Norėdami sėkmingai panaudoti šaknies ištraukimo operaciją praktikoje, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis.
Visos savybės suformuluotos ir įrodytos tik neneigiamoms kintamųjų, esančių po šaknų ženklais, reikšmėmis.
1 teorema. Šaknis n-asis laipsnis(n = 2, 3, 4, ...) iš dviejų neneigiamų mikroschemų sandaugos yra lygi šių skaičių n-osios šaknų sandaugai:
Komentuoti:
1.
1 teorema galioja tuo atveju, kai radikalioji išraiška yra daugiau nei dviejų neneigiamų skaičių sandauga.
2 teorema.Jeigu,
ir n - natūralusis skaičius didesnis nei 1, tada lygybė
Trumpai(nors ir netiksli) formuluotė, kurią patogiau naudoti praktiškai: trupmenos šaknis lygi šaknų daliai.
1 teorema leidžia padauginti m tik to paties laipsnio šaknys
, t.y. tik šaknys su tuo pačiu indeksu.
3 teorema Jei ,k yra natūralusis skaičius, o n yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, tada lygybė
Kitaip tariant, įkurti šaknį natūralus laipsnis, pakanka iki tokio laipsnio pakelti radikaliąją išraišką.
Tai yra 1 teoremos pasekmė. Iš tiesų, pavyzdžiui, kai k = 3 gauname: Lygiai taip pat galima samprotauti ir esant bet kuriai kitai eksponento k natūraliajai vertei.
4 teorema Jei ,k, n yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada lygybė
Kitaip tariant, norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų indeksus.
Pavyzdžiui,
Būk atsargus! Sužinojome, kad su šaknimis galima atlikti keturias operacijas: daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknies ištraukimas (iš šaknies). Bet kaip dėl šaknų pridėjimo ir atėmimo? Negali būti.
Pavyzdžiui, vietoj to, kad neįmanoma parašyti Iš tikrųjų, Bet akivaizdu, kad
5 teorema Jei šaknies ir radikalinės išraiškos indeksai dauginami arba dalijami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis, t.y.
Užduočių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Apskaičiuoti
Sprendimas. Naudodami pirmąją šaknų savybę (1 teorema), gauname:
2 pavyzdys. Apskaičiuoti
Sprendimas. Konvertuokite mišrų skaičių į netinkamą trupmeną.
Mes turime Naudojant antrąją šaknų savybę ( 2 teorema
), mes gauname:
3 pavyzdys. Apskaičiuoti: 
Sprendimas. Bet kuri algebros formulė, kaip gerai žinote, naudojama ne tik „iš kairės į dešinę“, bet ir „iš dešinės į kairę“. Taigi pirmoji šaknų savybė reiškia, kad ji gali būti pavaizduota forma ir, atvirkščiai, gali būti pakeista išraiška. Tas pats pasakytina ir apie antrąją šaknų savybę. Turėdami tai omenyje, atlikime skaičiavimus.
Sveikiname: šiandien nagrinėsime šaknis – vieną labiausiai smegenis nešančių temų 8 klasėje. :)
Daugelis yra sumišę dėl šaknų ne dėl to, kad jos sudėtingos (o tai taip sunku – pora apibrėžimų ir pora savybių), o todėl, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių šaknys nustatomos per tokias džiungles, kad tik vadovėlių autoriai. patys gali išsiaiškinti šį raštą. Ir net tada tik su buteliu gero viskio. :)
Todėl dabar pateiksiu teisingiausią ir kompetentingiausią šaknies apibrėžimą - vienintelį, kurį tikrai turėtumėte atsiminti. Ir tik tada paaiškinsiu: kam viso to reikia ir kaip tai pritaikyti praktikoje.
Bet pirmiausia prisimink vieną svarbus punktas, apie kurį daugelis vadovėlių rengėjų kažkodėl „pamiršta“:
Šaknys gali būti lyginio laipsnio (mūsų mylimas $ \ sqrt (a) $, taip pat visų rūšių $ \ sqrt (a) $ ir net $ \ sqrt (a) $) ir nelyginio laipsnio (visų rūšių $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ ir tt). Ir nelyginio laipsnio šaknies apibrėžimas šiek tiek skiriasi nuo lyginio.
Čia, šitame sušiktame "šiek tiek kitaip" paslėpta, tikriausiai 95% visų klaidų ir nesusipratimų, susijusių su šaknimis. Todėl kartą ir visiems laikams susitvarkykime su terminologija:
Apibrėžimas. Net šaknis n nuo $ a $ yra bet koks neneigiamas toks skaičius $ b $, kad $ ((b) ^ (n)) = a $. Ir nelyginė to paties skaičiaus $ a $ šaknis paprastai yra bet koks skaičius $ b $, kuriam galioja ta pati lygybė: $ ((b) ^ (n)) = a $.
