ploto formulė parašyta taip:

Pažvelkime į keletą plokštumos figūrų plotų skaičiavimo pavyzdžių.

Užduotis Nr.1. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Sprendimas. Sukonstruokime figūrą, kurios plotą turėsime apskaičiuoti.

y = x 2 + 1 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu aukštyn (1 pav.).

1 pav. Funkcijos y = x 2 + 1 grafikas

Užduotis Nr.2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 – 1, y = 0 intervale nuo 0 iki 1.

Sprendimas.Šios funkcijos grafikas yra šakų, nukreiptų į viršų, parabolė, o parabolė O y ašies atžvilgiu paslinkta vienu vienetu žemyn (2 pav.).

2 pav. Funkcijos y = x 2 – 1 grafikas

Užduotis Nr. 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4.

Sprendimas. Pirmoji iš šių dviejų tiesių yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn, nes x 2 koeficientas yra neigiamas, o antroji linija yra tiesė, kertanti abi koordinačių ašis.

Parabolei sukonstruoti randame jos viršūnės koordinates: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – viršūnės abscisė; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 yra jo ordinatė, N(1;9) yra viršūnė.

Dabar išspręsdami lygčių sistemą suraskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus:

Lygties, kurios kairiosios pusės yra lygios, dešiniųjų kraštinių prilyginimas.

Gauname 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 arba x 2 – 12 = 0, iš kur .

Taigi taškai yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškai (1 pav.).

3 pav. Funkcijų y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4 grafikai

Sukonstruokime tiesę y = 2x – 4. Ji eina per taškus (0;-4), (2;0) koordinačių ašyse.

Norėdami sukurti parabolę, taip pat galite naudoti jos susikirtimo taškus su 0x ašimi, ty lygties šaknis 8 + 2x – x 2 = 0 arba x 2 – 2x – 8 = 0. Naudojant Vietos teoremą, tai paprasta rasti jo šaknis: x 1 = 2, x 2 = 4.

3 paveiksle parodyta figūra (parabolinė atkarpa M 1 N M 2), kurią riboja šios linijos.

Antroji problemos dalis yra rasti šios figūros plotą. Jo plotą galima rasti naudojant apibrėžtąjį integralą pagal formulę .

Pritaikyta ši sąlyga, gauname integralą:

2 Sukimosi kūno tūrio apskaičiavimas

Kūno tūris, gautas sukant kreivę y = f(x) aplink O x ašį, apskaičiuojamas pagal formulę:

Sukant aplink O y ašį formulė atrodo taip:

4 užduotis. Nustatykite kūno tūrį, gautą sukant lenktą trapeciją, kurią riboja tiesės x = 0 x = 3 ir kreivė y = aplink O x ašį.

Sprendimas. Nupieškime piešinį (4 pav.).

4 pav. Funkcijos y = grafikas

Reikalingas tūris yra

Užduotis Nr.5. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant lenktą trapeciją, kurią riboja kreivė y = x 2 ir tiesės y = 0 ir y = 4 aplink O y ašį.

Sprendimas. Mes turime:

Peržiūrėkite klausimus