Bet kokiu atveju šaknis nurodoma taip:
\ (a) \]
Skaičius $ n $ tokiame įraše vadinamas šaknies eksponentu, o skaičius $ a $ – radikaliąja išraiška. Visų pirma, už $ n = 2 $ mes gauname savo "mėgstamiausią" Kvadratinė šaknis(beje, tai yra lyginio laipsnio šaknis), o už $ n = 3 $ - kubinis (nelyginis laipsnis), kuris taip pat dažnai randamas uždaviniuose ir lygtyse.
Pavyzdžiai. Klasikiniai kvadratinių šaknų pavyzdžiai:
\ [\ pradėti (lygiuoti) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ pabaiga (lygiuoti) \]
Beje, $ \ sqrt (0) = 0 $ ir $ \ sqrt (1) = 1 $. Tai gana logiška, nes $ ((0) ^ (2)) = 0 $ ir $ ((1) ^ (2)) = 1 $.
Dažnos ir kubinės šaknys – jų nebijokite:
\ [\ pradėti (lygiuoti) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ pabaiga (lygiuoti) \]
Na, ir pora „egzotiškų pavyzdžių“:
\ [\ pradėti (lygiuoti) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ pabaiga (lygiuoti) \]
Jei nesuprantate, kuo skiriasi lyginis ir nelyginis laipsnis, dar kartą perskaitykite apibrėžimą. Tai labai svarbu!
Tuo tarpu mes apsvarstysime vieną nemalonią šaknų savybę, dėl kurios reikėjo įvesti atskirą lyginių ir nelyginių rodiklių apibrėžimą.
Kam mums apskritai reikalingos šaknys?
Perskaitę apibrėžimą, daugelis mokinių paklaus: „Ką rūkė matematikai, kai tai sugalvojo? Iš tiesų: kam mums išvis reikalingos visos šios šaknys?
Norėdami atsakyti į šį klausimą, grįžkime minutei pradines klases... Prisiminkite: tais tolimais laikais, kai medžiai buvo žalesni, o koldūnai skanesni, mūsų pagrindinis rūpestis buvo teisingai padauginti skaičius. Na, kažkas panašaus į „penki iš penkių – dvidešimt penki“, tai ir viskas. Bet juk skaičius galima padauginti ne poromis, o trigubais, keturiais ir apskritai ištisomis aibėmis:
\ [\ pradėti (lygiuoti) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (lygiuoti) \]
Tačiau tai ne esmė. Gudrybė kitokia: matematikai yra tinginiai, todėl dešimties penketukų dauginimą jie turėjo užrašyti taip:
Taigi jie sugalvojo laipsnius. Kodėl vietoj ilgos eilutės nenurodžius faktorių skaičiaus? Kaip šitas:
Tai labai patogu! Visi skaičiavimai žymiai sumažėja, ir nereikia švaistyti krūvos pergamento lapų sąsiuviniuose, kad užsirašytumėte kokius 5183. Toks rekordas buvo vadinamas skaičiaus laipsniu, jame rado krūvą savybių, tačiau laimė pasirodė trumpalaikė.
Po didžiulio girtavimo, kuris buvo organizuotas tik apie laipsnių „atradimą“, kažkoks ypač užsispyręs matematikas staiga paklausė: „O jeigu žinome skaičiaus laipsnį, bet nežinome paties skaičiaus? Iš tikrųjų, jei žinome, kad tam tikras skaičius $ b $, pavyzdžiui, 5 laipsnyje duoda 243, kaip galime atspėti, kam yra lygus skaičius $ b $?
Ši problema pasirodė esanti daug globalesnė, nei gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Nes paaiškėjo, kad daugumai „paruoštų“ laipsnių tokių „pradinių“ skaičių nėra. Spręskite patys:
\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rodyklė dešinėn b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rodyklė dešinėn b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rodyklė dešinėn b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rodyklė dešinėn b = 4. \\ \ pabaiga (lygiuoti) \]
O kas, jei $ ((b) ^ (3)) = 50 USD? Pasirodo, reikia rasti tam tikrą skaičių, kurį padauginus tris kartus iš savęs gautume 50. Bet kas tai yra skaičius? Jis aiškiai didesnis nei 3, nes 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Tai yra. šis skaičius slypi kažkur tarp trijų ir keturių, bet kam jis lygus - figams jūs suprasite.
Būtent tam matematikai išrado $ n $ -ojo laipsnio šaknis. Štai kodėl buvo įvestas radikalus simbolis $ \ sqrt (*) $. Norėdami nurodyti patį skaičių $ b $, kuris nurodytu laipsniu suteiks mums anksčiau žinomą reikšmę
\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Rodyklė dešinėn ((b) ^ (n)) = a \]
Nesiginčiju: šios šaknys dažnai nesunkiai suskaičiuojamos – keletą tokių pavyzdžių matėme aukščiau. Vis dėlto daugeliu atvejų, jei atspėjate savavališką skaičių ir bandote iš jo išgauti savavališką šaknį, jūsų laukia žiaurus bėdas.
Kas ten! Net paprasčiausias ir žinomiausias $ \ sqrt (2) $ negali būti pavaizduotas įprasta forma - kaip sveikasis skaičius arba trupmena. Ir jei įvesite šį skaičių į skaičiuotuvą, pamatysite tai:
\ [\ sqrt (2) = 1,414213562 ... \]
Kaip matote, po kablelio yra begalinė skaičių seka, kuri nepaklūsta jokiai logikai. Žinoma, galite suapvalinti šį skaičių, kad greitai palygintumėte su kitais skaičiais. Pavyzdžiui:
\ [\ kvadratas (2) = 1,4142 ... \ apytiksliai 1,4 \ lt 1,5 \]
Arba štai kitas pavyzdys:
\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ apytiksliai 1,7 \ gt 1,5 \]
Tačiau visi šie apvalinimai, pirma, yra gana grubūs; ir antra, reikia mokėti dirbti ir su apytiksliais dydžiais, antraip gali pasigauti krūvą neakivaizdžių klaidų (beje, lyginimo ir apvalinimo įgūdžiai privalomi profilio egzamine).
Todėl rimtoje matematikoje neapsieisite be šaknų - jie yra vienodi visų realiųjų skaičių $ \ mathbb (R) $, taip pat trupmenų ir sveikųjų skaičių, kurie mums jau seniai žinomi, aibės atstovai.
Neįmanoma pavaizduoti šaknies kaip formos $ \ frac (p) (q) $ trupmenos reiškia, kad ši šaknis nėra racionalus skaičius. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais ir negali būti tiksliai pavaizduoti kitaip, kaip tik naudojant radikalą ar kitas specialiai tam skirtas konstrukcijas (logaritmus, laipsnius, ribas ir pan.). Bet apie tai plačiau kitą kartą.
Apsvarstykite keletą pavyzdžių, kai po visų skaičiavimų atsakyme vis tiek liks neracionalūs skaičiai.
\ [\ pradėti (sulygiuoti) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ kvadratas (5) \ apytiksliai 2 236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32) )) = \ sqrt (-2) \ apytiksliai -1,2599 ... \\ \ pabaiga (sulygiuoti) \]
Natūralu, anot išvaizdašaknis beveik neįmanoma atspėti, kokie skaičiai bus po kablelio. Tačiau galite pasikliauti skaičiuotuvu, tačiau net ir pati tobuliausia datos skaičiuoklė mums pateikia tik kelis pirmuosius neracionalaus skaičiaus skaitmenis. Todėl daug teisingiau atsakymus rašyti $ \ sqrt (5) $ ir $ \ sqrt (-2) $ forma.
Štai kodėl jie buvo išrasti. Kad būtų patogu įrašyti atsakymus.
Kodėl reikalingi du apibrėžimai?
Dėmesingas skaitytojas tikriausiai jau pastebėjo, kad visos pavyzdžiuose pateiktos kvadratinės šaknys yra išvestos iš teigiamų skaičių. Na, kaip paskutinė priemonė nuo nulio. Tačiau kubo šaknys ramiai išgaunamos iš absoliučiai bet kokio skaičiaus – ar jis būtų teigiamas, ar neigiamas.
Kodėl tai vyksta? Pažvelkite į funkcijos $ y = ((x) ^ (2)) $ grafiką:
Tvarkaraštis kvadratinė funkcija suteikia dvi šaknis: teigiamą ir neigiamą Pabandykime apskaičiuoti $ \ sqrt (4) $ naudodami šį grafiką. Norėdami tai padaryti, diagramoje nubrėžiama horizontali linija $ y = 4 $ (pažymėta raudonai), kuri susikerta su parabole dviejuose taškuose: $ ((x) _ (1)) = 2 $ ir $ ((x) ) _ (2)) = -2 $. Tai gana logiška, nes
Viskas aišku su pirmuoju skaičiumi - jis yra teigiamas, todėl tai yra šaknis:
Bet ką tada daryti su antruoju punktu? Kaip keturios turi dvi šaknis vienu metu? Juk jei skaičių −2 padalinsime kvadratu, gausime ir 4. Kodėl neparašius $ \ sqrt (4) = - 2 $? O kodėl mokytojai į tokius įrašus žiūri taip, lyg norėtų tave praryti? :)
Bėda ta, kad jei nebus nustatytos papildomos sąlygos, tai ketvertukas turės dvi kvadratines šaknis – teigiamą ir neigiamą. Ir bet kuris teigiamas skaičius taip pat turės du. Bet neigiami skaičiai iš viso neturės šaknų – tai matyti iš to paties grafiko, nes parabolė niekada nenukrenta žemiau ašies y, t.y. nepriima neigiamų verčių.
Panaši problema iškyla visoms šaknims su lygiu eksponentu:
- Griežtai kalbant, kiekvienas teigiamas skaičius turės dvi šaknis su lyginiu eksponentu $ n $;
- Iš neigiamų skaičių šaknis su net $ n $ išvis neišgaunama.
Štai kodėl $ n $ lyginės laipsnio šaknies apibrėžime yra specialiai numatyta, kad atsakymas turi būti neneigiamas skaičius. Taip atsikratome dviprasmybių.
Bet už nelyginius $ n $ tokios problemos nėra. Norėdami tai patikrinti, pažvelkime į funkcijos $ y = ((x) ^ (3)) $ grafiką:
Kubinė parabolė įgauna bet kokią reikšmę, todėl kubo šaknis išgaunama iš bet kurio skaičiaus Iš šio grafiko galima padaryti dvi išvadas:
- Kubinės parabolės šakos, priešingai nei įprastos, eina į begalybę abiem kryptimis – ir aukštyn, ir žemyn. Todėl, kad ir kokiame aukštyje nubrėžtume horizontalią liniją, ši linija būtinai susikirs su mūsų grafiku. Vadinasi, kubo šaknį visada galima išgauti iš absoliučiai bet kokio skaičiaus;
- Be to, tokia sankryža visada bus vienintelė, todėl nereikia galvoti, kurį skaičių laikyti „teisinga“ šaknimi, o kurį – balą. Štai kodėl nelyginio laipsnio šaknų apibrėžimas yra paprastesnis nei lyginio (nėra neneigiamumo reikalavimo).
Gaila, kad šie paprastus dalykus daugumoje vadovėlių nepaaiškinta. Vietoj to, smegenys pradeda mums plaukti su įvairiausiomis aritmetinėmis šaknimis ir jų savybėmis.
Taip, aš nesiginčiju: kas yra aritmetinė šaknis – taip pat reikia žinoti. Ir aš tai išsamiai aprašysiu atskiroje pamokoje. Šiandien mes taip pat apie tai pakalbėsime, nes be jos visos mintys apie $ n $ -osios daugybos šaknis būtų neišsamios.
Tačiau pirmiausia turite aiškiai suprasti apibrėžimą, kurį pateikiau aukščiau. Priešingu atveju dėl terminų gausos galvoje prasidės tokia netvarka, kad galiausiai išvis nieko nesuprasi.
Viskas, ką jums reikia padaryti, tai suprasti skirtumą tarp lyginių ir nelyginių rodiklių. Taigi dar kartą sudėliokime viską, ką tikrai reikia žinoti apie šaknis:
- Lyginė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus ir pati visada yra neneigiamas skaičius. Neigiamų skaičių tokia šaknis neapibrėžta.
- Tačiau nelyginio laipsnio šaknis egzistuoja iš bet kurio skaičiaus ir pati gali būti bet koks skaičius: teigiamiems skaičiams jis yra teigiamas, o neigiamiems, kaip rodo viršutinė riba, neigiamas.
Ar tai sunku? Ne, nesunku. Aišku? Taip, apskritai tai akivaizdu! Taigi dabar atliksime keletą skaičiavimų.
Pagrindinės savybės ir apribojimai
Šaknys turi daug keistų savybių ir apribojimų – apie tai bus atskira pamoka. Todėl dabar mes apsvarstysime tik svarbiausią „gudrybę“, kuri taikoma tik šaknims su lygiu eksponentu. Parašykime šią savybę formulės forma:
\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ kairėje | x \ dešinė | \]
Kitaip tariant, jei skaičių padidinsite iki lyginės laipsnio, o iš to ištraukite tos pačios laipsnio šaknį, gausime ne pradinį skaičių, o jo modulį. Tai paprasta teorema, kurią galima nesunkiai įrodyti (pakanka atskirai apsvarstyti neneigiamus $ x $, o tada atskirai - neigiamus). Mokytojai apie tai nuolat kalba, pateikia kiekviename mokykliniame vadovėlyje. Tačiau kai tik reikia išspręsti neracionalias lygtis (t. y. lygtis, kuriose yra radikalo ženklas), mokiniai draugiškai pamiršta šią formulę.
Norėdami išsamiai suprasti klausimą, minutei pamirškime visas formules ir pabandykite iš karto suskaičiuoti du skaičius:
\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) =? \]
Tai labai paprasti pavyzdžiai... Pirmąjį pavyzdį išspręs dauguma žmonių, bet antruoju – daugelis. Kad be problemų išspręstumėte bet kokį tokį šūdą, visada apsvarstykite veiksmų tvarką:
- Pirma, skaičius padidinamas iki ketvirtosios laipsnio. Na, tai kažkaip lengva. Gausite naują skaičių, kurį rasite net daugybos lentelėje;
- Ir dabar iš šio naujo skaičiaus reikia išgauti ketvirtą šaknį. Tie. nevyksta šaknų ir laipsnių „sumažėjimas“ – tai nuoseklūs veiksmai.
Dirbame su pirmąja išraiška: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Akivaizdu, kad pirmiausia turite apskaičiuoti išraišką po šaknimi:
\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]
Tada ištraukite ketvirtąją skaičiaus 81 šaknį:
Dabar padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmiausia skaičių −3 pakeliame iki ketvirtosios laipsnio, kuriam reikia jį padauginti iš savęs 4 kartus:
\ [((\ kairė (-3 \ dešinė)) ^ (4)) = \ kairė (-3 \ dešinė) \ cdot \ kairė (-3 \ dešinė) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ kairė (-3 \ dešinė) = 81 \]
Gavome teigiamą skaičių, nes bendras minusų skaičius darbe yra 4 vnt., ir jie visi bus tarpusavyje sunaikinti (juk minusas prie minuso duoda pliusą). Tada vėl ištraukiame šaknį:
Iš principo šios eilutės negalėjo būti rašoma, nes neaišku, kad atsakymas bus toks pat. Tie. tos pačios lygiosios galios lygi šaknis „išdegina“ minusus, ir šia prasme rezultatas nesiskiria nuo įprasto modulio:
\ [\ pradėti (lygiuoti) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ kairėje | 3 \ dešinė | = 3; \\ & \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) = \ left | -3 \ dešinė | = 3. \\ \ pabaiga (lygiuoti) \]
Šie skaičiavimai puikiai sutampa su lyginės šaknies apibrėžimu: rezultatas visada yra neneigiamas, o po radikaliu ženklu visada yra neneigiamas skaičius. Priešingu atveju šaknis neapibrėžta.
Procedūros pastaba
- Žymėjimas $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ reiškia, kad pirmiausia skaičių $ a $ padalome kvadratu, o tada iš gautos reikšmės ištraukiame kvadratinę šaknį. Todėl galime būti tikri, kad po šaknies ženklu visada yra neneigiamas skaičius, nes $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ bet kuriuo atveju;
- Tačiau įrašas $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, priešingai, reiškia, kad pirmiausia iš tam tikro skaičiaus $ a $ ištraukiame šaknį ir tik tada rezultatą paverčiame kvadratu. Todėl skaičius $ a $ jokiu būdu negali būti neigiamas - tai yra privalomas apibrėžimo reikalavimas.
Taigi jokiu būdu neturėtumėte be proto mažinti šaknų ir laipsnių, taip tariamai „supaprastindami“ pradinę išraišką. Nes jei po šaknimi yra neigiamas skaičius, o jo rodiklis lyginis, gauname krūvą problemų.
Tačiau visos šios problemos aktualios tik lygiems rodikliams.
Pašalinkite minusą iš šaknies ženklo
Natūralu, kad šaknys su nelyginiais rodikliais taip pat turi savo skaitiklį, kuris iš principo neegzistuoja lyginiams. Būtent:
\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]
Trumpai tariant, iš po nelyginio laipsnio šaknų ženklo galite išimti minusą. Tai labai naudingą turtą, kuri leidžia „išmesti“ visus minusus:
\ [\ pradėti (sulygiuoti) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ pabaiga (lygiuoti) \]
Ši paprasta savybė labai supaprastina daugelį skaičiavimų. Dabar nerimauti neverta: staiga po šaknimi prasiskverbė neigiama išraiška, o laipsnis prie šaknies pasirodo lygus? Užtenka tik „išmesti“ visus minusus už šaknų ribų, po to juos galima dauginti vienas po kito, dalytis ir apskritai daryti daug įtartinų dalykų, kurie „klasikinių“ šaknų atveju mus garantuotai nuves. į klaidą.
Ir čia atsiranda kitas apibrėžimas – tas pats, nuo kurio daugumoje mokyklų pradedamas neracionalių posakių tyrimas. Ir be kurio mūsų samprotavimai būtų neišsamūs. Sveiki atvykę!
Aritmetinė šaknis
Trumpam manykime, kad po šaknies ženklu gali būti tik teigiami skaičiai arba daugiausia nulis. Įmušime lygų balą / nelyginiai rodikliai, pamirškite visus aukščiau pateiktus apibrėžimus – dirbsime tik su neneigiamais skaičiais. Kas tada?
Ir tada gauname aritmetinę šaknį – ji iš dalies sutampa su mūsų „standartiniais“ apibrėžimais, bet vis tiek skiriasi nuo jų.
Apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus $ n $ laipsnio $ a $ aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius $ b $, kad $ ((b) ^ (n)) = a $.
Kaip matote, mūsų nebedomina paritetas. Vietoj to atsirado naujas apribojimas: radikali išraiška dabar visada yra neneigiama, o pati šaknis taip pat yra neneigiama.
Norėdami geriau suprasti, kuo aritmetinė šaknis skiriasi nuo įprastos, pažvelkite į jau pažįstamus kvadratinių ir kubinių parabolių grafikus:
Aritmetinės šaknies paieškos sritis – neneigiami skaičiai Kaip matote, nuo šiol mus domina tik tos grafikų dalys, kurios yra pirmame koordinačių ketvirtyje – kur koordinatės $ x $ ir $ y $ yra teigiamos (arba bent jau nulis). Jums nebereikia žiūrėti į indikatorių, kad suprastumėte, ar turime teisę įšaknyti neigiamą skaičių, ar ne. Nes neigiami skaičiai iš esmės nebelaikomi.
Galite paklausti: „Na, kam mums reikia tokio kastruoto apibrėžimo? Arba: „Kodėl negalite apsieiti su aukščiau pateiktu standartiniu apibrėžimu?
Na, aš duosiu tik vieną savybę, dėl kurios naujas apibrėžimas tampa tinkamas. Pavyzdžiui, eksponentiškumo taisyklė yra tokia:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
Atkreipkite dėmesį: radikaliąją išraišką galime pakelti iki bet kokios laipsnio ir tuo pačiu padauginti šaknies eksponentą iš tos pačios laipsnio – ir rezultatas bus toks pat! Štai keletas pavyzdžių:
\ [\ pradėti (sulygiuoti) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ pabaiga (lygiuoti) \]
Taigi, kas per didelis? Kodėl mes negalėjome to padaryti anksčiau? Štai kodėl. Apsvarstykite paprastą išraišką: $ \ sqrt (-2) $ - šis skaičius yra gana normalus mūsų klasikine prasme, bet visiškai nepriimtinas aritmetinės šaknies požiūriu. Pabandykime jį transformuoti:
$ \ pradėti (sulygiuoti) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ kairė (-2 \ dešinė)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ pabaiga (sulygiuoti) $
Kaip matote, pirmuoju atveju pašalinome minusą iš po radikalo (turime visas teises, nes rodiklis yra nelyginis), o antruoju - naudojome aukščiau pateiktą formulę. Tie. matematikos požiūriu viskas daroma pagal taisykles.
WTF?! Kaip tas pats skaičius gali būti teigiamas ir neigiamas? Negali būti. Tiesiog eksponencijos formulė, kuri puikiai tinka teigiamiems skaičiams ir nuliui, pradeda būti erezija, kai kalbama apie neigiamus skaičius.
Norėdami atsikratyti tokio neaiškumo, jie sugalvojo aritmetinės šaknys... Jiems skirta atskira didelė pamoka, kurioje išsamiai aptariame visas jų savybes. Tad dabar ties jais nesigilinsime – pamoka jau pasirodė per ilga.
Algebrinė šaknis: norintiems sužinoti daugiau
Ilgai galvojau, ar dėti šią temą į atskirą pastraipą, ar ne. Galiausiai nusprendžiau čia išvykti. Ši medžiaga skirta tiems, kurie nori dar geriau suprasti šaknis – ne vidutinio „mokyklinio“, o olimpiados lygiui artimo lygio.
Taigi: be "klasikinio" skaičiaus $ n $ -osios šaknies apibrėžimo ir su juo susijusio padalijimo į lyginius ir nelyginius rodiklius, yra ir "suaugusiųjų" apibrėžimas, kuris visiškai nepriklauso nuo pariteto ir kitų subtilybių. . Tai vadinama algebrine šaknimi.
Apibrėžimas. Bet kurio $ a $ $ n $ laipsnio algebrinė šaknis yra visų skaičių $ b $, kad $ ((b) ^ (n)) = a $. Tokioms šaknims nėra nusistovėjusio pavadinimo, todėl viršuje tiesiog uždedame brūkšnelį:
\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ dešinė. \ dešinė \) \]
Esminis skirtumas nuo standartinio apibrėžimo, pateikto pamokos pradžioje, yra tas algebrinė šaknis Ar ne konkretus skaičius, o rinkinys. Kadangi dirbame su tikraisiais skaičiais, yra tik trys šio rinkinio tipai:
- Tuščias komplektas. Atsiranda, kai reikia rasti lyginio laipsnio algebrinę šaknį iš neigiamo skaičiaus;
- Rinkinys, susidedantis iš vieno elemento. Į šią kategoriją patenka visos nelyginių laipsnių šaknys, taip pat lyginių laipsnių šaknys nuo nulio;
- Galiausiai rinkinyje gali būti du skaičiai – tas pats $ ((x) _ (1)) $ ir $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, kuriuos matėme grafiko kvadratinė funkcija. Atitinkamai, toks lygiavimas galimas tik tada, kai iš teigiamo skaičiaus išskiriama lyginė šaknis.
Pastarasis atvejis nusipelno išsamesnio svarstymo. Suskaičiuokime keletą pavyzdžių, kad suprastume skirtumą.
Pavyzdys. Įvertinkite išraiškas:
\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]
Sprendimas. Pirmoji išraiška paprasta:
\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]
Rinkinį sudaro du skaičiai. Nes kiekvienas iš jų aikštėje duoda po ketvertą.
\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ kairė \ (-3 \ dešinė \) \]
Čia matome rinkinį, kurį sudaro tik vienas skaičius. Tai gana logiška, nes šaknies rodiklis yra nelyginis.
Galiausiai paskutinė išraiška:
\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]
Turime tuščią rinkinį. Nes nėra nei vieno realaus skaičiaus, kurį pakėlus iki ketvirto (t.y. lyginio!) laipsnio, gausime neigiamą skaičių -16.
Baigiamoji pastaba. Atkreipkite dėmesį: neatsitiktinai visur pažymėjau, kad dirbame su tikraisiais skaičiais. Kadangi yra ir kompleksinių skaičių – ten visai įmanoma suskaičiuoti $ \ sqrt (-16) $, ir daug kitų keistų dalykų.
Tačiau šiuolaikiniame mokykliniame matematikos kurse kompleksiniai skaičiai beveik nerandami. Jie buvo išbraukti iš daugumos vadovėlių, nes mūsų pareigūnai šią temą laiko „per sunkiai suprantama“.
Tai viskas. Kitoje pamokoje apžvelgsime viską pagrindinės savybėsšaknis ir pagaliau išmokite supaprastinti neracionalius posakius. :)
Pamoka ir pranešimas tema: "N-osios šaknies savybės. Teoremos"
Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.
Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 11 klasei
Interaktyvi pamoka 9-11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvi pamoka 10-11 klasėms „Logaritmai“
N-osios šaknies savybės. Teoremos
Vaikinai, mes toliau tiriame n-ąsias tikrojo skaičiaus šaknis. Kaip ir beveik visi matematiniai objektai, n-ojo laipsnio šaknys turi tam tikrų savybių, šiandien mes jas tyrinėsime.Visos savybės, kurias apsvarstysime, yra suformuluotos ir įrodytos tik neneigiamoms kintamųjų, esančių po šaknies ženklu, reikšmėmis.
Nelyginio šaknies rodiklio atveju jie taip pat atliekami neigiamiems kintamiesiems.
1 teorema. Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos n-oji šaknis yra lygi šių skaičių n-ųjų šaknų sandaugai: $ \ sqrt [n] (a * b) = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [ n] (b) $.
Įrodykime teoremą.
Įrodymas. Vaikinai, norėdami įrodyti teoremą, įveskime naujus kintamuosius, pažymėkite:
$ \ sqrt [n] (a * b) = x $.
$ \ sqrt [n] (a) = y $.
$ \ sqrt [n] (b) = z $.
Turime įrodyti, kad $ x = y * z $.
Atminkite, kad galioja šios tapatybės:
$ a * b = x ^ n $.
$ a = y ^ n $.
$ b = z ^ n $.
Tada galioja tokia tapatybė: $ x ^ n = y ^ n * z ^ n = (y * z) ^ n $.
Dviejų neneigiamų skaičių ir jų laipsnių laipsniai yra lygūs, tada ir pačių laipsnių bazės yra lygios. Taigi $ x = y * z $, ką ir reikėjo įrodyti.
2 teorema. Jei $ a≥0 $, $ b> 0 $ ir n yra natūralusis skaičius, didesnis nei 1, tada galioja ši lygybė: $ \ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) $.
Tai yra, dalinio n-ojo laipsnio šaknis yra lygi n-ojo laipsnio šaknų daliniui.
Įrodymas.
Įrodymui naudosime supaprastintą į lentelę panašią schemą:
N-osios laipsnio šaknies apskaičiavimo pavyzdžiai
Pavyzdys.Apskaičiuokite: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) $.
Sprendimas. Naudokime 1 teoremą: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) * \ sqrt (256) = 2 * 3 * 4 = 24 $.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite: $ \ sqrt (7 \ frac (19) (32)) $.
Sprendimas. Mes atstovaujame radikalią išraišką formoje neteisinga trupmena: $ 7 \ frak (19) (32) = \ frak (7 * 32 + 19) (32) = \ frak (243) (32) $.
Naudokime 2 teoremą: $ \ sqrt (\ frac (243) (32)) = \ frac (\ sqrt (243)) (\ sqrt (32)) = \ frac (3) (2) = 1 \ frac (1 ) (2) $.
Pavyzdys.
Apskaičiuoti:
a) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) $.
b) $ \ frac (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) $.
Sprendimas:
a) $ \ kvadratas (24) * \ kvadratas (54) = \ kvadratas (24 * 54) = \ kvadratas (8 * 3 * 2 * 27) = \ kvadratas (16 * 81) = \ kvadratas (16) * \ sqrt (81) = 2 * 3 = 6 USD.
b) $ \ frac (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) = \ sqrt (\ frac (256) (4)) = \ sqrt (64) = 24 $.
3 teorema. Jei $ a≥0 $, k ir n yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada lygybė yra teisinga: $ (\ sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a ^ k) $.
Norint pakelti šaknį iki natūralaus laipsnio, pakanka iki šio laipsnio pakelti radikalią išraišką.
Įrodymas.
Panagrinėkime ypatingą atvejį, kai $ k = 3 $. Naudosime 1 teoremą.
$ (\ sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) = \ sqrt [n] (a * a * a) = \ sqrt [n] (a ^ 3) $.
Tą patį galima įrodyti bet kuriuo kitu atveju. Vaikinai, įrodykite patys tuo atveju, kai $ k = 4 $ ir $ k = 6 $.
4 teorema. Jei $ a≥0 $ b n, k yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada lygybė yra teisinga: $ \ sqrt [n] (\ sqrt [k] (a)) = \ sqrt (a) $.
Norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų indeksus.
Įrodymas.
Dar kartą trumpai įrodykime naudodami lentelę. Įrodymui naudosime supaprastintą į lentelę panašią schemą: 
Pavyzdys.
$ \ sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
$ \ sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
$ \ sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
5 teorema. Jei šaknies ir radikalios išraiškos rodikliai padauginami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis: $ \ sqrt (a ^ (kp)) = \ sqrt [n] (a) $.
Įrodymas.
Mūsų teoremos įrodymo principas yra toks pat kaip ir kituose pavyzdžiuose. Pristatome naujus kintamuosius:
$ \ sqrt (a ^ (k * p)) = x => a ^ (k * p) = x ^ (n * p) $ (pagal apibrėžimą).
$ \ sqrt [n] (a ^ k) = y => y ^ n = a ^ k $ (pagal apibrėžimą).
Paskutinę lygybę keliame į galią p
$ (y ^ n) ^ p = y ^ (n * p) = (a ^ k) ^ p = a ^ (k * p) $.
Gauta:
$ y ^ (n * p) = a ^ (k * p) = x ^ (n * p) => x = y $.
Tai yra, $ \ sqrt (a ^ (k * p)) = \ sqrt [n] (a ^ k) $, kaip reikia.
Pavyzdžiai:
$ \ sqrt (a ^ 5) = \ sqrt (a) $ (padalinta iš 5).
$ \ sqrt (a ^ (22)) = \ sqrt (a ^ (11)) $ (padalinta iš 2).
$ \ sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ (12)) $ (padauginta iš 3).
Pavyzdys.
Atlikite veiksmus: $ \ sqrt (a) * \ sqrt (a) $.
Sprendimas.
Šakniniai rodikliai yra skirtingi skaičiai, todėl negalime naudoti 1 teoremos, tačiau taikydami 5 teoremą galime gauti lygius eksponentus.
$ \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) $ (padauginta iš 3).
$ \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 4) $ (padauginta iš 4).
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) * \ sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ 3 * a ^ 4) = \ sqrt (a ^ 7) $.
Savarankiško sprendimo užduotys
1. Apskaičiuokite: $ \ sqrt (32 * 243 * 1024) $.2. Apskaičiuokite: $ \ sqrt (7 \ frac (58) (81)) $.
3. Apskaičiuokite:
a) $ \ sqrt (81) * \ sqrt (72) $.
b) $ \ frac (\ sqrt (1215)) (\ sqrt (5)) $.
4. Supaprastinkite:
a) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
b) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
c) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
5. Atlikite veiksmus: $ \ sqrt (a ^ 2) * \ sqrt (a ^ 4) $.
